马尔可夫过程
马尔可夫过程简介
1第七章 马尔可夫过程简介§7.1 马尔可夫过程定义对于一个随机过程，如果它具有以下特性：即当过程在现在时刻k t 所处的状态为已知的条件下，过程在将来时刻k t t >处的状态，只与过程在k t 时刻的状态有关，而与过程在k t 时刻以前所处的状态无关，则具具有此种特性的随机过程称为马尔可夫过程。
上述随机过程所具有的特性又称为无后效应。
无后效应也理解为：过程)(t X 在现在时刻k t 的状态，k k i t X =)(已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。
或者说，这种随机过程的“将来”只是通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦“现在”已知，那么“将来”和“过去”就无关了。
或者说，这种随机过程的“将来”只是通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦“现在”已知，那么“将来”和“过去”就无关了。
严格定义如下：定义马尔可夫过程：考虑随机过程)(t X ，并设1110+<<<<k k t t t t t ，如果它的条件概率密度函数满足)]()([)](,),(),()([1011k k k k k t x t x f t x t x t x t x f +-+= 则称为)(t X 为马尔可夫过程。
定义表明，)1(+k t x 的概率密度函数只取决于)(k t x 的状态，而与前)(,),(01t x t x k -个状态无关。
也就是“现在”的状态)(k t x 才对“将来”的状态)(1+k t x 有影响，而“过去”的状态)(,),(),(021t x t x t x k k --对“将来”没有影响。
由马尔要夫定义再根据条件密度函数公式，可写出马乐可夫过程的联合概率密度。
∵ ])(,),()([01t x t x t x f k k +)](,),(),([)](,),(),(),([01011t x t x t x f t x t x t x t x f k k k k k --+=)](,),(),(),([011t x t x t x t x f k k k -+2)](,),(),([)](,),(|)([0101t x t x t x f t x t x t x f k k k k -+= )](,),(),([)](|)([011t x t x t x f t x t x f k k k k -+=∏=+=ki i i t f t x t x f 01)()](|)([由上式要知，马尔可夫过程的联合概率密度函数等于各个转移概率密度和初始概率密度的乘积。
随机过程中的马尔可夫过程理论
随机过程中的马尔可夫过程理论马尔可夫过程理论是随机过程中的一种重要理论，它描述了一类具有马尔可夫性质的随机过程。
在随机过程中，马尔可夫过程是指一个系统在给定当前状态下，其未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫过程在实际应用中具有广泛的应用，尤其在可靠性分析、排队论和金融领域等方面发挥重要作用。
一、马尔可夫过程的基本概念马尔可夫过程由状态空间、转移概率矩阵和初始概率分布三要素构成。
1. 状态空间状态空间是指一个马尔可夫过程中可能出现的所有状态的集合。
通常用S表示，状态空间可以是有限的，也可以是无限的。
2. 转移概率矩阵转移概率矩阵描述了一个当前状态到下一个状态的转移概率。
假设状态空间S有n个状态，转移概率矩阵P的元素P(i, j)表示从状态i转移到状态j的概率。
转移概率矩阵满足非负性和归一性条件，即每个元素都大于等于零，每行元素之和等于1。
3. 初始概率分布初始概率分布是指系统在初始状态下各个状态出现的概率分布。
假设初始状态概率分布为π，其中π(i)表示系统初始状态为i的概率。
二、马尔可夫链马尔可夫过程中的马尔可夫链是指一个没有时间限制的马尔可夫过程，也就是说，它在任意时刻都遵循马尔可夫性质。
马尔可夫链可以是有限的，也可以是无限的。
1. 不可约性不可约性是指一个马尔可夫链中的所有状态都可以通过一系列转移概率到达任何其他状态。
具有不可约性的马尔可夫链被称为不可约马尔可夫链。
2. 遍历性遍历性是指一个不可约马尔可夫链中的任意状态都能在有限步内返回到自身。
具有遍历性的马尔可夫链被称为遍历马尔可夫链。
3. 非周期性非周期性是指一个马尔可夫链中不存在周期性循环。
如果一个状态经过若干步后又返回到自身的最小步数是1，则称该状态为非周期状态。
具有非周期性的马尔可夫链被称为非周期马尔可夫链。
三、马尔可夫过程的稳定性马尔可夫过程的稳定性是指在经过一段时间后，随机过程的状态分布不再发生显著变化。
马尔可夫过程与鞅
马尔可夫过程与鞅马尔可夫过程和鞅是概率论和随机过程中常见且重要的概念。
它们在各个领域都有广泛的应用，例如金融、生物学、物理学等。
本文将介绍马尔可夫过程和鞅的基本概念和特性，并探讨它们的应用。
一、马尔可夫过程马尔可夫过程是指具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质是指在已知当前状态下，未来发展的过程与过去的发展无关。
