江西省南昌市十所省重点中学命制2017届高三第二次模拟突破冲刺(二)数学(理).doc

南昌市十所省重点中学2017年二模突破冲刺交流卷（02）高三理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合2{|60}A x x x =-≤-，2{|}B x >=，则A B ⋂=（A ）(2,3] （B ）(2,3) （C ）(2,3]- （D ）(2,3)-（2）设i 为虚数单位，若i()1ia z a -=∈+R 是纯虚数，则a 的值是 （A ）1-（B ）0（C ）1 （D ）2（3）若θ是第二象限角且sin θ =1213，则4tan()πθ+= （A ）177-（B ）717-（C ）177（D ）717（4）设F 是抛物线E ：22(0)y px p =>的焦点，直线l 过点F 且与抛物线E 交于A ，B两点，若F 是AB 的中点且8AB =，则p 的值是 （A ）2（B ）4（C ）6（D ）8（5）为便民惠民，某通信运营商推出“优惠卡活动”．其内容如下：卡号的前7位是固定的，后四位从“0000”到“9999”共10000个号码参与该活动，凡卡号后四位带有“6”或“8”的一律作为优惠卡，则“优惠卡”的个数是 （A ）1980（B ）4096（C ）5904（D ）8020（6）在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AC 的中点，点F 在线段AD 上并且AF =2DF ，设AB = a ，BC= b ，则EF =（A ）23a 16-b （B ）23a 12- b （C ）16a 13- b（D ）16a 16-b （7）设m a x {,}mn 表示m ，n 中最大值，则关于函数()max{sin cos ,sin cos }f x x x x x =+-的命题中，真命题的个数是①函数()f x 的周期2T =π②函数()f x 的值域为[-③函数()f x 是偶函数 ④函数()f x 图象与直线x = 2y 有3个交点 （A ）1（B ）2（C ）3 （D ）4（8）更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a = 153，b = 119，则输出的a 值是 （A ）16 （B ）17 （C ）18 （D ）19（9）设实数0a b >>，0c >，则下列不等式一定正确．．．．的是 （A ）01ab<< （B ）ln0ab> （C ）a b c c >（D ）0ac bc -<（10）下列方格纸中每个正方形的边长为1，粗线部分是一个几何体的三视图，则该几何体最长棱的棱长是 （A ）3（B ）6（C ）（D ）5（11）设P 为双曲线C ：22221(0x y a a b-=>，0)b >上且在第一象限内的点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，PF 2⊥F 1F 2，x 轴上有一点A 且AP ⊥PF 1，E 是AP 的中点，线段EF 1与PF 2交于点M ．若22PM MF =，则双曲线的离心率是 （A ）1（B ）2（C ）3 （D ）4（12）设函数()f x = x ·e x ，2()2g x x x =+，2()2sin()63h x x =+ππ，若对任意的x ∈R ，都有()()[()2]k h x g x x f ≤+-成立，则实数k 的取值范围是否结束输出a 否b = b - aa = a - b是是a > b a ≠b 输入a ，b 开始（A ）1(,1]e -∞+（B ）1(2,3]e -+（C ）e1[2,)++∞（D ）e1[1,)++∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）7(3)x -的展开式中，x 5的系数是．（用数字填写答案）（14）若x ，y 满足约束条件320200326x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+≤-≤⎩≥，则2210634x y x y ++++的最小值是．（15）下表示意某科技公司2012～2016年年利润y （单位：十万元）与年份代号x 之间的关系，如果该公司盈利变化规律保持不变，则第n 年（以2012年为第1年）年利润的预报值是y = ．（直接写出代数式即可，不必附加单位）（16）在如图所示的直角坐标系xOy 中，AC ⊥OB ，OA ⊥AB ，|OB | = 3，点C 是OB 上靠近O 点的三等分点，若(0)ky x x=>函数的图象（图中未画出）与△OAB 的边界至少有2个交点，则实数k 的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）C BAO yx在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，D 是BC 边上靠近点B 的三等分点，sin2BAC ACB ∠+∠=．（Ⅰ）若2cos (cos cos )C a B b A c +=，求C ； （Ⅱ）若c = AD = 3，求△ABC 的面积． （18）（本小题满分12分）如图，在圆柱中，A ，B ，C ，D 是底面圆的四等分点，O 是圆心，A 1A ，B 1B ，C 1C 与底面ABCD 垂直，底面圆的直径等于圆柱的高． （Ⅰ）证明：BC ⊥AB 1；（Ⅱ）（ⅰ）求二面角A 1 - BB 1 - D 的大小；（ⅱ）求异面直线AB 1和BD 所成角的余弦值．