《函数的单调性和最大(小)值》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】
高中数学必修第一册3.2.1 单调性与最大(小)值 教学设计
3.2.1 单调性与最大（小）值
《函数的单调性与最大（小）值》是高中数学新教材第一册第三章第2节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图象，在此基础上学生对增减性有一个初步的感性认识，所以本节课是学生数学思想的一次重要提高。函数单调性是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，对解决各种数学问题有着广泛作用。
课程目标
1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；
2、会根据单调定义证明函数单调性；
3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；
4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
数学学科素养
1.数学抽象：用数学语言表示函数单调性和最值；
2.逻辑推理：证明函数单调性；
3.数学运算：运用单调性解决不等式；
4.数据分析：利用图像求单调区间和最值；
5.数学建模：在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题。
重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；
2、利用函数单调性或图像求最值.
难点：根据定义证明函数单调性．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入
观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：
①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本76-80页，思考并完成以下问题
高一【数学(人教A版)】函数的最大(小)值-教学设计
节
提出问题
从二次函数2
()
f x x
=入手，观察图象，发现它有一个最低点(00)
，．问题：如何用数学语言表达？
生：所有的函数值都大于或等于0，符号语言：x
∀∈R，都有
()(0)
f x f
≥．
追问：我们画出的只是函数图象的一部分，如何说明x取定义域中所有值时，函数值都大于0呢？
结合函数的单调性进行分析：函数2
()
f x x
=在(]0，
-∞上单调递减，当0
x≤时，()(0)
f x f
≥；在[)
0,+∞上单调递增，当0
x≥时，
()(0)
f x f
≥.从而，x
∀∈R，都有()(0)
f x f
≥. 因此，在0
x=时，函数2
()
f x x
=取得最小值，最小值是(0)
f=0.
问题：某函数()
y f x
=的图象如图，看到的图中
最高点纵坐标是函数的最大值吗？
x
y
O
讨论：看到的最高点的纵坐标不一定是这个函数的最大值，因为函数的最大值是在整个定义域上函数值的最大值，需要结合函数的定义域和单调性分析，用严谨的数学语言来刻画．
探究：你能以函数2()f x x =-为例说明函数()f x 的最大值的含义吗？
学生：结合函数单调性，x ∀∈R ，都有()(0)f x f ≤. 因此，在0x =时，函数2()f x x =-取得最大值，最大值是(0)f =0.
设计意图：以熟悉的素材，从形入手，直观感知函数的最大（小）值.由于直观判断不一定准确，需要结合函数的单调性，从数的角度严谨地刻画函数的最值，引出用数学符号语言来刻画函数最值的必要性. 同时为后面借助函数的单调性求函数最值做了铺垫.对单调性的回顾中关注点的变化，体会单调性是局部性质，而最值是整体性质.
人教课标版高中数学必修一《函数单调性与最大(小)值(第1课时)》教案-新版
1.3.1 第一课时函数的单调性
一、教学目标
（一）核心素养
教材以一次函数、二次函数等初等函数图象为例，来推导一般函数图象的性质——单调性，体现了由特殊到一般，由形到数的思想，让学生在图象变化趋势的精细刻画中，体会数学逻辑推理的严谨性，再现数学知识的生成过程．在实际生活中函数模型的建立及函数性态研究，体现了数学服务于社会生活有着重要的作用，也对学生直观想象、逻辑推理、数学抽象及数学建模等数学核心素养的培育奠定基础．
（二）学习目标
1．帮助学生通过函数图象理解增函数、减函数及其几何意义．
2．数形结合的思想探究函数图象与函数单调性的本质联系．
3．函数单调性的判定及证明．
（三）学习重点
1．理解函数单调性．
2．函数单调性的判定及证明．
（四）学习难点
函数单调性的判定及证明．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
一般地，设函数()
f x的定义域为I:
,x x，当______时，都有（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
12
______，那么就说函数()
f x在区间D上是_____函数（increasin
g function）（图（1））．
【答案】12x x <;12()()f x f x <;增（或 12x x >;12()()f x f x >;增）．
（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当______时，都有______，那么就说函数()f x 在区间D 上是_____函数（decreasing function ）（图（2））． 【答案】12x x <;12()()f x f x >;减（或 12x x >;12()()f x f x <;减）．
高中数学《函数的基本性质-3.1单调性与最大(小)值》说课稿1 新人教A版必修1
1.3 函数的基本性质
以初中所学过的一次函数f（x）=x和二次函数f（x）=x2的图象引出函数的单调性.通过具体实例感受函数单调性与函数奇偶性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力.
