2016届高三数学一轮总复习课件：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4-1
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高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4 平面向量的应用课件 文
【跟踪训练】
1．[2015·沈阳一模]在△ABC 中，|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，AB＝2，AC＝1，E，F 为 BC 的三等分点，
则A→E·A→F＝( )
8
10
A.9
B. 9
25
26
C. 9
D. 9
解析 由|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，化简得A→B·A→C＝0，又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边，不可能为 0， 所以A→B与A→C垂直，所以△ABC 为直角三角形．以 AC 为 x 轴，以 AB 为 y 轴建立平面直角坐标系，如图 所示，则 A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，由 E，F 为 BC 的三等分点知 E23，23，F31，34，所以A→E＝32，32，A→F＝13，43， 所以A→E·A→F＝23×13＋23×43＝190.
2．[2016·兰州诊断]已知向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝( )A．0B来自1C．2D. 5
解析 因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋22＝5，所以|a－b|＝ 5，故选 D.
3．在△ABC 中，A→B＝(cos18°，cos72°)，B→C＝(2cos63°，2cos27°)，则角 B 等于( )
考点多维探究
考点 1 向量在平面几何中的应用
典例1
(1)[2014·天津高考]已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC
上，BE＝λBC，DF＝μDC.若A→E·A→F＝1，C→E·C→F＝－23，则 λ＋μ＝(
)
1
2
A.2
B.3
5
7
C.6
D.12
(2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(A→B＋
高考数学大一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 平面向量的概念及其线性运算名师课件
∴A→B、B→D共线。又∵它们有公共点 B，
∴A、B、D 三点共线。
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线。
【解】 ∵ka＋b 和 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即 ka＋b＝λa＋λkb。∴(k－λ)a＝(λk－1)b。 ∵a、b 是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0。∴k＝±1。
【例 1】 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；④ a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b。 其中真命题的序号是__②__③____。
【解析】 ①不正确。两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相 同。
考点三 共线向量定理的应用
【例 2】 设两个非零向量 a 与 b 不共线，
(1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A、B、D 三点共
线； 【解】
证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，
∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5A→B。
答案 D
考点二 平面向量的线性运算
平面向量的线性运算包括向量的加、减、数乘运算及其线性运算的几 何意义的应用，是高考考查向量的热点。常以选择题、填空题的形式出 现。考查向量加法的平行四边形法则和三角形法则，向量减法的三角形法 则及向量的相等。
角度一：考查向量加法或减法的几何意义
1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是
定义
法则(或几何意义)
高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入课件
得 a＝2，b＝1，∴ab＝2.]
[规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关 键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式．
2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i；(2)11＋－ii＝i；(3)11－ ＋ii＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1； i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．
复数的有关概念
(1)若
z＝1＋2i，则 z
z4－i 1＝(
)
A．1
B．－1
C．i
D．－i
(2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数 a 的值为________．
(1)C (2)－2[(1)因为 z＝1＋2i，则 z ＝1－2i，所以 z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，
2．复数的几何意义
复数 z＝a＋bi 量__O→_Z__＝__(a_，__b_)__．
复平面内的点_Z_(_a_，_b_)___
3．复数代数形式的四则运算
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝_(_a_±_c)_＋_(_b_±_d_)_i ____. z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(_a_c_－_b_d_)＋__(b_c_＋__a_d)_i _____. zz12＝ac＋＋dbii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(c＋di≠0)．
抓
基
础
·
自
主
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
学
课
习
时
第四节 数系的扩充与复数的引入
2016高考总复习课件第四章_平面向量、数系的扩充与复数的引入_第4讲_数系的扩充与复数的引入
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第4讲
数系的扩充与复数的引入
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实 虚部 部和__________ ．若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若______________ a＝0且b≠0 ，则 a＋bi 为纯虚数． a＝c且b＝d (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔______________ (a,b,c,d∈R).
