河南省创新发展联盟2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试卷
河南圣级2017_2018学年高二数学下学期期末模拟试题理2018073002143
2017-18学年高二年级第二学期期末考试数学试卷（理数）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．２．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A0,1，B z|z x y,x A,y A，则集合B的子集个数为（）A B C D.3 .4 . 7 .82．若x2m23是1x4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A3,3B,33,C,11,D1,1. . . .3．命题“x2,，x31”的否定为()A2,,x B2,,. .x3100x310xC x2,x31D x,2x31. ，. ，4．已知函数f x在,单调递减，且为奇函数，若f11，则满足1f x x21的的取值范围是( ）A2,2B1,1C0,4D1,3 . . . .f5x g x ax x5．已知函数，2，若f g11，则a()xA1B2C3D1. . . .x,6x2,f x6．已知函数，a0,且a1的值域是4,，则实数a的取值3log x,x2a范围是()A1,1B1,2C0,4D1,3 . . . .2f x3xx1f x7．已知函数是奇函数，则使成立的取值范围是()2ax- 1 -A,1B1,0C0,1D1,. . . .8．若a b0，0c1，则( )A log c cB log a bC a c b cD c a c b. . . .a log c logb c9．已知函数f21为偶函数，记a log3，b log5，c f2m，x f fx m0.52则a,b,c的大小关系为()A a b cB a c bC c a bD b c a. . . .131210．已知函数f43在区间1,2上是增函数，则实数m的取值范围是x x mx x32（）A4,5B2,4C,11, D. . . .,43|x1|,x0,11．已知函数若关于x的方程10有7f x f x2a f x a2x2x1,x0个不等实根，则实数a的取值范围是( )A2,1B2,4C2,1D . . . .,41g x3ln x x12. 已知函数f x x1a，与的图象上存在关于轴对称的x,e 3e点，则实数a的取值范围是()0,1212,4. . . .A0,4e B33C3e D3e e4,e3第II卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数f x f x x，则.'11f x dx1214．函数f x lg sin cos x的定义域为_______________．222x2x15．若a0在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是______．22x x216．设f'x是奇函数f x的导函数，f20，当x0时，xf'x f x 0，则使- 2 -f xx0成立的的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17．(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且a2b2c23ab.（1）求角C的值；（2）若ABC为锐角三角形,且c1,求3a b的取值范围.18．(本小题满分12分)从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布如下表：数据分组[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5)[27.5,30.5)[30.5,33.5)频数389121053（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z服从正态分布N(,2)；其中近似为样本平均值x，2近似为样本方差S2，经计算得S222.37，利用正态分布，求P(z27.43)．19.(本小题满分12分）如图，三棱柱中，，，ABC A AC CB1B C160AB AA BAA0 111（1）证明：AB A C；1- 3 -（2）若平面ABC平面AA B B，，求直线1与平面BB1C1C所成角的正弦1AB CB A C1值．20. (本小题满分12分)已知三点A2,1，B2,1，O0,0，曲线C上任意一点M x,y满足|MA MB|OM A(OA OB)2．（1）求C的方程；（2）动点Q22在曲线上，是曲线在处的切线．问：是否存在x0,y x C l C Q定点P0,t t0使得l与PA,PB都相交，交点分别为D,E，且ABQ与PDE的面积之比为常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分）已知函数f x ln x，．g x ex（1）求函数y f x x的单调区间；（2）求证：函数y f x和y g x在公共定义域内，g x f x2恒成立；fx f x x x（3）若存在两个不同的实数，，满足，求证：．x x1a112 212x 2x e12（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
河南省郑州市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足z+3i﹣3=6﹣3i，则z=（）A．9 B．3﹣6i C．﹣6i D．9﹣6i2．函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（）A．3 B．2 C．1 D．03．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．904．在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价5x yy=﹣3.2x+a，则a=（）A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．405．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好6．设（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x6则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（）A．665 B．729 C．728 D．637．若x=2是函数f（x）=x（x﹣m）2的极大值点，则m的值为（）A．3 B．6 C．2或6 D．28．由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积（）A．21 B．16 C．20 D．189．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）A．B．C．D．10．对于R上的可导函数f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（a）+f（b）＜2f（1）B．f（a）+f（b）≤2f（1）C．f（a）+f（b）≥2f（1）D．f（a）+f（b）＞2f（1）11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×2201412．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）=．14．已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是．15．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．16．观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时，=（最后结果用m，n表示）三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知（+）n展开式中的倒数第三项的系数为45．求：（1）含x5的项；（2）系数最大的项．18．已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．19．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．20．已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．21．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．22．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足z+3i﹣3=6﹣3i，则z=（）A．9 B．3﹣6i C．﹣6i D．9﹣6i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接移向变形得答案．【解答】解：由z+3i﹣3=6﹣3i，得z=6﹣3i+3﹣3i=9﹣6i．故选：D．2．函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】变化的快慢与变化率．【分析】求出在区间（1，2）上的增量△y=f（2）﹣f（1），再利用平均变化率的公式，求出平均变化率．【解答】解：函数f（x）在区间（1，2）上的增量为：△y=f（2）﹣f（1）=2×2+1﹣3=2，所以f（x）在区间（1，2）上的平均变化率为：==2．故选：B．3．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【考点】计数原理的应用．【分析】本题属于排列问题，全排即可．【解答】解：5本不同的数学用书，全排列，故有A55=120种，故选：C4．在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价5x yy=﹣3.2x+a，则a=（）A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40【考点】线性回归方程．【分析】先求出横标和纵标的平均数，根据a=y﹣bx，把所求的平均数和方程中出现的b的值代入，求出a的值，题目中给出公式，只要代入求解即可得到结果．【解答】解：==10，==8，∵y=﹣3.2x+a，∴a=3.2x+y=3.2×10+8=40．故选D．5．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，D正确．故选：B．6．设（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x6则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（）A．665 B．729 C．728 D．63【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6，把x=﹣1，x=0代入已知式子计数可得结果．【解答】解：∵（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=﹣1可得：∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6=（2+1）6=729，x=0时，a0=26=64．∴|a1|+|a2|+…+|a6|=665．故选：A．7．若x=2是函数f（x）=x（x﹣m）2的极大值点，则m的值为（）A．3 B．6 C．2或6 D．2【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可知：求导，f′（2）=0，求得m的值，再分别利用函数极值的判断，求得m的值．【解答】解：f（x）=x（x﹣m）2=x3﹣2mx2+m2x，则f′（x）=3x2﹣4mx+m2，x=2是函数f（x）的极大值点，f′（2）=0，12﹣8m+m2=0，解得m=2或6，当m=2时，f（x）=x（x﹣2）2，f′（x）=3x2﹣8x+4，f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜，f′（x）＜0，解得：＜x＜2，∴f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，），（2，+∞），单调递减区间为：（，2），∴x=是f（x）的极大值，x=2是f（x）的极小值；当m=6时，f（x）=x（x﹣6）2，f′（x）=3x2﹣24x+36，f′（x）＞0，解得：x＞6或x＜2，f′（x）＜0，解得：2＜x＜6，∴f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，2），（6，+∞），单调递减区间为：（2，6），∴x=2是f（x）的极大值，x=6是f（x）的极小值；所以m=6，故答案选：B．8．由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积（）A．21 B．16 C．20 D．18【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先求出曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．