倍半角模型解题策略(一)
半角模型十五个结论及证明
半角模型十五个结论及证明《探索半角模型的十五个结论及证明》嗨，大家好！今天我要和大家一起探索一个超有趣的数学知识——半角模型的十五个结论及证明。
这就像是一场奇妙的数学冒险，跟我来呀！一、什么是半角模型呢？半角模型呀，就像是一个神秘的数学宝藏，藏在各种几何图形里。
想象一下，我们有一个正方形或者等腰直角三角形，然后在这个图形里出现了一个角，这个角是另外一个大角的一半，这就形成了半角模型。
比如说，在正方形里，一个角是45度，它就是直角90度的一半呢。
这时候啊，就会有好多神奇的结论冒出来。
二、结论一：线段相等我给大家举个例子哈。
在正方形ABCD中，∠EAF = 45度（E、F分别在BC、CD 上）。
我们能发现BE + DF = EF。
这是为啥呢？我们可以把△ADF绕着点A顺时针旋转90度，这样AD就和AB重合了。
旋转后的点F变成了F'。
那这个时候呀，我们就会发现△AEF和△AEF'是全等的。
为啥呢？因为AF = AF'，∠EAF = ∠EAF' = 45度，AE是公共边啊。
就像两个一模一样的小积木，那EF就等于EF'了，而EF'就是BE + DF呀。
你们说神奇不神奇？这就好比是把分散的力量集中起来了，原本分开的BE和DF，通过旋转这个魔法，就变成了和EF相等的线段。
三、结论二：三角形面积关系还有一个有趣的结论呢。
三角形AEF的面积等于三角形ABE的面积加上三角形ADF的面积。
这又怎么理解呢？我们刚刚把△ADF旋转到了△ABF'的位置。
那三角形AEF的面积就等于三角形AEF'的面积啦。
而三角形AEF'的面积就是三角形ABE的面积加上三角形ABF'（也就是原来的三角形ADF）的面积。
这就好像是把两个小地块合并起来就等于一个大地块的面积一样。
四、结论三：角平分线如果我们延长CB到G，使得BG = DF，连接AG。
我们会发现AG是∠EAG的角平分线呢。
2025年中考数学总复习第二部分重难专题突破专题5“倍半角”模型解决旋转变换问题
∠BAD＝∠EAF.∴ ∠EAG＝∠EAF.又∵ AE＝AE，∴
△AEG≌△AEF.∴ EG＝EF.∵ EG＝BE＋BG，∴ EF
＝BE＋DF.
（3） 如图③，在四边形ABCD中，AD＝AB，∠ABC与∠D互补，点E，
1
F分别在射线CB，DC上，且∠EAF＝ ∠BAD.当BC＝4，CD＝7，CF＝1
的半角模型是90°含45°，120°含60°.
（1） 如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且
∠EDF＝45°，探究线段EF，AE，FC之间的数量关系.
小明的探究思路如下：如图①，延长BC到点M，使CM＝AE，连接
DM，先证明△ADE≌△CDM，再证明△DEF≌△DMF.小亮发现
2
时，△CEF的周长为 13 .
解：（3）解析：如图②，在DF上截取DM＝BE，连接AM.
∵ ∠ABC与∠D互补，
∴ ∠D＋∠ABC＝∠ABE＋∠ABC＝180°.
∴ ∠D＝∠ABE.∵ AD＝AB，∴ △ADM≌△ABE.
∴ AM＝AE，∠DAM＝∠BAE.
∵ ∠EAF＝∠BAE＋∠BAF＝∠DAM＋∠BAF＝ ∠BAD，
∵ ∠EAF＝ ∠BAD，∴ ∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF
＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.∴ ∠EAF＝∠GAF.
＝，
在△AEF和△AGF中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴ △AEF≌△AGF.∴ EF＝GF.
∵ GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴ EF＝BE＋DF.
解：（2） EF＝BE＋DF.如图①，延长EB到点G，使
BG＝DF，连接AG.∵ ∠ABC＋∠D＝180°，∠ABG＋
全等三角形模型之 - 半角模型
半角模型（一）把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
1、常见的图形正方形，正三角形，等腰直角三角形等。
特点：①大角内部有一小角，且小角角度是大角角度的一般②大角的两边相等，保证旋转之后能够完全重合③大角的两边与其他两边形成的两个角互补，保证旋转之后的两个三角形两边能在同一直线上2、解题思路①将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；②证明与半角形成的三角形全等；③通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。
二、基本模型1、正方形内含半角例题1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。
2、等边三角形内含半角例题2、如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D 是△ABC 外一点，DB = DC 且∠BDC = 120°，∠EDF = 60°，DE ，DF 分别交AB ，AC 于点E , F 。
求证：EF = BE + CF3、等腰直角三角形内含半角例题3、如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，点D ,E 在BC 上，且满足∠DAE = 45°。
求证：DE^2 = BD^2 + CE^2半角模型练习（二）条件：ABCD为正方形，∠MAN=45°，AM 与AN 分别与BC 边和CD 边交与M,N 两点，连接MN.思路：1、旋转辅助线；①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FE=DM ，连AF②将三角形AND 绕点A 顺时针旋转90°，得到三角形ABF 。
注意：旋转需证F,B.M 三点共线结论：MN=BM+DN（2）C 三角形CMN=2AB（3）AM,AN 分别平分∠BMN,∠MND2、翻转（对称）辅助线：①做AP 垂直MN ，交MN 于点P②将三角形AND,三角形ABM 分别沿着AM,AM 翻转，但一定要证明M,P ,N 三点共线如图，正方形ABCD 的边长为2，点EF 分别是在AD ，CD 上，若∠EBF=45°，则三角形EDF 的周长等于多少？例题： 已知，如图1，四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转时一种常用的方法．（1）在图1中，连接EF ，为了证明结论“EF=BE+DF ”，小明将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程； （2）如图2，当∠EAF 的两边分别与CB 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ，试探究线段EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并证明：。
高一数学倍角公式和半角公式知识精讲
高一数学倍角公式和半角公式【本讲主要内容】倍角公式和半角公式（正弦、余弦、正切）【知识掌握】 【知识点精析】1. 倍角公式：二倍角公式sin sin cos ()cos cos sin ()cos sin tan tan tan ()222211222122222222αααααααααααααα==-=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪S C T注意：①公式T 2α只有当αππαππ≠+≠+∈k k k Z 242和()才成立； ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它只要两个角有二倍的关系，如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是32α的二倍等等都可以用二倍角公式。
例如：cos cos sin sin cos sin αααααα3663312622=-=， 12242151153022-=-=sin cos tan tan tan αα，°°°③熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）④注意公式的变形应用与逆用。
特别是公式：cos cos sin 2211222ααα=-=-可变形为cos cos sin cos 22122122αααα=+=-，，两式相除得tan cos cos 21212ααα=-+，这样就得到了降幂公式。
降幂公式sin cos cos cos tan cos cos 2221221221212ααααααα=-=+=-+⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪升幂公式cos cos sin cos sin 221122222ααααα=-=-=-⎧⎨⎪⎩⎪2. 半角公式：()()半角公式，，sin cos cos cos tan cos cos sin cos cos sin ααααααααααππαααπααα212212*********=±-⎛⎝ ⎫⎭⎪=±+⎛⎝ ⎫⎭⎪=±-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+≠+∈=-≠∈⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪S C T k k Z k k Z 注意：①应用半角公式时，要特别注意根号前的符号，它是由α2所在象限的三角函数符号确定。
20170103-初稿-段广猛-《用“倍半角模型”解题事半功倍》(1)(2)
用“倍半角模型”解题事半功倍段广猛（江苏省高邮市赞化学校）首先，一个问题如果是确定性的，那么就注定是可解的.其次，因果法是一种重要的思考问题的方式，“由因导果、执果索因”是分析问题、解决问题的重要途径.下面笔者借助平时教学中遇到过的一些问题，通过常规解法及“倍半角”解法，两相对比，让大家体会“倍半角”解题模型的优势.一、“倍半角模型”（一）问题的提出：首先介绍一下，什么是“倍半角模型”？如图1，在Rt△ABC 中，记∠A=β，则tan β=a b （不妨设a<b），当a、b 确定时，tan β及∠β都随之确定，那么2β及2β角也是确定的，从而tan 2β及tan2β的值也是确定的，既然是确定的，注定是可解的，那么如何求解呢？（二）由“倍β”到“半2β”：如图2，延长CA 至D，使AD=AB=c，连结BD，构造出等腰△ABD，则∠D=∠DBA=2β，从而构造出角2β，而且此2β角恰好在Rt△DBC 中，故可求出tan 2β=a b c +.上面这个过程不妨称为“由倍到半”的过程，简单易懂，但结论作用却很大，可以实现已知一个角的三角函数值，轻易求出这个角的一半所对应的三角函数值，从而此半角所在的直角三角形三边之比就可以确定下来，用于计算.（三）由“半β”到“倍2β”：如图3，作斜边AB 的垂直平分线交AC 于点E，连结BE，构造出等腰△ABE，则∠A=∠EBA=β，∠BEC=2β，从而构造出角2β，而且此2β角恰好在Rt△EBC 中，设CE=x，则AE=BE=b-x，在Rt△EBC 中，由勾股定理得222(b x)x a +=-，解之得222b a x b -=，故可求出tan2β=a x =222a b b a-（此公式不需要记忆）.上面这个过程不妨称为“由半到倍”的过程，计算稍显复杂，但结论作用却很大，可以实现已知一个角的三角函数值，轻易求出这个角的2倍所对应的三角函数值，从而此倍角所在的直角三角形三边之比就可以确定下来，用于计算.通过上面两个过程，可以看出，一般情况下，“由倍到半”容易，“由半到倍”稍复杂些，而且都是通过构造等腰三角形得出已知角的“半角”与“倍角”的，操作容易，作用极大.图2图1图3二、“特殊半角”的三角函数值下面通过几个“特殊半角”的三角函数值的求法，初步体验“倍半角模型”的重要作用.（一）15度角如何计算tan15°的值呢？由15°角容易联想到30°角，它们之间存在着“倍半”关系.如图4，先构造一个含30°角的Rt△ABC，设BC=1，CA=3,AB=2.延长CA至D，使AD=AB=2，连结BD，构造出等腰△ABD，则∠D=∠DBA=12∠BAC=15°，从而构造15°角，而且此15°角恰好在Rt△DBC中，故可求出tan15°=BCDC=123+=23-.值得一提的是，既然∠D=15°，那么∠DBC=75°，从而用图4还可以求出tan75°=DCBC=23+.实际上tan15°与tan75°互为倒数关系.另外，既然15°角构造出来了，如果继续同样地操作下去，还可以构造出7.5°角等，这个系列不妨称为“30°系列”，从而其三角函数值均可求，此处不再一一展开.（二）22.5度角同理，如何计算tan22.5°的值呢？由22.5°角容易联想到45°角，它们之间存在着“倍半”关系.如图5，先构造一个含40°角的Rt△ABC，设BC=1，CA=1,AB=2.延长CA至D，使AD=AB=2，连结BD，构造出等腰△ABD，则∠D=∠DBA=12∠BAC=22.5°，从而构造22.5°角，而且此22.5°角恰好在Rt△DBC中，故可求出tan22.5°=BCDC=121+=21-.值得一提的是，既然∠D=22.5°，那么∠DBC=67.5°，从而用图5还可以求出tan67.5°=DCBC=21+.