2013-2014学年高中数学 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教案新人教A版选修1-2

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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义(最新整理)

复数代数形式的四则运算3．2.1　复数代数形式的加、减运算及其几何意义预习课本P107～108，思考并完成下列问题(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？1．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．3．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为，，则复数z 1＋z 2是以，为邻边的OZ 1――→ OZ 2――→ OZ 1――→ OZ 2――→ 平行四边形的对角线所对应的复数，z 1－z 2是连接向量与的终点并指向OZ ――→ OZ 1――→ OZ 2――→的向量所对应的复数．OZ 1――→[点睛]　对复数加、减法几何意义的理解它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( )答案：(1)×　(2)×　(3)×2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( )A ．8i B ．6C ．6＋8iD ．6－8i答案：B3．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 答案：D4．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量和，其中O 为坐标原点，OA ――→ OB ――→则||等于( )AB ――→A.B ．22C. D ．410答案：B复数代数形式的加、减运算[典例]　(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析]　(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以Error!解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝.2[答案]　(1)－2－i (2)2复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． [活学活用]已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以Error!解得a ＝3.答案：3复数加减运算的几何意义[典例]　如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) 表示的复数；AO ――→(2)对角线表示的复数；CA ――→(3)对角线表示的复数．OB ――→[解]　(1)因为＝，所以表示的复数为－3－2i.AO ――→ －OA ――→ AO ――→(2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5CA ――→ OA ――→ －OC ――→ CA ――→－2i.(3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋OB ――→ OA ――→ OC ――→ OB ――→4i)＝1＋6i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量一一对应的．(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．[活学活用]　复平面内三点A ，B ，C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量对应的复数为1＋2i ，BA ――→向量对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．BC ――→解：∵对应的复数为1＋2i ，对应的复数为3－i.BA ――→ BC ――→∴＝－对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.AC ――→ BC ――→ BA ――→又∵＝＋，OC ――→ OA ――→ AC ――→∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.复数模的最值问题[典例]　(1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1 B.12C ．2 D.5(2)若复数z 满足|z ＋＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．3[解析]　(1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2，所以点Z 的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z 在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.[答案]　A(2)解：如图所示， ||＝＝2.OM ――→(－\r(3))2＋(－1)2所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.[一题多变]1．[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．解：因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝2－1.22．[变条件]若题(2)中条件不变，求|z －|2＋|z －2i|2的最大值和最小值．3解：如图所示，在圆面上任取一点P ，与复数z A ＝，z B ＝2i 对应点A ，B 相连，得向3量，，再以，为邻边作平行四边形．PA ――→ PB ――→ PA ――→ PB ――→P 为圆面上任一点，z P ＝z ，则2||2＋2||2＝||2＋(2||)2＝7＋4||2，(平行四边形四条边的PA ――→ PB ――→ AB ――→ PO ′――→ PO ′――→平方和等于对角线的平方和)，所以|z －|2＋|z －2i|2＝.312(7＋4|z －32－i |2)而max ＝|O ′M |＋1＝1＋，|z －32－i |432min ＝|O ′M |－1＝－1.|z －32－i |432所以|z －|2＋|z －2i|2的最大值为27＋2，最小值为27－2.34343层级一　学业水平达标1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( )A ．z －1 B ．z ＋1C ．－10＋18iD ．10－18i解析：选C 1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4解析：选B z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．4．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R)，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1解析：选D z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.5．设向量，，对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( )OP ――→ PQ ――→ OQ ――→A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0解析：选D ∵＋＝，∴z 1＋z 2＝z 3，即z 1＋z 2－z 3＝0.OP ――→ PQ ――→ OQ ――→6．已知x ∈R ，y ∈R ，(x i ＋x )＋(y i ＋4)＝(y －i)－(1－3x i)，则x ＝__________，y ＝__________.解析：x ＋4＋(x ＋y )i ＝(y －1)＋(3x －1)i∴Error!解得Error!答案：6　117．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.32＋42答案：58．已知z 1＝a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－3b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝4，则a ＋b ＝3233________.解析：∵z 1－z 2＝a ＋(a ＋1)i －[－3b ＋(b ＋2)i]＝＋(a －b －1)i ＝4，323(32a ＋33b )3由复数相等的条件知Error!解得Error!∴a ＋b ＝3.答案：39．计算下列各式．(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i ＝1 008－1 009i.10．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.解：∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ，∴Error!解得Error!∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.层级二　应试能力达标1．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )A ．0 B ．1C. D.2212解析：选C 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离即为.222．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量对应的复数Z 1Z 2――→为( )A ．3＋4iB ．5－2iC ．－2＋6iD ．2－6i解析：选D ＝－，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋Z 1Z 2――→ OZ 2――→ OZ 1――→4i)＝2－6i.3．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量，对应OA ――→ OB ――→的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则对应的复数是( )CD ――→A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i解析：选D 依题意有＝＝－.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，故CD ――→ BA ――→ OA ――→ OB ――→对应的复数为4－2i ，故选D.CD ――→5．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|z |＝ .x 2＋y 2∴x ＋y i ＋＝2＋i.x 2＋y 2∴Error!解得Error!∴z ＝＋i.34答案：＋i 346．在复平面内，O 是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，OA ――→ OC ――→ AB ――→那么对应的复数为________．BC ――→解析：＝－＝－(＋)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝BC ――→ OC ――→ OB ――→ OC ――→ OA ――→ AB ――→(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.答案：4－4i7．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求向量，，对应的复数；AB ――→ AC ――→ BC ――→(2)判断△ABC 的形状．(3)求△ABC 的面积．解：(1)对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，AB ――→对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，BC ――→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.AC ――→(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，AB ――→ 2BC ――→ 10AC ――→82∴||2＋||2＝||2，∴△ABC 为直角三角形．AB ――→ AC ――→ BC ――→(3)S △ABC ＝××2＝2.12228．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，又ω＝sin θ－icos θ，求z 3的值和|z －ω|的取值范围．解：∵4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，∴6a ＋2b i ＝3＋i ，33∴Error!∴Error!∴z ＝＋i ，3212∴z －ω＝－(sin θ－icos θ)(32＋12i )＝＋i (32－sin θ)(12＋cos θ)∴|z －ω|＝(32－sin θ)2＋(12＋cos θ)2＝ 2－3sin θ＋cos θ＝＝，2－2(32sin θ－12cos θ)2－2sin (θ－π6)∵－1≤sin ≤1，(θ－π6)∴0≤2－2sin ≤4，∴0≤|z －ω|≤2，(θ－π6)故所求得z ＝＋i ，|z －ω|的取值范围是[0,2]．3212。

