大数定律
大数定律
对任意ε > 0 ,估计 µ n 偏离 p 不小于ε 的概率 P(| µ n − p |≥ ε )
P(| µ n − p |≥ ε ) = P(| Sn − np |≥ nε )
(k − np) 2 = ∑ P ( Sn = k ) ≤ ∑ P ( Sn = k ) 2 2 nε k :|k − np|≥ nε k :|k − np|≥ nε
1 0
述计算积分 A = ∫ f ( x) dx 的 Monte Carlo 法.
设 X1 , Y1 , X 2 , Y2 ,⋯ 是相互独立的随机变量序列, 且都服从[0,1] 上的均匀分布.设 1 若f ( X i ) ≥ Yi Zi = , 0 若f ( X i ) < Yi
则 Zi = 1当且仅当 ( X i , Yi ) 落在曲线 f ( x) 下面阴影中.因而
µ n = Sn / n
当 n 无限增大时,频率 µ n 在某一确定值附近趋于稳定，这一确 定值称为 A 的概率。
如果 µ n 有极限,自然会把这极限看作这确定值,即 A 的概率.
µ n 是随机变量,通常的数列的极限的定义不适用.
下面证明频率 µ n “依概率收敛”(定义见后)于 p ,因而
概率的统计定义与(以公理 1.1 和公理 1.2 为基础的建立 起来的)概率论理论是相容的.
P(| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
证 2 2) 分别用 ( X − EX ) 2 和ε 2 代替 1)中的 X 和ε 有. 1
P (( X − EX ) 2 |≥ ε 2 ) ≤ E ( X − EX ) 2 / ε 2 ，
由此得
P (| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
大数定律
k 1
定理二（李雅普诺夫(Lyapunov) (L )定理） 设随机变量 数学期望和方差 (k=1,2,…) 1,2,…) ，记 相互独立，它们具有 ，
若存在正数 使得当
时，
则随机变量之和
Zn
的标准化变量
X
k 1 n k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
16
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见。
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每 个别因素对这种综合 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大。 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布。 从或近似服从正态分布 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题。 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 无限增大时 这个和的极限分布是什么呢？
k 1
Bn
21
Zn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
k 1
Bn
的分布函数
Fn ( x)
n X n i i 1 lim Fn ( x) lim P x n n n
由切比雪夫不等式
2 n 1 n P Xk 1 2 n k 1 上式中令 n 得 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
4
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
四种大数定律
四种大数定律导语：大数定律是概率论中的重要概念，它描述了在重复进行某个实验的过程中，随着实验次数的增加，实验结果会趋近于某个稳定值的现象。
本文将介绍四种常见的大数定律。
一、大数定律之弱大数定律弱大数定律，也称为大数定律的弱收敛形式，是概率论中最早被发现和证明的大数定律之一。
它指出，对于独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|<ε)=1，即随着样本容量的增加，样本均值趋近于总体均值。
例如，我们进行了n次掷硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据弱大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率将逐渐收敛于p。
二、大数定律之强大数定律强大数定律是大数定律中的一种更为强大的形式，也称为大数定律的强收敛形式。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值。
以赌场为例，假设我们进行了n次抛硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据强大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率几乎以概率1收敛于p。
三、大数定律之伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律中的一种特殊形式，适用于二项分布的随机变量序列。
它指出，对于独立同分布的伯努利试验序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的概率p存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-p|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值p。
