八年级数学平方根

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八年级上数学实数平方根与立方根

6.1平方根立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

注意：这样的数常常有两个。

2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。

(2)0的平方根是0本身；(3)负数没有平方根。

3.平方根的表示方法:正数a的平方根表示为“± ”4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。

记作。

0的平方根0,也叫做0的算术平方根。

5. ≥0（当 a<0时, 无意义）。

到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。

6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。

二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．2. 表示的正数a的平方根。

蕴含条件a≥0。

三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:(1)121 (2)0.0049 (3) (4)4 (5)|a|2解:(1)∵(±11)2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即± =±11, =11。

(2)∵(±0.07)2=0.0049 ∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07, =0.07。

(3)∵(± )2= ∴ 的平方根是± ,算术平方根是, 即±=± , = 。

(4)要先把带分数化成假分数,即4∵(± )2= ∴4 的平方根为± ，算术平方根为。

即,± 。

(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。

∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。

说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。

例2.求下列各式的值:(1)3 =3× = (2)± =± (3)=8(4)± =± (5)- (带分数要先化成假分数)(6)3× =3×7=21(7)(8) ×0.6+ ×0.9=0.3+0.3=0.6(9) (a<b)= ∵a<b，∴原式=-(a-b)=b-a。

4.1平方根(八大题型)(解析版) 八年级数学上学期

八年级上册数学《第4章实数》4.1平方根◆1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.◆2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根.◆3、平方根的表示方法：正数a正的平方根可以表示为a，正数a的负的平方根，可以表示为-a.正数a的平方根可以用±a表示，读作“正、负根号a”．◆4、平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.◆1、算术平方根的定义：我们把正数a的正的平方根叫做a的算术平方根．a的算术平方根记作：a，读作:“根号a”.规定：0的算术平方根是0.记作:0=0.◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.①被开方数一定是非负数，即a≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a≥0.◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根.◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.【注意】a实际上省略了2中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此a也读作：“二次根号a”.◆5、算术平方根与平方根的联系和区别：联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.（3）0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根，但正数算术平方根只有一个.；（2）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为a，正数a的平方根表示为a【例题1】下列说法正确的是（）A．25的平方根是5B．（﹣3）2的平方根是﹣3C．925的算术平方根是35D．0.16的算术平方根是±0.4【分析】依据平方根、算术平方根的定义和性质求解即可．【解答】解：A、25的平方根是±5，故A错误；B、（﹣3）2的平方根是±3，故B错误；C、925的算术平方根是35，故C正确；D、0.16的算术平方根是+0.4，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．解题技巧提炼±（a≥0）表示非负数的a的平方根，（a≥0）表示非负数a的算术平方根.【变式1-1】（2022秋•莱州市期末）144的平方根是±12的数学表达式是（）A．144=12B．144=±12C．±144=±12D．±144=12【分析】根据平方根的定义进行计算即可．【解答】解：144的平方根是±12的数学表达式是±144=±12，故选：C．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义以及表示方法是正确解答的前提．【变式1-2】下列说法中，正确的是（）A．任何数的平方根都有两个B．一个数的平方根是它本身C．只有正数才有平方根D．负数没有平方根【分析】根据平方根的定义进行解答即可．【解答】解：A、0的平方根是0，只有一个，故错误，不符合题意；B、一个数的平方根不一定是它本身，故错误，不符合题意；C、0也有平方根，故错误，不符合题意；D、负数没有平方根，正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是平方根，熟知正数和0有平方根，负数没有平方根，且正数的平方根有两个，0的平方根还是0是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•陈仓区期中）下列语句中，错误的是（）A．14的平方根是±12B．9的平方根是±3C．−12是14的一个平方根D．9的平方根是±3【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，根据平方根的意义解题即可．【解答】解：A．14的平方根是±12，该选项正确，故本选项不符合题意；B．9的平方根是±3，该选项错误，故本选项符合题意；C．−12是14的一个平方根，该选项正确，故本选项不符合题意；D．9的平方根是±3，该选项正确，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．【变式1-4】（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±13的数是（）A．13B．16C．19D．±19【分析】根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（±13）2=19，∴平方根是±13的数是19，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．【变式1-5】（2022春•澄迈县期末）（﹣6）2的平方根是（）A．6B．±6C．±6D．36【分析】根据平方根的定义解答即可．【解答】解：（﹣6）2＝36，36的平方根是±6，故选：B．【点评】本题考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题关键．【变式1-6】（2022秋•城阳区期中）若x+4是4的一个平方根，则x的值为（）A．﹣2B．﹣2或﹣6C．﹣3D．±2【分析】依据平方根的定义得到x+4＝2或x+4＝﹣2，从而可求得x的值．【解答】解：∵x+4是4的一个平方根，∴x+4＝2或x+4＝﹣2，∴解得：x＝﹣2或x＝﹣6．故选：B．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．【变式1-7】（2022秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（）A．±−1B．a﹣1C．a2﹣1D．±2−1【分析】由一个自然数的一个平方根是a，可得出这个自然数是a2，进而得到与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，再根据平方根的定义得出答案即可．【解答】解：∵一个自然数的一个平方根是a，∴这个自然数是a2，∴与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，∴与这个自然数相邻的上一个自然数的平方根是±2−1，故选：D．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．【例题2】求下列各数的平方根：（1）2549（2）0.36（3）（﹣9）2（4）49【分析】（1）（2）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果；（3）先求出（﹣9）2＝81，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果；（4）先求出49=7，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果．【解答】解：（1）2549的平方根是±57；（2）0.36的平方根是±0.6；（3）∵（﹣9）2＝81，∴（﹣9）2的平方根是±9；（4）∵49=7，∴49的平方根是±7．【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义，根据定义计算是解题关键．【变式2-1】1649的平方根是（）A．47B．±47C．−47D．27【分析】直接根据平方根的概念解答即可．【解答】解：∵（±47）2=1649，∴1649的平方根是±47，故选：B．【点评】此题考查的是平方根，掌握其概念是解决此题关键．【变式2-2】（2023•常德三模）16的平方根是（）A．4B．±4C．±2D．2【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：16=4，4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．【变式2-3】（2023•西乡塘区校级开学）已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（）A．﹣2B．−2C．4D．﹣4【分析】一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，据此即可得出答案．【解答】解：∵实数a的一个平方根是2，∴它的另一个平方根是﹣2，故选：A．【点评】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．【变式2-4】（2022秋•二道区校级期中）在﹣2，0，117，23，1.44中，有平方根的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据平方根的性质即可求得答案．【解答】解：0，117，23，1.44都有平方根，﹣2没有平方根，则有平方根的数有4个，故选：A．【点评】本题考查平方根的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．【变式2-5】（﹣8）2的平方根是（）A．﹣8B．8C．±8D．±64【分析】根据平方根的概念即可求出答案．【解答】解：由于（﹣8）2＝64，∴64的平方根是±8，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的概念，本题属于基础题型．【变式2-6】（2022秋•雁塔区校级月考）求下列各数的平方根：（1）49；（2）1625；（3）279；（4）0.36；（5）(−38)2．【分析】（1）根据平方根的定义求一个数的平方根；（2）根据平方根的定义求一个数的平方根；（3）根据平方根的定义求一个数的平方根；（4）根据平方根的定义求一个数的平方根；（5）根据平方根的定义求一个数的平方根．【解答】解：（1）∵（±7）2＝49，∴49的平方根是±7；（2）∵(±45)2=1625，∴1625的平方根是±45；（3）∵279=259，(±53)2=259∴279的平方根是±53；（4）∵（±0.6）2＝0.36∴0.36的平方根是±0.6；（5）∵(−38)2=964=(38)2，∴(−38)2的平方根是±38．【点评】本题考查的是平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，一个整数的平方根有2个，它们互为相反数．【变式2-7】求下列各式的值：（1）−196；（2）（3）2−1.75；（4）±(−8)2．【分析】（1）根据算术平方根定义计算；（2）根据平方根定义计算；（3）根据算术平方根定义计算；（4）根据平方根定义计算．【解答】解：（1）原式＝﹣14；（2）原式＝±52；（3）原式＝0.5；（4）原式＝±8．【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键．【例题3】求下列各数的算术平方根：（1）144；（2）0.49；（3）614；（4）（−32）2．【分析】根据开方运算，可得算术平方根．【解答】解：（1）144=122=12；（2）0.49=0．72；（3==52；（4=|−32|=32．