3第三章 截长补短(1)
第13讲.线段之截长补短Ⅰ(教师)
第十三讲.线段之截长补短Ⅰ【教学目标】1.学习基本的几何证明思路，并能寻找已知与求证之间的关系；2.培养观察能力，并能从动态图形中寻找线段间的和差关系；3.学习“截长”或“补短”的方法来进行求解线段之间的关系，并能进行简单的应用；4.培养处理动态几何的思维能力。
【知识、方法梳理】：一.截长补短解题法简介有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。
然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
二．几种截长补短解题法类型1.我们大致可把截长补短分为下面几种类型：±=类型①a b c±=类型②a b kc对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。
或者化为类型②证明。
±与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，对于②，可以将a b如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30o的直角三角形等。
2.截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
……3.补短法（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……【典例精讲】例1.如图，AD BC ∥，点E 在线段AB 上，ADE CDE ∠=∠，DCE BCE ∠=∠。
求证：CD AD BC =+。
【分析】：结论是CD AD BC =+，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF CB =，只要再证DF DA =即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
【证明】：在CD 上截取DF DA =，如图2。
八年级上册数学截长补短法
八年级上册数学截长补短法一、截长补短法的概念。
1. 定义。
- 截长补短法是几何证明题中一种常用的辅助线添加方法。
“截长”就是将一条较长的线段截成两段或几段，使得其中的一段或几段与已知线段相等；“补短”就是将一条较短的线段延长，使得延长后的线段与已知的较长线段相等。
- 例如，在三角形ABC中，要证明AB = AC+CD（假设AB>AC），“截长”的做法可以是在AB上截取AE = AC，然后去证明BE=CD；“补短”的做法可以是延长AC到F，使CF = CD，然后去证明AB = AF。
2. 适用情况。
- 当题目中出现证明两条线段之和等于第三条线段或者两条线段之差等于第三条线段等类型的问题时，常常考虑使用截长补短法。
- 比如在四边形或者三角形的边的关系证明中经常用到。
如在等腰三角形的相关证明中，如果要证明等腰三角形腰长与底边一部分线段的关系时，可能就需要用到这种方法。
二、截长补短法的解题步骤。
1. 截长法解题步骤。
- 第一步：观察图形和已知条件，确定要截的线段。
一般选择较长的那条线段进行截取。
- 第二步：根据已知条件截取合适的长度，使得截取后的线段与其他已知线段有一定的联系。
例如，在三角形中，如果有角平分线的条件，可能会截取与角平分线到角两边距离相等的线段。
- 第三步：连接截取点与其他点，构造全等三角形或者其他特殊的几何关系。
- 第四步：利用全等三角形的性质或者其他几何定理进行推理，得出要证明的结论。
- 例如：在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠C = 2∠B，求证：AB = AC+CD。
- 证明（截长法）：在AB上截取AE = AC，连接DE。
- 因为AD是角平分线，所以∠EAD = ∠CAD。
- 在△AED和△ACD中，AE = AC，∠EAD = ∠CAD，AD = AD，根据SAS（边角边）定理，△AED≌△ACD。
- 所以∠AED = ∠C，CD = ED。
- 又因为∠C = 2∠B，∠AED = ∠B + ∠EDB，所以∠B = ∠EDB。
几何模型截长补短模型.doc
132HABFE1GEFDCB ADCBA OGABCD第三章截长补短模型截长补短如图①，若证明线段AB、CD、EF之间EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。
截长法：如图②，在EF上截取EG=AB，再GF=CD即可。
补短法：如图③，延长AB至H点，使BH=C再证明AH模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
模型实例例1．如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D。
求证：AB=AC+CD。
例2．如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A=∠GBD。
求证：AO+BO=2CO。
2ABC DOEABCD热搜精练1．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD。
求∠ABC的度数。
2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。
求证：AC=AE+CD。
3EABC D EABCD3．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD。
求证：AB+CD=BC。
4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∠C=30°，BE⊥AD于点E。
求证：AC-AB=2BE。
4FABCD EABCD5．如图，Rt△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E。
求证：AD=2DF+CE。
6．如图，五边形ABCDE中，AB=AC，BC+DE=CD，∠B+∠E=180°。
求证：AD平分∠CDE。
三角形全等之截长补短(一)(北师版)
