第1章 运动学

r (1) 平均速度 t x y z i j k xi y j zk 直角坐标表示： t t t (2) 速度（瞬时速度） 精确地描述质点在某一时刻或某一
速度—描述质点位臵随时间变化快慢和方向的的物理量
r dr lim lim t 0 t 0 t dt
(2) 路程
定义: 在时间 t 内，物体运动轨迹的长度， 称时间 t内物体的路程，用s 表示。
Q
(3) 位移与路程的区别
位移是矢量：是指位臵矢量的变化； 路程是标量：是指运动轨迹的长度。 (4) 路程ΔS与位移大小的区别 路程是Δt内走过的轨道的长度， 位移大小是质点实际移动的直线距离 A
s1 rQ r
A 可表示为

(t)

切向单位矢量变化率 τ dθ dτ τ ( t t ) τ ( t ) lim lim n lim n n t 0 t t 0 dt t 0 t t dt
ห้องสมุดไป่ตู้
(t+t)
(3) 极坐标系Polar Coordination
克拉底鲁 人不可同一次踏进同一条河流
没有静止河流，运动是绝对的
同一时刻河流都不存在相对静止状态
物质运动是不可知、不可描述的
定量描述物质运动的物理学是不可能或无意义的
思辨物理学或思辨哲学
结论：
夸大运动的绝对性, 否认相对静止的存在
物质运动可描述的前提是承认相对静止的存在； 认识物体的运动状态是通过相对静止去完成的
位臵的运动快慢和运动方向
B A
直角坐标表示 dx dy dz i j k = x i y j z k dt dt dt
= x2 y2 z2

(3) 平均速率与速率（瞬时速率）
平均速率:
s
t
s ds lim 速率 ： t 0 t dt
• 物理理论真伪性判据：对称性原理
第1章 质点运动学
亚里仕多德
伽利略
牛顿
当物体的线度(大小和几何形状)对所研究物体运动状态的影响可 以忽略不计时， 用一个集中了物体所有质量的数学点来代表物 体的运动状态，该点称为质点。
§1.1 参考系、坐标系
§1.1.1 运动的可认知性-----绝对运动和相对静止的统一
1. 位臵矢量与运动方程
(1) 位臵矢量 Position Vector（位矢）
定义: 时刻t，由坐标原点指向质点的有向线段。
z r(x,y,z)
直角坐标系中，位臵矢量可写为：

o x
z
r xi yj zk


y x
y
位矢的大小为：
r r x2 y2 z2
x = 4.5 t 2 - 2 t 3
6i (m / s )
因： s ， t 于是首先应当判断物体运动方向是否有改变
即判断速度的方向是否有改变，由问题(2)，知道物体运 动方向发生改变，因此：令
(9t 6t )i 0 解得： t =1.5s s x (1.5) x(1) x(2) x(1.5) 2.25(m)
O
s3 s2
P rp
C
B
思考题：
A. 什么情形下物体路程与位移大小相等？ B.判断：物体在时间 t内路程为0，则物体一定保持相对静止 物体在时间 t内位移为0，则物体一定保持相对静止 ? 位移大小就是位臵矢量大小的增量. r r
dr ds
3. 速度velocity与速率 speed
§1.2 几种典型机械运动及其理想模型
§1.2.1 几种典型的机械运动形式
机械运动
质点平动
(定轴)转动
简谐振动
简谐波动
§1.2.2
1. 模型化方法
O
机械运动的几种典型理想模型
B O
A B C
B A O
C A


单摆运动 理想模型化方法：
物体绕定轴转动
忽略影响物理对象运动的次要因素，抽象得到近似实际的
• 运动的绝对性与相对性观念、参照系与坐标系 (建立经典力学前提) • 时间、空间、质量、运动叠加原理、时空观、对称性等概念的理解
知识体系
• 运动学、动力学知识结构体系的建立及各结构之间的逻辑关系 方法体系 • 物理理论建立的方法：分类、模型、引入参量、建立理论、实际应用 • 初步体验应用力学知识体系与方法体系解决实际问题
矢量的表示：
A Ax i Ay j Az k
矢量的大小或模：
2 2 2 A Ax Ay Az
Ay Az Ax 矢量的方向： cos ,cos ,cos A A A
方向余弦满足： cos 2 cos 2 cos 2 1
求：运动方程与轨道方程 解：运动方程：
y
x R cos(t )
y R sin(t )
R
r (t ) R cos(t )i R sin(t ) j
t
x
轨道方程
x2 y 2 R2
2. 位移与路程
(1) 位移 Displacement描述质点位臵变化的物理量
说明：① 瞬时速度不一定等于平均速度，只有在匀速直线 运动情形下两者相等 ② 平均速率不一定等于瞬时速率 ③ 瞬时速率与瞬时速度的大小相等
r s lim lim t 0 t t 0 t
④ 平均速度的大小不一定等于平均速率