以制造业为例，假设我们对某个产品进行了n次质量检测，不合格的概率为p。
根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，不合格品的比例几乎以概率1收敛于p。
四、大数定律之中心极限定理中心极限定理是大数定律中的一种重要形式，它描述了随机变量序列的和在一定条件下服从近似正态分布的现象。
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理1 大数定律这里强调的是总体与样本大数定律就是说：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率趋近于预期的概率大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”2 赌徒缪误：1，2，4，8-----在赌钱时——输了就翻倍，一直到赢为止有人说：如果已经连续4次出现正面，接下来的第5次还是正面的话，就接连有5次“正面”，根据概率论，连抛5次正面的几率是1/25=1/32。
所以，第5次正面的机会只有1/32，而不是1/2。
以上混淆了“在硬币第1次抛出之前，预测接连抛5次均为正的概率”和“抛了4次正之后，第5次为正的概率”，既（11111）---- 1/32，(1111)1 ---- 1/2。
3 中心极限定理3.1 大数定律和中心极限定理的关系：上面通过赌徒谬误介绍了概率论中的大数定律。
大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”。
但大数定律并未涉及概率之分布问题。
此外大数定律说明了在一定条件下，当系统的个体足够多时，系统的算数平均值会集中在期望位置。
从这个角度，中心极限定理包含了大数定律。
因为中心极限定理在于揭示系统在期望附近的统计性质，即“以何种方式”集中在期望。
总的来说就是——大数定律反映的是频率->概率（或者认为广义的期望）；而中心极限定理反映的是——在整体结果下，结果内部发生各种情况下的一个概率分布情况。
3.2 那什么是中心极限定理？中心极限定理指的是分别适用于不同条件的一组定理，但基本可以用一句通俗的话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
Eg：以二项分布为例进行解释（抛硬币）对于抛n次硬币，出现正面k次的一个分布情况，如下：但是对于二项分布不一定是对对称的，除了受抛的次数n影响，还受对应的概率p的影响3.3 晋级再后来，中心极限定理的条件逐渐从二项分布推广到独立同分布随机序列，以及不同分布的随机序列。
大数定律解释条件概率公式
大数定律解释条件概率公式一、大数定律概述。
（一）大数定律的定义。
大数定律是指在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律。
即在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
（二）大数定律的常见形式。
1. 伯努利大数定律。
设n_A是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数varepsilon，有lim_n→∞P<=ft(<=ft(n_A)/(n)-pright。
2. 切比雪夫大数定律。
设X_1,X_2,·s,X_n,·s是相互独立的随机变量序列，它们的数学期望E(X_i)=μ_i，方差D(X_i)=σ_i^2，并且存在常数C，使得σ_i^2≤slant C，i = 1,2,·s。
则对于任意正数varepsilon，有lim_n→∞P<=ft(<=ft(1)/(n)∑_i = 1^nX_i-(1)/(n)∑_i = 1^nμ_iright。
二、条件概率公式。
（一）条件概率的定义。
设A和B是两个事件，且P(B)>0，在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记为P(AB)，其公式为P(AB)=(P(AB))/(P(B))。
（二）条件概率公式的理解。
1. 从频率角度理解。
- 假设进行n次试验，事件B发生的次数为n_B，事件A和B同时发生的次数为n_AB。
- 那么P(B)=(n_B)/(n)，P(AB)=frac{n_AB}{n}。
- 在已知事件B发生的情况下，我们只考虑这n_B次试验，在这n_B次试验中事件A发生的频率就是frac{n_AB}{n_B}，当n足够大时，根据大数定律，频率趋近于概率，即P(AB)=(P(AB))/(P(B))。
2. 从样本空间角度理解。
- 样本空间Ω，事件B是Ω的一个子集。
- 当B发生时，我们的样本空间就缩小到了B。
- 此时A在这个缩小后的样本空间B中的概率就是P(AB)，而P(AB)表示A 和B同时发生的概率，P(B)表示B发生的概率，所以P(AB)=(P(AB))/(P(B))。
第五章 大数定律
二、基本定理
定理4（独立同分布的林德贝尔格-勒维(Lindeberg －Levy)中心极限定理）设X1，X2，…，Xn，…是相 互独立，且服从同一分布的随机变量序列，并具有数 学期望和方差：
EX i , DX i 2 0, i 1,2,
则对任意的x有
n X i n i 1 lim P n x n
即 Yn中每一被加项对总和的影响都很微小，但 它们迭加的和却以标准正态分布作为极限。