问题1：垂直平分线（性质）定理是_______________________________________________________问题2：角平分线（性质）定理是__________________________________________________________问题3：等腰三角形的两个底角________，简称______________；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．问题4：当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________重新组合解决问题．三角形全等之截长补短（一）一、单选题(共4道，每道25分)1.已知，如图，BM平分∠ABC，P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+CD．求证：∠BAP+∠BCP=180°．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①；②∵∠1=∠2；③∠A=∠BEP；④AP=PE；⑤；⑥；⑦；⑧．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③⑥⑦B.①③⑤⑧C.②③⑥⑦D.②④⑤⑧2.已知，如图，BM平分∠ABC，点P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+DC．求证：∠BAP+∠BCP=180°．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长BA，过点P作PE⊥BA于点E；②延长BA到E，使AE=DC，连接PE；③延长BA到E，使DC=AE；④；⑤；⑥；⑦．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②④⑦B.①⑤⑥C.③④⑥D.①⑤⑦3.已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，AD平分∠CDE，∠BAE=2∠CAD，求证：BC+DE=CD．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①在CD上截取CF=CB，连接AF；②在DC上截取DF=DE，连接AF；③在DC上截取DF=DE；④AE=AF；⑤AF=AE，∠4=∠3；⑥∠4=∠3；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①④⑨B.③⑤⑧C.①⑥⑦D.②⑤⑨4.已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，∠BAE=2∠CAD，∠ABC+∠AED=180°，求证：BC+DE=CD．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长DE到F，使EF=BC，连接AF；②延长DE到F，使BC=EF；③延长DE到F，连接AF；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.③⑤⑥⑧B.①④⑥⑨C.①⑤⑥⑨D.②④⑦⑧。
截长补短
截长补短一、知识点： 1.定义截长：1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短：1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
例：已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2。
求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ， ∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC .方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,DCBA 12EDCBA12FDCBA 12ECDBADCB A⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD . 二、基础训练1、如图，在△ABC 中，∠BAC=1200，AD ⊥BC 于D ， 且AB+BD=DC ，则∠C 的大小为2、如图，已知正方形ABCD ，∠BAC 的角平分线交BC 于E ，试说明AB+BE=AC3、如图，已知： △ABC 中，BC=2AB ，D 、E 分别是BC 、BD 的中点.求证：AC=2AE4、如图，将一个含30°角的直角三角形△ABD沿斜边AD翻折得到△ACD，以D为顶点再用含60°角的直角三角板作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．（1）求∠BDC的度数（2）求证：BM＋CN＝MN5、如图：在△ABC中，∠A=60°，∠B，∠C的平分线BE，相交于点O。
完整版)截长补短类辅助线作法
完整版)截长补短类辅助线作法截长补短类辅助线作法是解决三条线段之间数量关系问题的常用方法。
其中，“截长”是将最长的线段一分为二，使其中一条等于已知的较短线段之一，然后证明另一段与已知另一条线段的数量关系；“补短”是将一条较短的线段延长至与另一条较短的线段相等，然后证明延长后的线段与最长的线段的数量关系。
需要注意的是，截长补短类辅助线作法一般用于三条线段之间的数量关系问题，特别是当线段前的系数不是1时，可能会涉及到含特殊角的直角三角形。
在构造辅助线时，需要结合题目条件选择适当的方法，并不是所有题目都适用于截长和补短方法。
下面是一些例题的精讲：1.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。
2.已知△ABC中，DP⊥BC，证明BD平分∠ABC，BC上有动点P；DP平分∠BDC时，求BD、CD、CP三者的数量关系。
3.已知△ABC中，D、E、F分别平分∠A、∠B、∠C，交于点P，试判断AD：DB、BE：EC、CF：FA的数量关系，并加以证明。
4.在△ABC中，AD是角平分线，点F、E分别在AC、AB上，且AF=DE，证明BF=CE。
5.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。
6.已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠AED=45°，证明AE=BD。
7.五边形ABCDE中，AD平分∠CDE，证明XXX。
8.在△ABC中，D是三角形外一点，且∠ACD=∠BCD，AB与CD交于点E，证明XXX。
9.如图1所示，AB、CD平行，AE、DE分别平分∠A、∠D，并交于点E。
过点E的直线分别交AM、DN于B、C。
1）当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系。
2）试证明你的猜想。
专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)
全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD = EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。
初中几何截长补短法的题型解析