换句话说，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫过程可以用一个状态空间和状态转移概率矩阵来描述。
状态空间是指所有可能的状态组成的集合，状态转移概率矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种。
离散时间马尔可夫过程是指时间以离散的方式前进，状态也是离散的。
连续时间马尔可夫过程是指时间是连续的，状态可以是离散的或连续的。
马尔可夫过程有很多重要的性质，例如马尔可夫链的平稳分布、不可约性、遍历性等。
这些性质对于理解和分析马尔可夫过程的行为具有重要意义。
马尔可夫过程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在金融领域中，马尔可夫过程可以用来建模股票价格的变动。
在生物学领域中，马尔可夫过程可以用来描述基因的突变和演化。
在物理学领域中，马尔可夫过程可以用来描述粒子在空间中的运动。
二、鞅鞅是一种具有平衡性质的随机过程。
简单来说，鞅是指在给定过去的信息下，未来的期望与当前的值相等。
换句话说，鞅是一种没有偏差的随机过程。
鞅可以用来描述随机过程的平衡性质和无偏性质。
它在金融、统计学、信息论等领域中有广泛的应用。
鞅的性质使得它成为一种重要的工具，在金融领域中可以用来建模和分析股票价格、期权价格等。
在统计学中，鞅可以用来估计未知参数和预测未来值。
在信息论中，鞅可以用来描述信息的平衡性质和无偏性质。
三、马尔可夫过程与鞅的应用马尔可夫过程和鞅在各个领域都有广泛的应用。
它们可以用来建模和分析各种随机过程，并提供了一种有效的工具和方法。
在金融领域中，马尔可夫过程和鞅可以用来建模和分析股票价格的变动。
第5部分马尔可夫过程
P( X nk l | X n i)P( X nkm j | X nk l)
l
=
p(k il
)
(n)
p(m) lj
(n
k
)
l
5.2 马尔可夫链的转移概率与概率分布
在C-K方程矩阵形式中，取m=1，得
P(k1) (n) P(k) (n)P(n k), n, k 0
一直推下去，有 P(k1) (n) P(n)P(n 1) P(n k), n, k 0
其分量形式为
p(k1) ij
(n)
pij1 (n) pj1j2 (n 1) pjk j (n k), n, k 0;i, j S
j1 j2
jk
在上式中把 k+1换成 k，便可得如下结论 ：
定理5.2.2 马尔可夫链的k 步转移概率由一步转移概率所 完全确定.
5.2 马尔可夫链的转移概率与概率分布
5 马尔可夫过程
5.1 马尔可夫过程的定义 5.2 马尔可夫链的转移概率与概率分布 5.3 齐次马尔可夫链的分类 5.4 转移概率的稳定性能
5 马尔可夫过程
5.1 马尔可夫过程的定义 5.2 马尔可夫链的转移概率与概率分布 5.3 齐次马尔可夫链的分类 5.4 转移概率的稳定性能
5.1 马尔可夫过程的定义
马尔可夫过程是无后效性的随机过程
马尔可夫性
定义 5.1.1 设{X(t), t ∈T}是一个随机过程，如果{X(t), t ∈T} 在 t0 时刻所处的状态为已知时，它在时刻 t>t0 所处 状态的条件分布与其在 t0 之前所处的状态无关. 通俗地说 ，就是知道过程“现在”的条件下，其“将来”的条件 分布不依赖于“过去”，则称{X(t), t ∈T}具有马尔可夫 （Markov）性。
工程随机过程_3_马尔可夫过程(Markov)
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Stochastic Processes
定理2 若随机变量序列{X(n)，n0}对任何n 均满足下式，则该序列为马氏链。
P{ X (0) i0 , X (1) i1 ,, X ( n) in }
P { X ( 0) i 0 } P{ X (1) i1 | X (0) i0 } P{ X ( 2) i2 | X (1) i1 } P { X ( 3 ) i 3 | X ( 2) i 2 } P{ X ( n) in | X ( n 1) in1 }
Pn ( P1 )
n
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初始概率分布： 马氏链在初始时刻（即零时刻）取各状态 的概率分布 p0 ( i0 ) P{ X (0) i0 } i E 0 称为它的初始概率分布。 绝对概率分布： 马氏链在第n时刻（n 0）取各状态的概 率分布 p ( j ) P{ X (n) j } j E
第三章
马尔可夫过程 (Markov)
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Markov过程是一个具有无后效性的随机过程. 无后效性: 当过程在时刻tm所处的状态为已知时, 过程在 大于tm的时刻t所处状态的概率特性只与过程在 tm时刻所处的状态有关, 而与过程在tm时刻之前 的状态无关. (1)参数和状态都离散 -----马氏链 (2)参数离散, 状态连续 -----马氏序列 (3)其余皆为马氏过程.
