浙江省三门县珠岙中学九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质同步测试 (新版)新人教版

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质第1课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 [见A 本P18]1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是( C ) A ．y ＝－x ＋3 B ．y ＝5xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x 2＋x －72．抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为( A ) A ．(3，－4) B ．(3，4) C ．(－3，－4) D ．(－3，4)【解析】 ∵y ＝x 2－6x ＋5＝x 2－6x ＋9－9＋5＝(x －3)2－4，∴抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标是(3，－4)．故选A.3．在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是( A ) A ．x <1 B ．x >1 C ．x <－1 D ．x >－1 【解析】 ∵a ＝－1＜0， ∴二次函数图象开口向下， 又对称轴是x ＝1，∴当x ＜1时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大． 故选A.4．关于y ＝－12x 2＋3x －52的图象，下列说法不正确的是( B )A ．开口向下B ．对称轴是x ＝－3C ．顶点坐标是(3，2)D ．顶点是抛物线的最高点【解析】 a ＝－12＜0，开口向下，故A 正确；对称轴为x ＝－b 2a ＝－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，故B不正确；当x ＝3时，y 最大值＝－12×32＋3×3－52＝2，故顶点坐标为(3，2)，C 正确；D正确．5．下列关于二次函数的说法错误的是( B ) A ．抛物线y ＝－2x 2＋3x ＋1的对称轴是x ＝34B ．点A (3，0)不在抛物线y ＝x 2－2x －3的图象上 C ．二次函数y ＝(x ＋2)2－2的顶点坐标是(－2，－2) D ．二次函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)6．在平面直角坐标系中，若将抛物线y ＝2x 2－4x ＋3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( D ) A ．(－2，3) B ．(－1，4) C ．(1，4) D ．(4，3)7．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y ＝x 2－2x －3，则b ，c 的值为( B ) A ．b ＝2，c ＝2 B ．b ＝2，c ＝0 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝－3，c ＝2【解析】 把抛物线y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4向左平移2个单位再向上平移3个单位得到y＝x2＋bx＋c，所以y＝(x－1)2－4变为y＝(x－1＋2)2－4＋3，即y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x，所以b＝2，c＝0，选B.8．[2013·襄阳]二次函数的图形如图22－1－25所示：若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是( B )图22－1－25A．y1≤y2 B．y1<y2C．y1≥y2 D．y1>y2【解析】∵a＜0，x1＜x2＜1，∴y随x的增大而增大∴y1＜y2.故选B.9．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有__①③__(填写所有正确选项的序号)．【解析】原式可化为y＝(x＋1)2－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y＝x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4，的图象，故①正确；函数y＝(x＋1)2－4的图象开口向上，函数y＝－x2的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y＝(x－1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4的图象，故③正确．10．用配方法将二次函数y ＝－12x 2－x ＋32化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式为__y ＝－12(x ＋1)2＋2__；它的开口向__下__，对称轴是__x ＝－1__，顶点坐标是__(－1，2)__． 【解析】 y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x 2＋2x －3)＝－12[(x ＋1)2－4]＝－12(x ＋1)2＋2.a ＝－12＜0，它的图象开口向下，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1，2)． 11．y ＝2x 2－bx ＋3的对称轴是x ＝1，则b 的值为__4__． 【解析】 由对称轴公式得－－b2×2＝1，解得b ＝4. 12．写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及当x 为何值时，y 值最大(小)． (1)y ＝－2x 2－8x ＋8; (2)y ＝5x 2＋6x ＋7； (3)y ＝3x 2－4x; (4)y ＝－2x 2＋5.解：(1)y ＝－2(x 2＋4x －4) ＝－2(x 2＋4x ＋4－8) ＝－2(x ＋2)2＋16.a ＝－2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x ＝－2，顶点坐标为(－2，16)．当x ＝－2时，y 有最大值．(2)∵a ＝5，b ＝6，c ＝7，∴－b 2a ＝－62×5＝－0.6，4ac －b 24a ＝4×5×7－364×5＝140－3620＝10420＝5.2. 抛物线开口向上，对称轴为x ＝－0.6，顶点坐标为(－0.6，5.2)．当x ＝－0.6时，y 有最小值．(3)y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－43x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－43x ＋49－49＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232－43. 抛物线开口向上，对称轴为x ＝23，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－43.当x ＝23时，y 有最小值．(4)抛物线开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，5)，当x ＝0时，y 有最大值．13．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( A ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＜y 3＜y 1【解析】 ∵二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152的对称轴为x ＝－b 2a ＝－－72×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－7.∵0＜x 1＜x 2＜x 3，∴三点都在对称轴右侧，又∵a ＜0，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小， ∴y 1＞y 2＞y 3.14．