河南师大附中2013-2014学年高中数学 3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义学案新人教A版选修1-2

河南师大附中2013-2014学年高中数学 3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义学案新人教A 版选修1-2【学习目标】1.掌握复数的加法减法运算及复数加减法运算的几何意义；2.注意数形结合思想的运用，由复数的几何意义，可用向量表示复数，因而复数的加减运算可转化为向量的加减运算，为理解复数加减运算的规定奠定的基础，学习时注意知识内在联系与运用.【自主学习】1. 复数的加法运算与减法运算是如何定义的？有什么样的运算律？2. 复数的加法运算与减法运算在复平面内怎样表示？与向量的加法减法运算有何联系？【自主检测】1.已知复数i z +=21,i z 212+=则复数12z z z -=在复平面内所表示的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 四边形ABCD 为复平面上的一个平行四边形，且点A ，B ，C 依次与复数2,3i,44i ++相对应，则点D 对应的复数为（）A ．32i +B ．52i 2+ C ．33i + D ．5i - 【典例分析】例1计算：()()()i i i 43265+---+-例2已知复数i z +=21,i z 212+=在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？【目标检测】1.一个实数与一个虚数的差（）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数2*.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1,2i ,52i +，则由A 、B 、C 所构成的三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形3.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=4*.已知复数()i a a z 5321++-=,()()R a i a a a z ∈-++-=12122分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量12Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值.提示：依据复数加减运算的几何意义，先确定向量12Z Z 对应的复数，再根据纯虚数的定义列出条件式求解.【总结提升】本节内容借助了向量方法研究了复数的加减运算及其几何意义，体现了数形结合思想的运用，在学习过程中，可借助向量来理解记忆复数的加减运算及其运算律.。

2013-2014学年高中数学 321 复数代数形式的加减运算及其几何意义教案新人教A版选修1-2(DOC)

