弹性力学的变分解法

1 vε = (σ xε x + σ yε y + σ zε z + τ xyγ xy + τ yzγ yz + τ xzγ xz ) 2
注意：应变能 U = ∫∫∫
V
vε dV
§ 14.1 基本概念2
线弹性问题的应变能密度 变分
dvε = σ ij dε ij
= σ xdε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ xzγ xz
回顾：弹性力学的基本求解体系
三个环节(15个基本方程) (1)平衡微分方程(应力与体力的平衡) → 3个方程 σ ij , j + X i = 0 (2)几何方程(位移与应变关系) → 6个方程
ε ij , j =
1 (ui, j + u j,i ) 2
(3)物理方程(应力与应变关系) → 6个方程
σ
u
V
Sσ
Su
V
位移变分方程
∫∫∫ F δ u dV + ∫∫ f δ u dS = ∫∫∫ σ δε
i i i i ij V Sσ V
ij
dV
最小势能原理
∫∫∫ F δ u dV + ∫∫ f δ u dS = ∫∫∫ σ δε
i i i i ij V Sσ V ij
dV
位移变分方程
∂vε = σ ij ∂ε ij
σ ij = λε kk δ ij + 2με ij
二个方面(边界条件) (1) 应力边界条件(在应力边界上) (2) 位移边界条件(在位移边界上)
σ ij n j = f i
ui = ui
§14.1 基本概念
外力功——变形体的能量关系 线弹性问题的应变能密度
1 v ε = σ ij ε ij 2
格林公式
∂vε σx = ∂ε x ∂vε τ xy = ∂γ xy ∂vε σy = ∂ε y ∂vε τ yz = ∂γ yz ∂vε σz = ∂ε z ∂vε τ xz = ∂γ xz
静力可能应力、几何可能位移
1、静力可能应力σijs ：只满足平衡微分方程和静力 边界条件
σ ij , j + Fi = 0
(14-10)
(14-10)
(14-4)
－W=
(14-11)
由位移变分方程
∫∫∫ (σ
V
ij , j
+ X i )δ ui dV + ∫∫ ( fi − σ ij n j )δ ui dS = 0
Sσ
(14-10)
(14-10)
于是，式(b)变为
(14-12)
(14-10) (14-12) (14-10)
u = ∑ ∑ Amn sin m πx n πy sin a b m n m πx n πy v = ∑ ∑ Bmn sin sin a b m n
•m和n为正整数 •在边界x=0，a 和y=0，b上，u=v=0，所以试 函数满足位移边界条件。
§ 14.3 最小势能原理10
平面应力问题应变能为
E ∂u 2 ∂v 2 ∂u ∂v 1 − v ∂v ∂u 2 [( ) + ( ) + 2 v ( + ) ]d xd y U = + 2 ∫∫ 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2 (1 − v ) 0 0
l
∑
m πx 1 sin 5 l m
§ 14.3 最小势能原理6
(14-10)
(14-10)
§ 14.3 最小势能原理7
做功
Π=V −U
§ 14.3 最小势能原理8
§ 14.3 最小势能原理9
例3：矩形薄板，四边固定，受有平行于板面的 体力作用。设坐标轴如图所示，试用RayleighRitz法求挠度。 •解： •取位移试函数
1.在小变形条件下，虚功原理适用于任何性质的材料。 2.虚功原理与平衡微分方程、几何方程、应力边条和几何边 条可以互相推导。 3.静力可能应力和几何可能位移及对应的应变彼此独立，但 当它们满足物理方程时，即为真实应力、应变和位移。
通过虚功原理可推导出位移变分原理及应力变分原理
§ 14.2 虚功原理2
功的互等定理
将虚功原理用在两种不同受力和变形状态下的两种解答， 由于它们都是真解，自然都是静力可能和几何可能的。 1 第一种状态的应力作为静力可能，第二种状态的位移与 变形作为几何可能的。
∫∫∫
V
Fi1u i2 d V + ∫∫ f i 1u i2 d S =
S
1 2 σ ∫∫∫ ij ε ij d V V
§ 14.3 最小势能原理6
解：应用Galerkin法 位移试函数
m πx w = ∑ C m u m = ∑ C m sin l m m
由于也满足面力边条 根据Galerkin法 分析可得
4 ql w = 5 EJ π
4 m = 1 , 3 , 5 ,"