实际上tan22.5°与tan67.5°互为倒数关系.另外，既然22.5°角构造出来了，如果继续同样地操作下去，还可以构造出11.25°角等，这个系列不妨称为“45°系列”，从而其三角函数值均可求，此处不再一一展开.还有一个有趣的角，值得一提，那就是18°角，如何计算sin18°的值呢？由18°角容易联想到36°角，它们之间存在着“倍半”关系.而36°角容易使人联想到“黄金三角形”，即顶角为36°的等腰三角形.如图6，先构造一个顶角为36°的等腰三角形△ABC，由“黄金三角形”的概念容易得出512BCAC-=，可设BC=512-，CA=BA=1.过A作AD图5图4⊥BC 于点D，由“三线合一”易知CD=12BC=514-，且∠CAD=12∠BAC=18°，从而构造18°角，而且此18°角恰好在Rt△CAD 中，故可求出sin18°=DC AC =514-.18°角的三角函数值求法，虽然没用到上述“倍半角模型”，但它们都体现出了数学解题中“联想机制”的重要作用.三、实战分析接下来，我将结合实际教学中遇到过的一些问题，通过常规解法及“倍半角”解法，两相对比，深入体会“倍半角”解题模型的巨大优势.例1.已知1tan 2α=，求tan tan 22αα及的值.简析：本题采用“构图法”结合“倍半角模型”解决，如图7-1，先构造出一个含α角的Rt△ABC，设BC=1，CA=2,AB=5.延长CA 至D，使AD=AB=5，连结BD，构造出等腰△ABD，则∠D=∠DBA=12∠BAC=2α，从而构造2α角，而且此2α角恰好在Rt△DBC 中，故可求出tan 2α=BC DC =1=525+2-.上述过程是“由倍到半”的过程.如图7-2，同理构造出一个含α角的Rt△ABC，设BC=1，CA=2,AB=5.作斜边AB 的垂直平分线交AC 于点E，连结BE，构造出等腰△ABE，则∠A=∠EBA=α，∠BEC=2α，从而构造出角2α，而且此2α角恰好在Rt△EBC 中，设CE=x，则AE=BE=2-x，在Rt△EBC 中，由勾股定理得2221(2x)x +=-，解之得34x =，故可求出tan2α=1x =43.上述过程是“由半到倍”的过程.图7-1图7-2例2.如图8，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA 、PB 于C ，D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD的周长等于3r ，则tan ∠APB的值是.常规解法：要求tan ∠APB 的值，需想办法将∠APB 构造在某一个直角三角形中，如图8-1，连结OA 、OB ，并延长PA 、BO 交于点F ，易知Rt△FAO∽Rt△FBP，且相似比为23FA FO AO FB FP BP ===，设FA=2x ，则FB=3x ，FO=3x-r，FP=2x+1.5r，故由23FO FP =可得：322 1.53x r x r -=+，解之得x=65r ,从而有：tan ∠APB=tan ∠FOA=1221255r FA x AO r r ===.“倍半角”解法：如图8-2，连结OA 、OB 、OP ，易知∠APB=2∠APO ，∠APB 因∠APO 的确定而确定，而且它们之间存在“倍半”关系，要求tan ∠APB 的值，只需要求tan ∠APO的值即可，显然tan ∠APO=23AO AP =，再构造如图8-3所示的“倍半角模型”，重新假设AO=2，AP=3，AQ=x，PQ=OQ=3-x，在Rt△AOQ 中由勾股定理得2222(3x)x +=-，解之得56x =，故可求出tan ∠APB=tan2∠APO=tan ∠AQO=2125AO AQ x ==.图8图8-1图8-2图8-3如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB、AC 都相切，试求⊙O 的半径.26．如图1，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交边BC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，且ED ⊥A C．（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB 、DE 的延长线交于点F ，∠C =75°，CD =2﹣，求⊙O 的半径和BF 的长．图1图17．如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形衣架．已知其中每个菱形的边长为13cm，135cos =∠ABC ，那么衣架两顶点A 、E 之间的距离为cm ．。
半角模型(解析版)--全等三角形的七大模型全攻略
半角模型基本模型：例题精讲1(120°与60°)问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC= 120°，BD=DC．特例探究如图1，当DM=DN时，(1)∠MDB= 度；(2)MN与BM，NC之间的数量关系为 ；归纳证明(3)如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE=BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用(4)△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．【答案】(1)30；(2)MN=BM+NC；(3)MN=BM+NC，证明见解析；(4)2 3【详解】特例探究：解：(1)∵DM=DN，∠MDN=60°，∴△MDN是等边三角形，∴MN=DM=DN，∵∠BDC=120°，BD=DC，∴∠DBC=∠DCB=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DBM=∠DCN=90°，∵BD=CD，DM=DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，∴∠MDB=∠NDC=30°，故答案为：30；(2)由(1)得：DM=2BM，DM=MN，Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，∴BM=CN，∴DM=MN=2BM=BM+NC，即MN=BM+NC；归纳证明(3)解：猜想：MN=BM+NC，证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠MBD=∠NCD=90°．∴∠MBD=∠ECD=90°，又∵BD=CD，BM=CE，∴△DBM≌△DCE(SAS)，∴DM=DE，∠MDB=∠EDC，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠MDB+∠NDC=60°，∴∠EDN=∠NDC+∠EDC=∠MDB+∠NDC=60°，∴∠EDN=∠MDN，又∵DN =DN ，∴△MDN ≌△EDN (SAS )，∴MN =EN =EC +NC =BM +NC ；拓展应用(4)解：由(1)(2)得：MN =BM +NC ，∴△AMN 的周长=AM +MN +AN =AM +BM +NC +AN =AB +AC =2AB ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC =AC ，∴△ABC 的周长=3AB ，∴△AMN 的周长与△ABC 的周长的比为2AB 3AB=23，故答案为：23．2(60°与30°)问题情境：已知，在等边△ABC 中，∠BAC 与∠ACB 的角平分线交于点O ，点M 、N 分别在直线AC ，AB 上，且∠MON =60°，猜想CM 、MN 、AN 三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM 上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB 取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：(1)如图1，M 、N 分别在边AC ，AB 上时，探索CM 、MN 、AN 三者之间的数量关系，并证明；(2)如图2，M 在边AC 上，点N 在BA 的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM 、MN 、AN 三者之间的数量关系，并证明．【答案】(1)CM =AN +MN ，详见解析；(2)CM =MN -AN ，详见解析【详解】解：(1)CM =AN +MN ，理由如下：在AC 上截取CD =AN ，连接OD ，∵△ABC 为等边三角形，∠BAC 与∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠OAC =∠OCA =30°，∴OA =OC ，在△CDO 和△ANO 中，OC =OA∠OCD =∠OAN CD =AN，∴△CDO ≌△ANO (SAS )∴OD =ON ，∠COD =∠AON ，∵∠MON =60°，∴∠COD +∠AOM =60°，∵∠AOC =120°，∴∠DOM =60°，在△DMO 和△NMO 中，OD =ON∠DOM =∠NOM OM =OM，∴△DMO ≌△NMO ，∴DM =MN ，∴CM =CD +DM =AN +MN ；(2)补全图形如图2所示：CM =MN -AN ，理由如下：在AC 延长线上截取CD =AN ，连接OD ，在△CDO 和△ANO 中，CD =AN∠OCD =∠OAN =150°OC =OA，∴△CDO ≌△ANO (SAS )∴OD =ON ，∠COD =∠AON ，∴∠DOM =∠NOM ，在△DMO 和△NMO 中，OD =ON∠DOM =∠NOM OM =OM，∴△DMO ≌△NMO (SAS )，∴MN =DM ，∴CM =DM -CD =MN -AN ．3(90°与45°)如图①，四边形ABCD 为正方形，点E ，F 分别在AB 与BC 上，且∠EDF =45°，易证：AE +CF =EF (不用证明)．(1)如图②，在四边形ABCD 中，∠ADC =120°，DA =DC ，∠DAB =∠BCD =90°，点E ，F 分别在AB 与BC 上，且∠EDF =60°．猜想AE ，CF 与EF 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图③，在四边形ABCD 中，∠ADC =2α，DA =DC ，∠DAB 与∠BCD 互补，点E ，F 分别在AB 与BC 上，且∠EDF =α，请直接写出AE ，CF 与EF 之间的数量关系，不用证明．【答案】(1)AE +CF =EF ，证明见解析；(2)AE +CF =EF ，理由见解析.【详解】(1)图2猜想：AE +CF =EF，证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D，∵∠DAB=∠BCD=90°，∴∠DAB=∠DCA'=90°，又∵AD=CD，AE=A'C，∴△DAE≌△DCA'(SAS)，∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，∵∠ADC=120°，∴∠EDA'=120°，∵∠EDF=60°，∴∠EDF=∠A'DF=60°，又DF=DF，∴△EDF≌△A'DF(SAS)，则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE；(2)如图3，AE+CF=EF，证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D，∵∠DAB与∠BCD互补，∠BCD+∠DCA'=180°∴∠DAB=∠DCA'，又∵AD=CD，AE=A'C，∴△DAE≌△DCA'(SAS)，∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，∵∠ADC=2α，∴∠EDA'=2α，∵∠EDF=α，∴∠EDF=∠A'DF=α又DF=DF，∴△EDF≌△A'DF(SAS)，则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE．【变式训练】1已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC(或它们的延长线)于E、F．(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1)，试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：+=．(不需证明)(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图2)时，上述(1)中结论是否成立？请说明理由．(3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图3)时，上述(1)中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【答案】(1)AE ；CF ；EF ；(2)成立，见解析；(3)不成立，新的关系为AE =EF +CF ．