3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握复数加减运算的法则及运算律，理解复数加减运算的几何意义．2．过程与方法在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程．3．情感、态度与价值观通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．●重点难点重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题．难点：复数加减法的几何意义及其应用．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取自主探究式教学，这节课主要是复数的加减法运算，学生可以类比实数的加减法运算理解复数的加减法运算，让学生自主探讨例题1及变式训练的解法，总结规律方法．在讨论复数加法的几何意义时，引导学生联想向量的加法并运用平行四边形法则来进行运算，复数减法的几何意义，可联想向量的减法运用三角形法则来进行运算．教学中应让学生对复数的加法与向量的加法是怎样联系起来并得到统一的过程做出探究．对于一些简单的问题让学生动手去做，让学生起到主体作用，教师起到主导作用．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数的和与差的运算．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数加减运算的方法，及其满足的运算律．由学生自主分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善解答疑惑．并要求学生独立完成变式训练．学生分组探究例题2解法，通过引导学生画图，认识复数与向量的对应关系，联想向量运算的几何意义，求出z1＋z2，完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解.题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．1．多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？【提示】两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.2．复数的加法满足交换律和结合律吗？【提示】满足．(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a 、b 、c 、d ∈R )，则 ①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ， ②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. (2)加法运算律：如图，OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．1．试写出OZ 1→，OZ 2→及OZ 1→＋OZ 2→，OZ 1→－OZ 2→的坐标．【提示】 OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )， OZ 1→－OZ 2→＝(a －c ，b －d )．2．向量OZ 1→＋OZ 2→，OZ 1→－OZ 2→对应的复数分别是什么？【提示】 OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是a ＋c ＋(b ＋d )i ， OZ 1→－OZ 2→对应的复数是a －c ＋(b －d )i.图3－2－1(1)复数加法的几何意义如图3－2－1：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →.(2)复数减法的几何意义图3－2－2如图3－2－2所示，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且OZ 1→，OZ 2→不共线，则这两个复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→－OZ 2→(即Z 2Z 1→)对应，这就是复数减法的几何意义．这表明两个复数的差z 1－z 2(即OZ 1→－OZ 2→)与连接两个终点Z 1，Z 2，且指向被减数的向量对应.(1)(2－3i)＋(－2＋32i)＋1； (2)(－i 2－13)－(i 3－12)＋i ；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．【思路探究】解答本题可根据复数加减运算的法则进行．【自主解答】 (1)原式＝(2－2)＋(－3＋32)i ＋1＝1－32i. (2)原式＝(－13＋12)＋(－12－13＋1)i ＝16＋16i.(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i.复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．已知复数z 满足z ＋1＋2i ＝10－3i ，求z . 【解】 z ＋1＋2i ＝10－3i ， ∴z ＝(10－3i)－(2i ＋1)＝9－5i.设OZ 1及OZ 2分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1＋z 2，并在复平面内作出OZ 1→＋OZ 2→.【思路探究】利用加法法则求z 1＋z 2，利用复数的几何意义作出OZ 1→＋OZ 2→. 【自主解答】 ∵z 1＝5＋3i ，z 2＝4＋i ， ∴z 1＋z 2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i ∵OZ 1→＝(5,3)，OZ 2→＝(4,1)，由复数的几何意义可知，OZ 1→＋OZ 2→与复数z 1＋z 2对应， ∴OZ 1→＋OZ 2→＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)．作出向量OZ 1→＋OZ 2→＝OZ →如图所示．1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算． 2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． 3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．在题设不变的情况下，计算z 1－z 2，并在复平面内作出OZ 1→－OZ 2→. 【解】 z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i.OZ 1→－OZ 2→＝Z 2Z 1→，故OZ 1→－OZ 2→即为图中Z 2Z 1→.【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．【自主解答】法一设w ＝z －3＋4i ， ∴z ＝w ＋3－4i ， ∴z ＋1－i ＝w ＋4－5i. 又|z ＋1－i|＝1， ∴|w ＋4－5i|＝1.可知w 对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．如图(1)所示，∴|w |max ＝41＋1，|w |min ＝41－1.(1) (2)法二由条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，如图(2)所示，所以|z －3＋4i|max ＝41＋1，|z －3＋4i|min ＝41－1.|z 1－z 2|表示复平面内z 1，z 2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|. 【解】法一设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )．由题意，知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1. (a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2， ∴2ac ＋2bd ＝0.∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－2ac －2bd ＝2. ∴|z 1－z 2|＝ 2.法二设复数z 1，z 2，z 1＋z 2分别对应向量OZ 1→，OZ 2→，OZ →.∵|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2， ∴平行四边形OZ 1ZZ 2为正方形． ∴|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1→|＝|OZ →|＝ 2.数形结合思想在复数中的应用复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5 B.13 C.15 D.17【思路点拨】首先由A 、C 两点坐标求解出AC 的中点坐标，然后再由点B 的坐标求解出点D 的坐标．【规范解答】如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为(2，32)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，所以BD →＝OD →－OB →＝3＋3i －1＝2＋3i ，所以|BD →|＝13. 【答案】 B数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法．本章中有关复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算． 