2017年广东省清远市清新区滨江中学高考数学一模试卷(理科)

2017年广东省清远市清新区滨江中学高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={x|y=}，集合B={x|2x-x2＞0}，则（∁R A）∩B等于（A.（0，2）B.[1，2）C.（0，1）D.∅【答案】C【解析】解：集合A={x|y=}={x|x-1≥0}={x|x≥1}，集合B={x|2x-x2＞0}={x|x（x-2）＜0}={x|0＜x＜2}，则∁R A={x|x＜1}，∴（∁R A）∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：C．化简集合A和B，根据补集与交集的定义写出（∁R A）∩B即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.复数z=的虚部为（）A.-1B.-3C.1D.2【答案】B【解析】解：∵z==，∴复数z=的虚部为-3．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】解：由题意，3x0=x0+，∴x0=，∴=2，∵p＞0，∴p=2，故选D．根据抛物线的定义及题意可知3x0=x0+，得出x0求得p，可得答案．本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．4.已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角的余弦值为sin，则•（2-）等于（）A.2B.-1C.-6D.-18【答案】D【解析】解：∵向量，满足||=1，||=2，与的夹角的余弦值为sin=sin（-）=-，∴=1×2×（-）=-3，∴•（2-）=2-=2•（-3）-12=-18，故选：D．由题意利用两个向量的数量积的定义求得的值，可得（2-）的值．本题主要考查诱导公式的应用，两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．5.已知x∈（0，π），且cos（2x-）=sin2x，则tan（x-）等于（）A. B.- C.3 D.-3【答案】A【解析】解：∵cos（2x-）=sin2x，可得：sin2x=sin2x，∴2sinxcosx=sin2x，∵x∈（0，π），sinx＞0，∴2cosx=sinx，可得tanx=2，∴tan（x-）===．故选：A．由已知利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tanx的值，进而利用两角差的正切函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）A.18B.20C.87D.90【答案】C【解析】解：第一次执行循环体后，S=2，n=2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S=5，n=3，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S=18，n=4，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S=87，n=5，满足退出循环的条件；故输出的S值为87，故选：C根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．7.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：若以频率为概率，现从该批次机械元件随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：随机抽查的200个机械元件，从该批次机械元件随机抽取3个，基本事件总数n=，由题意得：使用寿命在30天以上共150个，至少有2个元件的使用寿命在30天以上包含的基本事件个数m=，故至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率是：P==．故选：D．基本事件总数n=，由题意得：使用寿命在30天以上共150个，由此求出至少有2个元件的使用寿命在30天以上包含的基本事件个数m=，从而能求出至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.6B.9C.12D.18【答案】B【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体，下部的三棱柱，底面面积为：×4×3=6，高为1，体积为：6；上部的三棱柱，底面面积为：×2×3=3，高为1，体积为：3；故组合体的体积V=6+3=9，故选：B由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体，进而可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．9.已知x=是函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）在[-，]上的最小值为（）A.-2B.-1C.-D.-【答案】B【解析】解：已知x=是函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，∴2×+φ+=kπ+，k∈Z，∴φ=，即f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-）=2sin（2x-）=-2sin（2x-）的图象，在[-，]上，2x-∈[-，]，故当2x-=时，g（x）取得最小值为-1，故选：B．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的解析式．根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在[-，]上的最小值．本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．10.已知函数则不等式的解集为（）A.（，1）B.[1，4]C.（，4）D.[1，+∞【答案】C【解析】解：不等式⇔ ，或＜＜，解得1≤x≤4，或＜＜，∴原不等式的解集为，．故选：C．不等式⇔ ，或＜＜，解出即可得出．本题考查了分段函数的性质、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|=|F1F2|．若直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】解：解：设PF1与圆相切于点M，因为|PF2|=|F1F2|，所以△PF1F2为等腰三角形，N为PF1的中点，所以|F1M|=|PF1|，又因为在直角△F1MO中，|F1M|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1M|=b=|PF1|①又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a②，c2=a2+b2③由①②③可得c2-a2=（）2，即为4（c-a）=c+a，即3c=5a，解得e==．故选：B．先设PF1与圆相切于点M，利用|PF2|=|F1F2|，及直线PF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．12.