若一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y ＝ax 2＋bx 的对称轴为( C ) A ．直线x ＝1 B ．直线x ＝－2 C ．直线x ＝－1 D ．直线x ＝－4【解析】 ∵一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)， ∴－2a ＋b ＝0，即b ＝2a ，∴抛物线y ＝ax 2＋bx 的对称轴为直线x ＝－b2a＝－1.故选C.15．已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.(1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________；(2)选取适当的数据填入下表，并在图22－1－26的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x ……y ……(3)若该抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．图22－1－26解：(1)x＝1，(1，3)；(2)填表如下：x …－10123…y …－1232－1…抛物线的图象如图所示．(3)因为在对称轴x ＝1的右侧，y 随x 的增大而减小，又x 1＞x 2＞1，所以y 1＜y 2.图22－1－2716．如图22－1－27，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－23x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图象探索：当y ＞0时x 的取值范围． 解：(1)由题意，得C (0，2)，B (2，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，－23×4＋2b ＋c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝43，c ＝2，∴该二次函数的解析式为y ＝－23x 2＋43x ＋2.(2)令－23x 2＋43x ＋2＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，∴当y ＞0时，－1<x <3.图22－1－2817．如图22－1－28，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)三点．(1)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；(2)若点M 是抛物线对称轴上一点，求AM ＋OM 的最小值．解：(1)把A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)三点代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝－4，c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，解这个方程组，得a ＝－12，b ＝1，c ＝0，所以抛物线解析式为y ＝－12x 2＋x .(2)如图，由y ＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12，可得抛物线的对称轴为x ＝1，并且对称垂直平分线段OB ，所以OM ＝BM ，OM ＋AM ＝BM ＋AM .连接AB 交直线x ＝1于M ，则此时OM ＋AM 最小． 过A 点作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42，因此AM ＋OM 的最小值为4 2.18．在平面直角坐标系中，如图(1)，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)过矩形顶点B ，C .(1)当n ＝1时，如果a ＝－1，试求b 的值；(2)当n ＝2时，如图(2)，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式．(1) (2) 图22－1－29解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x ＝12，∴－b 2a ＝12，解得b ＝1；(2)因为抛物线过C (0，1)，所以c ＝1，故可设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋1，由对称性可知抛物线经过点B (2，1)和点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝4a ＋2b ＋1，2＝14a ＋12b ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝83，∴所求抛物线的解析式为y ＝－43x 2＋83x ＋1.第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 [见B 本P18]1．过(－1，0)，(3，0)，(1，2)三点的抛物线的顶点坐标为( A )A ．(1，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23 C ．(－1，5) D.⎝⎛⎭⎪⎫2，143【解析】 设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝32，∴y ＝－12x 2＋x ＋32＝－12(x 2－2x －3)＝－12[(x 2－2x ＋1)－4]＝－12[(x －1)2－4]＝－12(x －1)2＋2，顶点为(1，2)．故选A.2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的坐标满足下表：x …－3 －2 －1 01…y …－3－2－3－6－11 …则该函数图象的顶点坐标为( B ) A ．(－3，－3) B ．(－2，－2)C ．(－1，－3)D ．(0，－6)【解析】 ∵x ＝－3和－1时的函数值都是－3相等， ∴二次函数的对称轴为直线x ＝－2， ∴顶点坐标为(－2，－2)． 故选B.3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，则抛物线的解析式为( D ) A ．y ＝－2x 2－x ＋3 B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5 C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8 D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6【解析】 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，解得a ＝－2，b ＝4，c ＝6， ∴y ＝－2x 2＋4x ＋6，故选D.4．抛物线的形状、开口方向与y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点为(－2，1)，则该抛物线的解析式为( C )A ．y ＝12(x －2)2＋1B ．y ＝12(x －2)2－1C ．y ＝12(x ＋2)2＋1D ．y ＝12(x ＋2)2－1【解析】 依题意得a ＝12，可得该抛物线的解析式为y ＝12(x ＋2)2＋1，故选C.5．抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1，－2)，则b ＝__－4__，c ＝__0__．【解析】 依题意得y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x ，所以b ＝－4，c ＝0.6．已知点A (1，2)，B (－2，5)，试写出一个二次函数，使它的图象经过A ，B 两点，则此二次函数可为__y ＝x 2＋1(答案不唯一)__． 【解析】 设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝2－a ，－2b ＋c ＝5－4a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －1，c ＝3－2a ，∴y ＝ax 2＋(a －1)x ＋3－2a . 取a ≠0的数即可，如当a ＝1时，y ＝x 2＋1.7．