函数的简单性质包括函数的单调性与函数的奇偶性.
为了说明函数f（x）在某个区间上不是单调增（减）函数，只需在该区间上找到两个值x1、x2，当x1＜x2时，有f（x1）≥f（x2）〔或f（x1）≤f（x2）〕成立.
函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它反映的是函数的局部性质，函数在某个区间上单调，并不能说明函数在定义域上也单调.
让学生体会函数最大（小）值与单调性之间的关系及其几何意义，引导学生通过函数的单调性研究最大（小）值.
通过已学过的函数特别是二次函数，进一步理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义.
由实例，通过观察图象，抽象出函数奇偶性的定义.在教学中要注意展现出探索过程，引导学生关注函数图象的对称性与函数奇偶性的关系.
只要函数的定义域内有一个x值不满足f（－x）=－f（x）〔或f（－x）=f（x）〕，这个函数就不是奇（偶）函数；或只要函数图象上有一个点不满足“关于原点（或y轴）的对称点都在函数的图象上，”这个函数就不是奇（偶）函数.
1.3.1 单调性与最大（小）值（1）
从容说课
函数的单调性是函数的一个重要性质，在比较几个数大小、对函数作定性分析（求函数的值域、最值，求函数解析式中参数的范围、绘函数的图象）以及与不等式等其他知识的综合应用上都有广泛的应用；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学.
高中必修第一册《3.2 函数的基本性质》优质课教案教学设计
3.2.1 单调性与最大（小）值
《函数的单调性与最大（小）值}》系人教A版高中数学必修第一册第三章第二节的内容,本节包括函数的单调性的定义与判断及其证明、函数最大（小）值的求法。在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性,这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的救开结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
A.理解增函数、减函数、单调区间、单调
性概念；
B.掌握增（减）函数的证明与判断；
C.能利用单调性求函数的最大（小）值；
D.学会运用函数图象理解和研究函数的性
质；
1.教学重点：函数单调性的概念，函数的最值；
2.教学难点：证明函数的单调性，求函数的最值。多媒体
教学过程
教学设计意图 核心素养目标 一、情景引入
1. 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？
2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？
二、探索新知 探究一 单调性
1、思考：如何利用函数解析式2
)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的f(x)随着增大？”
【答案】图象在区间 ）+∞,0(上 逐渐上升， 在）+∞,0(内随着x 的增大，y 也增大。 对于区间）+∞,0(内任意21,x x ，当21x x
《函数的最大(小)值》示范课教学设计【高中数学人教】
环节二 函数的最大（小）值
复习引入
问题1 某些事物的发展或者衰落可以用函数的单调性来刻画，那由盛转衰的转折点在数学中如何刻画呢？类比上一课时探究单调性的路径，设计用数学语言刻画“转折点”的蓝图．
答案：找出或者画出先增长后减小的函数图象，如图1；发现这类图象的共同特征——它们都有最高点；再尝试用数学语言刻画最高点．
过渡语：本节课我们就来一起学习与之相关的函数性质——函数的最大（小）值．（板书：函数的最大（小）值） 课堂探究
问题2 以函数f (x )＝－x 2
＋1为例，如图2所示，该函数的图象有一个最高点（0，1），你能用函数的观点描述该点满足的性质吗？
答案：从图象上看，其它点的纵坐标都不超过该点的纵坐标；从函数要素的角度看，该函数所有的函数值都不大于该处的函数值．
结论：当一个函数f (x )的图象有最高点时，最高点的纵坐标就是函数f (x )的最大值． 问题3 你能用符号语言刻画函数f (x )＝－x 2
＋1的最大值吗？ 答案：（1）∀x ∈R ，都有f (x )≤1；
图 1
图2
y
x
–1–2–3–4
1
2–1
–2
12
O
（2）1是值域中的元素，即存在自变量0，使得f (0)＝1． 追问1 你能用符号语言刻画函数f (x )的最大值吗？
答案：设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
（1）∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； （2）∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ．
那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值．
追问2 你能仿照最大值的定义，给出函数f (x )的最小值的定义吗？ 答案：设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数m 满足：
3.2.1函数单调性与最大(小)值-第2课时高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(1)求 y(万元)与 x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
【解】 (1)当 0<x≤20 时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当 x>20
－x2＋32x－100，0<x≤20，
时，y＝260－100－x＝160－x.故 y＝
故当 x＝70 时，ymax＝9 000.
