华东师大初中数学八年级上册勾股定理基础知识讲解精选

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华东师大版初中八年级上册数学精品授课课件第14章勾股定理勾股定理 1.直角三角形三边的关系

解：分两种情况.①若这两边是直角边，则斜边长是 32 42
=5，周长是3+4+5=12(厘米)；②若这两边中较长的边是斜
边，则斜边长为4厘米，所以另一直角边的长为
(厘米)，周长是
(厘米)，所42以此32三= 角7
形的周长是12厘3米或4 9.67厘=米7 . 7 9.6
3.如图，小方格都是边长为1的正方形.求四边形ABCD的面积与周长. (精确到0.1)
解：如图所示，过点B作AD的垂线，垂足为C，则△ABC为直角三角形，且AC=8-3+1=6，BC=6+2=8，
所以AB= 62 82 =10(千米).
答：登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是10千米.
C
课堂小结
勾股定理
定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
验证用拼图法验证勾股定理
1.求边长、面积，证明线段之间的平方关系
试一试
观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：
正方形P的面积=___9___平方厘米；正方形Q的面积=__1_6___平方厘米；正方形R的面积=__2_5___平方厘米.
RA Q
B PC
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是_____________ ____S_P_+_S_Q_=_S_R____.
b
a
a
c
cb
c
b
c
a
a
b
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
之和= 4 1 ab c2 2ab c2. 2
由题可知(a+b)2=2ab+c2，

八年级上华东师大版14.1勾股定理课件

勾股定理的逆定理指出：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形：对于任何大于2的整数n，不存在三个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用，特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，即a² + b² = c²中的a、b、c为正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数一定是互质的；一组勾股数中，必有一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。

华师大版八年级上14章勾股定理全章知识点总结

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.
常见方法如下：
方法一： 4S
+ S正方形EFGH
=
S正方形ABCD
，
4
1 2
ab
+
(b
−
a)2
= c2 ，化简可证．
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C = 90 ，则 c = a2 + b2 ，
b = c2 − a2 ， a = c2 − b2 ； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题
Ⅱ. 勾股定理的逆定理 (1)内容：如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形，
Ⅲ. 勾股定理及其逆定理的实际应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者
相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：
C
C
C
30° A
B
A
D
B
B
A D
Ⅳ. 互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命
【知识脉络】
勾股定理
【基础知识】
Ⅰ. 勾股定理
(1)内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a2 + b2 = c2 . (2)勾股定理的证明

14.2 勾股定理的应用华东师大版数学八年级上册知识考点梳理课件

又 ∵BF=6 cm，∴BG=5+6=11（cm）.
在 Rt△ABG 中，AG= +
= + = （cm）；
14.2 勾股定理的应用
返回目录
方案二：如图 2，当蚂蚁从点 A 出发经过 BF 到点 G
重
难
题时（将前面和右面展开），
型
∵AB=3 cm，BC=5 cm，
设 B′E=BE=x，则 CE=4-x.
∵S△AEC=
∴
Βιβλιοθήκη CE×AB=
（4-x）×3=

AC×B′E，
×5x，解得 x=

，∴B′E=

.
14.2 勾股定理的应用
返回目录
变式衍生 1
如图，在长方形 ABCD 中，AB=8，BC=4
重
难
题，将长方形沿 AC折叠，点 D 落在点 D′处，则重叠部分
突
破，BF=6 cm，蚂蚁要沿着怎样的路线爬行，才能最快吃到饼
干渣？这时蚂蚁走过的路程是多少？
14.2 勾股定理的应用
返回目录
［答案］解：分以下三种方案讨论：
重
难
方案一：如图 1，当蚂蚁从点 A 出发经过 EF 到点 G
题
型
突时（将前面和上面展开），
破
∵BC=5 cm，∴FG=BC=5 cm.
对点典例剖析
考
点
典例
如图，一架 2.5 m 长的梯子AB 斜靠在墙 AC 上
清
单
解，梯子的顶端 A离地面的高度为 2.4 m，如果梯子的底部 B
读向外滑出 1.3 m 后停在 DE位置上，则梯子的顶部下滑多少

