【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件：9.3 圆的方程

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2014届高考数学一轮复习第55讲《圆的方程》热点针对课件理

π (1)y－x＝ 3sin θ－ 3cos θ－2＝ 6sin(θ－ )－2， 4 y－x 的最大、最小值分别为 6－2，－ 2－2. (2)x2＋y2＝4＋3cos2θ＋4 3cos θ＋3sin2θ ＝7＋4 3cos θ，所以 x2＋y2 的最大值、最小值分别为 7＋4 3、7－4 3.
三
，
所以圆 C 的一般方程为 x2＋y2－4x－4x＋3＝0，化为标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
【拓展演练 1】根据下列条件求圆的方程： (1)与圆 O：x2＋y2＝4 外切于点 P(1，－ 3)，且半径为 4 的圆 C 的方程； (2)求经过已知圆 C1：x2＋y2－4x＋2y＝0 和 C2：x2＋y2 －2y－4＝0 的交点，且圆心在直线 l：2x＋4y＝1 上的圆 C 的方程．
解析：设所求方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
22＋－12＋2D－E＋F＝0 2 2 则5 ＋0 ＋5D＋0＋F＝0 2 6 ＋12＋6D＋E＋F＝0 D＝－4 ，解得E＝－8 F＝－5
，
故所求圆的一般方程为 x2＋y2－4x－8y－5＝0.
3．圆 x2－2x＋y2－3＝0 的圆心到直线 x－ 3y－3＝0 的距离为 .
与圆的方程有关的综合问题
【例 3】(2012· 吉林省吉林市下期期中检测)已知圆 C1
的圆心在坐标原点 O，且恰好与直线 l1： x－y－2 2＝0 相切． (1)求圆的标准方程； (2)设点 A(x0，y0)为圆上任意一点，AN⊥x 轴于 N，若动 → → → 点 Q 满足OQ＝mOA＋nON(其中 m＋n＝1，m，n≠0，m 为常数)，试求动点 Q 的轨迹方程 C2.
x＝2＋cos θ (方法二)因为， y＝－3＋sin θ

2014高考数学最新一轮复习必考题型巩固提升9.3《圆的方程》学案

9.3圆的方程考情分析（1）结合直线方程，用待定系数法求圆的方程，多与切线有关（2）利用几何性质求动点的轨迹方程考纲要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程。

基础知识1、圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程②与轴相切的圆方程③与轴轴都相切的圆方程2、圆的一般方程： .当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：①圆的参数方程：（为参数）.②方程表示圆的充要条件是：且且.③圆的直径或方程：已知（用向量可征）.3、点和圆的位置关系：给定点及圆.①在圆内②在圆上③在圆外注意事项1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2.(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．3.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．题型一求圆的方程【例1】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )A. (x －2)2＋(y －1)2＝1 B. (x －2)2＋(y －3)2＝1 C. (x －3)2＋(y －2)2＝1 D. (x －3)2＋(y －1)2＝1答案：A解析：设圆心坐标为(a ，b )，由题意知a >0，且b ＝1.又∵圆和直线4x －3y ＝0相切， ∴|4a －3|5＝1，即|4a －3|＝5，∵a >0， ∴a ＝2.所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.【变式1】经过点A (5,2)， B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．解析 ∵圆经过点A (5,2)，B (3,2)，∴圆心在x ＝4上，又圆心在2x －y －3＝0上，∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝r 2，又圆过B (3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r 2， ∴r 2＝10，∴圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. 答案 (x －4)2＋(y －5)2＝10 题型二与圆有关的最值问题【例2】若直线2ax ＋by －2＝0(a ，b 为正实数)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是________．答案：3＋2 2解析：圆心为(1,2)，代入直线方程得a ＋b ＝1，则2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(a ＋b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2 2.等号成立的条件为a ＝2－2，b ＝2－1.【变式2】圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3 2.则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为：|2＋2－14|2＋32＝52＋32，最小距离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为6 2. 答案 C题型三圆的综合应用【例3】已知圆的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2. (1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)．解：(1)设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m .消去m ，得y ＝4－x .∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直， ∴直线OC 的方程为x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2.即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2. 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.【变式3】在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程．解 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8，若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10， ∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10. 重难点突破【例4】在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解析 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －2＋y －2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝－2a56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.巩固提高1.已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A. x 2＋y 2＝2 B. x 2＋y 2＝ 2 C. x 2＋y 2＝1 D. x 2＋y 2＝4答案：A解析：圆心为(0,0)，半径为2，应选A 项．2.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A. (－∞，4)B. (－∞，0)C. (－4，＋∞)D. (4，＋∞)答案：A解析：由题意，得圆心(1，－3)在直线y ＝x ＋2b 上，得b ＝－2，由圆成立的条件可得(－2)2＋62－4×5a >0，解得a <2，∴a －b <4，故选A.3. 过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是( )A. x ＝1B. y ＝1C. x －y ＋1＝0D. x －2y ＋3＝0答案：D解析：设圆心为C ，当CM ⊥l 时，圆截l 的弦最短，其所对的劣弧最短，又k CM ＝－2，∴k l ＝12.∴直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A. (x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B. (x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C. (x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D. (x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案：A解析：设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5.若圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝( )A. －3B. －4C. －6D. －8答案：D解析：依题意得，DE →·DF →＝(DO →＋OE →)·(DO →＋OF →)＝(DO →＋OE →)·(DO →－OE →)＝1－9＝－8，故选D.。