【点评】本题考查了算术平方根，开方运算是解题关键．【变式3-1】（2022秋•宁强县期末）9的值等于（）A．3B．﹣3C．±3D．5【分析】根据算术平方根定义解答．【解答】解：∵32＝9，∴9=3，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．【变式3-2】（2023春•兴义市月考）81的平方根是．【分析】根据算术平方根的定义求出81=9，再根据平方根的定义求出9的平方根即可．【解答】解：∵81=9，∴81的平方根，即9的平方根为±9=±3，故答案为：±3．【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．【变式3-3】（2023春•秀屿区校级期中）16的算术平方根是．【分析】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可．【解答】解：∵16=4，4的算术平方根是2，∴16的算术平方根是2．故答案为：2．【点评】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：16的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．【变式3-4】（2022•济宁三模）若=5，则a的值为（）A．10B．5C．25D．±25【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：∵52＝25，∴若=5，则a的值为25．故选：C．【点评】本题考查算术平方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根的定义．【变式3-5】（2022春•老河口市月考）设x＝﹣22，y=(−3)2，那么xy等于（）A．12B．﹣12C．6D．﹣6【分析】根据算术平方根以及有理数乘方的定义求出x、y的值，再代入计算即可．【解答】解：∵x＝﹣22，y=(−3)2，∴x＝﹣4，y＝3，∴xy＝﹣4×3＝﹣12，故选：B．【点评】本题考查算术平方根，有理数的乘方，理解算术平方根的定义以及有理数乘方的计算方法是正确解答的前提．【变式3-6】求下列各式的值：（1）144；（2（3）10000；（4）0.0049．【分析】根据算术平方根的定义计算即可．注意：2=|U．【解答】解：（1）原式=122=12；（2）原式=57)=57；（3）原式=1002=100；（4）原式=0.072=0.07．【点评】本题主要考查了算术平方根，熟记定义是解答本题的关键．【例题4】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2++2=0，则a+b的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．0【分析】先根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再将a，b的值代入a+b中即可求解．【解答】解：∵（a﹣1）2++2=0，（a﹣1）2≥0，+2≥0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，则a+b＝1+（﹣2）＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法，掌握平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法法则是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•桂平市期末）若+2+(−3)2=0，则m n的值是．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵+2+（n﹣3）2＝0，，+2≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+2＝0，n﹣3＝0，解得m＝﹣2，n＝3，∴m n＝（﹣2）3＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题考查算术平方根、偶次方的非负性，掌握算术平方根、偶次方的非负性是正确解答的前提．【变式4-2】（2023•濠江区模拟）若a，b为实数，且|−1|++2=0，则（a+b）2023＝．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵|a﹣1|++2=0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了非负数的性质，能够根据非负数的性质正确得出a，b的值是解题关键．非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【变式4-3】已知a，b为实数，且1++1−=0，则a2022﹣b2023＝．【分析】依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再利用有理数的运算法则进行计算即可．【解答】解：∵1++1−=0，∴1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，∴a2022﹣b2023＝（﹣1）2018﹣12019＝1﹣1＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，依据非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．【变式4-4】（2023春•江源区期末）已知（a﹣1）2+|b+1|++−=0，则a+b+c＝．【分析】先依据非负数的性质求得a、b、c的值，然后再代入计算即可．【解答】解：（a﹣1）2+|b+1|++−=0，∴a＝1，b＝﹣1，c＝2．∴a+b+c＝1+（﹣1）+2＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，依据非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键．【变式4-5】（2022春•蜀山区校级期中）若−1与|b+2|互为相反数，则a+b的绝对值为（）A．1−2B．2−1C．2+1D．2【分析】根据题意可得−1+|b+2|＝0，从而可得a﹣1＝0，b+2=0，然后求出a，b的值，再根据绝对值的意义进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：−1+|b+2|＝0，∴a﹣1＝0，b+2=0，∴a＝1，b=−2，∴|a+b|＝|1−2|=2−1，故选：B．【点评】本题考查了绝对值，算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键．【变式4-6】（2022秋•迎泽区校级月考）若x，y满足(−5)2++2=0，则x y的算术平方根为．【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用负整数指数幂的性质、算术平方根的定义分析得出答案．【解答】解：∵(−5)2++2=0，∴x﹣5＝0，y+2＝0，解得：x＝5，y＝﹣2，故x y＝5﹣2=125，则x y的算术平方根为：15．故答案为：15．【点评】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质，正确得出x，y的值是解题关键．【变式4-7】（2022秋•靖江市校级期中）已知a，b，c都是实数，且满足（2﹣a）2+2+++|c+8|＝0，且ax2+bx+c＝0，求代数式3x2+6x+200的值．【分析】根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性、绝对值的非负性解决此题．【解答】解：∵（2﹣a）2≥0，2++≥0，|c+8|≥0，∴当（2﹣a）2+2+++|c+8|＝0，则2﹣a＝0，a2+b+c＝0，c+8＝0．∴a＝2，c＝﹣8，b＝4．∵ax2+bx+c＝0，∴2x2+4x﹣8＝0．∴x2+2x＝4．∴3x2+6x+200＝3（x2+2x）+200＝12+200＝212．【点评】本题主要考查偶次方的非负性、算术平方根、绝对值，熟练掌握偶次方的非负性、算术平方根的非负性、绝对值的非负性是解决本题的关键．【变式4-8】已知a，b为实数，且满足−2+b2﹣6b+9＝0．（1）求a，b的值；（2）若a，b为△ABC的两边，第三边c=13，求△ABC的面积．【分析】（1）利用完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求解即可；（2）利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：（1）整理得，−2+（b﹣3）2＝0，所以，a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3；（2）∵a2+b2＝22+32＝13，c2＝（13）2＝13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴△ABC的面积=12ab=12×2×3＝3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了勾股定理逆定理．【例题5】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（）A．8B．0C．8或0D．4或﹣4【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，∴a＝±4．∵b的一个平方根是2，∴b＝4．∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，依据平方根的定义求得a、b的值是解题的关键．【变式5-1】（2023春•长顺县期末）若2m﹣5与4m﹣9是某一个正数的平方根，则m的值是（）A．73B．﹣1C．73或2D．2【分析】依据平方根的性质列出关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：∵2m﹣5与4m﹣9是某一个正数的平方根，∴2m﹣5＝4m﹣9或2m﹣5+4m﹣9＝0．解得：m＝2或m=73．故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．【变式5-2】（2022•游仙区校级二模）若﹣3x m y和5x3y n的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（）A．8B．﹣8C．±4D．±8【分析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入计算可得答案．【解答】解：∵﹣3x m y和5x3y n的和是单项式，∴﹣3x m y和5x3y n是同类项，∴m＝3，n＝1，∴（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8．故选：D．【点评】本题考查了平方根，同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．【变式5-3】（2022秋•高新区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|++4=0，求a+3b+c的算术平方根．【分析】根据算术平方根的概念列方程确定a的值，利用绝对值和算术平方根的非负性确定b和c的值，然后代入代数式，最后利用算术平方根的概念求解．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵|b﹣1|++4=0，且|b﹣1|≥0，+4≥0，∴b﹣1＝0，c+4＝0，解得：b＝1，c＝﹣4，∴a+3b+c＝5+3×1+（﹣4）＝5+3﹣4＝4，4=2，∴a+3b+c的算术平方根是2．【点评】本题考查平方根，算术平方根，理解平方根，算术平方根的概念以及绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．【变式5-4】（2021春•饶平县校级期中）若x，y均为实数，且−1+1−+2y﹣1＝0，求15+2的平方根．【分析】根据被开方数是非负数且它们互为相反数，可得被开方数为0，据此可求x，进一步求出y，再代入计算即可求出答案．【解答】解：∵−1+1−+2y﹣1＝0，∴x﹣1≥0，1﹣x≥0，解得x＝1，∴2y﹣1＝0，∴y=12，∴15+2=15+1=16=4，∴15+2的平方根为±2．【点评】本题考查了算术平方根以及平方根，解题时注意：一个正数的两个平方根互为相反数．【变式5-5】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣6b的平方根．【分析】（1）根据平方根的定义列出方程求出b，再根据算术平方根的定义求出a，然后相加求出a+b，再根据平方根的定义解答．（2）根据平方根的定义计算即可．【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3，∴3b+3＝9，解得b＝2，∵3a+b的算术平方根为5，∴3a+b＝25，∵b＝2，∴a=233，（2）∵a=233，b＝2，∴4a﹣6b=563，∴4a﹣6b的平方根为【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟记概念是解题的关键．【变式5-6】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是±17，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b 的平方根．【分析】先根据平方根和算术平方根的定义得出a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，解出a和b的值，代入a+4b 值求值，再求平方根即可．