2019-2020年高二上册期末数学文科试题(1)含解析

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2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(文科)(解析版)

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知直线l：，则直线l的倾斜角为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设直线l的倾斜角为，．则，．故选：C．设直线l的倾斜角为，可得，即可得出．本题考查了直线斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.抛物线的准线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：抛物线的标准方程为，，开口朝上，准线方程为，故选：D．先把抛物线化为标准方程为，再求准线．在解答的过程当中充分运用抛物线的方程与性质是解题的关键．3.命题“，使”的否定为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“，使”的否定为“，”，故选：A．运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．4.由点引圆的切线的长是A. 2B.C. 1D. 4【答案】C【解析】解：点P到圆心的距离为，圆的半径为3，切线长为：，故选：C．两点间的距离公式求出点P到圆心的距离，易知半径为3，使用勾股定理求出切线长，点P到圆心的距离、圆的半径、切线长，三者构成直角三角形，勾股定理成立．5.已知函数在点处的切线与直线垂直，则a的值为A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】解：函数的导数为，可得在点处的切线斜率为3，由切线与直线垂直，可得，故选：B．求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为，考查方程思想，属于基础题．6.已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：椭圆的焦点为，可得双曲线的，即，由双曲线的渐近线方程为，可得，解得，，则双曲线的方程为．故选：D．求得椭圆的焦点，可得双曲线的，由双曲线的渐近线方程可得a，b的关系，解方程可得a，b的值，进而得到所求双曲线的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和焦点，同时考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．7.已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面，，给出下列四个命题，错误的命题是A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】B【解析】解：对于A，若，，，则是正确的，因为两个平面垂直时，与它们垂直的两个方向一定是垂直的；对于B，若，，则是错误的，因为a也可能在内；对于C，若，，，则是正确的，因为由面面垂直与线面垂直的性质与判定，即可得出；对于D，若，，，则是正确的，因为线面平行的性质定理转化为线线平行，得出．故选：B．根据空间中的线线、线面与面面之间的位置共线，对选项中的命题判断正误即可．本题利用命题真假的判断，考查了空间中的平行与垂直的应用问题，是中档题．8.实数x，y满足，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：设，则与圆由交点，圆心到直线的距离，解得．故选：C．设，则与圆由交点在根据圆心到直线的距离小于等于半径列式，解不等式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．9.已知过抛物线的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，，则p的值为A. 2B. 4C.D. 8【答案】C【解析】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，直线AB的方程为，代入可得，，由抛物线的定义可知，，，，解得．故选：C．设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可，，由抛物线的定义可知，，，即可得到p．本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，，，当堑堵的外接球的体积为时，则阳马体积的最大值为A. 2B. 4C.D.【答案】D【解析】解：堑堵的外接球的体积为，其外接球的半径，即，又，．则．．即阳马体积的最大值为．故选：D．由已知求出三棱柱外接球的半径，得到，进一步求得AB，再由棱锥体积公式结合基本不等式求最值．本题考查多面体的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．11.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数若，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令，，则，，，函数在递减，，，，，即，故，解得：，故，故选：C．令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．12.已知双曲线的左、右顶点分别为A，点F为双曲线的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C于P、Q两点，连接PB交y轴于点连接AE，EA延长线交QF于点M，且，则双曲线C的离心率为A. B. 2 C. 3 D. 5【答案】C【解析】解：由题意可得，，，可得BP的方程为：，时，，，，则AE的方程为：，则，由，可得M是线段QF的中点，可得，即，即，则，故选：C．利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的a，c关系，由离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在边长为1的正方体中，与平面ABCD所成角的正弦值为______．【答案】【解析】解：正方体中，底面ABCD，即为与底面ABCD所成角，易知，，故答案为：．作出正方体，易知即为所求角，容易得解．此题考查了斜线与平面所成角，属容易题．14.已知函数，则的单调递增区间为______．【答案】【解析】解：的定义域是，，令，解得：，故在递增，故答案为：．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．【答案】【解析】解：由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，该几何体的体积为：．故答案为：．由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的合理运用．16.设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最大值为______．【答案】【解析】解：椭圆中的，即焦点坐标为，，点M在椭圆的外部，则，当且仅当M，，P三点共线时取等号，故答案为：，根据条件求出a，和c的值，结合椭圆的定义进行转化，利用三点共线的性质进行求解即可．本题主要考查椭圆定义的应用，利用椭圆定义转化为三点共线是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题：；命题q：关于x的方程有两个不同的实数根．若为真命题，求实数m的取值范围；若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：当命题q为真时，则，解得分若为真，则p真q真，，解得，即实数m的取值范围为分若为真命题，为假命题，则p，q一真一假，，解得；分若p真q假，则或若p假q真，则，解得分综上所述，实数m的取值范围为分【解析】根据为真，则p真q真，求出命题p，q为真命题的等价条件即可为真命题，为假命题，则命题p，q一个为真命题，一个为假命题，讨论即可本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.已知方程C：，若方程C表示圆，求实数m的范围；在方程表示圆时，该圆与直线l：相交于M、N两点，且，求m的值．【答案】解：根据题意，若方程C：表示圆，则有，解可得，即m的取值范围为；根据题意，方程C：，其圆心为，圆心到直线的距离，若圆C与直线l：相交于M、N两点，且，则有，解得；则．【解析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得，解可得m的取值范围，即可得答案；根据题意，由圆C的方程分析圆心，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得，解可得m的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及二元二次方程表示圆的条件以及弦长的计算，属于基础题．19.如图所示，在直三棱柱中，为正三角形，，M是的中点，N是中点．证明：平面；若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长．【答案】解：证明：，连接C，是的中点，又N是的中点，C，又平面，平面，平面解：，是的中点，到平面的距离是C到平面的距离的一半，如图，作交AB于P，由正三棱柱的性质，易证平面，设底面正三角形边长为a，则三棱锥的高，，解得．故该正三棱柱的底面边长为．【解析】连接，利用中位线得线线平行，进而得线面平行；设底面边长为a，转化三棱锥的顶点为M，利用体积不难列出方程求得a值．此题考查了线面平行，三棱锥的体积等，难度适中．20.已知函数，曲线在点处的切线方程为，在处有极值．求的解析式．求在上的最小值．【答案】解：，．曲线在点P处的切线方程为，即在处有极值，所以，由得，，，所以分由知．令，得，．当时，；当时，；当时，，极小值．又因，所以在区间上的最小值为．【解析】由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；结合中求得的函数解析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确定函数的最小值即可．本题主要考查由函数的切线方程确定函数解析式的方法，利用导数研究函数的最值等，属于中等题．21.如图，中，，ACDE是边长为6的正方形，平面底面ABC．求证：平面EAB；求几何体AEDCB的体积．【答案】证明：为正方形，，又平面平面ABC，平面平面，平面ACDE，平面ABC，．又，，．又，平面分解：取AC的中点G，连BG，，且，，且，又平面平面ABC平面ACDE，几何体AEDCB的体积分【解析】推导出，平面ABC，由此能证明平面EAB．取AC的中点G，连BG，推导出平面ACDE，由此能求出几何体AEDCB的体积．本题考查线面垂直的证明，考查几可体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.已知椭圆C：，P为C的下顶点，F为其右焦点，点G的坐标为，且，椭圆C的离心率为．求椭圆C的标准方程；已知点，直线l：交椭圆C于不同的两点A，B，求面积的最大值．【答案】解：由题意得，即有，，，，，所求椭圆的方程为；设直线l的方程为，由，得，由题意得，，得，即或，设，，则，，又由题意得，到直线的距离，的面积，当且仅当，即时取等号，且此时满足，所以的面积的最大值为1．【解析】由离心率公式可得a，b，c的方程，解得a，b，即可得到所求椭圆方程；设直线l的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和三角形的面积公式，结合基本不等式，可得所求最小值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查基本不等式的运用：求最值，考查化简运算能力，属于中档题．。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(文科)含解答