例1有100个电子器件，它们的使用寿命X1，X2，…， X100 均服从参数为=0.05(h-1)的指数分布，其使用情 况为：第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三
个立即使用等等。令X表示这100个电子器件使用的总
意思？
这与高等数学中的极限概念是否有联系？本章将 从理论上讨论这一问题。
二、基本定理
首先，我们引进依概率收敛的概念。
定义 设X1，X2，…，Xn，…是一个随机变量序列，a
是一个常数，若对任意的正数，有
n
lim P{| X n a | } 1
或
n
lim P{| X n a | } 0
解得
x 21.23
取最接近的整数 x=22，即总机至少应配备22 条外线，才能有95%以上的把握保证各个分机在 使用外线时不必等候。
伯努利大数定律说明了当n很大时事件发生的频率会非常接近概率而这里的辛钦大数定律则表明当n很大时随机变量x在n次观察中的算术平均值也会接近它的期望值即52一问题的引入二基本定理在第二章介绍正态分布时曾经特别强调了它在概率论与数理统计中的地位与作用为什么会有许多随机变量遵循正态分布
第五章 大数定律与中心极限定理
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
大数定律揭示了随机变量行为的规律性，为概率论的应用提供了基础。
大数定律有两种主要形式：弱大数定律和强大数定律。
1. 弱大数定律
弱大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，其样本均值接近于期望值的概率趋近于1。
换句话说，样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零。
弱大数定律包括切比雪夫大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于满足一定条件的随机变量，如独立同分布的随机变量。
2. 强大数定律
强大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，样本均值几乎确定地收敛于期望值。
也就是说，样本均值与期望值之间的差值几乎为零，而不仅仅是在概率意义下趋近于零。
强大数定律包括辛钦大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于更一般的随机变量，包括不满足独立同分布条件的情况。
大数定律在概率论和统计学中有广泛的应用。
它提供了实验结果稳定性的保证，使我们能够对随机事件进行准确的估计和推断。
无论是在金融领域、生物领域还是工程领域，大数定律都扮演着重要角色。
总结起来，概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
弱大数定律和强大数定律分别描述了样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零和几乎为零的情况。
希望本文对您理解概率论中的大数定律有所帮助。
简述大数定律的内容
简述大数定律的内容
大数定律是概率论中的一个重要理论，描述了随着样本数量的增加，随机变量的平均值将趋近于其数学期望。
大数定律可分为两种形式：弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律（也称为大数定律的辛钦版本）指出，对于独立同分布的随机变量序列，它们的平均值将以概率1收敛于数学期望。
换句话说，当样本数量足够大时，随机变量的平均值与其数学期望之间的差距将会非常小。
强大数定律（也称为大数定律的伯努利版本）则更加严格，它要求随机变量序列必须满足独立同分布的条件，并且序列的方差有限。
在这种情况下，随机变量的平均值将以概率1收敛于其数学期望。
这意味着，随着样本数量的增加，随机变量的平均值将无限接近于其数学期望。
大数定律的重要性在于它提供了理论基础，支持我们在实践中使用样本平均值来估计总体平均值。
例如，当我们进行市场调查或者进行统计抽样时，我们往往只能获取到一部分样本数据，而无法获得整个总体的数据。
通过大数定律，我们可以确信，随着样本数量的增加，我们得到的样本平均值将越来越接近总体平均值。
除了在统计学中的应用，大数定律还在金融、经济学等领域有重要的应用。
例如，股票市场的波动性可以用大数定律来解释，即当交易者数量足够大时，市场价格将趋于公允价格。
此外，大数定律还可以应用于风险管理，通过对大量的风险数据进行分析，可以帮助我们更好地评估和控制风险。
总之，大数定律是概率论中的一个基本理论，它描述了随机变量序列的平均值在样本数量增加时趋于稳定的性质。
该定律在统计学和其他学科中有广泛的应用，为我们提供了在有限的样本数据中进行推断和预测的理论依据。
大数定律公式了解大数定律的数学表达式
大数定律公式了解大数定律的数学表达式大数定律是由概率论中的大数定理推导而来的数学定律。
它的核心思想是指当独立随机事件重复多次时，随着试验次数的增加，事件发生频率趋于某个常数的概率趋近于1。
大数定律的数学表达式有多种形式，下面将介绍其中两种常用表达式：大数定律之弱大数定律和大数定律之强大数定律。
1. 弱大数定律：设X1, X2, ..., Xn为n个独立同分布的随机变量，其数学期望为μ，方差为σ^2，根据大数定律的弱大数定律表达式，对于任意正数ε，有：lim (n→∞) P(|(X1+X2+...+Xn)/n - μ| < ε) = 1这个表达式表示当n趋近于无穷大时，样本均值(X1+X2+...+Xn)/n与总体均值μ的差异小于任意给定的正数ε的概率趋近于1。
