高中数学 3-3-2 两点间的距离公式课件 新人教A版必修

2．平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等 __________，
互相平分 ． 对角线____________
3．勾股定理： 在直角三角形ABC中，若∠B为直角，则AC2＝
AB2＋BC2 ___________.
4．直线l1：2x＋3y＋4＝0与l2：4x＋6y＋8＝0的位置关系 是( ) A．重合 C．垂直
C．6＋3 2 D．6＋ 10
[答案] C
4．一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，另 一个端点B的横坐标是－1，则点B的纵坐标是( A．－3 B．5 )
C．－1或－3 D．－3或5
[答案]
D
5．若x轴上的点M到原点的距离与到点N(5，－3)的距离 相等，则M点的坐标是( A．(－2,0) B．(1,0) 3 C．(2，0) D．(3.4,0)
∴|MA|＝|MB|＝|MC|.
[点评]
在建立坐标系时，适当的坐标系能使运算更加简
便(如本例以两直角边为坐标轴建立坐标系)，故在建坐标系时 要有效地利用条件中的垂直、对称等关系．
课堂基础巩固
1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( A．5 B. 37
)
C. 13 D．4
[答案]
[解析]
命题方向
两点间距离公式的应用
[例2]
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－
1,3)，C(3,0)． (1)判定△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． [分析] 可按照以下流程进行思考：
[解析] 证
(1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验
法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
[解析]
取边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y
轴，建立直角坐标系，如图，则三个顶点的坐标分别为 A(a,0)，B(0,0)，C(0，b)．由中点坐标公式得斜边AC的中点M a b 的坐标为( ， )． 2 2 ∴|MA|＝ |MB|＝ |MC|＝ a2 b 1 2 2 a－ ＋ －0 ＝ a ＋b2， 2 2 2 a2 b2 1 2 0－ ＋0－ ＝ a ＋b2， 2 2 2 a2 b2 1 2 0－2 ＋b－2 ＝2 a ＋b2，
[答案] A
B．平行 D．相交但不垂直
5．直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的 值是( )
2 A．1 B．－ 3 2 C.3 D．－1
[答案] C
6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且平行于直
x－2y＋11＝0 线x－2y＝0的直线方程是_________________.
第三章
直线与方程
第三章
3． 3 直线的交点坐标与距离公式
第三章
3．3.2 两点间的距离公式
课前自主预习
方法警示探究 课堂基础巩固
思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
课前自主预习
温故知新 1．在平面直角坐标系中，易知x轴上的两点A(x1,0)、
|x1－x2| ；在y轴上两点C(0，y1)、 B(x2,0)间的距离为|AB|＝_______ |y1－y2| D(0，y2)间的距离为|CD|＝________.
系，转化为证明kAEkBF＝－1即可．
[解析]
建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(4,0)，E(4,2)，F(2,4)，A(0,0)． 4－0 2 1 ∴kAE＝4＝2，kBF＝ ＝－2. 2－4 1 ∴kAEkBF＝ ×(－2)＝－1，即BF⊥AE. 2
|AC|＝ 3－32＋－1－42＝5， |BC|＝ 1 3 5 2 2 2 －3 ＋ －4 ＝ . 2 2 2
因为|AB|＝|BC|，且|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝25， 所以△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
8．正方形ABCD的边长为4，若E是BC的中点，F是CD的 中点，试建立坐标系，求证：BF⊥AE. [分析] 以AB和AD分别作为x轴、y轴建立平面直角坐标
系．
用坐标法证明：矩形的对角线相等．
[证明]
如图所示，以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB
所在直线为x轴建立直角坐标系． 设|AB|＝m，|AD|＝n， 则A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
[答案] D
)
6．已知△ABC的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2，－ 4)，则BC边上的中线AM的长为________．
[答案]
65
1 3 7．已知点A(3，－1)，B( 2 ， 2 )，C(3,4)，试判断△ABC的 形状．
[解析] |AB|＝
由两点间的距离公式，得 12 32 5 2 3－ ＋－1－ ＝ ， 2 2 2
思路方法技巧
命题方向
求平面上两(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，求a的值． 利用两点间距离公式列方程解得a的值．
[解析]
2
∵|AB|＝ a－32＋3－3a－32＝5，
8 即5a －3a－8＝0，∴a＝－1或a＝ . 5
规律总结：解析几何中的一些距离问题常与方程联系起 来，它体现了几何问题代数化处理的策略．
规律总结：解决本题的关键是建立适当的坐标系，以及 转化为代数问题，即转化为距离大小和斜率相等问题．
已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC＝b，建立适当 的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点 M到三个顶点的距离相等．
[分析]
取直角边所在的直线为坐标轴建立坐标系，再写
出各顶点坐标，给出证明．
A
|MN|＝ 2＋12＋1－52＝5.
