【学案导学备课精选】2015年高中数学 3.4导数的四则运算法则同步练习(含解析)北师大版选修1-1

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【选修1-1】高中数学3.4导数的四则运算法则练习北师大版

2015-2016学年高中数学 3.4导数的四则运算法则练习北师大版选修1-1一、选择题1．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1[答案] B[解析] y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1， ∴x 0＝12a ，∴y 0＝12a ，代入y ＝ax 2＋1得，1 2a ＝14a ＋1， ∴a ＝14，故选B.2．(2014·山师附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( ) A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.22 [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A. 3．函数y ＝cos xx 的导数是( ) A ．－sin x x 2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2 D ．－x cos x ＋cos xx 2 [答案] C [解析] y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝cos x x －cos x xx 2＝－x sin x －cos xx 2. 4．(2014·辽宁六校联考)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数y ＝f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线斜率为32，则切点的横坐标为( )A.ln22 B ．－ln22 C ．ln2 D ．－ln2[答案] C[解析] f ′(x )＝e x －a e －x ，由f ′(x )为奇函数，得f ′(x )＝－f ′(－x )，即(a －1)(e x ＋e －x )＝0恒成立，∴a ＝1，∴f (x )＝e x ＋e －x ，设切点的横坐标为x 0，由导数的几何意义有e x 0－e－x0＝32，解得x 0＝ln2，故选C.5．(2014·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)( ) A ．e －1 B ．－1C ．－e －1 D ．－e[答案] C[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ， ∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e ，故选C.6．(2014·泸州市一诊)若曲线f (x )＝x －12 在点(a ，f (a ))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝－12x －32 ，∴f ′(a )＝－12a －32 ，∴切线方程为y －a －12 ＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12 ，令y ＝0得x ＝3a ，由条件知12·32a －12 ·3a＝18，∴a ＝64. 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. [答案] 3[解析] ∵已知切点在切线上，∴f (1)＝12＋2＝52，又函数在切点处的导数为切线斜率，∴f ′(1)＝12， ∴f (1)＋f ′(1)＝3.8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．[答案] 2x －y ＋1＝0[解析] ∵点(1,3)在曲线y ＝x 3－x ＋3上，y ′＝3x 2－1，∴曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝(3x 2－1)|x ＝1＝2，∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.三、解答题9．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图像上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图像在x ＝a 处的切线平行于直线AB .[答案] 23[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)，即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.10．求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )(1＋1x)． (2)y ＝x x 3x cot t (t 为常数)．(3)y ＝x 2＋1x.[答案] (1)y ′＝－12x －32 －12x －12 (2)y ′＝76cos t ·x 16 (3)y ′＝32x 12 －12x －32 [解析] (1)y ＝(1－x )(1＋1x )＝1－x ＋1x－1＝x －12－x 12， y ′＝(x －12 －x 12 )′＝(x －12 )′－(x 12 )′＝－12x －32 －12x －12 .(2)y ＝x x 3x cot t ＝x 32 －13 ·cot t ＝x 76 ·cos t ，y ′＝(x 76 ·cot t )′＝cot t ·76 x 16 ＝76cos t ·x 16 . (3)y ＝x 2＋1x ＝x 2－12 ＋x －12 ＝x 32 ＋x －12 ，y ′＝(x 32 ＋x －12 )′＝32x 12 －12x －32 .一、选择题1．已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－5x －6－3cos x B ．x －6＋3cos xC ．－5x －6＋3cos x D ．x －6－3cos x[答案] C[解析] y ′＝－5x －6＋3cos x .2．函数f (x )＝x x x 的导数是( ) A.18x (x >0)B.－788xC.788xD.－188x[答案] C3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C. 4．曲线y ＝13x 3＋x 在点(1，43)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B ．29 C ．13 D ．23[答案] A[解析] 对函数y ＝13x 3＋x 求导得y ′＝x 2＋1，将x ＝1代入得曲线y ＝13x 3＋x 在点(1，43)处的切线斜率为k ＝2，故切线方程是y －43＝2(x －1)，该切线与坐标轴的交点是(13，0)，(0，－23)，故围成的三角形面积为19，故选A.二、填空题5．在火车开出车站一段时间内，速度v (m/s)与行驶时间t (s)之间的关系是v (t )＝0.4t ＋0.6t 2，则在t ＝________s 时，加速度为2.8m/s 2.[答案] 2[解析] v ′(t )＝0.4＋1.2t ，即加速度a (t )＝0.4＋1.2t .令a (t )＝2.8，则0.4＋1.2t ＝2.8，解得t ＝2，即在t ＝2s 时加速度为2.8m/s 2.6．(2014·昆明一中检测)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.[答案] 1[解析] f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，∵曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，∴f (0)＝a ＝g (0)＝1，且f ′(0)＝0＝g ′(0)＝b ，∴a ＋b ＝1.三、解答题7．求下列函数的导数． (1)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(2)y ＝－sin x 2(1－2sin 2x4)． [答案] (1)y ′＝41－x2(2)y ′＝－12cos x[解析] (1)y ＝1＋x21－x ＋1－x 21－x＝21＋x 1－x＝41－x－2，所以y ′＝(41－x －2)′＝41－x 2.(2)y ＝－sin x 2·cos x 2＝－12sin x ， ∴y ′＝(－12sin x )′＝－12cos x . 8．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[答案] (1)13x －y －32＝0 (2)l ：y ＝13x ；切点(－2，－26) (3)切点为(1，－14)时，切线方程4x －y －18＝0；切点为(－1，－18)时，切线方程4x －y －14＝0[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14. 即4x －y －18＝0或4x －y －14＝0.。

高中数学3.4导数的四则运算法则专项测试同步训练

高中数学3.4导数的四则运算法则专项测试同步训练2020.031,曲线31y x x =++在点（1,3）处的切线方程是_________________． 2,曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为a 则,61= .3,已知抛物线C 1：y=x 2+2x 和C ：y=－x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. （Ⅰ）a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（Ⅱ）若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分. 4,曲线x y 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是___________.5,若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6,曲线32y x x=-在点（1，1）处的切线方程为____________．7,在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．08,过点P （－1，2）且与曲线y=3x 2-4x+2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是__________.9,函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（）A ．1B ．2C ．3D ．410,已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点（1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且.21l l ⊥ （Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积.11,过点（-1，0）作抛物线12++=x x y 的切线，则其中一条切线为（）A.220x y ++=B.330x y -+=C.10x y ++=D.10x y -+=12,函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A. 18B.41C.21D.1答案1, 014=+-x y 解析：因为（1，3）在曲线31y x x =++上，所以可以求得132+='x y ，故切线的斜率为4，求得切线的方程为014=+-x y2, ±1解析：∵y '=3x 2,∵在(a,a 3)处切线为y-a 3=3a 2(x-a),令y=0,得切线与x 轴交点(2,03a ),切线与直线x=a 交于(a,a 3),∴曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为S=44111236a a a ⋅⋅=,令S=16,解得a=±1.3, （Ⅰ）解：函数y=x 2+2x 的导数y ′=2x+2,曲线C 1在点P （x 1,x 21+2x 1）的切线方程是：y －(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x －x 1),即 y=(2x 1+2)x －x 21①函数y=－x 2+a 的导数y ′=－2x, 曲线C 2 在点Q （x 2,－x 22+a ）的切线方程是即y －(－x 22+a)=－2x 2(x －x 2). y=－2x 2x+x 22+a . ② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程， x 1+1=－x 2 所以－ x 21=x 22+a.消去x 2得方程 2x 21+2x 2+1+a=0.若判别式△=4－4×2（1+a ）=0时，即a=－21时解得x 1=－21，此时点P 与Q 重合.即当a=－21时C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x －41.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－21时C 1和C 2有两条公切线设一条公切线上切点为：P （x 1,y 1）, Q （x 2 , y 2 ）.其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有 x 1+x 2=－1,y 1+y 2=x 21+2x 1+(－x 22+a)= x 21+2x 1－(x 1+1)2+a=－1+a .线段PQ 的中点为).21,21(a +--同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是).21,21(a+--所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分. 4,解析：两曲线方程联立得⎪⎩⎪⎨⎧==21xy xy ，解得⎩⎨⎧==11y x ，），交点坐标为（11∴x y x y 2,2='=对于函数Θ 0172=--∴y x 切线方程为2,1--='=x y x y 对于函数Θ 02=-+∴y x 切线方程为∴43)212(121=-⨯⨯=s5, A 解：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A6, 02=-+y x 解析：因为（1，1）在曲线32y x x=-上，所以可以求得232x y -='，故切线的斜率为1-，求得切线的方程为7, A 解析：根据导数定义求出函数x x y 83-=的导数为832-='x y ，依题意得18302<-<x ，即32<x ，故整数x 有1,0,1-三个，坐标为整数的点也有3个.故选A.8, 042=--x y解析：y=3x 2-4x+2的导数为46-='x y ，故过点M （1，1）处的切线的斜率为2，又过点P （－1，2），可以求得直线方程为042=--x y9, D 解析：函数)1()1(2-+=x x y 的导数为1232-+='x x y ，所以4)1(='f ，故选D.10, 解：y ′=2x+1. 直线l 1的方程为y=3x －3.设直线l 2过曲线y=x 2+x －2上的点B （b, b 2+b －2）,则l 2的方程为y=(2b+1)x －b 2－2因为l 1⊥l 2，则有2b+1=.32,31-=-b 所以直线l 2的方程为.92231--=x y （II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).25,61(-l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,322(-.所以所求三角形的面积 .12125|25|32521=-⨯⨯=S11, D 解析：设),(11y x 为作抛物线12++=x x y 上一点，则在该点处切线的斜率为121+='x y于是过点),(11y x 的抛物线的切线的方程为))(12(111x x x y y -+=-，又11211++=x x y ，))(12(111121x x x x x y -+=++-∴）（又）在切线上，点（01Θ，∴)1(12111121x x x x --+=++-）（）（解之得2,011-==x x ，于是3111-==y y 或则：过（0，1）的切线方程为x y =-1，即01=+-y x 过（-2，-3）的切线方程为)2(33+-=-x y ，即0123=-+y x12, B 解：方法（一）利用切线的性质由题意,得210ax x -+=有两个等实根,得a=14,选(B)方法（二）利用导数定义可得ax y 2='，切点在直线y ＝x 设切点为（x,x ）,根据切点在y ＝ax 2＋1和切点的导数为切线的斜率得⎩⎨⎧=+=1212ax ax x 可得41=a .。