【详解】解：(1)如图1，AE +CF =EF ，理由如下：∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，∴∠A =∠C =90°，∵AB =BC ，AE =CF ，∴△ABE ≌△CBF (SAS )，∴∠ABE =∠CBF ，BE =BF ，∵∠ABC =120°，∠MBN =60°，∴∠ABE =∠CBF =30°，∴AE =12BE ,CF =12BF ，∵∠MBN =60°，BE =BF ，∴△BEF 是等边三角形，∴AE +CF =12BE +12BF =BE =EF ，故答案为：AE +CF =EF ；(2)如图2，(1)中结论成立；理由如下：延长FC 到H ，使CH =AE ，连接BH ，∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，∴∠A =∠BCH =90°，∴△BCH ≌△BAE (SAS )，∴BH =BE ，∠CBH =∠ABE ，∵∠ABC =120°，∠MBN =60°，∴∠ABE +∠CBF =120°-60°=60°，∴∠HBC +∠CBF =60°，∴∠HBF =∠MBN =60°，∴∠HBF =∠EBF ，∴△HBF ≌△EBF (SAS )，∴HF =EF ，∵HF =HC +CF =AE +CF ，∴EF =AE +CF ；(3)如图3，(1)中的结论不成立，关系为AE =EF +CF ，理由如下：在AE 上截取AQ =CF ，连接BQ ，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCF=90°，∵AB=BC，∴△BCF≌△BAQ(SAS)，∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，∴∠CBE+∠ABQ=60°，∵∠ABC=120°，∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，∴∠FBE=∠QBE，∴△FBE≌△QBE(SAS)，∴EF=QE，∵AE=QE+AQ=EF+CF，∴AE=EF+CF．2如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠FCE= 1∠BCD.2(1)求证：BF=EF-ED；(2)连结AC，若∠B=80°,∠DEC=70°，求∠ACF的度数.【答案】(1)见解析；(2)20°【详解】(1)旋转△BCF使BC与CD重合，∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线，∠BCD∵∠FCE=12∠BCD，∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=12∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；(2)∵AB =BC ，∠B =80°，∴∠ACB =50°，由(1)得∠FEC =∠DEC =70°，又∵AD ⎳BC ，∴∠ECB =70°，而∠B =∠BCD =80°，∴∠DCE =10°，∴∠BCF =30°，∴∠ACF =∠BCA -∠BCF =20°．3问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，点E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =60°，连接EF ，探究线段BE ，EF ，DF 之间的数量关系．(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD 到点G ．使DG =BE ．连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，从而得出结论：；(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．(3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC ，CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ，请探究线段BE ，EF ，DF 具有怎样的数量关系，并证明．【答案】(1)EF =BE +FD(2)成立，理由见解析(3)EF =BE -FD ，证明见解析【详解】(1)解：EF =BE +FD ．延长FD 到点G ．使DG =BE ．连接AG ，∵∠ABE =∠ADG =∠ADC =90°，AB =AD ，∴△ABE ≌△ADG SAS ．∴AE =AG ，∠BAE =∠DAG ．∴∠BAE +∠DAF =∠DAG +∠DAF =∠EAF =60°．∴∠GAF =∠EAF =60°．又∵AF =AF ，∴△AGF ≌△AEF SAS ．∴FG =EF ．∵FG =DF +DG ．∴EF =BE +FD ．故答案为：EF=BE+FD；(2)解：(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM与△ADF中，AB=AD ∠1=∠D BM=DF，∴△ABM≌△ADF SAS．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=12∠BAD，∴∠2+∠4=12∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．在△AME与△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAF AE=AE，∴△AME≌△AFE SAS．∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；(3)解：结论：EF=BE-FD．证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG与△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF BG=DF，∴△ABG≌△ADF SAS．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF SAS，∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．4综合与实践(1)如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，则MN，AM，CN的数量关系为．(2)如图2，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =BC ，∠A +∠C =180°，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探索线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．(3)如图3，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN 、AM 、CN 的数量关系为．【答案】(1)MN =AM +CN ；(2)MN =AM +CN ，理由见解析；(3)MN =CN -AM ，理由见解析【详解】解：(1)如图，把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM '，BM =BM '，∠A =∠BCM '，∠ABM =∠M 'BC ，在正方形ABCD 中，∠A =∠BCD =∠ABC =90°，AB =BC ，∴∠BCM '+∠BCD =180°，∴点M '、C 、N 三点共线，∵∠MBN =45°，∴∠ABM +∠CBN =45°，∴∠M 'BN =∠M 'BC +∠CBN =∠ABM +∠CBN =45°，即∠M 'BN =∠MBN ，∵BN =BN ，∴△NBM ≌△NBM '，∴MN =M 'N ，∵M 'N =M 'C +CN ，∴MN =M 'C +CN =AM +CN ；(2)MN =AM +CN ；理由如下：如图，把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合，则AM =CM '，BM =BM '，∠A =∠BCM '，∠ABM =∠M 'BC ，∵∠A +∠C =180°，∴∠BCM '+∠BCD =180°，∴点M '、C 、N 三点共线，∵∠MBN =12∠ABC ，∴∠ABM +∠CBN =12∠ABC =∠MBN ，∴∠CBN +∠M 'BC =∠MBN ，即∠M 'BN =∠MBN ，∵BN =BN ，∴△NBM ≌△NBM '，∴MN =M 'N ，∵M 'N =M 'C +CN ，∴MN =M 'C +CN =AM +CN ；(3)MN =CN -AM ，理由如下：如图，在NC 上截取C M '=AM ，连接B M '，∵在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =180°，∴∠C +∠BAD =180°，∵∠BAM +∠BAD =180°，∴∠BAM =∠C ，∵AB =BC ，∴△ABM ≌△CB M '，∴AM =C M '，BM =B M '，∠ABM =∠CB M '，∴∠MA M '=∠ABC ，∵∠MBN =12∠ABC ，∴∠MBN =12∠MA M '=∠M 'BN ，∵BN =BN ，∴△NBM ≌△NBM '，∴MN =M 'N ，∵M 'N =CN -C M '，∴MN =CN -AM ．故答案是：MN =CN -AM ．课后训练5如图，在四边形ABCD中，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，连接AE ，AF ，EF ．(1)如图①，AB =AD ，∠BAD =120°，∠EAF =60°．求证：EF =BE +DF ；(2)如图②，∠BAD =120°，当△AEF 周长最小时，求∠AEF +∠AFE 的度数；(3)如图③，若四边形ABCD 为正方形，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF =45°，若BE =3，DF =2，请求出线段EF 的长度．【答案】(1)见解析；(2)∠AEF +∠AFE =120°；(3)EF =5．【详解】(1)证明：如解图①，延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，在△ABE 和△ADG 中，AB =AD ,∠ABE =∠ADG ,BE =DG ,∴△ABE ≌△ADG SAS．∴AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，∵∠BAD =120°，∠EAF =60°，∴∠BAE +∠FAD =∠DAG +∠FAD =60°．∴∠EAF =∠FAG =60°，AF =AF ,∴△EAF ≌△GAF SAS ．∴EF =FG =DG +DF ，∴EF =BE +DF ；(2)解：如解图，分别作点A 关于BC 和CD 的对称点A ，A ，连接A A ，交BC 于点E ，交CD 于点F ．由对称的性质可得A E =AE ，A F =AF ，∴此时△AEF 的周长为AE +EF +AF =A E +EF +A F =A A ．∴当点A 、E 、F 、A 在同一条直线上时，A A 即为△AEF 周长的最小值．∵∠DAB =120°，∴∠AA E +∠A =180°-120°=60°．∵∠EA A =∠EAA ,∠FAD =∠A ，∠EA A +∠EAA =∠AEF ,∠FAD +∠A =∠AFE ，∴∠AEF +∠AFE =∠EA A +∠EAA +∠FAD +∠A =2∠AA E +∠A =2×60°=120°；(3)解：如解图，旋转△ABE 至△ADP 的位置，∴∠PAE =∠DAE +∠PAD =∠DAE +∠EAB =90°，AP =AE ，∠PAF =∠PAE -∠EAF =90°-45°=45°=∠EAF ．在△PAF 和△EAF 中，AP =AE ,∠PAF =∠EAF ,AF =AF ,∴△PAF ≌△EAF SAS ．∴EF =FP ．∴EF =PF =PD +DF =BE +DF =3+2=5．6(1)如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =100°，∠B =∠ADC =90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF =50°．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论是(直接写结论，不需证明)；(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且2∠EAF =∠BAD ，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)如图3，四边形ABCD 是边长为7的正方形，∠EBF =45°，直接写出△DEF 的周长．【答案】(1)EF =BE +DF ；(2)成立，理由详见解析；(3)14．【详解】证明：(1)延长FD 到点G ．使DG =BE ．