z1＝z2＝0；z2<0 在复数范围内有可能成立．
栏目 导引
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
2．复数的运算技巧 (1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数 问题实数化是解决复数问题的常用方法． (2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项 式运算法则进行，除法则需分母实数化．
栏目 导引
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
－ 2．(2014· 高考安徽卷)设 i 是虚数单位， z 表示复数 z 的共 z － 轭复数．若 z＝1＋i，则 ＋i· z ＝( C ) i A．－2 B．－2i C．2 D．2i
z 1＋i －i ＋i － 解析：∵z＝1＋i，∴ z ＝1－i， ＝ ＝ ＝ 1 － i， i i i z － ∴ ＋i· z ＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选 C. i
2
栏目 导引
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．辨明三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d ∈R 的前提条件． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到
第4讲
数系的扩充与复数的引入
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实 虚部 部和__________ ．若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若______________ a＝0且b≠0 ，则 a＋bi 为纯虚数． a＝c且b＝d (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔______________ (a,b,c,d∈R).
z1＝z2＝0；z2<0 在复数范围内有可能成立．
栏目 导引
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
2．复数的运算技巧 (1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数 问题实数化是解决复数问题的常用方法． (2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项 式运算法则进行，除法则需分母实数化．
栏目 导引
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
－ 2．(2014· 高考安徽卷)设 i 是虚数单位， z 表示复数 z 的共 z － 轭复数．若 z＝1＋i，则 ＋i· z ＝( C ) i A．－2 B．－2i C．2 D．2i
z 1＋i －i ＋i － 解析：∵z＝1＋i，∴ z ＝1－i， ＝ ＝ ＝ 1 － i， i i i z － ∴ ＋i· z ＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选 C. i
2
栏目 导引
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．辨明三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d ∈R 的前提条件． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到
高考数学 一轮复习课件：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3
解析：(1)方法一：条件|c－a－b|＝1 可以理解成如图的情况 而|a＋b|＝ 2，向量 c 的终点在单位圆上，故|c|的最大值为 2＋1。 方法二：由题意，得|a|＝|b|＝1，a·b＝0， 所以|a＋b|＝ 2， 因为|c－a－b|＝1， 所以|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋(a＋b)2＝1。 设 c 与 a＋b 的夹角为 θ， 则|c|2－2|c|× 2cosθ＋2＝1， 即|c|2＋1＝2 2|c|cosθ≤2 2|c|，|c|2－2 2|c|＋1≤0， 解得 2－1≤|c|≤ 2＋1。 故|c|的最大值为 2＋1。
5．已知向量 a、b 的夹角为 45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12， 则|b|＝______2____；b 在 a 方向上的投影等于____1______。
解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 ＝4|b|cos45°＝2 2|b|，
又21a＋b·(2a－3b)＝|a|2＋12a·b－3|b|2 ＝16＋ 2|b|－3|b|2 ＝12， 解得|b|＝ 2或|b|＝－23 2(舍去)。 b 在 a 上的投影为|b|cos〈a，b〉＝ 2cos45°＝1。
(2)确定夹角的范围：数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为 锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角。
通·一类
3．(2016·株洲模拟)若向量 a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则 2a＋b 与 a
－b 的夹角等于( )
A．－π4
考点一 平面向量的数量积运算
【典例 1】(1)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝ta＋(1－ t)b，若 b·c＝0，则 t＝____2______。
高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入课件理
【母题变式】1.若本例题(2)条件“纯虚数”变为 “实数”,试求实数a的值. 【解析】因为(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是实数, 所以1-2a=0,即a= .
3
2.若本例题(2)条件“复数(1-2i)(a+i)是纯虚数”变
为“复数(1-2i)(a+i)的模是5”,试求实数a的值.
运算名称 加减法
符号表示
语言叙述
z1±z2=(a+bi)±(c+di) 把实部、虚部分
=_(_a_±__c_)_+_(_b_±__d_)_i_
别相加减
运算名称
符号表示
语言叙述
乘法 除法
z1·z2=(a+bi)(c+di) =_________________
(ac-bd)+(ad+bc)i
按照多项式乘法进行, 并把i2换成-1 把分子、分母分别乘
【解析】因为(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i,
所以|(1-2i)(a+i)|= 即a2=4,a=±2.
=5,
a2 b2 3,
【规律方法】求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的
概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关 概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即 a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
所以
故|z|=i 1i2 .
(1 i ) 2
z
【技法感悟】 利用复数的四则运算求复数的一般思路
(1)复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、 乘法法则，利用法则后将实部与虚部分别写出即可， 注意多项式乘法公式的运算.