【解答】解：由解得曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标为：（2，﹣2），（8，4）选择y为积分变量∴由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积S=（y+4﹣y2）=（y2+4y﹣4=18，y3）|﹣2故选：D．9．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】因为第一次抽出正品，所以剩下的9件中有5件正品，所以第二次也摸到正品的概率是，据此解答即可．【解答】解：设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则事件A和事件B相互独立，在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率为：P（B|A）===．故选：D．10．对于R上的可导函数f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（a）+f（b）＜2f（1）B．f（a）+f（b）≤2f（1）C．f（a）+f（b）≥2f（1）D．f（a）+f（b）＞2f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由不等式，通过分类讨论可以得出f（x）的单调性，即可得出f（a），f（b），f（1）的大小关系．【解答】解：由（x﹣1）f′（x）≥0可以得知，若（x﹣1）f′（x）＞0，则有以下两种情况：①当x＞1时，有f′（x）＞0；②当x＜1时，有f′（x）＜0，∴可以得知当x＞1时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减，∵a＞b＞1，∴f（a）＞f（b）＞f（1）∴f（a）+f（b）＞2f（1），而当（x﹣1）f′（x）=0时，可以得知，f（a）=f（b）=f（1），∴f（a）+f（b）=2f（1），综上，可得f（a）+f（b）≥2f（1），故选：C．11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014【考点】归纳推理．【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：2×2﹣1，第2行的第一个数为：3×20，第3行的第一个数为：4×21，…第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2016行只有M，则M=（1+2016）•22014=2017×22014故选：B．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）=0.8413．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P（ξ＜3），即可求概率．【解答】解：∵随机变量ξ～N（2，1），∴正态曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞3）=0.1587，∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413．故答案为：0.841314．已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．【解答】解：函数f（x）=+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）15．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．【考点】排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足A、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．16．观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时，=n2﹣m2（最后结果用m，n表示）【考点】归纳推理．【分析】通过观察，第一个式子为m=0，n=1．第二个式子为m=2，n=4．第三个式子为m=5，n=8，然后根据结果值和m，n的关系进行归纳得到结论．【解答】解：当m=0，n=1时，为第一个式子+=1，此时1=12﹣0，当m=2，n=4时，为第二个式子+++=12，此时12=42﹣22当m=5，n=8时，为第三个式子+++++=39，此时39，=82﹣52由归纳推理可知，=n2﹣m2．故答案为：n2﹣m2三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知（+）n展开式中的倒数第三项的系数为45．求：（1）含x5的项；（2）系数最大的项．【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）由题意知=45，求得n=10，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得k的值，可得含x3的项．（2）本题即求二项式系数最大的项，利用通项公式求得结果．【解答】解：（1）由题意知=45，∴n=10，T k+1=•，令=5，得k=2．所以含x3的项为T3=•x3=45x3．（2）系数最大的项，即二项式系数最大的项，即T6=•=252•．18．已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．【考点】数列递推式；数学归纳法．【分析】（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测a n的值．（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，成立；②假设n=k时，成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+a k+1+a k+1=2（k+1）+1，a k+1=2﹣，当n=k+1时，成立．故a n=2﹣都成立．【解答】解：（1）当n=1，时S1+a1=2a1=3∴a1=当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5∴a2=，同样令n=3，则可求出a3=∴a1=，a2=，a3=猜测a n=2﹣（2）①由（1）已得当n=1时，成立；②假设n=k时，成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+2a k+1=2（k+1）+1，且a1+a2+…+a k=2k+1﹣a k∴2k+1﹣a k+2a k+1=2（k+1）+1=2k+3，∴2a k+1=2+2﹣，即a k+1=2﹣，即当n=k+1时，成立．根据①②得n∈N+，a n=2﹣都成立．19．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．XE（X）=3×=．20．已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】（Ⅰ）先求导数：f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2），再利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b等式解之，从而问题解决．（Ⅱ）根据题中条件：“函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，”等价于“导函数f′（x）在（﹣1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”，由于导函数是一个二次函数，有两个根，故问题可以转化为到少有一根在区间（﹣1，1）内，先求两根，再由以上关系得到参数的不等式，解出两个不等式的解集，求其并集即可；【解答】解析：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）又，解得b=0，a=﹣3或a=1（Ⅱ）函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，等价于导函数f′（x）[是二次函数]，在（﹣1，1有实数根但无重根．∵f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=（x﹣a）[3x+（a+2）]，令f′（x）=0得两根分别为x=a与x=若a=即a=﹣时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，当两者不相等时即a≠﹣时有a∈（﹣1，1）或者∈（﹣1，1）解得a∈（﹣5，1）且a≠﹣综上得参数a的取值范围是（﹣5，﹣）∪（﹣，1）21．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ服从超几何分布，即可得到ξ的分布列、数学期望以及方差．【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得（2）因为K2=，即K2==，所以K2≈8.333又P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，所以，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，则Eξ=1×+2×+3×=0.9，Dξ=×（0﹣0.9）2+×（1﹣0.9）2+×（2﹣0.9）2+×（3﹣0.9）2=0.4922．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（2）利用（1）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．【解答】解：（1）因为，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．又，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．所以g（x）的最大值为g（e）=，所以，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．（3）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则，①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．②当0时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．所以f，满足条件．③当时，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．2016年8月2日。
2017-2018学年河南省创新发展联盟高二下学期期末考试理数试题
2017～2018年度河南创新发展联盟高二期末考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|13}A x x =-<，集合2{|log (2)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．{|24}x x -<≤B ．{|24}x x -<<C ．{|24}x x <<D ．{|34}x x -≤≤ 2.已知复数z 满足方程2iz ai =+，复数z 的实部与虚部和为1，则实数a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.已知等差数列{}n a 中，11a =，358a a +=，则237a a a ++=（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4.已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a =，2b =，则32a b -=（ ）A ．13B ．11 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π+B ．203π+C ．82π+D ．243π+6.电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到6组数据11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，44(,)x y ，55(,)x y ，66(,)x y .根据收集到的数据可知10x =，由最小二乘法求得回归直线方程为 1.3 5.2y x =+，则123456y y y y y y +++++=（ ）A ．50.5B ．45.5C ．100.2D ．109.27.执行如图所示的程序框图，当输出S 的值为6-时，则输入的0S =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108.若变量x ，y 满足约束条件211y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1x y x ++的取值范围是（ ）A ．11[,]22- B ．13[,]22C ．11(,][,)22-∞-+∞D ．13(,][,)22-∞+∞9.已知二项式8(8ax +的展开式的第二项的系数为333a x dx -=⎰（ ）A ．