2.1《平面向量的实际背景及基本概念》课件(新人教版A版必修4)

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数学：2.1.1《平面向量的实际背景及基本概念》PPT课件(新人教A版必修4)

b· b
＝a2－b2.
的夹角为例 4、已知 | | 6 , | | 4 , 与
60 ,
o
a ba b
求（ 2 ) ( 3 ) 。
ab ab
解:
例 5 . 已知 | a | 3 , | b | 4 , 当且仅当 k 为何值时，向量 a k b 与 a k b 互相垂直？

O
θ
B1 a
A
当 a 与 b 反向时 a b | a || b |;
2 a
2 特别地 a a |a |或 |a | a a
ab ( 4 )cos | a||b|
( 5 ) | a b | | a || b |
记为a⊥b.
O
B
b O a A
我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积”的概念。
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a· b
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 CC B 0 量A 。 C C B，即A
C
B
O
O a , O C b 解：设 A 则 A ， Ca b , C B a b 由此可得： A CC B ab ab
作业：
1 、若 | a| |b| 1 ,a b 且 2 a 3 b 与 k a 4 b 也互相垂直，求 k 的值。 2 、设 a 是非零向量，且 bc ,求证： a ba c a ( b c )

2.1平面向量的实际背景及基本概念- 高中数学人教A版必修4课件(共19张PPT)

位移和距离
长度+方向
香港
上海台北
物理背景引入
G
F
力大小+方向
物理背景引入
速度大小+方向
物理背景引入
物理
位移
矢力量
速度
大小+方向
数学向量
概念理解
定义：既有大小又有方向的量叫向量。注：1.向量两要素；
2.向量与数量的区别： ①数量只有大小，可以比较大小。
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。
概念辨析
判断题
1.身高是一个向量 ( ) 2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（）
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量 ( )
几何表示
有向线段：如图，以 A 为起点、B 为终点的有向线段. 记作 AB
或 a ，一条有向线段由哪几个基本要素所确、方向
向量关系
2.相等向量的定义：长度相等，方向相同的向量
D
A
uuur uuur
记作：AB DC
B
C
3.相反向量的定义：长度相等，方向相反的向量
r a
rr
r c
记作： a = -c
典型例题
例 1 判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量 a 与b 同向，且| a || b | ，则a b ； (2)若向量| a || b | ，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量| a || b | ，若a 与b 的方向相同，则a b ； (4)由于0 方向不确定，故0 不与任意向量平行； (5)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．

高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版必修4[1]

例1 下列结论中正确的是( )
A．向量A→B的长度和向量B→A的长度相等
栏
目
B．向量 a 与 b 平行，则 b 与 a 方向相同
链
接
C．两个有共同起点而长度相等的向量，它们的终点必
相同
D．若 a 与 b 平行同向，且|a|＞|b|，则 a＞b
第十九页，共33页。
解析：A 正确．
B 不正确．共线向量包括方向相同和相反．
栏
构成的图形是________．
目链
接
解析：(1)单位向量不唯一，因为方向可以不同．有无数个单位向量．
(2)圆
第十页，共33页。
基础梳理
三、共线向量(xiàngliàng)与相等向量(xiàngliàng)
1．平行向量：方_向__(_fā_n_g_x_i_à_n_g_)相__同__或__相__反__的__非_叫零做向平量行向量，
栏
C．如果|a|＝|b|，则 a 与 b 长度相等
目
链
D．共线向量一定在同一条直线上
接
解析：向量的模也就是向量的长度，故 C 正确．答案：C
第二十一页，共33页。
题型2 相等(xiāngděng)向量与平行向量的理解例2 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量O→A、O→B、O→C相等的向量．
接
么方向？D 点距 A 点多远？
第三十页，共33页。
跟踪
训练
解析：由|B→C|＝100 2，知 C 在 A 的正北方向，|A→C|＝100 2.
栏目链接
又由|C→D|＝50 2，∠ACD＝60°知∠CDA＝90°. 即∠DAC＝30°，故D→A的方向为南偏西 30°，长度为 50 6 km.