x年高二数学全套备课精选同步练习导数的四则运算法则北师大版选修Word版

§4 导数的四则运算法则课时目标 1.理解导数的四则运算法则.2.能利用导数公式和四则运算法则求解函数的导数．导数的运算法则：(1)′＝______________； (2)′＝______________； (3)′＝________________；(4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝____________________.一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y′＝0B ．若y ＝12x，则y′＝－14xC ．若y ＝－x ，则y′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y′＝32．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A .12e 2B .94e 2C ．2e 2D ．e 23．已知f(x)＝x 3＋3x＋ln 3，则f′(x)为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x·ln 34．曲线y ＝x e x＋1在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．2x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x －2y ＋2＝05．已知函数f(x)＝x 4＋ax 2－bx ，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( )A ．18B ．－18C ．8D ．－86．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ． B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§4 导数的四则运算法则知识梳理(1)f′(x)＋g′(x) (2)f′(x)－g′(x) (3)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)(4)f′x g x －f x g′x [g x ]2(g(x)≠0) 作业设计 1．B 2．A 3．C 4．A 5．A 6．A ．∴直线l 的斜率的范围是，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.]7．4解析 ∵f′(x)＝ax a －1，∴f′(－1)＝a(－1)a －1＝－4，∴a＝4. 8．2x解析 ∵f(x－1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f(x)＝x 2，f′(x)＝2x. 9.12516解析 ∵s′＝2t －3t 2，∴v＝s′(4)＝8－316＝12516(m /s )．10．解 (1)y′＝(10x )′＝10xln 10. (2)y′＝x ＋cos x ′x －cos x －x ＋cos x x －cos x ′x －cos x2＝1－sin x x －cos x －x ＋cos x 1＋sin x x －cos x2＝－2cos x ＋x sin x x －cos x 2. (3)y′＝(2x )′cos x ＋(cos x)′2x－3 ＝2x ln 2·cos x －sin x·2x－3 ＝2x ln 2·cos x －2xsin x －3log 2 009 x －3log 2 009 e .(4)y′＝(x tan x)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos x 2＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos x 2＝sin x cos x ＋x cos 2x ＋sin 2x cos x 2＝12sin 2x ＋x cos x 2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x. x ．解设P(x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0.② 又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. x ．D13．解依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12.切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. ∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性课时目标掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号和函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数f (x )是________的．2．函数的单调性决定了函数图像的大致形状．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙： f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－x D ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)＝2f (1) C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪ C ．题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为__________． 9．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调区间．x．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升x．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．第四章导数应用§1函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性知识梳理1．f′(x)>0 减少作业设计 1．A 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．(－1,x)解析 ∵f′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －x)．由f′(x)<0，得－1<x<x ， ∴f(x)的单减区间为(－1,x)． 8．(－∞，－3]解析 f′(x)＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a<0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<036＋12a≤0， ∴a≤－3. 9．即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f′(x)＝3ax 2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f′(x)＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)．x ．解由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a<0时，令f′(x)＝0，解得x ＝－a ＋12a，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f′(x)>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f′(x)<0. 故f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a<0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．13．解 (1)由已知，得f′(x)＝3x 2－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x 2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在实数集R上单调递增，所以a≤0.(2)假设f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，则a≥3x2在x∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以只需a≥3.当a＝3时，在x∈(－1,1)上，f′(x)＝3(x2－1)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，所以a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．1.2 函数的极值课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的极大值点和极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为________________，其函数值f(x0)为函数的________________________．2．函数的极小值点和极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_________，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的__________．3．极值和极值点极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为__________．极值是函数在一个适当区间内的局部性质．一、选择题1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图，则函数f(x)( )A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<03．函数f (x )＝x ＋1x在x >0时有( )A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在4．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( ) A ．0<b <1 B ．b <1C ．b >0D ．b <126．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <2 C ．a <－1或a 题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝______.8．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是__________．三、解答题10．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－x x ；(2)f (x )＝x e －x.x ．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．能力提升x ．已知函数f (x )＝(x －a )2(x －b )(a ，b ∈R ，a <b )．(1)当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个极值点，x 3是f (x )的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2.证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4.1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．1.2 函数的极值知识梳理1．函数y ＝f (x )的极大值点极大值 2．大于x 0点的函数值极小值 3．极值极值点作业设计 1．C 2．C 3．A 4．A 5．A 6．D 7．3解析 f ′(x )＝2x x ＋1－x 2＋a x ＋12＝x 2＋2x －ax ＋12.∵f ′(1)＝0，∴1＋2－a4＝0，∴a ＝3.8．1 －3解析因为f ′(x )＝3ax 2＋b ，所以f ′(1)＝3a ＋b ＝0.①又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2.② 由①②解得a ＝1，b ＝－3.9.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)，∴f ′(x )>0时得：x >a 或x <－a ，f ′(x )<0时，得－a <x <a .∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0.a >0解得a >22. 10．解 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－x ＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：从表中可以看出，当x ＝－2时，函数f (x )有极大值，且f (－2)＝(－2)3－x×(－2)＝16；当x ＝2时，函数f (x )有极小值，且f (2)＝23－x×2＝－16.(2)f ′(x )＝(1－x )e －x.令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)，且f (1)＝1e.x ．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6.因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′ (x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－x(6－m )≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (2)>0或f (1)<0时，f (x )＝0仅有一个实根．解得a <2或a >52.x ．(1)解当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝(x －1)2(x －2)，因为f ′(x )＝(x －1)(3x －5)，故f ′(2)＝1，又f (2)＝0，所以f (x )在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2.(2)证明因为f ′(x )＝3(x －a )(x －a ＋2b3)，由于a <b ，故a <a ＋2b3，所以f (x )的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b3.不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b3，因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f (x )的零点，故x 3＝b .又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b 3)，x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3，此时a ，2a ＋b 3，a ＋2b3，b 依次成等差数列，所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b3.§2 复数的四则运算课时目标 1.掌握复数的四则运算的意义和法则.2.理解复数运算中的实数化思想．1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝__________，z 1－z 2＝____________.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝__________， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(____________)． 2．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝ (a ＋b i)(c ＋d i)＝______________. 3．复数乘法的运算律对任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝__________结合律 (z 1·z 2)·z 3＝________乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝__________4.设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则z ＝_________叫z 的共轭复数．若b ≠0，则z 叫虚数z的________虚数，且z＋z＝________，z－z＝________，两共轭复数在复平面内所对应点关于________对称．5.a ＋b ic ＋d i＝__________________.一、选择题1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( ) A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i2．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．33．设i 是虚数单位，则i 3(i ＋1)i －1等于( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i4．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( ) A ．x ＝3，y ＝3 B ．x ＝5，y ＝1 C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝15．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( ) A ．iB ．－iC ．±1D ．±i二、填空题6．已知复数z ＝1＋i ，则2z－z ＝________.7．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．8．若21－i ＝a ＋b i (a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝________.三、解答题9．计算：(1)(2＋i)(2－i)； (2)(1＋2i)2； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i.10.已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y的值．能力提升x．复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于( )A．x象限B．x象限C．x象限D．第四象限x．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋k i＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．1．复数的乘法与多项式乘法是类似的，在所得结果中把i2换成－1.2．复数除法的实质是“分母实数化”，一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数．3．解决复数问题时，可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件，即实数化思想．§2 复数的四则运算答案知识梳理1．(1)(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i (2)z 2＋z 1 z 2＋z 3 2．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i3．z 2·z 1 z 1·(z 2·z 3) z 1z 2＋z 1z 3 4．a －b i 共轭 2a 2b i x 轴 5.ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i (c ＋d i ≠0) 作业设计 1．C 2．B 3．A 4．D 5．D 6．－2i解析 2z －z ＝21＋i －1－i ＝2(1－i)(1＋i)(1－i)－1－i ＝－2i.7．2解析方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ， ∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i 13＝2i ，∴|z |＝2.方法二由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i2－3i.则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋32＝2. 8．2解析由21－i ＝a ＋b i ，得2＝(a ＋b i)·(1－i)，∴2＝a ＋b ＋(b －a )i ，(a ，b ∈R )，由复数相等的定义，知a ＋b ＝2. 9．解(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.(3)方法一原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)226＋(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方法二 (技巧解法)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)226＋(2＋3i)i (3－2i)i＝i 6＋(2＋3i)i 2＋3i＝－1＋i. 10．解设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i.又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.x ．Ax ．解设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋kx 0＋2＝02x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝2k ＝－22或⎩⎨⎧ x 0＝－2k ＝22，∴方程的实根为x ＝2或x ＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.§2 导数在实际问题中的应用课时目标 1.理解实际问题中导数的意义.2.区分极值和最值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．中学物理中，速度可以看作______________的导数，线密度是__________________的导数，功率是________________的导数．2．函数的最大值点：函数y＝f(x)在区间上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．3．函数的最值函数的最大值和最小值统称为________．一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若f (x )在上有极大值，则极大值一定是上的最大值B ．若f (x )在上有极小值，则极小值一定是上的最小值C ．若f (x )在上有极大值，则极小值一定是x ＝a 和x ＝b 时取得D ．若f (x )在上连续，则f (x )在上存在最大值和最小值2．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在上的最大值和最小值是( )A ．f (1)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (1)，f (5)D ．f (5)，f (2)3．函数y ＝xe x 在上的最大值是( ) A ．当x ＝1时，y ＝1e B ．当x ＝2时，y ＝2e 2 C ．当x ＝0时，y ＝0 D ．当x ＝12，y ＝12e 4．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( )A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在上的最大值为20，则c 的值为( )A ．1B ．4C ．－1D ．06．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32 B.12C ．－12D ．－12或－32题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．8．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为____________． 9．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体，如果最初有500克氡气，那么七天后氡气的剩余量为A (t )＝500×0.834t ，则A ′(7)约为________，它表示____．三、解答题10．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈．x ．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)能力提升x ．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围．13．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x 对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．3．可以利用导数的实际意义，建立函数模型，解决实际生活中的最大值、最小值问题． §2 导数在实际问题中的应用知识梳理1．路程关于时间质量关于长度功关于时间3．最值作业设计1．D 上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在上一定存在最大值和最小值．]2．D3．A4．A5．B 时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4.]6．C 上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．]7．－1解析 f ′(x )＝1x －1＝1－x x，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1. 8. 211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0， ∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2.即12≤f (x )≤122e π. 9．－25.5 氡气在第7天时，以25.5克/天的速度减少10．解 (1)f ′(x )＝12＋cos x . 令f ′(x )＝0，又∵0≤x ≤2π，∴x ＝2π3或x ＝4π3. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，又∵f (0)＝0，f (2π)＝π.∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0，当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在内恒大于0，∴f (x )在上为增函数．故x ＝－1时，f (x )最小值＝－x ；x＝1时，f(x)最大值＝ 2.即f (x )在上的最小值为－x ，最大值为2.x ．解设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)， f ′(x )＝48－10 800x 2，令f ′(x )＝0得x ＝15.当x >15时，f ′(x )>0；当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．x ．解由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立，知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1. 因为f (－13)＝8627， f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5.所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)．13．解收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)， L ′＝－14q ＋21，令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84. 因为当0<q <84时，L ′>0；当84<q <200时，L ′<0，所以当q ＝84时，L 取得最大值．所以产量q 为84时，利润L 最大．章末总结（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