即售价为 70 元时，利润最大值为 9 000 元．
题型四 二次函数的最值问题
[探究问题]
1．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[ m，n] 可能存在几种位
置关系，试画草图给予说明？
提示：
2．求二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 在[ m，n] 上的最值，应考虑哪些因素？
1
D. ，2
2
【答案】C
【解析】由图可知，f( x)的最大值为 f( 1)＝2，f(x) 的最小
值为 f(－2)＝－1.
2．设函数 f(x)＝2x－1(x<0)，则 f(x)(
)
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
【答案】D
【解析】∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f( x)< f(0) ＝－1，
新课标人教(A)必修一 函数单调性说课稿
说课稿课题：函数的单调性
一、教材分析
1、教材内容
本节课是人教版第一章《集合与函数概念》§1.3.1单调性与最大（小）值的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．
2、教材所处地位、作用
函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、学会通过函数图像来判断函数的单调性、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．
3、教学目标
（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性
的方法；
（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．
4、重点与难点
教学重点（1）领会函数单调性概念，体验函数单调性的形式化过程.
（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）突破抽象，深刻理解函数单调性形式化的概念
人教A版必修一《单调性与最大值》教案及教学反思
人教A版必修一《单调性与最大值》教案及教
学反思
一、教学目标
本节课主要教学目标如下：
1.知识目标：掌握函数单调性及最大值的概念，掌握
函数单调性及最大值的求法，掌握简单的函数最大值求法；
2.能力目标：通过对例题的分析与思考，准确地判断
函数单调性及最大值；
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生的数
学思维能力；
二、教学重点
1.函数的单调性；
2.函数的最大值及最大值的求法；
三、教学难点
1.函数最大值的求法；
2.对最大值的判定要求较高；
四、教学过程
1. 导入新课
本节课主要内容是讲述单调性及最大值的求法。同学们在
以前的学习中已经学过函数二次函数的直观认识及基本性质，对于接下来的学习应该会有一定的帮助。
2. 讲解单调性
（1）定义：若函数f(x)的自变量x
1与x
2
满足x
1
<x2，则有
f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间(x1,x2)内单调增加
或单调减少。若在函数f(x)的定义域上，对于x
<x2总有f(x1)<
1
f(x2)成立，则称f(x)在其定义域上单调递增；若对于x1<x2总有
f(x1)>f(x2)成立，则称f(x)在其定义域上单调递减。
（2）举例：画出函数f(x)=x3−3x2在区间(−1,3)内的图像，
并判断其单调性。
3. 讲解最大值
（1）定义：对于定义在区间I上的函数f(x)，若存在x
∈I，
使得f(x
)≥f(x)，（x∈I）成立，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上
的最大值。
（2）举例：函数f(x)=3x4−4x3在区间[0,1]上是否存在最大值？如果存在，求出函数最大值点坐标。
函数的单调性与最大(小)值 高中数学获奖教案
、
3.2.1单调性与最大（小）值（第一课时）
(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第三章)
一、教学目标
1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用与实际意义；
2.会用定义简单证明函数的单调性；
3.通过函数的单调性可以画出函数图像;
4.在探究抽象函数单调性的过程中感受数学概念的抽象过程及符号表示的作用.