2. 强大数定律：设X1, X2, ..., Xn为n个独立同分布的随机变量，其数学期望为μ，方差为σ^2，根据大数定律的强大数定律表达式，有：P(lim (n→∞) (X1+X2+...+Xn)/n = μ) = 1这个表达式表示当n趋近于无穷大时，样本均值(X1+X2+...+Xn)/n与总体均值μ完全相等的概率趋近于1。
弱大数定律告诉我们，随着实验次数的增加，样本均值与总体均值的差异会越来越小，但并不能保证它们完全相等。
而强大数定律则告诉我们，当实验次数足够多时，样本均值将会无限接近于总体均值。
大数定律是概率论中的重要定理，广泛应用于统计学、金融学、经济学等领域。
它帮助我们理解了随机现象的规律性，为科学实验和统计分析提供了依据。
总结起来，大数定律的数学表达式包括弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律表达了样本均值与总体均值的差异在无限实验中趋近于0的概率趋近于1，而强大数定律表达了样本均值与总体均值完全相等的概率趋近于1。
这些公式的推导和证明都是基于概率论的数学推理，通过它们的应用，我们可以更好地理解随机过程中的规律性。
三个大数定律的条件和结论
三个大数定律的条件和结论【正文】1. 引言在概率论和统计学中，大数定律是一组关于随机变量的定理，描述了随着样本数量的增加，样本平均值趋近于总体平均值的现象。
在这篇文章中，我们将讨论三个重要的大数定律：弱大数定律、强大数定律和中心极限定理。
我们将深入探讨每个定律的条件和结论，以帮助您更全面地理解这些定律在实际中的应用。
2. 弱大数定律弱大数定律（也称为大数法则）是大数定律中最基本的一条。
它规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值趋近于它们的期望值。
如果我们有一组独立同分布的随机变量X1，X2，X3，...，Xn，并且它们的期望值为E(X)，那么随着n的增加，这些随机变量的算术平均值（即样本平均值）X̄将以概率1趋近于E(X)。
3. 弱大数定律的条件和结论要应用弱大数定律，我们需要满足以下两个条件：3.1 独立性：随机变量Xi之间必须是相互独立的，即一个变量的取值对其他变量的取值没有影响。
3.2 同分布性：随机变量Xi必须是相同分布的，即它们具有相同的概率密度函数或累积分布函数。
在满足以上两个条件的情况下，弱大数定律可以得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄趋近于期望值E(X)。
4. 强大数定律除了弱大数定律，我们还有一个更强的定律，即强大数定律。
强大数定律规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值几乎以概率1收敛于它们的期望值。
这意味着样本平均值几乎总是接近于总体平均值。
5. 强大数定律的条件和结论强大数定律相对于弱大数定律，对条件有更严格的要求。
5.1 独立同分布：和弱大数定律一样，随机变量Xi之间必须是相互独立的，并且具有相同的分布。
5.2 方差条件：随机变量的方差必须有限。
这意味着方差不能趋近于无穷大。
在满足以上两个条件的情况下，强大数定律得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄几乎以概率1趋近于期望值E(X)。
6. 中心极限定理中心极限定理是大数定律中最重要的定理之一。
总结大数定律
总结大数定律什么是大数定律？大数定律（Law of large numbers）是概率论中的一个重要定理，它描述了随机事件的频率趋于概率的稳定性。
在数学和统计学中，大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件的频率将趋近于其概率。
换句话说，大数定律说明了当样本容量变得很大时，样本均值会趋于总体均值。
大数定律是概率论和统计学的基础之一，它对于理解随机现象的规律性和稳定性有着重要意义。
大数定律常常被应用于统计推断、贝叶斯统计、概率模型等领域。
大数定律的类型1.大数定律的弱形式大数定律的弱形式有很多种，其中最常见的是切比雪夫大数定律和伯努利大数定律。
这些弱形式的大数定律是基于概率的，它们说明了在某些条件下，随着试验次数的增加，随机变量的样本均值将趋于总体均值。
2.大数定律的强形式大数定律的强形式是指在一些更加严格的条件下，随机变量的样本均值几乎必然趋于总体均值。
强形式的大数定律用更强的收敛方式描述了随机变量的收敛性。
大数定律的应用大数定律在实际中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.投资理论大数定律在投资领域有重要的应用。
投资者可以借助大数定律来制定投资策略和决策。
例如，投资者可以通过大数定律来计算股票的预期收益率，评估风险水平，并根据这些指标进行投资决策。
2.保险精算在保险精算领域，大数定律被广泛应用于估计风险损失、确定保费、评估投保人的风险水平等。
保险公司可以通过大数定律来合理定价，确保保险公司的盈利和偿付能力。
3.品质控制大数定律在品质控制领域也有重要的应用。
生产过程中的随机变量可以通过大数定律来评估产品的质量。
通过对大量样本进行抽样和测试，可以得到生产过程的平均质量水平，并进行相应的调整和改进。
4.统计推断在统计学中，大数定律被广泛用于统计推断。
通过大数定律，我们可以使用样本数据来进行总体参数的估计。
例如，通过抽样一部分数据来估计总体的均值、方差等。
大数定律的局限性尽管大数定律在许多领域中有着重要的应用，但它也有一些局限性：1.样本容量限制大数定律要求样本容量足够大才能有效。