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列命题中，正确的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则【答案】D【解析】解：对于A，要满足，，才能得到，故错；对于B，时，由，得，故错；对于C，若，，则或或，故错；对于D，若，则，则，故正确；故选：D．A，要满足，，才能得到；B，时，由，得；C，若，，则或或；D，若，则，则；本题考查了不等式的性质及其应用，属于基础题．2.一个命题与它们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中A. 真命题与假命题的个数不同B. 真命题的个数一定是偶数C. 真命题的个数一定是奇数D. 真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数【答案】B【解析】解：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题，原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题的若有事成对出现的，真命题的个数一定是一个偶数．故选：B．根据互为逆否命题的真假性是一致的，得到原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题的若有事成对出现的．本题考查命题的四种形式，是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，是一个比较简单的问题，若出现是一个送分题目．3.若点P到直线的距离比它到点的距离小1，则点P的轨迹为A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】解：点P到直线的距离比它到点的距离小1，点P到直线的距离和它到点的距离相等，故点P的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，即，则点P的轨迹方程为，故选：D．由题意得，点P到直线的距离和它到点的距离相等，故点P的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，，写出抛物线的方程．本题考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，判断点P的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，是解题的关键．4.等差数列中，若，则A. 256B. 512C. 1024D. 2048【答案】C【解析】解：等差数列中，若，可得，则．故选：C．运用等差数列的性质和指数的运算性质，结合等差数列的求和公式，计算可得所求值．本题考查等差数列的性质和求和公式，以及指数的预算性质，考查运算能力，属于基础题．5.已知函数既存在极大值又存在极小值，那么实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：函数既存在极大值，又存在极小值有两异根，，解得或，故选：D．求出函数的导函数，根据已知条件，令导函数的判别式大于0，求出m的范围．利用导数求函数的极值问题，要注意极值点处的导数值为0，极值点左右两边的导函数符号相反．6.下面四个条件中，使成立的一个必要不充分的条件是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：“”能推出“”，但“”不能推出“”，故满足题意；“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意；B 不正确．“”能推出“”，且“”能推出“”，故是充要条件，不满足题意；C不正确；“”不能推出“”，故选项C不是“”的必要条件，不满足题意；D不正确．故选：A．欲求成立的必要而不充分的条件，即选择一个“”能推出的选项，但不能推出，对选项逐一分析即可．本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是理解必要而不充分的条件，属于基础题．7.若，则的最小值为A. B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】解：设，因为，则，则，由“对勾函数”的性质可得：在为减函数，即，故选：C．由三角函数的有界性得：，因为，则，由对勾函数的单调性得：在为减函数，即，得解．本题考查了三角函数的有界性及对勾函数的单调性，属中档题．8.平面四边形ABCD中，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：中，，，，得．，，．故选：B．由平面几何知识，不难算出，从而求得AC，AD即可．此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】解：由题意知，抛物线的焦点坐标点，直线AB的方程为，由，得，设，，则，，，，故选：A．由抛物线与过其焦点的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出、两点坐标，由向量的数量积的坐标运算得，由韦达定理可以求得答案．本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决．10.若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由的图象知，当时，，时，，即当时，，排除B，C，当时，，排除A，故选：D．根据的图象得到当时，，时，，然后讨论x 的范围得到函数取值是否对应进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数符号的一致性进行排除是解决本题的关键．11.若P是椭圆上的点，点Q，R分别在圆：和圆：上，则的最大值为A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】B【解析】解：椭圆中，，椭圆两焦点，恰为两圆和的圆心，，准线，过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，连接，，并延长，分别交两圆于，，则．故选：B．椭圆中，，故椭圆两焦点，恰为两圆和的圆心，过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，连接，，并延长，分别交两圆于，，则，由此能求出的最大值．本题考查椭圆和圆的简单性质，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．12.已知函数的图象过点，为函数的导函数，e为自然对数的底数若1'/>恒成立，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，则，1'/>恒成立，恒成立，单调递增，，，不等式，，，故选：C．构造函数设确定在R单调递增，即可求出不等式的解集．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线C的离心率为，那么它的两条渐近线所成的角为______．【答案】【解析】解：设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，离心率，，，又，，，当双曲线的焦点在x轴时，双曲线的两条渐近线方程为，双曲线的两条渐近线互相垂直所成的角是；故答案为：．设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，由离心率，可求得，从而可求双曲线的两条渐近线所成的角．本题考查双曲线的简单性质，求得是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．14.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．【答案】1【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故答案为：1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，依此规律，这个数列前44项之和为______．【答案】116【解析】解：数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，规律为1后接着3，到第几个1后接几个3，当第8个1后接8个3时，共有，则前44项之和为．故答案为：116．由题意可得该数列规律为1后接着3，到第几个1后接几个3，当第8个1后结8个3时，项数为44，计算可得所求和．本题考查数列的求和，注意总结数列的规律，考查运算能力，属于基础题．16.若长度为，4x，的三条线段可以构成一个钝角三角形，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：，可得为最大边．由于此三角形为钝角三角形，，化为：，由，解得．又，解得：，的取值范围为．故答案为：．，可得为最大边由于此三角形为钝角三角形，可得，解出，根据三角形两边之和大于第三边可求，即可得解本题考查了余弦定理、不等式的解法、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：函数在定义域上单调递增；命题q：不等式对任意实数x恒成立．Ⅰ若q为真命题，求实数a的取值范围；Ⅱ若“￢”为真命题，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ因为命题q：不等式对任意实数x恒成立为真命题，所以或综上所述：分Ⅱ因为“￢为真命题，故p真q假．因为命题p：函数在定义域上单调递增，所以分q假，由可知或所以或分所以实数a的取值范围为，分【解析】Ⅰ恒成立，时，，即，结果相并；Ⅱ为真时，；￢为真，即q为假时，或，结果再相交．本题考查了复合命题及其真假，属基础题．18.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．Ⅰ求A；Ⅱ若，求的面积．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ．由正弦定理，得分整理得，分因为，所以，又，所以分方法二：由余弦定理得：分化简整理得：分即，又，所以分Ⅱ由余弦定理得：，，即，分又，解得，分所以分【解析】Ⅰ方法一：由已知结合正弦定理及两角和的正弦公式可求，进而可求A；方法二：由余弦定理对已知进行化简可得，然后再由余弦定理可求，进而可求A；Ⅱ由已知结合余弦定理可得，结合已知，可求b，c代入三角形面积可求．本题主要考查了正弦定理余弦定理，三角形的面积公式及两角和的正弦公式，诱导公式等知识的综合应用，数中档试题19.设函数，曲线在点处的切线方程为．Ⅰ求b，c的值；Ⅱ若，求函数的极值．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ，分由题意得解得：，分Ⅱ依题意，由得，分所以当时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增分故的极大值为，的极小值为分【解析】Ⅰ求出函数的导数，利用已知条件推出方程，然后求解b，c的值；Ⅱ若，判断导函数的符号，然后求解函数的极值．本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．20.已知函数，数列的前n项和为，点在曲线上．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ求数列的前n项和．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ因为点，在曲线上，所以，，分当，时，分当，时，，满足上式，分，所以分，Ⅱ因为，，所以分，，分【解析】Ⅰ利用点在曲线上，通过通项公式与数列的和关系，然后求解数列的通项公式；Ⅱ化简数列，利用数列的裂项相消法，求解数列的前n项和．本题考查数列的通项公式的求法，递推关系式的应用，数列与曲线相结合，考查计算能力．21.椭圆C：的离心率为，且过点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点M作两条互相垂直的直线，，椭圆C上的点P到，的距离分别为，，求的最大值，并求出此时P点坐标．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ由题意知，，所以椭圆方程为：分Ⅱ设，因为，则分因为，所以分因为，所以当时，取得最大值为，此时点分【解析】Ⅰ利用椭圆的离心率，然后求解a，b，即可得到椭圆C的方程；Ⅱ设，结合，然后求解的表达式，然后求解表达式的最大值，然后求解求解P点坐标．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．22.已知函数．Ⅰ当时，讨论的单调性；Ⅱ证明：当时，．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ，分当时，．令0'/>，得；令，得；分所以在单调递增，在单调递减分当时，令0'/>，得；令，得或；分所以在单调递增，在和单调递减分综上，当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在和单调递减分Ⅱ当时，分令，则．当时，，单调递减；当时，0'/>，单调递增；分所以因此分方法二：由Ⅰ得，当时，在单调递减，在单调递增，所以当时，取得极小值；分当时，，，分所以当时，取得最小值；分而，所以当时，分【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过a的值，当时，导函数的符号，推出的单调性；Ⅱ当时，求出导函数，然后判断导函数的符号，推出单调区间．方法二：判断当时，判断导函数的符号，求解函数的最小值，然后求解函数的最值．本题考查函数的导数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．。