连结AG ，BE=DG∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=100°，∠EAF=50°，∴∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=50°，∴∠EAF=∠FAG=50°，在△EAF和△GAF中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴EF=FG=DF+DG，∴EF=BE+DF，故答案为：EF=BE+DF；(2)结论仍然成立，理由如下：如图2，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°，∴∠ABG=∠D，∵在△ABG与△ADF中，AB=AD∠ABG=∠D BG=DF，∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，∵2∠EAF=∠BAD，∴∠DAF+∠BAE=∠BAG+∠BAE=12∠BAD=∠EAF，∴∠GAE=∠EAF，又AE=AE，∴△AEG≌△AEF(SAS)，∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD；(3)如图，延长EA到H，使AH=CF，连接BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=7=AD=CD，∠BAD=∠BCD=90°，∴∠BAH=∠BCF=90°，又∵AH=CF，AB=BC，∴△ABH≌△CBF(SAS)，∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，∵∠EBF=45°，∴∠CBF+∠ABE=45°=∠HBA+∠ABE=∠EBF，又∵BH=BF，BE=BE，∴△EBH≌△EBF(SAS)，∴EF=EH，∴EF=EH=AE+CF，∴△DEF的周长=DE+DF+EF=DE+DF+AE+CF=AD+CD=14．7已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】(1)BM+DN=MN，证明见解析(2)DN-BM=MN【详解】(1)BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线．∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM∴△AEM≌△ANM(SAS)，∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；(2)DN-BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，如图，在△ADQ与△ABM中，∵AD=AB∠ADQ=∠ABM DQ=BM，∴△ADQ≌△ABM(SAS)，∴∠QAN =∠MAN ．在△AMN 和△AQN 中，AQ =AM∠QAN =∠MANAN =AN∴△AMN ≌△AQN (SAS )，∴MN =QN ，∴DN -BM =MN ．8(1)如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD .求证:EF =BE +FD ;(2)如图2在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3)如图3在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.【答案】(1)证明见解析；(2)(1)中的结论EF =BE +FD 仍然成立；(3)结论EF =BE +FD 不成立，应当是EF =BE -FD ．【详解】解：(1)延长EB 到G ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠ABG =∠ABC =∠D =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴AG =AF ，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE =∠EAF ．又∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG =EF ．∵EG =BE +BG ．∴EF =BE +FD(2)(1)中的结论EF =BE +FD 仍然成立．理由如下：如图2，延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠D =180°，∠ABC +∠1=180°，∴∠1=∠D ，在△ABM 和△ADF 中，AB =AD∠1=∠DBM =DF∴△ABM ≌△ADF (SAS )，∴AM =AF ，∠3=∠2，∵∠EAF =12∠BAD ∴∠3+∠4=∠EAF ，∴∠EAM =∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF ，在△MAE 和△FAE 中，AM =AF∠MAE =∠FAEAE =AE∴△MAE ≌△FAE (SAS )，∴EF =EM ，∵EM =BM +BE =BE +DF ，∴EF =BE +FD ；(3)结论EF =BE +FD 不成立，应当是EF =BE -FD ．证明：在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC =180°，∠ADF +∠ADC =180°，∴∠B =∠ADF ．∵AB =AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ．∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE =∠EAF ．∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG =EF∵EG =BE -BG∴EF =BE -FD ．9如图，CA =CB ，CA ⊥CB ，∠ECF =45°，CD =CF ，∠ACD =∠BCF ．(1)求∠ACE +∠BCF 的度数；(2)以E 为圆心，以AE 长为半径作弧；以F 为圆心，以BF 长为半径作弧，两弧交于点G ，试探索△EFG 的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．【答案】(1)45°；(2)见详解【详解】解：(1)∵CA ⊥CB ，∴∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ECF+∠BCF=90°，∵∠ECF=45°，∴∠ACE+∠BCF=90°-∠ECF=45°；(2)△EFG是直角三角形，理由如下：如图，连接DE，由(1)知，∠ACE+∠BCF=45°，∵∠ACD=∠BCF，∴∠ACE+∠ACD=45°，即∠DCE=45°，∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠ECD，在△ECF和△ECD中，CF=CD∠ECF=∠ECD CE=CE，∴△ECF≌△ECD(SAS)，∴DE=EF，在△CAD和△CBF中，CD=CF∠ACD=∠BCF CA=CB，∴△CAD≌△CBF(SAS)，∴AD=BF，∠CAD=∠B，∵FG=BF，∴FG=AD，∵∠ACB=90°，CA=CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠B=45°，∴∠DAE=∠CAB+∠B=90°，在△EFG和△EDA中，EG=EA FG=AD EF=ED，∴△EFG≌△EDA(SSS)，∴∠EGF=∠EAD=90°，∴△EFG是直角三角形．。
妙用_半角_模型__破解中考试题_张进(1)
2 2妙用“半角”模型 破解中考试题■ 张进摘要: 数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验综合运用知识和方法解决数学问题的过程，大力渗透“建模教学”必将为数学课堂教学改革提供一条新的思路， 所以 ∠B A D + ∠C A E = 60°，所以 ∠B A D + ∠B A E ＇ = 60°， 即 ∠D A E = ∠D A E ＇， 所 以 △D A E ＇ ≌ △D A E ( S A S ) ，所以 D E = D E ＇，因为在 Rt △E ＇F B 中，∠E ＇B F = 60°，sin ∠E ＇B F = E ＇F ，c o s ∠E ＇B F = B F，所以也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个崭 E ＇B E ＇B 新的舞台．关键词: “半角”模型; 旋转变换; 轴对称变换; 模型构建“半角”模型是一个经典的几何模型，在中考数学中经常出现，如能熟练掌握则对解题大有裨益． 该模型构成元素有: ( 1) 大角含其半角; ( 2) 邻边相等; ( 3) 对角互补( 限于四边形) ． 也可归结为具有“等线段 + 共 端点 + 特殊角”的特征． 半角结构常用的解决方法是 利用旋转变换或轴对称变换，将分散的条件集中起来， 进而通过三角形的全等进行证明，构造特殊图形，为后 续解答做好铺垫． 现以 2017 年三道中考填空题为例， 谈谈“半角”模型在中考题中的巧妙应用，以飨读者［1］． 例 1( 2017 年武汉中考题) 如图 1，△A B C 中，A B = A C ，∠B A C = 120°，∠D A E = 60°，BD = 5，C E = 8，则 D E 的长为． E ＇F = 4槡3 ，B F = 4，则F D = 5 － 4 = 1，因为在Rt △E ＇F D 中， 根 据 勾 股 定 理 得: D E ＇ = 槡F D 2+ E ＇F 2= 槡( 4槡3 ) + 1 = 7，即 D E = 7．解法2: 因为 A B = A C ，∠B A C = 120°，所以 ∠A B C = ∠C = 30°，如图 2，将 △AEC 沿着 AE 翻折得到 △A E C ＇，由轴对称的性质可得: A C ＇ = A C = A B ，C ＇E = C E = 8，∠A C ＇E = ∠C = 30°，∠C ＇A E = ∠C A E ，因为 ∠B A C = 120°，∠D A E = 60°，所以 ∠B A D + ∠C A E = 60°，因为 ∠C ＇A D + ∠C ＇A E = 60°，所以 ∠C ＇A D = ∠B A D ，所以 △C ＇A D ≌ △B A D ( S A S ) ，所以 ∠A C ＇D = ∠A BD = 30°，C ＇D = BD = 5，因为在 Rt △C ＇F D 中，∠D C ＇F = 60°，sin ∠D C 'F = D F ，c o s ∠D C ＇F = C ＇F，所D C ＇ D C ＇ 以 D F = 5槡3 ，C ＇F = 5 ，则EF = 8 － 5 = 11，因为在 2 2 2 2Rt △EFD 中，根据勾股定理得: DE = ( 5槡3 ) 2 + ( 11) 2= 7．槡FD 2 + EF 2=槡22图 1图 2解法1: 因为 A B = A C ，∠B A C = 120°，所以 ∠A B C = ∠C = 30°，如图1，将△A E C 绕点A 顺时针旋转120°得到 △A E ＇B ，连接 D E ＇，过点 E ＇作 E ＇F ⊥ BD 于 F ，由旋转性质得: A E ＇ = A E ，E ＇B = E C = 8，∠C = ∠A B E ＇， ∠C A E = ∠B A E ＇，因为 ∠B A C = 120°，∠D A E = 60°，评注: 该题载体图形为等腰三角形，其中 ∠DAE= 1∠B A C ，A B = A C ，∠B A C = 120°，具有“等线段 + 2 共端点 + 特殊角”的基本图形特征，即满足“大角含半角 + 相等的边”的构成要素，将图形中的△AEC 绕点A 顺时针方向旋转120° 构造旋转模型( 或将△AEC 沿着 AE 翻折) ，使相等的线段重合，将分散的条件相对集 中，即共线的三条线段 BD 、DE 、CE 转化到一个含 60°作者简介: 张进( 1970 － ) ，男，重庆人，本科，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究5槡2 5 槡2 + 槡10的三角形中，再通过作高将一般三角形转化为直角三角形，从而解决线段、角之间的关系问题．例2 ( 2017 年重庆中考题) 如图3，正方形A B C D 中，A D = 4，点 E 是对角线 A C 上一点，连接 D E ，过点 E 作 E F ⊥ E D ，交 A B 于点 F ，连接 D F ，交 A C 于点 G ，将 △E F G 沿 E F 翻折，得到 △E F M ，连接 D M ，交 E F 于点 N ，若 点 F 是 AB 的中点， 则 △EMN 的周长是．所 以 ∠CDE + ∠ADG = 45°， 因 为 △DEC ≌ △D H A ，所以 D E = D H ，∠G D H = ∠A D G + ∠A D H = 45° = ∠G D E ，所以 △G D H ≌ △G D E ( S A S ) ，所以 G H = G E ，因为 A C 为正方形 A B C D 的对角线 ，所 以 ∠DAC = ∠DCE = 45°，所以 ∠H A G = ∠D A H + ∠D A C = 90°，所以 H G 2= H A 2+ A G 2= C E 2+ A G 2= G E 2，设 E G = x ，则 C E = A H = 8槡2 － x ，所以有x 2= ( 4槡2 ) 2 + ( 8槡23 3 3－ x ) 2，解得 x = 5槡2 ，即 EM = EG = 5槡2 ，因为MN= 1 ，图 3图 4解析: 如图4，以F D 的中点O 为圆心，以1 F D 长为 23 ME = 1 ，MD 2MN ME3 ME 2 半径作 ⊙O ，因为四边形 A B C D 是正方形，所以 ∠D A F = 90°，因为 E F ⊥ E D ，所以 ∠D A F + ∠D E F = 180°， 所以点 A 、F 、E 、D 四点共⊙O ，因为 A C 为正方形 A B C D 所以ME = MD ， 因 为 ∠EMN = ∠DME ， 所以 △EMN ∽ △DME ， 的对角线，所以 ∠D A C = ∠B A C = 45°，根据“同圆中， 同弧所对圆周角相等的性质”得到 ∠EDF = ∠EFD 所以EN DE = 1 ，2= 45°，所以 △D E F 是等腰直角三角形． 