（19）（本小题满分12分）王明参加某卫视的闯关活动，该活动共3关．设他通过第一关的概率为0.8，通过第二、第三关的概率分别为p ，q ，其中p q >，并且是否通过不同关卡相互独立．记ξ为他通过的关卡数，其分布列为：（Ⅰ）求王明至少．．通过1个关卡的概率； （Ⅱ）求p ，q 的值．（20）（本小题满分12分）已知椭圆C：2221(3x y a a +=的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且1A满足113eOF OA AF+=，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,1)的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．（21）（本小题满分12分）已知函数2321()ln 342()2f x x x ax x a a a a =--+--+∈R 存在两个极值点．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设1x 和2x 分别是()f x 的两个极值点且12x x <，证明：212e x x >．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos sin x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线C 1和C 2的直角坐标方程，并分别指出其曲线类型；（Ⅱ）试判断：曲线C 1和C 2是否有公共点？如果有，说明公共点的个数；如果没有，请说明理由；（Ⅲ）设(,)A a b 是曲线C 1上任意一点，请直接写出．．．．a + 2b 的取值范围． （23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()2122f x x x =+--． （Ⅰ）将函数化为分段函数的形式； （Ⅱ）写出不等式()1f x <的解集．理科数学试题答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（1）{|(2)(3)0}{|23}A x x x x x =+-≤=-≤≤，{|22}B x x x =<->或，故(2,3]A B ⋂=．（2）i (i)(1i)11i 1i (1i)(1i)22a a a a z ----+===-++-，因为z 是纯虚数，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，故1a =．（3）由θ是第二象限角且sin θ =1213知：5cos 13θ=-，2an 1t 5θ=-．所以45tan tan 7tan()1t 445an tan 17πθθθ+︒︒==--+．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1222F x x px +==，故AB =1228x x p p ++==，即p = 4． （5）不带“6”或“8”的号码个数为84 = 4096，故带有“6”或“8”的有5904个． （6）2121111()()3232266EF AF AE AD AC AB BC AB BC AB BC =-=-=+-+=-，故选D ．（7）下图是函数()f x 与直线2x y =在同一坐标系中的图象，由图知①②④正确，选C . （8）第一次循环得：15311934a =-=；第二次循环得：1193485b =-=；第三次循环得：853451b =-=；同理，第四次循环513417b =-=；第五次循环341717a =-=，此时a = b ，输出a = 17，结束．（9）由于0a b >>，1a b >，A 错；ln ln10ab>=，B 对；当01c <<时，a b c c <；当1c =时，a b c c =；当1c >时，a b c c >，故a b c c >不一定正确；0a b >>，0c >，故0a c b c ->，D 错．（10）画出立体图（如图）．由图知，该几何体最长棱的棱长是5．（11）由题设条件知1(,0)F c -，2(,0)F c ，2(,)b P c a，122F F c =．在Rt △PF 1A 中，由射影定理得22122PF F F AF =，所以4222b AF a c=．所以42(,0)2b A c a c+，422(,)42b b E c a c a +.1224422222824EF b ab c a k b b a c c a c-==++．所以EF 1的直线方程是1()EF y k x c =+，当x = c 时12224224283EF ab c b y ck b a c a===+． 即6222222812b a b c a b c +=，4224b a c =，又222b c a =-，所以22222()4c a a c -=，即422460c a c a -+=，同除以a 4得42610e e -+=，得23e =+23)e =-舍．所以1e =（12）由题设()()[()2]k h x g x x f ≤+-恒成立等价于()()()2f x kg x h x k +≥-．①设函数()()()H x f x kg x =+，则()(1)(e 2)x H x x k '=++．1°设k = 0，此时()e (1)x H x x '=+，当1x <-时()0H x '<，当1x >-时()0H x '>，故1x <-时()H x 单调递减，1x >-时()H x 单调递增，故1()(1)e H x H -≥-=-．