60-B ．73 C ．60-或73 D ．30或103- 10.已知函数()f x 的定义域为R ，且函数(2)3sin y f x x =+的图象关于y 轴对称，函数(2)3cos y f x x =+的图象关于原点对称，则()3f π=（ ）A ．BC11.已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>过2)A ，(2)B -两点，点P 为该双曲线上除点A ，B 外的任意一点，直线PA ，PB 斜率之积为4，则双曲线的方程是（ ）A ．22134x y -=B ．22148x y -=C ．22136x y -=D ．221520x y -=12.已知函数()ln 2sin f x x a x =-在区间[,]64ππ上是单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(,π-∞ B ．(-∞ C ．(-∞ D ．)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知直线32170x y -+=与直线230x my --=互相垂直，则m = ．14.已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率是 ． 15.若0x >，0y >，且224log 3log 9log 81x y+=，则213x y+的最小值为 ．16.已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面ABC ，AC =1BC =，cos ACB ACB ∠=∠，2AD =，则球O 的表面积为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数22()cos sin cos f x x x x x =-+()x R ∈.（1）求()3f π的值；（2）将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在3[,]68ππ上的最大值和最小值.18.某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中女性中对该事件关注的占2，而男性有10人表示对该事件没有关注.（1）根据以上数据补全22⨯列联表；（2）能否有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？（3）已知在被调查的女性中有10名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这10名女大学生中随机抽取3人，求至少有2人对此事关注的概率. 附表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，已知AC EC ⊥，2AB AF BC ===，4AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，90DAF ∠=︒.（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ； （2）求直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值.20.已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于x 轴的焦点弦的弦长为过1F 的直线l 交椭圆M 于G ，H 两点，且2GHF ∆的周长为（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线1l ，2l 互相垂直，直线1l 过1F 且与椭圆M 交于点A ，B 两点，直线2l 过2F 且与椭圆M 交于C ，D 两点.求11AB CD+的值. 21.已知函数()ln xf x ax x=-. （1）当0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(2,)+∞上是减函数，求a 的最小值； （3）证明：当0x >时，213ln 4x x e x>-. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为3x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求C 的直角坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(3,0)P ，求PA PB +的值. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()42f x x x =++-的最小值为n . （1）求n 的值；（2）若不等式4x a x n -++≥恒成立，求a 的取值范围.2017～2018年度河南创新发展联盟高二期末考试数学参考答案（理科）一、选择题1-5: CDCCA 6-10: DBBAA 11、12：DA二、填空题13. 32-14. 28π三、解答题17.解：（1）22()cos sin cos f x x x x x =-+cos 22x x =+2sin(2)6x π=+，则2()2sin()1336f πππ=+=.（2）函数()f x 平移后得到的函数()2sin(2)6g x x π=-，由题可知3[,]68x ππ∈，72[,]6612x πππ-∈. 当266x ππ-=即6x π=时，()g x 取最小值1， 当262x ππ-=即3x π=时，()g x 取最大值2.18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表（2）根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2100(45151030)55457525k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1003.030 2.70633=≈>.所以有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”.（3）抽取的3人中至少有2人对此事关注的概率为32166431023C C C C +=. 所以，至少有2人对此事关注的概率为23. 19.（1）证明：取AD 的中点M ，连接CM ，2AB AF BC ===，//BC AM ， 由四边形ABCM 为平行四边形，可知12CM AD =，在ACD ∆中，有90ACD ∠=︒，∴AC DC ⊥.又AC EC ⊥，DCEC C =，∴AC ⊥平面CDE ，∵ED ⊂平面CDE ，∴DE AC ⊥. 又DE AD ⊥，ADDE D =，∴DE ⊥平面ABCD .∵DE ⊂平面ADEF ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF .（2）解：由（1）知平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图，取AD 的中点为O ，建立空间直角坐标系，B，(C -，(2,4,0)E -，(2,0,0)A ，(3,0,CA =，(4,4,0)AE =-，(3,4,BE =-.设平面CAE 的法向量(,,)n x y z =，则00CA n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30440x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令1x =，得(1,1,3)n =.故直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值sin ,BE n BE n BE n⋅<>===20.解：（1）将x c =代入22221x y a b +=，得2b y a=，所以22b a =. 因为2GHF ∆的周长为4a =，a =将a =22b a =24b =， 所以椭圆M 的方程为22184x y +=. （2）（i ）当直线AB 、直线CD 的斜率存在且不为0时， 设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1(2)y x k=--. 由22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(21)8880k x k x k +++-=.由韦达定理得2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+，所以，AB ==.同理可得221)2k CD k +=+. 211AB CD +=2=. （ii ）当直线AB的斜率不存在时，AB =，CD =，11AB CD +=. （iii ）当直线AB 的斜率为0时，AB =，CD =，118AB CD +=.综上，118AB CD +=. 21.解：函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，（1）函数2ln 1'()(ln )x f x x -=，当0x e <<且1x ≠时，'()0f x <；当x e >时，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，(1,)e ，单调递增区间是(,)e +∞.（2）因()f x 在(2,)+∞上为减函数，故2ln 1'()0(ln )x f x a x -=-≤在(2,)+∞上恒成立.所以当(2,)x ∈+∞时，max '()0f x ≤. 又22ln 111'()()(ln )ln ln x f x a a x x x -=-=-+-2111()ln 24a x =--+-，故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1'()4f x a =-. 所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为14.（3）问题等价于223ln 4x x x x e >-.令2()ln m x x x =，则'()2ln (2ln 1)m x x x x x x =+=+，当12x e -=时，2()ln m x x x =取最小值12e-. 设23()4x x h x e =-，则(2)'()xx x h x e-=-，知()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减.∴max 243()(2)4h x h e ==-， ∵22143314()2442e e e e---=--2223216(38)(2)044e e e e e e ---+==>， ∴minmax ()()m x h x >，∴223ln 4x x x x e >-，故当0x >时，231ln 04x x x e+->. 22.解：（1）由2sin 4cos ρθθ=，得22sin 4cos ρθρθ=， 即曲线C 的直角坐标方程为24y x =.l 的直角坐标方程y =-.（2）将直线l的参数方程化为标准形式132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入24y x =，并整理得238480t t --=，1216t t =-，1283t t +=.所以12PA PB t t +=-==. 23.解：（1）22,2()426,4222,4x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪--<-⎩，所以最小值为6，即6n =.（2）由（1）知6n =，46x a x -++≥恒成立， 由于4()(4)4x a x x a x a -++≥--+=+， 等号当且仅当()(4)0x a x -+≤时成立， 故46a +≥，解得2a ≥或10a ≤-. 所以a 的取值范围为(,10][2,)-∞-+∞.。
河南省创新发展联盟2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