高中数学《导数的四则运算法则》知识点讲解及重点练习

5.2.2 导数的四则运算法则学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点导数的运算法则已知f (x )，g (x )为可导函数，且g (x )≠0.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2.1.⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( √ ) 2．函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( √ )3．当g (x )≠0时，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )一、利用运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋43x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝x 1＋x； (4)y ＝lg x －e x ；(5)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋43x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫43x 3′＝x 4＋4x 2. (2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝x ′(1＋x )－x (1＋x )′(1＋x )2＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (4)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (5)y ′＝⎣⎡⎦⎤(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1′ ＝⎝⎛⎭⎫1x －x ′1122=x x '-⎛⎫- ⎪⎝⎭1131222211=22x 'x 'x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－－＝－－－＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . 反思感悟利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2； (3)y ＝e xx； (4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解 (1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一 y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋(2x 2－1)×3＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.方法二 ∵y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，∴y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3.二、利用运算法则求曲线的切线例2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. (2)已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.①求a ，b 的值；②如果曲线y ＝f (x )的切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切线的方程．解 ①f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，解得a ＝1，b ＝－16.②∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18，则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．跟踪训练2 (1)曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝5x －4C ．y ＝－5x ＋6D ．y ＝x －1答案 C解析由y ＝x 3－4x 2＋4，得y ′＝3x 2－8x ，y ′|x ＝1＝3－8＝－5，所以曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－5(x －1)，即y ＝－5x ＋6.(2)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案 1,1 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是( ) A. 2 B.22C ．1D ．2 答案 B解析设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴0=|x x y'＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22，即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22. (2)设曲线 y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与直线 x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 2e解析令y ＝f (x )，则曲线y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线的斜率为f ′(1)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝2.因为f (x )＝a (x －1)e x ，所以f ′(x )＝a e x ＋a (x －1)e x ＝ax e x ，所以f ′(1)＝a e ，故a ＝2e. 反思感悟本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 求曲线y ＝2e(x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积．解由题意可知，y ′＝2ex ·e x ，y ′|x ＝1＝2， ∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 2．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝ln x x，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝(ln x )′·x －ln x ·(x )′x 2＝1x ·x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2，所以f ′(1)＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．(多选)下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案 AD解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确；B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2答案 B解析对函数求导得f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，∴f ′(0)＝1，∴函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4. 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 答案 B解析 ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x(a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是( ) A ．a B ．0 C ．－a D ．a 2答案 AC解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________. 答案 23解析因为f ′(x )＝(sin x )′(1＋cos x )－sin x (1＋cos x )′(1＋cos x )2＝cos x (1＋cos x )－sin x (－sin x )(1＋cos x )2＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x (1＋cos x )2＝cos x ＋1(1＋cos x )2 ＝11＋cos x . 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝11＋cos π3＝23. 7．已知f (x )＝e x x，则f ′(1) ＝________，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________. 答案 0 12解析因为f ′(x )＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x (x －1)x 2(x ≠0)．所以f ′(1)＝0.由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得()00020e 1e 0.x x x x x 0-＋＝解得x 0＝12. 8．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________．答案 y ＝x解析 ∵f (x )＝e x ·sin x ，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .9．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x，由题意可知，存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0，即a ＝2x ＋1x成立，∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立)．∴a 的取值范围是[22，＋∞)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.11．已知曲线f (x )＝x 2＋ax ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a 等于( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 ∵f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.12．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a 等于() A.12 B ．1 C ．－32 D ．－1答案 C解析因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x ，所以f ′(1)＝1＋a .又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32，故选C. 13．已知函数f (x )＝f ′(－1)x 22－2x ＋3，则f (－1)的值为________．答案 92解析 ∵f ′(x )＝f ′(－1)·x －2，∴f ′(－1)＝－f ′(－1)－2，解得f ′(－1)＝－1.∴f (x )＝－x 22－2x ＋3， ∴f (－1)＝92. 14．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点坐标为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x (x >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________. 答案 212解析因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.16．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点坐标为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。