因为 A C 为正 方形ABCD 的对角线，所以AC = 4槡2 ，因为点F 是AB 中 即 EN = 槡10，2点，A F = 2，所以 F D = 槡AD 2+ AF 2= 2槡5 ， 所以 C △EMN = EM + MN + EN =2． 因为 A B ∥ C D ，所以 △A G F ∽ △C G D ， 评注: 该题是一道几何填空压轴题，图形简洁，构 即AG CG = FG DG = AF CD= 1，2 思巧妙，考查知识点丰富，以学生熟悉的正方形为背 景，以“折叠”操作为载体，将初中平面几何多数核心 所以 F G = 2槡5 ，A G = 4槡2， 知识有机整合，基本涵盖了初中平面几何中求线段长 3 3 因为将 △EFG 沿 EF 翻折得到 △EFM ，所以 F M = F G = 2槡5，∠E F G = ∠E F M = 45°，所3 以 ∠DFM = 90°，度的所有方法． 通过观察图形和分析题设条件，其中 ∠DAF + ∠DEF = 180° 是解决问题的突破口，以 FD 为直径利用“互补生圆法”构造辅助圆⊙O ，则A 、F 、E 、 D 四点共 ⊙O ，根据“在同圆中，同弧所对圆周角相等” 根据角平分线分线段成比例定理得: FM = FD MNDN =的性质可得: ∠EDG = ∠EFD = ∠DAC = 45°，则1∠EDG = 2∠A D C ，因为 D A = D C ，在正方形 A B C D 内1 ，因 为 DM = 槡FD2 + FM 2= 10 槡2 ， “ ” ， (3 3部存在一个 半角模型 故可考虑利用旋转变换 或 所以 MN =14DM = 6 ． 再将△DEC 绕点 D 顺时 轴对称变换) 使相等的边重合，得到特殊的图形( 直角三角形) ，将分散的条件集中，即将共线的三条线段 针方向旋转 90° 得到 △D H A ，连结 H G ，所以 ∠E D G = 45°，AG 、EG 、CE 转化到 Rt △HAG 中，三条线段 AG 、EG 、CE 具有勾股关系: A G 2+ C E 2= E G 2，再建立方程即可求·20·出 EG 是解决本题的关键．例 3( 2017 年鄂州中考题) 如图四边形 ABCD中，A D ∥ B C ，∠B C D = 90°，A B = B C + A D ，∠D A C = 45°，E 为 C D 上一点，且 ∠B A E = 45°，若 C D = 4，则 △ABE 的面积为() 评注: 该题背景图形为直角梯形，其中存在基本图形△ACD 为等腰直角三角形，通过“补形”得到正方形 A F C D ，则 A D = A F ，∠D A F = 90°，又 ∠B A E = 45°，则 ∠B A E = 1∠D A F ，在正方形 A F C D 内部存在一个2 ( A)12 247 ( B) 7“半角”模型，故可考虑利用旋转变换( 或轴对称变换) 使 相 等 的 边 重 合 ， 得 到 特 殊 的 图 形 ( △BAE ≌ ( C) 487 ( D) 507图 5图 6△B ＇A E ) ，将分散的条件集中，得到线段的关系，再利用 勾股定理建立方程即可求解．综上所述，加强对基本图形进行观察、分析、抽象、提炼与概括，学会从复杂、陌生的图形中挖掘出基本图形，或者构建一些典型的基本模型，借助于基本图形和基本模型，使解题思路产生在学生的最近发展区，从而轻松找到解决几何图形问题的办法，引导学生学会分析问题、解决问题，强化对基本图形、基本模型的感悟，不断提升学生的解题能力． 在平时的教学中，教师应引 导学生从常见的基本图形中找到创造之源，提炼或构 解析: 如图6，过点A 作A F ⊥ A D 交C B 的延长线于 点 F ，将 △A F B 绕 A 点顺时针旋转90° 得到△A DB '，所 以 A B = A B ＇，B F = B ＇D ，∠B A F = ∠B ＇A D ，∠A DB ＇ = ∠A B F = 90°，则 ∠A DB ＇ + ∠A D C = 180°，即点 B ＇、D 、 E 三点共线，因为 A D ∥ B C ，∠B C D = 90°，∠D A C = 45°，易证四边形 AFCD 为正方形，所以 ∠BCE = ∠A F B = 90°，A D = D C = C F = 4，因为 A B = B C + 造经典的几何模型，使学生解题有章可循，有法可依， 提高解题效率． 大力渗透“建模教学”必将为数学课堂教学改革提供一条新的思路，也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个崭新的舞台［2］． 参考文献:［1］ 张进． 探究一道竞赛题解法的心路历程［J ］． 中学数学教学参考: 中旬，2017( 1 － 2) : 42 － 44． A D ，A F 2+ B F 2= A B 2，B F = 4 － B C ，所以 42+ ( 4 －［2］ 张进，熊长菊． 基于建模思想 ，探究一题多解 B C ) 2= ( 4 + B C ) 2，解得: B C = 1，则 B F = 3，因为∠D A F = 90°，∠B A E = 45°，所以 ∠B A F + ∠D A E = 45°，即 ∠B ＇A E = ∠B ＇A D + ∠D A E = 45° = ∠B A E ，所以△B A E ≌ △B ＇A E ( S A S ) ，所以 B ＇E = B E ，设 D E = x ，则 B E = 3 + x ，C E = 4 － x ，根据勾股定理得: B C 2+ C E 2= B E 2，即有 12+ ( 4 － x ) 2= ( 3 + x ) 2，解得 x =［J ］． 中学数学: 下，2016( 8) : 96 － 98．［重庆市万州高级中学( 404120) ］4 ，即 D E = 4 、C E = 24，因为 S = S － S －7 7 7△ABE ADCF △BCF S △BCE － S △ADE ，所以 S △ABE= 50，故答案选( D ) ． 7·21·。
初中数学半角模型专题讲解(最全最新)
二、正方形中的半角模型
例2、已知正方形ABCD边长为5，点M、N分别在边BC，CD上，连 接AM，MN，AN，若∠MAN＝45°，BM＝2，求线段NC的长
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变式训练：已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针 旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当 ∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有 怎样的数量关系呢？写出你的猜想．（需要证明）
再见！谢谢大家的聆听!
变式训练：已知∠MAN＝45°，AHபைடு நூலகம்MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求 AH的长．
变式训练：如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且∠EAF ＝45°，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接BD交AF于点M， DE＝2，BF＝3，求GM
三、四边形中的半角模型
例3、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分 别是边BC、CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．
变式训练：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边 BC、CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，证明：EF＝BE+FD
变式训练：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别 是边BC、CD延长线上的点，且2∠EAF＝∠BAD，证明：EF＝BE﹣FD．
初中数学模型：半角模型专题
学校：永州博闻高级中学数学组（八年级） 主讲：蒋老师
一、等边三角形中的半角模型
例1、如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝ 120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交 AC于点N，连结MN，求△AMN的周长
倍半角模型解题策略
原題
解题的切入点是什么？ 由条件中的倍半角，我 们构造等腰三角形。
同学们用以上思路尝试 构造！
乐平市第五中学数学组
方明明
原題
解题的切入点是什么？
由条件中的倍半角，我 们构造等腰三角形。
原題
原題
作业
原題
乐平市第五中学数学组
方明明
原題
识模
①倍半角：∠BDC=2∠CBD, 2∠ACB=∠ABD=60°。 ② 手拉手：条件分散——旋转。 ② 60°角——等边三角形或是RT 三角形
建模
倍半角：构造等腰三角形。
建模
手拉手：构造共顶点的等腰(边）三角形。
解模
Байду номын сангаас模
解模
解模
解模
原題
通过分析，本题问 题的本质是什么？
2022年中考数学几何模型提升专题08 倍半角模型
专题08倍半角模型【模型解读】半角向外构等腰，倍角向内构等腰.【必备知识】等腰三角形与“倍半角”在等腰ABC △中，AB AC =，则2CAD B ∠=∠【模型建立】 （一）向外构造等腰,得到“半”角 如图，在直角三角形中，若tan a b θ=，则tan 2a b cθ=+已知“倍角”求“半角”，只需将该倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长，“等腰现，半角出”（二）向内构造等腰得到“倍”角如图，在Rt △的直角边上取点，向内构造等腰，设x ，在粉色Rt △中，由勾股定理可以解出x ，从而得到tan 2θ已知“半角”求“倍角”，只需在该半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段，“等腰现，倍角出”； 可以看出：由“倍”造“半”，极其容易，只需口算；由“半”造“倍”，相对麻烦，需要方程；【特殊“半角”】(一)15°角问题：如何计算tan15°的值呢?由15°容易联想到30°，它们之间存在着“倍半”关系；如图，先构造一个含30°角的Rt △ABC，设1,BC CA AB ===2，再延长CA 至D 使AD=AB=2，连接BD ，构造出等腰△ABD ，则115,2D BAC ︒∠=∠=故在Rt △DBC 中，有tan152BC DC ︒===(二)22．5°角 构造可得tan 22.5BC DC ︒==1= 而tan 67.51,tan 22.5DC BC︒︒==与tan67．5°互为倒数. ba x1D(三)“345”三角形①如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △BCE 三边比为1:即若3tan ,4BAC ∠=11tan tan 23E BAC ∠=∠=②如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △ACF 三边比为1:2即若4tan ,3ABC ∠=11tan tan 22F ABC ∠=∠=121D54B54F③如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △BCD 三边比为7：24：25，即若3tan ,4A ∠=则tan 24tan 27BDC A ∠=∠=记住这些常用的数据以及来龙去脉，对于解题来说，百利而无一害．【模型实例】1．如图，在正方形ABCD 中，1AB =，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，AE AF =，60EAF ∠=︒，则CF 的长是 ．2．如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ，若4AD cm =，则CF 的长为 cm ．3．如图，ABC ∆中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，8BD =，11AC =，则边BC 的长为 ．x43B4．如图，点A 在反比例函数(0)k y x x=<上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，C 为x 轴正半轴上一点，连接AC 交y 轴于点D ，3tan 4ACB ∠=，AO 平分CAB ∠，此时，8ABC S ∆=，则k 的值为 ．