2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．1．(2013·潍坊市高二检测)(2－2i)－(－3i ＋5)等于( ) A ．2－i B ．－3＋i C ．5i －7D ．2＋3i【解析】 (2－2i)－(－3i ＋5)＝(2－5)＋(－2＋3)i ＝－3＋i. 【答案】 B2．在复平面内，点A 对应的复数为2＋3i ，向量OB →对应的复数为－1＋2i ，则向量BA →对应的复数为( )A ．1＋5iB ．3＋iC ．－3－iD ．1＋i【解析】 ∵BA →＝OA →－OB →，∴BA →对应的复数为(2＋3i)－(－1＋2i)＝(2＋1)＋(3－2)i ＝3＋i.故选B. 【答案】 B3．实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是________．【解析】 ∵(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴xy ＝1. 【答案】 14．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，求复数a ＋b i. 【解】 ∵z 1＋z 2＝0，∴(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝0，b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.复数a ＋b i ＝－2－i.一、选择题1．设复数z 1＝－2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z 1－z 2在复平面内对应点所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z 1－z 2＝(－2＋i)－(1＋2i)＝(－2－1)＋(i －2i)＝－3－i ，故z 1－z 2对应点的坐标为(－3，－1)在第三象限．【答案】 C2．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i【解析】由题意可知OZ 1→＝(5，－4)，OZ 2→＝(－5,4)， ∴OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(5－5，－4＋4)＝(0,0)． ∴OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是0. 【答案】 C3．复数满足1－z ＋2i －(3－i)＝2i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．－2＋i C ．－2＋2iD ．－2＋i【解析】 z ＝1＋2i －3＋i －2i ＝－2＋i.【答案】 B4．已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则向量OB →所表示的复数的模为( )A. 5B.13C.10D.26 【解析】 OB →＝OA →＋AB →，∴向量OB →对应的复数是(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ，且|1＋3i|＝1＋9＝10. 【答案】 C5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4【解析】由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0，a ＋3＝0，4－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.【答案】 A 二、填空题6．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于＝________.【解析】根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，|OM →|＝42＋32＝5， |M 1M 2|＝10.|z 1|2＋|z 2|2＝|OM →1|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→|2＝100. 【答案】 100图3－2－37．(2013·大连高二检测)在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．【解析】因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a 2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，得a －b ＝－4.【答案】－48．A 、B 分别是复数z 1、z 2在复平面上对应的两点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 的形状是________．【解析】由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OA 、OB 为邻边的平行四边形是矩形，即OA ⊥OB ，故△AOB 是直角三角形．【答案】直角三角形三、解答题9．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a 、b ∈R )．【解】 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i ＝－1－8i.(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i＝－a ＋(4b －3)i.10．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.【解】 z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又∵z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1，∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.11．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，求：(1)f (z 1－z 2)的值；(2)f (z 1＋z 2)的值．【解】 ∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，∴z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝(3＋2)＋(4＋1)i ＝5＋5i ，z 1＋z 2＝(3＋4i)＋(－2－i)＝(3－2)＋(4－1)i ＝1＋3i.∵f (z )＝z －2i ，∴(1)f (z 1－z 2)＝z 1－z 2－2i ＝5＋5i －2i ＝5＋3i ；(2)f (z 1＋z 2)＝z 1＋z 2－2i ＝1＋3i －2i ＝1＋i.(教师用书独具)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设复数z ＝cos A ＋isin A ，且满足|z ＋1|＝1.(1)求复数z ；(2)求b －c a ＋C 的值．【思路探究】本题主要考查复数的概念、代数运算及以复数为载体解三角形的知识．把复数z ＋1的模转化为它对应的向量的模，从而求出A ，第(2)问利用正弦定理把边转化为角，再进行三角恒等变换即可求解．【自主解答】 (1)∵z ＝cos A ＋isin A ，∴z ＋1＝1＋cos A ＋isin A .复数z ＋1对应的向量OZ →＝(1＋cos A ，sin A )，∵|OZ →|＝＋cos A 2＋sin 2A ＝2＋2cos A ， ∴|z ＋1|＝2＋2cos A .∴2＋2cos A ＝1，∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.∴sin A ＝32，复数z ＝－12＋32i. (2)由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，c ＝2R ·sin C (其中R 为△ABC 外接圆的半径)．∴原式＝sin B －sin C sin A ＋C. ∵B ＝180°－A －C ＝60°－C ， ∴原式＝－C －sin C ＋C＝32cos C －32sin C 32＋C＝cos C －3sin C ＋C ＝＋C ＋C ＝2.即b －c a ＋C ＝2.复数的代数运算可以综合三角形、不等式及向量等知识，一般是以复数为载体，利用复数的概念和代数运算转化为其他知识，如不等式、三角函数等．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求向量AB →，AC →，BC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状．【解】 (1)由题意知，复平面内A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(2,1)，(－1,2)， AB →＝OB →－OA →＝(2,1)－(1,0)＝(1,1)， AC →＝OC →－OA →＝(－1,2)－(1,0)＝(－2,2)， BC →＝OC →－OB →＝(－1,2)－(2,1)＝(－3,1)，所以AB →，AC →，BC →对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.(2)因为|BC →|2＝10，|AC →|2＝8，|AB →|2＝2，所以有|BC →|2＝|AC →|2＋|AB →|2，所以△ABC为直角三角形.。