马尔可夫过程详解
则：
Pi j (t τ )
P
k
ik
(t) Pk j ( τ )
Pi j (t Δt)
k j
P
k
ik
(t) Pk j ( Δt)
Pi j (t) Pj j ( Δt) Pik (t) Pk j ( Δt)
Pi j (t)[1 q j j Δt o( Δt)] Pik (t) [qk j Δt o( Δt)]
转移概率函数非负，按 j 求和为 1
p00 (t) p01 (t) 定 转移概率矩阵： P(t) p10 (t) p11 (t) 义 行 pi(t)：前向转移 列 sj(t)：后向转移 p (t) p (t) n1 n0
p0n (t) p1n (t) pnn (t)
每一行的所有元素之和为零 对角线上各元素为非正
非对角线（i≠j）上的元素非负
qi1 1+qii
qi2 i qi4
qi3
马尔可夫过程的数学描述
齐次纯不连续马尔可夫过程 的数学描述：
转移概率： pij(t)， i,j∈T
p00 (t) p01 (t) 转移概率矩阵 P(t) p10 (t) p11 (t) pi(t)：前向转移 p (t) p (t) sj(t)：后向转移 n1 n0
P ξ(tm1 ) j / ξ(t1 ) i1 ,
P ξ(tm1 ) j / ξ(tm ) im
, ξ(tm ) im
齐次特性：
Pξ(t2 ) j / ξ(t1 ) i pij (t2 t1 )
马尔可夫过程 鞅过程 通俗
马尔可夫过程鞅过程通俗
马尔可夫过程和鞅过程是概率论和随机过程中两个重要的概念，以下是它们的通俗解释：
1. 马尔可夫过程：
马尔可夫过程是一种随机过程，它的未来状态只取决于当前状态，而与过去的历史无关。
换句话说，给定当前时刻的状态，未来的状态是独立于过去的状态的。
这就像是一个“健忘”的过程，它不记得过去发生了什么，只根据当前的情况来决定未来。
举个例子，考虑一个人在城市中行走的过程。
假设他当前所在的位置决定了他下一步可能去的地方，而他过去的位置对他的未来路径没有影响。
那么这个行走过程可以被建模为马尔可夫过程。
2. 鞅过程：
鞅过程是一种特殊的马尔可夫过程，它满足“鞅性”，即在任何时刻，过程的期望等于其当前值。
这意味着，从长远来看，过程的平均变化是零。
再举个例子，假设你在玩一个抛硬币的游戏，每次抛硬币都有一半的概率正面朝上，一半的概率反面朝上。
如果你把每次抛硬币的结果加起来，那么从长远来看，你的总和应该接近于零，因为正面和反面出现的次数大致相等。
这个游戏的过程可以被建模为鞅过程。
总的来说，马尔可夫过程和鞅过程是随机过程的两种重要类型，它们在金融、统计、物理等领域都有广泛的应用。
马尔可夫过程
马尔可夫过程 、独立 增量过程及独立随机过程
牛慧芳 2010-122010-12-25
1
7.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，它具有如下特性：当随机过程 在时刻ti所处的状态已知时，过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在ti时刻的 状态有关，而与过程在ti时刻以前所处的状态无关。此特性称为随机过程的 无后效性或马尔可夫性。此特性也可理解为：随机过程X(t)在“现在”状态 已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况无关。或者说，过去 只影响现在，而不影响将来。 P{将来|现在、过去}=P{将来|现在} 马尔可夫过程分类 按其状态空间I和时间参数集T是连续还是离散可分成四类(如表7-1)。 讨论的内容： 讨论的内容： 定义：转移概率及转移概率矩阵；齐次性；平稳分布；遍历性； 其他性质。
j =1
N
ij
=1
k=n时，n步转移概率pij(n)为： pi j ( n ) = pij ( m , m + 1) = P { X m + n = a j | X m = a i } , n ≥ 1 对应的n步转移概率矩阵为：
11
显然具有如下性质：
0 1、 ≤
N
pij ( n ) ≤ 1
ij
2、
2、马氏链的转移概率及其转移概率矩阵 (1)马氏链的转移概率 (1)马氏链的转移概率 马氏链“在tm时刻出现的状态为ai的条件下，tm+k时刻出现的 状态为aj”的条件概率可用pij(m,m+k)表示，即
齐次马氏链：若pij(m,m+k)与m无关，即pij(m,m+k)= pij (k) k=1时，一步转移概率pij为：
2
第五章马尔可夫过程
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 | X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1}
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 }= P{X(tn) < xn | X(tn-1) = xn-1}