d4w mπx ( EI 4 − q) sin dx = 0 ∫ l dx 0
§14.3 最小势能原理 2
总势能概念 最小势能原理
Ep = ∫∫∫ vε dV − ∫∫∫ Fiui dV − ∫∫ f iui dS
V V Sσ
总势能－应变分量的泛函
又是位移分量的泛函
δ (U − W ) = δE p = 0
位移变分
最小势能原理：在所有几何可能位移中，真实 位移使总势能取最小值 最小势能原理是变分表达的平衡条件数学形式 等价于平衡微分方程＋应力边条 互推举例
a b a b
§ 14.3 最小势能原理11
将位移试函数代入求导数后再积分
∂U = ∂Amn
∫∫∫ F δ u dV + ∫∫ f δ u dS = ∫∫∫ δ vε dV
i i i i V Sσ V
⎛ ⎞ δ ⎜ ∫∫∫ vε dV -∫∫∫ Fu i i dV - ∫∫ f i ui dS ⎟ = 0 ⎜ V ⎟ V Sσ ⎝ ⎠ δ Ep = 0
Ep：总势能
真实位移使总势能取得驻值，对于稳定平衡状态，取最小值， 证明过程见P363
位移变分方程 虚位移方程
∫∫∫ F δ u dV + ∫∫ f δ u dS = ∫∫∫ σ δε
i i i i ij V Sσ V
ij
dV
弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条 件的虚位移及虚应变，外力在虚位移上所做 的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变 上所做的虚功，即虚应变能。
§14.3 最小势能原理 2
∫∫∫ σ
V
1 ij
ε dV =
2 ij
（ λε ∫∫∫
V
1 kk
δ ij + 2 G ε )ε d V
1 ij 2 ij
相等
§ 14.2 虚功原理3
功的互等定理（Betti互换定理）
表述为：作用于弹性体的第一种状态的外 力，包括体力和面力，在第二种状态对应的 位移上所做的功等于第二种状态的外力在第 一种状态对应的位移上所做的功。
4 ql 4 回代 w = 5 EJ π
m = 1 , 3 , 5 ,"
∑
m πx 1 sin 5 l m
§ 14.3 最小势能原理5
•挠曲线表达式是无穷级数——精确解 •这个级数收敛很快，只要取少数几项就可以得 到足够的精度。 •如果取一项
ql wmax = 76.6EI
4
这一结果与精确值十分接近
位移变分方程的推导
真实位移 虚位移（位移变分）
假设几何可能 的位移
u ik = 0（在位移边界上） 根据几何方程 ε ikj = ε ij + δε ij
F （ i u i + δ ui )dV + ∫∫ f i (ui + δ ui )dS + ∫∫ σ ij n j u i dS = ∫∫∫ σ ij (ε ij + δε ij )dV 根据虚功原 ∫∫∫ V S S V 理，将真实应 力作为静力可 ∫∫∫ Fiui dV + ∫∫ fiui dS + ∫∫ σ ij n j ui dS = ∫∫∫ σ ijε ij dV 能的应力
§ 14.3 最小势能原理2
最小势能原理的应用(两种近似解法) Rayleigh-Ritz(瑞利-里兹)法 Galerkin(伽辽金)法
•满足位移边界条件 •位移与面力边界条 件同时满足
基本思想
——构造一个位移试函数 ——几何可能 通过能量变分，偏微分方程边值问题转化为 线性代数方程组。
(14-10)
ε
Su
k ij
uik = ui
§14.2 虚功原理
虚功原理
k s k s k F u d V + f u d S = σ ∫∫∫ i i ∫∫ i i ∫∫∫ ijε ij dV V S V
在弹性体上，外力在任意一组几何可能位移 上做的功，等于任意一组静力可能的应力在 上述几何可能位移所对应的应变上做的功。
2 第二种状态的应力作为静力可能，第一种状态的位移与 变形作为几何可能的。
∫∫∫
V V
Fi 2 u i1d V + ∫∫ f i 1u i1d S =
S V
2 1 σ ij ∫∫∫ ε ijd V V
2 1 σ ij ∫∫∫ ε ijd V =
2 2 1 （ λε δ + 2 G ε ) ε dV ij kk ij ij ∫∫∫
(14-12)
(14-12)’
Galerkin
§ 14.3 最小势能原理3
例1： 两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q 作用如图所示。试求解梁的挠度w(x)。 解：首先用瑞利—里茨法 位移试函数