已知函数f（x）=e x（x-b）（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A.（-∞，）B.（-∞，）C.（-，）D.（，+∞）【答案】A【解析】解：∵f（x）=e x（x-b），∴f′（x）=e x（x-b+1），若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则若存在x∈[，2]，使得e x（x-b）+xe x（x-b+1）＞0，即存在x∈[，2]，使得b＜成立，令g（x）=，x∈[，2]，则g′（x）=＞0，g（x）在[，2]递增，∴g（x）最大值=g（2）=，故b＜，故选：A求出f′（x），问题转化为b＜在[，2]恒成立，令g（x）=，x∈[，2]，求出b的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若x，y∈R，且满足则z=2x+3y的最大值等于______ ．【答案】15【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3），化目标函数z=2x+3y为y=-x+，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+3×3=15．故答案为：15．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.在平面直角坐标系x O y中，已知圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的值是______ ．【答案】【解析】解：如图，由题意可知，原点到直线12x-5y+c=0的距离为．由点到直线的距离公式可得：，∴c=．故答案为：．由题意画出图形，把圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x-5y+c=0的距离为1转化为原点到直线12x-5y+c=0的距离为，再由点到直线的距离公式得答案．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础的计算题．15.已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，设T n=S1+S2+…+S n，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则T4= ______ ．【答案】98【解析】解：根据题意，设数列{a n}的首项为a1，公比为q，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则有，解可得a1=16，q=；则T1=S1=a1=16，则S n=；则T4=S1+S2+S3+S4=16+++=98；故答案为：98．根据题意，设数列{a n}的首项为a1，公比为q，结合题意可得，解可得首项与公比的值，进而可得S n=；又由T4=S1+S2+S3+S4，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和，关键是求出等比数列的首项与公比．16.若α，β∈[-，]，且αsinα-βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2其中正确的序号是：______ ．【答案】④【解析】解：令f（x）=xsinx，x∈[-，]，∵f（-x）=-x•sin（-x）=x•sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x∈[-，]为偶函数．又f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[-，0]单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα-βsinβ＞0，反之也成立，∴α2＞β2．故答案为④．构造函数f（x）=xsinx，x∈[-，]，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈[0，]，与x∈[-，0]上的单调性，从而可选出正确答案．本题考查正弦函数的单调性，难点在于构造函数f（x）=xsinx，x∈[-，]，通过研究函数f（x）=xsinx，的奇偶性与单调性解决问题，属于难题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4c，B=2C（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．【答案】解：（Ⅰ）由题意得B=2C，则sin B=sin2C=2sin C cos C，又b=4c，所以cos C===，所以cos B=cos2C=2cos2C-1=；（Ⅱ）因为c=5，b=4c，所以b=，由余弦定理得，b2=a2+c2-2accos B则80=a2+25-2×a，化简得，a2-6a-55=0，解得a=11或a=-5（舍去），由BD=6得，CD=5，由cos C=得sin C==，所以△ADC的面积S===10．【解析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、正弦定理求出cos C，由二倍角的余弦公式变形求出cos B 的值；（Ⅱ）由题意求出b的值，由余弦定理列出方程，化简后求出a的值，由条件求出CD 的值，由cos C和平方关系求出sin C，代入三角形的面积公式求出△ADC的面积．本题考查了正弦定理、余弦定理，二倍角的正弦公式、余弦公式变形等，以及三角形的面积公式的应用，考查方程思想，化简、计算能力．18.我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计政府执行此计划的年度预算．【答案】解：（Ⅰ）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：8×=3人，80岁以上应抽取：8×=5人．（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：，用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×=11万，用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为=2.75%．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，P（X=0）=，P（X=120）==，P（X=200）==，P（X=220）==，P（X=300）==，则随机变量X的分布列为：EX==28，全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元．政府执行此计划的年度预算约为2.2176亿元．【解析】（Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，两个群体中各应抽取多少人．（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，则X的可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、EX，从而能估计政府执行此计划的年度预算．