二、教学重难点
1.函数的单调性精确定义;
2.利用函数定义判断函数单调性.
三、教学过程
1.研究函数单调性的过程
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】 前面我们学习了函数的定义、表示方法，知道函数是描述客观世界中变量之间的一种对应关系，这样可以通过研究函数性质来把握世界的一般规律.什么是函数性质呢?比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小的,或者有没有最大值?总的来说函数的性质就是”变化中的规律,变化中的不变性”.今天我们来研究一下函数的一个很重要的性质—函数的单调性.
2019新型冠状病毒爆发（2019-nCoV ，世卫组织2020年1月命名；SARS-CoV-2，国际病毒分类委员会2020年2月11日命名 ）.面对疫情政府采取了积极、高效、公开、透明的举措，不仅全力维护人民群众生命安全和身体健康，也为维护全球和地区公共卫生安全做出重大贡献，给世界带来信心.我们要为我们生在中国而自豪.要为我们是中国人而自豪!
下面函数图像是截取4月16日-6月10日的数据,图1是全国现有确诊趋势;图2本土新增确诊趋势,从这两幅函数图像中我们可以直观的感受疫情的变化.
全国现有确诊趋势本土新增确诊趋势
高中数学 《函数的基本性质-3.1单调性与最大(小)值》说课稿2 新人教A版必修1
1.3.1 单调性与最大（小）值（2）
从容说课
最值问题是生产、科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题，是高中数学的一个重点，它涉及到高中数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技能，灵活选择合理的解题途径.本节课利用单调性求函数的最值，目的是让学生知道学习函数的单调性是为了更好地研究函数.利用单调性不仅仅确定函数的值域、最值，更重要的是在实际应用中求解利润、费用的最大与最小，用料、用时的最少，流量、销量的最大，选取的方法最多、最少等问题.
三维目标
一、知识与技能
1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用.
2.启发学生学会分析问题、认识问题的能力和创造地解决问题的能力.
二、过程与方法
1.通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育.
2.探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确.
三、情感态度与价值观
理性描述生活中的最大（小）、最多（少）等现象.
教学重点
领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念.
教学难点
利用函数的单调性求最值.
教具准备
多媒体课件（PowerPoint）.
教学过程
一、创设情景，引入新课
师：前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量增大之间的关系，请大家看某市一天24小时内的气温变化图，说出气温随时间变化的特点.
生：从图象上看出0时～4时之间气温下降，4时～14时之间气温逐渐上升，14时～24时气温逐渐下降.
师：好，请继续回答.某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低?
生：14时气温达到最高，4时气温达到最低.
高中数学_函数的单调性与最值教学设计学情分析教材分析课后反思
函数的单调性与最值--教学设计
1.首先通过ppt引导学生一起回顾前面学习的函数的单调性与最值，强调掌握函数的思维特征，即函数单调性的代数特征和几何特征，也就是函数单调性与最值图象表达和代数式表达形式。通过小题快练，巩固知识。
2.其次针对学案中出现的问题讨论几个问题，小组有些可以自行解决，有些需要老师讲解，如例2和例6对于其它学生的易错题目，学生在黑板板演，进行讲解，教师进行点评。
4.最后进行巩固练习，和小结整理。
同学们会常规的方法，分段讨论，这是一种计算的思维！
引导学生思考能不能运用函数的性质来理解和解决问题呢？
教师给出分析，然后给学生几分钟时间整理。
函数的单调性与最值---学情分析
学生在高一的学习中，学生已经掌握了函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性的基础上来复习函数单调性与最值的应用这一节课的，高二学生已经具备了一定的认知水平，但是一定的综合能力还要慢慢地的培养和提升。在函数中的化归思想和数形结合的思想还要通过一轮复习慢慢体会，并学以致用。
函数的单调性与最值----效果分析
本节课是一节专题课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论学生也能接受。可学生只能进行简单的模仿应用，为了达到比较好的复习效果，应该突出知识的发生过程。
本节课，从授课效果上看达到了预期目标，取得了不错的教学效果，学生反应很积极，重难点把握恰当。
函数的单调性与最值——教材分析
本节课是在学生已经学习了函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性的基础上来进一步复习函数单调性与最值应用的一节课，本节课主要是分考点进行讲解的，主要分为两个考点：
人教A版高中数学必修一第一章1.3.1函数的单调性与最大(小)值
y
y f(x)
在给定区间上任取x1, x2 ,
x1 x2
f(x1) f(x2 )
f (x1) f(x2)
O
x1 x2
函数f (x)在给定区间 上为减函数。
x
二、新课
1、增函数和减函数的概念：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量
x1、x2 ,若x1 x2 f x1 f x2 ，则y f x叫做增函数.