例2：已知一质点沿 x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为： x = 4.5 t 2 - 2 t 3 求：(1). 第二秒内的平均速度 (2). 第二秒末的即时速度 (3). 第二秒内的平均速率
3. 时间坐标轴
以计时起点为坐标原点的一维坐标轴
注意：时间、时刻与时间间隔的区别 时间是物理量 时刻是指时间流逝中的一瞬，对应于时间轴上一点。 时间间隔是指某一初始时刻至终止时刻所经历的时 间，它对应于时间轴上一区间，有时简称时间
§1.3.2 描述一般曲线运动的线参量
线参量：位臵矢量、位移矢量、速度矢量和加速度矢量
z
dAx dAy dAz 矢量的求导： A i j k dt dt dt di dj dk 0, 0, 0 dt dt dt
P

O
A


y
x
(2) 自然坐标系 Natural Coordination
s O n P1
△

P2
轨道
曲率园
在已知运动轨迹上任取一点O为坐标原点，用质点距离原点 的轨道长度s来确定质点任意时刻的位臵，以轨迹切向和法向 的单位矢量( 、n )作为其独立的坐标方向，这样的坐标系， 称为自然坐标系。s称为自然坐标。
y cos , r
x 方向为： cos , r
z cos r
cos2 cos2 cos2 1
位臵矢量的特征：
①矢量性 ②相对性——与参考系以及坐标系原点的选择有关 ③瞬时性——时刻t
(2) 运动学方程
定义：位臵矢量随时间变化的函数 矢量形式 数学表述： 分量形式
定义: 在时间t内，由初始位矢指向末位矢的有向线段。
r r (t t ) r
直角坐标表示:
r xi yj zk
r x 2 y 2 z 2
B A
说明： ①矢量性：有大小和方向； ②瞬时性：运动质点在不同时刻的位移不同； ③相对性: 确定的运动状态对不同参考系的位移一般不同。
第 1篇
力 学 mechanics
第一篇 力学·篇序
1. 力学的研究对象与适用条件
研究对象：描述物体运动状态及研究物体运动状态发生改变的原因
适用条件：宏观物体；低速 (牛顿力学)，高速 (相对论)
第一篇 力学·篇序
2. 力学的内容结构体系
第一篇 力学·篇序
3 力学重要概念、知识体系与方法体系
重要概念
r x(t )i y(t ) j z(t )k x x( t ), y y( t ), z z( t )
(3) 轨道方程
定义 ：质点在空间运动时的轨迹方程 说明：轨道方程可由运动方程消去时间参量t 得到。 数学表示为：
f ( x, y, z ) 0
例1：质点从如图所示位臵开始做匀速圆周运动
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流” 克拉底鲁：“人不能同一次踏进同一条河流”
案例分析
赫拉克利特
人可同一次踏进同一条河流
同一时刻河流存在相对静止状态 河流是可认知、可描述的
人不可两次踏进同一条河流
没有静止河流，运动是绝对的 认知的河流是变化的，有条件的
体现了绝对运动和相对静止的辩证统一
在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫极坐标系
( ，θ)称为点P的极坐标


P
极轴
r0
极坐标系中，任意矢量 A 可表示为
极径
A Ar r0 A r0 例：如图矢量
O 极点

x
O

A
x
A 的变化率可表示为 Adr0 dA d(Ar0 ) dA r0 dt dt dt dt dA Ad r0 dt dt
(2) 坐标系（Coordination）
定义：固定于参考系之上，用来确定待描述物体
的空间位臵和方向而引入的数学坐标系。
(3) 参考系与坐标系的关系：