高考数学(理)一轮复习课件：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4-2
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第十二章
选考部分
考点多维探究
栏目 导引
第十二章
选考部分
考点 1 平面向量基本定理的应用 回扣教材 平面向量基本定理
有且只有 一对实 如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a， 数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底． 把一个
栏目 导引
第十二章
选考部分
→ → → 3．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE＝(
)
1 A．b－2a 1 C．a＋2b
1 B．b＋2a 1 D．a－2b
→ → → → 1 1 解析 BE＝BA＋AD＋DE＝－a＋b＋2a＝b－2a.
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第十二章
栏目 导引
第十二章
选考部分
【跟踪训练】 → → 1． [2016· 郑州一检]在 Rt△ABC 中， CA＝CB＝3， M， N 是斜边 AB 上的两个动点， 且 MN＝ 2， 则CM· CN 的取值范围为( 5 A. 2，2 C．[3,6]
1 －6 y＝________.
栏目 导引
第十二章
选考部分
解析 (1)解法一：若 e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则 e1∥e2，而 a 不能由 e1，e2 表示，排除 A；若 e1＝(－1,2)， －1 2 e2＝(5，－2)，因为 5 ≠ ，所以 e1，e2 不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量 a＝(3,2)表示出来， －2 故选 B. 解法二：因为 a＝(3,2)，若 e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，不存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1＋μe2，排除 A；若 e1
高考数学(理)一轮复习课件：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4-3
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第十二章
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ选考部分
→ → 2． [2013· 湖北高考]已知点 A(－1,1)、 B(1,2)、 C(－2， －1)、 D(3,4)， 则向量AB在CD方向上的投影为( 3 2 A. 2 3 2 C．－ 2 3 15 B. 2 3 15 D．－ 2
)
→ → → 解析 AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，|CD|＝5 2， → → → → AB· CD 15 3 故AB在CD上的投影为 → ＝ ＝2 2. 5 2 |CD|
→ → (1)[2015· 山东高考]已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60° ，则BD· CD＝( 3 B．－4a2 3 D.2a2
)
→ → → → → (2)[2015· 四川高考]设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点 M，N 满足BM＝3MC，DN＝ → → → 2NC，则AM· NM＝( A．20 C．9 ) B．15 D．6
第十二章
选考部分
第四章
平面向量、数系的扩充与 复数的引入
栏目 导引
第十二章
选考部分
第 3讲
平面向量的数量积
栏目 导引
第十二章
选考部分
考纲展示 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意 义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关 系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面 向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会 用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
栏目 导引
第十二章
选考部分
3．[2016· 云南师大附中月考]设 x∈R，向量 a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且 a∥b，则 a· b＝( A．－6 C. 5 B. 10 D．10
高三数学(理)一轮总复习课件：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-3
把脉高考 理清考情
考点研析 题组冲关
素能提升 学科培优
课时规范训练
第 3 课时
平面向量的数量积及应用
1.在平面图形中计算数量积. 考纲 2.利用数量积求夹角和模. 点击 3.用数量积研究垂直关系. 4.用数量积研究图形的特征.
1．(2016· 高考全国甲卷)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)， 且(a＋b)⊥b，则 m＝( A．－8 C．6 ) B．－6 D．8
3．(2016· 高考全国乙卷)设向量 a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则 m＝ ．
解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2 得 a⊥b，则 m＋2＝0，所以 m＝ －2.
答案：－2
→ 4．(2015· 高考四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB| → |＝4，若点 M，N 满足BM → ＝3MC → ，DN → ＝2NC → ，则AM →· → ＝6，|AD NM ＝( ) A．20 C．9 B．15 D．6
3． (2017· 河北石家庄质检)在矩形 ABCD 中， AB＝2， BC＝1， → → E 为 BC 的中点，若 F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE· AF的 最大值为 ．
解析： 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y
轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
0≤x≤2 → → 1 ，AE· AF＝2x＋2y，令 0≤y≤1 1 E2，2，设
解析：选 D.由向量的坐标运算得 a＋b＝(4，m－2)，由(a＋ b)⊥b，得(a＋b)· b＝12－2(m－2)＝0，解得 m＝8，故选 D.