2019-2020学年高二上学期期末质量检测文科数学试题(解析版)

2019-2020学年高二上学期期末质量检测文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知为等差数列，，，则A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】解：为等差数列，，，，解得，，．故选：B．利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的第9项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.命题“，总有”的否定是A. ，总有B. ，总有C. 总有D. 总有【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题“，总有”的否定是：，，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.已知集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由得或，所以或，，，故选：A．或，，，本题考查了交，并，补集的混合运算，属基础题．4.小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和，其全程的平均时速为v，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则综上可得，故选：A．设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则及，利用基本不等式及作差法可比较大小本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用．5.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】解：当“”时，“”成立，故“”是“”的充分条件；当“”时，“”成立，但“”不一定成立，故“”是“”的不必要条件故“”是“”充分不必要条件故选：A．根据底数大于0小于1的指数函数在R上为减函数，先判断“”“”的真假，与“”“”的真假，然后根据充要条件的定义得到结论．本题考查的知识点是充要条件的定义及指数函数的单调性，其中根据指数函数的单调性，判断“”“”的真假，与“”“”的真假，是解答本题的关键．6.已知实数x、y满足，则的最大值为A. 5B. 13C. 15D. 17【答案】A【解析】解：作出实数x、y满足对应的平面区域阴影部分由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得．此时z的最大值为，故选：A．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．7.在中，，则BC边上的中线AD的长为A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】解：由余弦定理可得：．在中，由余弦定理可得：，故选：D．由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，即可．本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且，则直线AB的斜率为A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】解：如图，当点A在第一象限时．过A、B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知，，又，，，在中，，直线l的斜率为；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为．故选：D．当点A在第一象限，通过抛物线定义及可知B为CE中点，通过勾股定理可知，的关系，进而计算可得结论．本题考查抛物线的简单性质，注意数形结合、抛物线定义的应用，属于中档题．9.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由，得，，，则曲线在点处的切线方程是，即．故选：C．求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，然后由直线方程的斜截式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．10.在中，a、b、c分别为A、B、C的对边，且，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，由正弦定理，可得：．故选：D．由已知利用正弦定理即可计算得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．11.已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为A. 6B.C.D.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标为双曲线的左焦点与抛物线的焦点相同，，双曲线的离心率为．故选：B．确定抛物线的焦点坐标，从而可得双曲线的几何量，由此可求双曲线的离心率．本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：设，则的导数为：，当时总有成立，即当时，恒小于0，当时，函数为减函数，又，函数为定义域上的偶函数又，函数的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式或，或．故选：A．由已知当时总有成立，可判断函数为减函数，由已知是定义在R上的奇函数，可证明为上的偶函数，根据函数在上的单调性和奇偶性，模拟的图象，而不等式等价于，数形结合解不等式组即可．本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等比数列中，，则______．【答案】【解析】解：由，，，即，，，故答案为：．根据等比数列的通项公式求出公比，再代入计算即可．本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．14.双曲线的方程，则k的取值范围是______．【答案】或【解析】解：双曲线的方程为，若焦点在x轴上，可得，，解得；若焦点在y轴上，可得，，解得．综上可得k的范围是或．故答案为：或．分别讨论双曲线的焦点在x，y轴上，可得k的不等式组，解不等式可得所求范围．本题考查双曲线的方程，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式的解法，属于基础题．15.已知两个正实数a、b满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：，由基本不等式可得，即．当且仅当时，等号成立，由于恒成立，所以，，整理得，解得．因此，实数m的取值范围为．故答案为：．将代数式与代数式相乘，利用基本不等式可求出的最小值，然后由题意得出，解出不等式即可得出m的取值范围．本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题．16.函数的单调减区间为______．【答案】【解析】解：由，得，由，得．函数的单调减区间为．故答案为：．求出原函数的导函数，由导函数小于0求解指数不等式得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查指数不等式的解法，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列的首项，且满足求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；记，求数列的前项和为．【答案】解：由，得，又，为等差数列，首项为1，公差为2，，．，，，得，，．【解析】由，得，由此可判断为等差数列，可求，进而得到求出，利用错位相减法可求．该题考查等差数列的性质、数列求和等知识，考查学生的运算求解能力、转化能力，错位相减法是数列求和的重要方法，要熟练．18.已知函数的图象在点处的切线方程为．求a、b的值；求函数的单调区间；求在的最值．【答案】解：函数的导数为，图象在点处的切线方程为，可得，，解得，；由的导数为，可令，可得或；，可得，则增区间为，，减区间为；由，可得，或，则，，，，可得在的最小值为，最大值为7．【解析】求得的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a，b的方程组，解方程可得a，b；求得的导数，令导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；求得的极值和端点处的函数值，即可得到所求最值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查化简运算能力，属于中档题．19.在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．求角B的大小；若，且的面积为，求的值．【答案】解：由已知得，即有，因为，所以，又，所以，又，所以．的面积为，，．由余弦定理可得：．或．【解析】由已知利用诱导公式，两角和差的余弦公式，求得的值，可得B的值．由的面积为，可得．由余弦定理可得：即可求解．本题主要考查诱导公式，两角和差的余弦公式，正弦定理的应用，属于中档题．20.设点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，若，求：抛物线C的标准方程；的面积．【答案】解：由题可知，则该直线AB的方程为：，代入，化简可得．设，，则有．，有，解得，抛物线的方程为：．可得直线AB的方程为：．联立可得，，．的面积．【解析】由题可知直线AB的方程为：，代入化简，利用韦达定理以及抛物线的定义、求得p的值，可得抛物线的方程．联立直线与抛物线方程，利用面积公式即可求解．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21.已知函数．Ⅰ若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；Ⅱ若对于都有成立，试求a的取值范围；Ⅲ记当时，函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．【答案】解：Ⅰ直线的斜率为1，函数的定义域为，因为，所以，，所以，．所以，，由0'/>解得；由，解得．所以的单调增区间是，单调减区间是．Ⅱ，由0'/>解得；由解得．所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，当时，函数取得最小值，因为对于都有成立，所以，即可则由解得．所以，a的取值范围是．Ⅲ依题得，则．由0'/>解得；由解得．所以函数在区间为减函数，在区间为增函数．又因为函数在区间上有两个零点，所以，解得所以，b的取值范围是．【解析】Ⅰ求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间．Ⅱ根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使恒成立，需使函数的最小值大于，从而求得a的取值范围．Ⅲ利用导数的符号求出单调区间，再根据函数在区间上有两个零点，得到，解出实数b的取值范围．本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．22.已知椭圆C：过点，且离心率为，过点作直线l交椭圆C于P、Q两点．求椭圆C的方程，并求出直线l的斜率的取值范围；椭圆C的长轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：由题意可得，解得，，，椭圆C的方程，设直线l的斜率为k，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理可得，由，解得，假设存在定点，使得恒成立，即恒成立．设点，，由知，，由，得，故存在定点．【解析】由题意可得，解得即可求出椭圆方程，设直线l的方程为：，联立椭圆方程，运用判别式大于0，解不等式即可得到所求范围；假设存在定点，使得恒成立，即恒成立运用直线的斜率公式，化简整理，结合韦达定理，即可得出结论．本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．。