而当1x =-时()h x 取得最大值2，并且1e 2--<，故①式不恒成立．2°设k < 0，注意到22(2)e H -=-，22(2)22eh k k --=>>-，故①式不恒成立． 3°设k > 0，()(1)(e 2)x H x x k '=++，此时当1x <-时()0H x '<，当1x >-时()0H x '>，故1x <-时()H x 单调递减，1x >-时()H x 单调递增，故1()(1)eH x H k ≥-=--；而当1x =-时max ()2h x =，故若使①式恒成立，则122ek k --≥-，得12e k ≥+．（13）由二项式定理得717(1)3C r r r rr T x -+=-，令r = 5得x 5的系数是2573C 189-=-．DCBAS（14）画出可行域（如图）．所求代数式可化为22(5)(3)x y +++，这表示动点(,)x y 与定点(5,3)--的距离的平方．由图知，只有C 点可能与(5,3)M --的距离最短．于是联立32020x y x y -+⎧⎨-=-=⎩，得24x y =-=-⎧⎨⎩，所以(2,4)C --．而CM =，d =故2210634x y x y ++++的最小值是10．（15）考虑数列{}n a ，()n a f n =，那么11a =，26a =，315a =，428a =，545a =．所以21540a a -=+×，32541a a -=+×，4354a a -=+×2，154(2)n n a a n --=+-， 上述各式相加得：21(2)4(2)(12)5(1)4[123]5422n n n a a n n n n n -+-=+-++++⋯+=-+=--．（16）当k < 0时显然不成立；当k = 0时，直线y = 0与△OAB 边界有无数个交点，成立．当k > 0时，由题设，A ，(3,0)B ，(1,0)C ．若函数与△OAB 的边界分别交于OA ，AB ，则()y f x =应满足(1)f k =若函数与△OAB 的边界AB 交于两点（不含A 点），则临界位置为相切．由题设AB20y +-．设切点为00(,)k x x ，2()kf x x'=-，则020()k f x x '=-=，即20k x =．将切点代入直线AB 方程得032x =，k =．综上，0k ≤<三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2cos (cos cos )C a B b A c +=及正弦定理得3x + 2y - 6 = 0x - y - 2 = 03x - y + 2 = 0OCM (-5,-3)yx2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=2cos sin()sin C A B C ⇔+=2cos sin sin C C C ⇔=，因为,)(0C ∈π，所以sin C ≠0，所以2cos 1C =．又因为,)(0C ∈π，所以3C =π． ………………………………………… 6分（Ⅱ）由sinsin cos 222BAC B B B AC -∠+∠===π得21cos 2cos 123B B =-=．由余弦定理得222cos 2AB BD AD B AB BD +-=×，即222133=323BD BD+-××，得2BD =，故6a =．过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE中，sin AE AB B ==× 所以△ABC的面积为162=×………………………… 12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为B 1B ⊥平面ABCD ，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥B 1B ，又因为在底面圆O 中，AB ⊥BC ，AB ∩B 1B = B ，所以BC ⊥平面A 1B 1BA ，又因为BA 1⊂平面A 1B 1BA ，所以BC ⊥AB 1．…………………………… 5分（Ⅱ）（ⅰ）由圆柱性质知CB 、CD 、CC 1两两垂直．以C 为原点，以CD 、CB 、1CC为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，不妨设圆柱的高为2． 则(0,0,0)C，B ，(1,1,0)O ．…………………………… 6分所以平面A 1B 1B的一个法向量是CB =． 平面BB 1D 的一个法向量是(1,1,0)CO =．所以cos ,·CB CO CB CO CB CO<>==． …………………………… 8分 由图知二面角A 1 - BB 1 - D 是锐二面角，所以它的大小是4π． …………… 9分（ⅱ）由题意得A，D，1B ．所以1(AB =，BD = ．所以111cos ,·AB BD AB BD AB BD<>=== ．…………………… 12分 （19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设事件(1,2,3)i A i =表示“王明通过第i 个关卡”，由题意知1()0.8P A =，2()P A p =，3()P A q =．