八年数学上册第章勾股定理1勾股定理1直角三角形三边的关系认识勾股定理课件(新版)华东师大版

知2－练
1 如图，字母B所代表的正方形的面积是( )
A．12
B．13
C．144
D．194
知2－练
2 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，假设a，c的
面积分别为3和4，那么b的面积为( )
A．3
B．4
C．5
D．7
知2－练
3 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都
是正方形，所有的三角形都是直角三角形．假设
14.1 勾股定理
第14章勾股定理
第1课时直角三角形三边的关系 ---认识勾股定理
1 课堂讲解 2 课时流程
勾股定理勾股定理与面积的关系
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会〔ICM2002)吗在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标.
知1－讲
正确解法：(1)当两直角边长分别为3和4时，第三边的长为 32＋42 25 5;
(2)当斜边长为4，一直角边长为3时，第三边的长为 42－32 7.
知1－讲
运用勾股定理求第三边的长时，一般都要经过 “一分二代三化简〞这三步；假设通过题目中的条件找不到斜边，那么需要运用分类讨论思想求解．
AC2 + BC2 = AB2, 这说明，在等腰直角三角形中，两直角边的平
方和等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？
试一试
知1－导
知1－导
做一做画出两条直角边分别为5 cm、12 cm的直角三角形，
然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.

华师大版-数学-八年级上册-华师八上第十四章勾股定理知识归纳

【同步教育信息】一. 本周教学内容：勾股定理［教学目标］1. 了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算和证明。

2. 通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力。

3. 了解勾股定理的证明，培养学生的爱国情怀。

二. 重点、难点：勾股定理的应用。

三. 教学过程设计：（一）勾股定理的证明发现勾股定理的是毕达哥拉斯（约公元前580～公元前500年），他是一个哲学家，也是一个著名的数学家。

我国西周开国时期的商高（公元前1120年）就发现了这个定理。

因而，西方的发现比我国要迟好几百年。

由于古书中记有“勾广三，股修四，径隅五”，因此我国把这个定理简称为勾股定理。

我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法。

（二）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a b c 222+=。

勾股定理的应用方法：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴AB AC BC 222=+又∵AB ＞0，∴AB AC BC =+22（2）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴AC AB BC 222=- 又∵AC ＞0，∴AC AB BC =-22【典型例题】例1. （1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，求c 。

（2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝40，c ＝41，求b 。

解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴c a b 222=+ 又∵c ＞0，∴c a b =+=+=22226810 （2）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴b c a 222=- 又∵b ＞0，∴b c a =-=-=222241409例2. 已知直角三角形的两边长AB cm BC cm ==68，，求第三边的长。

解：（1）若AB 、BC 均为直角边AC AB BC =+=+=22226810（2）若BC 为斜边AC BC AB =-=-=-==22228664362827例3. （1）在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ：BC ：AB ＝___________；（2）如图所示，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，则BC ：AC ：AB ＝___________；若AB ＝8，则AC ＝___________；又若CD ⊥AB ，则CD ＝___________。

华师大版八年级数学上册 14.1勾股定理

C
a
B 则a2+b2=C2
回
青
N
M C
Fa B
b C
P A
欧
D
E
M C
Fa
b
B
A
C
D
E
M C
Fa
b
B
A
C
D
E
N
M C
Fa B
b C
P A
D
E
N
M C
Fa B
b C
P A
D
E
N
M C
Fa B
b C
P A
D
E
N
M C
Fa B
b C
P A
D
EGຫໍສະໝຸດ NM CFa B
b C
P A
D
E
G
N
M C
Fa B
b C
P A
D
E
G
N
M C
Fa B
b C
P A
ou
D
E
G
N
M C
Fa B
b C
P A
ou
D
E
G
刘徽的“青朱出入图”
I
E F
D
C
A
BH
G
收获：
一个定理——勾股定理一个思想——以形证数一次探索——从特殊到一般一份自豪——中国人的骄傲
华师版八年级（上）第十四章
勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
cD
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
C a
b
在Rt△ABC中，若∠A=900