2．(2015· 高考课标全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， 则(2a＋b)· a＝( A．－1 C．1 ) B．)， b＝(－1， 2)， ∴(2a＋b)· a＝(1， 0)· (1， －1)＝1.
考点研析 题组冲关
素能提升 学科培优
课时规范训练
第 3 课时
平面向量的数量积及应用
1.在平面图形中计算数量积. 考纲 2.利用数量积求夹角和模. 点击 3.用数量积研究垂直关系. 4.用数量积研究图形的特征.
1．(2016· 高考全国甲卷)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)， 且(a＋b)⊥b，则 m＝( A．－8 C．6 ) B．－6 D．8
3．(2016· 高考全国乙卷)设向量 a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则 m＝ ．
解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2 得 a⊥b，则 m＋2＝0，所以 m＝ －2.
答案：－2
→ 4．(2015· 高考四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB| → |＝4，若点 M，N 满足BM → ＝3MC → ，DN → ＝2NC → ，则AM →· → ＝6，|AD NM ＝( ) A．20 C．9 B．15 D．6
3． (2017· 河北石家庄质检)在矩形 ABCD 中， AB＝2， BC＝1， → → E 为 BC 的中点，若 F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE· AF的 最大值为 ．
解析： 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y
轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
0≤x≤2 → → 1 ，AE· AF＝2x＋2y，令 0≤y≤1 1 E2，2，设
解析：选 D.由向量的坐标运算得 a＋b＝(4，m－2)，由(a＋ b)⊥b，得(a＋b)· b＝12－2(m－2)＝0，解得 m＝8，故选 D.
2．(2015· 高考课标全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， 则(2a＋b)· a＝( A．－1 C．1 ) B．)， b＝(－1， 2)， ∴(2a＋b)· a＝(1， 0)· (1， －1)＝1.
高考数学(理)一轮复习课件：第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4-4
栏目 导引
第十二章
选考部分
4．一质点受到平面上的三个力 F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知 F1、F2 成 60° 角， 2 7 ． 且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为________
解析 由题意知 F3＝－(F1＋F2)， ∴|F3|＝|F1＋F2|， ∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos60° ＝28， ∴|F3|＝2 7.
栏目 导引
第十二章
选考部分
课时思维激活
栏目 导引
第十二章
选考部分
教材知识梳理和小题探究 回扣教材 1.向量在平面几何中的应用
栏目 导引
第十二章
选考部分
2.向量在三角函数中的应用 向量与三角的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒 等变形问题或解三角形问题． 3．向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，主要是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．进而利用直线和圆锥 曲线的位置关系的相关知识来解答． 4．向量在物理中的应用 物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知 识来解决某些物理问题．
栏目 导引
第十二章
选考部分
向量与平面几何综合问题的解决与步骤 (1)向量与平面几何综合问题的解法 ①坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数 运算和向量运算，从而使问题得到解决． ②基向量法 适当选取一组基底， 沟通向量之间的联系， 利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解． [提醒] 用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底． (2)用向量解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题； ②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系.
2016高考数学(理)大一轮复习配套课件：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4-4
金版教程 ·高三一轮总复习 ·理科数学
记牢3个必备考点
突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
2. [2013·浙江高考]已知 i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )
A. 5－5i B. 7－5i
C. 5＋5i D. 7＋5i
解析：(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i.
第四章 第4讲
第6页
第六页，编辑于星期六：点 五十五分。
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考点 2 复数的几何意义
1.复数 z＝a＋bi一一――对→应复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)；
2．复数 z＝a＋bi一一――对→应平面向量O→Z(a，b∈R)．
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迎战2年高考模拟
限时规范特训
[解析] ∵z＝(3－2i)i＝2＋3i，∴ z ＝2－3i.故选 C.