原创3：3.2.1　复数代数形式的加、减运算及其几何意义

个复数的差是唯一确定的复数。
深入探究？
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
复数减法的几何意义： - =
复数的加法几何意义同构于向量加法几何
y Z
1
意义。复数减法的几何意义同构于向量减
法的几何意义。注意“同构”一词。
Z2
O
x
学以致用
例1
讲解例题
计算 (5
6i )
Z1 (a , b)
O
∴向量就是与复数 + + + 对应的向量.
x
深入探究
思考？
复数是否有减法？如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足（ + ）+（ + ）= + 的
复数 + 叫做复数 + 减去复数 + 的差，记作（ + ）－（ + ）
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 ∈ ， ∈ ， ∈
则Z1+Z2=（ + )+( + )，Z2+Z1=（ + ) + ( + )
显然
Z1+Z2=Z2+Z1
同理可得 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当 = ， =
时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的加法可
以推广到多个复数相加的情形。
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证:设 = + ，Z2= + ,Z3= + ( , ，, , , ∈ )

高中数学3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
-1-
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
课前篇自主预习课堂篇探究学习
学习目标
思维脉络
1.掌握复数代数形式的加法、减法运算法则. 2.理解复数代数形式的加法、减法运算
的几何意义.
3.能够利用复数代数形式的加法、减法运算法则及几何意义解决问题.
-14-
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
课前篇自主预习课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思想方法当堂检测
变式训练2如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复
数0,3+2i,-2+4i.求:
(1)向量�� 对应的复数;(2)向量�� 对应的复数;(3)向量�� 对应的复数.
解:(1)因为��=-��,所以向量��对应的复数为-3-2i. (2)因为�� = �� − ��,所以向量��对应的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为�� = �� + ��,所以向量��对应的复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
(方法二)因为z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. -8-
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(用)

3.2.1 复数代数形式的
加减运算及其几何意义
1、我们规定，复数的加法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
即:两个复数相加就是实部与实部,虚部与虚部分别相加.
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数. 复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
即:两个复数相减就是实部与实部,虚部与虚部分别相减.
很明显，两个复数的差仍然是一个确定的复数.
计算 (5 - 6i) + (-2 - i) - (3 + 4i)
解: (5 - 6i) + (-2 - i) - (3 + 4i)
= (5 - 2 - 3) + (-6 -1 - 4)i = -11i
平行四边形OABC是矩形 o
C
z2 z1-z2
z1 A
z1+z2
B
(3)若 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是正方形
5.设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|= 2, 求|z2-z1|
2
小结
1.复数加法运算的几何意义?
z1 Z2Z1 就是与复数(a c) (b d)i 对应的向量.
复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义。
z11 z22 表示什么? 这两个复数对应的点Z1 ,Z2的距离
z1 z2 OZ1 OZ 2 Z2Z1
y Z1
Z2
O
x
练习：1.已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.

3[1].2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

(4)z4=1+mi(m∈R) ( 1+ m2 ) =4a(5)z5=4a-3ai(a<0)(－5a )
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (1)满足|z|=5(z∈R)的值有几个？满足|z|=5(z∈R) 这些复 (2)满足|z|=5(z∈C)的值有几个？ (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？满足|z|=5(z∈C) 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ (3)满足|z+1+i|=5(z∈C)的z值有几个？ (3)满足|z+1+i|=5(z∈C)的值有几个？满足|z+1+i|=5(z∈C) 这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？的图形？
证明对一切m 此复数z 变式二：证明对一切m，此复数z所对应的点不可能位于第四象限。四象限。变式三：复数z=(m +m+2)i在复平面内所对应的变式三：复数z=(m2+m+6)+(m2+m+2)i在复平面内所对应的点在第____象限。点在第____象限。 ____象限
（二）复数的几何意义－2 复数的几何意义－
意z1∈C，z2∈C，z3∈C ，，
z1+z2=z2+z1 z1+z2=z2+z1 显然 (z1 (z 3=z1+(z2+z3) 同理可得 +z2)+z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集中点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。依然成立。
y z=a+bi Z (a,b)

高考数学 3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义

高考数学 §3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义(导学案)预习目标：1、掌握复数代数式的加减运算法则，并能熟练地进行复数代数式形式的加减运算；2、理解并掌握复数加法、减法的几何意义及其应用。