《导数的四则运算法则练习题一

《导数的四则运算法则练习题一篇一：《导数的四则运算法则练习题一导数练习题一一、基础过关 1．下列结论不正确的是 ( ) A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3 1 C．若yx＋x，则y′＝－＋1 2D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x x 2．函数y＝的导数是 1－cos x1－cos x－xsin x1－cos x－xsin x1－cos x＋sin xA. B.C. 1－cos x?1－cos x??1－cos x?3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于 b 12．设函数f(x)＝ax－y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. x ( ) (1)求f(x)的解析式； 1－cos x ＋xsin xD.?1－cos x? ( ) A．－1 B．－2 C．2D．0 x＋1 4．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于 ( ) x－1 11 A．2B.C．－ D．－2 225．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________. 6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝(x－2)2；xx (3)y＝x－sin . 22 8．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 A．4 1 10．若函数f(x)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________. 3 11．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．第 1 页共 2 页 ( ) 1D．－ 2 1B．－ 4 C．2练习题一 1．D 2．B 3．B 4．D5.1 2 6．0.4 m/s 7．解 (1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′ ＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9. 方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3 －2x2 ＋9x－3)′ ＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－x)′＋4′＝1－111 2x－2＝1－2x2 (3)∵y＝x－sin x2cos x2 ＝x－1 2sin x，∴y′＝x′－(11 2sin x)′＝12x. 8．A 10．6 11．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b. 又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1. 12．(1)解由7x－4y－12＝0得y7 4 －3. 当x＝2时，y＝11 2∴f(2)2① 又f′(x)＝a＋bx，∴f′(2)7 4② ?2a－b1由①②得?22??a＝1 ? ab7 解之得???b ＝3. 44 故f(x)＝x－3 x 练习题二 1．A 2．D 3．A 4．B 5.??－13，1??∪[2,3)6.?π?3，5π3 7．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息： x －2或x 2时，f′(x) 0，－2 x 2时，f′(x) 0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0. 故原函数y ＝f(x)的图象大致如下： 8．A 9．C10．a≤0 11．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1 x y′ 0，得x 1；由y′ 0，得0 x 1. ∴函数y＝x－ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′11 2x，∵当x≠0时，y′＝－2x 恒成立．∴函数y＝1 2x 的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间． 12．解 (1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－ 1)＝6.∴???3－2b＋c＝6???－1＋b－c＋2＝1 ，即??2b－c＝－3 ?? b－c＝0 解得b＝c＝－3. 故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x) 0，得x 1－2或x 1＋2；令f′(x) 0，得12 x 1＋2. 故f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，12)和(12，＋∞)内是增函数，在(12，12)内是减函数． 13．解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m. (2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x) 0，即3mx2－6mx 0，当m 0时，解得x 0或x 2，则函数f(x)的单调增区间是 (－∞，0)和(2，＋∞)；当m 0时，解得0 x 2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上，当m 0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m 0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．第 2 页共2 页篇二：《导数的四则运算法则练习题一导数练习题一一、基础过关 1．下列结论不正确的是 ( ) A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3 1 C．若yx＋x，则y′＝－＋1 2D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x ＋sin x x 2．函数y＝的导数是 1－cos x1－cos x－xsin x1－cos x－xsin x1－cos x＋sin xA. B.C. 1－cos x?1－cos x??1－cos x?3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于 b 12．设函数f(x)＝ax－y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. x ( ) (1)求f(x)的解析式； 1－cos x＋xsin xD.?1－cos x? ( ) A．－1 B．－2 C．2D．0 x＋1 4．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于 ( ) x－1 11 A．2B.C．－ D．－2 225．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________. 6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s 时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2； xx (3)y＝x－sin . 22 8．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 A．4 1 10．若函数f(x)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________. 3 11．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．第 1 页共 2 页 ( ) 1D．－ 2 1B．－ 4 C．2练习题一答案 1．D 2．B 3．B 4．D5.1 2 6．0.4 m/s 7．解 (1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′ ＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9. 方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3 －2x2 ＋9x－3)′ ＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－x)′＋4′＝1－111 2x－21－2x－2 (3)∵y＝x－sin x2cos x2 ＝x－1 2sin x，∴y′＝x′－(11 2sin x)′＝12x. 8．A 10．6 11．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. 又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1. 12．(1)解由7x－4y－12＝0得y7 4 －3. 当x＝2时，y＝11 2∴f(2)2① 又f′(x)＝a＋bx，∴f′(2)7 4② ?2a－b1由①②得?22??a＝1 ? ab7 解之得???b＝3. 44 故f(x)＝x－3 x 练习题二答案 1．A 2．D 3．A 4．B 5.??－13，1??∪[2,3) 6.?π?3，5π3 7．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息： x －2或x 2时，f′(x) 0，－2 x 2时，f′(x) 0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0. 故原函数y＝f(x)的图象大致如下： 8．A 9．C10．a≤0 11．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1 x y′ 0，得x 1；由y′ 0，得0 x 1. ∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′11 2x，∵当x≠0时，y′＝－2x 恒成立．∴函数y＝1 2x 的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间． 12．解(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－ 1)＝6.∴???3－2b＋c＝6???－1＋b－c＋2＝1 ，即??2b－c＝－3 ?? b－c＝0 解得b＝c＝－3. 故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2. (2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x) 0，得x 1－2或x 1＋2；令f′(x) 0，得12 x 1＋2. 故f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，12)和(12，＋∞)内是增函数，在(12，12)内是减函数． 13．解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m. (2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x) 0，即3mx2－6mx 0，当m 0时，解得x 0或x 2，则函数f(x)的单调增区间是 (－∞，0)和(2，＋∞)；当m 0时，解得0 x 2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上，当m 0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m 0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．第 2 页共 2 页篇三：导数公式以及四则运算法则练习导数的计算一、选择题 cosx的导数是（）C x sinxxsinx?cosxxcosx?cosx? A?2B?sinx C?D xx2x21、函数y? 2、曲线y?x?ex在以下哪个点处的切线斜率等于0 （）A A （0，-1） B（1，0）C （0，1）D（-1，0） 3、函数y?sinx(cosx?1)的导数是（）C 2 A cos2x?cosx B cos2x?sinx C cos2x?cosx D cosx?cosx 4、曲线y?x?3x 上切线平行于x轴的点的坐标是（）D A（-1，2）B （1，-2）C（1，2）D （-1，2）或(1,-2) 5、设y??a??x，则y/等于（）D A31 2?a?1 2?x B 1 2?xC 1 2?a?1 2?xD?1 2?x 6、若f(x)?2sin(3x??)，则f/()等于（）B 44? A 6 B -6 C 2 D -2 37、曲线y?x?x?2在P点处的切线平行于直线y?4x?1，则此切线方程是（）D A y?4x By?4x?4C y?4x?8D y=4x或y=4x-4 2f(x)-8x的值是（）B x?1x-1 A 5B2 C 4D 不存在 8、已知f(1)=4,f (1)=5 则lim 二、填空题 9、函数y?xtanx的导数是_______________________.sinxcosx?x 2cosx 5210、设f(x)?x?4x?5,则f[f/(=___________________.2 2 211、函数y?(x?1)(x?1)在x?1处的导数是__________.412、函数y=log2的导数是_________________________________.三、解答题 13、求函数y?sin(x? 14、求函数y? 3ex+13(ex+x)ln2 1)的导数。

《3.4导数的四则运算法则》备课精选同步练习含答案

§4 导数的四则运算法则课时目标 1.理解导数的四则运算法则.2.能利用导数公式和四则运算法则求解函数的导数．导数的运算法则：(1)[f(x)＋g(x)]′＝______________；(2)[f(x)－g(x)]′＝______________；(3)[f(x)·g(x)]′＝________________；(4)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝____________________.一、选择题1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝12x，则y ′＝－14x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－ 12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A .12e 2 B .94e 2 C ．2e 2 D ．e 23．已知f(x)＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x)为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x ·ln 34．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＋2＝05．已知函数f(x)＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( )A ．18B ．－18C ．8D ．－86．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A .⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C .⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D .⎣⎡⎦⎤0，π∪⎣⎡⎦⎤π，3π 题号1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．已知f(x)＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝___________________.8．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.9．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s.三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x； (3)y ＝2x cos x －3x log 2 009x ；(4)y ＝x ·tan x .11.求过点(1，－1)与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程．能力提升12．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§4 导数的四则运算法则知识梳理(1)f ′(x)＋g ′(x) (2)f ′(x)－g ′(x)(3)f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)(4)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g(x)≠0) 作业设计1．B [y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ′＝(1212x -)′＝－1432x -＝－14x x .] 2．A [∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝y ′|x=2＝e 2.∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.] 3．C [(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．] 4．A [y′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.]5．A [∵f ′(x)＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18.] 6．A [∵y′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.] 7．4解析 ∵f ′(x)＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a(－1)a －1＝－4，∴a ＝4.8．2x解析 ∵f(x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f(x)＝x 2，f ′(x)＝2x.9.12516解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴v ＝s ′(4)＝8－316＝12516(m /s )． 10．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2 ＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2. (3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x)′2x －3[x′log 2 009 x ＋(log 2 009x)′x]＝2x ln 2·cos x －sin x·2x －3[log 2 009 x ＋⎝⎛⎭⎫1x log 2 009 e x]＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 009 x －3log 2 009 e .(4)y ′＝(x tan x)′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x (cos x )2＝sin x cos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . 11．解设P(x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0.②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.12．D [由已知f ′(x)＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4， ∴22≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.] 13．解依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12. 切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。