[答案] C
第四章 第4讲
第17页
第十七页，编辑于星期六：点 五十五分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·理科数学
答案：C
第四章 第4讲
第11页
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金版教程 ·高三一轮总复习 ·理科数学
记牢3个必备考点
突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
3. [2014·江西高考]若复数 z 满足 z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，
高三数学(理)一轮复习(课件)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-3
∠BAD＝120°，AB＝AD＝1。若点 E 为边 CD 上的动点，则AE·BE的最小值 为( )
A．2116 25
C.16
B．23 D．3
解析 (2)如图，以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，
建立平面直角坐标系，则 A(1,0)，B32， 23，C(0， 3)，令 E(0，t)，t∈[0，
→→ → →
→→ →→ →→
解析 因为AB·AC＝2AB·AD，所以AB·AC－AB·AD＝AB·AD，所以
→→ →→ AB·DC＝AB·AD。因为
AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝4π，所以
→ →→ 2|AB|＝|AB||AD
|cosπ4，化简得|A→D|＝2
→→ → → → → →→ 2。故AD·AC＝AD·(AD＋DC)＝|AD|2＋AD·DC＝(2
答案 (1)D
→→ → →
→→
→→ →
(2)已知向量OA，OB满足|OA|＝|OB|＝2，OA·OB＝2，若OC＝λOA＋μOB
→ (λ，μ∈R)，且 λ＋μ＝1，则|OC|的最小值为( )
A．1 C. 2
B．
5 2
D. 3
→
→→
→
→
解析 (2)|OC|2＝(λOA＋μOB)2＝[λOA＋(1－λ)OB]2＝4λ2＋4(1－λ)2＋
5 ＝ 4a2－4a·b＋b2＝ 7，所以 a 与 2a－b 夹角的余弦值为|aa·|·2|2aa－－bb|＝1×2 7
＝5147。 答案 D
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
考点一 平面向量的数量积运算
→
→
【例 1】 (1)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点
A．2116 25
C.16
B．23 D．3
解析 (2)如图，以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，
建立平面直角坐标系，则 A(1,0)，B32， 23，C(0， 3)，令 E(0，t)，t∈[0，
→→ → →
→→ →→ →→
解析 因为AB·AC＝2AB·AD，所以AB·AC－AB·AD＝AB·AD，所以
→→ →→ AB·DC＝AB·AD。因为
AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝4π，所以
→ →→ 2|AB|＝|AB||AD
|cosπ4，化简得|A→D|＝2
→→ → → → → →→ 2。故AD·AC＝AD·(AD＋DC)＝|AD|2＋AD·DC＝(2
答案 (1)D
→→ → →
→→
→→ →
(2)已知向量OA，OB满足|OA|＝|OB|＝2，OA·OB＝2，若OC＝λOA＋μOB
→ (λ，μ∈R)，且 λ＋μ＝1，则|OC|的最小值为( )
A．1 C. 2
B．
5 2
D. 3
→
→→
→
→
解析 (2)|OC|2＝(λOA＋μOB)2＝[λOA＋(1－λ)OB]2＝4λ2＋4(1－λ)2＋
5 ＝ 4a2－4a·b＋b2＝ 7，所以 a 与 2a－b 夹角的余弦值为|aa·|·2|2aa－－bb|＝1×2 7
＝5147。 答案 D
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
考点一 平面向量的数量积运算
→
→
【例 1】 (1)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点
高考数学一轮总复习课件第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3
3.数量积的性质
设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ 为a与b(或e)的夹 角.则 ①e·a=a·e=_|_a_|_c_o_s_θ__. ②cosθ = a b .
| a || b |
③a·b≤_|_a_|_|_b_|_.
4.数量积的运算律 (1)交换律:a·b=b·a. (2)数乘结合律:(λ a)·b=_λ__(_a_·__b_)_=_a_·__(_λ__b_)_. (3)分配律:a·(b+c)=_a_·__b_+_a_·__c_.
若a+kb与a-kb互相垂直,则(a+kb)·(a-kb)=0,
即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2= 1 ,所以k=± 5 .
5
5
感悟考题 试一试
3.(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a,
∠ABC=60°,则 BDCD= ( )
A . 3 a 2 2
B . 3 a 2 4
DEDC的最大值为
.
【解题导引】(1)利用数量积的定义求解.要注意选择 基底,进行向量的分解. (2)结合已知条件建系,利用坐标求解.