本题考查分表图、分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及应用，是中档题，历年高考中都是必考题型之一．19.如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A-DE-C的余弦值．【答案】证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，∵E是PB中点，∴EF AB，∴CD EF，∴四边形CDEF为平行四边形，∴DF∥CE，又△PAD为正三角形，∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，又PA⊥CD，CD∩CE=C，∴PA⊥平面CDE，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．解：（Ⅱ）∵AB∥CD，PA⊥CD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成角，即∠CPD=45°，从而CD=AD，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，设AD=2，则A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，1，），D（0，2，0），E（2，，），∴=（2，，），=（0，2，0），设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取z=-4，得=（，，），由（Ⅰ）知PA⊥平面CDE，∴=（0，1，）是平面CDE的一个法向量，∴cos＜，＞===-，∴二面角A-DE-C的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，推导出四边形CDEF为平行四边形，从而DF∥CE，由此能证明平面PAB⊥平面CDE．（Ⅱ）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角A-DE-C的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（0，-1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为，∴，又a2=b2+c2，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，①当k=0时，设直线l的方程为y=y0，P（-x0，y0），Q（x0，y0），则，∴S=|2x0|•|y0|=|x0|•|y0|=2≤=2，当且仅当=2-，即|y0|=1时，取等号，此时直线l的方程为y=±1．②当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-2）=0，由△=（8km）2-4（1+4k2）•4（m2-2）＞0，解得8k2+2＞m2，（*），，∴PQ中点为（-，），∵|AP|=|AQ|，∴，化简得1+4k2=3m，结合（*）得0＜m＜6，又O到直线l的距离d=，|PQ|=|x1-x2|=，∴S=|PQ|•d=•==，∴当m=3时，S取最大值2，此时k=，直线l的方程为y=．综上所述，直线l的方程为y=±1或y=．【解析】（Ⅰ）由椭圆过点M（2，1），且离心率为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，当k=0时，直线l的方程为y=±1．当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-2）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出直线l的方程．本题考查椭圆方程、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．21.设函数f（x）=e ax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；（Ⅱ）若-e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=ae ax+=，（x＞0），令g（x）=axe ax+λ，其中a＜0，x＞0，求导得：g′（x）=ae ax（1+ax），令g′（x）=0，解得：x=-，x∈（0，-）时，g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（-，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x=-时，g（x）取得极小值，也是最小值g（-）=λ-，∵0＜λ＜，∴g（-）=λ-＜0，又g（0）=λ＞0，∴g（-）g（0）＜0，∴函数f（x）有两个极值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：不妨令x2∈（-，+∞），故ax2+λ=0，故f（x2）=（1-ax2lnx2），令h（x）=1-axlnx，x∈（-，+∞），h′（x）=-a（lnx+1）＞-a（ln+1）=0，∴f（x2）＞0，∵f（0）→负数，∴函数f（x）有唯一零点．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值点的个数；（Ⅱ）根据函数的单调性，令x2∈（-，+∞），故f（x2）=（1-ax2lnx2），令h（x）=1-axlnx，x∈（-，+∞），根据函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道综合题．22.在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系x O y（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），∵E（0，-1），∴=（-，-2），=（cosθ-，sinθ-1），∴•=-3cosθ+3-2（sinθ-1）=sin（θ+α）+5，∴•的取值范围是[5-，5+]．【解析】（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），可得点A的直角坐标；求出椭圆直角坐标方程，即可求出椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），E（0，-1），求出相应的向量，即可求•的取值范围．本题考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．23.已知不等式|x+3|-2x-1＜0的解集为（x0，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）=|x-m|+|x+|-x0（m＞0）有零点，求实数m的值．【答案】解：（Ⅰ）不等式转化为或，解得x＞2，∴x0=2；（Ⅱ）由题意，等价于|x-m|+|x+|=2（m＞0）有解，∵|x-m|+|x+|≥m+，当且仅当（x-m）（x+）≤0时取等号，∵|x-m|+|x+|=2（m＞0）有解，∴m+≤2，∵m+≥2，∴m+=2，∴m=1．【解析】（Ⅰ）不等式转化为或，解得x＞2，即可求x0的值；（Ⅱ）由题意，等价于|x-m|+|x+|=2（m＞0）有解，结合基本不等式，即可求实数m的值．本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题．。