k为转移步长。显然， 0≤ pij (m,k) ≤ 1 。
5.2 马尔可夫链
5.2.1 பைடு நூலகம்尔可夫链的概念
马尔可夫链的转移概率及其矩阵：
对于有限状态空间E={1,2,…,N},由马尔可夫链 {X(n), n=0,1,2,…}在时刻m的k步转移概率pij (m,k)形成的下列矩阵
p11(m, k)
P(m,
5 马尔可夫过程
马尔可夫过程的概念 离散参数马尔可夫链 连续参数马尔可夫链 生灭过程及应用
5 马尔可夫过程
有限维概率分布(簇) 转移概率 绝对概率 极限分布 平稳分布 状态空间的性质
5.1 马尔可夫过程的概念
5.1.1 有关定义
随机过程马尔可夫性：（物理描述）
当随机过程在时刻 ti 所处的状态为已知的条件下，过 程在时刻 t(>ti)所处的状态，与过程在ti时刻以前的状态无 关，而仅与在ti时刻的状态有关。这种已知“现在”状态的 条件下，“将来”状态与“过去”状态无关的性质，称为 马尔可夫性或无后效性。
或 F{xn | x1, x2, …, xn-1; t1, t2, …, tn-1}= F{xn; tn| xn-1 ; tn-1} 或 f{xn | x1, x2, …, xn-1; t1, t2, …, tn-1}= f{xn; tn| xn-1 ; tn-1}
马尔可夫过程
Ai lim P{Si (t)}
t
式中
Si（t）--系统i状态的瞬态概率； Ai--i状态的稳态概率。
通常，稳态概率空间的表达式不易求出，该解 法适合于解决一些比较简单系统的稳态状态概率问 题。 同构法 当系统达到稳定状态以后，各种状态将持续转 移，但是每种状态出现的概率基本不变，从而形成 一个稳定的状态空间。求解状态空间方程组，就可 得到系统在各种状态的稳态概率。
马尔可夫过程
神和尧
马尔可夫过程简介 一类随机过程（数学基础是随机过程理论）。 原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫 于1907年提出。 该过程具有如下特性：在已知目前状态 （现在） 的条件下，它未来的演变 （将来）不依赖于它以往 的演变 ( 过去 ) 。 ④例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过 程 。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程， 如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人 数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
马尔可夫特性的直观解释为：
在给定t时刻随机过程的状态为Xn或xn，则该过 程的后续状态及其出现的概率与t之前的状态无关。 也就是说，过程当前的状态包括了过程所有的历史 信息，该过程的进一步发展完全由当前状态所决定， 与当前状态之前的历史无关，这种性质也称为无后 效性或无记忆性。 此特性也可以理解为：随机过程Xn在“现在” 状态已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去” 无关。或者说，过去只影响现在，而不影响将来。 P{将来|现在、过去}=P{将来|现在}
kE
状态转移图和状态转移率矩阵 马尔可夫模型常使用状态转移图来描述系统的运行情况。 故障（p）
S
1-p 修复（q）
F
1-q
图1 马尔可夫过程的状态转移图
马尔可夫过程
马尔可夫过程马尔可夫过程是一种重要的随机过程，它具有如下特性：当随机过程在时刻ti 所处的状态已知时，过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在ti 时刻的状态有关，而与过程在ti 时刻以前所处的状态无关。
此特性称为随机过程的无后效性或马尔可夫性。
此特性也可理解为：随机过程X(t)在“现在”状态已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况无关。
或者说，过去只影响现在，而不影响将来。
P{将来|现在、过去}=P{将来|现在}马尔科夫过程的分类：按其状态空间I 和时间参数集T 是连续还是离散可分成四类(如表7-1)。
7.1.1 马尔可夫序列1、马尔可夫序列的定义定义：若对于任意的n ，随机序列{X(n)}的条件分布函数满足()()1X 121X |F ,,,|F --=n n n n X X X X X X则称此随机序列{X(n)}为马尔可夫序列。
条件分布函数FX(xn|xn-1)常被称为转移分布。
对于连续型随机变量，由上式可得(7-2)因此，利用条件概率的性质1211(|,,,)(|)X n n n X n n f x x x x f x x ---=(7-3)结合式(7-2)可得(7-4)所以，X1，X2，…，Xn 的联合概率密度可由转移概率密度fX(xk|xk-1)(k=2, …,n)和初始概率密度fX(x1)所确定。