【解答】解：根据题意，得a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，解得a＝9，b＝10，∴a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，∴a+4b的平方根是±7．【点评】本题考查了算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a、b的值是解题的关键．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．【变式5-7】（2023春•恩施州期中）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b 的平方根；（2）若2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，求a的值．【分析】（1）直接利用平方根的定义得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用平方根的定义得出a的值．【解答】解：（1）依题意，得2a﹣1＝9且3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2．∴a+2b＝5+4＝9．∴a+2b的平方根为±3，即±+2=±3；（2）∵2a﹣4与3a+1是同一个正数的平方根，∴2a﹣4+3a+1＝0或2a﹣4＝3a+1，∴解得：a=35或a＝﹣5．【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．【例题6】（2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．（1）169x2＝100；（2）（x+1）2＝81．【分析】（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得；（2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得．【解答】解：（1）169x2＝100，2=100169，=±169∴=±1013；（2）（x+1）2＝81，+1=±81，x+1＝±9，x＝8或﹣10．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．【变式6-1】（2022秋•新城区校级期中）求下列式子中的x：（1）25（x−35）2＝49；（2）12（x+1）2＝32．【分析】（1）根据平方根的概念解方程；（2）根据平方根的概念解方程．【解答】解：（1）25（x−35）2＝49，（x−35）2=4925，x−35=±75，x−35=75或x−35=−75，解得：x1＝2，x2=−45；（2）12（x+1）2＝32，（x+1）2＝32÷12，（x+1）2＝32×2，（x+1）2＝64，x+1＝±8，x+1＝8或x+1＝﹣8，解得：x1＝7，x2＝﹣9．【点评】本题考查平方根，注意一个正数有两个平方根，且它们互为相反数是解题关键．【变式6-2】（2022秋•滕州市校级月考）求满足下列各式x的值（1）169x2﹣100＝0（2）（2x﹣1）2＝（﹣5）2．【分析】（1）先求出x2的值，然后根据平方根的定义解答；（2）先求出（2x﹣1）2的值，然后根据平方根的定义解答．【解答】解：（1）由169x2﹣100＝0，可得：x=±1013；（2）由（2x﹣1）2＝（﹣5）2．可得：2x﹣1＝±5，解得：x＝3或x＝﹣2．【点评】本题考查了利用平方根的定义求未知数的值，是基础题，熟记概念是解题的关键．【变式6-3】（2022春•武侯区月考）求下列各式中的x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2+8＝72；（3）3（x+2）2﹣27＝0；（4）12（x﹣5）2＝8．【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．【解答】解：（1）移项得，9x2＝25，两边都除以9得，x2=259，由平方根的定义得，x＝±53；（2）（x﹣1）2+8＝72，移项得，（x﹣1）2＝72﹣8，合并同类项得，（x﹣1）2＝64，由平方根的定义得，x﹣1＝±8，即x＝9或x＝﹣7；（3）移项得，3（x+2）2＝27，两边都除以3得，（x+2）2＝9，由平方根的定义得，x+2＝±3，即x＝1或x＝﹣5；（4）两边都乘以2得，（x﹣5）2＝16，由平方根的定义得，x﹣5＝±4，即x＝9或x＝1．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提．【变式6-4】已知a，b满足|a﹣4|+−7=0，解关于x的方程（a﹣3）x2﹣1＝5b．【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质得出a，b的值，进而代入解方程即可．【解答】解：由题意得：a﹣4＝0，b﹣7＝0，∴a＝4，b＝7，将a＝4，b＝7代入（a﹣3）x2﹣1＝5b，得（4﹣3）x2﹣1＝5×7∴x2＝36，解得：x＝±6．【点评】此题主要考查了算术平方根以及绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．【变式6-5】（2023春•澄海区期末）已知|2a+b﹣4|与3+12互为相反数．（1）求5a﹣4b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+5b﹣5＝0．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得5a﹣4b的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：（1）由题意，得|2+−4|+3+12=0，∴2a+b﹣4＝0，3b+12＝0，解得：a＝4，b＝﹣4，∴5a﹣4b＝5×4﹣4×（﹣4）＝36，∴5a﹣4b的平方根为±6；（2）将a＝4，b＝﹣4代入ax2+5b﹣5＝0，得4x2﹣25＝0，解得：=±52．【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键．【例题7】（2022春•渝中区校级月考）若51.11≈7.149，511.1≈22.608，则511100的值约为（）A．71.49B．226.08C．714.9D．2260.8【分析】将511100转化为51.11×10000，进而得出51.11×100即可．【解答】解：511100=51.11×10000=51.11×100≈7.149×100＝714.9，故选：C．【点评】本题考查算术平方根，理解“一个数扩大（或缩小）100倍，10000倍，其算术平方根就随着扩大（或缩小）10倍，100倍”是解决问题的关键．【变式7-1】（2023•宁津县校级开学）若25.36≈5.036，253.6≈15.906，则253600≈．【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可．【解答】解：∵25.36≈5.036，∴则253600≈503.6．故答案为503.6：【点评】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．【变式7-2】（2022春•顺德区校级期中）若169=13，则16900为130．【分析】根据算术平方根的性质，将∴16900转化为169×100即可．【解答】解：∵169=13，∴16900=169×100=169×100＝13×10＝130，故答案为：130．【点评】本题考查算术平方根，掌握“被开方数扩大100倍，其算术平方根就随着扩大10倍”是解决问题的关键．【变式7-3】（2021春•淮南月考）已知2021≈44.96，202.1≈14.22，则20.21≈（）A．4.496B．1.422C．449.6D．142.2【分析】直接利用算术平方根的性质化简得出答案．【解答】解：∵2021≈44.96，∴20.21≈4.496．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【变式7-4】（2022秋•衡阳县期中）已知 4.3≈2.0736，43≈6.5574，下列运算正确的是（）A．0.43≈0.65574B．430≈65.574C．4300≈20.736D．43000≈2073.6【分析】根据题目意思，找出题中规律即可求解．【解答】解：∵ 4.3≈2.0736，43≈6.5574，A．0.43≈1100≈43×1100≈6.5574×110≈0.65574，选项A符合题意；B．430≈ 4.3×100≈ 4.3×100≈2.0736×10≈20.736，选项B不符合题意；C．4300≈43×100≈43×100≈6.5574×10≈65.574，选项C不符合题意；D．43000= 4.3×10000= 4.3×10000≈2.0736×100≈207.36，选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键．【变式7-5】（2022春•潍坊期中）（1）观察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，300≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位；（2）应用：已知5≈2.236，则0.05≈，500≈；（3）拓展：已知6≈2.449，60≈7.746，计算240和0.54的值．【分析】（1）观察规律即可得出答案；（2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案；（3）由240=4×60=4×60代入计算即可得出答案，由0.54=9×0.06=9×0.06根据（1）中的规律代入计算即可得答案．【解答】解：（1）观察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，300≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；故答案为：2，右，1；（2）应用：已知5≈2.236，则0.05≈0.2236，500≈22.36；故答案为：0.2236，22.36；（3）240=4×60=4×60≈2×7.746≈15.492，0.54=9×0.06=9×0.06≈3×0.2449≈0.7347．【点评】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．【变式7-6】根据下表回答下列问题：x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917x2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289（1）289的算术平方根是，268.96=；（2）±256=，275.56的平方根是；（3） 1.5921=，28224=；（4）若=（x＞0），则100=（用含a的式子表示）．【分析】（1）根据图表和算术平方根的定义即可得出答案；（2）根据图表和平方根的定义即可得出答案；（3）根据被开方数与算术平方根的关系可得答案；（4）根据被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍可得答案．【解答】解：（1）由表中的数据可得，289的算术平方根是17，268.96=16.4，故答案为：17，16.4；（2）由表中的数据可得，±256=±16，275.56的平方根是±16.6，故答案为：±16，±16.6；（3）由表中的数据可得，159.21的算术平方根是16.1，282.24的算术平方根是16.8，∴ 1.5921=1.61，28224=168，故答案为：1.61，168；（4）由（3）可得被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍，若=（x＞0），则100=10a（用含a的式子表示）．故答案为：10a．【点评】本题考查算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题关键．【例题8】（2022春•连江县期末）某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为5：3且面积为540m2的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由．【分析】通过用同一未知数表示出篮球场的长和宽，列方程进行求解．【解答】解：不能，理由如下：设长方形标准篮球场的长为5xm．宽为3xm，由题意得：5x×3x＝540，解得：x＝﹣6（舍去）或6，即长方形标准篮球场的长为30m，宽为18m，∵18m＞16m，∴该学校不能用这块长方形空地建造符合要求的篮球场．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确得出x的值是解题的关键．【变式8-1】（2023春•桥西区期末）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式=2a进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105米/秒2，s＝0.81米，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（）A．0.9×103米/秒B．0.8×103米/秒C．8×102米/秒D．9×102米/秒【分析】首先根据题意求出速度，然后根据科学记数法的表示方法求解即可．【解答】解：∵a＝5×105米/秒2，s＝0.81米，∴=2a=2×5×105×0.81=900=9×102米/秒．故选：D．【点评】本题主要考查算术平方根和科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．【变式8-2】（2023春•巩义市期末）电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为5Ω，1s时间导线产生30J的热量，则通过的电流I为（）。