初中几何截长补短法的题型解析【知识汇总】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．1、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
2、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.【类型一】截长“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM 为平行四边形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BCD和△MCF。
截长补短法教案
FE截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。
通常来证明几条线段的数量关系。
截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
例题：（1） 正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45o。
求证：EF=DE+BF变式a ：正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o。
请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？变式b正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，∠EAF=45o。
请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？DFEM B AB AB A变式c正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上∠EDF=45o。
DB=DC ，∠请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关系？变式d正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD=15o，∠FAB=30o。
AD=3，求∆AEF 的面积练习：在正方形ABCD 中，DE=DF ，DG ⊥CE ，交CA 于G ，GH ⊥AF ，交AD 于P ，交CE 延长线于H ，请问三条粗线DG ，GH ，CH 的数量关系方法一（好想不好证） 方法二（好证不好想）FEG（1）解：（简单思路）延长CD 到点G ，使得DG=BF ，连接AG 。
由四边形ABCD 是正方形得：∠ADG=∠ABF=90o，AD=AB 又DG=BF ∴∆ADG ≅∆ABF （SAS ） ∴∠GAD=∠FAB AG=AF 由四边形ABCD 是正方形得∠DAB=90o =∠DAF+∠FAB=∠DAF+∠GAD=∠GAF∴∠GAE=∠GAF-∠EAF=90o-45o=45o∠GAE=∠FAE=45o又AG=AF AE=AE∴∆EAG ≅∆EAF （SAS ） EF=GE=GD+DE=BF+DE 变形a 解：（简单思路）解：数量关系为：EF= BF-DE.理由如下： 在BC 上截取BG ，使得BG=DF ，连接AG 。
3第三章 截长补短(1)
32H A B F E 1GEF D C B AD C B A O G AB C D A B C D 第三章 截长补短模型 截长补短如图①，若证明线段AB 、CD 、EF 之间存在 EF=AB+CD ，可以考虑截长补短法。
截长法：如图②，在EF 上截取EG=AB ，再证明 GF=CD 即可。
补短法：如图③，延长AB 至H 点，使BH=CD ， 再证明AH=EF 即可。
模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
模型实例例1．如图，已知在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D 。
求证：AB=AC+CD 。
例2．如图，已知OD 平分∠AOB ，DC ⊥OA 于点C ，∠A=∠GBD 。
求证：AO+BO=2CO 。
热搜精练1．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 是∠BAC 的平分线，且AC=AB+BD 。
求∠ABC 的度数。
O E A B C D E ABC D E A B C D FE A B C D EA B CD 2．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB 。
求证：AC=AE+CD 。
3．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD 。
求证：AB+CD=BC 。
4．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，∠C=30°， BE ⊥AD 于点E 。
求证：AC-AB=2BE 。
5．如图，Rt △ABC 中，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CE ⊥AD 交AD 于F点，交AB 于点E 。
求证：AD=2DF+CE 。
截长补短法教案
学生思考小结，教师最后补充完整．
在本次活动中，教师应重点关注：
⑴不同程度的学生是否都各有收获．
⑵学生是否能清晰、准确概括出所学知识。
学生回顾、总结本节课的学习内容，教师积极评价，去粗取精，巩固升华。
学生独立完成作业，进一步巩固所学知识。
板书设计
“截长补短法”证线段和差问题
补短法：合二为一.
情感态度
１、使学生经历探索线段的和差问题的解决过程，感受数学活动充满探索以及数学方法确定性。
２、培养学生积极主动参与学习数学活动的意识，增强学好数学的信心。培养学生与他人合作交流的意识和能力。
重点
正确的辅助线作法。
难点
运用截长补短法解决线段和差问题。
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动１ 回答问题，探求规律
教师组织学生以小组为单位讨论，共同探索⑵问的答案，并深入学生中参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，在题签上作出图形，代表上台通过实物投影仪展示成果，并口述过程．
在本次活动中，教师应重点关注：
⑴学生审题能力．
⑵学生间的合作与交流．
⑶学生运用解决问题的灵活性．
⑷上台发言的学生语言是否规范，严密．
在本次活动中，教师应重点关注：
⑴学生能否正确分析线段之间的数量关系选用适当的方法，语言是否准确规范．
⑵学生能否根据题目要求正确的回答问题，并找到解决问题的有效途径．
本次活动设置两种解决问题的方法，主要是让学生很容易的想到要一题多解，让学生轻松的进入本节课的课题探究。
活动３
问题
已知：如图，AE//BC，AD、BD分别是EAB、CBA的平分线，相交于点D，过点D的直线EC交AE于点E，交BC于点C.