高三数学一轮复习课件第九章 9.3 圆的方程

即
|2k＋3| ＝1，解得
k2＋1
k＝－2＋2
3
3或
k＝－2－2
3
3，
∴yx的最大值为－2＋2
3
3，最小值为－2－2
3
3 .
2.在本例的条件下，求 x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值.
解 x2＋y2＋2x－4y＋5＝ x＋12＋y－22，求它的最值可视为求点(x，y) 到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1,2)的距离为 34，
师生共研
题型二与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 x＝x0＋2 3，y＝y0＋2 0，所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
该圆的标准方程是
√A.(x－2)2＋(y－1)2＝1
C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
B.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 D.(x－3)2＋(y－1)2＝1
解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直
线4x－3y＝0相切，
|4a－3| ∴ 5 ＝1，解得
a＝2
或
a＝－21(舍去).
师生共研

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教案文含解析新人教A版

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教案文含解析新人教A版§9.3圆的方程最新考纲考情考向分析掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F概念方法微思考1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？提示⎩⎪⎨⎪⎧A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.2.已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的什么条件？提示由题意可知，⊙C 与y 轴相切于原点时，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，0，而D 可以大于0，所以“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的充分不必要条件. 3.如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组. (3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程. 4.点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种.已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆.( × )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( √ ) (5)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的圆.( × ) 题组二教材改编2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D.(x －1)2＋(y －1)2＝2答案 D解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.3.以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x ＋4y ＝0相切的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －3)2＋(y －1)2＝1D.(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 答案 A4.圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________. 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9，解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三易错自纠5.若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－22)∪(22，＋∞) C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B解析将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.6.若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.－1<a <1 B.0<a <1 C.a >1或a <－1 D.a ＝±4答案 A解析 ∵点(1,1)在圆内， ∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1.7.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A.(x －2)2＋(y －1)2＝1C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.(x －3)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a,1)(a >0)，又圆与直线4x －3y ＝0相切， ∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍去). ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 故选A.题型一圆的方程例1(1)已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254答案 C解析方法一 (待定系数法)根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a >0)，半径为r ，则圆E 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2，(2－a )2＝r 2，a 2＋(－1)2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，r 2＝2516，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.方法二 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516. 方法三 (几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上.又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________________________.答案 x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0解析设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10.②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，得D 2－4F ＝36，④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值. 跟踪训练1已知圆心在x 轴上，半径为5的圆位于y 轴右侧，且截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，则圆的方程为__________. 答案 (x －25)2＋y 2＝5解析根据题意，设圆的圆心坐标为(a,0)(a >0)，则圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝5(a >0)，则圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|a ＋2×0|12＋22＝55a . 又该圆截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，所以可得12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫55a 2＝5，解得a ＝2 5.故圆的方程为(x －25)2＋y 2＝5.题型二与圆有关的轨迹问题例2已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0).求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.解 (1)方法一设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0).方法二设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法：根据圆、直线等定义列方程. ③几何法：利用圆的几何性质列方程.④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.跟踪训练2设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.解如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.题型三与圆有关的最值问题例3已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值. 解设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1.在本例的条件下，求yx的最大值和最小值.解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2.在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值. 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法. ①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题.跟踪训练3已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3). (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值； (3)求y －x 的最大值和最小值.解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点， ∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. (3)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.∴y －x 的最大值为9，最小值为1.1.若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.2.已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A.x 2＋y 2＝2 B.x 2＋y 2＝ 2 C.x 2＋y 2＝1 D.x 2＋y 2＝4答案 A解析 AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.3.以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0,2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝5 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C.(x －1)2＋y 2＝5 D.x 2＋(y －1)2＝5 答案 A解析由题意得，点(a,1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r . ∴|2a －1＋4|22＋(－1)2＝|2a －1－6|22＋(－1)2，解得a ＝1. ∴r ＝|2×1－1＋4|22＋(－1)2＝5， ∴所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.4.(2018·锦州调研)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A.x 2＋y 2＋10y ＝0 B.x 2＋y 2－10y ＝0 C.x 2＋y 2＋10x ＝0 D.x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5.已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A.(x ＋2)2＋(y －2)2＝4 B.(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 C.(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4 D.(x －2)2＋(y －2)2＝4 答案 B解析根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1,1)，半径为2，若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.6.圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( ) A.1＋ 2 B.2 C.1＋22D.2＋2 2答案 A解析将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.7.已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________. 答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆.8.已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________. 答案 (0，－1)解析圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1).9.若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m ). 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.10.平面内动点P 到两点A ，B 的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2,0)，B (2,0)，λ＝12，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________.答案 x 2＋y 2＋203x ＋4＝0解析由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y2(x －2)2＋y 2＝12，化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0.11.已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上， (1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值和最小值.解方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2. (1)(转化为斜率的最值问题求解)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示.设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145.所以y x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)(转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示.由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ，则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.答案 74解析设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14.已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，则x 2＋y 2的最大值为________. 答案 2 2 解析x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离.当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2.综上可知，x 2＋y 2的最大值为2 2.15.圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是( ) A.2 3 B.203 C.323 D.163答案 C解析由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)， ∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝323，当且仅当3b a ＝3ab，即a ＝b 时取等号，故选C.16.已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，求圆C 的方程.解设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.。