推广：多重马尔可夫序列。
二重马尔可夫序列满足2、马尔可夫序列的性质1）马尔可夫序列的子序列仍为马尔可夫序列。
给定n 个任意整数k 1<k 2<…<k n ,有2）马尔可夫序列的逆序列仍为马尔可夫序列。
对任意的整数n 和k ，有证：由式(7-4)知3）马尔可夫序列的条件数学期望满足如果马尔可夫序列满足：12121211(,,)(|,,,)(|)()X n X n n n X X f x x x f x x x x f x x f x --=12112211(,,)(|)(|)(|)()X n X n n X n n X X f x x x f x x f x x f x x f x ---=1112(|,,,)(|)n n n n X k k n k X k k f x x x x f x x ---=121212112111221111(|,,,)(,,,,)(,,,)(|)(|)(|)()(|)(|)(|)()(|)()()X n n n n k X n n n n k X n n n k X n k n k X n k n k X n n X n X n k n k X n k n k X n n X n X n n X n X n f x x x x f x x x x f x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x f x x f x f x f +++++++++++-+-+-+++-+-+-+++++====111(,)()(|)X n n X n X n n x x f x f x x ++-=则称此随机序列为“鞅”。
概率论中的马尔可夫过程与随机游走
概率论中的马尔可夫过程与随机游走马尔可夫过程（Markov process）和随机游走（random walk）是概率论中重要的概念与方法，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍马尔可夫过程和随机游走的基本概念、特点以及在实际问题中的应用。
一、马尔可夫过程马尔可夫过程是指具有“无后效性”（即过去的状态对未来的发展没有直接影响）的随机过程。
它是以俄国数学家马尔可夫命名的，主要用于描述系统的演化。
1.1 基本概念在马尔可夫过程中，最基本的元素是状态和状态转移概率。
一个马尔可夫过程是由一系列离散状态组成的，例如{s1, s2, s3, ...}。
任意时刻，系统只处于其中的某个状态之一。
马尔可夫过程的演化具有“马尔可夫性”，即未来状态的转移只依赖于当前状态，与过去的状态无关。
这种性质由转移概率所决定。
设Pij表示在时刻t系统由状态Si转移到状态Sj的概率，则对于任意的i、j和k（i、j、k ∈状态集合），满足以下条件：P(Sk|Si, Sj, ..., Sk-1) = P(Sk|Sk-1) = Pij其中P(Sk|Sj, ..., Sk-1)表示给定Sj, ..., Sk-1的条件下Sk出现的概率。
1.2 马尔可夫链马尔可夫链是一类特殊的马尔可夫过程，它具有离散时间和离散状态的特点。
马尔可夫链的状态空间可以是有限的，也可以是可数无穷的。
对于一个马尔可夫链来说，其状态转移概率可以用状态转移矩阵来表示。
设P为状态转移矩阵，Pij表示在一步时间内系统由状态Si转移到状态Sj的概率，则P = (Pij)。
1.3 马尔可夫过程的应用马尔可夫过程在许多领域中有重要的应用。
其中，最典型的是马尔可夫链在统计学中的应用。
马尔可夫链模型可以用来描述、分析一些复杂系统的性质，例如人口模型、金融市场模型等。
此外，马尔可夫链还广泛应用于自然语言处理、机器学习和图像处理等领域。
通过对于系统的建模和分析，可以得到关于状态转移、概率分布等重要的信息。
马尔可夫过程
马尔可夫过程马尔可夫过程是这样一个过程，假设现在时刻的状态是Xn，而在将来某时刻的状态仅仅与现在的状态有关，而与过去时刻的状态无关，马尔可夫过程也称为无后效过程。
马尔可夫过程根据自变量t和状态x 的取值可以分为离散马尔可夫链，连续马尔可夫链，离散马尔可夫过程，连续马尔可夫过程。
对时间离散取值的马尔可夫链，其联合概率完全由条件概率和初始概率确定。
在这里条件概率通常称为转移概率，如果各个状态之间的转移概率不随时间变化，称该离散马尔可夫链是时间齐次的，或简称齐次，也叫平稳的。
如果离散马尔可夫链的状态仅有有限个取值，或说仅有有限个状态，则它所有的转移概率可以组成一个矩阵，称之为转移概率矩阵，通常，也可以讲有限个状态的马尔可夫链形象地用状态图来表示。
k步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵的k次方。
连续参数马尔可夫过程的联合概率密度可由其转移概率密度和初始边缘密度完全确定，显然一个独立的随机序列是马尔可夫过程。
如果有一个随机过程，它在任一个时间间隔上过程状态的改变，步影响未来的任意时间间隔上的状态改变，该过程称为独立增量过程。
独立增量过程是一种特殊的马尔可夫过程，且独立增量过程的有限维分布可由她的初始概率分布和所有增量的概率分布唯一确定。