预习内容：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=（1）)(__________21加法运算法则=+z z（2）为坐标原点，则对应的点分别为若复数O Z Z z z ,,,2121 ________,________________,_______,212121对应的复数为则若OZ OZ OZ OZ OZ OZ OZ OZ +==+==(3)__________________________________21的几何意义是z z + (4))__(____________________21复数减法运算法则=-z z（5）同（2），______________;2121对应的复数为Z Z OZ OZ =- _______________________||_____,||2121的几何意义是z z Z Z -=_________________________________21的几何意义是z z -提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：1：掌握复数的加法运算及意义2：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义学习重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．学习难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

学习过程:例1．计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(72)(14)i i -++（3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[探究:1.观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证?2.例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现？例3．计算（1）(14)(72)i i +--（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[当堂检测：1、的值为多少？则212121,,2,43z z z z i z i z +---=+=2、计算（1）)43()42(i i -++ （2）)23(5i +-（3）)51()2()43(i i i --++-- （4）i i i 4)32()2(++--3、ABCD 是复平面内的平行四边行，A,B,C 三点对应的复数分别是对应的复数求点D i i i ,2,,31+-+课后练习与提高：1．计算（1）()845i -+（2）()543i i --（3）()()232923i i i ++---- 2．若(310)(2)19i y i x i -++=-，求实数,x y 的取值。

课件8：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

【答案】D
4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】以 OA，OB 为邻边作▱OACB，则由题设条件知O→C对应复数为 z1＋z2， B→A对应复数为 z1－z2， ∵|z1＋z2|＝|z1－z2|，∴|O→C|＝|B→A|，即▱OACB 的两条对角线长相等， ∴▱OACB 为矩形，∴OA⊥OB， ∴△AOB 为直角三角形．【答案】B
命题方向3：综合应用
例3：设x∈[0,2π)，复数z1＝cos x＋isin x对应的点在第一象限中直线y＝x的左上方，z2＝1－i，求|z1＋z2|的取值范围．
【解析】由x∈[0,2π)，复数z1的对应点位于第一象限且在直线y ＝x的左上方可求得x的取值范围；由z1与z2的代数形式及复数加法运算法则可求出z1＋z2. 求|z1＋z2|的取值范围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域，要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就
【答案】3i

是[0,2π)．
解：由已知得 z1＋z2＝(cosx＋1)＋(sinx－1)i，所以|z1＋z2|＝ cosx＋12＋sinx－12 ＝ cos2x＋2cosx＋1＋sin2x－2sinx＋1 ＝ 2cosx－sinx＋3＝ 2 2cosx＋4π＋3. 因为复数 z1＝cosx＋isinx 对应点在第一象限中直线 y＝x 的左上方，且 x∈[0,2π)，
【答案】8
3．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
若向量O—→A、 OB 对应的复数分别是 3＋i、－1＋3i，则 CD 对应

3.2.1复数加减运算及几何意义

复数的相等对于复数a+bi和c+di(a、b、c、d ∈ R)，当a=c,并且b=d，即实部与虚部分别相等时，叫这两个复数相等。
记作 a + bi = c + di。
复平面的定义
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面------复数平面 (简称复平面) x轴------实轴
y
y轴------虚轴
y
变式: z 的最小值是___
－3 O x
Z
.
Z
C
－4
6.若复数 Z 满足 z i z i 2
,则
z 1 i
y 1 －1
的最小值是___ １
.
O
Z x
.
A
－1 Z
7、设z1 , z2 C已知 | z1 | 1,| z2 | 2,| z1 z2 | 2, 则 | z1 z2 | _______ . 2 2
z
2 1 -2 -1 1 2 3 4 -1 x
3、如图的向量OZ对应的复数是z，试作出下列运算 y 的结果对应的向量： 4 （1）z+1; （2）z-i; 3 （3）z+(2-i). z
y 4 3 2 1 -2 -1 1 2 3 4 -1 x y -2 -1 2 1 1 2 3 4 -1 x
z
（2）z-i
3、复数z满足 | z 3 3i | 3, 则 | z | 最大值是 ______; 最小值是 ______ . 3 3 3 4、复数z满足 | z 3i | 1,
13 1 则 | z 2 | 最大值是 ______; 最小值是 ______ .
13 1
７ 5.若 | z 3 4i | 2 ,则 z 的最大值是_____

高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2_2

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )．又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．【跟踪训练2】已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)，设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。

复数代数形式的加减运算及其几何意义

复数代数形式的加减运算及其几何意义复数是由实数和虚数组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1、复数代数形式的加减运算是指复数之间的加法和减法操作。