2014高考数学一轮复习课件第九篇解析几何第3讲

•[方法锦囊] 与圆有关的轨迹问题主要是求动点的轨迹方程，其求解的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、求解．要灵活运用图形的几何性质．对于“双动点”问题，即已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，通常用代入法．
• 【训练3】设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋ y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
x＋y－2＝0 y＝1，
∴圆心C的坐标为(1,1)，r2＝|AC|2＝(1－1)2＋(1＋1)2＝4，∴ 圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案 C
• 5．如果三角形三个顶点分别是O(0,0)， A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为 ________．
解析因为三角形AOB是直角三角形，所以内切圆半径为r |OA|＋|OB|－|AB| 15＋8－17 ＝＝＝3，圆心坐标为(－3,3)， 2 2 故内切圆方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝9.
a ＋1－1＝0，解得a＝0，所以圆心坐标为(0,1)． 2
• 答案
(1)(x－2)2＋(y－1)2＝1
(2)(0,1)
考向二与圆有关的最值问题【例2】►已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. y (1)求的最大值和最小值； x (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝ x0＋3 2 (x≠3且x≠1)，y＝
y0＋0 2 ，于是有x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将 x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．

高考数学北师大(理)一轮复习课件：9.3圆的方程

的定义及方程2的标准方程（Z）2 + ©“）2二厂2,点MO%，(1 )(x0-t/)2+(V o-Z?)2= r2<=> 点在圆上;⑵(x0-a)2+(y Q-Z?)2> r2<=> 点在圆外;⑶(x0-a)2+(v0-Z?)2< r2 O 点在圆内.1•圆心在过切点且垂直于切线的直线上.2•圆心在任一弦的垂直平分线上.3.两圆相切时，切点与两圆心三点共线.4.以人01，北),〃(兀2，歹2)为直径的两端点的圆的方程是(%-^!)(%-%2) + (^- 力用-血二贝公式推导:设圆上任一点P(x,y),贝！J 有kpA，kpB=-\,由斜率公式代入整理即可)考点自诊1 •判断下列结论是否正确，正确的画“*错误的画“XI⑴己知圆的方程为*+产2尸0,过点A （l,2）作该 (2)方程(x+6/)2+(y+Z?)2=r 2(ZGR)表不圆・（X ）⑶方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1二0表示圆心为（-号，-a ），半径为扌 J-3a2_4a + 4的圆.（X ）（4）已知点人（“仍）0（兀2，力），则以AB 为直径的圆的方程是（FO 兀2）+ 31）（“2）二。