初中数学华东师大版八年级上册第14章勾股定理知识点总结及常见题型

勾股定理知识点总结及常见题型勾股定理是解直角三角形的一个有力且重要的工具,新课程标准对勾股定理及其逆定理的要求是“掌握”和“应用”,并使用定理解决一些简单的实际问题.勾股定理是每年河南中考必考内容,不单独命题考查,常以综合题的形式展开考查. 在不同版本的初中数学教材中,勾股定理及其逆定理的内容单独成章,全章共分为3节:勾股定理的探索及内容、勾股定理的逆定理和勾股定理的应用.熟练掌握掌握本章内容是每一个学生必须完成的任务. 下面就本章的内容进行知识点梳理和常见题型总结.知识点一勾股定理的内容直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为b a ,,斜边为c ,那么有:222c b a =+.注意:1. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.2. 勾股定理仅用于直角三角形的求解,不能直接用于其它非直角三角形的求解.3. 根据勾股定理,已知直角三角形的两边长,可以求出第三条边的长度.4. 注意上面的公式中“c ”不一定是斜边,所以在用勾股定理解直角三角形时,要注意分类讨论.5. 公式的变形:222222,,a c b b c a b a c -=-=+=.6. 勾股定理的使用对象是直角三角形,所以在应用勾股定理时要先在过程里面说明三角形是直角三角形,还要弄清楚直角边和斜边.若不确定斜边,则要展开分类讨论.例1. 在△ABC 中,已知︒=∠90C ,10,6==c a ,求b . 解:在△ABC 中,∵︒=∠90C ∴△ABC 是直角三角形 ∵10,6==c a∴由勾股定理得:86102222=-=-=a c b .注意: ∵︒=∠90C ,所以C ∠的对边c 就是斜边.习题1. 求下列直角三角形中未知边的长度.图（1）x86图（2）y135习题2. 已知直角三角形的两边长分别为3和4,求第三条边的长度.（提醒:长度为4的边,可能是直角三角形的直角边长,也可能是直角三角形的斜边长,所以本题要分两种情况进行讨论）习题3. 如图（3）所示,求等腰三角形ABC 的面积.图（3）655BA知识点二勾股定理的证明勾股定理是一个非常重要的定理,它的证明方法很多,但初中阶段最常见的证明方法是拼图法:用几个相同的直角三角板拼成一个几何图形,根据图形之间的面积关系列出等式,从而证明勾股定理.证明一: 如图（4）,用4个相同的直角三角板拼成一个边长为c 的大正方形和一个边长为()a b -的小正方形,则有:图（4）abc()22214c a b ab =-+⨯ 展开等式并整理可得:222c b a =+.证明二: 如图（5）,用4个相同的直角三角板拼成一个边长为()b a +的大正方形和一个边长为c 的小正方形,则有:图（5）bc ba()22214b a c ab +=+⨯ 展开等式并整理可得:222c b a =+.证明三: 如图（6）,用两个相同的直角三角板可以拼成一个上底为a ,下底为b ,高为()b a +的直角梯形,则有:图（6）bc ba()222121212b a c ab +=+⨯ 展开等式并整理可得:222c b a =+.重要结论与勾股定理有关的面积结论（1）如图（7）所示,以直角三角形的三边为边长,向外作三个正方形,则三个正方形的面积关系为:213S S S +=.图（7）图（8）图（9）（2）如图（8）所示,以直角三角形的三条边为直径向外作三个半圆,则三个半圆的面积关系为:213S S S +=.（3）如图（9）所示,以直角三角形的三条边为斜边长（或直角边长）,向外作三个等腰直角三角形,则这三个等腰直角三角形的面积关系为:213S S S +=. （4）如图下页（10）所示,以直角三角形的三条边为边长向外作三个等边三角形,则这三个等边三角形的面积关系为:213S S S +=.图（10）重要结论在长方体中,能放进木棒的最大长度如图（11）所示,已知长方体的长、宽、高分别为c b a ,,,则长方体中能放进木棒的最大长度为222c b a ++.图（11）c ba D C BA事实上,在Rt △ABC 中,由勾股定理得:2222b a BC AB AC +=+=在Rt △ACD 中,由勾股定理得:22222c b a CD AC AD ++=+=.显然,AD 的长度即为长方体中能放进木棒的最大长度.知识点三勾股定理的逆定理如果三角形的三边长c b a ,,满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形.以上便是勾股定理的逆定理,可以用来判断已知三边长度的三角形是否为直角三角形.在应用勾股定理的逆定理时,同学们要注意: （1）已知的条件:某三角形三条边的长度.