几何证明的好方法——截长补短之欧阳术创编
几何证明的好办法——截长补短有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采纳“截长”或“补短”的办法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的年夜小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。
然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采纳截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
……补短法（1）延长短边。
（2）通过旋转等方法使两短边拼合到一起。
……几种截长补短解题法类型我们年夜致可把截长补短分为下面几种类型；类型① a±b=c类型② a±b=kc类型③±a bc类型④ c²=a·b对类型①，可采纳直接截长或补短，绕后进行证明。
或者化为类型②证明。
对②，可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。
对类型③，一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角形中，与类型②相同。
实际上是求类型②中的k值。
对类型④，将c²=a·b化为ca =bc的形式，然后通过相似三角形的比例关系进行证明。
在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的办法。
例：在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系办法一（好想欠好证）办法二（好证欠好想）例题不详解。
（第2页题目谜底见第3、4页）（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45o。
求证：EF=DE+BF（1）变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，∠EAF=45o。
截长补短法 (课堂PPT)
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9
练习：如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的
中点，CN⊥AE交AB于N。 （1）求证：∠1=∠2 （2）求证：AE=CN+EN （请用多种方法证明）
B
F
N E
1
补短法：过点B作BF⊥BC交EN的延长线于点F， 可证得△BEF≌△CEA，从而得到AE=EF,
C
2A
∴CF=BD ∵AF=AC+CF ∴AB=AC+BD
.
7
练习：如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的
中点，CN⊥AE交AB于N。 （1）求证：∠1=∠2 （2）求证：AE=CN+EN （请用多种方法证明）
B
截长法：在AE上截取AF，使AF=CN，
N
E
1
F
C
2A
可证得△ACF≌△CBN，从而得到CF=BN, 再证△BEN≌△CEF，可得EN=EF.
（1）截长法：就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于 已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等。 （2） 补短法：一般有两种方式—— 一种是将某短线段延长，使延长的一部分 等于另一条已知的较短的长度，另一种是将某短线段直接延长至等于较长的线段。
无论是截长法还是补短法都是要将几条线段的和差问题转化为 两条线段相等的问题，一般都要通过构造两个全等三角形来解 决问题。
Ｆ
Ｅ
Ｄ 补短法 （1）延长AC至F，使CF＝BD，连接EF
Ｃ Ａ
要证△CEF≌△DEB， 再证△AEF≌△AEB
√（2）延长AAEB，再证△CEF≌△DEB
.
6
第3讲 截长补短 教师版
图 7-1
图 2
【解析】（1） AM MN CN ，理由如下： 在 AM 上截取 AH CN ，连接 EH， △ ABC 、 △DEF 均是等腰直角三角形，E 为 AB 中点， AE CE ， A NCE 45 ，
———让学习更有效！ 25
初中数学领先中考培优班 五边形 ABCDE 中，AB AE ，BC DE CD ，ABC AED 180 ．求证：AD 平分 CDE ．
【解析】延长 DE 至 F，使得 EF BC ，连接 AC，AF． ∵ ABC AED 180 ， AEF AED 180 ，∴ ABC AEF ， ∵ AB AE ， BC EF ，∴ △ABC ≌△AEF ，∴ AC AF ， ∵ BC DE CD ，∴ CD DE EF DF ， ∴ △ ADC ≌△ ADF ，∴ ADC ADF ，即 AD 平分 CDE ．
截长补短
第三讲 截长补短
1．截长补短指的是两种方法：截长法和补短法． （1）截长法：在**上，截取**＝**，连接**； （2）补短法：延长**到*，使**＝**，连接**． 2．目的：实现三条线段或者多条线段的关系到两条线段的关系转化，而全等是处理 两条线段关系的重要手段． 3．适用：这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 若题目条件或求证结论中含有“ a b c ”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长 补短”．
【教师备课提示】例 2——例 5 主要是想告诉学生们，当题目中出现线段的和差倍分时， 要选用截长补短的方法，但是不一定两种方法都可以，要尝试，一般用 补短的方法要多些．
如图， △ABC 是等边三角形， △BDC 是顶角 BDC 120 的等腰三角形，以 D 为顶点作 一个 60 角，角的两边分别交 AB 于 M，交 AC 于 N，连接 MN，求证： MN BM CN ．
三角形全等几何模型1截长补短知识讲解20202021学年七年级数学下册基础知识专项讲练北师大版
专题4.17 三角形全等-几何模型1（截长补短）（知识讲解）有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