・（V ）（5） 7j&+Bxy+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 B 二的切线只有一心为@0），半径为T 的一个0Q2+£2.4F>0・（V ）考点自诊2 •若圆<?的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线yn对称,则圆C的标准方程为(C )A.(x-l)2+y2= 1B.x2+(y+l)2= 1C.x2+(y-l)2=lD.(x+l)2+y2= 1解析:由题得圆心坐标为(0，1)，所以圆的标准方程为兀2+0")2二1 故选C.3.(2018河南南阳联考，6)以@,1)为圆心，且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(A )A・(>l)2+(y・l)2 二5 B・(X+l)2+(y+l)2 二5C・(rl)2+y2 二5 D・x2+®・1)2 二5解析:由题意，得圆心在直线2x-y-l=0±,将点(“,1)代入可得“=1,即圆心为(1,1),半径为r=12 ^41 =岳,•:圆的标准方程为(x-l)2+(y-l)2 二5,故选A.考点自诊4.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内, 则d的取值范围为(D )A.(-oo,-2)B.(-oo,-l)C.(l，+oo) D・(2,+oo)解析:曲线C的方程可以化为(无+6/)2+少2小二4,则该方程表示圆心为半径等于2的圆•因为圆上的点均在第二象限，所以“>2・5.(2018四川成都三诊,14)在平面直角坐标系中，己知三点0(0,0), A(2,4),B(6,2),则三角形的外接圆方程是」!±)沁全岂—•解析:设三角形OAB的外接球方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,由点0(0,0)4(2,4)0(6,2)在圆上可得，(F = 0, (F = 0,4 + 16 + 2D + 4E + F = 0,解得]D = -6,(36 + 4 + 6D + 2E + F = 0，[E =显，故三角形OAB的外接球方程为x2+y2-6x-2y=0・考点1求圆的方程例1(1)过点A(4,l)的圆C与直线x-y-l=O相切于点5(2,1),则圆C 的方程为(x-3)2+y2=2 .(2)已知圆C经过F(-2,4),0(3,-l)两点，且在x轴上截得的弦长等于6, 则圆C的方程为/+y 2・2r 4片8二0或 /+y 2 - 6十8 y二0 .考点1解析:⑴方法一由已知得k AB=0,所以线段AB的中垂线方程为兀二3・)过点B且垂直于直线x-y-1 =0的直线方程为y-1 =-(%-2),即x+y-3=0,②联立①②解得｛：二&所以圆心坐标为(3,0),半径(4-3)2 +(i_0)2 =说，所以圆c的方程为(胁3)2+尸=2. 方法二设圆C的方程为(兀-好+少少二刊厂＞0),因为点A(4,1)0(2」)都在圆C上，C(4-a)2+(l-b)2=r\l(2-a)2 + (I")? = r2,考点1又因为紀=丄解得a=3,Z?=0,r=V2, a-2故圆C的方程为(x-3)2+y2=2.考点1⑵设圆 C 的方程为 x 2+/+D^+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0),在圆C 的方程中令y 二0,得x 2+Dx+F=0.③设兀］,兀2是方程③的两根，由 \x x -x^\-6.即(%j +X 2)2-4X 1X 2=369 得 D 2-4F=36,@由⑦②④解得D=-2,E=-4,F=-8或D=6，E=&F=0・故圆C 的方程为x 2+y 2-2x-4y-8=0或妒+护七无怡丁二0.思考求圆的方程有哪些常见方法？解题心得求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法:(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:⑦圆心在将只0两点的坐标分别代入得2DAE-F = 20,① 3D-E +F = A0.②考点1过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的垂直平分线上;③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线;(2)代数法，即设出圆的方程,用待定系数法求解.对点训练1(1)过三点A(1，3)0(4,2),C(1,・7)的圆交y轴于胚N 两点，则IMNI=( C )A.2V6B.8C.4V6D.10(2)—个圆与y轴相切，圆心在直线x^3y=0上，且在直线上截得的弦长为2"，则该圆的方程为___________ ・x2+y2-6x-2y+1 =0^x2+y2+6x+2y+1=0考点1解析：（1）设圆的方程为x1+y1+Dx+Ey+F-O, :•该圆过点（l + 9 + D + 3E + F = 0，•#16 + 4 + 4D + 2E + F = 0，[1 + 49 + D-7E + F = 0，(2)方法一：所求圆的圆心在直线x-3y=0上，•:设所求圆的圆心为(3“,“)，又所求圆与y轴相切，•:半径r=3\a\,又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2A/7,圆心(3a,a)到直线y=x的距离〃=詈,• ：t/2+(V7)2=r2,即20+7=9^2, .：a=±l.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-l)2=9 或(X+3)2+©+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1 =0 或x2+y2+6x+2y+1 =0.考点1方法二设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心@0)到直线yn的距离为聘，2■:厂2=({)+7,即2r2=(6i-Z?)2+14.①:'所求圆与y轴相切②又：•所求圆的圆心在直线x-3y=0上，• ：a・3b=0,③!a = 3, (a = -3,b = 1,或{ b = -1, ” =9[r2 = g.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-l)2=9 或(x+3)2+(y+l)2二9, 即x2+y2-6x-2y+1 =0 或x2+y2+6x+2y+1 =0.方法三设所求圆的方程为x1+y1+Dx+Ey+F-O.则圆心坐标为(-#，£)，半径厂=扌Jl)2 + E2_4F.在圆的方程中，令兀=0,得y2+Ey+F=0.考点1由于所求圆与y轴相切，•：/=()，则E2=4F.①.D E.圆心°刁三)到直线y-x的距离d=拐，由已知得t/2+(V7)2=r2,即(D-E)2+56 二2(Z)2+E2-4F)・②又圆心(空)在直线5=0 ±,ZZ)-3E=0.③Li 乙(D = -6, (D = 6,联立⑦②③解得｛E =-2或* = 2，“ =1，(F = 1.故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+1 =0 或x2+y2+6x+2y+1 =0.考点2与圆有关的轨迹问题例2( 1 )(2018广东广州期末，6)当点P在圆x2+y2= 1上变动时,它与定点0(3,0)相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是(C )A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=lC.(2x-3)2+4y2= 1D.(2x+3)2+4y2= 1(2)已知点4(40),直线2:*-1与x轴交于点5动点M到A,B两点的距离之比为2 •则动点M的轨迹C的方程为二2考点2解析：⑴设2（3,0）,设P0的中点M 的坐标为（心）， X =蔦2y +o =^xi=2x-3,yi=2y,又点P 在圆x 2+y 2=l 上，所以（2十3）2+4护=1，故选C.即曲线C 的方程为x 2+y 2=4. 思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法？解题心得1•求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法，利用圆的几何性质列方（2）设点Mg ），依题意，屠(x+4)2+v 2 =2,化简得x 2+y 2=4,考点2程;(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时，题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程，则把方程求出化简即可;若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么曲线.