河南省创新发展联盟2018-2019学年下学期期末考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|13}A x x =-<，集合2{|log (2)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．{|24}x x -<≤B ．{|24}x x -<<C ．{|24}x x <<D ．{|34}x x -≤≤ 2.已知复数z 满足方程2iz ai =+，复数z 的实部与虚部和为1，则实数a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.已知等差数列{}n a 中，11a =，358a a +=，则237a a a ++=（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4.已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a =，2b =，则32a b -=（ ）A ．13B ．11 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π+B ．203π+C ．82π+D ．243π+6.电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到6组数据11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，44(,)x y ，55(,)x y ，66(,)x y .根据收集到的数据可知10x =，由最小二乘法求得回归直线方程为 1.3 5.2y x =+，则123456y y y y y y +++++=（ ）A ．50.5B ．45.5C ．100.2D ．109.27.执行如图所示的程序框图，当输出S 的值为6-时，则输入的0S =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108.若变量x ，y 满足约束条件211y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1x y x ++的取值范围是（ ）A ．11[,]22- B ．13[,]22C ．11(,][,)22-∞-+∞D ．13(,][,)22-∞+∞9.已知二项式8(8ax +的展开式的第二项的系数为333a x dx -=⎰（ ）A ．60-B ．73 C ．60-或73 D ．30或103- 10.已知函数()f x 的定义域为R ，且函数(2)3sin y f x x =+的图象关于y 轴对称，函数(2)3cos y f x x =+的图象关于原点对称，则()3f π=（ ）A ．BC11.已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>过2)A ，(2)B -两点，点P 为该双曲线上除点A ，B 外的任意一点，直线PA ，PB 斜率之积为4，则双曲线的方程是（ ）A ．22134x y -=B ．22148x y -=C ．22136x y -=D ．221520x y -=12.已知函数()ln 2sin f x x a x =-在区间[,]64ππ上是单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(,π-∞ B ．(-∞ C ．(-∞ D ．)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知直线32170x y -+=与直线230x my --=互相垂直，则m = ．14.已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率是 ． 15.若0x >，0y >，且224log 3log 9log 81x y+=，则213x y+的最小值为 ．16.已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面ABC ，AC =1BC =，cos ACB ACB ∠=∠，2AD =，则球O 的表面积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数22()cos sin cos f x x x x x =-+()x R ∈.（1）求()3f π的值；（2）将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在3[,]68ππ上的最大值和最小值.18.某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中女性中对该事件关注的占2，而男性有10人表示对该事件没有关注.（1）根据以上数据补全22⨯列联表；（2）能否有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？（3）已知在被调查的女性中有10名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这10名女大学生中随机抽取3人，求至少有2人对此事关注的概率.附表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，已知AC EC ⊥，2AB AF BC ===，4AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，90DAF ∠=︒.（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ； （2）求直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值.20.已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于x 轴的焦点弦的弦长为1F 的直线l 交椭圆M 于G ，H 两点，且2GHF ∆的周长为（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线1l ，2l 互相垂直，直线1l 过1F 且与椭圆M 交于点A ，B 两点，直线2l 过2F 且与椭圆M 交于C ，D 两点.求11AB CD+的值. 21.已知函数()ln xf x ax x=-. （1）当0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(2,)+∞上是减函数，求a 的最小值；（3）证明：当0x >时，213ln 4x x e x >-. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为3x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求C 的直角坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(3,0)P ，求PA PB +的值. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()42f x x x =++-的最小值为n . （1）求n 的值；（2）若不等式4x a x n -++≥恒成立，求a 的取值范围.河南省创新发展联盟2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: CDCCA 6-10: DBBAA 11、12：DA二、填空题 13. 32-14. 28π三、解答题17.解：（1）22()cos sin cos f x x x x x =-+cos 22x x =+2sin(2)6x π=+，则2()2sin()1336f πππ=+=.（2）函数()f x 平移后得到的函数()2sin(2)6g x x π=-，由题可知3[,]68x ππ∈，72[,]6612x πππ-∈. 当266x ππ-=即6x π=时，()g x 取最小值1， 当262x ππ-=即3x π=时，()g x 取最大值2.18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表（2）根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2100(45151030)55457525k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1003.030 2.70633=≈>.所以有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”.（3）抽取的3人中至少有2人对此事关注的概率为32166431023C C C C +=. 所以，至少有2人对此事关注的概率为23. 19.（1）证明：取AD 的中点M ，连接CM ，2AB AF BC ===，//BC AM ， 由四边形ABCM 为平行四边形，可知12CM AD =，在ACD ∆中，有90ACD ∠=︒，∴AC DC ⊥. 又AC EC ⊥，DCEC C =，∴AC ⊥平面CDE ，∵ED ⊂平面CDE ，∴DE AC ⊥. 又DE AD ⊥，ADDE D =，∴DE ⊥平面ABCD .∵DE ⊂平面ADEF ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF .（2）解：由（1）知平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图，取AD 的中点为O ，建立空间直角坐标系，B，(C -，(2,4,0)E -，(2,0,0)A ，(3,0,CA =，(4,4,0)AE =-，(3,4,BE =-.设平面CAE 的法向量(,,)n x y z =，则00CA n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30440x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令1x =，得(1,1,3)n =.故直线BE 与平面EAC 所成角的正弦值sin ,BE n BE n BE n⋅<>===20.解：（1）将x c =代入22221x y a b +=，得2b y a=，所以22b a =. 因为2GHF∆的周长为4a =，a =将a =22b a =24b =， 所以椭圆M 的方程为22184x y +=. （2）（i ）当直线AB 、直线CD 的斜率存在且不为0时， 设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1(2)y x k=--.由22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(21)8880k x k x k +++-=.由韦达定理得2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+，所以，AB =221)21k k +=+.同理可得CD =.211AB CD +=28=. （ii ）当直线AB的斜率不存在时，AB =，CD =，118AB CD +=. （iii ）当直线AB 的斜率为0时，AB =，CD =，118AB CD +=.综上，11AB CD +=21.解：函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，（1）函数2ln 1'()(ln )x f x x -=， 当0x e <<且1x ≠时，'()0f x <；当x e >时，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，(1,)e ，单调递增区间是(,)e +∞.（2）因()f x 在(2,)+∞上为减函数，故2ln 1'()0(ln )x f x a x -=-≤在(2,)+∞上恒成立. 所以当(2,)x ∈+∞时，max '()0f x ≤. 又22ln 111'()()(ln )ln ln x f x a a x x x -=-=-+-2111()ln 24a x =--+-， 故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1'()4f x a =-.所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为14. （3）问题等价于223ln 4x x x x e >-.令2()ln m x x x =，则'()2ln (2ln 1)m x x x x x x =+=+，当12x e -=时，2()ln m x x x =取最小值12e-. 设23()4x x h x e =-，则(2)'()xx x h x e-=-，知()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减. ∴max 243()(2)4h x h e ==-， ∵22143314()2442e e e e ---=--2223216(38)(2)044e e e e e e ---+==>， ∴minmax ()()m x h x >，∴223ln 4x x x x e >-，故当0x >时，231ln 04xx x e +->. 22.解：（1）由2sin 4cos ρθθ=，得22sin 4cos ρθρθ=， 即曲线C 的直角坐标方程为24y x =.l的直角坐标方程y =-.（2）将直线l的参数方程化为标准形式132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入24y x =，并整理得238480t t --=，1216t t =-，1283t t +=.所以123PA PB t t +=-==. 23.解：（1）22,2()426,4222,4x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪--<-⎩，所以最小值为6，即6n =.（2）由（1）知6n =，46x a x -++≥恒成立， 由于4()(4)4x a x x a x a -++≥--+=+， 等号当且仅当()(4)0x a x -+≤时成立， 故46a +≥，解得2a ≥或10a ≤-. 所以a 的取值范围为(,10][2,)-∞-+∞.。
郑州市2017—2018学年下学期期末考试高二理科数学试题及答案
2017 — 2018学年下期期末考试高二数学（理）试题卷注倉事项：本试卷分第I卷（选择题〉和第n卷（非选择题）两部分。
