《函数的单调性和最大(小)值》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】

《函数的单调性与最大（小）值》教学设计第一课时函数的单调性通过观察一些函数图像的特征，形成增（减）函数的直观认识。

再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。

掌握用定义证明函数单调性的步骤。

函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

【知识与能力目标】1、结合具体函数，了解函数的单调性及其几何意义；2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质；3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。

【过程与方法目标】借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的思想，运用定义进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好的思维习惯。

【情感态度价值观目标】通过直观的图像体会抽象的概念，通过交流合作培养学生善于思考的习惯。

【教学重点】函数单调性的概念。

【教学难点】判断、证明函数单调性。

从观察具体函数图像引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

(一)创设情景，揭示课题德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。

他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y 是时间间隔t 的函数。

艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图：思考1:当时间间隔t 逐渐增大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ （二）研探新知观察下列各个函数的图像，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？○2能否看出函数的最大、最小值？○3函数图像是否具有某种对称性？画出下列函数的图像，观察其变化规律：（1）f(x) = x （2）f(x) = x2思考1：这两个函数的图像分别是什么？二者有何共同特征？思考2：如果一个函数的图像从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？思考3：如图为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图像，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1＜x2时， f(x1)与f(x2)的大小关系如何？思考4: 我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D 上是增函数”？1、函数单调性定义（1）增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）。

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义。

（学生活动）注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 。

2、函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

（三）例题讲解例1 、如图是定义在闭区间[-5，6]上的函数y=f(x) 的图像，根据图像说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数。

例2 、物理学中的玻意耳定律()kP k V=为正常数告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大. 试用函数的单调性定义证明。

例3、试确定函数1()x f x x-=在区间(0,)+∞上的单调性。

3、判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。

（四）课堂练习：1、课本P 38练习第3题；2、证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数。

3、借助计算机作出函数y =－x 2+2 | x | + 3的图像并指出它的的单调区间。

思考：画出反比例函数xy 1=的图像。

○1 这个函数的定义域是什么？ ○2 它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论。

说明：本例可利用几何画板、函数图像生成软件等作出函数图像。

（五）课堂小结函数的单调性一般是先根据图像判断，再利用定义证明。

画函数图像通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论。

（六） 布置作业1、 书面作业：课本P 45 习题1．3（A 组） 第1- 5题。

2、提高作业：设f (x )是定义在R 上的增函数，f (xy )=f (x )+f (y )，○1 求f (0)、f(1)的值； ○2 若f (3)=1，求不等式f (x )+f (x -2)>1的解集。

略。

第二课时函数的最大（小）值在函数单调性基础上，学生已经体会了在定义域范围内函数值大小的变化，本节课将这种函数值大小更加具体化，进一步认识在定义域范围内函数的最大、最小值，并初步接触简单的求函数最大、最小值的方法，同时对于常见函数模型有进一步的接触和认识。

【知识与能力目标】1、理解函数的最大（小）值及其几何意义；2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

【过程与方法目标】通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图像的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图像的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识。

【情感态度价值观目标】利用函数的单调性和图像求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性。

【教学重点】函数的最大（小）值及其几何意义。

【教学难点】利用函数的单调性求函数的最大（小）值。

引导学生进行课前复习和预习，加强对函数单调性的认识，对函数最大、最小值有个初步的认识和了解。

(一)创设情景，揭示课题问题提出：1、确定函数的单调性有哪些手段和方法？2、函数图像上升与下降反映了函数的单调性，如果函数的图像存在最高点或最低点，它又反映了函数的什么性质？（二）研探新知观察下列两个函数的图像：思考1:这两个函数图像有何共同特征？函数图像上最高点的纵坐标叫什么名称？思考2:设函数y=f(x)图像上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？思考3:设函数f(x)=1-x2，则f(x)≤2成立吗？f(x)的最大值是2吗？为什么？思考4:怎样定义函数f(x)的最大值？用什么符号表示？函数最大（小）值定义（1）最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M 是函数y =f (x )的最大值（Maximum Value ）。

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y =f (x )的最小值（Minimum Value ）的定义。

（学生活动）注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。

（三）例题讲解例1、（教材P 37例4）求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值。

例2、（新题讲解）一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系。

设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%102055(⋅+x，于是得 y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x。

由于)%102055(⋅+x≤1，可知0≤x ≤90。

因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题。

将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600。

由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）。

所以该客房定价应为135元。

（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图像确定函数的最大（小）值。

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法。

○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；○2利用图像求函数的最大（小）值；○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式。

（四）课堂练习：1、教材P38练习4。

2、如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，25如果矩形一边长为x，面积为y，试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图像，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？（五）课堂小结本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图像法②单调法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域。

（六）布置作业课本P45习题1．3（A组）第6、7、8题。