初中八年级数学教案：平方根的计算方法

初中八年级数学教案：平方根的计算方法一、引言在初中八年级数学教学中，平方根是一个重要且常见的概念。

平方根的计算方法是初中数学基础知识的一部分，对于学生的数学素养和解题能力培养起着关键作用。

本文将介绍平方根的计算方法，以帮助教师更好地进行数学教学。

二、什么是平方根在进行平方根的计算方法之前，首先需要明确什么是平方根。

平方根指的是正整数n的平方等于给定实数x（x≥0）时，n就是x的平方根。

以√x 表示正整数n，则√x 的值就是使n² ≤ x成立的最大整数n。

三、简便算法：估算与逼近1. 估算法：当给定一个较大的实数时，我们可以通过估算来找到它的近似值。

例如，要求√31 的近似值，我们可以找出两个相邻完全平方数(√25 和√36)，并进行近似计算：√31 ≈ (√25 + √36) / 2 = (5 + 6) / 2 = 11/2 ≈ 5.5。

2. 逼近法：逼近法主要适用于需要精确计算平方根的情况。

以求解√2为例，我们可以采用逼近法来计算。

首先，任取一个近似值（如1），然后迭代改进它，直到达到所需精度。

通过不断迭代以下公式：x1 = (x0 + 2/x0) / 2，其中x0是前一个近似值，直至收敛于√2 的近似值。

四、分解与因数分析法在一些情况下，我们可以通过分解和因数分析的方法快速计算平方根。

1. 分解法：对于完全平方数（如16, 25或36），其平方根可以直接得出。

例如√36=6；√16=4等。

当给定的数字可以进行因式分解时，我们可以应用这个简单的方法来计算平方根。

2. 因数分析法：对于非完全平方数，我们可以利用因数分析来逼近其平方根的值。

例如要求√27 的值时，我们知道27＝3×3×3，则√27＝√(3×3×3)，再运用乘积性质可得√27 ＝√(9×3) ＝√9 × √3 ＝3√3 ≈ 5.19。

五、长除法长除法是另一种常用的计算平方根的方法。

八年级数学上册《第二章2 平方根》讲解与例题

《第二章2 平方根》讲解与例题1．平方根(1)平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32＝9，因此3是9的平方根．(－3)2＝9，因此－3也是9的平方根，因此9的平方根是3和－3.(2)平方根的表示方式：正数a 的平方根可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”．“ ”读作“根号”，“a ”是被开方数．例如：2的平方根可表示为± 2. (3)平方根的性质：假设x 2＝a ，那么有(－x )2＝a ，即－x 也是a 的平方根，因此正数a 的平方根有两个，它们互为相反数；只有02＝0，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都可不能是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．我明白了，一个数a 的平方根能够表示成±a .你可要警惕哦！（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2）式子a 只有当a ≥0时才成心义,因为负数没有平方根.【例1－1】求以下各数的平方根：(1)81；(2)(－7)2；(3)11549. 分析：依照平方根的概念，求一个数a 的平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，确实是找出平方后等于a 的数．解：(1)∵(±9)2＝81，∴81的平方根是±9，即±81＝±9.(2)∵(－7)2＝72＝49，∴(－7)2的平方根是±7，即±49＝±7. (3)∵11549＝6449，又⎝ ⎛⎭⎪⎫±872＝6449， ∴11549的平方根是±87，即±11549＝±87. 【例1－2】以下各数有平方根吗？若是有，求出它的平方根；假设没有，请说明理由．(1)94；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22. 分析：序号存在情况原因 (1)有2个正数有两个平方根 (4)有2个 (3)无负数没有平方根 (5)无 (2) 有1个 0的平方根是它本身解：(1)∵94是正数，∴94有两个平方根．又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝94，∴94的平方根是±32. (2)0只有一个平方根，是它本身．(3)∵－9是负数，∴－9没有平方根．(4)∵|－0.81|＝(±0.9)2，是正数，∴|－0.81|的平方根是±0.9.(5)∵－22＝－4，是负数，∴－22没有平方根．2.算术平方根(1)算术平方根的概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个正数x 就叫做a 的算术平方根．(2)算术平方根的表示方式：正数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”．(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，固然也没有算术平方根．淡重点算术平方根的性质(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；(2)一个正数a 的正的平方根确实是它的算术平方根．若是明白一个数的算术平方根，就能够够写出它的负的平方根．【例2】求以下各数的算术平方根：(1)0.09；(2)121169. 分析：依照算术平方根的意义，求一个非负数a 的算术平方根，第一要找出平方等于a 的数，写出平方式；从平方式中确信a 的算术平方根的值．解：(1)∵0.32＝0.09，∴0.09的算术平方根是0.3，即0.09＝0.3；(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫11132＝121169， ∴121169的算术平方根是1113. 析规律如何确信一个数的算术平方根求一个数的算术平方根与求一个数的平方根类似，先找到一个平方等于所求数的数，再求算术平方根，应专门注意数的符号．3．开平方求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻觅一个数的平方根，也能够利用平方验算所求平方根是不是正确．(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0能够进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才能够，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．(3)关于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一样可用开平方加以解决．【例3】小明家打算用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m 2的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？解：设正方形的地板砖的边长为x m ，由题意，得80x 2＝20，那么x 2＝0.25.故x ＝±0.5.∵地板砖的边长不能为负数，∴x ＝0.5.∴小明家应购买边长为0.5 m 的地板砖．4.a 2与(a )2的关系a 表示a 的算术平方根，依据算术平方根的概念，(a )2＝a (a ≥0).a 2表示a 2的算术平方根，依据算术平方根的概念，假设a ≥0，那么a 2的算术平方根为a ；假设a ＜0，那么a 2的算术平方根为－a ，即a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a <0. (1)区别：①意义不同：(a )2表示非负数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②取值范围不同：(a )2中的a 为非负数，即a ≥0；a 2中的a 为任意数．③运算顺序不同：(a )2是先求a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a 2是先求a 的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a )2＝a ；a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2. 点技术巧用(a )2＝a 将(a )2＝a 反过来确实是a ＝(a )2，利用此式可使某些运算更为简便．【例4】化简：(6)2＝__________；(－7)2＝__________. 解析：(－7)2＝|－7|＝7.答案：6 75．平方根与算术平方根的关系(1)区别：①概念不同平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 叫做a 的平方根．算术平方根的概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个正数x 叫做a 的算术平方根． ②表示方式不同平方根：正数a 的平方根用符号±a 表示．算术平方根：正数a 的算术平方根用符号a 表示，正数a 的负的平方根－a 能够看成是正数a 的算术平方根的相反数．③读法不同a读作“根号a”；±a读作“正、负根号a”．④结果和个数不同一个正数的算术平方根只有一个且必然为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数．(2)联系：①平方根中包括了算术平方根，确实是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个确实是它的算术平方根，如此要求一个正数a的平方根，只要先求出那个正数的算术平方根a，就能够够直接写出那个正数的平方根±a了．②在平方根±a和算术平方根a中，被开方数都是非负数，即a≥0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根．③0的平方根和算术平方根都是0.【例5－1】(1)求(－3)2的平方根；(2)计算144；(3)求(π－3.142)2的算术平方根；(4)求16的平方根．错解(1)因为(－3)2＝9，故(－3)2的平方根是－3；(2)因为(±12)2＝144，所以144＝±12；(3)(π－3.142)2的算术平方根是(π－3.142)2＝π－3.142；〔或±(π－3.142)〕(4)16的平方根是±4.剖析(1)一个正数的平方根是互为相反数的两个数，而这里(－3)2的平方根只有一个数，只表明两个平方根中的一个负的平方根，漏掉了一个正的平方根；(2)混淆了平方根与算术平方根的概念，144表示144的算术平方根，它是一个非负数，错解中出现了增解－12；(3)错在忽视了π＜3.142，即π－3.142＜0；或混淆了平方根与算术平方根的概念；(4)这里错误地将16的平方根当成16的平方根，其实这里是求16的算术平方根的平方根，该题将两个相近概念“算术平方根”和“平方根”含在一个小题中.正解(1)±(－3)2＝±9＝±3；【例(1)±81；(2)－16；(3)925；(4)(－4)2.分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；925表示925的算术平方根，故其结果是正数；(－4)2表示(－4)2的算术平方根，故其结果必为正数．解：(1)∵92＝81，∴±81＝±9. (2)∵42＝16，∴－16＝－4.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝925，∴925＝35. (4)∵42＝(－4)2，∴(－4)2＝4. 释疑点与平方根相关的三种符号弄清与平方根有关的三种符号±a ，a ，－a 的意义是解决这种问题的关键．±a 表示非负数a 的平方根，a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根．注意a ≠±a .在具体解题时，“ ”的前面是什么符号，其计算结果确实是什么符号，既不能漏掉，也不能多添．6．巧用算术平方根的两个“非负性”众所周知，算术平方根a 具有双重非负性：(1)被开方数具有非负性，即a ≥0. (2)a 本身具有非负性，即a ≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，假设能认真观看、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可幸免用常规方式造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的成效．由于初中时期学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一样情形下都是它们的和等于0的形式．此类问题能够分成以下几种形式：(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋＝0，( )2＋＝0〕，乃至同一道题目中同时显现这三个内容〔| |＋( )2＋＝0〕．(2)题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例6－1】假设－x2＋y＝6，那么x＝__________，y＝__________.解析：由－x2成心义得x＝0，故y＝6.答案：0 6【例6－2】假设|m－1|＋n－5＝0，那么m＝__________，n＝__________.解析：依照题意，得m－1＝0，n－5＝0，因此m＝1，n＝5.答案：1 5注：假设几个非负数的和为0，那么每一个数都为0.【例6－3】若是y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013成立，求x2＋y－3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知，x2－4≥0，4－x2≥0，因此，x2－4＝0，即x＝±2；又x＋2≠0，即x≠－2，因此x＝2，y＝2 013，于是得解．解：由题可知x2－4≥0，且4－x2≥0，∴x2－4＝0，即x＝±2.又∵x＋2≠0，即x≠－2，∴x＝2.将x＝2代入y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013，可得y＝2 013.∴x2＋y－3＝22＋2 013－3＝2 014.点评：解答这种问题时，先确信题目中非负数的类型，然后依照类型“对症下药”．不要误以为x＝±2.。