2019-2020学年度最新高二数学上学期期末考试试题文(含解析)1

（1）求的值；
（2）讨论函数的单调性；
【答案】（1）1；（2）
........................
（Ⅱ）求出导函数f'（x），通过时，判断函数的单调性，当或时，判断导函数的符号，判断函数的单调性．
试题解析：
（1）由已知得，
函数的图象与函数的图象在处有公共的切线．
，所以
（2）由第一问得，
当所以函数f（x）在定义域内单调递增，
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；
（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．
试题解析：
（1）
因为对任意的恒成立，
设，所以在恒成立
设，
在恒成立，所以
所以在恒成立，所以函数为增函数；
所以，所以.
（2）由（1）知，令a=2，（x+1）lnx≥2（x﹣1），
∴x≥1，且当且仅当
令
即，，，，
将上述个式子相乘得：∴原命题得证
∴，即x1x2=1．
直线l1：，l2：．
取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），
|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．
联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，
∴x=．
∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，

2019-2020学年高二第一学期期末统考数学试卷(文科)(解析版)

2019-2020学年高二第一学期期末统考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.将圆平分的直线是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：将圆的方程化为标准方程得：，可得出圆心坐标为，将，代入A选项得：，故圆心不在此直线上；将，代入B选项得：，故圆心不在此直线上；将，代入C选项得：，故圆心在此直线上；将，代入D选项得：，故圆心不在此直线上，则直线将圆平分．故选：C．将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．2.设命题p：，，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：，，则￢为：，．故选：B．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．3.下列四个结论：两条直线和同一个平面垂直，则这两条直线平行；两条直线没有公共点，则这两条直线平行；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；一条直线和一个平面内任意直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】解：两条直线都和同一个平面垂直，则这两条直线平行，根据线面垂直的性质，可得正确；两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故错误；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，故错误；一条直线和一个平面内任意直线直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行，故正确．故选：C．在中，根据线面垂直的性质，可得正确；在没有公共点的两条直线平行或异面；在中，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面；根据线面平行的定义可以判断．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4.若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设扇形的圆心角为，则扇形的面积为、半径为1，，，故选：B．利用扇形的面积公式，即可求得结论．本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．5.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是，点在双曲线方程上，所以，，故所求的双曲线方程是，故选：B．设所求的双曲线方程是，由点在双曲线方程上，求出k值，即得所求的双曲线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是，属于基础题．6.一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是，剩余部分的表面积，故选：B．根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．7.已知点，，是抛物线上的三点，其中，则，，大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：点，，是抛物线上的三点，其中，．在上是减函数，，，，故有，故选：A．由题意利用对数函数的单调性可得，从而得出．本题主要考查对数函数的单调性，属于基础题．8.设x，，，，且，则点到点的最短距离是A. 2B. 3C.D.【答案】D【解析】解：，，即，．点到点的距离为．故选：D．根据得出x，y的关系，代入两点间的距离公式，配方得出答案．本题考查了平面向量的数量积运算，两点间的距离公式，属于中档题．9.入射光线l从出发，经x轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意利用反射定律可得，点Q关于x轴的对称点在入射光线所在的直线上，故入射光线l所在直线的方程为：，化简可得，故选：D．求得点Q关于x轴的对称点的坐标，再用两点式求得入射光线所在的直线的方程．本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于中档题．10.“，”是“数列为等比数列”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若，则满足，但数列不是等比数列，即充分性不成立，反之若数列为等比数列，则，，成立，即必要性不成立，即“，”是“数列为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质是解决本题的关键．11.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设BC的中点为D，连接D、AD、，易知即为异面直线AB与所成的角；并设三棱柱的侧棱与底面边长为1，则，，，由余弦定理，得．故选：D．首先找到异面直线AB与所成的角如；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出的长度即可；不妨设三棱柱的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．12.已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则的面积为A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】解：抛物线C：的焦点为，准线为设，过A点向准线作垂线AB，则，又由得，即，解得的面积为故选：B．根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设，过A 点向准线作垂线AB，则，根据及，进而可求得A点坐标，进而求得的面积．本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在中集中条件求出是关键；二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为______．【答案】【解析】解：圆锥侧面展开图是一个圆心角为半径为3的扇形圆锥的母线长为，底面周长即扇形的弧长为，底面圆的半径，可得底面圆的面积为又圆锥的高故圆锥的体积为，故答案为：．由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为，半径为3的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求同底面的半径r，求出底面圆的面积，再由求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．本题考查弧长公式及旋转体的体积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．14.直线l垂直于，且平分圆C：，则直线l的方程为______．【答案】【解析】解：根据题意，直线l垂直于，设直线l的方程为，圆C：的圆心C为，若直线l平分圆C：，则直线l经过圆心C，则有，解可得；则直线l的方程为；故答案为：．根据题意，设直线l的方程为，分析圆C的圆心，分析可得直线l经过圆心C，则有，解可得m的值，将m的值代入直线l的方程，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意直线平分圆的含义，属于基础题．15.已知的三个顶点在以O为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球O的表面积为______．【答案】【解析】解：中，，，由勾股定理可知斜边AC的中点就是的外接圆的圆心，三棱锥的体积为，，，球O的表面积为．故答案为：．确定斜边AC的中点就是的外接圆的圆心，利用三棱锥的体积，求出O到底面的距离，求出球的半径，然后求出球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．16.椭圆C：的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若，，则椭圆C的离心率为______．【答案】【解析】解：不妨设点P在第一象限，由对称性可得，，在中，，，，代入椭圆方程得：，，整理得，离心率．故答案为：．设点P在第一象限，由对称性可得，推导出，，由此能求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：，，命题q：点在圆的内部．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：命题p为真命题，：，恒成立，，解得．所以实数m的取值范围是．命题“p或q”为假命题，与q都为假命题，当q为真命题时，，解得，为假命题时或，由知，p为假命题时：．从而，解得或．或所以实数m的取值范围为．【解析】命题p为真命题，由，恒成立，可得，解得实数m的取值范围．由命题“p或q”为假命题，可得p与q都为假命题，进而得出实数m的取值范围．本题考查了不等式的性质与解法、充要条件的判定方法、点与圆的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段，BD的中点．求证：平面；四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线EF与BC所成的角的大小．【答案】解：连接，在中，E、F分别为线段、BD的中点，为中位线，，面，面，平面；由知，故即为异面直线EF与BC所成的角，四棱柱的外接球的表面积为，四棱柱的外接球的半径，设，则，解得，在直四棱柱中，平面，平面，，在中，，，，，则，异面直线EF与BC所成的角为．【解析】连接，由中位线定理证明，由线面平行的判定定理证明平面；由和异面直线所成角的定义，得异面直线EF与BC所成的角是，由题意和球的表面积公式求出外接球的半径，由勾股定理求出侧棱的长，由直四棱柱的结构特征和线面垂直的定义，判断出，在中求出，求出可得答案．本题考查了异面直线所成角的定义以及求法，线面平行的判定定理，球的表面积公式，以及直四棱柱的结构特征，属于中档题．19.已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，．求圆的标准方程；直线l过点且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程．【答案】解：设圆心为M，则M应在AB的中垂线上，其方程为，由，即圆心M坐标为又半径，故圆的方程为．点在圆内，且弦长为，故应有两条直线符合题意，此时圆心到直线距离．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线距离为1，符合题意．当直线的斜率存在时，设其斜率为k，直线方程为整理为，则圆心到直线距离为解得，直线方程为综上，所求直线方程为或．【解析】根据题意，设圆心为M，分析可得圆心再直线和上，解可得圆心的坐标，进而可得r的值，由圆的标准方程计算可得答案；根据题意，求出圆心到直线的距离，分2种情况讨论：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，当直线的斜率存在时，设其斜率为k，直线方程为，由直线与圆的方程可得k的值，综合2种情况即可得答案．本题考查直线与圆的方程以及应用，关键是求出圆M的方程，属于基础题．20.已知，动点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，动点Q满足：．求动点Q的轨迹E的方程；过点且斜率为k的直线交轨迹E于A，B两点，M点的坐标为，设直线MA，MB的斜率分别为和，求的值．【答案】解：设点，由，则点，将点代入得．动点Q的轨迹E的方程为．设过点N的直线方程为，，联立，得，则，．，，．【解析】设，则，代入得出轨迹方程；联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式计算化简即可．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率，属于中档题．21.如图1所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，将沿AC折起，使得点D在平面ABC的正投影O恰好落在AC边上，得到几何体，如图2所示．求证：平面BCD；求点C到平面ABD的距离．【答案】证明：据题意得：平面ABC，，因为，，，满足，所以又，所以平面ADC，得，分又，，平面分设点C到平面ABD的距离为d，由知：DO是三棱锥的高，且，，，，，由，得，所以点C到平面ABD的距离：分【解析】推导出平面ABC，从而，推导出，从而平面ADC，，再由，能证明平面BCD．设点C到平面ABD的距离为d，由，能求出点C到平面ABD的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.给定椭圆C：，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．求椭圆C的方程和其“准圆”方程．点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，，使得，与椭圆C都只有一个交点求证：．【答案】解：因为，所以所以椭圆的方程为，准圆的方程为．当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，显然直线，垂直；同理可证方程为时，直线，垂直．当，都有斜率时，设点，其中，设经过点，与椭圆只有一个公共点的直线为，则，消去y得到，即，，经过化简得到：，因为，所以有，设，的斜率分别为，，因为，与椭圆都只有一个公共点，所以，满足上述方程，所以，即，垂直．【解析】欲求椭圆C的方程和其“准圆”方程，只要求出半径即可，即分别求出椭圆方程中的a，b即得，这由题意不难求得；先分两种情况讨论：当，中有一条无斜率时；当，都有斜率时，第一种情形比较简单，对于第二种情形，将与椭圆只有一个公共点的直线为，代入椭圆方程，消去去y得到一个关于x的二次方程，根据根的判别式等于0得到一个方程：，而直线，的斜率正好是这个方程的两个根，从而证得．本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题 (解析版)