对点训练2已知点P(2,2),圆0兀2+产8尸0,过点P的动直线/与圆C交于两点，线段AB的中点为MQ为坐标原点•则M的轨迹方程为Ql)2+(y・3)2=2 .解析:圆C的方程可化为无2+©・4)2二16, 所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y), 则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题设知而•丽二0, 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, gp(x-l)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(十1)2+©・3)2二考点2 2.考点3与圆有关的最值问题（多考向）考向1斜率型最值问题例3已知实数料满足方程x2+y2_4x+l=0,求三的最大值和最小值. 解原方程可化为（炉2）2+护=3, 表不以（2,0）为圆心，为半径的圆.兰的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，X所以设詁即y=kx.如图所示，当直线尬与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时畀L =屈解得k=±花.所以乂的最大值为書，最小值为・歯・X思考如何求解形如减的最值问题？x-a考点3考向2截距型最值问题例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.解y-兀可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，如图所示,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值，此时空穿=箱, 解得b=-2±y[6.所以尸的最大值为-2+V6,t小值为-2-V6. 思考如何求解形如ax+by考点3的最值问题？考点3考向3距离型最值问题例5在例3的条件下求界+护的最大值和最小值.解如图所示工+尸表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取y得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为J(2-0)2 + (0-0)2=2,考点3所以界+尸的最大值＜(2+V3)2=7+4V3,X2+/的最小值是(2-V3)2=7-4Vt.考点3思考如何求解形如(x-t/)2+(jy-Z?)2的最值问题?考向4建立目标函数求最值问题例6设圆界+护=2的切线/与菇由正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当IABI取最小值时.切线/的方程为x+y-2=0 .解析:设点A,B的坐标分别为A(a,O),B(O0)(a>O0>O),则直线4B 的方程为彳+ #=1'即bx+ay-ab=O.因为直线与圆相切，所以圆心到直线AB的距离d=^L =考点3VX即2(a2+b2)=(ab)2^4ab,所以当且仅当a-b时等号成立.又IABI二+b2 =鲁三2血所以L4BI的最小值为2竝此时72a=b=2,切线I的方程为| + |=1,即x+y-2=0.思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值? 解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律：(1)借助几何性质求最值⑦形如"二豊的最值问题,可转化为定点@上)与圆上的动点(XJ) 的斜率的最值问题；(W 如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题;③形如x(z)2+®“)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.考点3(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解,其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法.对点训练3(1)(2018湖北黄冈、黄石等八市联考，7)若长度为定值4的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动为△Q4B的外心轨迹上一点，则x+y的最大值为(D )A.lB.4C.A/2D.2V2(2)已知实数心满足方程好+『2_27玄_2歹+3=0，贝卑的最大值和最小值分别是靖和0 .(3)(2018四川宜宾适应性考试，15)若动点P在直线a:x^2=0 上考点3动点Q在直线bx2才6=0上，记线段PQ的中点为Wojo),且2 16(%o-2) + (yo + 1)匕5,则垢+y$的取值范围为［亍⑹・⑷设P为直线3炉4丁+11二0上的动点，过点P作圆CM+产2炉2y+l二0的两条切线，切点分别为4,5则四边形PACB的面积的最小值为V3・考点3解析：(1)由题意知△OAB为直角三角形, •:其外心是AB的中点，•: OP二尹B=2，即P在以原点为圆心，以2为半径的圆上，考点3TT(3)因为动点P在直线6/:炉2严2二0上,动点0在直线2严6二0上，直线a:x-2y-2=0与直线b:x-2y-6=0互相平行，、几化=2C0SQ，- J nl ^\y = 2sina,"逅］,• ：x+y=cos a+sin a=2V^sin（a+鲁）W2VX 当a=f 时广三诚立，故选D・当直线y=kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时鉴H二1，解得k=0或所以兰的最大值是最小值是0.动点尸在直线"上，动点0在直线b上，考点3所以卩0的中点M在与"0平行，且到“0的距离相等的直线上，设该直线为厶其方程为兀・2y+加二0，2因为线段P0的中点为Wojo),且(吋2) +(7o + 1尸W5, 点M(myo)在圆02)2+®+1尸=5的内部或在圆上，设直线/交圆于A,B，可得点M在线段AB上运动，因为垢+yo=\OM\2,x^ +元表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线AB的距离的平方为最小，2所以唏+元的最小值为(磊)=^OA为最大，联立严叮=°，2解得A(4,O)0(O疔2)，1(^-2 )2 +(y + I)2 = 5，当M与A重合时，垢+元的最大值为42+02=16,^P%o +元的最大值为16,考点3所以垢+元的取值范围是[y,16].(4)圆的标准方程为01)2+0-1)2=1,圆心为c(l,l),半径为r=l, 根据对称性可知,四边形PACB的面积为2S^A pc=2x^\PA\r=\PA\= JlPClS,要使四边形P4CB 的面积最小，则只需IPCI最小,最小时为圆心到直线l-.3x-4y+11 =0的距离d= ',3~4+11'=学=2•所以四边形PACB面积的最小值为、32+( - 4)2§求半径常有以下方法：(1)若已知直线与圆相切，则圆心到切点(或切线)的距离等于半径；(2)若已知弦长、弦心距，则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.1.求圆的方程需要三个独立条件，因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行，注意数形结合,充分运用圆的性质.3.解决与圆有关的轨迹问题，一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.易错警示——轨迹问题易忘记特殊点的检验而致误作平行四边形M0NP 求点P 的轨迹线段MN 的中点坐标为(竽,驾空).因为平行四边形的对角线互相平分，处£ =沁所以厂0 =兀+玄2 ‘2 — 2 - ly 0 = y-4 ・典例设定点M(・3,4)，动点N 在 ^2+y 2=4上运动，以OMQN 为邻边解如图所示，设则线段OP 的中点所以討又N(x+3y4)在圆上，所以(x+3)2+(才4尸=4・因为四边形MONP 要构成平行四边形，所以需要OMN 三点不共线. 直线OM\y=-^x 与(x+3)2+(y-4)2=4联立方程组，21X = 285或 y故点P 的轨迹是以(・3,4)为圆心，2为半径的圆, 但要除去(斗,晋)和j 冷,¥)两点.解得 9 "亏12y = m ，所以应除去(-#，¥)和(-|，¥)这两个点.反思提升1•本题易忘记四边形MONP为平行四边形，导致忘记除去两个特殊点.2.本题也容易把求点P的轨迹理解成只求点P的轨迹方程，要知道, 求一动点满足的轨迹除了要求出轨迹方程，还要说明方程对应的是什么曲线.•：*= 4,9= -2 0, •Sx 2+ y2 -2 %。