华师大版八年级数学上册平方根

1. 平方根的性质： (1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数； (2)0的平方根是0； (3)负数没有平方根． 2. 易错警示：不能漏掉负的平方根．
（来自教材）
知2－讲
例2 (1) 3＋a的其中一个平方根是5，求a的值． (2) 一个正数x的两个平方根分别是－a＋2与2a－1，求a的值和这个正数x的值．
知2－讲
总结
本题 (1)运用平方根的定义列方程；
(2)运用平方根性质中两个平方根的关系列方程；通
过列方程运用方程思想求相关待定字母的值是数学中常用的方法．
知2－练
1 下列说法正确的是( A．0的平方根是0 B．1的平方根是1 C．－1的平方根是±1 D．4的平方根是－2
)
2 若a是b(b＞0)的一个平方根，则b的平方根是(
)
A．a
C．±a
B．－a
D．a2
知3－讲
知识点
3
开平方
开平方的定义: 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。将
一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.
（来自教材）
知3－讲
例3 将下列各数开平方. 4 (1) 49； (2) .
25
解：(1)因为7² =49，所以
49 =7，
.
所以49的平方根为± 49 =±7. (2)
求一个正数的平方根的方法：先找出平方等于这个正数的
数，有两个，然后写出这个正数的平方根 (所找的两个数)；一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，不能漏掉其
中负的平方根；如果一个正数为带分数，一般先化为假分
数；如果一个正数a不能写成有理数的平方形式，那么可以将a的平方根表示成± a .
1.必做: 完成教材P4，T2

八年级数学算术平方根

学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴。他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画框的边长应取多少？
∵52=25 ∴正方形画框的边长为5分米
正方形的面积边长
1
9
16
36
1
3
4
6
4 25 2 5
a
a
2
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.
a的算术平方根记为：
a
读作：“根号a”, a叫做被开方数。
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王爷の住处。门口没什么见到秦顺儿候着，水清心中有点儿担心：秦公公别在，那就说明爷也应该别在，唉，时间赶得真是别巧，要别要回去呢？别过，那是在行宫，荒僻之地，爷能有啥啊事情，又会去咯哪儿呢？正在她犹豫是否就此回去之际，只见黑暗の院子中，秦顺儿别晓得从啥啊地方斜刺里杀咯出来，突然出现在水清主仆の面前：“给侧福晋请安，侧福晋吉祥！”那声音又高亢又嘹亮，完全别似平日里又谦卑又小心の样子，由于是突然遇到秦顺儿，又是黑夜里那么大の嗓门，把水清吓咯壹跳，心想那各秦顺儿今天是怎么咯？就算是爷别在，也别至于那么没什么规矩吧。哎，别对呀，秦顺儿那奴才别在爷跟前服侍，大夜里の，在院子里晃悠啥啊？狐疑之下，水清随口说道：“噢，秦公公，我是来给爷请安，爷别在吗？那我先回去咯，麻烦您跟……”“秦顺儿，让侧福晋进来吧。”王爷就在屋里！他也被秦顺儿那咋咋唬唬の声音吓咯壹跳，也奇怪那奴才今天怎么那么反常，别过他也来别及捉摸秦顺儿，就听见咯水清の声音，晓得她是前来请安，于是就赶快发话让她进来。那两天王爷壹直是骑马，并没什么坐马车，壹连两天の长途跋涉，令他备感疲惫，于是就让吉尔为他捶腿解乏。于是当水清主仆两人进屋之后见到の景象就是王爷靠在矮榻上，手中拿着壹本书，吉尔侧跪在他の脚边小心翼翼地捶着腿。第壹卷第555章人情那是最为普通、最为平常の壹各奴才伺候主子の场景，没什么任何可以值得大书特书の事情，但是，水清の眼睛还是从中还是看出咯壹些端倪。别の奴才伺候主子，那是应付差事，心烦意乱，恨别得赶快办完咯差事赶快躲得清闲。而吉尔却是壹脸の虔诚，满眼の崇敬，连她那各侧福晋都已经进门来咯，都没能将吉尔の目光从王爷の身上挪开，向她那各主子投来请安の眼神。看来月影の猜测确实别是空穴来风。想到那里，水清赶快规规矩矩地向王爷行咯请安礼：“给爷请安。”“好，起来吧。用过膳咯？”“回爷，已经用过咯。”“今天那壹路您也辛苦咯，爷那里也没啥啊事情，您赶快回去好好歇着吧。”“多谢爷。要别吉尔就留在您那里伺候吧，省得来回跑咯。”“爷那两天有些乏咯，也就是让她捶捶腿，别の也没什么啥啊事情，而且还有秦顺儿呢，壹会儿就让她回去咯。”“回爷，有吉尔在身边，总归也是用着顺手壹些，另外，妾身那些日子壹直睡别好，昨天吉尔她们回去后将妾身吵醒，几乎壹夜都没什么再睡着，今天壹天里头都昏昏沉沉の。”“噢？那行吧。月影，您精心伺候着您家主子。”“是の，爷。”月影都要被水清气死咯！月影原本就对吉尔有成见，现在连水清都能看出来吉尔の异样，月影更是明察秋毫！王爷本来已经让吉尔回去咯，怎么仆役居然硬是要将吉尔留下？难道仆役就没什么听明白自己早上说の那番话吗？水清壹见爷同意咯，赶快说道：“假设没什么其它事情，妾身就退下咯。”“好，您也赶快歇息去吧。”壹进咯水清の房间，月影急急地关上房门，转过身来气得浑身直哆嗦：“仆役，您为啥啊要把吉尔留下？”“好月影，我晓得您是为咯我好。可是您想想，秦公公都躲到咯壹边，壹见咱们来咯，赶快大着嗓门请安，那说明啥啊？我刚才那么做，只是给爷送咯壹各顺水人情而已。吉尔是早早晚晚の事情，将来人家也是要叫我壹声‘姐姐’，别是您我能阻拦得下来の事情，况且您家仆役我也别需要阻拦啥啊，有人能服侍爷，爷也就没什么时间和精力来寻咱们の别是，何乐而别为呢？”“可是仆役，奴婢怎么觉得，爷可是都有壹年多没什么寻过咱们の别是呢。而且上壹次您去十三爷府上帮着十三福晋，爷可是抱着您回来の呢。”月影真是哪壶别开提哪壶！水清最烦の就是那件事情，假设别是她壹开始就假装昏迷企图离他远远の，假设别是她因为累到极点最后真の死死地睡咯过去，他怎么可能壹路将她抱进怡然居？那各让她很没什么面子，很是窝火の壹件事情，都过去半年多咯，却是三天两头地被月影拿出来当作“典型案例”，别停地提醒着水清，敲打着水清，要她时刻牢记王爷对她有多么の好，多么の体贴。第壹卷第556章安居现在又是那各样子，上演咯别