f
(x1)
f
(x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) (x1 1)] 2(x2 x1) (x2 1)(x1 1) (x2 1)(x1 1)
由于2<x1<x2<6，得x2- x1>0，(x1-1)(x2-1)>0，于是
f (x1) f (x2 ) 0，即 f (x1) f (x2 )
在区间a，b内单调递减(或单调递增)；
2.对于函数f x，当x1，x2 a，b时，都有
x2
x1
f
x2
f
x1
0
或
f
x2
x2
f x1
x1
0 ，
则函数f x 在区间a，b内单调递增；
方法总结:
3、对于函数f x，当x1，x2 a，b时，都有
x2
x1
《函数的单调性和最大(小)值》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】
《函数的单调性与最大（小）值》教学设计
第一课时函数的单调性
通过观察一些函数图像的特征，形成增（减）函数的直观认识。再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。掌握用定义证明函数单调性的步骤。函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
【知识与能力目标】
1、结合具体函数，了解函数的单调性及其几何意义；
2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质；
3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。
【过程与方法目标】
借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的思想，运用定义进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好的思维习惯。
【情感态度价值观目标】
通过直观的图像体会抽象的概念，通过交流合作培养学生善于思考的习惯。
【教学重点】
函数单调性的概念。
【教学难点】
判断、证明函数单调性。
从观察具体函数图像引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
(一)创设情景，揭示课题
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。他经过测试，得到了以下一些数据：
以上数据表明，记忆量y 是时间间隔t 的函数。艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,
如图：
思考1:当时间间隔t 逐渐增大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ （二）研探新知
3.2.1函数的单调性与最大(小)值-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义
新教材必修第一册3.2.1：函数的单调性与最大（小）值
课标解读：
1. 函数的单调性和单调区间的概念、作用和实际意义.（理解）
2. 函数的最大值和最小值的概念、作用和实际意义.（理解） 学习指导：
这里所学习的函数“单调性”与初中所学习的区别在于高中是用符号语言来定量描述函数的单调性，而初中则是借助图形直观定性描述的。本节理解函数“单调性”的定义是主要障碍，而突破难点的有效途径是借助特例及图形的直观.另外函数单调性的应用是高考的热点之一，因此要熟练掌握求解其相关问题的方法与技巧. 知识导图：
⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎨
⎧⎩⎨
⎧⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧求最值的方法最大（小）值的定义最值问题符合函数单调性的判断证明函数的单调性求函数的单调区间增（减）函数的定义单调性与单调区间单调性与最大（小）值 知识点1：函数的单调性
2.函数的单调性及单调区间
（1）当函数)(x f 在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数. （2）如果函数)(x f y =在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间. 3.常见函数的单调性
例1-1：下列命题为正命题的是（ ）.