考试时间120分钟，满分150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效・交卷时只交答题卡.第I卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有_项是符合题目要求的S1.已知I是虚数单位,则复数再的共施复数在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C・第三象限 D.第四象限2.在某项测星中，测量结果£〜N（3,/〉Gr>0）,若g在（3,6）内取值的槪率为0. 3,则g 在（0,4-oo）内取值的概率为A. 0.2B. 0.4C. 0.8D. 0. 93.有一段“三段论”推理是这样的，对于可导函数/（x）,如果/（x o） = O,那么工=工。
是函数/X H）的极值点，因为函数了（工）=工3在工=0处的导数值/（0）=0,所以,工=0是函数/（x）=P的极值点.以上推理中A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错谋D.结论正确4•函数y=yx2-lnx的单调递滅区间为A. （-1.1）B. （0,1）C. （l,4-oo）D.（0,4-oo）5•已知具有线性相关关系的五个样本点A】（0,0）,A2（2,2）,A$（3,2）,A4（4,2）,A S（6,4）,用最小二乘法得到回归直线方程小，=屁+「过点的直线方程= +那么下列4个命题中:①m>b9a>“ ②直线1\过点4 丨③dxj —a)2^S(yi — mx, —n)2 ④2 |y r—a|>S | yi — mxi — n\.-W z1 1 *1 s公式*勢字艷高二数学（理）试题卷第1页（共4页）S(X/—x)2 /-I正确命题的个数冇6. 由曲线■直线y=x —2及y 轴所国成的图形的面积为A.罟B.4 C ・乎 D.67. 已知直线，=工+1与曲线y=ln (H —a)相切，则a 的值为' A. 1 B.2 C.-1 D. -2&从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于9. 已知函数/(x) = jx 24-sin(y+x) ,/(x)为于(工〉的导函数，则十GO 的图象是10. 现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同〉，计划将其放在4个车 库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有A. 144 种•B. 108 种C.72 种D. 36 种11 •设 a = sinl,b=2sin 寺,c=3sin 寺,则A. cVaV6B. a<c<bC. aV6VcD. cV6Va12. 已知函数/(工)是定义在R 上的增函数，/■(工)+ 2>//(工)，/(0) = 1,则不尊式 ln[/(x) +2]>ln34-x 的解集为A. (-oo,0)B. (0,+8)C. (-oo.l)D. (l ；4-oo)二、填空题(每题5分，满分20分〉 ■ 13.若将函数 /(x)=x s 表示为 /(x) = a 0 (1(14-x)x + •••+«# (14-x)5 * 其中a,G=0,l,・・・，5)为实数，则a a = •14•一次英语测验由50逍选择题构成，毎逬迪有4个选项，其中有且仅有一个是正确 的，每个选对得3分,选错或不选均不得分，漁分150・某学生选对每一道题的概率均为 0・7,则该生在这次测验中的成绩的期魏超 _________________________ .高二数学(理)试题卷第2页(共4页》A.1个B.2个C.3个D.4个A.B 4第II 卷(非选择■共90分)C D立 一 培 r iffl X 廿msg g ❻ k / 4 J -ar \15. 巳知函数/(工)=虹'+3(怡一1)分一疋+ 1(&>0)在(0,4)上是滅函数，则实数&的取值范围是 _________ •16. _______________________________________ 如图所示，由直线x=a,x=a4-l(a>0) ,y=x 2及《z 轴田 成的曲边梯形的面积介于小矩形和大矩形的面积之间，即/ 仏VGz + 2，类比之，WWN •，缶+*+・・・+舟 VAv++#j+・・・+石当恒成立，则实数A= ____________ ・三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•) 17. (本小题满分10分)设实部为正数的复数z,满足|z|=V5,且复数(l+3i)z 在复平面内对应的点在第一.三 象限的角平分线上. •• < .(I )求复数引… (H )若复数z4-m 2(14-i)-2£+2m-5为纯虚数，求实数m 的值.18. (本小题满分12分) ，I 已知(14-m7T)-(m 是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含工项的 系数为 84.' - ' • - ■(I 〉求加皿的值, . (U)求(l+m7x)-(l-x)的展开式中有理项的系数和.19. (本小题满分12分)已知某公司为郑州园博园生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件 需另投入2. 7万元，设该公司年内共生产该特许商品工千件并全部销售完，每千件的销售收(I )写出年利润w (万元)关于该待许商品工(千件)的函数解析式；(u )年产啟为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大?20. (本小题满分12分)为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索，学校将 高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式入为R(z)万元，且K(x) =I 。
河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含答案)
2018年春期高中二年级期终质量评估数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21-i（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．1+i B ．1-i C ．1-+i D ．1--i2．已知变量,x y 之间的线性回归方程为0.47.6=-+y x ，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．m 的值等于5C ．变量,x y 之间的相关系数0.4=-rD ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,43．在等差数列{}n a 中，如果,,,∈m n p r *N ，且3++=m n p r ，那么必有3++=m n p r a a a a ，类比该结论，在等比数列{}n b 中，如果,,,∈m n p r *N ，且3++=m n p r ，那么必有（ ）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b b D ．3=m n p r b b b b4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取3个球，所取的3个球颜色不同的概率为（ ）A ．11110513315C C C CB ．3103151-C C C ．2122105105315+C C C C C D ．353151-C C 5．设()~1,1X N ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若()2~,X Nμσ，则()68.26%-<<+=P X μσμσ，()2295.44%-<<+=P X μσμσ）A ．7539B ．6038C ．7028D ．65876．已知03cos 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰m x dx ππ，则()23-+m x y z 的展开式中，2-m x yz 项的系数等于（ ） A ．180 B ．-180 C ．-90 D ．157．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A ．13 B ．25 C ．23 D ．458．设01<<p ，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（ ）A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 9．函数()f x 与它的导函数()'f x 的图象如图所示，则函数()()=xf xg x e 的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,,43⎛⎫-∞⎪⎝⎭C ．40,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,1,4,+∞10．已知函数()33=-+f x x x m ，若方程()0=f x 有两个相异实根12,x x ，且120+<x x ，则实数m 的值等于（ ） A ．-2或2 B ．-2 C ．2 D ．011．若,m n 均为非负整数，在做+m n 的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而+m n 称为有序数对(),m n 的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ） A ．525 B ．1050 C ．432 D ．86412．若直线=+y ax b 与曲线()ln 1=-f x x 相切，则ba的最小值为（ ） A ．21e B ．2-e C ．-e D ．1-e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去A B C 、、三个不同的新节目，且插进的三个新节目按A B C 、、顺序出场，那么共有 种不同的插入方法（用数字作答）．14．观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若11111212312310++++=+++++++m L L ，则=m ．15．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为1-p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是 ． 16．已知函数()2cos sin 2=-f x x x ，则()f x 的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知01<<<a b .（1）试猜想ln +a b 与ln +b a 的大小关系； （2）证明（1）中你的结论.18． 如图所示，在以AB 为直径的半圆周上，有异于,A B 的六个点126,,,C C C L ，直径AB 上有异于,A B 的四个点1234,,,D D D D .则：（1）以这12个点（包括,A B ）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ （2）以这10个点（不包括,A B ）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？19． 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有5人，不超过100km/h 的有15人． （1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关；（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h 的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的数学期望.参考公式：()()()()()22-=++++n ad bc k a b c d a c b d ，其中=+++n a b c d ．参考数据：20． 已知()()()2012211+=+-+-n x a a x a x ()()1++-∈nn a x n L *N .（1）求0a 及12=+++n n S a a a L ；（2）试比较n S 与223-nn 的大小，并用数学归纳法证明.21． 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 22．设∈a R ，函数()()211-=--xf x x e a x .（1）当1=a 时，求()f x 在3,24⎛⎫⎪⎝⎭上的单调区间； （2）设函数()()()11-=+--x g x f x a x e ，当()g x 有两个极值点()1212,<x x x x 时，总有()()211'≤x g x f x λ，求实数λ的值.高二数学试题（理科）参考答案一、选择题1--6 BCDCDB 7--12ADDCBC 二.填空题（每小题5分，共20分） 13. 165 14.2011 15．1,13⎛⎫⎪⎝⎭16.233 三.解答题（共6小题，满分70分）17. 解：（1）猜想ln ln a b b a +>+. ---------3分 （2）令()ln f x x x =-，则'1()1f x x =-，当01x <<时，'1()10f x x=-<， 即函数()f x 在(0,1)上单调递减， ---------7分 又因为01a b <<<，所以()()f a f b >，即ln ln a a b b ->-， --------9分 故ln ln a b b a +>+. ---------10分18.