在电子系统应用中往往需要研究这样一类问题：即在一定的时间间隔内某种事件出现次数的统计规律，例如对散弹噪声和脉冲噪声的研究。
实际上这类问题也在其它技术领域中存在。
例如在一定时间间隔内，电话交换台的呼叫次数，船舶甲板“上浪”的次数，通过交叉路口的汽车数等，所有这些过程都可以用泊松过程来模拟。
泊松过程属于具有可列个阶跃的阶跃型马尔可夫过程（或称作存不连续马尔可夫过程）。
同时它也是一个独立增量过程。
马尔科夫过程
P{Xn1 j | Xn in}
(i 1,2, , N)
则称 {X n} 为马尔可夫链（简称马氏链）。
2、马尔可夫链的转移概率及性质
（一）
k 1 时，有
pij (1) pij (m, m 1) pij
称为一步转移概率。由所有一步转移概率 pij 构成的矩阵
f X (xn | xn1, , xnk ) f X (xn | xn1 )
证：因为
f X (xn , xn1 , , xnk ) f X (xnk | xnk1 ) f X (xn1 | xn ) f X (xn )
同理
f X (xn1 , xn2 , , xnk ) f X (xnk | xnk1 ) f X (xn2 | xn1 ) f X (xn1 )
可达具有传递性，即若 i r , r j ,则 i j
定义（相通或互达定义）：若自状态 i 可达状态 j，同时自状态 j
也可达状态 i，则称状态 i 和状态 j 相通，记为 i j
是齐次的。 5、 如果一个马尔可夫序列是齐次的，并且所有的随机变量 X n
具有相同的概率密度，则称该马尔可夫序列是平稳的。
6、 对于 n r s, 马尔可夫序列的转移概率满足
f X (xn | xs ) f X (xn |xr ) f X (xr | xs )dxr
此式就是有名的切普曼—柯尔莫哥洛夫方程（C-K方程）。
p1N (n) p2N (n)
pNN (n)
（1）
0 pij (n) 1
（2）
为了数学处理便利，通常规定
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N
pij (n) 1
5随机过程第五章马尔可夫过程
P X nk m j | X n i, X nk l P X nk l | X n i
lS
k m pil n . plj n k
lS
特殊地，在C-K方程中，m=1, 有
P k 1 n P k n P1 n k P k n P n k
5、1 马尔可夫过程定义
2）时间离散 状态连续
3）时间连续 状态离散 泊松过程 更新过程
马尔可夫序列
纯不连续马尔可夫过程 生灭过程 排队服务系统
4）时间状态连续
维纳过程
5、2 马尔可夫链的转移概率及概率分布
设Markov链 X n , n 0 状态空间为S 1．转移概率 (1) 定义： n时刻 X n i k步转移
1
1 0
1/2
2
1/2
对齐次链，有关C-K方程和概率分布可简化
C-K方程
故有 绝对分布
pij
k m
pil plj ,
k m
lS
P
k m
P
k
P
m
Pk Pk , k 0
n j n i 0 . pij
一步转移概率矩阵
P n pij n , i, j S
(4) 0步转移概率 k=0 连续性条件 则
P
0
1, i j pij n ij 0, i j
0
n I
单位矩阵
1,2,3，系统在n时刻的k步转移概率矩阵为 例 状态空间 S
t iS
t t1
t1 ... pit it tn1
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1 马尔可夫链与转移概率
=P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2} P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2} = =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2} P{X1=i1|X0=i0}P{X0=i0} 由此可知马尔可夫链的统计特性完全由条件 概率P{Xn+1=in+1|Xn=in}确定。这个概率称为一步 转移概率(在时刻n过程从状态in 转移到状态 in+1 的概率)
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1 马尔可夫链与转移概率
例4.2 赌徒输光问题 甲有赌资a元，乙有赌资b元，赌一局输 者给赢者1元，无和局。甲赢的概率为p， 乙赢的概率为q=1-p，求甲输光的概率。 解 状态空间I={0,1,2,,c}，c=a+b
q p
0 a-1 a a+1 a+b
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1 马尔可夫链与转移概率
p1(nn1) ( n 1) p 2 n ( n 1) pmn
pm 2 pmn