高考数学一轮复习第九章平面解析几何第3节圆的方程市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

的取值范围是(
)
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．a＝±1
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[解析] 因为点(1,1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1. [答案] A
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5．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程为
(
)
A．x2＋(y－2)2＝1
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角度 3：斜率型最值问题已知点 P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1 上任意一
y－2 点．求x－1的最大值和最小值．
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[解] 设 k＝yx－－21，
则直线 kx－y－k＋2＝0 与圆(x＋2)2＋y2＝1 有公共点，
∴|－k32k＋＋12|≤1，∴3－4 3≤k≤3＋4 3，
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m≥－2 则d≤r，
3，
m≥－2 3，即|－2m|≤2，
解得 m∈[－2 3，4]．
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[答案] B
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3．[角度 3](2016·石家庄二中模拟)如果实数 x，y 满足等 y
式(x－2)2＋y2＝3，那么x的最大值是__________．
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[解析] (x，y)为圆(x－2)2＋y2＝3 上的点，yx为圆上的点与原点连线的斜率，显然其最大值为过原点且与圆相切的切点在第一象限的切线的斜率，设切线倾斜角为 α，显然 sinα ＝ 23，所以 α＝60°，所以其斜率为 3.
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1．[角度 1](2016·大连统考)已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2
＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆 C1，C2 上