高中数学 3.4 导数的四则运算法则同步精练北师大版选

高中数学 3.4 导数的四则运算法则同步精练北师大版选修1-11．已知f (x )＝a 0x n＋a 1x n －1＋…＋a n －1x ＋a n (n ∈N ＋)，则f ′(0)等于( )A ．a nB ．a 0C ．a n －1D ． 02．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－123．若函数f (x )＝e x·sin x ，则函数的图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角4．若曲线f (x )＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2B.12C ．－12D ．－25．已知函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]6．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π7．(2014江西高考)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是__________．8．曲线y ＝f (x )＝sin x －cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32－12处的切线斜率为__________．9．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝f (x )＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是__________．10．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为_______________________________．11．求下列函数的导数： (1)y ＝x sin x －2cos x； (2)y ＝x (e x－1)＋ax 2；(3)y ＝x ·2x＋ln x .12．已知曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．参考答案1. 解析：∵f ′(x )＝na 0x n －1＋(n －1)a 1xn －2＋…＋a n －1，∴f ′(0)＝a n －1. 答案：C2. 解析：依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，g ′(1)＝2，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.故选A. 答案：A3. 解析：∵f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ， ∴f ′(4)＝(sin 4＋cos 4)e 4.∵e 4＞0，sin 4＜0，cos 4＜0，∴f ′(4)＜0. ∴切线的斜率小于零．∴倾斜角为钝角．答案：C4. 解析：f ′(x )＝－2(x －1)2，则f ′(3)＝－12，而直线ax ＋y ＋1＝0的斜率为－a ，故有－a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，得a ＝－2，故选D.答案：D5. 解析：∵f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，∴θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[2，2]．答案：D6. 解析：设曲线在点P 处的切线斜率为k ，则k ＝y ′＝－4ex(1＋e x )2＝－4e x＋1ex ＋2.因为e x＞0，所以由基本不等式得k ≥－42e x×1ex ＋2＝－1.又k ＜0，所以－1≤k ＜0，即－1≤tan α＜0，所以3π4≤α＜π.故选D.答案：D7. 解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，则切线的斜率k ＝ln x 0＋1. ∵由已知可得ln x 0＋1＝2.∴x 0＝e. ∴y 0＝x 0ln x 0＝e. ∴切点的坐标为(e ，e)．答案：(e ，e)8. 解析：f ′(x )＝cos x ＋sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＋sin π3＝12＋32. 答案：12＋329. 解析：y ＝f (x )＝x 2的导数为y ′＝f ′(x )＝2x .设切点为M (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0. ∵直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，又切线平行于直线PQ ， ∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0＝1. ∴x 0＝12.∴切点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. ∴切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.答案：4x －4y －1＝010. 解析：f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4.∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x . ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 答案：111. 解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x －2cos x ′＝(x sin x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝x ′sin x ＋x (sin x )′＋2(cos x )′cos 2x＝sin x ＋x cos x ＋－2sin xcos 2x ＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x；(2)y ′＝[x (e x －1)＋ax 2]′＝[x (e x －1)]′＋(ax 2)′ ＝x ′(e x－1)＋x (e x－1)′＋2ax ＝e x－1＋x e x＋2ax ； (3)y ′＝(x ·2x＋ln x )′ ＝(x ·2x)′＋(ln x )′ ＝x ′·2x ＋x ·(2x)′＋1x＝2x ＋x ·2xln 2＋1x.12. 解：∵直线l 过原点， ∴直线的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)．由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0， ∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2.∵f ′(x )＝(x 3－3x 2＋2x )′＝3x 2－6x ＋2， ∴k ＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝x 20－3x 0＋2. ∴2x 20－3x 0＝0.∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时y 0＝－38，∴k ＝－14.因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－38.13. 解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，又f ′(x )＝a ＋bx2，于是12,227,44b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0；令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.。