（2）满足的条件:最长边的平方=最小边的平方+中间边的平方. （3）得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最长边的对角是直角. （4）如果不满足（2）,则这个三角形不是直角三角形.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的一种重要的方法,因此也叫作直角三角形的判定定理,使用方法是: （1）首先确定最长边,不妨设最长边为c ; （2）分别计算处2c 和22b a +:①若222c b a =+,则三角形是直角三角形; ②若222c b a ≠+,则三角形不是直角三角形.勾股数满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数.常见的勾股数如3 , 4 , 5 ; 6 , 8 ,10 ; 5 , 12 , 13 ; 8 , 15 , 17 ; 7 , 24 , 25. 例2. 如图（12）所示,在四边形ABCD 中,3,2,2,1,====⊥AD CD BC AB BC AB ,求四边形ABCD 的面积.图（12）DCBA分析:勾股定理用于求直角三角形的边长,勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是否为直角三角形,题目经常对两个定理同时考查.图形当中如果没有直角三角形,则需要添加辅助线构造直角三角形. 解:连结AC ,∵BC AB ⊥ ∴△ABC 是直角三角形由勾股定理得:5212222=+=+=BC AB AC∵()93,94525222222===+=+=+AD CD AC∴222AD CD AC =+ ∴△ACD 为直角三角形 ∴5125212121+=⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆ACD ABC ABCD S S S 四边形.例3. 若三角形三边长分别为c b a ,,,且满足()44222b a c b a -=-,试判断这个三角形的形状.解:()44222b a c b a -=-()()()()()()()()0222222=---+-++=-+b a c b a b a b a b a b a c b a b a ∵c b a ,,为三角形的三边长 ∴0=-b a 或0222=--b a c ∴b a =或222b a c +=∴这个三角形为等腰三角形或直角三角形.习题4. 如图（13）所示,在△ABC 中,若17,8,6,10====AC AD BC AB ,求△ABC 的面积.图（13）D CBA习题5. 如图（14）所示,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,9,15,20===DB BC AC . （1）求CD 的长;（2）△ABC 是直角三角形吗?为什么?图（14）DCBA知识点四勾股定理的应用主要有两方面的应用:（1）已知直角三角形的两边长,求第三条边的长;（2）已知一边长,另两条边的长度之间存在着一定的数量关系,通过设未知数利用勾股定理列方程来求解直角三角形. 本章主要问题有:1. 折叠问题习题6. 如图（15）所示,长方形纸片ABCD ,沿折痕AE 折叠边AD ,使点D 落在BC 边上的点F 处,已知24,8==∆ABF S AB ,求EC 的长.图（15）F EDCBA2. 网格问题习题7. 如图（16）所示,设正方形网格的每个小正方形的边长为1,格点△ABC 中,AB 、BC 、AC 三边的长分别为31015、、. （1）请在正方形网格中画出格点△ABC ; （2）格点△ABC 的面积为_________.图（16）3. 判断三角形形状问题习题8. 已知△ABC 的三边c b a ,,满足c b a c b a 262410338222++=+++,求 △ABC 的面积.4. 梯子问题习题9. 一架云梯长25 m,如图（17）那样斜靠在一面墙上,云梯底端离墙7 m. （1）这架云梯的顶端距地面有多高?（2）如果云梯的顶端下滑了4 m,那么它的底部在水平方向也滑动了4 m 吗?图（17）5. 航海问题习题10. 如图（18）所示,甲船以16海里/时的速度离开港口,向东南航行,乙船在同时同地向西南航行,已知他们离开港口一个半小时后分别到达B 、A 两点,且知AB =30海里,问乙船每小时航行多少海里?图（18）6. 最值问题习题11. 如图（19）所示,正方形ABCD 的边长为2,点E 为边BC 的中点,点P 在对角线BD 上移动,则PC PE 的最小值是_________.图（19）PE DCBA。