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_3圆的方程教师用书理苏教版

第九章平面解析几何 9.3 圆的方程教师用书理苏教版圆的定义与方程【知识拓展】1.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √)(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆.( ³ )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1.(教材改编)圆心是(－2,3)，且经过原点的圆的标准方程为______________. 答案 (x ＋2)2＋(y －3)2＝13 解析易得r ＝13.2.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________. 答案 6解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且AB ＝2m . 因为∠APB ＝90°，连结OP ，易知OP ＝12AB ＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离. 因为OC ＝32＋42＝5，所以(OP )max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6.3.(2016²扬州检测)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以点C 为圆心，5为半径的圆的方程为______________. 答案 x 2＋y 2＋2x －4y ＝0解析将方程分离参数a 可得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，方程表示过两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，x ＋y －1＝0得交点为(－1，2)，故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y＝0.4.(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______.答案 x 2＋y 2－4x －6＝0 解析设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴CA ＝CB ，即 a ＋1 2＋1＝ a －1 2＋9，解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，半径CA ＝ 2＋1 2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10，即x 2＋y 2－4x －6＝0.5.(2016²浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________. 答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一求圆的方程例1 (1)(2016²天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________.(2)(2015²课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.答案 (1)x 2＋y 2－4x －5＝0 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝CM ＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－4x －5＝0.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. 所以圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.(2016²苏北四市联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________. 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b 2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二与圆有关的最值问题例2 (2016²盐城检测)已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值.解设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋－3 －t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1.在例2的条件下，求y x的最大值和最小值.解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233. 2.在例2的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值. 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝ x ＋1 2＋ y －2 2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题.(2016²扬州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值.解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆.设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值. 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3.(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝(OC ′)2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝OB 2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2016²盐城模拟)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点.(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程. 解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt△PBQ 中，PN ＝BN .设O 为坐标原点，连结ON ，则ON ⊥PQ ，所以OP 2＝ON 2＋PN 2＝ON 2＋BN 2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法，利用圆的几何性质列方程.(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.(2016²天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况).21.利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程.思想方法指导本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题.规范解答解一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，3＋22 2＋D 3＋22 ＋F ＝0， 3－22 2＋D 3－22 ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0).故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋ t －1 2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.1.(2017²南京检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是______. 答案 x 2＋y 2－10y ＝0解析根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2.已知圆M 的圆心M 在y 轴上，半径为1，直线l ：y ＝2x ＋2被圆M 所截得的弦长为455，且圆心M 在直线l 的下方，则圆M 的标准方程是__________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1 解析点M 到l 的距离d ＝1－ 255 2＝55.设M (0，a )，所以|2－a |5＝55，所以a ＝1或a ＝3.又因为a <2³0＋2＝2，所以a ＝1. 所以圆M 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.3.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为________.答案 3＋2 2解析由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ³2ab ＝3＋22，当且仅当b a＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立.∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5.圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的标准方程为______________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)，半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1. 6.(2016²淮安模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是__________. 答案3解析圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则C (1,1)，当PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， (PC )min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时PA ＝PB ＝ 3. 所以四边形PACB 的面积S ＝2³12³3³1＝ 3.7.(2016²常州模拟)已知圆C 过点(－1,0)，且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________________. 答案 x －y ＋3＝0解析设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a <0)，因为圆C 过点(－1,0)，且直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1－a 2＝r 2， |a ＋1|2 2＋ 2 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r 2＝4，即圆心坐标为(－3,0)，则所求直线为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0.8.过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________. 答案 x ＋y －2＝0解析当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件.圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 9.已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________. 答案π2解析作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求.易知图中两直线的斜率分别为12，－13，即tan α＝12，tan β＝－13，tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12³13＝1，得θ＝π4，故弧长l ＝θ²R ＝π4³2＝π2(R 为圆的半径).10.在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.答案 7＋1解析设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1，知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝ x －1 2＋ y ＋3 2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值.∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为 d ＝ 3－1 2＋ 0＋3 2＝7，故 x －1 2＋ y ＋3 2的最大值为7＋1.11.已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程.解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.① 由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝(23)2＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意.故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2).由题意可知OA ⊥OB ，即OA →²OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③ 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ， x －1 2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ²(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.*13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3).(1)求MQ 的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值. 解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又QC ＝ 2＋2 2＋ 7－3 2＝4 2. 所以(MQ )max ＝42＋22＝62，(MQ )min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。

2014届高考一轮复习数学9.3圆的方程

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(2)可知
��-3 表示直线 MQ 的斜率, ��+2
设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2),
��-3 即 kx-y+2k+3=0,则 =k. ��+2
由直线 MQ 与圆 C 有交点,所以可得 2- 3≤k≤2+ 3, 所以
��-3 的最大值为 2+ ��+2
又因为 A,B,C 为三角形的三个顶点,所以 A,B,C 三点不共线,即点 B,C 不能重合且 B,C 不能为圆 A 的一直径的两个端点. 因为点 B,C 不能重合,所以点 C 不能为(3,5). 又因为点 B,C 不能为一直径的两个端点,所以不能为(5,-1). 故端点 C 的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10〔除去点(3,5)和(5,-1)〕,它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心, 10为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.
1 3
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T 题型二与圆有关的最值问题
例 2 已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0,求: �� (1) 的最大值和最小值;
��
(2)y-x 的最大值和最小值; (3)x2+y2 的最大值和最小值. 根据代数式的几何意义,借助于平面几何知识,数形结合求解.
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2 2 代入��0 + ��0 =4 中得(x-2)2+(y+1)2=1.
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5.圆 x2+y2-2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形,则 a-b 的取值范围是 . 【答案】(-∞,4) 【解析】由题得圆心(1,-3),且(-2)2+62-4×5a>0,即 a<2. 由圆心在直线上,可得 b=-2,故 a-b<4.