( n 1) = pik pkj P(n) kI i , jI
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1 马尔可夫链与转移概率
(4) P(n)=Pn由(3) P(n)=PP(n-1)推出.事实上,由(3)知 P(2)=PP(1)=PP= P2, 再由数学归纳法可得结论 说明： (a)结论(1)为C-K方程(切普曼-柯尔莫哥洛夫) (b) n步转移概率由一步转移概率确定， n步转移概率矩阵由一步转移概率矩阵确定 (n次幂)
pij 0,
p
j
ij
1.
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1 马尔可夫链Biblioteka 转移概率(3) 随机矩阵的性质: m a) 随机矩阵P任意次幂 P (m 0) 均 是随机矩阵. b) 如果随机矩阵P的各行皆对应相等, p p ( i , j ) ij j 即 则
P P 2 P3 P m .
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1 马尔可夫链与转移概率
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1 马尔可夫链与转移概率
定义4.2 称条件概率pij (n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔可夫链{Xn，nT }在时刻n的一步转 移概率，简称转移概率，其中i,jI。 定义4.3 若对任意的i,jI，马尔可夫链 {Xn,nT }的转移概率pij (n)与n无关，则称 马尔可夫链是齐次的，并记pij (n)为pij。 齐次马尔可夫链具有平稳转移概率，状态 空间I={1,2,3,}，一步转移概率矩阵为
(n) p12 (n) p22
(n) pm 2
p1(kn ) (n) p2 k (n) pmk
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1 马尔可夫链与转移概率
( n) ( n) p 0 , p 其中 ij ij 1, i, j I jI
P(n)也为随机矩阵
(4) PT(n)= PT(n-1)P
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4.1 马尔可夫链与转移概率
证(1)
p j (n) P{ X n j} P{ ( X 0 i ),X n j} P{ ( X 0 i,X n j )} P{ X 0 i, X n j} P{ X n j | X 0 i}P{ X 0 i} pi p
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1 马尔可夫链与转移概率
定理4.2 设{Xn, nT }为马尔可夫链，则对任意整 数jI和n1 ，绝对概率pj (n)具有性质
(1) p j (n)
(2)
j
p p p (n) p (n 1) p
iI i ( n) ij iI i
ij
(3) PT(n)=PT(0)P(n)
iI iI (n) ij
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iI
iI
iI
4.1 马尔可夫链与转移概率
(2) p j (n) P{ X n j} P{ X n 1 i, X n j}
iI
P{ X n j | X n 1 i}P{ X n 1 i} pi (n 1) pij
iI
P{ X 0 i , X 1 i1 ,, X n in } P{ X 0 i}P{ X 1 i1 | X 0 i}
iI
pi pii1 pi1i2 pin1in
iI
P{ X 2 i2 | X 1 i1} P{ X n in | X n1 in1}
pik1 pk1k 2 pk n1 j
k1I k n1I
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1 马尔可夫链与转移概率
(3)利用矩阵乘法证明P(n)=PP(n-1). 事实上,
p11 p21 PP(n-1)= pm1 p12 p1n p22 p2 n p ( n1) p ( n1) 12 11 ( n 1) ( n 1) p21 p22 ( n 1) ( n 1) pm p 1 m2
随机过程
Stochastic Processes
马尔可夫链
1 马尔可夫链的概念及转移概率
2 马尔可夫链的状态分类 3 状态空间的分解 4 转移概率的渐近性质与平稳分布 5 连续时间马尔可夫链
6 柯尔莫哥洛夫微分方程
7 生灭过程
3
马尔可夫过程的定义