…………………… 2分由于事件“王明至少通过1个关卡”与事件“ξ＝0”是对立的，所以王明至少通过1个关卡的概率是1(0)10.0480.952P ξ-==-=． …………………………… 6分 （Ⅱ）由题意(0)0.2(1)(1)0.048P p q ξ==--=，(3)0.80.192P pq ξ===． 整理得1p q +=，0.24pq =，又p q >，所以0.6p =，0.4q =．………… 12分 （20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c ，则|OF | = c ，|OA | = a ，|AF | =a c -．所以113e c a a c +=-，其中ce a=，又2223b a c ==-，联立解得2a =，1c =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．…………………………………………… 4分（Ⅱ）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形．……………… 5分 当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+． 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得22(43)880k x kx ++-=．于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=22(8)32(43)k k ++，这显然大于0． 设点11(,)M x y ，22(,)N x y ． 由根与系数的关系得122843k x x k +=-+，122843x x k =-+．……………… 7分所以12MN x =-O 到l 的距离d =所以△OMN 的面积12S d MN === 10分令2433t k =+≥，那么S =当且仅当t = 3时取等．所以△OMN ． …………………………………… 12分 （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln f x x ax '=-，故函数()f x 有两个极值点等价于其导函数()f x '在(0,)+∞有两个零点． 当a = 0时()ln f x x '=，显然只有1个零点01x =． ……………………… 2分当a ≠0时，令()ln h x x ax =-，那么11()axh x a x x-'=-=．若a < 0，则当x > 0时()0h x '>，即()h x 单调递增，所以()h x 无两个零点. … 3分 若a > 0，则当10x a <<时()0h x '>，()h x 单调递增；当1x a>时()0h x '<，()h x 单调递减，所以11()()ln 1h x h a a≤=-. 又(1)0h a =-<，当x →0时→-∞，故若有两个零点，则11()ln 10h a a=->，得10a e <<． 综上得，实数a 的取值范围是1(0,)e．………………………………………… 6分 （Ⅱ）要证212e x x >，两边同时取自然对数得212ln ln n 2e l x x +>=． ……… 7分由()0f x '=得1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，得12121212ln ln ln ln x x x x a x x x x +-==+-. 所以原命题等价于证明12121212()(ln ln )ln ln 2x x x x x x x x +-+=>-． …………… 8分 因为12x x <，故只需证1212122()ln ln x x x x x x --<+，即1121222(1)ln 01x x x x x x --<+．…… 9分 令12x t x =，则01t <<，设2(1)()ln (01)1t g t t t t -=-<<+，只需证()0g t <．… 10分 而22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++，故()g t 在(0,1)单调递增，所以()(1)0g t g <=． 综上得212e x x >．………………………………………………………………… 12分（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题设知曲线C 1的方程是2214x y +=． 所以曲线C 1表示以(为焦点，中心为原点的椭圆．…………………… 3分 同理曲线C 2的方程是2220x y y +-=．所以曲线C 2表示以(0,1)为圆心，半径是1的圆． ……………………… 5分（Ⅱ）联立曲线C 1和C 2的直角坐标方程，得22224420x y x y y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩． 消去x ，得23240y y +-=，解得y =)y =舍． 由图形对称性知公共点的个数为2． ……………………………………… 8分（Ⅲ）a + 2b的取值范围是[-．……………………………… 10分（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题设3,11()41,1213,2xf x x xx⎧⎪>⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩．………………………………6分（Ⅱ）不等式的解集是1(0,)2． (10)。