2．已知点A(2k，－1)，B(k,1)，且|AB|＝ 13 ，则实数k等 于( ) A．± 3 B．3
C．－3 D．0
[答案] A
[解析]
由题意得 2k－k2＋－1－12＝ 13，
解得k＝± 3.
3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ ABC的周长是( A．2 3 ) B．3＋2 3
已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点 P的坐标为________．
[答案] (－5,0)或(11,0)
[分析] 求解． [解析]
设出点P的坐标，根据两点间距离公式，列方程
设点P的坐标为(x,0)，由d(P，A)＝10得
x－32＋0－62＝10， 解得x＝11或x＝－5. ∴点P的坐标为(－5,0)或(11,0).
命题方向
坐标法的应用
[例3]
用坐标法证明：三角形的中位线平行于第三边
且等于第三边的一半． [分析] 以第三边所在直线为x轴，并以其中点为原点建
立坐标系，利用斜率相等证明平行，利用两点间距离公式证 明长度关系．
[证明] 点．
如图所示，E，F分别是△ABC的边AB和AC的中
以线段BC的中点为原点，直线BC为x轴，建立如图所示 的直角坐标系．
3－－1 0－－1 1 法二：∵kAB＝ ＝－2，kAC＝ ＝ ， 2 －1－1 3－1 ∴kAB· kAC＝－1， ∴AB⊥AC， ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． (2)∵∠A＝90° ， 1 ∴S△ABC＝ |AB|· |AC|＝5. 2
规律总结：判定三角形形状的依据是三角形的分类标 准，由边的分类或角的分类进行解决．
新课引入
国际油价不断上涨，为了节约成本，很多航空公司都在 调整航线，如果把城市看成坐标系上的点，那么如何计算出 两点间的距离呢？本节，我们共同研究——两点间的距离．
自主预习 阅读教材P104～106，回答下列问题． 1．两点间的距离公式 (1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12. (2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之 差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [破疑点]坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距 离公式的推广．
已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)求证：△ABC为等腰三角 形．
[解析]
∵|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5， |BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5， ∴|AC|＝|BC|. 又∵A、B、C三点不共线，∴△ABC为等腰三角形.
已知点P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________.
[答案] [解析]
3 2 |P1P2|＝ 5－22＋1＋22＝3 2.
2．坐标法
代数 方法解决 (1)定义：通过建立平面直角坐标系，用______
几何问题的方法称为坐标法．
坐标系 ，用坐标表示有关的量：②进 (2)步骤：①建立________ 翻译 ”成几何关 代数运算 ；③把代数运算结果“_____ 行有关_________
设A(a，b)，C(c,0)，则B(－c,0)． a－c b 则AB的中点E的坐标是( ， )，AC的中点F的坐标是 2 2 a＋c b ( 2 ，2)． 所以|EF|＝ |BC|＝2|c|. a－c a＋c 2 b b 2 － ＋ － ＝|c|； 2 2 2 2
1 ∴|EF|＝ |BC|. 2 又kEF＝0，kBC＝0， ∴EF∥BC. 综上所述，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边 的一半．