5．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆，则CF 的长为 ．6．如图，AB 是O 的直径，C ，P 是AB 上两点，13AB =，5AC =，如图，若点P 是AB 的中点，求PA 的长；7．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 平分BAC ∠，AD 交BC 于点D ，ED AD ⊥交AB 于点E ，ADE ∆的外接圆O 交AC 于点F ，连接EF ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）求O 的半径r 及3∠的正切值．8．如图，BM 是以AB 为直径的O 的切线，B 为切点，BC 平分ABM ∠，弦CD 交AB 于点E ，DE OE =．（1）求证：ACB ∆是等腰直角三角形；（2）求证：2OA OE DC =；（3）求tan ACD ∠的值．9．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以CB 为半径作C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接BD ，BE ．（1）求证：ABD AEB ∆∆∽；（2）当43AB BC =时，求tan E ； （3）在（2）的条件下，作BAC ∠的平分线，与BE 交于点F ，若2AF =，求C 的半径．10．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧BC 的中点，BC 与AD 、OD 分别交于点E 、F ．（1）求证：//DO AC ；（2）求证：2DE DA DC ⋅=；（3）若1tan 2CAD ∠=，求sin CDA ∠的值．11．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐标；12．二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式；13．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =-++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得CDF ∆中的某个角恰好等于BAC ∠的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．15．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为(1,0)，与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足2PAB ACO∠=∠．求点P的坐标；16．在平面直角坐标系中，直线122y x=-与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数212y x bx c=++的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，过点D作DM BC⊥于点M，是否存在点D，使得CDM∆中的某个角恰好等于ABC∠的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．专题08倍半角模型【模型解读】半角向外构等腰，倍角向内构等腰.【必备知识】等腰三角形与“倍半角”在等腰ABC △中，AB AC =，则2CAD B ∠=∠【模型建立】 （一）向外构造等腰,得到“半”角 如图，在直角三角形中，若tan a b θ=，则tan 2a b cθ=+已知“倍角”求“半角”，只需将该倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长，“等腰现，半角出”（二）向内构造等腰得到“倍”角如图，在Rt △的直角边上取点，向内构造等腰，设x ，在粉色Rt △中，由勾股定理可以解出x ，从而得到tan 2θ已知“半角”求“倍角”，只需在该半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段，“等腰现，倍角出”；可以看出：由“倍”造“半”，极其容易，只需口算；由“半”造“倍”，相对麻烦，需要方程；【特殊“半角”】(一)15°角问题：如何计算tan15°的值呢?由15°容易联想到30°，它们之间存在着“倍半”关系；如图，先构造一个含30°角的Rt△ABC，设1,BC CA AB===2，再延长CA至D使AD=AB=2，连接BD，构造出等腰△ABD，则115,2D BAC︒∠=∠=故在Rt△DBC中，有tan152BCDC︒===(二)22．5°角构造可得tan22.5BCDC︒==1=而tan67.51,tan22.5DCBC︒︒==与tan67．5°互为倒数.bax1D(三)“345”三角形①如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △BCE三边比为1:即若3tan ,4BAC ∠=11tan tan 23E BAC ∠=∠=②如图，Rt △ABC 三边比为3：4：5，Rt △ACF 三边比为1:2:即若4tan ,3ABC ∠=11tan tan 22F ABC ∠=∠=121D54B③如图，Rt△ABC三边比为3：4：5，Rt△BCD三边比为7：24：25，即若3 tan,4A∠=则tan24tan27 BDC A∠=∠=记住这些常用的数据以及来龙去脉，对于解题来说，百利而无一害．【模型实例】1．如图，在正方形ABCD中，1AB=，点E、F分别在边BC和CD上，AE AF=，60EAF∠=︒，则CF1．54Fx43B【解答】解：四边形ABCD 是正方形，90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，1AB BC CD AD ====，在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中， AE AFAB AD=⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt ADF(HL)∴∆≅∆，BAE DAF ∴∠=∠，60EAF ∠=︒， 30BAE DAF ∴∠+∠=︒， 15DAF ∴∠=︒，在AD 上取一点G ，使15GFA DAF ∠=∠=︒，如图所示，AG FG ∴=，30DGF ∠=︒， 1122DF FG AG ∴==，DG ，设DF x =，则DG ，2AG FG x ==， AG DG AD +=，21x ∴=，解得：2x =2DF ∴=，1(21CF CD DF ∴=-=-=；1-．2．如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE上的点G 处，折痕为AF ，若4AD cm =，则CF 的长为 (6- cm ．【解答】解：设BF x =，则FG x =，4CF x =-．在Rt ADE ∆中，利用勾股定理可得AE =．根据折叠的性质可知4AG AB ==，所以4GE =．在Rt GEF ∆中，利用勾股定理可得2224)EF x =+， 在Rt FCE ∆中，利用勾股定理可得222(4)2EF x =-+，所以22224)(4)2x x +=-+，解得2x =．则46FC x =-=-故答案为：(6-．3．如图，ABC ∆中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，8BD =，11AC =，则边BC 的长为【解答】解：延长BD 到F ，使得DF BD =， CD BF ⊥，BCF ∴∆是等腰三角形， BC CF ∴=，过点C 作//CH AB ，交BF 于点H 22ABD CHD CBD F ∴∠=∠=∠=∠， HF HC ∴=， //CH AB ，ABE CHE ∴∠=∠，BAE ECH ∠=∠， EH CE ∴=，EA EB =，AC BH ∴=，8BD =，11AC =，3DH BH BD AC BD ∴=-=-=， 835HF HC ∴==-=，在Rt CDH ∆，∴由勾股定理可知：4CD =，在Rt BCD ∆中，BC ∴==，故答案为：4．如图，点A 在反比例函数(0)ky x x=<上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，C 为x 轴正半轴上一点，连接AC 交y 轴于点D ，3tan 4ACB ∠=，AO 平分CAB ∠，此时，8ABC S ∆=，则k 的值为 6- ．【解答】解：设点A 纵坐标为m ，则点A 坐标为(km，)m ，作OE 垂直于AC 于点E ， AB m ∴=， 3tan 4AB ACB BC ∠==， 4433BC AB m ∴==， 21128223ABC S AB BC mBC m ∆∴=⋅===，解得m =或m =-)，AB ∴=，BC =，AC OE OB =，1111()82222ABC ABO AOC S S S AB BO AC OE BO AB AC BO ∆∆∆∴=+=⋅+⋅=+=⨯=，解得BO =∴点A 坐标为(，6k ∴==-．故答案为：6-．5．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆，则CF 的长为 6-【解答】解：正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，2DE ∴=，AE ∴=ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆，AG AE ∴==，2BG DE ==，34∠=∠，90GAE ∠=︒，90ABG D ∠=∠=︒，而90ABC ∠=︒，∴点G 在CB 的延长线上，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ， 12∴∠=∠，2413∴∠+∠=∠+∠，即GAF DAF ∠=∠， DAF AFG ∠=∠， GA GF ∴=，GF GA AE ∴===426CF CG GF ∴=-=+-=-故答案为6-6．如图，AB 是O 的直径，C ，P 是AB 上两点，13AB =，5AC =．如图，若点P 是AB 的中点，求PA 的长【解答】解：如图所示，连接PB ，AB 是O 的直径且P 是AB 的中点，45PAB PBA ∴∠=∠=︒，90APB ∠=︒，又在等腰三角形APB ∆中有13AB =，PA ∴． 7．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 平分BAC ∠，AD 交BC 于点D ，ED AD ⊥交AB 于点E ，ADE ∆的外接圆O 交AC 于点F ，连接EF ． （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求O 的半径r 及3∠的正切值．【解答】（1）证明：ED AD ⊥， 90EDA ∴∠=︒，AE 是O 的直径， AE ∴的中点是圆心O ，连接OD ，则OA OD =， 1ODA ∴∠=∠，AD 平分BAC ∠，21ODA ∴∠=∠=∠，//OD AC ∴，90BDO ACB ∴∠=∠=︒， BC ∴是O 的切线；（2）解：在Rt ABC ∆中，由勾股定理得，10AB ===， //OD AC ， BDO BCA ∴∆∆∽，∴OD OB AC AB =，即10610r r-=， 154r ∴=，在Rt BDO ∆中，5BD =， 853CD BC BD ∴=-=-=，在Rt ACD ∆中，31tan 262CD AC ∠===， 32∠=∠，1tan 3tan 22∴∠=∠=．8．如图，BM 是以AB 为直径的O 的切线，B 为切点，BC 平分ABM ∠，弦CD 交AB 于点E ，DE OE =．（1）求证：ACB ∆是等腰直角三角形； （2）求证：2OA OE DC =； （3）求tan ACD ∠的值．【解答】证明：（1）BM 是以AB 为直径的O 的切线，90ABM ∴∠=︒， BC 平分ABM ∠，1452ABC ABM ∴∠=∠=︒AB 是直径90ACB ∴∠=︒，45CAB CBA ∴∠=∠=︒ AC BC ∴=ACB ∴∆是等腰直角三角形；（2）如图，连接OD ，OCDE EO =，DO CO =EDO EOD ∴∠=∠，EDO OCD ∠=∠ EDO EDO ∴∠=∠，EOD OCD ∠=∠EDO ODC ∴∆∆∽∴OD DEDC DO=2OD DE DC ∴=2OA DE DC EO DC ∴==（3）如图，连接BD ，AD ，DO ，作BAF DBA ∠=∠，交BD 于点F ，DO BO =ODB OBD ∴∠=∠，2AOD ODB EDO ∴∠=∠=∠，453CAB CDB EDO ODB ODB ∠=∠=︒=∠+∠=∠，15ODB OBD ∴∠=︒=∠ 15BAF DBA ∠=∠=︒AF BF ∴=，30AFD ∠=︒ AB 是直径90ADB ∴∠=︒2AF AD ∴=，DF =2BD DF BF AD ∴=++tan tan 2AD ACD ABD BD ∴∠=∠===-9．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以CB 为半径作C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接BD ，BE ． （1）求证：ABD AEB ∆∆∽； （2）当43AB BC =时，求tan E ； （3）在（2）的条件下，作BAC ∠的平分线，与BE 交于点F ，若2AF =，求C 的半径．