A.定义在),(b a 上的函数)(x f ，如果),(,21b a x x ∈∃，当21x x <时，有)()(21x f x f <，那么)(x f 在
),(b a 上单调递增
B. 如果函数)(x f 在区间1I 上单调递减，在区间2I 上也单调递减，那么)(x f 在区间21I I ⋃上就一定单调递减
人教A版高中数学必修(1)《函数的单调性》教案
课题：函数的单调性
教材：人教A版必修（1）
【教学目标】
（1）知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法．
（2）过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
（3）情感态度价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
【教学重点】函数单调性定义的构建、判断及证明．
【教学难点】单调性定义构建中从自然语言到符号语言的过渡．
【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
（播放中央电视台天气预报的音乐）
假设下图为揭阳市今天晚上到明天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图，请一位同学上讲台来为我们在座的各位观众播报一下明天的天气情况。
意图：这一环节让学生通过身边熟悉的情景去感受数学就在大家身边，数学知识的起源和发展是自然的，问题虽然开放，但因切合学生的实际，不同程度的学生都能说一说，讲一讲，学生参与学习的热情和兴趣必然得到不同程度的激发。
课堂预设：学生应该能说到一天中什么时候气温最高，什么时候气温最低，一天的温差是多少，能说到从凌晨0点到4点气温越来越低，从4点到下午2点，
气温越来越高，等等。学生发言后，为了突出单调性的主题，教师强调从0点到4点图象整体程下降的趋势，即气温随时间的增大而减少，从4点到下午2点图象整体程上升的趋势，即气温随时间的增大而增大……
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《函数的单调性与最大（小）值》教学设计
第一课时函数的单调性
通过观察一些函数图像的特征，形成增（减）函数的直观认识。再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。掌握用定义证明函数单调性的步骤。函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
【知识与能力目标】
1、结合具体函数，了解函数的单调性及其几何意义；
2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质；
3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。
【过程与方法目标】
借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的思想，运用定义进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好的思维习惯。
【情感态度价值观目标】
通过直观的图像体会抽象的概念，通过交流合作培养学生善于思考的习惯。
【教学重点】
函数单调性的概念。
【教学难点】
判断、证明函数单调性。
从观察具体函数图像引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
(一)创设情景，揭示课题
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。他经过测试，得到了以下一些数据：
以上数据表明，记忆量y 是时间间隔t 的函数。艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,
如图：
思考1:当时间间隔t 逐渐增大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ （二）研探新知
观察下列各个函数的图像，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
○1随x的增大，y的值有什么变化？
○2能否看出函数的最大、最小值？
○3函数图像是否具有某种对称性？
画出下列函数的图像，观察其变化规律：
（1）f(x) = x （2）f(x) = x2
思考1：这两个函数的图像分别是什么？二者有何共同特征？
思考2：如果一个函数的图像从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？
思考3：如图为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图像，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1＜x2时， f(x1)与f(x2)的大小关系如何？
思考4: 我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D 上是增函数”？
1、函数单调性定义
（1）增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义。（学生活动） 注意： ○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 2、函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 （三）例题讲解 例1 、如图是定义在闭区间[-5，6]上的函 数y=f(x) 的图像，根据图像说出y=f(x)的单 调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x) 是增函数还是减函数。 例2 、物理学中的玻意耳定律()k P k V = 为正常数告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大. 试用函数的单调性定义证明。 例3、试确定函数1 ()x f x x -= 在区间(0,)+∞上的单调性。 3、判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1 ，x 2 ∈D ，且x 1 ； ○ 2 作差f (x 1 )－f (x 2 )； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差f (x 1 )－f (x 2 )的正负）； ○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。 （四）课堂练习： 1、课本P 38练习第3题； 2、证明函数x x y 1 + =在（1，+∞）上为增函数。 3、借助计算机作出函数y =－x 2 +2 | x | + 3的图像并指出它的的单调区间。 思考：画出反比例函数x y 1 = 的图像。 ○ 1 这个函数的定义域是什么？ ○ 2 它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论。 说明：本例可利用几何画板、函数图像生成软件等作出函数图像。 （五）课堂小结 函数的单调性一般是先根据图像判断，再利用定义证明。画函数图像通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论。 （六） 布置作业 1、 书面作业：课本P 45 习题1．3（A 组） 第1- 5题。 2、提高作业：设f (x )是定义在R 上的增函数，f (xy )=f (x )+f (y )，