【典型例题】1、（2020·全国九年级专题练习）已知：如图所示，在ABC D 中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC =，求证：AF EF = ．【分析】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到BDE CDG D D ≌，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．证明：延长ED 至G ，使DG DE =，连结GC ，∵在ABC D 中，AD 为中线，∴BD=CD ，在△ADC 和△GDB 中，BD CD BDE CDG DE DG =ìïÐ=Ðíï=î∴BDE CDG D D ≌，BE CG \=，BED CGD Ð=Ð，BE AC =Q ，AC GC \=，AGC CAG \Ð=．又BED AEF Ð=ÐQ ，∴AEF EAF Ð=Ð，∴AF EF =.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．举一反三：【变式】 （2020·全国八年级课时练习）如图，在ABC V 中，,AC BC AD =平分BAC Ð交BC 于点D ，若AC CD AB +=，求C Ð的度数．【答案】90C Ð=°【分析】在AB 上截取AE AC =，连接DE ，证明ADC ADE △≌△，再证明DE BE =，设B x Ð=，再得到Ð=Ð=Ð=BAC B EDB x ，证明2,C x Ð= 然后利用内角和定理求解即可．解：如图，在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AD 平分BAC Ð，EAD CAD Ð=Ð．∵,==AE AC AD AD ，ADC ADE \V V ≌，∴,,CD DE AED C =Ð=Ð∵AC CD AB +=，AE BE AB +=，∴CD BE =，∴DE BE =，∴B EDB Ð=Ð．∵AC BC =，∴BAC B =∠∠．设Ð=Ð=Ð=BAC B EDB x ，则2Ð=Ð+Ð==ÐAED B EDB x C ．∵在ABC V 中，2180x x x ++=°，解得45x =°，∴90C Ð=°．【点拨】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．2、（2019·浙江嘉兴市·八年级期中）（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，请探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ．先证明△ABE ≌△ADG ，得AE ＝AG ；再由条件可得∠EAF ＝∠GAF ，证明△AEF ≌△AGF ，进而可得线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是 ．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．问（1）中的线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．解答：（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD °=ìïÐ=Ð=íï=î，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由如下：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ．【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．举一反三：【变式】 （2020·全国八年级单元测试）在△ABC 中，∠ACB=2∠B ，（1）如图①，当∠C=90°，AD 为∠ABC 的角平分线时，在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，易证AB=AC+CD ．请证明AB=AC+CD；（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，证明见解析．【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．（1）证明：∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（3）①AB=AC+CD．理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；②AC+AB=CD．理由如下：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠EAC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．3、（2020·黑龙江大庆市·七年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF=BE+FD．【答案】证明见解析．【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．【变式1】 （2020·大庆市万宝学校七年级期末）如图，AB CD ∥，BE 平分ABC Ð，CE平分BCD Ð，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+.【答案】详见解析【分析】在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，由角平分线的性质可以得出∠1=∠2，从而可以得出△ABE ≌△FBE ，可以得出∠A=∠5，进而可以得出△CDE ≌△CFE ，就可以得出CD=CF ，即可得出结论．证明：在BC 上取点F ，使BF=BA ，连接EF ，∵BE 、CE 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE 和△FBE 中，12AB FB BE BE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE ≌△FBE(SAS)，∴∠A=∠5，∵AB ∥CD ，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D ，在△CDE 和△CFE 中，634D CE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△CDE ≌△CFE(AAS)，∵BC=BF+CF ，∴BC=AB+CD ．【点拨】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是关键．举一反三：【变式2】（2020·剑阁县公兴初级中学校八年级月考）如图，在△ABC 中，60BAC Ð=°，40ACB Ð=°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证：（1）BQ CQ =；（2）BQ AQ AB BP +=+．