华东师大初中数学八年级上册勾股定理基础知识讲解精选

勾股定理（基础）

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．

2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

【要点梳理】

【高清课堂勾股定理知识要点】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为

222cca??b ba，.

，斜边长为，那么要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

2??2222222aa??cc?bb?ab??abc2?，， .要点二、勾股定理的证明.

1）所示的正方形方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图

（.

）中，所以图（1

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

，所以）中.

图（2

.

）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形3方法三：如图（．

，所以.

要点三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；1. 用于解决带有平方关系的证明问题；2.的线段3. .利用勾股定理，作出长为【典型例题】类型一、勾

股定理的直接应用ac b．、∠C的对边分别为、、、∠1、在△ABC中，∠C＝90°，∠AB ac b；12＝5，，求（1）若＝ca b． 24＝26，，求（2）若＝222c?a?b【思路点拨】利用勾股定理来求未知边长．【答案与解析】222cb?a?a b＝5，解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，，，＝1222222169??144?c?ab?5?12?25c．＝．所以所以13222cb?a?c b，＝，24＝＝（2）因为△ABC 中，∠C90°，26，22222100?676?576?a?c?b26?24?a＝所以10．所以．关键是先弄清楚所求边是直角边还是已知直角三角形的两边长，求第三边长，【总结升华】斜边，再决定用勾股原式还是变式．举一反三：ca b、、∠BC的对边分别为、．°，∠【变式1】在△ABC中，∠C＝90A、∠ac b，求＝3；）已知（1，＝2ca3:5c?:ab，，求＝32．（2）已知、【答案】c b，，3＝90 解：

（1）∵∠C＝°，2＝22225??2?c?b3?a∴；

kc3k5?a?，．2（）设b，90＝°，32＝C ∵∠222c?ab?∴．222)(3?32?k)k(5．即．

k＝8．解得a?3k?3?8?24c?5k?5?8?40．∴，【变式2】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．

22；=，SOA= （）+1=2 1222；（=）+1=3，SOA= 2322…=，OA=（S ）+1=434（1）请用含有n（n为正整数）的等式S=___________；n（2）推算出OA=______________．102222（3）求出 S+S+S+…+S的值．10123

）+1=n+1

（1【答案】解：（n是正整数）Sn=；

；故答案是：2（2）∵OA=1，122（）+1=2OA=，222（）+1=3=， OA322（）+1=4， =OA42

∴OA=，1=，OA 2=，…OA 3=；∴OA 10故答案是：；

2222 +S+…+S+S（3）S102132222（（）（）+…+（=）++）

=（1+2+3+ (10)

=．

2222即：S+S+S+…+S ．=10321．

类型二、勾股定理的证明

N，⊥AB，垂足为＝90°，AM是中线，MNRt2、如图所示，在△ABC中，∠C222AC?AN?BN试说

明．

【答案与解析】

222222MB?BN?MNAN?MN?AM，，⊥AB，所以解：因为MN2222BM?BN?AMAN?所以． MB．MC 因为AM是中线，所以＝222ACMC??AM中，，°，所以在Rt△AMC90又因为∠C＝

222AC?BNAN?．所以若利用勾股定理进行转化．【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明．

n类型三、利用勾股定理作长度为的线段.

、作长为的线段3、、的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为1【思路点拨】由勾股定理得，直角边为，类似地可作.

的直角三角形斜边长就是和1【答案与解析】作法：如图所示

（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；

，斜边为；1的 Rt）作以（2AB为一条直角边，另一直角边为

、、、，这样斜边（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形

.

、、、的长度就是

【总结升华】（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长度时可自定，一mcm 等，我们作图时只要取定一个长为单位即可11. 、般习惯用国际标准的单位，如类型四、利用

勾股定理解决实际问题

4.（2016春?淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就

比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．

【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．

【答案与解析】

解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，

根据勾股定理可得：

22222x+4=（x+1），即x+16=x+2x+1，

解得：x=7.5，

竹竿高=7.5+1=8.5（尺）

答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．

【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．

举一反三：

mm处，则旗杆折处断裂，旗杆顶部落在离底部【变式】如图所示，一旗杆在离地面512断前有

多高？

【答案】

mm，12 ，AC＝C90°，BC＝5＝解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠

22222169AC?5?12?AB?BC?．∴13?AB?169m ( ．∴)m )＋ BC＋AB＝513＝