定义4.0 设 {X(t)，t T }为随机过程，若对 任意正整数n及t1< t2<<tn， P{X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1}>0， 且条件分布 P{X(tn)xn|X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1} = P{X(tn)xn|X(tn-1)=xn-1}， 则称{X(t)，t T }为马尔可夫过程。 若t1,t2,,tn-2表示过去，tn-1表示现在，tn表示 将来，马尔可夫过程表明：在已知现在状态 的条件下，将来所处的状态与过去状态无关。
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马尔可夫过程的定义
马尔可夫过程通常分为三类： (1)时间、状态都是离散的，称为马尔可夫 链 (2)时间连续、状态离散的，称为连续时间 马尔可夫链 (3)时间、状态都是连续的，称为马尔可夫 过程
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1 马尔可夫链与转移概率
概率向量和随机矩阵 (1)称可列维向量p=(p1 ,p2 ,p3, )为概率向 量,如果 pi 0, 且 pi 1. i (2)称可列维矩阵P=(pij)为随机矩阵,如果 它的每一行都是概率向量,即对任意的i,j,
考虑随机过程{Xn，nT }，其中参数 T={0,1,2,},状态空间I={i0,i1,i2,} 定义4.1 若随机过程{Xn，nT }，对任 意nT和i0,i1,,in+1 I，条件概率 P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,,Xn=in} = P{Xn+1=in+1|Xn=in}， 则称{Xn，nT }为马尔可夫链，简称马 氏链。
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1 马尔可夫链与转移概率
马尔可夫链的性质 P{X0=i0,X1=i1,,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,,Xn-1=in-1} P{X0=i0,X1=i1,,Xn-1=in-1} = P{Xn=in|Xn-1=in-1} P{Xn-1=in-1 |X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2} P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
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1 马尔可夫链与转移概率
定义4.6 初始概率 绝对概率 初始分布 绝对分布
p , j I p (n) , j I
j j
T T
p j P{X 0 j} p j (n) P{X n j}
初始概率向量 P (0) ( p1 , p2 ,) 绝对概率向量 P (n) ( p1 (n), p2 (n),)
iI iI
(3)(4)为(1)(2)的矩阵表示。
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•定理4.3 设{Xn nT }为马尔可夫链，则 对任意整数i1, i2,,inI和n1 ，有性质
P{X1 i1 ,, X n in } pi pii1 pi1i2 pin1in
iI
证 P{ X i ,, X i } 1 1 n n
(1) 当n 1时, pij pij , P (1) P
当n 0时，规定p
(0) ij
0 , i j ij 1 , i j
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1 马尔可夫链与转移概率
定理1 设{Xn，nT }为(齐次)马尔可夫链， 则对任意整数 n0, 0l<n 和i,jI，n步转移 ( n) 概率pij 具有性质 (1) (2)
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1 马尔可夫链与转移概率
p11 p21 P pm 1
转移概率性质 (1) pij 0, i , j I (2) 即, P为随机矩阵
p12 p22
p1n p2 n pmn
pm 2
kI ( n l ) (l ) ( l ) ( n l ) pkj (m l ) pik (m) pik pkj kI kI
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PX m i, X m n j j | X m i PX m i
P{ X m n j | X m i, X m l k}P{ X m l k | X m i}
kI
1 马尔可夫链与转移概率
(2)在(1)中令l=1,k=k1,得
p
(n) ij
p p
k1I (1) ik1 (1) ik1 k 2 I
( n 1) k1 j
p
k1I
p
(1) k1k 2
p
( n2) k2 j
k1I
k 2 I
p
ik1