高中数学(人教A版必修4)课件2.1平面向量的实际背景及基本概念

第二章
平面向量
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
课前热身
名师讲解
典例剖析
考题精选
技能提升
课前热身
1.向量的概念 (1)向量：既有________，又有________的量叫做向量． → → (2)向量的长度(或模)：向量AB的大小，也就是向量AB的 ________(或模)，记作________． (3)零向量：长度为________叫做零向量，记作 ________． (4)单位向量：长度为________的向量叫做单位向量．
分析要准确判断本题，必须对向量的有关概念，有准确清晰的理解和把握，向量不同于数量，向量不仅有大小，还有方向；向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
解 (1)不正确，因为温度只有大小而没有方向． (2)不正确，0表示的是向量，而0表示的数量，二者有本质上的区别． (3)正确．
(4)不正确，|a|＝|b|表示的仅仅是两个向量的模相等，但方向是不确定的． → → (5)不正确， AB 和 BA 表示的是长度相等，方向相反的两个向量，不是相同的向量．
解析
两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与
→ → 起点和终点的位置无关，故(1)不正确. AB ＝ DC ，A，B，C， D四点可能在同一条直线上，故(2)不正确．在平行四边形 → → → → → ABCD中，|AB|＝|DC|，AB与DC平行且方向相同，故AB＝
→ DC
，故(3)正确．a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同．b＝
→ → 解析 AB与CD两向量共线有如下几种情形：
结合图形，知①不正确，②、③正确，④不正确．
答案 B
类型二
共线向量与相等向量
例2 给出下列命题： (1)两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等． → → (2)若 AB ＝ DC ，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点．

2.1 平面向量的实际背景及基本概念课件(人教A必修4)

[研一题] [例 2] 已知汽车从 A 地按北偏东 30° 的方向行驶 200 km 到
达 B 地，再从 B 地按南偏东 30° 的方向行驶 200 km 到达 C 地， BC 再从 C 地按西南方向行驶 100 km 到达 D 地，作出向量 AB ，， CD (用 1 cm 表示 100 km)
所以 AB∥CD.

又因为| AB |＝| CD |，
所以四边形 ABCD 为平行四边形．所以|

在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务，它
从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变方向，向
东航行了200 km到达D点，此时，它完成了此片海区的巡
逻任务．请你回答下列问题： (1)作出向量 AB ， BC ， CD ；
(2)求| AD |. [巧思] 运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．根据向量的关系确定| AD |.

[妙解] (1)作向量 AB ， BC ， CD ，
如图．

(2)由题意，易知 AB 与 CD 方向相反，所以 AB 与 CD 共线．

书写时用带箭头的小写字母 a ， b ， c ，…表示向量．
3．向量的长度(模) | AB |(或|a|)表示向量 AB (或 a)的大小，即长度(或称模)．

4．向量的有关概念
零向量单位向量平行向量 (共线向量) 长度等于零的向量，记作长度等于 1个单位的向量方向相同或相反的非零向量．

高中数学人教A版必修4课件：2.1 平面向量的实际背景及基本概念

∴AC=2 000.又 ∠ACD=45° ,CD=1
000 2,
∴△ADC 为等腰直角三角形 . ∴AD=1 000 2,∠CAD=45° .
故向量 �� 的模为1 000 2 km,方向为东南方向 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点混淆向量的有关概念而致错【例4】下列语句: ①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; ②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ③两个有共同终点的向量,一定是共线向量;
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :以 A 为原点 ,正东方向为 x 轴正方向 ,正北方向为 y 轴正方向建立直角坐标系 . 根据题设 ,点 B 在第一象限 ,点 C 在 x 轴正半轴上 ,点 D 在第四象限 ,向量 �� , �� , �� 如图所示. 由已知可得 ,△ABC 为正三角形,
反思在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】已知飞机从 A 地按北偏东 30° 方向飞行 2 000 km 到达 B 地 ,再从 B 地按南偏东 30° 方向飞行 2 000 km 到达 C 地 , 最后从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达��地 . 画图表示向量 �� , �� , �� , 并指出向量 �� 的模和方向.
【例 3】一辆汽车从点 A 出发向西行驶了 100 千米到达点 B, 然后又改变方向向西偏北 50° 行驶了 200 千米到达点 C,最后又改变方向,向东行驶了 100 千米到达点 D. (1)作出向量�� , �� , �� ; (2)求|��|. 分析:先根据行驶方向和距离作出向量,再求解 .

高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版必修4

精选ppt
12
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量a 与 b 相等，记作a b.
C
D
A
BC
D A
B
注意：（1）两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别.
（2）零向量与零向量相等；
（3）对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动
的.因此任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并
-1 0 1 2 3
一个实数，可用数轴上的点表示；一个二次函数，可用一条抛物线表示；一个角的正弦、余弦和正切，可用三角函数线(有向线段) 表示… 数学中有许多量都可以用几何方式表示.
精选ppt
5
B（终点）
在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有
方向，具有方向的线段叫做有向线段.
精选ppt
6
（2）向量的几何表示 ——用有向线段表示.
画图时，我们常用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
B
a
A
（3）向量的表示方法：
一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 AB,CD,
若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体
且与有向线段的起点的选取无关；
精选ppt
13
向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
即向量和有向线段是两个不同的概念.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，二者只是一种对应关系.