复数加法运算：设有两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，其中 a、b、c、d 都是实数。

复数加法运算的计算规则如下：1.实部相加：(a+c)2.虚部相加：(b+d)因此，两个复数之和为 z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。

复数减法运算：设有两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，其中 a、b、c、d 都是实数。

复数减法运算的计算规则如下：1.实部相减：(a-c)2.虚部相减：(b-d)因此，两个复数之差为 z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。

综上所述，复数的加减运算可以分别对实部和虚部进行相应的加减操作，从而得到新的复数。

几何意义：复数可以用平面上的向量来表示，其中复数的实部对应向量在 x 轴上的投影，虚部对应向量在 y 轴上的投影。

对于复数 z = a + bi，可以将其在平面上表示为一个点 P(x, y)。

- 复数加法的几何意义：设有两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，根据复数加法运算规则，z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i。

可以将其几何意义理解为将向量 z2 平移至向量 z1 的尾部，得到一个新的向量。

新向量的坐标为 (a + c，b + d)。

因此，复数加法可以看作是两个向量的矢量相加。

- 复数减法的几何意义：设有两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，根据复数减法运算规则，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。

高中数学3-2-1复数代数形式的加、减运算及其几何意义

课前探究学习课堂讲练互动
方法技巧数形结合思想在复数中的应用数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合，不仅是一种重要的解题
方法，而且也是一种重要的思维方法．本章中有关复数的几何意
义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
→ 设 D(x，y)，则AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
x－2＝3， ∴ y－1＝－1， x＝5，解得 y＝0，
∴点 D 对应的复数为 5.
→ → → → (2)∵BA· ＝|BA||BC|cos B， BC → → 3－2 BA· BC 1 2 ∴cos B＝＝＝＝ . → → 5× 10 5 2 10 |BA||BC| 7 2 ∴sin B＝＝， 5 2 10 7 2 → → ∴S＝|BA||BC|sin B＝ 5× 10× ＝7， 10 ∴平行四边形 ABCD 的面积为 7.
(3)复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运
算．
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式1】计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)；
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．解 (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i
＝－11i.

第3章 3.2.13.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

z2＋z1 ， (2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________ z1＋(z2＋z3) (z1＋z2)＋z3＝__________.
填一填· 知识要点、记下疑难点
3.2.1
2．复数加减法的几何意义 → → 如图：设复数z1，z2对应向量分别为 OZ 1， OZ 2，四边形 → OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是______, OZ → Z2Z1 ．与z1－z2对应的向量是______
答仍然是个复数，且是一个确定的复数；
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2.1
问题2 当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？
本课时栏目开关
答
一致．
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2.1
问题3 它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
本课时栏目开关
答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．
填一填· 知识要点、记下疑难点
3.2.1
1．复数加法与减法的运算法则
本课时栏目开关
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝ (a－c)＋(b－d)i (a＋c)＋(b＋d)i ，z1－z2＝________________. ________________
3.2.1
方法二设O为坐标原点， z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
本课时栏目开关
∴△OAB是边长为1的正三角形， ∴四边形OACB是一个内角为60° ，边长为1的菱形，
且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长， → ∴|z ＋z |＝|OC|