解：(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类： ①四个点从C 1，C 2，…，C 6中取出，有C 64个四边形；②三个点从C 1，C 2，…，C 6中取出，另一个点从D 1，D 2，D 3，D 4，A ，B 中取出，有C 63C 61个四边形；③二个点从C 1，C 2，…，C 6中取出，另外二个点从D 1，D 2，D 3，D 4，A ，B 中取出，有C 62C 62个四边形． 故满足条件的四边形共有N ＝C 64＋C 63C 61＋C 62C 62＝360(个)． ---------6分 (2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为 C 63＋C 61C 42＋C 62C 41＝116(个)． ---------12分 19.解：（Ⅰ）平均车速超过h km /100人数平均车速不超过 h km /100人数 合计 男性驾驶员人数 20 10 30 女性驾驶员人数 5 15 20 合计252550---------3分，所以有%5.99的把握认为平均车速超过h km /100与性别有关. ---------6分（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过h km /100的车辆的概率为1035015=. ---------8分 所以ξ的可能取值为0,1,2,3，且⎪⎭⎫ ⎝⎛1033B ~，ξ， ------10分()9.01033=⨯==np E ξ ---------12分 20.解：⑴令1x =，则03na =， ---------2分令2x =，则4nn ii a==∑，所以143nn n ii a==-∑． ---------5分⑵要比较n S 与223nn -的大小，只要比较4n 与22n 的大小． 猜想：242,n n n N *>∈． ---------6分 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，42>,结论成立．②假设当*()n k k =∈N 时结论成立，即242k k >，则当1n k =+时，12222444422(2)k k k k k k =⨯>⨯=+++，因为*k ∈N ，所以22221k k k +≥+，所以222222(2)2(21)2(1)k k k k k k +≥+=+++ 所以1242(1)k k +>+， 即1n k =+时结论也成立．由①②可知，242n n N n *∈>时，---------11分 所以223,n n S n n N *>-∈ ---------12分21.解：（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X 的分布列为X 200 300 500 P0.2 0.4 0.4---------5分（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑500200≤≤n当500300≤≤n 时，若最高气温不低于25，则n n n Y 246=-=；若最高气温位于区间[20，25），则()n n n Y 21200430023006-=--+⨯=； 若最高气温低于20，则()n n n Y 2800420022006-=--+⨯=因此()()()n n n n Y E 4.06402.028004.0212004.02-=⨯-+⨯-+⨯=---------8分 当300200<≤n 时，若最高气温不低于20，则n n n Y 246=-=，若最高气温低于20，则()n n n Y 2800420022006-=--+⨯=，因此()()()n n n Y E 2.11602.028004.04.02+=⨯-++⨯= ---------11分 所以300=n 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. ---------12分 22.解：（1）当1=a 时，)1()(12--=-x ex x f x，则1122)(----='x x ee x x xf ，令122)(---=x e x x x h ，则122)(---='x e x x h . 易知)(x h '在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43上单调递减，又0121)43(4<-='eh ，所以0)(<'x h 所以)(x h 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43上单调递减，又因为0)1(=h ，所以当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,43x 时，0)(>x h ，从而0)(>'x f ，这时)(x f 单调递增， 当()2,1∈x 时，0)(<x h ，从而0)(<'x f ，这时)(x f 单调递减.所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43上的增区间是 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,43x ，减区间是()2,1∈x ---------4分 (2) 由题可知()xea x x g --=12)(，则()xea x x x g -++-='122)(.根据题意方程022=++-a x x 有两个不等实数根2121x x x x <且、 令0>∆得1->a ，且221=+x x ，所以11<x 由())(112x f x g x '≤λ，其中()a ex x x f x--='-122)(，得()()[]ae x x e a x x x x --≤---11112111222λ.将1211222x x a x x -=-=，代入左式得：()()()[]2111211111222211x x e x x e x x x x -+-≤---λ，整理得()[]01211111≤+---x x e e x λ.即不等式()[]01211111≤+---x x e e x λ对任意()1,1∞-∈x 恒成立. --------8分①当01=x 时，得R ∈λ②当()1,01∈x 时，即121111+≥--x x e e λ令()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=---1112121111111x x x e e e x H ，易知()1x H 是()1,0上的减函数，所以()()1201+=<e e H x H ，所以12+≥e e λ ③当()0,1∞-∈x 时，即121111+≤--x x e e λ.()1x H 在()0,∞-上也是减函数，()()1201+=>e e H x H ,所以12+≤e eλ. 综上所述12+=e eλ --------12分。
河南省顶级名校2017-2018学年高二下学期期末模拟数学(理)试卷
2017-18学年高二年级第二学期期末考试数学试卷（理数）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,0=A ，{}A y A x y x z z B ∈∈+==,,|，则集合B 的子集个数为（ ）A .3B .4C . 7D .82．若322->m x 是41<<-x 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]3,3-B .(][)+∞-∞-,33,C . (][)+∞-∞-,11,D .[]1,1-3．命题“[)+∞-∈∀,2x ，13≥+x ”的否定为( )A .[),,20+∞-∈∃x 130<+xB .[),,20+∞-∈∃x 130≥+xC .[)+∞-∈∀,2x ，13<+xD .()2,-∞-∈∀x ，13≥+x4．已知函数()x f 在()+∞∞-,单调递减，且为奇函数，若()11-=f ，则满足()121≤-≤-x f 的x 的取值范围是( ）A .[]2,2-B .[]1,1-C .[]4,0D .[]3,15．已知函数()xx f 5=，()x ax x g -=2，若()[]11=g f ，则=a ( )A .1B .2C .3D .1-6．已知函数()⎩⎨⎧>+≤+-=2,log 3,2,6x x x x x f a ，()1,0≠>a a 且的值域是[)+∞,4，则实数a 的取值范围是( )A .[]1,1-B .(]2,1C .[]4,0D .[]3,17．已知函数()ax f x x -+=212 是奇函数，则使()3>x f 成立x 的取值范围是 ( )A .()1,-∞-B .()0,1-C . ()1,0D .()+∞,18．若0>>b a ，10<<c ，则 ( )A .c c b a log log <B .b a c c log log <C .c c b a <D .a b c c >9．已知函数()12-=-mx x f 为偶函数，记()3log 5.0f a = ，()5log 2f b = ，()m f c 2=，则c b a ,,的大小关系为 ( )A .c b a <<B .b c a <<C . b a c <<D .a c b <<10．已知函数()34213123-+-=x mx x x f 在区间[]2,1上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]5,4B .[]4,2C . (][)+∞-∞-,11,D .(]4,∞-11．已知函数()|1|23,0,21,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩若关于x 的方程()[]()()012=--+a x f a x f 有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A .()1,2-B .[]4,2C . ()1,2--D .(]4,∞-12. 已知函数()a x x f ++-=13，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e ex ,1 与()x x g ln 3=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A .[]4,03-e B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21,03e C . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+4,2133e eD .[)+∞-,43e第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知函数()()2'11f x f x x =++，则()=⎰1dx x f .14．函数()()x x f cos sin lg =的定义域为_______________． 15．若()02222222≥++---xx xx a 在区间[]2,1上恒成立，则实数a 的取值范围是 ______．16．设()'f x 是奇函数()x f 的导函数，()02=-f ，当0>x 时，()()'0xf x f x ->，则使()0>x f 成立的x 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且ab c b a 3222+=+.（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形,且1=c ,求b a -3的取值范围. 18．(本小题满分12分)从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布2(,)N μσ；其中μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2S ，经计算得222.37S =，利用正态分布，求(27.43)P z ≥． 19.(本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB AC =，1AA AB =，0160=∠BAA（1）证明：C A AB 1⊥；（2）若平面⊥ABC 平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值．20. (本小题满分12分)已知三点()1,2-A ，()1,2B ，()0,0O ，曲线C 上任意一点()y x M ,满足||()2M A M B O M O A O B +=++． （1） 求C 的方程；（2） 动点()00,y x Q ()220<<-x 在曲线C 上，l 是曲线C 在Q 处的切线．问：是否存在定点()t P ,0()0<t 使得l 与PB PA ,都相交，交点分别为E D ,，且ABQ ∆与PDE ∆的面积之比为常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分）已知函数()x x f ln =，()x e x g =．（1）求函数()x x f y -=的单调区间；（2）求证：函数()x f y =和()x g y =在公共定义域内，()()2>-x f x g 恒成立； （3）若存在两个不同的实数1x ，2x ，满足()()a x x f x x f ==2211，求证：1221>e xx ．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