如图22－1－30，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1，0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 长为__3__．【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2，所以y ＝x 2－x －2，令x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2，所以AC 长为3.图22－1－30图22－1－318．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图22－1－31所示． (1)这个二次函数的解析式是__y ＝x 2－2x __；(2)当x ＝__3或－1__时，y ＝3.【解析】 (1)由抛物线过点(0，0)，(1，－1)，(2，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＋c ＝－1，4a ＋2b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－2，c ＝0，∴y ＝x 2－2x . (2)当x 2－2x ＝3时，解得x 1＝3，x 2＝－1， 所以当x ＝3或－1时，y ＝3.9．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是__①③④__．(填写序号) ①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)； ②函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为6； ③抛物线的对称轴是x ＝12；④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．【解析】 从表中取出三个点代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，求出函数解析式，进行判断． 10．已知抛物线的顶点为(1，－1)，且过点(2，1)，求这个函数的解析式． 解：设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2－1， 把点(2，1)代入解析式得：a －1＝1， 解得a ＝2，∴这个函数的解析式为y ＝2(x －1)2－1. 11．根据下列条件，求二次函数的解析式：(1)图象的顶点为(2，3)，且过点(3，1)；(2)图象经过点(1，－2)，(0，－1)，(－2，－11)．解：(1)设函数的解析式是y ＝a (x －2)2＋3，代入点(3，1)得：a ＝－2， 则函数的解析式是：y ＝－2(x －2)2＋3；(2)设函数的解析式是y ＝ax 2＋bx ＋c .根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－2，c ＝－1，4a －2b ＋c ＝－11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝－1，则函数的解析式是：y ＝－2x 2＋x －1.12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且经过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线对应的解析式及顶点坐标． 解：根据题意，得：⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝2，a ＋b ＋c ＝4，25a ＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝2，c ＝52，∴此抛物线对应的解析式y ＝－12x 2＋2x ＋52，即y ＝－12(x －2)2＋52，∴顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52.13．当k 分别取－1，1，2时，函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．解：∵当k ＝1时，函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 没有最大值；当k ≠1时，当函数图象开口向下时函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 有最大值，∴k －1＜0，解得k ＜1，∴当k ＝－1时函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 有最大值，此时函数解析式为y ＝－2x 2－4x ＋6＝－2(x ＋1)2＋8，且最大值为8.图22－1－3214．如图22－1－32，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A (－1，0)，B (2，0)两点，交y 轴于点C (0，－2)，过点A ，C 画直线． (1)求二次函数的解析式；(2)若点P 在x 轴正半轴上，且PA ＝PC ，求OP 的长． 解：(1)设该二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 将x ＝0，y ＝－2代入，得－2＝a (0＋1)(0－2)， 解得a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －2)， 即y ＝x 2－x －2.(2)设OP ＝x ，则PC ＝PA ＝x ＋1，在Rt △POC 中，由勾股定理，得x 2＋22＝(x ＋1)2， 解得x ＝32，即OP ＝32.图22－1－3315．如图22－1－33，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，且A 点坐标为(－3，0)，经过B 点的直线交抛物线于点D (－2，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线BD 的解析式．解：(1)将A (－3，0)，D (－2，－3)的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧9－3b ＋c ＝0，4－2b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－3， ∴y ＝x 2＋2x －3.(2)由x 2＋2x －3＝0，得 x 1＝－3，x 2＝1， ∴B 的坐标是(1，0)．设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，－2k ＋b ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，∴直线BD 的解析式为y ＝x －1.图22－1－3416．如图22－1－34，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (1，0)，C (0，－3)． (1)求此二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标． 解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (1，0)，c (0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0c ＝－3 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝－3∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3； (2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0， 解得：x 1＝－3，x 2＝1； ∴A (1，0)，B (－3，0)， ∴AB ＝4， 设P (m ，n )，∵△ABP 的面积为10， ∴12AB ·|n |＝10， 解得：n ＝±5，当n ＝5时，m 2＋2m －3＝5，解得：m＝－4或2，∴点P坐标为(－4，5)或(2，5)；当n＝－5时，m2＋2m－3＝－5，方程无解，故点P坐标为(－4，5)或(2，5)．。