2019-2020学年高二第一学期（上）期末数学试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}2．向量＝（﹣4，5），＝（λ，1），若（﹣）∥，则λ的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣23．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，则（）A．＜，σ甲＜σ乙B．＜，σ甲＞σ乙C．＞，σ甲＜σ乙D．＞，σ甲＞σ乙4．已知圆的方程是x2+y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为（）A．y＝x+B．y＝﹣x+C．y＝x+或y＝﹣x+D．x＝1或y＝x+5．已知a＝，b＝log2，c＝，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．为计算S＝1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i＝i+1 B．i＝i+2 C．i＝i+3 D．i＝i+47．若双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程是（）A．B．C．D．8．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4C．D．1610．已知函数在点M（π，0）处的切线，则（）A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝﹣1 C．a＝1，b＝1 D．a＝1，b＝﹣111．如果角θ满足，那么的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．212．已知函数f（x）＝，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]二、填空题（5*4＝20）13．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则C1A与平面ABCD所成角的正弦值为．15．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．16．过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：相交于A，B，则直线AB的方程；若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为．三、解答题（1012*5＝70，需写出必要的推导过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．（1）求角A的大小；（2）若，，求b+c的值．18．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．19．已知数列{a n}为正项等比数列，满足a3＝4，且a5，3a4，a6构成等差数列，数列{b n}满足b n＝log2a n+log2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为S n，数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝2，，且PD⊥底面ABCD．（1）证明：BC⊥平面PBD；（2）若Q为PC的中点，求三棱锥A﹣PBQ的体积．21．已知函数f（x）＝（x﹣k）e x（k∈R）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值．22．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，直线l：y＝﹣1，动圆P与圆M相外切，且与直线l切，设动圆圆心P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且•＝﹣16，求证：直线AB恒过定点．参考答案一、单选题（5*12＝60，每小题只有一个正确选项）1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}解：∵A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{x|x≥1}∩{0，1，2}＝{1，2}．故选：C．2．向量＝（﹣4，5），＝（λ，1），若（﹣）∥，则λ的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣2解：向量＝（﹣4，5），＝（λ，1），则﹣＝（﹣4﹣λ，4），又（﹣）∥，所以﹣4﹣λ﹣4λ＝0，解得λ＝﹣．故选：C．3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，则（）A．＜，σ甲＜σ乙B．＜，σ甲＞σ乙C．＞，σ甲＜σ乙D．＞，σ甲＞σ乙解：甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，由折线图得：＞，σ甲＜σ乙，故选：C．4．已知圆的方程是x2+y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为（）A．y＝x+B．y＝﹣x+C．y＝x+或y＝﹣x+D．x＝1或y＝x+解：在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx+，则＝1，∴k＝±1，故所求切线方程为y＝x+，或y＝﹣x+．故选C．5．已知a＝，b＝log2，c＝，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a解：∵0＜a＝＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝＝log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：C．6．为计算S＝1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i＝i+1 B．i＝i+2 C．i＝i+3 D．i＝i+4解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S＝N﹣T＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；累加步长是2，则在空白处应填入i＝i+2．故选：B．7．若双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程是（）A．B．C．D．解：根据题意，设双曲线标准方程为：，∵双曲线过，代入方程得λ＝﹣1，∴双曲线方程：．故选：A．8．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选：B．9．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4C．D．16解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC＝4，AC边上的高为2，故BC＝4，在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝4，故选：B．10．已知函数在点M（π，0）处的切线，则（）A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝﹣1 C．a＝1，b＝1 D．a＝1，b＝﹣1解：由题意可得，y′＝，故在点M（π，0）处的切线方程为y＝，则a＝b＝1．故选：C．11．如果角θ满足，那么的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2解：∵，∴1+2sinθcosθ＝2，即sinθcosθ＝，那么＝+＝＝2，故选：D．12．已知函数f（x）＝，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝﹣f（x）；f′（x）＝e x+e﹣x＞0；∴f（x）在R上单调递增；由f（sinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（sinθ）＞f（m﹣1）；∴sinθ＞m﹣1；即对任意θ∈都有m﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1；∴m﹣1≤0；∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故选：D．二、填空题（5*4＝20）13．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为 6 ．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝3x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象知当直线y＝﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z＝3×2＝6，故答案为：614．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则C1A与平面ABCD所成角的正弦值为．解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C1（0，1，1），＝（﹣1，1，1），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），设C1A与平面ABCD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．∴C1A与平面ABCD所成角的正弦值为．故答案为：．15．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．解：正方形的面积S＝1×1＝1，铜钱的半径为2，则铜钱的面积S＝π×22＝4π，则油恰好落入孔中的概率P＝，故答案为：16．过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：相交于A，B，则直线AB的方程x+2y﹣3＝0 ；若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为．解：由题意可知：直线的点斜式方程：y﹣1＝﹣（x﹣1），整理得：x+2y﹣3＝0，解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴＝1，＝1，由＝﹣∵①②两式相减可得+＝0，即+（﹣）＝0，整理得：a＝b，c＝＝b∴e＝＝＝．椭圆C的离心率．故答案为：x+2y﹣3＝0，．三、解答题（1012*5＝70，需写出必要的推导过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．（1）求角A的大小；（2）若，，求b+c的值．解：（1）a sin B＝b cos A，由正弦定理可得sin A sin B＝sin B cos A，∵B是三角形内角，∴sin B≠0，∴tan A＝，A是三角形内角，∴A＝．（2）∵S＝bc sin A＝，∴bc＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得3＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣6，∴b+c＝3．18．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．解：（1）由直方图得：这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20＝6个，中度拥堵的路段有（0.25+0.2）×1×20＝9个，严重拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20＝3个．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由（1）知：拥堵路段共有6+9+3＝18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中分别抽取的个数为2，3，1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）记选出的2个轻度拥堵路段为A1，A2，选出的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，选出的1个严重拥堵路段为C1，则从这6个路段中选出2个路段的所有可能情况如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种情况．其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），共9种．所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．已知数列{a n}为正项等比数列，满足a3＝4，且a5，3a4，a6构成等差数列，数列{b n}满足b n＝log2a n+log2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为S n，数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由题意，得，解得q＝2或q＝﹣3（舍），又a3＝4⇒a1＝1，所以，b n＝log2a n+log2a n+1＝n﹣1+n＝2n﹣1；（Ⅱ），∴，∴．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝2，，且PD⊥底面ABCD．（1）证明：BC⊥平面PBD；（2）若Q为PC的中点，求三棱锥A﹣PBQ的体积．【解答】（1）证明：∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，∵AD∥BC，∴BC⊥BD．又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC．∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD．（2）解：三棱锥A﹣PBQ的体积V A﹣PBQ与三棱锥A﹣QBC的体积相等，而＝．所以三棱锥A﹣PBQ的体积．21．已知函数f（x）＝（x﹣k）e x（k∈R）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值．解：（1）f′（x）＝[x﹣（k﹣1）]e x，令f′（x）＝0，解得x＝k﹣1．x＜k﹣1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x＞k﹣1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴x＝k﹣1时，函数f（x）取得极小值．（2）对k分类讨论：①k﹣1≤1，即k≤2时，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增，∴x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝（1﹣k）e．②1＜k﹣1＜2，即2＜k＜3时，函数f（x）在x∈[1，k﹣1）上单调递减，在（k﹣1，2]上单调递增，∴x＝k﹣1时，函数f（x）取得极小值，f（k﹣1）＝﹣e k﹣1．③k﹣1≥2，即k≥3时，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，∴x＝2时，函数f（x）取得极小值，f（2）＝（2﹣k）e2．综上可得：①k≤2时，x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝（1﹣k）e．②2＜k＜3时，x＝k﹣1时，函数f（x）取得极小值，f（k﹣1）＝﹣e k﹣1．③k≥3时，x＝2时，函数f（x）取得极小值，f（2）＝（2﹣k）e2．22．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1，直线l：y＝﹣1，动圆P与圆M相外切，且与直线l切，设动圆圆心P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且•＝﹣16，求证：直线AB恒过定点．【解答】（Ⅰ）解：由题意动圆P与直线y＝﹣1相切，且与定圆M：x2+（y﹣2）2＝1外切所以动点P到M（0，2）的距离与到直线y＝﹣2的距离相等由抛物线的定义知，点P的轨迹是以C（0，2）为焦点，直线y＝﹣2为准线的抛物线故所求P的轨迹方程为：x2＝8y．（Ⅱ）证明：设直线AB：y＝kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB代入到x2＝8y中得x2﹣8kx﹣8b＝0，所以x1+x2＝8k，x1x2＝﹣8b又因为•＝x1x2+y1y2＝x1x2+＝﹣8b+b2＝﹣16，∴b＝4，∴恒过定点（0，4）．。