高中数学专题练习《导数的四则运算法则》含详细解析

5.2.2导数的四则运算法则基础过关练题组一导数的四则运算法则1.函数f(x)=x 2x+3的导数f'(x)=()A.x 2+6xx+3B.-2x(x+3)2C.x2+6x(x+3)2D.3x2+6x(x+3)22.函数y=x2cos x的导数为()A.y'=2xcos x-x2sin xB.y'=2xcos x+x2sin xC.y'=x2cos x-2xsin xD.y'=xcos x-x2sin x3.已知f(x)=x2+e x,则f'(0)=()A.0B.-4 C.-2 D.14.对于函数f(x)=e xx2+ln x-2kx,若f'(1)=1,则实数k等于()A.e2B.e3C.-e2D.-e35.(2020浙江宁波余姚中学高二下月考)设f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f'(x)=g'(x),则f(x)与g(x)满足() A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0C.y=f(x)-g(x)为常数函数D.y=f(x)+g(x)为常数函数6.若函数f(x)=x 2e x,则f'(x)=.7.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=f(x)+2g(x),则h'(5)=.8.求下列函数的导数.(1)y=x-2+x2;(2)y=3x e x-2x+e;(3)y=lnxx2+1;(4)y=x2-4sin x2cos x2.题组二求导法则的综合应用9.已知函数f(x)=f'(1)+xln x,则f(e)=()A.1+eB.eC.2+eD.310.已知定义在R上的函数f(x)=e x+x2-x+sin x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为()A.y=3x-2B.y=x+1C.y=2x-1D.y=-2x+311.(2020浙江嘉兴高三上期末)设曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b≠0)垂直,则ab=()A.13B.-13C.3D.-312.(2020河北保定高二上期末)设曲线f(x)=ae x-ln x(a≠0)在x=1处的切线为l,则l在y轴上的截距为()A.1B.2C.aeD.ae-113.若质子的运动方程为s=tsin t,其中s的单位为m,t的单位为s,则质子在t=2s时的瞬时速度为m/s.14.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中,斜率最小的切线方程为.15.(2020江西南昌三中高二下期中)已知函数f(x)=x-2ln x,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.能力提升练题组导数的四则运算法则及其应用1.()设函数f(x)=sinθ3x3+√3cosθ2x2+tanθ,其中θ∈[0,5π12],则导数f'(1)的取值范围是()A.[-2,2]B.[√2,√3]C.[√3,2]D.[√2,2]2.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=()A.13B.-23C.73D.-13或533.(2019河北衡水中学高三二调,)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=e x(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数),f(0)=1,则(易错)A.f(x)=e x(x+1)B.f(x)=e x(x-1)C.f(x)=e x(x+1)2D.f(x)=e x(x-1)24.()设函数f(x)=xsin x+cos x的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)图象的一部分可以是()5.(多选)()给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,π)上不是凸函数的是()2A.f(x)=sin x-cos xB.f(x)=ln x-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=xe x6.()对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),现给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x3-3x2+1,则g(1100)+g(2100)+…+g(99100)=.7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.8.()已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的AOB⏜上求一点P,使△ABP的面积最大.9.()已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f'(x),且满足xf'(x)-2f(x)=x3e x,f(1)=e-1,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.答案全解全析基础过关练1.C f'(x)=(x 2)'(x+3)−x2(x+3)′(x+3)2=2x(x+3)−x 2(x+3)2=2x2+6x-x2(x+3)2=x2+6x(x+3)2.故选C.2.A对函数y=x2cos x求导,得y'=2xcos x+x2·(-sin x)=2xcos x-x2sin x.故选A.3.D由题意,得f'(x)=2x+e x,则f'(0)=1,故选D.4.A因为f'(x)=e x(x-2)x3+1x+2kx2,所以f'(1)=-e+1+2k=1,解得k=e2,故选A.5.C取f(x)=x,g(x)=x+1,满足f'(x)=g'(x),可以验证A、B、D错误;由f'(x)=g'(x),得f'(x)-g'(x)=0,即[f(x)-g(x)]'=0,所以f(x)-g(x)=c(c为常数),C 正确.故选C.6.答案2x-x 2e x解析f'(x)=2xe x-x2e x(e x)2=2x-x2e x.7.答案516解析由题意得,h'(x)=f'(x)g(x)-[f(x)+2]g'(x)[g(x)]2,由f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,得h'(5)=f'(5)g(5)-[f(5)+2]g'(5)[g(5)]2=3×4−(5+2)×142=516.8.解析(1)y'=2x-2x-3. (2)y'=(ln3+1)·(3e)x-2x ln2.(3)y'=x 2+1−2x 2lnx x(x 2+1)2.(4)∵y=x 2-4sin x2cos x 2=x 2-2sin x,∴y'=2x-2cos x.9.A ∵f'(x)=ln x+1,∴f'(1)=ln 1+1=1,则f(x)=1+xln x,∴f(e)=1+eln e=1+e.10.B ∵f'(x)=e x +2x-1+cos x,∴切线的斜率k=f'(0)=1,又f(0)=1,∴切线方程为y=x+1. 11.B 依题意得y'=x -2-(x+1)(x -2)2=-3(x -2)2,则y'x=1=-3,由于曲线y=x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b ≠0)垂直,所以(-3)·(-ab)=-1,解得a b=-13.故选B.12.A 因为函数f(x)=ae x -ln x(a ≠0), 所以f'(x)=ae x -1x ,将x=1代入,得k=ae-1,又f(1)=ae,所以曲线f(x)在x=1处的切线l 的方程为y-ae=(ae-1)(x-1), 整理得y=(ae-1)x+1,令x=0,得y=1. 所以l 在y 轴上的截距为1.故选A. 13.答案 sin 2+2cos 2解析 ∵s'=(tsin t)'=sin t+tcos t, ∴所求瞬时速度为(sin 2+2cos 2)m/s. 14.答案 3x-y-11=0解析 ∵y'=3x 2+6x+6=3(x 2+2x+2) =3(x+1)2+3≥3,∴当x=-1时,y'最小,即此时切线的斜率最小,此时切点为(-1,-14), ∴切线方程为y+14=3(x+1), 即3x-y-11=0.15.解析 ∵函数f(x)=x-2ln x 的导函数为f'(x)=1-2x ,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=1-2=-1,又f(1)=1,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.能力提升练1.D f'(x)=sin θ·x 2+√3cos θ·x, ∴f'(1)=sin θ+√3cos θ=2sin (θ+π3),∵θ∈[0,5π12],∴θ+π3∈[π3,3π4],∴sin (θ+π3)∈[√22,1],∴f'(1)=2sin (θ+π3)∈[√2,2].故选D.2.D 因为f'(x)=x 2+2ax+a 2-1,所以y=f'(x)的图象开口向上,排除②④.若y=f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=53;若y=f'(x)的图象为③,则a 2-1=0,得a=±1.又对称轴x=-a>0,所以a=-1,所以f(-1)=-13.3.D 由f'(x)=e x (2x-2)+f(x), 得f'(x)-f(x)e x =2x-2,即[f(x)e x]'=2x-2,所以f(x)e x=x 2-2x+c(c 为常数),所以f(x)=(x 2-2x+c)e x , 又因为f(0)=1,所以c=1,所以函数f(x)的解析式是f(x)=e x (x-1)2.故选D.易错警示已知原函数可求出唯一的导函数,已知导数求原函数,则结论不唯一,如本题中由y'=2x-2可以得到y=x 2-2x+c(c 为常数),解题时容易将c 遗漏导致解题错误. 4.A 由f(x)=xsin x+cos x,可得f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x. 则g(t)=f'(t)=tcos t,易知函数g(t)是奇函数,排除选项B,D; 当t ∈(0,π2)时,g(t)>0,排除选项C.故选A.5.AD 对于A,f'(x)=cos x+sin x, f″(x)=-sin x+cos x,当x ∈(0,π4)时,f″(x)>0,故f(x)=sin x-cos x 不是凸函数;对于B,f'(x)=1x-2,f″(x)=-1x2<0,故f(x)=ln x-2x 是凸函数; 对于C,f'(x)=-3x 2+2,f″(x)=-6x,当x ∈(0,π2)时,f″(x)<0,故f(x)=-x 3+2x-1是凸函数;对于D,f'(x)=(x+1)e x ,f″(x)=(x+2)e x ,当x ∈(0,π2)时,f″(x)>0,故f(x)=xe x 不是凸函数.故选AD.6.答案992解析依题意得,g'(x)=6x 2-6x,g″(x)=12x -6,令g″(x)=0,解得x=12, ∵g (12)=12,∴函数g(x)的对称中心为(12,12),则g(1-x)+g(x)=1,∵1100+99100=2100+98100=…=49100+51100=1,∴g (1100)+g (99100)=g (2100)+g (98100)=…=g (49100)+g (51100)=1,∴g (1100)+g (2100)+…+g (99100) =[g (1100)+g (99100)]+[g (2100)+g (98100)] +…+[g (49100)+g (51100)]+g (12) =49+12=992.7.解析 (1)由题意得f'(x)=x 2-4x+3,则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,即曲线C 上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k,则由条件和(1)中结论可知, {k ≥−1,-1k ≥−1,解得-1≤k<0或k ≥1,故由-1≤x 2-4x+3<0或x 2-4x+3≥1,得x ∈(-∞,2-√2]∪(1,3)∪[2+√2,+∞).8.解析因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最大,只要点P 到AB 的距离最大即可,即点P 是抛物线的切线中平行于AB 的切线的切点,设P(x,y).由题图知,点P 在x 轴下方的图象上,所以y=-2√x ,所以y'=-√x . 因为k AB =-12,所以-√x =-12,解得x=4.由y=-2√x ,得y=-4, 所以点P 的坐标为(4,-4).9.解析 ∵xf'(x)-2f(x)=x 3e x ,x ∈(0,+∞),∴xf'(x)-2f(x)x 3=e x . 令g(x)=f(x)x 2,则g'(x)=xf'(x)-2f(x)x 3=e x , ∴g(x)=f(x)x 2=e x +c(c 为常数),∴f(x)=x 2(e x +c).又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1.∴f(x)=x 2(e x -1),∴f'(x)=2x(e x -1)+x 2e x =(x 2+2x)e x -2x,∴f'(2)=8e 2-4.又f(2)=4(e 2-1),∴所求切线方程为y-4(e 2-1)=(8e 2-4)·(x-2),即y=(8e 2-4)x-12e 2+4.。

导数的四则运算法则同步指导讲义Word版含解析(北师大版选修2-2)练习

第二章 §4 4.14.21．已知f (x )＝x 3＋3x ，则f ′(x )等于( ) A ．3x 2＋3x B ．3x 2＋3x ln 3＋13C ．3x 2＋3x ln 3D ．x 3x ln 3解析：f (x )＝x 3＋3x ，则f ′(x )＝3x 2＋3x ln 3. 答案： C2．函数y ＝ln xx 的导数是( )A ．y ′＝1x 2＋1x 2ln xB ．y ′＝－1x 2＋1x 2ln xC ．y ′＝－1x 2ln x －1x 2D ．y ′＝－1x 2ln x ＋1x2解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′·x －ln x ·x ′x 2＝1x ·x －ln x x 2＝－1x 2ln x ＋1x 2. 答案：D3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( ) A ．193B ．103C ．133D ．163解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4. ∴a ＝103.答案：B4．函数y ＝x sin x －cos x 的导数为____________．解析：y ′＝(x sin x )′－(cos x )′＝sin x ＋x cos x ＋sin x ＝2sin x ＋x cos x . 答案：y ′＝2sin x ＋x cos x 5．求y ＝x 2sin x的导数．解：∵y ＝x 2sin x，∴y ′＝(x 2)′sin x －x 2(sin x )′(sin x )2＝2x sin x －x 2cos xsin 2x .第三章 §1 1.1 第2课时1．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则( ) A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c <0 C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0解析：由f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0，知Δ＝4b 2－12ac ≤0，故b 2－3ac ≤0. 答案：D2．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] 解析：根据已知条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．答案：A3．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－2x ＋5在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥16B ．a >16C ．a ＝16D ．0<a <16解析：∵f ′(x )＝3x 2－6ax －2，f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－6ax －2<0在(0,1)内恒成立．∴a >12x －13x在(0,1)内恒成立．∵函数g (x )＝12x －13x 在(0,1)内是增函数，且g (x )<g (1)＝12－13＝16，∴a ≥16.答案：A4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[0，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋a ，当x ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，即3x 2＋a ≥0恒成立，∴a ≥－3x 2.又当x ≥0时，－3x 2≤0，∴a ≥0. 即a 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)5．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．解：(1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，∴x >0， f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x .∵x >0，a >0，∴f (x )的递增区间为(0，a )，递减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意，得f (1)＝a －1≥e －1，∴a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增．要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e.。