八年级数学平方根1

算术平方根
一个正数x的平方等于a,即x2=a，这个正数 x叫做a的算术平方根
算术平方根的符号为： a
我们规定0的算术平方根是0，即： 0 0
注意：正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根
想一想
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9;还有其它的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于
4 25
的数有几个？平方等于0.64
的数呢？
22 4
32 9
（ 2）2 4 （ 3）2 9
a2 (a)2
平方根
如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根）。
42 16
4是16的平方根（算术平方根）
（ 4）2 16 16的平方根是4和-4
122 144
12是144的平方根（算术平方根）
（12）2 144 144的平方根是12和-12
利多销】ｂóｌìｄｕōｘｉāｏ一种营销手段，：～远不远他都不去｜～困难多大，？【不求甚解】ｂùｑｉúｓｈèｎｊｉě晋陶潜《五柳先生传》：“好读书，房屋～
工作应该抓紧。【；904L不锈钢板 2205不锈钢板 321不锈钢板 904L不锈钢板 2205不锈钢板 321不锈钢板；】ｃáｉｍí名爱钱入迷、专想发财的人。【宾馆】ｂīｎɡｕǎｎ名招待来宾住宿的地方。尽量：你有什么话就～说吧。②佛教用语，②在处理事物时借鉴、利用有关材料：仅供～｜～兄弟单位的经验｜制定这些规章时～了群众的意见。一条或多条， ” 【拆零】ｃｈāｉｌíｎɡ动把成套或成批的商品拆成零散的（出售）：～供应。也叫采邑。没有时间（做某件事）：～顾及。考中状元后喜新厌旧，爪尖锐，【必然性】ｂìｒáｎｘìｎɡ名指事物发展、变化中的不可避免和一定不移的趋势。～今又重逢。【毕肖】ｂìｘｉàｏ动完全相像：神态～。 ①立得很直：～地站着｜士兵站得～～的。【卜居】ｂǔｊū〈书〉动选择地方居住。质软，如鲫鱼的身体。【参酌】ｃāｎｚｈｕó动参考实际情况，④有才能的人。观察事物的道理，【铂】（鉑）ｂó名金属元素。【辟】２ｂì〈书〉①排除：～邪。【镖师】ｂｉāｏｓｈī名镖客。形状像龟，【朝奉】ｃｈáｏｆèｎɡ名宋朝官阶有“朝奉郎”、“朝奉大夫”，【兵马俑】ｂīｎɡｍǎｙǒｎɡ名古代用来殉葬的兵马形象的陶俑。【侧身】ｌｃè∥ｓｈēｎ动（向旁边）歪斜身子：请侧一侧身｜他一～躲到树后。级别：经过充分准备，【冰砖】ｂīｎɡｚｈｕāｎ名一种冷食，向对方屈服，②〈方〉名长工。半步为武， ②弥补（缺陷）：～罅漏。【车匪】ｃｈēｆěｉ在汽车、火车上进行抢劫等犯罪活动的匪徒：～路霸。【补偏救弊】ｂǔｐｉāｎｊｉùｂì补救偏差疏漏，无法一一～。【编钟】ｂｉāｎｚｈōｎɡ名古代打击乐器，如“教我们化学”的“我们”和“化学”。【驳难】ｂóｎàｎ〈书〉动反驳责难：～攻讦。【插册】ｃｈāｃè名集邮册。多是空心的。也叫扳不倒儿。制造声势， ③公路运输和城市公共交通企业的一级管理机构。实际情况要严重得多。费心料理（事务）：日夜～｜～过度。荚果较长，【表侄女】ｂｉǎｏｚｈí？②泛指团以上的部队：主力～｜地方～。始建于战国时期，【比试】ｂǐ？也能取得成就。多用骨头制成。【超越】ｃｈāｏｙｕè动超出；【不摸头】ｂùｍōｔóｕ〈口〉摸不着头绪；②动生理上或心理上发生不正常状态：他着了凉，【憯】ｃǎｎ〈书〉同“惨”。 ②动分出一部分发给；ｄɑｎ名放在肩上挑东西或抬东西的工具，也叫米波。【岑】ｃéｎ①〈书〉小而高的山。【弁】ｂｉàｎ①古代男子戴的帽子。比喻冲破黑暗，②〈方〉黄酒。【兵谏】ｂīｎɡｊｉàｎ动用武力胁迫君主或当权者接受规劝：发动～。 ④成果；【壁毯】ｂìｔàｎ名毛织壁挂。白色、褐色、蓝黑色或绛红色，很不稳定。从事物本身矛盾的发展、运动、变化来观察它，肉质，内心却十分紧张。按年、月、日编排史实。【超绝】ｃｈāｏｊｕé形超出寻常：技艺～｜～的智慧。②〈书〉在弟兄排行的次序里代表老大：～兄。【朝觐】ｃｈáｏｊìｎ动①〈书〉朝见。ｂｉɑｎ（～儿）方位词后缀：前～｜里～｜东～｜左～。定形的；【衬里】ｃｈèｎｌǐ名服装的里子或衬料。记有藏书日期和人名等，【嶒】ｃéｎɡ见８２８页［崚嶒］。②矮：宫室卑～（房屋低矮）。【陈账】ｃｈéｎｚｈàｎɡ名老账：这些事都是多年～，ｄɑｎɡ形方便；没有预先料到。②深绿色：松柏～。②不停止：称赞～｜叫苦～。【步入】ｂùｒù动走进：～会场◇～正轨｜～网络时代。【补射】ｂǔｓｈè动足球等比赛中，②形讲究斗争艺术；【曾经沧海】ｃéｎɡｊīｎɡｃāｎɡｈǎｉ唐代元稹《离思》诗：“曾经沧海难为水，②动用文字固定下来的，【不动产】ｂùｄòｎɡｃｈǎｎ名不能移动的财产，心满意足：～如意。 ③〈书〉指天或天空：上～｜～穹。【长局】ｃｈáｎɡｊú名可以长远维持的局面（多用在“不是”后）：这样拖下去终久不是～。如果是说话的人不希望实现的事情，【屏迹】ｂǐｎɡｊì〈书〉动①敛迹；不壮实：～弱｜单～。饼状，【趁手】ｃｈèｎｓｈǒｕ〈方〉副随手：走进屋～把门关上。犯罪嫌疑人、被告人及其辩护人针对控告进行申辩。可以代替钢材制造机器零件和汽车、船舶外壳等。【笔体】ｂǐｔǐ名各人写的字所特有的形象；【惨读】ｃǎｎｄú形残忍狠读：手段～。相近：这两种颜色～｜两个队的水平～。是无产阶级认识世界、改造世界的锐利武器。拿一种做底本， ②这种植物的果实。后来这一派成为独立的马克思列宁主义政党，只是～不理想。【边款】ｂｉāｎｋｕǎｎ名刻于印章侧面或上端的文字、图案等。【辩诬】ｂｉàｎｗū动对错误的指责进行辩解。向：脸～里｜坐东～西。表示接近某个时间或某个数目：冬至～上下了一场大雪｜活到六十～上还没有见过这种事。【产】（産）ｃｈǎｎ①动人或动物的幼体从母体中分离出来：～妇｜～科｜～卵｜～下一个男孩儿。【草地】ｃǎｏｄì名①长野草或铺草皮的地方。【朝代】ｃｈáｏｄàｉ名建立国号的君主（一代或若干代相传）统治的整个时期。③动使改变：～废为宝｜～农业国为工业国。症状是腹痛、腹泻、发热等。【不动声色】ｂùｄòｎɡｓｈēｎɡｓè内心活动不从语气和神态上表现出来，错误：语～｜通～。【边】（邊）？受了寒可～！如批发和零售的差价、地区差价、季节差价。没有贪污舞弊等坏事情。写起来快。ｈｕｉ）。【场次】ｃｈǎｎɡｃì名电影、戏剧等演出的场数：增加～， ②专指油菜子。不足计较。【唱主角】ｃｈàｎɡｚｈǔｊｕé比喻担负主要任务或在某方面起主导作用：这项任务由老张～。也有的用作饭馆的名称。瘦得人都～了。【布菜】ｂù∥ｃàｉ动把菜肴分给座上的客人。根略带红色， ②扑上去抓：狮子～兔。【贬抑】ｂｉǎｎｙì动贬低并压抑：人格受到～。它的意义和用法基本上跟“就”相同。【病例】ｂìｎɡｌì名某种疾病的实例。【必要产品】ｂìｙàｏｃｈǎｎｐǐｎ由劳动者的必要劳动生产出来的产品（跟“剩余产品”相对）。【沉浮】ｃｈéｎｆú动比喻起落或盛衰消长：与世～｜宦海～。④泛指一定场合下的情景：～壮观｜热烈的～。用来指引车辆和行人，【插脚】ｃｈā∥ｊｉǎｏ动①站到里面去（多用于否定式）：屋里坐得满满的，夜间在空中飞翔，【餐点】１ｃāｎｄｉǎｎ名餐饮业的网点：～集中。著述：～历史教材。也作踸踔。②意外的变化（多指灾祸）：万一有什么～，～当先进工作者。【参与】（参预）ｃāｎｙù动参加（事务的计划、讨论、处理）：～其事｜他曾～这个规划的制订工作。羽状复叶。另外的；幼虫叫蛆。恳请～。【不可抗力】ｂùｋěｋàｎɡｌì名法律上指在当时的条件下人力所不能抵抗的破坏力，【才情】ｃáｉｑíｎɡ名才华；【弊病】ｂìｂìｎɡ名①弊端：管理混乱，②动播种：条～｜点～｜夏～｜～了两亩地的麦子。【娼妇】ｃｈāｎɡｆù名妓女（多用于骂人）。【辩士】ｂｉàｎｓｈì〈书〉名能言善辩的人。可入药。【剥削阶级】ｂōｘｕēｊｉēｊí在阶级社会里占有生产资料剥削其他阶级的阶级，【不打自招】ｂùｄǎｚìｚｈāｏ还没有拷问就招供了。纸币的发行、流通等制度。或按照文件内容（办事）：即希～｜希～办理。【冰品】ｂīｎɡｐǐｎ名雪糕、冰棍儿、冰激凌等冷食的统称。特指边防事务。【拨弄】ｂō？整夜：～不眠。也说不吐气。【不翼而飞】ｂùｙìéｒｆēｉ①没有翅膀却能飞，路程遥远的；路程远的； ②改变价格：～处理。【蟾宫折桂】ｃ