第三章3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

§3.2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课时目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝____________，z 1－z 2＝____________.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝__________，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(__________)．2．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是_________，与z 1－z 2对应的向量是__________．一、选择题1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i2．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( ) A ．0 B ．32＋52i C ．52－52i D ．52－32i 3．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i4．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量OA →与OB →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则向量OA →与OB →的关系是( )A.OA →＝OB → B ．|OA →|＝|OB →|C ．OA →⊥OB →D ．OA →，OB →共线5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4二、填空题6．设纯虚数z 满足|z －1－i|＝3，则z ＝____________.7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC→对应的复数为________________________________________________________________．8．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝__________.三、解答题9．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－3＋2i.(1)求z 1－z 2；(2)在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．10．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．能力提升11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．512．复数3＋3i ，－5i ，－2＋i 的对应点分别为平行四边形的三个顶点A ，B ，C ，求第四个顶点对应的复数．1．复数的加减法运算，可以类比多项式中的合并同类项．2．根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．§3.2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义答案知识梳理1．(1)(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i(2)z 2＋z 1 z 2＋z 32．OZ → Z 2Z 1→作业设计1．C [z 1－z 2＝(3＋i)－(－1－i)＝4＋2i.]2．C [z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i.] 3．C [OZ 1→＋OZ 2→＝5－4i ＋(－5＋4i)＝0.]4．C [由向量的加法及减法可知：在▱OACB 内，OC →＝OA →＋OB →，AB →＝OB →－OA →.非零复数z 1，z 2分别对应复平面内向量OA →，OB →，由复数加减法的几何意义可知：|z 1＋z 2|对应OC →的模，|z 1－z 2|对应AB →的模，又因为|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则|OC →|＝|AB →|，所以四边形OACB是矩形，因此OA →⊥OB →，故选C.]5．A [z 1＋z 2＝a －3＋(4＋b )i ，z 1－z 2＝a ＋3＋(4－b )i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋b ＝0a ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4.] 6．(±22＋1)i解析 ∵z 是纯虚数，设z ＝b i (b ∈R 且b ≠0)．由|z －1－i|＝3得|－1＋(b －1)i|＝3.∴1＋(b －1)2＝9，∴b －1＝±22，∴b ＝±22＋1，即z ＝(±22＋1)i.7．4－4i解析由AB →＝OB →－OA →，得OB →＝AB →＋OA →＝1＋5i ＋(－2＋i)＝－1＋6i ，BC →＝OC →－OB →＝3＋2i －(－1＋6i)＝4－4i.8．5＋3i解析 ∵f (z )＝z －2i ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2－2i＝(3＋4i)－(－2－i)－2i＝(3＋2)＋(4＋1)i －2i ＝5＋3i.9．解 (1)因为z 1＝－2＋i ，z 2＝－3＋2i ，所以z 1－z 2＝(－2＋i)－(－3＋2i)＝1－i.(2)在复平面内复数z 1－z 2所对应的向量是OZ →＝1－i ，如图所示．10．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)可得，|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8，∵|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×8＝2. 11．B [由已知|z －(－2＋2i)|＝1，所以复数z 的对应点的轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，|z －2－2i|＝|z －(2＋2i)|表示复数z 的对应点到(2,2)点的距离，即圆上的点到(2,2)点的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.]12．解当四点顺序为ABCD 时，第四个顶点D 对应的复数为1＋9i ；当四点顺序为ADBC 时，第四个顶点D 对应的复数为5－3i ；当四点顺序为ABDC 时，第四个顶点D 对应的复数为－5－7i.。

3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义

§3.2复数代数形式的四则运算§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =9. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲解新课：一．复数代数形式的加减运算１．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .3. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ).∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i .z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i .又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1.∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律.4. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ).∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i )=［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i=［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i .z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］=(a 1+b 1i )+［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］=［a 1+(a 2+a 3)］+［b 1+(b 2+b 3)］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i∵(a 1+a 2)+a 3=a 1+(a 2+a 3)，(b 1+b 2)+b 3=b 1+(b 2+b 3).∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).即复数的加法运算满足结合律讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i .解法二：∵(1－2i )+(－2+3i )=－1+i ，(3－4i )+(－4+5i )=－1+i ，……(2001－2002i )+(－2002+2003)i =－1+i .相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i )+(2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i二.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减). １．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ， ∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：-==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;-==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i . ∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+ (x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用巩固练习：1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平面上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重心G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为 A.32 B.22 C.2 D.54.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三角形是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.一个实数与一个虚数的差（）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数6.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____.7.计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R ).8.计算（1－2i )－(2－3i )+(3－4i )－…－(2002－2003i ).9.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值. 解：21Z Z 对应的复数为z 2－z 1，则z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1)i －［a 2－3+(a +5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6)i∵z 2－z 1是纯虚数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=+-060222a a a a 解得a =－1. 10．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.解：设D （x ,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i )－(－2+i )=1－3i ∵= ∴(x －1)+(y －2)i =1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i 。

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

z1 + z2 = z2 + z1， (z1 + z2 )+ z3 = z1 + (z2 + z3 ) .
ｙ
Z1 (a, b)
Ｏ
新课讲授
uuuur uuuur
Z 设OZuu1，uOurZ 2分别与复数uuuaur bi，c di对应，
则有uOuuZur1
（a，b），OZ uuuur
2
（c，d），
作业
有OZ 1 OZ 2 （a c，b d）.
Z1 (a, b)
ｘ
这说明，两个向量OZ1与OZ
的和就是与
2
复数（a c）（b d）i对规定是加法的逆运算，即把满足
（c+di）+（x +yi）=a+bi的复数x + yi，叫做复数a+bi减去c+di 的差，记作（a+bi）-（c+di） .
新课讲授
根据复数相等的定义，有
c+ x=a， d+ y=b，
由此
x=a-c， y=b- d，
所以
x+ yi=（a-c）+(b- d )i，
即
（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b- d）i .
这就是复数的减法法则.由此可见，两个复数的差仍然是一个唯一确定的复数.
新课讲授
从上面可以看出，两个复数相加（减）就是把实部与
实部、虚部与虚部分别相加（减），即
（a+bi） ±（c+di）=（a± c）+（b± d）i .
例题
例：计算（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）.