【解答】解：（1）90ABC ∠=︒， 90ABD DBC ∴∠=︒-∠，由题意知：DE 是直径， 90DBE ∴∠=︒， 90E BDE ∴∠=︒-∠， BC CD =， DBC BDE ∴∠=∠，ABD E ∴∠=∠， A A ∠=∠， ABD AEB ∴∆∆∽；（2）:4:3AB BC =，∴设4AB =，3BC =，5AC ∴==， 3BC CD ==，532AD AC CD ∴=-=-=，由（1）可知：ABD AEB ∆∆∽，∴AB AD BDAE AB BE==，2AB AD AE ∴=， 242AE ∴=，8AE ∴=，在Rt DBE ∆中 41tan 82BD AB E BE AE ====；（3）过点F 作FM AE ⊥于点M ， :4:3AB BC =，∴设4AB x =，3BC x =，∴由（2）可知；8AE x =，2AD x =，6DE AE AD x ∴=-=，AF 平分BAC ∠，∴BF ABEF AE =， ∴4182BF x EF x ==， 1tan 2E =，cos E ∴=，sin E =，∴BE DE =，BE ∴=，23EF BE ∴==，sin MF E EF ∴=， 85MF x ∴=，1tan 2E =， 1625ME MF x ∴==， 245AM AE ME x ∴=-=，222AF AM MF =+，222484()()55x x ∴=+，x ∴C ∴的半径为：3x =．另解：由上述知1tan 3FMFAM AM∠==， BC DC CE ==，35BC AC =， ::2:3:3AD DC CE ∴=，1tan 2FME ME∠==， 设FM a =，则3AM a =，2ME a =， 5AE a ∴=，31588DC AE a ∴==，由勾股定理可知：AF =，2AF =，a ∴=DC ∴=10．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是弧BC 的中点，BC 与AD 、OD 分别交于点E 、F ． （1）求证：//DO AC ； （2）求证：2DE DA DC ⋅=； （3）若1tan 2CAD ∠=，求sin CDA ∠的值．【解答】解：（1）因为点D 是弧BC 的中点， 所以CAD BAD ∠=∠，即2CAB BAD ∠=∠， 而2BOD BAD ∠=∠， 所以CAB BOD ∠=∠， 所以//DO AC ； （2）CD BD =，CAD DCB ∴∠=∠， DCE DAC ∴∆∆∽，2CD DE DA ∴=⋅；（3）1tan 2CAD ∠=，连接BD ，则BD CD =，DBC CAD ∠=∠，在Rt BDE ∆中，1tan 2DE DE DBE BD CD ∠===， 设：DE a =，则2CD a =， 而2CD DE DA =⋅，则4AD a =， 3AE a ∴=，∴3AEDE=， 而AEC DEF ∆∆∽，即AEC ∆和DEF ∆的相似比为3， 设：EF k =，则3CE k =，8BC k =， 1tan 2CAD ∠=， 6AC k ∴=，10AB k =，3sin 5CDA ∴∠=．11．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐标；【解答】解：（1）在122y x =-+中，令0y =，得4x =，令0x =，得2y =(4,0)A ∴，(0,2)B把(4,0)A ，(0,2)B ，代入212y x bx c =-++，得2116402c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++ （2）如图，过点B 作x 轴得平行线交抛物线于点E ，过点D 作BE 的垂线，垂足为F//BE x 轴，BAC ABE ∴∠=∠ 2ABD BAC ∠=∠，2ABD ABE ∴∠=∠即2DBE ABE ABE ∠+∠=∠DBE ABE ∴∠=∠DBE BAC ∴∠=∠设D 点的坐标为213(,2)22x x x -++，则BF x =，21322DF x x =-+tan DF DBE BF ∠=，tan BO BAC AO∠= ∴DF BO BF AO=，即2132224x xx -+= 解得10x =（舍去），22x = 当2x =时，2132322x x -++=∴点D 的坐标为(2,3)12．二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ． （1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式；【解答】解：（1）二次函数24(0)y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴2(4)(4)4040a b a b ⎧⋅-+⋅-+=⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=-⎩，∴该二次函数的表达式为234y x x =--+；（2）如图，设BP 与y 轴交于点E ， //PD y 轴， DPB OEB ∴∠=∠， 2DPB BCO ∠=∠， 2OEB BCO ∴∠=∠， ECB EBC ∴∠=∠，BE CE ∴=，令0x =，得4y =， (0,4)C ∴，4OC =，设OE a =，则4CE a =-， 4BE a ∴=-，在Rt BOE ∆中，由勾股定理得：222BE OE OB =+，222(4)1a a ∴-=+， 解得：158a =， 15(0,)8E ∴， 设BE 所在直线表达式为(0)y kx e k =+≠， ∴150810k e k e ⎧⋅+=⎪⎨⎪⋅+=⎩， 解得：158158k e ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BP 的表达式为151588y x =-+； 13．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =-++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得CDF ∆中的某个角恰好等于BAC ∠的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得(4,0)A -，(0,2)C ， 抛物线212y x bx c =-++经过A 、C 两点，∴1016422b c c ⎧=-⨯-+⎪⎨⎪=⎩， ∴322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 213222y x x ∴=--+；（2）(4,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，AC ∴=，BC ，5AB =，222AC BC AB ∴+=，ABC ∴∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，3(2P ∴-，0)，52PA PC PB ∴===， 2CPO BAC ∴∠=∠， 4tan tan(2)3CPO BAC ∴∠=∠=， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：如图，2DCF BAC DGC CDG ∴∠=∠=∠+∠， CDG BAC ∴∠=∠， 1tan tan 2CDG BAC ∴∠=∠=， 即12RC DR =， 令213(,2)22D a a a --+，DR a ∴=-，21322RC a a =--，∴2131222a aa --=-， 10a ∴=（舍去），22a =-， 2D x ∴=-，情况二，2FDC BAC ∴∠=∠， 4tan 3FDC ∴∠=， 设4FC k =，3DF k ∴=，5DC k =，31tan 2k DGC FG ∠==， 6FG k ∴=，2CG k ∴=，35DG k =，25RC k ∴=，45RG k =， 4511535DR k k k =-=， ∴21155132522kDR a RC a ak -==--，10a ∴=（舍去），22911a =-， 点D 的横坐标为2-或2911-．14．如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【解答】解：（1）当0x =时，55y x =-=-，则(0,5)C -， 当0y =时，50x -=，解得5x =，则(5,0)B ，把(5,0)B ，(0,5)C -代入26y ax x c =++得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为265y x x =-+-；（2）作AN BC ⊥于N ，NH x ⊥轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于1M ，交AC 于E ，如图， 11M A M C =，11ACM CAM ∴∠=∠， 12AM B ACB ∴∠=∠，ANB ∆为等腰直角三角形， 2AH BH NH ∴===，(3,2)N ∴-，易得AC 的解析式为55y x =-，E 点坐标为1(2，5)2-，设直线1EM 的解析式为15y x b =-+，把1(2E ，5)2-代入得15102b -+=-，解得125b =-，∴直线1EM 的解析式为11255y x =--， 解方程组511255y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则113(6M ，17)6-；在直线BC 上作点1M 关于N 点的对称点2M ，如图2，则212AM C AM B ACB ∠=∠=∠，设2(,5)M x x -， 13632x +=， 236x ∴=， 223(6M ∴，7)6-， 综上所述，点M 的坐标为13(6，17)6-或23(6，7)6-．15．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为(1,0)，与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接AC ，点P 在抛物线上，且满足2PAB ACO ∠=∠．求点P 的坐标；【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)A ，(0,3)C - ∴10003b c c ++=⎧⎨++=-⎩解得：23b c =⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的函数表达式为223yx x =+-（2）①若点P 在x 轴下方，如图1，延长AP 到H ，使AH AB =，过点B 作BI x ⊥轴，连接BH ，作BH 中点G ，连接并延长AG 交BI 于点F ，过点H 作HI BI ⊥于点I 当2230x x +-=，解得：13x =-，21x = (3,0)B ∴- (1,0)A ，(0,3)C -1OA ∴=，3OC =，AC ==4AB = Rt AOC ∴∆中，sin OA ACO AC ∠==，cos OC ACO AC ∠==AB AH =，G 为BH 中点AG BH ∴⊥，BG GH =BAG HAG ∴∠=∠，即2PAB BAG ∠=∠2PAB ACO ∠=∠ BAG ACO ∴∠=∠Rt ABG ∴∆中，90AGB ∠=︒，sin BG BAG AB ∠=BG ∴==2BH BG ∴= HBI ABG ABG BAG ∠+∠=∠+∠=︒ HBI BAG ACO ∴∠=∠=∠Rt BHI ∴∆中，90BIH ∠=︒，sin HI HBI BH ∠=cos BI HBI BH ∠==45HI ∴==，125BI = 411355H x ∴=-+=-，125H y =-，即11(5H -，12)5-设直线AH 解析式为y kx a =+ ∴0111255k a k a +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩解得：3434k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴直线33:44AH y x =-2334423y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩解得：1110x y =⎧⎨=⎩（即点)A ，22943916x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩9(4P ∴-，39)16-；②若点P 在x 轴上方，如图2，在AP 上截取AH AH '=，则H '与H 关于x 轴对称 11(5H '∴-，12)5设直线AH '解析式为y k x a ''=+ ∴0111255k a k a ''+=⎧⎪⎨''-+=⎪⎩解得：3434k a ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ∴直线33:44AH y x '=-+2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩解得：1110x y =⎧⎨=⎩（即点)A ，221545716x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩15(4P ∴-，57)16． 