2019-2020年高二上学期期末数学文试题含答案

2019-2020年高二上学期期末数学文试题含答案高二（文科）数学试卷一、选择题（每小题5分，共12小题，60分）1．某校高二共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设四班第一次被抽到的可能性为a ，第二次被抽到的可能性为b ，则( )A ．a ＝310，b ＝29B ．a ＝110，b ＝19C ．a ＝310，b ＝310D ．a ＝110，b ＝1102．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( )A ．12 B.212 C ．28 D ．633．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．以椭圆1162522=+y x 的焦点为顶点，离心率为2的双曲线方程（） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对 5．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（） A ．5,10,15 B ．3,9,18 C ．3,10,17 D ．5,9,166．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=7体重在(]2700,3000的频率为( )A ．0.001B ．0.1C ．0.2D ． 0.38．若a 是从区间[0,10]中任取的一个实数,则方程210x ax -+=无实解的概率是( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4 9.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（）A.αγB. αγ⊥C.α与γ相交但不垂直D.以上都不可能10．右边程序执行后输出的结果是（）A.1- B ．0 C ．1 D ．211．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--） 12．函数()323922y x x x x =---<<有（） A ．极大值5，极小值27- B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值二、填空题（每小题5分，共20分）13．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是。

2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试卷(文科)附解答

2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若x≥1，则2x−1≥1”的逆命题为()A. 若x<1，则2x−1≥1B. 若2x−1<1，则x<1C. 若x≥1，则2x−1<1D. 若2x−1≥1，则x≥1【答案】D【解析】解：命题“若x≥1，则2x−1≥1”，它的逆命题为“若2x−1≥1，则x≥1”．故选：D．根据命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”，写出即可．本题考查了命题与它的逆命题的应用问题，是基础题．2.设函数f(x)=ax3+1，若f′(1)=3，则a的值为()A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=ax3+1，∴f′(x)=3ax2，∵f′(1)=3，∴3a=3，即a=1，故选：B．先求导，再代值计算即可．本题考查了导数的运算法则，属于基础题．3.抛物线y2=4x的焦点坐标是()A. (0,2)B. (0,1)C. (2,0)D. (1,0)【答案】D【解析】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0)，故选：D．根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．4.在等差数列{a n}中，已知a2+a6=18，则a4=()A. 9B. 8C. 81D. 63【答案】A【解析】解：由等差数列的性质得若a2+a6=2a4，∵a2+a6=18，∴2a4=18，得a4=9，故选：A．根据等差数列的性质，利用若m+m=k+p得a m+a n=a p+a q进行计算即可．本题主要考查等差数列的性质的应用，根据若m+m=k+p得a m+a n=a p+a q的性质是解决本题的关键．5.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若a=3，b=4，C=60∘，则c=()A. 5B. 11C. √13D. √37【答案】C【解析】解：∵a=3，b=4，C=60∘，∴由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，可得：c2=32+42−2×3×4×cos60∘=13．∴解得：c=√13．故选：C．由已知利用余弦定理可求c的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6.已知x>0.则9x+x的最小值为()A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A【解析】解：∵x>0，则9x +x≥2√x⋅9x=6，当且仅当x=9x即x=3时取得最小值6．故选：A．直接利用基本不等式9x +x≥2√x⋅9x即可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．7.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若sinA=14，a=10，c=20，则锐角C的大小是()A. 60∘B. 30∘C. 75∘D. 45∘【答案】B【解析】解：∵sinA=14，a=10，c=20，∴由正弦定理得asinA =csinC，得sinC=csinAa =20×1410=12，则锐角C=30∘，故选：B．根据正弦定理建立方程关系进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键.比较基础．8.已知等比数列{a n}的公比为q，a4=4，a7=12，则q=()A. −2B. 2C. 12D. −12【答案】C【解析】解：∵等比数列{a n}的公比为q，a4=4，a7=12，∴a7=4q3=12，∴q=12．故选：C．利用等比数列通项公式列出方程，能求出公比．本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知a>b>0，c<d<0，则下列结论一定成立的是()A. a+c>b+dB. a−c>b−dC. ac>bdD. cd>ab【答案】B【解析】解：若a>b>0，c<d<0，∴a>b>0，−c>−d>0，则a−c>b−c>0，即B成立，故选：B．根据不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式的性质和关系，结合不等式同向可加性是解决本题的关键．10.已知直线l过点(0,−1)，椭圆C：x225+y236=1，则直线l与椭圆C的交点个数为()A. 1B. 1或2C. 2D. 0【答案】C【解析】解：∵点(0,−1)在椭圆C：x225+y236=1的内部，而直线l过点(0,−1)，∴直线与椭圆相交，交点个数为2．故选：C．由点(0,−1)在椭圆C：x225+y236=1的内部，可得直线与椭圆相交，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的判定，是基础题．11.若不等式4x2+ax+4>0的解集为R，则实数a的取值范围是()A. (−16,0)B. (−16,0]C. (−∞,0)D. (−8,8)【答案】D【解析】解：不等式4x 2+ax +4>0的解集为R ， ∴△=a 2−4×4×4<0，解得−8<a <8，∴实数a 的取值范围是(−8,8)．故选：D ．根据一元二次不等式的解集为R ，△<0，列不等式求出a 的取值范围．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．12. 已知函数f(x)=x −2sinx +e x −1e x ，则满足f(x −2)+f(x)>0的x 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−∞,1)C. (−1,+∞)D. (1,+∞)【答案】D【解析】解：f(x)的定义域是R ， f(−x)=−x +2sinx +1e x−e x =−(x −2sinx +e x −1e x)=−f(x)，故f(x)是奇函数，又f′(x)=1−2cosx +e x +1e x ≥1−2+2>0，故f(x)在R 递增，若f(x −2)+f(x)>0，则f(x −2)>−f(x)=f(−x)，故x −2>−x ，解得：x >1，故选：D ．根据函数的单调性和奇偶性得到关于得到x 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 在数列{a n }中，a 1=1，a n =1a n−1+2，则a 2=______．【答案】3【解析】解：在数列{a n }中，a 1=1，a n =1a n−1+2，当n =2时，则a 2=1a 1+2=3，故答案为：3直接利用数列的递推关系式和赋值法求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．14. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y +5≥0x −y ≤0y ≤0则z =2x +y 的最小值是______．【答案】−10【解析】解：作出实数x ，y 满足约束条件{x +y +5≥0x −y ≤0y ≤0对应的平面区域如图：由z =2x +y 得y =−2x +z ，平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点A 时，直线的截距最小，此时z 最小，由{y =0x+y+5=0，解得A(−5,0)，此时z =−2×5+0=−10，故答案为：−10．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 15. 函数f(x)=5x −2lnx 的单调递减区间是______．【答案】(0,25)【解析】解：f(x)的定义域是(0,+∞)， f′(x)=5−2x =5x−2x，令f′(x)<0，解得：0<x <25，故f(x)在(0,25)递减，故答案为：(0,25).求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题． 16. 已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左右焦点，P 是双曲线上任意一点，|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则此双曲线的离心率e 的取值范围是______．【答案】(1,3]【解析】解：由定义知：|PF 1|−|PF 2|=2a ，|PF 1|=2a +|PF 2|， ∴|PF 2|2|PF 1|=4a 2|PF 2|+4a +|PF 2|≥8a ，当且仅当4a 2|PF 2|=|PF 2|，即|PF 2|=2a 时取得等号设P(x 0,y 0)(x 0≤−a)由焦半径公式得：|PF 2|=−ex 0−a =2a ，∴ex 0=−3ae =−3ax 0≤3 又双曲线的离心率e >1∴e ∈(1,3]故答案为：(1,3]．由定义知：|PF 1|−|PF 2|=2a ，|PF 1|=2a +|PF 2|，|PF 2|2|PF 1|=4a 2|PF 2|+4a +|PF 2|≥8a ，当且仅当4a 2|PF 2|=|PF 2|，即|PF 2|=2a 时取得等号.再由焦半径公式得双曲线的离心率e >1的取值范围．本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合P ={x|x 2−4x +3<0),Q ={x|a −3<x <a +3}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】解：由x 2−4x +3<0得(x −1)(x −3)<0得1<x <3，即P =(1,3)，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分条件，则P ⊆Q ，即{a −3≤1a+3≥3得{a ≤4a≥0，即0≤a ≤4，即实数a 的取值范围是[0,4]．【解析】求出P 的等价条件，结合充分条件和必要条件定义转化为P ⊆Q ，进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件转化为集合关系是解决本题的关键．18. 已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 内角A ，B ，C 的对边，2asinB =√3b.(1)求角A ；(2)若b =4，△ABC 的面积是5√3，求a 的值．【答案】解：(1)由正弦定理得2sinAsinB =√3sinB ， ∵在三角形中，sinB ≠0， ∴2sinA =√3，sinA =√32， ∵三角形是锐角三角形， ∴A =π3．(2)若b =4，△ABC 的面积是5√3，则S =12bcsin π3=12×4c ×√32=5√3，得c =5，则a 2=b 2+c 2−2bccos π3=16+25−2×4×5×12=21，即a =√21．【解析】(1)根据正弦定理进行化简求解即可(2)先根据面积公式求出c 的值，结合余弦定理求出a 的值即可．本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式进行求解是解决本题的关键．19. 已知数列{a n }是公差为1的等差数列，其前8项的和S 8=36．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{1an a n+1}的前n 项和T n ．【答案】解：(1)由题意可得公差d =1，S 8=36，即有8a 1+12×8×7×1=36，解得a 1=1，则a n =1+n −1=n ； (2)1an a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，则前n 项和T n =1−12+12−13+⋯+=1n −1n+1 =1−1n+1=nn+1．【解析】(1)运用等差数列的求和公式，解方程可得首项，即可得到所求通项公式； (2)求得1an a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．20. 已知函数f(x)=ax 3+bx 在x =1处有极值2．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f(x)在区间[−2,12]上的最大值．【答案】解：(1)∵函数f(x)=ax 3+bx 在x =1处取得极值2，，解得{b =3a=−1，(2)由(1)得：f(x)=−x 3+3x ，f′(x =−3x 2+3=−3(x +1)(x −1),令f′(x)>0，解得：−1<x <1，令f′(x)<0，解得：x >1或x <−1，故f(x)在[−2,−1)递减，在(−1,12]递增，故f(x)的最大值是f(−2)或f(12)，而f(−2)=2>f(12)=118，故函数f(x)的最大值是2．【解析】(1)根据极值的定义得到关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值，从而求出f(x)的表达式；(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题． 21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，P 是C 上一点，F 1，F 2，是C 的两个焦点，且|PF 1|+|PF 2|=4．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线y =√2x +n 交椭圆C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 面积的最大值．【答案】解：(1)∵|PF 1|+|PF 2|=4， ∴2a =4，即a =2， ∵e =ca =√22，∴c =√2，∴b 2=a 2−c 2=2，即椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将代入C 方程整理得5x 2+4√2nx +2n 2−4=0， △=32n 2−20(2n 2−4)>0，∴n 2<10， ∴x 1+x 2=4√2n5，x 1x 2=2n 2−45，∴|AB|=√1+2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√65⋅√10−n 2，点O 到直线AB 的距离d =√3， ∴S △OAB =12×|AB|⋅d =12×2√65⋅√10−n 2×√3=√25⋅√(10−n 2)n 2≤√25⋅12×(10−n 2+n 2)=√2，∴当且仅当10−n 2=n 2即n 2=5时取等号， ∴△OAB 面积的最大值为√2．【解析】(1)利用椭圆的离心率椭圆的定义，解得a ，b ，即可求出椭圆方程． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将代入C 方程整理得，通过△>0，以及韦达定理，结合弦长公式，求解三角形的面积表达式，利用基本不等式求解最值即可．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于中档题．22. 设函数f(x)=(2x 2−4mx)lnx ，m ∈R ．(1)当m =0时，求曲线y =f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(2)若∀x ∈[1,+∞)，f(x)+x 2−m >0恒成立，求m 的取值范围．【答案】解：(1)f(x)=2x 2lnx ，导数为f′(x)=2(2xlnx +x)，可得曲线y =f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为6e ，切点为(e,2e 2)，则曲线y =f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y −2e 2=6e(x −e)，即为y =6ex −4e 2；(2)若∀x ∈[1,+∞)，f(x)+x 2−m >0恒成立，由于y =4xlnx +1在x ≥1递增，可得y ≥1>0，即为m <x 2(2lnx+1)4xlnx+1在x ≥1恒成立，设g(x)=x 2(2lnx+1)4xlnx+1，x ≥1，则g′(x)=4x(lnx+1)(2xlnx−x+1)(4xlnx+1)2，由y =2xlnx +1−x 的导数为y′=2(1+lnx)−1=1+2lnx ≥1>0，可得2xlnx +1−x ≥0，又lnx +1>0，可得g′(x)≥0，即g(x)在x ≥1递增，可得g(x)的最小值为g(1)=1，则m <1．【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程； (2)由于y =4xlnx +1在x ≥1递增，可得y ≥1>0，可得m <x 2(2lnx+1)4xlnx+1在x ≥1恒成立，设g(x)=x2(2lnx+1)，x≥1，求得导数和单调性，可得最小值，即可得到m的范围．4xlnx+1本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．。