高中数学必修四2.1平面向量的实际背景及基本概念课件人教A版

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2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1 2 3
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D典例透析
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(3)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作�� (如图 ), 线段��的长度也叫做有向线段 �� 的长度 , 记作 |�� |. 书写有向线段时, 起点写在终点的前面 , 上面标上箭头 .
答案: ��, �� , ��
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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D典例透析
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1.向量和有向线段的区别与联系剖析:向量是规定了大小和方向的量,有向线段是规定了起点和终点的线段.它们的联系是向量可以用有向线段来表示,这条有向线段的长度就是向量的长度,有向线段的方向就是向量的方向.它们的区别是向量可以自由移动,故当用有向线段来表示向量时,有向线段的起点是任意的.而有向线段是不能自由移动的,有向线段平移后就不是原来的有向线段了.有向线段仅仅是向量的直观体现, 是向量的一种表现形式,不能等同于向量;有向线段有平行和共线之分,而向量的平行和共线是相同的,是同一个概念.
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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.1.1平面向量的背景及其基本概念》课件

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课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．
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【变式 1】下列说法正确的是(
)．
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，∴A
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解析 (1)错误．由|a|＝|b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它们方向的关系． (2)错误.0 的模|0| ＝0. (3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． (4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可， → 、CD → 必须在同一直线上．并不要求两个向量AB 答案 (3)
不能漏掉“→”．
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2．共线向量 (1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中 “共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义． (2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量． (3)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．
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【变式 3】如图所示，△ABC 的三边均不相等，E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点． → (1)写出与EF共线的向量； → (2)写出与EF的模相等的向量； → 相等的向量． (3)写出与EF

人教新课标A版高中数学高一必修4课件2.1平面向量的实际背景及基本概念

B→F、F→B. (3)向量A→O与C→O是否相等？
解向量A→O与C→O不相等，因为A→O与C→O的方向相反，所以
它们不相等.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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当堂检测
1.下列说法正确的是( ) A.零向量没有大小，没有方向 B.零向量是唯一没有方向的向量 C.零向量的长度为0 D.任意两个单位向量方向相同
＝D→N，A→M＝N→C，M→B＝D→N，M→B＝N→C，D→N＝N→C，同理与A→M
反向的也有 6 对.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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(3)模为 5的相等向量共有 4 对，A→N＝M→C，N→A＝C→M，M→D＝ B→N，D→M＝N→B.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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规律方法判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关.对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. ①记法：向量a平行于b，记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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跟踪演练3 如图所示，O为正方形ABCD对角
线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形. (1)写出与A→O相等的向量；解与A→O相等的向量为：O→C、B→F、E→D.
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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(2)写出与A→O共线的向量；解与A→O共线的向量为：O→A、O→C、C→O、A→C、C→A、E→D、D→E、

2.1 平面向量的实际背景及基本概念秋学期高中数学必修4(人教A版)PPT课件

方向相同或相反的非零向量 a，b
平行，记作 a∥b 规定：零向量与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
温馨提示共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a＝b，b＝c，则 a＝c.( ) (2)若 a∥b，则 a 与 b 的方向一定相同或相反．( ) (3)若非零向量A→B∥C→D，那么 AB∥CD.( ) (4)向量的模是一个正实数．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)由题意，易知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线．又|A→B|＝|C→D|，所以在四边形 ABCD 中，AB CD. 所以四边形 ABCD 为平行四边形．所以|A→D|＝|B→C|＝200(千米)．
归纳升华 1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 2．书写有向线段时要注意起点和终点的不同，用字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头．
(3)A→B＝D→C，A、B、C、D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|A→B|＝|D→C|，A→B与D→C平行且方向相同，故A→B＝D→C，故②正确；a＝b 则|a|＝|b|，且 a 与 b 方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 长度相等且方向相同，故 a＝c，故③正确；对于④，当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行，故④不正确．
[变式训练] 中国象棋中规定：马走“日”字，象走 “田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8 的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在 A 处，可跳到 A1 处，也可跳到 A2 处，用向量A→A1，A→A2表示马走了“一步”．通过探究，你能在图中画出马在 B，C 处走了一步的所有情况吗？