综上所述，点P 的坐标为15(4-或9(4-，39)16-．解法二：在y 轴上取一点T ，是的AT CT =，则ACT TAC ∠=∠， 2ATO TAC ACT ACT ∴∠=∠+∠=∠，设OT t =，则3AT CT t ==-， 在Rt AOT ∆中，则有2221(3)t t +=-， 43t ∴=，即43OT =， ①当P 在y 轴的正半轴上时，过点A 作1AK AT ⊥交y 轴于1K ， 由OAT ∆∽△1OK A 得到OK OAOA OT=， 134OK ∴=， 13(0,)4K ∴，∴直线1AK 的解析式为3344y x =-+， 由2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或1545716x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即115(4P -，57)16． 当2K 在y 轴的负半轴上时，根据对称性可知23(0,)4K -，∴直线2AK 的解析式为3344y x =-， 由2334423y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或943916x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即29(4P -，39)16-．16．在平面直角坐标系中，直线122y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数212y x bx c =++的图象经过B ，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式；（2）如图过点D 作DM BC ⊥于点M ，是否存在点D ，使得CDM ∆中的某个角恰好等于ABC ∠的2倍？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把0x =代122y x =-得2y =-， (0,2)C ∴-．把0y =代122y x =-得4x =， (4,0)B ∴，设抛物线的解析式为1(4)()2y x x m =--，将(0,2)C -代入得：22m =-，解得：1m =-，(1,0)A ∴-．∴抛物线的解析式1(4)(1)2y x x =-+，即213222y x x =--． （2）如图所示：过点D 作DR y ⊥垂足为R ，DR 交BC 与点G ．(1,0)A -，(4,0)B ，(0,2)C -，AC ∴BC =，5AB =，222AC BC AB ∴+=， ABC ∴∆为直角三角形．取AB 的中点E ，连接CE ，则CE BE =， 2OEC ABC ∴∠=∠． 4tan 3OC OEC OE ∴∠==． 当2MCD ABC ∠=∠时，则1tan tan 2CDR ABC ∠=∠=．设213(,2)22D x x x --，则DR x =，21322CR x x =-+．∴2131222x xx -+=，解得：0x =（舍去）或2x =． ∴点D 的横坐标为2．当2CDM ABC ∠=∠时，设3MD k =，4CM k =，5CD k =． 1tan 2MGD ∠=， 6GM k ∴=，GD =， 2GC MG CM k ∴=-=，GR ∴=，CR =．RD ∴==．∴21322x x CR DR x -+==21129022x x -+=，解得：0x =（舍去）或2911x =． ∴点D 的横坐标为2911． 综上所述，当点D 的横坐标为2或2911．。
【模型导学】细解倍角含半角模型，举例说明其应用
【模型导学】细解倍角含半角模型，举例说明其应用“倍角含半角模型”（也称半角模型），是中考中最常见的题型之一。
因为其内容丰富，变换灵活，所以具有一定的难度。
虽然网络上对于“倍角含半角模型”的文章比较多，但仅仅是对某一具体的模型挖掘的比较透彻——尤其是对“90°含45°模型”挖掘的比较透彻，但对于“倍角含半角模型”的一般情况研究的不多，且对于“倍角含半角模型”和“对角互补模型”之间的关系研究不多。
方法是利器，思想是灵魂。
本文尝试运用“从特殊到一般的思想”和“从一般到特殊思想”来研究下“倍角含半角模型”。
重点研究“倍角含半角模型”的由来及应对策略，以期建立通法通解，并揭示“倍角含半角模型”与“对角互补模型”的关系。
关于“90°含45°半角模型”及“对角互补模型”的相关内容，请大家自己百度，不是本文重点讲述内容。
基本模型一：等腰三角形顶角之半角例1、如图1，已知正△ABC中，BD=CE=2，∠DAE=30°，求DE；解析：如图2，∵△ABC为正三角形，且BD=CE=2，易想到三线合一，作BC边上的高AF，则FB=FD。
设FD=FE=x，则FB=FC=x+2,AB=AC=2x+4,AF=√3（x+2）.如果能够建立关于x的方程，即可求解。
显然，此时还不能构造方程——思路受阻！观察到题目中∠DAE=30°还没有用到，显然，∠BAD=∠DAF=∠FAE=∠EAC=15°。
如图3，作DM⊥AB于M，则易证△MAD≌△FAD，则DM=DF。
因为BD=2，∠B=60°，则易知BM=1，则DM=DF=FE=√3，则DE=2√3。
例2、如图4，已知正△ABC中，BD=1，CE=3，∠DAE=30°，求DE；解析：这道题目，由于BD≠EC，大家可以尝试一下，仿照例1的方法好像已经行不同了。
那么我们必须寻找别的思路。
如图5，把△ABD以AD所在直线为对称轴折叠到△ADM的位置，连接ME。
初中数学解题方法：倍半角+解形
解题方法之倍半角的处理知识点：半角处理例题：如图，在Rt △ABC 中，∠A=90゜,AC=4，AB=3，求tan(21∠B)的值。
针对训练1、如图，△ABC 中，∠C=90°，AB ＝13，AC=5，AD 是∠BAC 的平分线，则线段AD 的长度为 。
2、如图，沿折痕AE 叠矩形ABCD 的一边，使点D 落在BC 边上的点F 处，若AB ＝8，且△ABF 的面积为24，则DE 的长为 。
知识点：倍角处理例题：如图，在Rt △ABC 中，∠A=90゜,AC=3，AB=1，求tan(2∠C)的值。
针对训练：如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，cos ∠ACB ＝54，那么tan ∠O 的值为 。
知识点：倍半角与特殊角例题：分别求015tan ，075tan ，05.22tan ，05.67tan ，015cos ，075cos ，015sin ，075sin 的值。
针对训练：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，点D 是边AB 的中点，连接CD ，点E 在边BC 上，且AE ⊥CD 交CD 于点F ．当∠ACB ＝75°时，则的值为 ．解题方法之“解形”“解形”：解一个形状固定的三角形的线段，面积，三角函数等等相关属性“解形”分类“SSS”形已知三角形三边，求解三角形的一些属性。
例题：如图，在△ABC中，AC=5，AB=7，BC=8，求①S△ABC;②sin∠A;③∠C针对训练：如图，△BAC放置在正方形网格中，则tan∠BAC的值是。
“SAS”形已知三角形的两边及夹角，求解三角形的一些属性。
方法：锐角特角内部作高，钝角特角外部作高例题：如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=60°，求①S△ABC;②AC;③sin∠C针对训练：已知：如图，△ABC 中，AB ＝3，∠ABC ＝120°，BC=2，求AC 的长．“ASA ”形已知两角及其夹边，求解三角形的一些属性。
初中数学半角模型
初中数学半角模型
初中数学半角模型是什么？半角模型是一种通过图形方式表示数学问题的方法。
在半角模型中，我们将数学问题转化为一条直线或一条线段。
这样做的好处是可以更加直观地理解问题，更容易找到解决问题的方法。
在初中数学中，半角模型常用于解决比例、百分数、几何等问题。
例如，我们可以使用半角模型来解决以下问题：某个物品原价为200元，现在打8折出售，售价是多少？我们可以用线段表示原价和折后价，然后通过数学计算找到答案。
另外，半角模型也可以用于解决方程、不等式等问题。
例如，我们可以使用半角模型来解决以下问题：已知一组数的平均值是25，其中最小的数是15，最大的数是35，这组数中共有几个数？我们可以用一条线段表示这组数的范围，然后通过数学计算找到答案。
总之，初中数学半角模型是一种非常实用的工具，能够帮助我们更好地理解和解决数学问题。
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倍半角模型之强方法
倍半角模型【倍半角的识别】(1)大角内部有一小角，且小角角度是大角角度的一半.(2)大角的两边相等，保证旋转之后边能够完全重合。
(3)大角两边与其他两边形成的两个角互补，保证旋转之后的两个三角形两边能在同一直线.上【目标问题】1.共顶点的两个角，大角是较小角的2倍（较小角是大角的一半），大角的两边相等，这是共顶点倍半角模型的基本特征。
如果在图形中发现这一特征信息，就可以利用旋转或对称的办法，进行角度的加（减）组合，构造出新的等角关系，进而借助三角形全等解决问题。
2.在倍半角关系模型中，有时会遇到非共顶点的倍半角关系，其基本解题策略是通过构造等腰三角形或是对称、翻折等方法“化不等量为等量”，将倍半角关系转化为等角关系进一步求解。
一、倍半角关系模型之共顶点倍半角：（一）背景是等腰（直角）三角形或等边三角形例1如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=900,D,E为AB边上两点，且∠DCE=450，若AD=2，BE=1,则DE=【方法提炼】已知∠ACB=900，∠DCE=450,关注信息∠ACD+∠BCE=∠DCE，CA=CB,利用“截大、补小”的转化策略构造等角，将∠ACD+∠BCE=∠DCE这一条件信息转化为两角相等问题，借助三角形全等进一步转化等量关系。
此题有“旋转”和“对称”两种解法.【方法应用】如图，∠ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交边AB、AC于M、N两点，连接MN，完成下列各题：(1) 若MN//BC，请写出线段BM、MN、NC之间的数量关系，不要求证明。
(2) 如图2，若MN与BC不平行，其他条件不变，试问（1）中线段BM、MN、NC之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由。
(3) 若点M、N分别是边AB、CA延长线上的点，其他条件不变，探究线段BM、MN、NC之间的数量关系，并加以证明。
（二）背景是正方形例2如图①,已知在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=450.求证:EF=BE+DF如图②,已知在正方形ABCD中,若点E在CB的延长线上,点F在DC的延长线上,∠EAF=450试判断线段BE,DF,EF 之间的关系,并证明.①②【方法提炼】发现“共顶点倍半角”模型，可以将∠ADF绕点A顺时针旋转900，得到∠ABG，由旋转的性质及∠EAF=450，可得∠EAF=∠GAE，从而证明∠AEF∠∠AEG，从而证出（1）的结论，类比上述方法得出（2）的结论【方法应用】1、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M,N．（1）当∠MAN绕点A旋转到如图1的位置时，求证：BM+DN=MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是；（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样数量关系呢？并对你的猜想加以说明．(三)与抛物线结合例3如图,抛物线y=ax2+bx+4过A(2,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,过点C作x轴的平行线与抛物线的另一交点为(1)求抛物线的函数解析式和∠ACB 的正切值;(2)若∠ACP=45°,求m 的值【方法提炼】由已知信息“∠ACP=45°”入手，注意到∠OCD=90°,联想到“共顶点倍半角”模型，过点B 作BM ⊥CD 于点M ，交CP 于点N ，发现正方形BOCM ，连接AN 。
(完整版)初中数学——用“倍半角模型”解题事半功倍
用“倍半角模型”解题事半功倍
本文中题目几乎都是在平时教学中学生遇到过的习题，这里笔者介绍一个“倍半角模型”，对每道例题采用“常规解法”及“倍半角解法”，两相比较，让大家体会“倍半角模型”的优势.当然笔者还是强烈建议学生首先会“常规解法”，然后再研究“倍半角解法”，两相结合，能力自会提升，趣味更会无穷！分两部分呈现给大伙！摘要：通过平时教学中遇到过的一些问题，提供其常规解法及“倍半角模型”解法，两相对比，让读者体会“倍半角模型”解题的优势.另外，本文中体现出来的“基于确定性思想的因果关系分析法”是我们解题解决问题的一种重要思考方式与方法．
关键字：一题多解；倍半角模型；确定性思想；因果分析法
首先，一个问题如果是确定性的，那么就注定是可解的.其次，因果法是一种重要的思考问题的方式，“由因导果、执果索因”是分析问题、解决问题的重要途径.下面笔者借助平时教学中遇到过的一些问题，通过常规解法及“倍半角”解法，两相对比，让大家体会“倍半角”解题模型的优势.。