学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)

学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）（试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对数不等式化简集合，再利用集合之间的交集运算求得结果即可.【详解】因为，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式和集合的交集运算，属于基础题.2. 等差数列的前n项和为，且，，则( )A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．【详解】解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选．【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】依据流程图中的运算程序，可知第一步，则；第二步程序继续运行，则；第三步程序继续运行；则，运算程序结束，输出，应选答案C．4. 在中，，点D,E分别为边BC,AC的中点，则向量与的数量积（）A. 7B. 7C. 9D. 9【答案】B【解析】【分析】把，都用，表示出来，求出其数量积，再把已知条件带入即可求解．【详解】解：由三角形中线性质可得：（）；；∴•（）•（）•22﹣0 42＝﹣7；故选：B．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查数形结合思想，考查计算能力．5. 新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、、、、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A. 获得A等级的人数减少了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.6. 已知条件P：①是奇函数；②值域为R；③函数图象经过第四象限．则下列函数中满足条件Р的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义和值域的定义及其图象逐一进行判断即可.【详解】对于A选项： ,又因为的定义域为,关于原点对称,所以为定义在上的偶函数，故选项A不符合题意；对于B选项: 定义域为,所以的定义域关于原点对称,又因为,所以为奇函数，①成立,当时，，当时，，故的值域为,②不成立,所以选项B不符合题意；对于C选项：因为,所以的定义域为,关于原点对称,又因为,故为奇函数，因为函数的图象是由幂函数的图象关于轴翻折得到的,所以函数值域为，图像经过第四象限，所以选项C符合题意；对于D选项:因为的定义域为,关于原点对称,又因为,所以函数为奇函数,因为 ,所以函数的值域为,不符合题意.所以选项D不符合题意；故选 C【点睛】本题考查函数的基本性质——奇函数的概念和值域的求解及其图象;求解本题的关键是熟练掌握函数的图象及性质;属于中档题.7. 下列命题中，是假命题的是( )A. ，B. ，C. 函数的最小正周期为D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数性质和对数运算，依次判断每个选项的正误，判断得到答案.【详解】对于A，，，，即，正确；对于B，，，，故，正确；对于C，函数最小正周期为，，最小正周期，错误；对于D，，根据对数运算法则知：，正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的大小比较，周期，对数计算，意在考查学生的综合应用能力．8. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.【详解】当时，，函数有意义，可排除A；当时，，函数无意义，可排除D；又∵当时，函数单调递增，结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；故选B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.9. 设函数，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用恒等变换公式和诱导公式化简，根据平移变换得，根据为偶函数可得结果.【详解】因为，所以，因为为偶函数，所以，，所以，，因为，所以时，取最小值.故选：A.【点睛】本题考查了三角恒等变换公式、诱导公式，考查了根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.10. 三棱锥A-BCD的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，在中，利用正弦定理和余弦定理，求得所在小圆的半径，在根据平面，利用勾股定理求得球的半径，即可求解求得表面积，得到答案．【详解】由题意，设所在小圆的半径为，且，在中，由余弦定理得，所以又由正弦定理得，又因为平面，且，设球的半径为，所以，所以，所以球的表面积为，故选D．【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．11. 已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）A. 2B.C. 3D.【答案】B【解析】【分析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.【详解】.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围．【详解】解：函数，的图象如图：关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，方程化为：，，，开口向下，对称轴为：，可知：的最大值为：，的最小值为：2．．故选：．【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.【详解】不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.14. 某货轮在处看到灯塔在北偏东方向，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到处，看灯塔在北偏东方向，此时货轮到灯塔的距离为______海里【答案】【解析】【分析】根据题意画出草图,在中利用正弦定理,即可求得的长.【详解】由题意可知,海里 .在中,根据正弦定理可得:解得:海里此时货轮到灯塔的距离为海里.故答案为: .【点睛】本题考查正弦定理的实际应用和数形结合思想,能够根据题意画出图像是解决本题的关键.15. 已知直线的倾斜角为且这条直线经过点P(3,5)，则直线的一般式方程为___________________.【答案】或【解析】【分析】先由倾斜角求直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后化为直线的一般式方程.【详解】因为所以所以直线的斜率为又因为直线经过点P(3,5)，所以直线的方程为或，所以直线的一般式方程为或.故答案为或.【点睛】本题主要考查利用直线的点斜式方程求解直线的方程，根据倾斜角求解直线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16. 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，所以，两式作差得，所以，两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列.若对恒成立，当且仅当.又，，所以，解得：.即首项的取值范围是.17. 如图, 在△中, 点在边上, .（Ⅰ）求；（Ⅱ）若△的面积是, 求.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）根据余弦定理，求得，则△是等边三角形.，故（II）由题意可得，又由，可得以，再结合余弦定理可得，最后由正弦定理可得，即可得到的值试题解析：(Ⅰ)在△中, 因为,由余弦定理得,所以,整理得,解得.所以.所以△是等边三角形.所以(Ⅱ)法1: 由于是△的外角, 所以.因为△的面积是, 所以.所以.在△中,,所以.在△中, 由正弦定理得,所以.法2: 作, 垂足为,因为△是边长为的等边三角形,所以.因为△的面积是, 所以.所以. 所以.在Rt△中, ,所以, .所以.18. 已知等比数列的前项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比，代入中，求出q，即可求得数列的通项公式；（2）把数列的通项公式代入中化简，代入求得，再利用裂项相消求得．【详解】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，，所以，即.又，所以，所以，所以等差数列的通项公式.（2）由（1）知，所以所以数列的前项和：所以数列的前项和【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题．19. 如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（Ⅰ）由是中点证得是中点，得中位线平行，再由线面平行的判定定理得平面；（Ⅱ）由等积法可得：解法一：，计算即可．解法二：计算即可．【详解】（Ⅰ）证明：依题意可知：是中点．平面，则，而．∴是中点．在中，，平面,平面，∴平面；（Ⅱ）解法一：平面平面，，又平面，平面，平面，，而，，．解法二：，因为，．【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，和三棱锥体积的计算，属于基础题.20. 《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式：,参考数据：.【答案】（1）；（2）49.【解析】【分析】（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得的值，得到回归直线方程；（2）令，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.【详解】（1）由表中数据知，，∴，，∴所求回归直线方程为.（2）令，则人.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21. 已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上．（1）求公共弦的长度；（2）求圆的方程；（3）过点分别作直线，，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）；（3）最大值17，最小值12．【解析】【分析】（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可；（2）圆的圆心在直线上，设圆心，求出圆心的半径即可得到圆的方程；（3）对直线，分两种情况讨论，即当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时和当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，写出四边形面积的的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值．【详解】圆，所以圆的圆心坐标，半径，（1）圆心到直线的距离，公共弦；（2）圆的圆心在直线上，设圆心，由题意得，，即，到的距离，所以的半径，所以圆的方程：；（3）当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，，所以，四边形的面积；当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，设直线为：，则直线为：，所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，，，设，当或1时，正好是轴及垂直轴，面积，当时，最大且，或1时，最小，四边形面积的最大值17，最小值．【点睛】本题主要考查直线和圆相交求相交弦长，及利用勾股定理弦长距离半径之间的关系求解，属于中难度题．22. 已知函数.（1）若，恒成立，求的取值范围；（2）若，是否存在实数，使得，都成立？请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据的奇偶性和单调性，将函数值的比较变为自变量的比较，得到恒成立，利用参变分离，得到的取值范围；（2）假设存在，整理和，设，，得到，按照和进行分类讨论，从而证明不存在所需的.【详解】（1），为上的奇函数，单调递减，所以恒成立，可得所以恒成立即恒成立，当时，该不等式恒成立，当时，，设，则，当且仅当，即时，等号成立，所以.（2）所以，假设存在实数，使得和都成立，设，，则，，若，则，解得，或，，均不有理数，若，则，其中，而，所以不成立，综上所述，故不存在实数，使得，都成立.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，诱导公式，同角三角函数关系，研究是否为有理数的问题，涉及分类讨论的思想，属于难题.学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）（试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对数不等式化简集合，再利用集合之间的交集运算求得结果即可.【详解】因为，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式和集合的交集运算，属于基础题.2. 等差数列的前n项和为，且，，则( )A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．【详解】解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选．【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】依据流程图中的运算程序，可知第一步，则；第二步程序继续运行，则；第三步程序继续运行；则，运算程序结束，输出，应选答案C．4. 在中，，点D,E分别为边BC,AC的中点，则向量与的数量积（）A. 7B. 7C. 9D. 9【答案】B【解析】【分析】把，都用，表示出来，求出其数量积，再把已知条件带入即可求解．【详解】解：由三角形中线性质可得：（）；；∴•（）•（）•22﹣042＝﹣7；故选：B．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查数形结合思想，考查计算能力．5. 新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、、、、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A. 获得A等级的人数减少了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.6. 已知条件P：①是奇函数；②值域为R；③函数图象经过第四象限．则下列函数中满足条件Р的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义和值域的定义及其图象逐一进行判断即可.【详解】对于A选项： ,又因为的定义域为,关于原点对称,所以为定义在上的偶函数，故选项A不符合题意；对于B选项: 定义域为,所以的定义域关于原点对称,又因为,所以为奇函数，①成立,当时，，当时，，故的值域为,②不成立,所以选项B不符合题意；对于C选项：因为,所以的定义域为,关于原点对称,又因为,故为奇函数，因为函数的图象是由幂函数的图象关于轴翻折得到的,所以函数值域为，图像经过第四象限，所以选项C符合题意；对于D选项:因为的定义域为,关于原点对称,又因为,所以函数为奇函数,因为 ,所以函数的值域为,不符合题意.所以选项D不符合题意；故选 C【点睛】本题考查函数的基本性质——奇函数的概念和值域的求解及其图象;求解本题的关键是熟练掌握函数的图象及性质;属于中档题.7. 下列命题中，是假命题的是( )A. ，B. ，C. 函数的最小正周期为D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数性质和对数运算，依次判断每个选项的正误，判断得到答案.【详解】对于A，，，，即，正确；对于B，，，，故，正确；对于C，函数最小正周期为，，最小正周期，错误；对于D，，根据对数运算法则知：，正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的大小比较，周期，对数计算，意在考查学生的综合应用能力．8. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.【详解】当时，，函数有意义，可排除A；当时，，函数无意义，可排除D；又∵当时，函数单调递增，结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；故选B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.9. 设函数，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用恒等变换公式和诱导公式化简，根据平移变换得，根据为偶函数可得结果.【详解】因为，所以，因为为偶函数，所以，，所以，，因为，所以时，取最小值.故选：A.【点睛】本题考查了三角恒等变换公式、诱导公式，考查了根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.10. 三棱锥A-BCD的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，在中，利用正弦定理和余弦定理，求得所在小圆的半径，在根据平面，利用勾股定理求得球的半径，即可求解求得表面积，得到答案．【详解】由题意，设所在小圆的半径为，且，在中，由余弦定理得，所以又由正弦定理得，又因为平面，且，设球的半径为，所以，所以，所以球的表面积为，故选D．【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．11. 已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）A. 2B.C. 3D.【答案】B【解析】【分析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.【详解】.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围．【详解】解：函数，的图象如图：关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，方程化为：，，，开口向下，对称轴为：，可知：的最大值为：，的最小值为：2．．故选：．【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.【详解】不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.14. 某货轮在处看到灯塔在北偏东方向，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到处，看灯塔在北偏东方向，此时货轮到灯塔的距离为______海里【答案】【解析】【分析】根据题意画出草图,在中利用正弦定理,即可求得的长.【详解】由题意可知,海里 .在中,根据正弦定理可得:解得:海里此时货轮到灯塔的距离为海里.故答案为: .【点睛】本题考查正弦定理的实际应用和数形结合思想,能够根据题意画出图像是解决本题的关键.15. 已知直线的倾斜角为且这条直线经过点P(3,5)，则直线的一般式方程为___________________.【答案】或【解析】【分析】先由倾斜角求直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后化为直线的一般式方程.【详解】因为所以所以直线的斜率为又因为直线经过点P(3,5)，所以直线的方程为或，所以直线的一般式方程为或.故答案为或.【点睛】本题主要考查利用直线的点斜式方程求解直线的方程，根据倾斜角求解直线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16. 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，所以，两式作差得，所以，两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列.若对恒成立，当且仅当.又，，所以，解得：.即首项的取值范围是.。