大数定律公式
大数定律公式
大数定律公式为g=log*vn。
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。
大数定律概述
大数定律的定义是，当随机事件发生的次数足够多时，随机事件发生的频率趋近于预期的概率。
可以简单理解为样本数量越多，其平概率越接近于期望值。
大数定律的条件：1、独立重复事件；2、重复次数足够多。
与“大数定律”对应的，就是“小数定律”，小数定律的内容：如果样本数量比较小，那么什么样的极端情况都有可能出现。
但是我们在判断不确定事件发生的概率时，往往会违背大数定律。
伯努利大数定律公式：
伯努利大数定律设fn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，则成立。
基本内容
设有一随机变量序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从大数定律。
（又译为“贝努力大数定律”）伯努利大数定律设fn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，有成立。
即n趋向于无穷大时，事件A在n重伯努利事件中发生的频率fn/n无限接近于事件A在一次实验中发生的概率p。
大数定律
例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投 掷了n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现 正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当 试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐 渐接近于1/2。又如称量某一物体的重量，假如衡器不 存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对 同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值， 但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐 渐接近于物体的真实重量。
大数定律
பைடு நூலகம்
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为 “大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向 常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律，又称弱 大数理论。 大数定律(law of large numbers)，又称大数定理[1] ，是 一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但 是注意到，虽然通常最常见的称呼是大数“定律”，但是 大数定律并不是经验规律，而是严格证明了的定理。
有些随机事件无规律可循，但不少是有规律的，这些 “有规律的随机事件”在大量重复出现的条件下，往往 呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。确 切的说大数定律是以确切的数学形式表达了大量重复出 现的随机现象的统计规律性，即频率的稳定性和平均结 果的稳定性，并讨论了它们成立的条件。[
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然 的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理 就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件 的频率近似于它的概率。比如，我们向上抛一枚硬币， 硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬 币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以 后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数 的二分之一。偶然中包含着某种必然。
第05章 大数定律
二、主要内容
大数定律
辛 钦 大 数 定 律 伯 努 利 大 数 定 律
中心极限定理
定 理 一 定 理 二 定 理 三
辛钦定理
设随机变量 服从同一分布 ( k 1 , 2 , ), X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望
则对于任意正数
,
E(Xk)
n n
D X k k 1
n
.
的分布函数
F n ( x ) 对于任意
n
Байду номын сангаас
x 满足
X k n k 1 lim Fn ( x ) lim P x n n n
x
1 2π
t
2
e
2
d t ( x ).
近似
定理二(李雅普诺夫定理定理)
设随机变量 们具有数学期望 E(Xk) k , 记 Bn
2
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 和方差： D(X k )
n 2 k
,它
0 ( k 1 , 2 , ),
k 1
2 k
,
若存在正数 1 B
2 k 1 n
Yn a .