2014高考数学一轮复习9.3圆的方程课件.

r＝2 2.
探究提高
因此所求圆的方程为 (x － 1)2 ＋ (y ＋4)2＝8.
题型分类·深度剖析
题型一
求圆的方程
【例 1】根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－2)．
题型一
求圆的方程
【例 1】根据下列条件，求圆的
思维启迪
解析
探究提高
方程：
(1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两
点，并且在 x 轴上截得的弦长等
于 6；
(2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与
直线 l：x＋y－1＝0 相切于点
P(3，－2)．
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题型分类·深度剖析
题型一
求圆的方程
【例 1】根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－2)．
点 M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 ； (3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 .
所以 ① 当 D2 ＋ E2 － 4F>0
时，圆心为－D2 ，－E2 ，半
径 r＝
D2＋E2－4F
题型分类·深度剖析
题型一
求圆的方程
【例 1】根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－2)．

2025年高考数学一轮复习-9.3-圆的方程【课件】

4.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程
2+(y+1)2=5
(x-1)
为__________________.
【命题意图】本题主要考查求圆的标准方程的方法,关键是确定圆心和半径.
【解析】因为点M在直线2x+y-1=0上,所以设点M为(a,1-2a),
(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0.
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
2+(y -b)2>r2
(x
-a)
0
0
(1)若M(x0,y0)在圆外,则________________.
2+(y -b)2=r2
(x
-a)
0
0
(2)若M(x0,y0)在圆上,则________________.
第九章
直线与圆、圆锥曲线
第三节
圆的方程
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.
2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次方程表
示圆的条件.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
圆的方程高考一般不单独考查,它常与直线、平面向量及圆锥曲
考点一求圆的方程
[例1](1)(一题多法)过点A(1,-1)与B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程
为(
)
A.(x-3)2+(y+1)2=4

2014届高三数学一轮复习第八章第三节圆的方程课件理新人教A版

解析】设圆心坐标为 (a ， 0) ，易知
（a－5）2＋（－1）2＝（a－1）2＋（－3）2，解得 a＝ 2，∴圆心为(2，0)，半径为 10， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝10.
【答案】 (x－2)2＋y2＝10
已知圆心在直线y＝－4x，且与直线l：x＋y－1＝0相切
(1)直接法：直接根据条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线的定义列出方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列出方程． (4)代入法：由动点与已知点的关系列出方程．
从近两年高考看，圆的方程的求法每年均有涉及，是高考的必考点，命题形式主要有两大类，一是以选择题、填空题的形式考查圆的定义及标准方程的求法，另一类是与直线、向量、圆锥曲线综合命题，注重数形结合思想及圆的几
x2＋y2 的最小值是(2－ 3)2＝7－4 3.
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： y－b (1)形如 u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和 x－a (x，y)的直线的斜率的最值问题； (2)形如 t＝ax＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2 型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
若本例中的条件不变． y＋2 (1)求的最大值和最小值； x＋1 (2)求 x－2y 的最大值和最小值．
【解】 (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆． y＋2 的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率， x＋1 y＋2 设＝k，即 y＋2＝k(x＋1)． x＋1
【规范解答】
(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为 2 )2＋
(0，1)，与x轴的交点为(3＋2 2，0) ，(3－2 2，0)．故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2 t2，解得t＝1.则圆C的半径为 32＋（t－1）2＝3. 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.·····6分 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：

高考总复习一轮数学精品课件第九章平面解析几何第三节圆的方程

kAC=+1,kBC= ,
-3

所以+1 · =-1,化简得 x2+y2-2x-3=0.故直角顶点
-3
x2+y2-2x-3=0(y≠0).
C 的轨迹方程为
(2)设点 M(x,y),C(x0,y0),因为 M 是线段 BC 的中点,所以
0 +0
0 +3
x= 2 ,y= 2 ,所以
x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点 C 的轨迹方程为02 + 02 -2x0-3=0(y0≠0),即
D.5+2√10
)
(2)(2023全国乙,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(
3√2
A.1+ 2
B.4
C.1))C
(2)C
解析 (1)将直线l的方程整理得(2x-y-1)m+(x+y-5)=0,
2--1 = 0,
= 2,
于是
解得
为
.
答案 (1)(x-1)2+(y+1)2=5 (2)(x-2)2+(y-3)2=13(或(x-2)2+(y-1)2=5 或
4 2
7 2 65
8 2
2 169
(x-3) +(y-3) = 9 或(x-5) +(y-1) = 25 )
解析(1)(方法 1)设 A(3,0),B(0,1),则线段 AB 的垂直平分线方程为
(
)
A.x2+y2-2x+6y+6=0
B.x2+y2+2x-6y+6=0