河南省郑州市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案
2017-2018学年下期期末考试 高二数学（理）试题卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.在某项测量中，测量结果2(3,)(0)N ξσσ>，若ξ在(3,6)内取值的概率为0.3，则ξ在(0,)+∞内取值的概率为（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.8D ．0.9 3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0'()0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值'(0)0f =，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 4.函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(1,1)- B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(0,)+∞ 5.已知具有线性相关关系的五个样本点1(0,0)A ，2(2,2)A ，3(3,2)A ，4(4,2)A ，5(6,4)A ，用最小二乘法得到回归直线方程1l ：y bx a =+，过点1A ，2A 的直线方程2l ：y mx n =+，那么下列4个命题中：①m b >，a n >；②直线1l 过点3A ；③552211()()iiiii i y bx a y mx n ==--≥--∑∑；④5511iiiii i y bx a y mx n ==--≥--∑∑.（参考公式1221n i ii nii x y nx y b xnx==-=-∑∑121()()()niii nii x x y y x x ==--=-∑∑，a y bx =-）正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 7.已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-8.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A 等于 A ．18 B ．14 C ．25 D ．129.已知函数21()sin 42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 10.现有4种不同品牌的小车各2辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆），则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ） A ．144种 B ．108种 C ．72种 D ．36种 11.设sin1a =，12sin2b =，13sin 3c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．a b c << D ．c b a << 12.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()2'()f x f x +>，(0)1f =，则不等式ln[()2]ln 3f x x +>+的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13.若将函数5()f x x =表示为2012()(1)(1)f x a a x a x =++++55(1)a x +⋅⋅⋅++，其中(0,1,,5)i a i =⋅⋅⋅为实数，则3a = ．14.一次英语测验由50道选择题构成，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7，则该生在这次测验中的成绩的期望是 ．15.已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>在(0,4)上是减函数，则实数k 的取值范围是 ．16.如图所示，由直线x a =，1(0)x a a =+>，2y x =及x 轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形和大矩形的面积之间，即1222(1)a aa x dx a +<<+⎰，类比之，*n N ∀∈，111122A n n n ++⋅⋅⋅+<++111121n n n <++⋅⋅⋅++-恒成立，则实数A = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设实部为正数的复数z ，满足z =且复数(13)i z +在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. （1）求复数z ；（2）若复数2(1)225z m i i m ++-+-为纯虚数，求实数m 的值.18.已知(1n+（m 是正实数）的展开式的二项式系数之和为128，展开式中含x 项的系数为84.（1）求m ，n 的值；（2）求(1(1)nx +-的展开式中有理项的系数和.19.已知某公司为郑州园博园生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该特许商品x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩.（1）写出年利润W （万元）关于该特许商品x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大？20.为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索，学校将高一年级部分生情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50,100]，按照区间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀.2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（1）完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；从中选三位同学发言，记自[80,90)发言的人数为随机变量x ，求x 的分布列和期望.21.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2222n n n na a S a -+=，且0n a >，*n N ∈.（1）求1a ，2a ，3a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22.已知函数()ln()f x ax bx =+在点(1,(1))f 处的切线是0y =. （1）求函数()f x 的极值；（2）当21()(0)x mx ef x x m e e-≥+<恒成立时，求实数m 的取值范围（e 为自然对数的底数）.。
2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题word版含答案
2017-2018学年下学期期末试卷高二理科数学一．选择题（5×12=60分） 1.若1115211+-=n n C C ，则=n （）A. 5B. 6C. 5或2D. 5或62．设随机变量X 的概率分布列如右表，则(|3|1)P X -==（ ）A.712 B.512 C.14 D.16 3.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，4分钟就开始办理业务的概率为（ ）A ．0.22B ．0.24C ．0.30D ．0.314．已知随机变量ξ～B(100,0.2)，那么D(4ξ＋3)的值为( ) A ．64 B ．256 C ．259 D ．3205.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( ) A.1 B.2C.3D.46.5名成人带两个小孩排队上山,小孩不排在一起也不排在头尾,则不同的排法种数有( ) A.A 55·A 24种B.A 55·A 25种C.A 55·A 26种D.A 77－4A 66种7.设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程2xm x n ++=有实根的概率为（ ）A ．1136B ．736 C ． 711 D ．7108．我们知道，“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在}6,5,4,3,2,1{中选一个数，甲选的数记为a ，乙选的数记为b ，若1||≤-b a ，则称甲乙两人“心有灵犀”，由此可得甲乙两人“心有灵犀”的概率是（ ）A. 91B. 92C. 31D. 949.某班周四上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、英语、物理、体育、音乐6门课，若要求体育不排在上午第一、二节，并且体育课与音乐课不相邻，（上午第四节与下午第一节理解为相邻），则不同的排法总数为（ ） A.312 B.288 C.480 D.45610．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有( ) A.30种 B.36种 C.42种 D.48种11.用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）A ．24种B ．48种C ．64种D ．72种 12．（x+﹣2）5展开式中常数项为（ ）A ．-252B ．252C ．160D ．﹣160 二．填空题（4×5=20分）13．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X ，则X 的期望E （X ）= ． 14.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤,则(0)P ξ=≤ .15．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是 ．16.已知n 为正整数，在二项式122nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79.则n 的值为 ，展开式中第 项的系数最大.三解答题（第17题10分，18-22每题各12分） 17.已知5756n nA C =，且()23012312nnn x a a x a x a x a x-=++++⋯+．（Ⅰ）求n 的值； （Ⅱ）求123na a a a +++⋯+的值．18.(1,3班)已知函数()2fx m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]33-，．（Ⅰ）解不等式：()()20fx fx ++>；（Ⅱ）若a b c ，，均为正实数，且满足a b c m ++=，求证：2223bcaabc++≥．18（2,4班）4.已知在1n⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数．19.（1, 3班）已知0,0,a b >>且2922=+ba，若m b a ≤+恒成立，（1）求m 的最小值；（2）若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，求实数x 的取值范围.19.(2，4班)某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影。
高二第二学期期末考试数学试题理科2.doc