P
辛钦大数定理
设随机变量 服从同一分布 ( k 1 , 2 , ),
则
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望 E(Xk)
,
X
X n
k 1
1
n
k
依概率收敛于 , 即X .
P
伯努利大数定理
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一、问题的提出
二、随机变量序列的收敛性
回
三、常用的四种大数定律
停 下
一、问题的提出
在第一章有关概率的统计定义中讲到, 随 机现象在大量重复试验中呈现明显的统计规律 性, 即事件发生的频率具有稳定性.
贝努里于1713年首先提出关于频率稳定性的 定理, 被称为贝努里大数定律.
大数定律的客观背景
g(Yn ) P g(C).
证 由 g() 在C处连续可知，对任意实数 0, 存在实数 0, 使当 | y C | 时，总有 | g( y) g(C) | , 从而
{| Yn C | } {| g(Yn ) g(C ) |},
1 P{| g(Yn) g(C) | } P{| Yn C | }
定义4.5 设X1, X2, , Xn , 是随机变量序列 ,
令
Yn
1 n
n i 1
Xi
如果存在这样一个常数序列a1,a2, ,an, , 对任意的ε 0,恒有
lim P
n
Yn an ε
1
则称随机变量序列X n 服从大数定律 .
定理4.3 切比谢夫大数定律
设X1, X2, , Xn, 是两两不相关的随机变量序列, 每一随机变量都有有限的方差,并有公共的上界
lim
n
Fn (
x)
F
(
x)
则称随机变量序列 {Yn } 依分布收敛于随机变量Y，
简记为
Yn LY
依分布收敛表示：当n充分大时，Yn 的分布函数
Fn( x) 收敛于Y 的分布函数 F ( x), 它是概率论中 较弱的一种收敛性. 定义4.2 设随机变量序列 {Yn } 和随机变量Y，若对
任意实数 0, 有Biblioteka 切比谢夫大数定理大 数
贝努里大数定理
定 理
辛钦大数定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而贝努里大数定理以严密的数学形式论证 了频率的稳定性.
备用题
例3-1 设Xn为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为
p( Xn
2k k2
)
1 2k
,k
1,2
.
试问Xn是否服从大数定律? 解
E( Xn)
1 n
lim P
n
n
i 1
Xi
μ
ε
1
注1 与切比谢夫大数定理相比, 不要求方差存在 且有界.
2 贝努里大数定理是辛钦大数定理的特例.
例3 设随机变量 X1, X2, , Xn, 独立同分布,
且E( Xk ) 0, D( Xk ) σ2, k 1,2, ,证明对任意
正数ε,
有
lim
当 n 很大时, 事件发生的频率与概率 有较大偏差的可能性很小.在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的 频率来代替事件的概率.
定理4.5 辛钦大数定理
设随机变量X1, X2, , Xn相互独立,服从同一分布,
且具有数学期望 EXk k 1,2, ,n, 则对
任意的 0,都有
简记为
Yn rY
特别的有 1-阶收敛又称为平均收敛， 2-阶收敛又称为均方收敛。 可以证明：均方收敛则平均收敛。
定义 4.4 设随机变量序列 {Yn( )} 和随机变量 Y ( ) ，若
P{ : lim Yn( ) Y ( )} 1
n
或简记为 P{nlimYn Y } 1
则称随机变量序列 {Yn }以概率1（或几乎处处）
1n
1
P
n
i 1
Xi
n
EX i
i 1
ε
1 n
1
D
n i1 ε2
Xi
1
C nε2
于是,当n 时,有式4.8成立,因此定理4.3得证.
注1 当 n 很大时, 随机变量 X1, X2, , Xn的
算术平均值
1 n
i
n 1
X
i
接近于它们的数学期望的
算术平均值1 n
n i 1
E
X
i
.
lim
n
P{|
Yn
Y
|
}
1
或
lim P{|Yn Y | } 0
n
则称随机变量序列 {Yn } 依概率收敛于随机变量Y， 简记为
Yn PY
依概率收敛表示：Yn 与 Y 的绝对误差小于任意小
的正数 的可能性(即概率)将随着n增大而愈来愈
大，直至趋于1. 定理4.1 设 {Yn } 为一随机变量序列，且 Yn PC (常数)，又函数 g() 在点C处连续，则有
定理4.4 贝努里大数定理
设nA 是n次独立重复贝努里试验中事件A
发生的次数, p是事件 A在每次试验中发生的概率 , 则对任意的ε 0,有
lim P n
nA n
p
ε
1
证 引入随机变量
X k＝10,,
在第k次试验中事件A不发生 在第k次试验中事件A发生
k 1,2, ,n.