高中数学第三章变化率与导数3.4导数的四则运算法则习题导学案(无答案)北师大版选修1-1

3.4 导数的四则运算法则习题【学习目标】：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【学习重点】：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则2.导数的运算法则导数运算法则1．[]'()()f x g x ±=2．[]'()()f x g x ⋅= 3．'()()f x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于：）知识反馈1. 函数1y x x=+的导数是（） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（）A ．cos2cos x x -B ．cos2sin x x +C ．cos2cos x x +D ．2cos cos x x + 3. cos x y x =的导数是（） A ．2sin x x - B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x+- 4．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为：A ()2(1)f x x =-B 2()2(1)f x x =-C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-5．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A18 B 14 C 12D 1 6.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n +D 112. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线方程.。

导数的四则运算教案

导数的四则运算教案
一、教学目标
1. 理解导数的四则运算，掌握导数的加、减、乘、除运算规则。

2. 能够运用导数的四则运算规则解决一些简单的实际问题。

3. 培养学生的数学逻辑思维和运算能力。

二、教学内容
1. 导数的加法运算规则
2. 导数的减法运算规则
3. 导数的乘法运算规则
4. 导数的除法运算规则
三、教学难点与重点
难点：理解导数的四则运算规则，掌握其应用方法。

重点：导数的加、减、乘、除运算规则。

四、教具和多媒体资源
1. 黑板
2. 投影仪
3. 教学软件：几何画板
五、教学方法
1. 激活学生的前知：回顾导数的定义和性质，为学习导数的四则运算做准备。

2. 教学策略：通过讲解、示范、小组讨论等方式进行教学。

3. 学生活动：进行导数的四则运算练习，解决实际问题。

六、教学过程
1. 导入：通过实际问题导入，例如：速度的变化与加速度的关系，曲线的切线斜率等。

2. 讲授新课：讲解导数的四则运算规则，并举例说明。

3. 巩固练习：给出几个实际问题，让学生运用导数的四则运算规则求解。

4. 归纳小结：总结导数的四则运算规则，强调在实际问题中的应用。

七、评价与反馈
1. 设计评价策略：通过课堂小测验或小组报告的方式评价学生的学习效果。

2. 为学生提供反馈：根据学生的测验或报告结果，为学生提供学习建议和指导。

八、作业布置
1. 完成教材上的相关练习题。

2. 自行寻找一些实际问题，运用导数的四则运算规则求解。

导数的计算及其四则运算法则同步练习题(教师版)

导数的计算及其四则运算法则同步练习题一、选择题1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ C ）A ．0B ．2xC ．6D ．92、y =D ） A ．23x B ．213x C ．12- D 3、函数x x y sin 2=的导数为( B )A ． x x x x y sin cos 22-='B ．x x x x cos sin 22+C ． x x x x y sin 2cos 2-=' D. x x x x y sin cos 2-=' 4、下列求导数运算正确的是( B )A ．)1('+x x =211x +B ．10ln 1)(lg x x ='C ．)3(ln 'x =e 3x log 3D ．x x x x sin 2)cos (2-=' 5、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．46、若()f x =()1f '等于（ D ）A ．0B ．13-C ．3D ．13 7、2y x =的斜率等于2的切线方程是（ C ）A ．210x y -+=B ．210x y -+=或210x y --=C ．210x y --=D ．20x y -=8、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（ D ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9、物体运动方程为s=3414+t （位移单位：m ，时间单位：s ），则t=5时的瞬时速率为（ C ） A ．5 m/s B ．25 m/s C ．125 m/s D ．625 m/s10、函数y=x sin2x 的导数为（ A ）A. y '=sin2x+2x cos2x B ．y '=22sin x +x cos2x C ．y '=x sin +x cos2x D ．y '=2x 2sin －x cos2x 11、给出下列求导式，其中正确的有( )①(2x 3－cos x )′＝6x 2＋sin x ；②⎝⎛⎭⎪⎫2－1x ′＝1x 2；③[(3＋x 2)(2－x 3)]′＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos x x 2′＝2x (1＋cos x )＋x 2sin x x 2；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3sin x ′＝3x 2sin x －x 3cos x sin 2x ；⑥(tan x )′＝1cos 2x . A. ①②③⑤ B. ②④⑤⑥ C. ①②⑤⑥ D. ①②③④⑤⑥12、函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( D )A ．abB ．－a (a －b )C ．0D ．a －b[答案] [解析] ∵y ＝(x －a )(x －b )＝x 2－(a ＋b )x ＋ab ∴y ′＝2x －(a ＋b )，y ′|x ＝a ＝2a －a －b ＝a －b .13、函数y ＝cos x x的导数是( C ) A ．－sin x x 2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2 D ．－x cos x ＋cos x x 2 14、已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( D )A.193B.163C.133D.10315、下列求导运算正确的是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 16、函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( A )A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x17、f (x )＝ax 3＋x 2＋3，若f ′(1)＝5，则a 的值为( D )A ．－1B ．2C ．－2D ．118、已知f (x )=x 2+2，f ´(3)的值为（ C ）A.4B.5C.6D.819、设函数f (x )=ax +3,若f ´(1)=3,，则a 等于（ C ）A.2B.-2C.3D.-320、下列结论不正确的是( B )A. 若y ＝3，则y ′＝0B. 若y ＝1x ，则y ′＝－12 xC. 若y ＝－x ，则y ′＝－12xD. 若y ＝3x ，则y ′＝3 21、(2010·高考江西卷)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( B )A ．－1B ．－2C ．2D ．022、曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( A )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －223、 (2011·高考江西卷)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( C )A ．(0，＋∞)B ．(－1，0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)二、填空题24、曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为__83____． 25、已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线f (x )＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程4x －4y －1＝0．26、 (2012·宿州调研)设f (x )＝a e x ＋bx ，且f ′(－1)＝1e，f ′(1)＝e ，则a ＋b ＝__1____．解析：f ′(x )＝a e x ＋b ，∴1e ＝f ′(－1)＝a ·1e＋b ，e ＝f ′(1)＝a e ＋b .∴a ＝1，b ＝0.∴a ＋b ＝1.答案：1 三、解答题27、求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2；(2)y ＝(3x 5－4x 3)(4x 5＋3x 3)．解析：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5－43x 3＋3x ＋2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′－⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3. (2) ∵ y ＝12x 10－7x 8－12x 6，∴ y ′＝120x 9－56x 7－72x 528、已知函数f (x )＝1x.(1)求其导数；(2)求出该曲线在点(1,1)处的切线方程．解析: (1)∵ Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx ＝x －x ＋Δx x x ＋Δx Δx＝－1x 2＋x ·Δx ，∴ y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim x →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2. (2)∵ k ＝y ′|x ＝1＝－1，又切线过点(1,1)，由点斜式知切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.29、已知曲线y ＝x 3.(1)求曲线上在(1,1)处的切线方程；(2)求(1)中切线与曲线的交点坐标．解析:(1)在曲线y ＝x 3上点(x 0，x 30)处的切线斜率为f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx，而Δy ＝(x 0＋Δx )3－x 30＝Δx 3＋3x 20Δx ＋3x 0Δx 2，∴ Δy Δx＝3x 0Δx ＋3x 20＋(Δx )2.∴ f ′(x 0)＝lim Δx →0[3x 0Δx ＋3x 20＋(Δx )2]＝3x 20. 则在(1,1)处切线的斜率为f ′(1)＝3，∴ 该点处的切线方程为y ＝3x －2.(2)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －1＋1，y ＝x 3.∴ x 3－1－3(x －1)＝0，即 (x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2，从而交点坐标为(1,1)(－2，－8)．30、已知曲线y ＝x 3－3x 2＋2x －9在x ＝x 0处的导数为11，求x 0的值．[解析] ∵y ′＝(x 3－3x 2＋2x －9)′＝3x 2－6x ＋2，∴y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.由题知3x 20－6x 0＋2＝11，∴3x 20－6x 0－9＝0，x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.31、已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．[解析] (1)y ′＝2x ＋1，直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23.所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，(－223，0)，所以，所求三角形的面积S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512. 32、(创新题)已知二次函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2.数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)均在函数y ＝f (x )的图像上．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)由题意可设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2.所以f (x )＝3x 2－2x .(2)因为点(n ，S n )(n ∈N ＋)均在函数y ＝f (x )的图像上，所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝6×1－5＝1.故a n 的通项公式为a n ＝6n －5(n ∈N ＋)．。