华东师大版八年级上册 14.1-14.2 勾股定理和直角三角形的判定讲义(无答案)

勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。

我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。

因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。

另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。

3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。

其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。

我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。

4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。

友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。

【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。

解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。

请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

八年级数学上册勾股定理知识点

八年级数学上册勾股定理知识点
八年级数学上册的勾股定理主要包括以下几个知识点：
1. 勾股定理的基本原理：勾股定理指出，在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜
边的平方。

即a^2+b^2=c^2（其中a、b为直角边，c为斜边）。

2. 判断直角三角形：可以通过勾股定理判断一个三角形是否为直角三角形。

如果一个
三角形的边长满足勾股定理的条件，那么就可以说明它是一个直角三角形。

3. 求解直角三角形的边长：已知一个直角三角形的两个边长，可以利用勾股定理求解
第三个边长。

例如，若已知两直角边的长度为a和b，则斜边的长度c =√(a^2+b^2)。

4. 勾股定理的应用：勾股定理广泛应用于几何推理和问题解决中。

例如，可以利用勾
股定理计算倾斜的直线的斜率、判断是否存在直角、计算三角形的面积等。

5. 勾股定理的推导和证明：在学习勾股定理时，通常也会涉及到对定理的推导和证明。

可以利用几何图形或代数方法进行推导和证明，加深对勾股定理的理解。

以上是八年级数学上册勾股定理的主要知识点。

通过学习这些知识点，可以掌握并应
用勾股定理解决直角三角形相关的问题。

华东师大初中数学八年级上册勾股定理全章复习与巩固(提高)知识讲解

勾股定理全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂勾股定理全章复习知识要点】要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝AB ＝BC =E 是AB 上一点，且AE ＝E 到CD 的距离EF ．【思路点拨】连接DE 、CE 将EF 转化为△DCE 一边CD 上的高，根据题目所给的条件，容易求出△CDE 的面积，所以利用面积法只需求出CD 的长度，即可求出EF 的长度，过点D 作DH ⊥BC 于H ，在Rt △DCH 中利用勾股定理即可求出DC ．【答案与解析】解：过点D 作DH ⊥BC 于H ，连接DE 、CE ，则AD ＝BH ，AB ＝DH ，∴ CH ＝BC －BH ＝=＝AB ＝在Rt △CDH 中，22222625CD DH CH =+=+=，∴ CD ＝25，∵ CDE ADE BCE ABCD S S S S =--△△△梯形111()222AD BC AB AD AE BC BE =+--111125222=⨯⨯⨯⨯=又∵ 12CDE S DC EF =△，∴ 1251252EF ⨯=，∴ EF ＝10．【总结升华】（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法．（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由22212513+=可知：222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，9DC ===．类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC ＝400米，BD ＝200米，CD ＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ． ∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=． ∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ，即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+=． ∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．3、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：线段AE,BF,EF 之间的数量关系.【思路点拨】：由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF ′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF ′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF ′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF ′＝90°． ∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF ′＝∠BCF ，∴ ∠ECF ′＝45°．在△ECF 和△ECF ′中：45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF ′(SAS)，∴ EF ＝EF ′．在Rt △AEF ′中，222AE F A F E ''+=，∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．4、在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边．当a 2+b 2=c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2+b 2≠c 2时，利用代数式a 2+b 2和c 2的大小关系，可以判断△ABC 的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC 为三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC 为三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a 2+b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2+b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c 在什么范围内取值时，△ABC 是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？【思路点拨】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c 点的最大值，然后得到c 的取值范围，然后分情况讨论即可得解．【答案与解析】解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边==10， ∴△ABC 三边分别为6、8、9时，△ABC 为锐角三角形；当△ABC 三边分别为6、8、11时，△ABC 为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；（2）∵c 为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a 2+b 2=22+42=20，①a 2+b 2＞c 2，即c 2＜20，0＜c ＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形； ②a 2+b 2=c 2，即c 2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形； ③a 2+b 2＜c 2，即c 2＞20，c ＞2，∴当2＜c ＜6时，这个三角形是钝角三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求线段EF的长.【答案与解析】解：连接AD．因为∠BAC＝90°，AB＝AC．又因为 AD为△ABC的中线，所以 AD＝DC＝DB．AD⊥BC．且∠BAD＝∠C＝45°．因为∠EDA＋∠ADF＝90°．又因为∠CDF＋∠ADF＝90°．所以∠EDA＝∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．所以 AE＝FC＝5．同理：AF＝BE＝12．在Rt△AEF中，由勾股定理得：，所以EF＝13.【总结升华】此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：【答案】解：将△ABD绕点D顺时针旋转60°．由于DC＝AD，故点A转至点C．点B转至点E，连结BE．∵ BD＝DE，∠BDE＝60°∴△BDE为等边三角形，BE＝BD易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵四边形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴∴2.方程的思想方法6、（2016•安徽模拟）定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形．（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；（3）如图，△ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求证：△ABC是勾股三角形．【思路点拨】（1）直接根据“勾股三角形”的定义，判断得出即可；（2）利用已知得出等量量关系组成方程组，进而求出x+y的值；（3）过B作BH⊥AC于H，设AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=，HC=1，进而得出∠A=45°，∠C=60°，∠B=75°，即可得出结论．【答案与解析】（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题；理由如下：∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形，∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；（2）解：由题意可得：，解得：x+y=102；（3）证明：过B作BH⊥AC于H，如图所示：设AH=x,Rt△ABH中，BH=，Rt△CBH中，（）2+（1+﹣x）2=4，解得：x=，∴AH=BH=，HC=1，∴BC=2，∴∠HBC=30°，∴∠BCH=60°，∠B=75°，∴452+602=752∴△ABC 是勾股三角形．【总结升华】此题主要考查了新定义、多元方程组解法、勾股定理和直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用勾股定理得出AH ，HC 的长是解题关键．举一反三：【变式1】直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积. 【答案】解：设此直角三角形两直角边长分别是x y ，，根据题意得：由（1）得：7x y +=，∴()249x y +=，即22249x xy y ++= (3)(3)－(2)，得：12xy = ∴直角三角形的面积是12xy ＝12×12＝6（2cm ）【变式2】如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？【答案】解：设AB 为3xcm ，BC 为4xcm ，AC 为5xcm ，∵周长为36cm ， AB+BC+AC=36cm ， ∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm ，BC=12cm ，AC=15cm ，∵AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm ），BQ=2×3=6（cm ）， ∴S △PBQ =BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm 2）．故过3秒时，△BPQ 的面积为18cm 2．。