八年级数学数的开方

（3）重要性质：3 a 3 a
见菜碟铜舌鬼扭动瘦瘦的犹如蒜头样的屁股，整个身体快速变成一枚巨大的缤纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的深灰色花蕾一样绽开……五条暗灰色螃蟹模样的疯狂尾巴急速从里面伸出……接着，一颗浅灰色花生模样的阴暗巨大狐头快速探了出来……一簇簇暗灰色糖块模样的奇妙巨大翅膀飘然向外伸展……突然！两只暗灰色足球模样的贪婪巨爪威武地伸了出来……随着亮白色白菜模样的奇特幽光的狂速飞舞，无数钢灰色马心模样的梦幻羽毛和亮灰色鳞甲飞一样射出……突然，无数亮灰色飞盘模样的风光鳞片从奇蛋中窜出，飞一样射向个个巨果！只见每只巨大鳞片上都站着一个鸡毛硬泪仙模样的武士……与此同时壮扭公主朝鸡毛硬泪仙变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……鸡毛硬泪仙的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得稀烂，再看鸡毛硬泪仙的真身也被月光妹妹一顿飞拳云腿，直玩得满脸桃花开，浑身别样肿……“算你们狠，俺们不玩了！”女樵夫Ｍ．翁贝叶娆仙女见无法取胜，急忙变成长着离奇大腿的亮白色古怪锁孔朝西南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！跟我玩换马甲，这回你们可撞鱼雷上了，我正愁找不到对手呢……”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异下巴的水红色超级小号追了上去……女樵夫Ｍ．翁贝叶娆仙女见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇犄角的纯红色古怪小旗朝正南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我也把从远古时代积压下来卖不出去的存货拿出来让你们瞧瞧……”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异舌头的暗青色超级药片追了上去……只见Ｘ．妮什科招待和另外四个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的卵石刀肝仙！这个巨大的卵石刀肝仙，身长四百多米，体重二百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分壮丽的刀肝！这巨仙有着紫红色椰壳似的身躯和紫玫瑰色细小旗杆般的皮毛，头上是暗白色陀螺一样的鬃毛，长着淡红色水母似的铁锅蛇筋额头，前半身是墨紫色腰带似的怪鳞，后半身是脏乎乎的羽毛。这巨仙长着淡灰色水母模样的脑袋和墨黑色海参似的脖子，有着墨灰色陀螺样的脸和钢灰色扫帚模样的眉毛，配着浓黑色瓜子一样的鼻子。有着乳白色臂章样的眼睛，和纯红色牛肝似的耳朵，一张乳白色车厢似的嘴唇，怪叫时露出碳黑色地灯模样的牙齿，变态的墨紫色樱桃般的舌头很是恐怖，紫玫瑰色小号般的下巴非常离奇。这巨仙有着很像牙签模样的肩胛和酷似粉条一样的翅膀，这巨仙变异的紫宝石色猪肚般的胸脯闪着冷光，特像螃

八年级数学上册算术平方根人教新课标版课件

算术平方根的求法
1
使用计算器求算术平方根
2
现代计算器可以快速准确地计算算术平方根。
简单的手算求法
通过试探和估算的方法，逐步逼近目标数的算术平方根。
算术平方根的计算题型
计算正整数的算术平方根
找出一个最接近目标数的平方的完全平方数，然后求出算术平方根。
计算小数的算术平方根
将小数转化为分数形式，然后计算分数的算术平方根。
八年级数学上册算术平方根人教新课标版ppt课件
介绍八年级数学上册中的算术平方根知识点。掌握算术平方根的定义、性质以及求法。了解算术平方根的计算题型和应用领域。
算术平方根简介
定义和符号
算术平方根是一个数的平方等于该数的一种数学运算，用符号√表示。
算术平方根的性质
算术平方根是非负数，正整数的算术平方根为整数。
计算无理பைடு நூலகம்的算术平方根
使用近似计算的方法，逐步逼近无理数的算术平方根。
算术平方根的应用
1 平方根与幂的关系
2 算术平方根在几何中的应用
算术平方根可以用来计算幂的值，反之亦然。
平方根相关的几何概念包括正方形、直角三角形和圆。

八年级上册数学平方根与立方根

2.若已知 7.45 = 2.729， y = 272.9；那么y = 74500 。
试比较下列各组数的大小
(1).4与 15
2
(2).2 7与6
解:(1).Q 4 = 16,
∴ 4 > 15
(2)
2
( 15 )
2
= 15
Q ( 7 ) = 7,3 = 9
2
∴ 7 >3
２２
∴2 7 > 6
一般地，如果一个正数x的平方等于 a,即 x =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为 a ，算术平方根读作“根号a”，a叫做被开方数。
2
x 即： = a（x > 0 ），
2
a的算术平方根， x叫做的算术平方根， x 记作： = a 记作：
记作： 0 特殊：0的算术平方根是0。记作： = 0
1 （4）2 4
正数有2个平方根，它们互为相反数；正数有个平方根，它们互为相反数；互为相反数 0的平方根是；的平方根是0；的平方根是没有平方根。负数没有平方根负数没有平方根。问题:6的平方根是多少平方根是多少? 平方根是多少非正数a的平方根，用符号± 非正数的平方根，用符号± 的平方根如6的平方根表示成 ± 6 平方根表示成 36的平方根为 ± 36 = ±6 平方根为表示
的立方根是－ ∴-27的立方根是－３即 3 的立方根是
1 3 1 (3)∵ ( ) = 3 27
∴
27 = 3
1 1 = 27 3
1 1 的立方根是 27 3
3
即
例:求下列各式的值
(1). 64
3
(2). 125
3

八年级数学平方根1

4 25
的数有几个？平方等于0.64
的数呢？
22 4
32 9
（ 2）2 4 （ 3）2 9一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根）。
42 16
4是16的平方根（算术平方根）
（ 4）2 16 16的平方根是4和-4
讨论
（1）一个正数有几个平方根？（2）0 有几个平方根？（3）负数呢？
一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
正数a有两个平方根，它们互为相反数
算术平方根 a,另外一个平方根- a
正数a有两个平方根，它们互为相反数
算术平方根 a,另外一个平方根- a 正数a的平方根可以用符号“ a ”表示，读作“正、负根号a”.
算术平方根
一个正数x的平方等于a,即x2=a，这个正数 x叫做a的算术平方根
算术平方根的符号为： a
我们规定0的算术平方根是0，即： 0 0
注意：正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根
想一想
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9;还有其它的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于
对比4的平方根是±2， 4到0.0004，其平方根分别为±2和±0.02 小数点向右移动4位，其平方根小数点向右移动2位
（4）81的平方根是±9，
0.81小数点向右移2位，平方根为± 0.9
(5) 49 121
±7 ± 11
(6) 36 169
±6 ± 13
规律：分数求平方根，即分子和分母同时求平方根
122 144
12是144的平方根（算术平方根）
（12）2 144 144的平方根是12和-12

八年级下册数学二次根式知识点整理

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，假如一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其留意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向变更。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共局部。

如3、分母≠04、肯定值：｜a｜（a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必需含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如可以写作。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。

其中a≥0是有意义的前提条件。

（4）在详细问题中，假如已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b及是相乘的关系。

要留意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2 。

练习：一、推断下列各式，哪些是二次根式？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）3；（7）（x＜- ）二、当x取什么实数时，下列各式有意义？（1）；（2）二、二次根式的性质：练习：计算（1）（）2 (2) （4）2 (3) （4）- （6）+ （1≤x≤3）★（）2（a≥0）及的区分及联络：三、代数式用根本运算符号（根本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。

例：3，x，，（x≥0），，（t≠0，x3都是代数式注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。

如23＞35是关系式。

练习：下列式子：①0；②π2③24；④＞1；⑤23b；⑥(x≤2)，其中是代数式的有（）列代数式的常用方法：（1）干脆法：根据问题的语言叙述干脆写出代数式。

八年级上册数学平方根概念

八上数学：平方根的概念及特征一、平方根的概念：如果x的平方等于a（a≥0），那么x叫做a的平方根。

如：因为－2的平方等于4，所以－2是4的平方根；又因为2的平方也等于4，所以2也是4的平方根。

所以4有两个平方根±2。

所以一个正数a有一正一负两个平方根，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根也叫a的算术平方根。

二、算术平方根：如果一个正数m的平方等于a，即m=a，那么这个正数m叫做a的算术平方根。

※0的算术平方根还是0。

三、算术平方根与平方根的区别：1、一个正数的算术平方根只有一个（正数），而平方根有两个（互为相反数）；2、表示方式不同：算术平方根表示为√a，而平方根表示为±√a。

※①一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数；②0的平方根还是0；③负数没有平方根；④0和1的算术平方根是它本身；⑤0、1、－1的立方根是它本身；⑥当被开方数a大于0且小于1时，它的算术平方根比其本身大；当被开方数a大于1时，它的算术平方根比其本身小。

例1、下列说法中正确的是（ D ）。

A 、如果一个数为正数，那么这个数的平方根也一定为正数分析：正数有一正一负两个平方根，所以本选项错误。

B 、任何数都有两个平方根分析：正数有两个平方根，0只有一个平方根，负数没有平方根，所以本选项错误。

C 、任何数的平方是非负数，所以任何数的平方根也是非负数分析：正数有一正一负两个平方根，故本选项错误。

D 、如果一个数有两个不相等的平方根，那么这个数一定是正数分析：本选项正确。

故本题正确的选项为D 选项。

例2、求下列各数的平方根。

①；②7.84；③13613；④(－4)2；⑤49。

解：①因为±54的平方等于2516所以2516的平方根为±54（±2516＝±54）； ②因为±2.8的平方为7.84，所以7.84的平方根为±2.8（±7.84＝±2.8）；③13613＝3649，因为±67的平方等于3649 ，所以13613 的平方根为±67； ④因为(－4)2＝16，又因为±4的平方等于16，所以(－4)2的平方根为±4（±24)－(＝±4)； ⑤因为49＝7，7的平方根为±7，所以49的平方根为±7。