【规范解答】(1)选C.在平行四边形ABCD内,易得,
A M A B 3 A D ,N M 1 A B 1 A D ,
4
34
所以 A M NA D )
2
整理可得|b|2+|b|-2=0,解得|b|=1. 答案:1
5.(2016·临沂模拟)已知向量|a|=1,|b|=2,a⊥(a-b),
则向量a与b的夹角大小是
.
【解析】设向量a与b的夹角大小是θ,则由题意可得
a·(a-b)=a2-a·b=1-1×2×cosθ=0,
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备考知考情 1.平面向量的线性运算、共线向量定理是近几年高考命题的热 点． 2.常与三角、平面几何知识交汇考查，有时也会命制新定义问 题． 3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.
J 基础回扣· 自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
知 识 梳 理 知识点一 向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有 方向 的量叫向量；向量的大小叫 做向量的 模 ． 的向量，其方向是任意的．
答案 D
【规律方法】
1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④
是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行 判定的行之有效的方法． 2．准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键． (1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性． (2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关． 3．“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有 两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、 长度．
听 课 记 录 ①不正确．|a|＝|b|但a，b的方向不确定，故 a，b不一定相等； → → ②不正确．因为 AB ＝ DC ，A、B、C、D可能在同一条直线 上，所以ABCD不一定是四边形． ③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝ μb，但a与b不一定共线．
②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大 小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0. ④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意 向量．故选C.
答案 C
知识点二
向量的线性运算
3.如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a＋b＋c可表 示为( )
给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； → → ②若AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中假命题的个数为( A．1 C ．3 B．2 D．4
)
【思维启迪】 不正确．
以概念为判断依据，或通过举反例来说明其
变式思考 1
给出下列四个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a＝b，b＝c，则a＝c； ③若a∥b，b∥c，则a∥c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中假命题的个数为( A．1 B．2 C．3 D．4 )
问题3
为什么共线定理b＝λa中要求a≠0？如何应用共线定
理证明三点共线？ (1)若a＝0，当b＝0时，λ有无数多个值，b≠0时，λ值不存 在，所以要求a≠0； → → (2)证明三点共线，若存在实数λ，使 AB ＝λ AC ，则A，B，C → → 三点共线．这里注意AB与AC有公共点A.
高 频 考 点 考点一 【例1】 向量的有关概念
如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存 在 唯一一个 实数λ，使 a＝λb .
对 点 自 测 知识点一 1.判一判 (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向 量．( ) ) 向量的有关概念
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(
答案 (1)× (2)√
(2)零向量：长度为 0
(3)单位向量：长度等于 1个单位 的向量． (4)平行向量：方向相同或 相反 量，规定：0与任一向量共线． 的非零向量，又叫共线向
(5)相等向量：长度相等且 方向 相同的向量． (6)相反向量：长度相等且 方向 相反的向量.
知识点二
向量的线性运算
知识点三
平行向量基本定理
共线向量定理
Hale Waihona Puke (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．( (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
)
(3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则 1 λ＝－ .( 2 )
(4)设a，b为向量，则“|a· b|＝|a|· |b|”是“a∥b”的充分必要 条件．(
答案
)
(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零． ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
解析
①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．
R 热点命题· 深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
问 题 探 究 问题1 向量平行与直线平行有什么区别？
向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括重 合的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说 明这两条直线不重合．
问题2
向量的线性运算应注意以下几点
向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题 时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三 角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法 则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是 “起点重合．”.
A．3e1－2e1 C．3e1＋2e2
B．－3e1－3e2 D．2e1＋3e2
解析
a＋b＋c＝e1＋2e2＋(e1－2e2)＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.
答案 C
4．(2014· 新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边 → → BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝( → A.AD → C.BC 1→ B.2AD 1→ D.2BC )
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节
平面向量的概念及其线性运算
基础回扣· 自主学习
热点命题· 深度剖析
特色专题· 感悟提高
高考明方向 1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 2.理解向量的几何表示． 3.掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义． 4.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含 义． 5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
解析
→ 由于D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，所以 EB ＋
1 → → 1 → → 1 → → 1 → → 1 → FC ＝－ ( BA ＋ BC )－ ( CA ＋ CB )＝－ ( BA＋ CA)＝ ( AB＋ AC )＝ 2 2 2 2 2 → → ×2AD＝AD，故选A.
答案 A
知识点三 5.判一判