八年级数学勾股定理华东师大版知识精讲

初二数学勾股定理华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：勾股定理［教学过程］一、学习目标1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2. 培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3. 介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

4. 体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

5. 探究勾股定理的逆定理的证明方法。

6. 理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

二、重点、难点1. 重点：勾股定理的内容及证明。

2. 难点：勾股定理的证明。

3. 难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。

在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。

水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。

几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与证明几何定理的工具。

本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。

其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

4. 重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

5. 难点：勾股定理的逆定理的证明。

6. 难点的突破方法：先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

为学生搭好台阶，扫清障碍。

⑴如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑵利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑶先作直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1＝c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

【典型例题】例1. 已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。

华东师大版八年级数学上册勾股定理全章热门考点整合应用复习教学课件

7．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE， BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到 △CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．
解：如图，连接 EE′. 由题意可知△ABE≌△CBE′，所以 CE′＝AE＝1，BE′＝BE＝2，∠ABE＝∠CBE′. 又因为∠ABE＋∠EBC＝90°，所以∠CBE′＋∠EBC＝90°. 即∠EBE′＝90°，则由勾股定理，得 EE′2＝8.在△EE′C 中， CE′2＋EE′2＝1＋8＝9＝CE2.
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9．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶到地面的高度为320 cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①所示．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h.(彩旗完全展开时的尺寸是如图②所示的长方形)
解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，因为1202＋902＝22 500，所以彩旗的对角线长为150 cm. 所以h＝320－150＝170(cm)．即彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为170 cm.
解：由题意得Aห้องสมุดไป่ตู้＝40×(6÷60)＝4(n mile)，BC ＝30×(6÷60)＝3(n mile)．因为AB＝5 n mile，所以AB2＝BC2＋AC2.所以 ∠ACB＝90°. 因为∠CBA＝90°－37°＝53°，所以∠CAB＝37°. 所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.
谢谢欣赏
(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2＋ b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2<c2时， △ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝2，b＝4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？

八年级数学上第14章勾股定理14.1勾股定理2直角三角形三边的关系__验证勾股定理授课新华东师大1

知1－讲
3．用拼图法证明命题1的思路： (1)图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面
积不会改变； (2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； (3)利用等式性质变换证明结论成立，即拼出图形→写出
图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推出命题1的结论．
知1－讲
例1 图14.1-1是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明命题1的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图； (2)证明命题1.
知2－讲
(2)已知直角三角形的一边确定另两边的关系； (3)证明含有平方关系的几何问题； (4)作长为n(n≥1，且n为整数)的线段； (5)一些非直角三角形的几何问题、日常生活中的
应用问题，对于这些问题，首先要将它们转化，建立直角三角形模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决．
知2－讲
例2 如图，Rt △ABC的斜边AC比直角边 AB长 2cm，另一直角边BC长为6 cm.求AC的长.
知2－讲
本题运用建模思想解题，根据实际问题画出直角三角形，再运用勾股定理解答．当图形不是直角三角形时，常常通过作垂线构造直角三角形．
知2－讲
例5 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，试求CD 的长．
导引：利用折叠前后重合的线段相等、重合的角相等，通过勾股定理列方程，在Rt△BDE中求出线段 DE的长，从而得到CD的长．
解：由已知AB=AC － 2, BC =6cm，根据勾股定理，可得 AB2 + BC2 = (AC － 2)2 +62 = AC2, 解得AC= 10(cm).