2019-2020年高二上学期期末数学试卷(文科) 含解析

2019-2020年高二上学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．如果命题“非p”是真命题，同时命题“p或q”是真命题，那么下列命题中，一定是真命题的是（）A．q B．p C．非q D．p且q2．椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．3．双曲线的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）4．给出下列五个导数式：①（x4）′=4x3；②（cosx）′=sinx；③（2x）′=2x ln2；④；⑤．其中正确的导数式共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图所示的程序框图，其输出结果是（）A．341 B．1364 C．1365 D．13666．设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．127．若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=1，b=18．过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（）A．无数多条 B．3条C．2条D．1条9．x2＜1是﹣1＜x＜1的什么条件（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分与不必要10．曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为（）A．1 B．2 C．e D．11．过抛物线y2=x（a＞0）的焦点F的一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（）A．2a B．C．4a D．12．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为．14．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其它7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为分．15．命题：“方程x2=2的解是”中使用了逻辑联结词．（填写“或、且、非”）16．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点在圆x2+y2+2x﹣1=0上，则这条抛物线的准线方程为．17．对于函数f（x）=ax3，（a≠0）有以下说法：①x=0是f（x）的极值点．②当a＜0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．③f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点．④若a＞0且x≠0则f（x）+f（）有最小值是2a．其中说法正确的序号是．三、解答题（本大题共4小题，共44分）18．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=log a x在（0，+∞）上单调递减，q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．若“p且q”为假，“﹁q”为假，求a的取值范围．19．曲线C的方程：（1）当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？（2）当m为何值时，曲线C表示双曲线？20．求函数f（x）=x5+5x4+5x3+1在区间[﹣1，4]上的最大值与最小值．21．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），过椭圆左顶点A的直线l与椭圆的另一交点为B．（Ⅰ）若l与直线x=a交于点P，求•的值；（Ⅱ）若|AB|=，求直线l的倾斜角．2015-2016学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．如果命题“非p”是真命题，同时命题“p或q”是真命题，那么下列命题中，一定是真命题的是（）A．q B．p C．非q D．p且q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由命题“非p”是真命题，知命题p是假命题，再由命题“p或q”是真命题，知命题q 一定是真命题．【解答】解：∵命题“非p”是真命题，∴命题p是假命题，∵命题“p或q”是真命题，∴命题q一定是真命题．故选A．2．椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，则c==2；则椭圆的离心率为e==，故选D．3．双曲线的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程得出a、b的值，从而得到c==，因此可得该双曲线的焦点坐标．【解答】解：∵双曲线的方程为，∴a2=4，b2=1，可得c==由此可得双曲线的焦点坐标为（±，0）故选：C4．给出下列五个导数式：①（x4）′=4x3；②（cosx）′=sinx；③（2x）′=2x ln2；④；⑤．其中正确的导数式共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】导数的运算．【分析】根据导数的基本公式求导，再判断即可．【解答】解：①（x4）′=4x3；②（cosx）′=﹣sinx；③（2x）′=2x ln2；④（lnx）′=；⑤（）′=﹣，故①②正确，故选：A．5．如图所示的程序框图，其输出结果是（）A．341 B．1364 C．1365 D．1366【考点】循环结构．【分析】写出前几次循环，直到不满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：由框图知，经过第一次循环得到a=5经过第二次循环得到a=21经过第三次循环得到a=85经过第四次循环得到a=341经过第五次循环得到a=1365不满足判断框的条件，执行输出1365故选C6．设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】抛物线的定义．【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B7．若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=1，b=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x2+ax+b的导数，由切点得到切线的斜率，由切线方程得到a，再由切点在曲线上求出b．【解答】解：y=x2+ax+b的导数是y′=2x+a，则在点（0，1）处的切线斜率为a，由切线方程得a=1，再由切点（0，1）在曲线上，则b=1．故选D．8．过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（）A．无数多条 B．3条C．2条D．1条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】当过点（0，2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0；当过点（0，2）的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=2；当过点（0，2）的直线斜率存在且不为零时，设为k，把y=kx+2，代入抛物线方程，由判别式等于0，求得k的值，从而得到结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），当过点（0，2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，即直线为y轴时，与抛物线y2=8x只有一个公共点．当过点（0，2）的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=2，与抛物线y2=8x只有一个公共点．当过点（0，2）的直线斜率存在且不为零时，设为k，那么直线方程为：y﹣2=kx，即：y=kx+2，代入抛物线方程可得k2x2+（4k﹣8）x+4=0，由判别式等于0 可得：64﹣64k=0，∴k=1，此时，直线的方程为y=kx+2．综上，满足条件的直线共有3条，故选B．9．x2＜1是﹣1＜x＜1的什么条件（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分与不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2＜1⇔﹣1＜x＜1，即可得出．【解答】解：x2＜1⇔﹣1＜x＜1，因此x2＜1是﹣1＜x＜1的充要条件．故选：A．10．曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为（）A．1 B．2 C．e D．【考点】直线的斜率；导数的几何意义．【分析】由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标x=0代入，求出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率．【解答】解：由y=e x，得到y′=e x，把x=0代入得：y′（0）=e0=1，则曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为1．故选A．11．过抛物线y2=x（a＞0）的焦点F的一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（）A．2a B．C．4a D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】取斜率不存在情形，焦点为（，0），此时p=q=，即可求出+．【解答】解：取斜率不存在情形，焦点为（，0），此时p=q=，∴+=2a+2a=4a，故选：C．12．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan∠AF2F1=＜1，e2﹣2e﹣1＜0，解不等式求出e 的范围．【解答】解：在双曲线中，令x=﹣c 得，y=±，∴A，B两点的纵坐标分别为±．由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜，tan∠AF2F1=＜tan=1，∴＜1，c2﹣2ac﹣a2＜0，e2﹣2e﹣1＜0，∴1﹣＜e＜1+．又e＞1，∴1＜e＜1+，故选D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为∃x∈R，sinx＞1．【考点】命题的否定．【分析】根据命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题，其否定为特称命题，将“任意的”改为“存在”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题∴¬p：∃x∈R，sinx＞1故答案为：∃x∈R，sinx＞1．14．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其它7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为79分．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】由题意设这一位选手除去最高分和最低分后7个分数的和是x，写出没有去分时，平均数的表示式，使它等于76，得到一个关于x的方程，解出x，用x除以7得到选手的成绩．【解答】解：设这一位选手除去最高分和最低分后，7个分数的和是x，∵一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，∴=76，∴x+131=684，∴x=553，∴这位参赛者的比赛成绩为=79，故答案为：7915．命题：“方程x2=2的解是”中使用了逻辑联结词或．（填写“或、且、非”）【考点】复合命题．【分析】即x=或x=﹣，即可得出．【解答】解：即x=或x=﹣，因此使用了逻辑联结词“或”．故答案为：或．16．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点在圆x2+y2+2x﹣1=0上，则这条抛物线的准线方程为y=﹣1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出圆x2+y2+2x﹣1=0与y轴正半轴的交点坐标，可得抛物线的焦点坐标，则答案可求．【解答】解：由x2+y2+2x﹣1=0，取x=0，得y2=1，即y=±1，∵抛物线x2=2py（p＞0）的焦点在圆x2+y2+2x﹣1=0上，∴可得抛物线x2=2py（p＞0）的焦点坐标为（0，1），则，∴抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣．故答案为：y=﹣1．17．对于函数f（x）=ax3，（a≠0）有以下说法：①x=0是f（x）的极值点．②当a＜0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．③f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点．④若a＞0且x≠0则f（x）+f（）有最小值是2a．其中说法正确的序号是②③．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】对于①②，求出原函数的导函数，由导函数的符号分析原函数的单调性，从而判断原函数极值的情况；对于③，求出f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程，和原函数联立后求解x的值，由解得的x的值判断命题③的真假；对于④，由基本不等式求出函数最值，从而判断④的真假．【解答】解：由f（x）=ax3，（a≠0），得f′（x）=3ax2．①当a＞0时，f′（x）≥0，当a＜0时，f′（x）≤0，∴函数f（x）是定义域内的单调函数，f（x）无极值点．命题①错误；②当a＜0时，f′（x）≤0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，命题②正确；③f′（1）=3a，f（1）=a，∴f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣a=3a（x﹣1），即y=3ax﹣2a．代入f（x）=ax3，得ax3﹣3ax+2a=0，即x3﹣3x+2=0，解得：x=﹣2或x=1．∴f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点（﹣2，﹣8a），∴命题③正确．④a＞0且x＜0时，f（x）+f（）=a（x3+）=﹣a[]≤﹣2a，∴命题④错误；故答案为：②③．三、解答题（本大题共4小题，共44分）18．已知a＞0，a≠1，设p：函数y=log a x在（0，+∞）上单调递减，q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．若“p且q”为假，“﹁q”为假，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】求出命题p，q成立的等价条件，然后利用若“p且q”为假，“﹁q”为假，求a的取值范围．【解答】解：∵函数y=log a x在（0，+∞）上单调递减，∴0＜a＜1，即p：0＜a＜1，∵曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点∴△=（2a﹣3）2﹣4＞0，解得a＞或a＜．即q：a＞或a＜．∵“p且q”为假，“﹁q”为假，∴p假q真，即，∴a＞．即a的取值范围是a＞．19．曲线C的方程：（1）当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？（2）当m为何值时，曲线C表示双曲线？【考点】曲线与方程．【分析】（1）曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，可得5﹣m＞m﹣2＞0，即可得出结论；（2）曲线C表示双曲线，可得（5﹣m）（m﹣2）＜0，即可得出结论．【解答】解：（1）5﹣m＞m﹣2＞0，得：2＜m＜，所以：当2＜m＜时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆．（2）（5﹣m）（m﹣2）＜0得m＜2或m＞5，所以：当m＜2或m＞5时，曲线C表示双曲线．20．求函数f（x）=x5+5x4+5x3+1在区间[﹣1，4]上的最大值与最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．【解答】解：f′（x）=5x4+20x3+15x2=5x2（x+3）（x+1），当f′（x）=0得x=0，或x=﹣1，或x=﹣3，∵0∈[﹣1，4]，﹣1∈[﹣1，4]，﹣3∉[﹣1，4]列表：又f（0）=0，f（﹣1）=0；右端点处f（4）=2625；∴函数y=x5+5x4+5x3+1在区间[﹣1，4]上的最大值为2625，最小值为0．21．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），过椭圆左顶点A的直线l与椭圆的另一交点为B．（Ⅰ）若l与直线x=a交于点P，求•的值；（Ⅱ）若|AB|=，求直线l的倾斜角．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；直线的倾斜角．【分析】（Ⅰ）根据椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），可求椭圆的方程．设直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点B的坐标，即可求得•的值；（Ⅱ）计算弦AB的长，利用|AB|=，可求直线的斜率，从而可求直线l的倾斜角．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），∴，b=1，∴a=∴椭圆的方程为∵直线l过椭圆左顶点A（﹣，0），设直线l的方程为y=k（x+）∵直线x=a，即为，∴点P（），由，消元可得（1+2k2）x2+4k2x+4k2﹣2=0可知为此方程的一个根，设B（x2，y2）∴，∴∴B∴•=+=2；（Ⅱ）|AB|===，∴8k4﹣k2﹣7=0∴k2=1∴k=±1∴直线l的倾斜角为或．2016年4月13日。

2019-2020年高二上学期期末数学文试题含答案(I)

2019-2020年高二上学期期末数学文试题含答案(I)1、已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A.194 B.174 C.154 D.1342、已知不重合的两直线1l 与2l 对应的斜率分别为1k 与2k ，则“21k k =”是“1l ∥2l ”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不是充分也不是必要条件3、双曲线1922=-my x 的焦距是10，则实数m 的值是（） A 、－16 B 、4 C 、16 D 、814、如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A 、 4πB 、 54πC 、 πD 、 32π5、已知实数0,0,0><>c b a ，则直线0=-+c by ax 通过（） A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限C 第一、三、四象限D 第二、三、四象限6、下列说法中，错误．．的个数是（） ①一条直线与一个点就能确定一个平面 ②若直线a ∥b ，⊂b 平面α，则a ∥α ③若函数)(x f y =定义域内存在0x x =满足)(0x f '0= ，则0x x =必定是)(x f y =的极值点④函数的极大值就是最大值A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 7、已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) A ．f (b )>f (c )>f (d ) B ．f (b )>f (a )>f (e ) C ．f (c )>f (b )>f (a ) D ．f (c )>f (e )>f (d )8、若M 、N 为两个定点且|MN|＝6，动点P 满足PM ·PN ＝0，则P 点的轨迹是( )A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线9、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )A.14 B. C. 12 D.10、．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 一、填空题（每小题5分，共20分）11、命题“04,2>++∈∀x x R x ”的否定是 12、若原点在直线l 上的射影为A )1,2(-，则l 的方程为____________________13、抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是14、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线04=--y x 的距离的最小值是二、解答题（共80分）15、（12分）命题p : 关于x 的不等式2240x ax ++>,对一切x R ∈恒成立; 命题q : 函数()(32)xf x a =-在R 上是增函数.若p 或q 为真, p 且q 为假,求实数a 的取值范围.16、（14分）在圆锥PO 中，已知PO ＝22，⊙O 的直径AB ＝4，点C 在底面圆周上，且∠CAB ＝30°，D 为AC 的中点．(1)证明：AC ⊥平面POD ；(2)求点O 到面PAD 的距离。