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由三角形的内角和就可以得出∠ABC ＝80°，再由角平分线的性质就可以得出∠QBC ＝40°，就有∠QBC ＝∠C 而得出结论；（2）延长AB 至M ，使得BM ＝BP ，连结MP ，根据条件就可以得出∠M ＝∠C ，进而证明△AMP ≌△ACP 就可以得出结论．（1）证明：∵BQ 是ABC Ð的角平分线，∴12QBC ABC Ð=Ð．∵180ABC ACB BAC Ð+Ð+Ð=°，且60BAC Ð=°，40ACB Ð=°，∴80ABC Ð=°，∴180402QBC Ð=´°=°，∴QBC C Ð=Ð，∴BQ CQ =；（2）证明：延长AB 至M ，使得BM BP =，连结MP ．∴M BPM Ð=Ð，∵△ABC 中60BAC Ð=°，40C Ð=°，∴80ABC Ð=°，∵BQ 平分ABC Ð，∴40QBC C Ð=°=Ð，∴BQ CQ =，∵ABC M BPM Ð=Ð+Ð，∴40M BPM C Ð=Ð=°=Ð，∵AP 平分BAC Ð，∴MAP CAP Ð=Ð，在△AMP 和△ACP 中，∵M C MAP CAP AP AP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AMP ≌△ACP ，∴AM AC =，∵AM AB BM AB BP =+=+，AC AQ QC AQ BQ =+=+，∴AB BP AQ BQ+=+【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4、 （2019·全国八年级课时练习）如图所示，已知ΔABC 中，∠A =60°，BD 、CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ．【分析】在BC 上取点G 使得CG ＝CD ，可证△COD ≌△COG ，得∠BOG ＝∠BOE ，然后证△BOE ≌△BOG ，得BE ＝BG ，可以求得BE ＋CD ＝BC ．证明：在BC 上取点G 使得CG ＝CD ，∵∠BOC ＝180°−12（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−12（180°−60°）＝120°，∴∠BOE ＝∠COD ＝60°，∵在△COD 和△COG 中，CO =CO ∠DCO ＝∠GCO CD =CG，∴△COD ≌△COG （SAS ），∴∠COG ＝∠COD ＝60°，∴∠BOG ＝120°−60°＝60°＝∠BOE ，∵在△BOE 和△BOG 中，∠BOG ＝∠BOE BO =BO ∠EBO ＝∠GBO，∴△BOE ≌△BOG （ASA ），∴BE ＝BG ，∴BE ＋CD ＝BG ＋CG ＝BC．【点拨】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD ＝CG 和BE ＝BG 是解题的关键．举一反三：【变式1】 （2020·全国九年级专题练习）已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ．在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12=´（180°﹣108°）＝36°，∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．举一反三：【变式2】（2019·全国七年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D是三角形外一点，且∠ABD=60°，BD+DC=AB．求证：∠ACD=60°【分析】首先延长BD至E，使CD＝DE，连接AE，AD，由BD＋DC＝AB，易得△ABE 是等边三角形，继而证得△ACD≌△ADE，则可证得：∠ACD＝∠E＝60°．证明：延长BD至E，使CD=DE，连接AE，AD，∵BD+CD=AB，BE=BD+DE，∴BE=AB，∵∠ABD=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=AC，∠E=60°，在△ACD和△ADE中，AC=AECD=DE，AD=AD∴△ACD≌△ADE（SSS），∴∠ACD=∠E=60°．Array【点拨】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．。
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A B F
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1G E F D C B A D C B A O
G A
C
D 第三章 截长补短
模型 截长补短
如图①，若证明线段AB 、CD 、EF 之间存在 EF=AB+CD ，可以考虑截长补短法。
截长法：如图②，在EF 上截取EG=AB ，再证明 GF=CD 即可。
补短法：如图③，延长AB 至H 点，使BH=CD ， 再证明AH=EF 即可。
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
模型实例
例1．如图，已知在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D 。
求证：AB=AC+CD 。
例2．如图，已知OD 平分∠AOB ，DC ⊥OA 于点C ，∠A=∠GBD 。
求证：AO+BO=2CO 。
A B C
D
O
E A B
C
D E A B C D
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 是∠BAC 的平分线，且AC=AB+BD 。
求∠ABC 的度数。
2．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB 。
求证：AC=AE+CD 。
3．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD 。
求证：AB+CD=BC 。
E
A B
C D F
E
A
B C D
E
A B
C
D
4．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，∠C=30°， BE ⊥AD 于点E 。
求证：AC-AB=2BE 。
5．如图，Rt △ABC 中，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CE ⊥AD 交AD 于F 点，交AB 于点E 。
求证：AD=2DF+CE 。
6．如图，五边形ABCDE 中，AB=AC ，BC+DE=CD ，∠B+∠E=180°。
求证：AD 平分∠CDE 。