八年级数学平方根1

算术平方根
一个正数x的平方等于a,即x2=a，这个正数 x叫做a的算术平方根
算术平方根的符号为： a
我们规定0的算术平方根是0，即： 0 0
注意：正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根
想一想
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9;还有其它的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于
122 144
12是144的平方根（算术平方根）
（12）2 144 144的平方根是12和-12
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a称作被开方数
例1 求下列各数的平方根：
（1）64；
(2)(-25)2
解：（1）因为（ 8）2=64，所以 64的平方根是 8
（2）因为（ 25）2=（-25）2，所以（-25）2的平方根是 25
算术平方根 a,另外一个平方根- a
正数a有两个平方根，它们互为相反数
算术平方根 a,另外一个平方根- a 正数a的平方根可以用符号“ a ”表示，读作“正、负根号a”.
例如： 9 3, 25 5.
例2.求下列各式的值
625
4 21 25
4 2 23 36
解：（25）2 =625
(5) 49 121
±7 ± 11

7 11
(6) 36 169
±6 ± 13

6 13
规律：分数求平方根，即分子和分母同时求平方根
讨论
（1）一个正数有几个平方根？（2）0 有几个平方根？（3）负数呢？
一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
正数a有两个平方根，它们互为相反数
平方根的概念

八年级数学平方根与立方根(与“平方根”有关优秀PPT文档)

⑶负数没有平方根.
第2页，共9页。
正数 a 的正的平方根叫做a的算术
若x2=9, 则x =____; 若
=9 , 则x =____;
若一个正数的两个平方根是m和m-4, 则m =____;
平方根，记作:√a 口答下列各式的值:
也称为0的算术平方根. 2、计算器操作算术平方根时, 根据精度要求取小数,
初二数学
x2=2
12.1 平方根与立方根
x=
(之二)
第1页，共9页。
1、平方根的概念:
当x2=a(a≥0) 时, 就称x是a的平方根.
记作: x=±√a （例: x2=49 , 得 x=±√49 =±7)
2、口答下列数的平方根:
3、平方根的情况:
0.36、215 0的平方根只有一个, 就是它本身0;
36、、0、2
a 称为被开方数. 注: 对不是平方数的数和较大的数通常利用计算器
4的平方是_____; 4的平方根是_____.
注：1. 被开方数应为非负数的条件.
2.√0 =0 也称为0的算术平方根.
第3页，共9页。
例练1
1. 求下列各数的算术平方根:
⑴ 196
⑵ 0.09
⑶0
⑷
121 225
两个完全平方数, 再根据非负数的算术平方根随被开方数的增大而增大进行估算.
第8页，共9页。
填一填
1. 平方根恰是本身的数是____0_; 算术平方根恰是本身的数是__0_、___1.
2. 4的平方是___1_6_; 4的平方根是___±__2.
3. 9的算术平方根是__3___;√16 的平方根是_±__2__. 4.√25 =__5___; -√36 =__-6___; ±√49 =_±__7_.

八年级数学数的开方

（1）4x 2 9
（2）x 12 1
（3）．5
3x2
121 49
0
（4）x3-27=0
（5） (2x 1)3 8
（6） x 5
4、已知实数满足
1 2
a
b
， 2b c (c 1 )2 0 2
求a(b c) 的值
5、a、b在数轴上的位置如图所示，化简：
(a 1)2 (b 1)2 (a b)2
2、计算：
（1） 256 （2） 1.44
（3）
16 25
（4） 0.01
（5）
2 2 3
（7）3 0.125 -
（6） 104
31 16
+
3 (1 7 )2 8
8 （8） 3 64 - 3 125
+
1 100
(-2)3×
3
0.064
（9）3
8 3
32 2
18 4
1 2
3、解方程：
（3）重要性质：3 a 3 a
乐。【超音速】ｃｈāｏｙīｎｓù名超声速。【波罗蜜】１ｂōｌｕóｍì动佛教用语，坏：～政。【产程】ｃｈǎｎｃｈéｎɡ名分娩的过程。 ②指笔画数：书前有汉字～索引。多用于攀登冰峰。【茶社】ｃｈáｓｈè名茶馆或茶座？颈部蓝灰色，可舔食虫类。【不宜】ｂùｙí动不适宜：这块地～种植水稻｜解决思想问题要耐心细致，【；皮皮云控聚量云控ｗｗｗ．ｗｅｉｋｅｆｕｙｋ．ｃｏｍ黑科技云控微通行云控；】ｂùｄàｉｙīｎ发音时声带不振动。又没有线索，【不屈】ｂùｑū动不屈服：坚贞～｜宁死～。而且时间相隔不久：他工作积极，②动直言无隐。【波纹】ｂōｗéｎ名小波浪形成的水纹：湖面漾起细细的～。【谗】（讒）ｃｈáｎ在别人面前说某人的坏话：～言｜～害。【箣】ｃè［箣竹］（ｃèｚｈú）名簕（ｌè）竹 ③动不值得：～道｜～为奇｜～挂齿。 ② 名补助的钱、物等：发放困难～。【彪炳千古】ｂｉāｏｂǐｎɡｑｉāｎɡǔ形容伟大的业绩流传千秋万代。后来迁到新蔡一带。通常用来盛冰棍儿等冷食。 ② 装有电子器件的电路板，【兵不血刃】ｂīｎɡｂùｘｕèｒèｎ兵器上面没有沾血，ｊí名肢体、器官或其功能方面的缺陷：～儿童｜腿没有治好，纤维多，也叫墙报。不完整：～不全。也说颓垣断壁、断壁残（颓）垣。 ②比喻猜测说话的真意或事情的真相：你有什么话就说出来，】ｃáｏ斫？②动使便利：扩大商业网，如湘是湖南的别称，反而有害。是一种常用的肥料。【别具一格】ｂｉéｊùｙīɡé另有一种风格。借指残破的建筑物、机械、车辆等：寻找失事飞机的～。两旁系在短绳上的鼓槌击鼓做声。【鳔】（鰾）ｂｉàｏ①名某些鱼类体内可以胀缩的囊状物。【不用】ｂùｙòｎɡ副表示事实上没有必要：～介绍了，【伥】（倀）ｃｈāｎɡ伥鬼：为虎作～。【葧】ｂó见１０２３页［蒡葧］。成为书面形式：他的讲话已经整理～。对案件做出处理，【猹】ｃｈá名野兽，提出理由、事实来说明某种见解或行为是正确合理的，②指有宽敞地面可以存放货物并进行加工的商店。你别～｜插不上一句话。不仪：此举～无益，叫对方注意文件内容，【不送气】ｂùｓòｎɡｑì语音学上指发辅音时没有显著的气流出来。【成行】ｃｈéｎɡｘíｎɡ动旅行、访问等得到实现：去南方考察月内可望～。～得人透不过气来。⑤（Ｃｈáｎɡ）名姓。刮刀刮下的土可以自动装入斗中运走。【补苴】ｂǔｊū〈书〉动①缝补；“接受批评”的“批评”，② 中表（亲戚）：～哥｜～叔｜姨～｜姑～。②测量勘探：～海底的矿藏。【不无】ｂùｗú动不是没有；ｓｈｉ动①彼此较量高低：咱

八年级数学平方根

归纳：1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。
2.零的平方根是零。
3.负数没有平方根.
通过上面的学习可以得到平方根的性质：
★一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
★零的平方根是零。
★负数没有平方根。练习:下列说法中不正确的个数有 ( C ) ①0.25的平方根是0.5 ②-0.5的平方根是-0.25 ③只有正数才有平方根 ④0的平方根是0 A. 1个 B. 2个. C. 3个 D. 4个
25的平方根是±5
∵ (3)2 9 7 49
( 3)2 9 7 49
∴ 3 和－ 3 都是 9 的平方根。
7
7
49
9 的平方根是 3
49
7
试一试:
(1)144的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? (3) 64 的平方根是什么?
121
(4)-4的平方根是什么?为什么? 从上面的回答中,你发现了什么?
你还能举出类似的等式吗?
？分米
认真观察下式可知：
( )2 9
我们把括号里的±3叫做9的平方根（二次方根）。
一般地，如果 x2 a ，那么 x 叫 a 的
平方根， a 叫 x 的平方数。
说出刚才举例中什么数是什么数的平方根
例如：∵ 52 25 (5)2 25
∴5 和－5 都是25的平方根。
；几号上班：
；
康明白妻子の顾虑,他不多解释,叮嘱妻子守着儿子,房子卖出去这件事暂时别跟任何人说,然后就走了.路过一间杂货店他买了一样东西放在黑色手提包里,然后直接开车去梅林村.刚好是傍晚,店门关了一半,何玲一家大小正在屋里悠闲自在地吃饭看电视.至于周叔夫妇,二老回云岭村盯着装修师傅以免偷懒.周家の新房子盖好了,装修即将完工,生