2017-2018 学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 设全集U是实数集R ,集合M x x 2或x 2 , N x x2 4x 3 0 ,则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{ x | 2 x 1}B ．{ x | 2 x 2}C．{ x |1 x 2} D．{ x | x 2}2.下面是关于复数z 1 3i的四个命题：其中的真命题为（）1 i①在复平面内，复数z 对应的点位于第二象限②复数 z 的虚部是-2③复数 z 是纯虚数④ z 5A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④1 0.2 13．设 a log 1 3 , b , c 23,则（）32A ．B．C．D．4．已知向量a＝ (1，－cos )，b＝ (1， 2 cos )且a⊥b，则cos2 等于 ()1 2A ．－ 1B ． 0 C. 2 D. 25. 在ABC 中，角A、Ｂ、Ｃ所对的边分别是 a 、 b 、 c ，若a32B ，则 cosB 等于（）b ，A2A．3 3 3Ｄ．3 3B．Ｃ．64 56．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18B.24C.30D.367.若下框图所给的程序运行结果为S=35 ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A. k7B.k 6C.k 6D.k 68. 若某几何体的三视图 (单位： cm )如图所示，则该几何体的体积等于 ()A. 10cm 3B. 20cm 3C. 30cm 3D. 40cm 39.下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若 am2bm 2 ，则 a b”的逆命题是真命题B ．命题“存在 xR, x 2 x 0 ”的否定是： “任意 x R, x 2x 0 ”C ．命题“ p 或 q ”为真命题，则命题“ p”和命题“q”均为真命题D ．“ b 0”是“函数 f ( x) ax 2bx c 是偶函数”的充分不必要条件10 ．右图是函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)( A 0，0， | |)图像的一部分．为了得到2这个函数的图像，只要将 y ＝ sin x(x ∈R)的图像上所有的点 ( ) A . 向左平移 π1，纵坐标不变 .3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2B . 向左平移 π2 倍，纵坐标不变 .3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的C . 向左平移 π16 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变 .D . 向左平移 π2 倍，纵坐标不变 .6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的4 35正视图侧视图3俯视图11.已知定义在 R 上的函数 y fx 对任意 x 都满足 fx 1f x ，且当 0x 1时， fx x ，则函数g xf xln | x | 的零点个数为 ( )A ． 2B． 3C.4D．512. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足： f ( x) f ( x) 1, f (0)4,则不等式 e x f ( x) e x3 （其中 e 为自然对数的底数）的解集为（）A. 0,B.,03,C.,00,D. 3,二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .13.函数 yf (x) 的定义域为 ( ， 1] ，则函数 y f [log 2 (x 2 2)] 的定义域是 ________14. 已知 a(sin t cost)dt ，则 ( x1 )6的展开式中的常数项为.ax15. 函数 f (x) 1 log a x ( a 0, a 1) 的图像恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ny 2 0上，其中 mn 0,则11 得最小值为 .m n16．已知函数 fxln x, x 0若方程 f x ax 有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是．2x 1,x 0三、解答题：共70 分 .解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第 17~21 题为必做题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答.17. （本小题共12 分）设数列{ a n }的前 n项和为 S n ,a1 10, a n n11 n 1099 ，a 9S 9n（ 1）求证：a n 1 是等比数列；(2) 若数列b n 满足 b n1n N ,lg a n 1lg a n 1 1求数列b n 的前 n 项和 T n；C118. （本小题满分12 分）如图，三棱柱ABC A1 B1C1中，侧棱 AA1 A1平面 ABC ，ABC 为等腰直角三角形，BAC 90 ，且EAB AA1 , E, F 分别是 CC1 , BC 的中点.（Ⅰ）求证： B1 F 平面 AEF ； C（Ⅱ）求锐二面角B1 AE F 的余弦值. F 19.某高校在 2017 年的自主招生考试成绩中随机抽取n 名学生的笔试 A成绩（被抽取学生的成绩均不低于 160 分,且不高于 185 分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示. （ 1）请先求出 n 、 a 、b、 c 的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；（ 2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、 4、 5 组中用分层抽样抽取第二轮面试，求第3、 4、 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（ 3）在（ 2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试，第 4 组中有ξ名学生被考官 A 面试，求ξ的分布列和数学期望 .组号分组频数频率频率/组距第 1 组160,165 5 0.050 0.080.07B1B6名学生进入第 2 组165,170a b 0.060.05第 3 组170,175 30 c第 4 组175,180 20 0.200 第 5 组[180,185] 10 0.100 0.040.030.020.01O160 165 170 175 180 185成绩20.（本小题共 12 分）已知椭圆x2 y21(a b 0) 的一个焦点F 与抛物线 y2 4x 的焦点重合，且截a2 b2抛物线的准线所得弦长为 2 ，倾斜角为45 的直线 l 过点F.（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为F1，问抛物线 y2 4x 上是否存在一点M ，使得 M 与 F1关于直线l对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由.21. （本小题共12 分）已知函数 f ( x) e x 1 x （Ⅰ）求 y f ( x) 在点1, f (1) 处的切线方程；（Ⅱ）若存在x0 1,ln 4，满足 a e x 1 x成立，求 a 的取值范围；3（Ⅲ）当 x 0 时， f (x) tx2 恒成立，求t 的取值范围.选考题：请考生在第22、 23 题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号．22． (本小题满分10 分)选修 4— 4：极坐标系与参数方程．x 2 3 t在直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为 5 为参数．曲线 2 x 2 y 2 4 y 0 ，以坐标xoy (t ) C :y 2 4 t5原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P 的极坐标为 ( 2 2,4)．(I)求曲线 C2的极坐标方程；(Ⅱ )若 C1与 C2相交于M 、 N 两点，求1 1PM 的值 .PN23． (本小题满分10 分)选修 4— 5：不等式选讲已知 f x 2x m m R ．(I) 当m=0 时，求不等式 f x x 2 5 的解集；(Ⅱ )对于任意实数x ，不等式2x 2 f x m2成立，求 m 的取值范围．2017-2018 学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .CCABBCDBBA BA二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .13.2,22， 214.5 15. 216（. 0, 1）2e三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第 17~21 题为必做题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 .17.（本小题共 12 分）解：（ 1）依题意， a 299 ，故a 21 10 ，a 11当 n 2时， a n9S n 1 9n①又 a n 1 9S n 9n 9②②－①整理得： a n 1110 ，故 a n1 是等比数列，a n 1（ 2）由（ 1）知，且 a n 1a 1 1 q n 110n ，lg a n 1 n ， lg a n 1b n111 lg a n11n( n 1)lg a nT n11112 23 34n n 1111 1 1 1 111n n N2 23 34nn 1n118. （本小题满分 12 分）（Ⅰ）连结AF ，∵ F 是等腰直角三角形ABC 斜边 BC 的中点，∴C 1AF BC .又三棱柱 ABCA 1B 1C 1 为直三棱柱，E∴面 ABC 面 BB 1C 1C ，∴ AF面 BB 1C 1C ， AF B 1F .C设 ABAA 1 1 ，则 B 1F6, EF3, B 1E 3 .2221n 1B 1A 1BFA∴ B 1F 2 EF 2 B 1 E 2 ，∴ B 1F EF .又 AF EFF ，∴ B 1 F 平面 AEF .（Ⅱ）以 F 为坐标原点， FA , FB 分别为 x, y 轴建立直角坐标系如图，设 AB AA 1 1 ，则 F (0,0,0), A(2,0,0), B 1(0,2,1), E(0,2 , 1) ， z222 22 2 1 2 2 C 1B 1,1) .AE (, , ) ， AB 1(,22 222A 1由（Ⅰ）知， B 1 F 平面 AEF ，E∴可取平面 AEF 的法向量 mFB 1 (0, 2,1) .B2 CF 设平面 B 1 AE 的法向量为 n ( x, y, z) ，yAx由n AE 0,n AB 1∴可取 n (3, 1,2 2) .设锐二面角 B 1AE F 的大小为，m n0 32 ( 1) 1 2 2 6 则 cos| cos m, n |2.| m || n |2 ) 2 12602(32( 1)2(2 2)22∴所求锐二面角 B 1 AE F 的余弦值为6 .619.（本小题共 12 分）【解】：（ 1）由第 1 组的数据可得 n5 100 ，第 2 组的频率 b = 0.07 5 0.350，0.050第 2 组的频数为 a =100 0.07 535人 ,第 3 组的频率为 c =300.300 ,100频率分布直方图如右:（ 2）因为第 3、 4、5 组共有 60 名学生 , 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学 为 :第 3 组 :306 3 人 , 6 分60第 4 组 :2062 人 , 7 分60频率/组距0.080.07 0.06 0.05 0.040.03生 , 每 组 分 别0.020.01O160 165 170 175 180 185成绩第 5 组 :106 1人 ,8 分60所以第 3、4、 5 组分别抽取 3 人、 2 人、 1 人 .（ 3）由题意知变量ξ的可能取值是0， 1， 2该变量符合超几何分布，∴∴分布列是ξ0 1 2P∴20. （本小题共 12 分）解：（Ⅰ）抛物线y2 4x 的焦点为 F (1,0) ，准线方程为x 1，∴ a 2 b2 1 ①又椭圆截抛物线的准线x 1所得弦长为 2 ，1 1∴得上交点为 ( 1,2 2 1②) ，∴2b22 a由①代入②得 2b4 b2 1 0 ，解得 b 2 1 或 b2 1 （舍去），2从而 a 2 b2 1 2∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为x2 y22 11（Ⅱ）∵倾斜角为 45 的直线 l 过点 F ，∴直线 l 的方程为 y tan 45 ( x 1) ，即 y x 1 ，由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为F1 ( 1,0) ，设M (x0, y0)与 F1关于直线 l 对称，则得y0 01 1x0 1x0 1，即 M (1, 2) ，，解得y0 0 x0 ( 1)1 y0 22 2又 M (1, 2) 满足 y2 4x ，故点M在抛物线上.所以抛物线 y 2 4x 上存在一点 M (1, 2) ，使得M与F1关于直线 l 对称.21.（本小题共 12 分）解： ( Ⅰ ) f x e x 1 f 1 e 2f x 在 1, f 1 处的切线方程为：y e 2 e 1 x 1即 y e 1 x 1( Ⅱ ) a e x 1 x 即 a f x 令 f x e x 1 0 x 0x 0 时， f x 0 ， x 0 时， f x 0 f x 在,0 上减，在0, 上增又 x0 1,ln 4时， f x 的最大值在区间端点处取到 . 3f 1 e 1 1 1 1 f ln 4 41 ln4e 3 3 3f 1 f4 1 414 1 1 4 lne 3lne 3ln03 3 3f 1 f ln 4 f x 在1,ln 4 上最大值为1 ，3 3 e故 a 的取值范围是： a <1e.（Ⅲ）由已知得 x 0, 时e x x 1 tx2 0 恒成立，设 g x e x x 1 tx2 . g ' x e x 1 2tx.由 ( Ⅱ ) 知e x 1 x ，当且仅当 x 0 时等号成立，故 g ' x x 2tx 1 2t x, 从而当1 2t 0,即 t 10 x 0 ，g x 为增函数，又 g 0 0,时， g ' x2于是当 x 0 时， g x 0, 即 f ( x) 2 , t 1tx 时符合题意。