显然,由于X1, X2, , Xn是相互独立的, 且同服从
1
n
iX i
i 1
2
nn
1
n i 1
iE X i
2
nn
1
n i 1
i
DYn
4
n2n
12
n
i 2 D X i
i 1
4σ 2
n2n 12
n
i2
i 1
4nn 12n 1σ2 6n2n 12
22n 1σ2 3nn 1
从而对任意给定的 0, 由切比谢夫不等式得
0
P{| Yn
这种接近是概率 意义下的！
通俗地说, 在定理条件下, n 个随机变 量的算术平均值, 当 n无限增加时, 几乎变 成一个常数.
2 切比谢夫大数定理的另一种叙述
设X1, X2, , Xn, 是两两不相关的随机变量序列, 每一随机变量都有有限的方差,并有公共的上界
DX1 C, DX2 C, , DXn C,
1894-1959
苏联数学家, 现代概率论的 奠基人之一.
他最早的概率论成果是贝 努里试验序列的重对数律.
辛钦在函数的度量理论、 数论、概率论、数学分析、 信息论等方面都有重要的 研究成果.
B1, p分布,故有
EXk
p, DXk
p1
p
1 4
k 1,2, ,n
由定理4.3对任意的 0, 有
即
证毕.
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
EX i
ε 1
lim P
n
nA n
p
ε
1
注1 贝努里大数定理表明事件发生的频率 nA n
依概率收敛于事件的概率p. 用严格的数学形式 表达频率的稳定性 !
2k k 1k 2
.
1 2k
1 k1k 2
π2 6
即EXn存在, 由辛钦大数定律知服从大数定律.
贝努里(Jacob Bernoulli)
瑞士人, 贝努里家族的三大 杰出的数学家之一.
1654-1705
首先发展无穷小分析, 1960 年提出悬连线问题,首创积分 “integral”这一术语.
提出贝努里大数定理, 建立 了贝努里概型. 在无穷级数 理论、变分法和概率论等 反面都有贡献.
DX1 C, DX2 C, , DXn C,
则对任意的 ε 0,恒有
1 n
1n
lim
n
P
n
i 1
Xi
n
i 1
EX i
ε 1
即
1
n
n i 1
(Xi
EX i
) P0.
证 因为Xn两两不相关, 故
D
1 n
n i 1
Xi
1 n2
n i 1
DXi
C n
再由切比谢夫不等式得到
1 n
1 P{| Yn C | } 1,n
这就表明：
g(Yn ) P g(C).
定义 4.3 设随机变量序列 {Yn }和随机变量 Y
对 r 0 时，有 E | Yn |r (n 1,2 )
和 E | Y |r ，若
lim E | Yn Y |r 0
n 则称随机变量序列 {Yn } r-阶收敛于随机变量Y，
n
P
1 n
n k 1
X
2 k
σ2
ε
1
解 因为 X1, X2, , Xn, 是相互独立的 , 所以
X12 ,
X
2 2
,
,
X
2 n
,
也是相互独立的 .
由
EXk
0,
得
E(
X
2 k
)
DXk
EXk
2
2
.
由辛钦大数定理知, 对于任意正数 , 有
lim
n
P
1 n
n k 1
X
2 k
2
1.
内容小结
三 个
0
1
1 n2
na
1 2n2
0,
可见, 每个随机变量的数学期望都存在.
因为 所以
X
2 n
0
na 2
P
1
1 n2
1 n2
E
X
2 n
na 2
1 n2
a2
检验是否 有有限方
差
DXn
E
X
2 n
EXn
2
a2
因此, 随机变量Xn n 1,2, 有有限的方差, 且有