《导数的四则运算法则练习题一

《导数的四则运算法则练习题一篇一：《导数的四则运算法则练习题一导数练习题一一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝31C．若yx＋x，则y′＝－＋12D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin xx2．函数y＝的导数是1－cos x1－cos x－xsin x1－cos x－xsin x1－cos x＋sin xA. B.C.1－cos x?1－cos x??1－cos x?3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于b12．设函数f(x)＝ax－y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.x( )(1)求f(x)的解析式；1－cos x＋xsin xD.?1－cos x?( )A．－1 B．－2 C．2D．0x＋14．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )x－111A．2B.C．－D．－2225．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a ＝________.6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________．7．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；xx(3)y＝x－sin .228．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为A．4 110．若函数f(x)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.311．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．第1 页共2 页( )1D．－21B．－4C．2练习题一答案1．D 2．B 3．B 4．D5.126．0.4 m/s7．解(1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9.方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－x)′＋4′＝1－1112x－2＝1－2x2(3)∵y＝x－sin x2cos x2 ＝x－12sin x，∴y′＝x′－(112sin x)′＝12x.8．A 10．611．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.12．(1)解由7x－4y－12＝0得y74－3.当x＝2时，y＝112∴f(2)2①又f′(x)＝a＋bx，∴f′(2)74②?2a－b1由①②得?22??a＝1?ab7解之得???b＝3.44故f(x)＝x－3x练习题二答案1．A 2．D 3．A 4．B 5.??－13，1??∪[2,3) 6.?π?3，5π3 7．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：x2时，f′(x)0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数y＝f(x)的图象大致如下：8．A 9．C10．a≤011．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1xy′>0，得x>1；由y′∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′112x，∵当x≠0时，y′＝－2x恒成立．∴函数y＝12x的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间．12．解(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴???3－2b＋c＝6???－1＋b－c＋2＝1 ，即??2b－c＝－3??b－c＝0解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)>0，得x1＋2；令f′(x)13．解(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n ＝－3m.(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，当m>0时，解得x2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m第2 页共2 页篇二：《导数的四则运算法则练习题一导数练习题一一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝31C．若yx＋x，则y′＝－＋12D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin xx2．函数y＝的导数是1－cos x1－cos x－xsin x1－cos x－xsin x1－cos x＋sin xA. B.C.1－cos x?1－cos x??1－cos x?3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于b12．设函数f(x)＝ax－y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.x( )(1)求f(x)的解析式；1－cos x＋xsin xD.?1－cos x?( )A．－1 B．－2 C．2D．0x＋14．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )x－111A．2B.C．－D．－2225．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a ＝________.6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________．7．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；xx(3)y＝x－sin .228．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为A．4 110．若函数f(x)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.311．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．第1 页共2 页( )1D．－21B．－4C．2练习题一答案1．D 2．B 3．B 4．D5.126．0.4 m/s7．解(1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9.方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－x)′＋4′＝1－1112x－21－2x－2(3)∵y＝x－sin x2cos x2 ＝x－12sin x，∴y′＝x′－(112sin x)′＝12x.8．A 10．611．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.12．(1)解由7x－4y－12＝0得y74－3.当x＝2时，y＝112∴f(2)2①又f′(x)＝a＋bx，∴f′(2)74②?2a－b1由①②得?22??a＝1?ab7解之得???b＝3.44故f(x)＝x－3x练习题二答案1．A 2．D 3．A 4．B 5.??－13，1??∪[2,3) 6.?π?3，5π3 7．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：x2时，f′(x)0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数y＝f(x)的图象大致如下：8．A 9．C10．a≤011．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1xy′>0，得x>1；由y′∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′112x，∵当x≠0时，y′＝－2x恒成立．∴函数y＝12x的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间．12．解(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴???3－2b＋c＝6???－1＋b－c＋2＝1 ，即??2b－c＝－3??b－c＝0解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)>0，得x1＋2；令f′(x)13．解(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n ＝－3m.(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，当m>0时，解得x2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m第2 页共2 页篇三：导数公式以及四则运算法则练习导数的计算一、选择题cosx的导数是（）C xsinxxsinx?cosxxcosx?cosx? A?2B?sinx C?D xx2x21、函数y?2、曲线y?x?ex在以下哪个点处的切线斜率等于0 （）AA （0，-1）B（1，0）C （0，1）D（-1，0）3、函数y?sinx(cosx?1)的导数是（）C2 A cos2x?cosx B cos2x?sinx C cos2x?cosx D cosx?cosx4、曲线y?x?3x上切线平行于x轴的点的坐标是（）DA（-1，2）B （1，-2）C（1，2）D （-1，2）或(1,-2)5、设y??a??x，则y/等于（）DA312?a?12?x B 12?xC 12?a?12?xD?12?x6、若f(x)?2sin(3x??)，则f/()等于（）B 44?A 6B -6C 2D -237、曲线y?x?x?2在P点处的切线平行于直线y?4x?1，则此切线方程是（）DA y?4x By?4x?4C y?4x?8D y=4x或y=4x-42f(x)-8x的值是（）B x?1x-1A 5B2 C 4D 不存在8、已知f(1)=4,f'(1)=5 则lim二、填空题9、函数y?xtanx的导数是_______________________.sinxcosx?x 2cosx5210、设f(x)?x?4x?5,则f[f/(=___________________.2 2211、函数y?(x?1)(x?1)在x?1处的导数是__________.412、函数y=log2的导数是_________________________________.三、解答题13、求函数y?sin(x?14、求函数y?3ex+13(ex+x)ln2 1)的导数。

北师大版高中数学选修高二导数的四则运算法则习题课同步练习

2.4 导数的四则运算法则同步练习1、下列求导数运算正确的是（）A ．)1('+x x =211x+ B ．10ln 1)(lg x x =' C ．)3(ln 'x =e 3xlog 3 D ．x x x x sin 2)cos (2-='2、物体运动方程为s=3414+t （位移单位：m ，时间单位：s ），则t=5时的瞬时速率为（） A ．5 m/s B ． 25 m/s C ．125 m/s D ．625 m/s3、求下列函数的导数。

（1）65324+--=x x x y ；（2）x x ytan =；（3）11+-=x x y ；（4）1ln +=x x y ；4、求过点P （1，1）且与曲线()x f y ==112+x 相切的直线方程。

5、求曲线()x f y ==122+x x 在P （1，1）处的切线方程。

6．已知曲线21x yC =：与22)2(--=x y C ：，直线21,C C l 与都相切，求直线l 的方程。

7．已知曲线x x f y 5)(==，求：（１）曲线与直线42-=x y 平行的切线的方程。

（２）过点)5,0(P 且与曲线相切的直线的方程。

8．点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，求点P 到直线2-=x y 的距离的最小值。

9．已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点)0,1(P 处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且21l l ⊥。

（1）求直线2l 的方程。

（2）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积。

2.4 导数的四则运算法则同步练习答案1、B分析：根据导数的运算公式可得B 正确.故选B.2、C分析：物体的速度等于s 关于t 的导数，3t s ='，所以当x=5时，瞬时速率为125 m/s . 故选C.3、（1）3465y x x '=--；（2）2tan cos x y x x '=+；（3）22(1)y x '=+；（4）21ln (1)x x x y x x +-'=+； 4：解：设切点坐标为(,)m n ，则：211nm=+-----------------------------------------------① 32()f m m '=- ∴切线方程为：32()y n x m m-=-- P 在切线上，321(1)n m m ∴-=-----------------------------------------------------② 解①②联立的方程组得：125m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴所求切线方程为：16130x y +-=。

《导数的四则运算法则》导学案

第4课时导数的四则运算法则1.记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则.2.能通过运算法则求出导数并解决相应问题.3.经历由定义到具体求解的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学习热情.你能利用导数的定义推导f(x)·g(x)的导数吗?若能,请写出推导过程.问题1:基本初等函数的导数公式表:①若f(x)=c,则f'(x)=;②若f(x)=xα(α∈Q),则f'(x)=;③若f(x)=sin x,则f'(x)=;④若f(x)=cos x,则f'(x)=;⑤若f(x)=a x,则f'(x)=(a>0);⑥若f(x)=e x,则f'(x)=;⑦若f(x)=log a x,则f'(x)=(a>0,且a≠1);⑧若f(x)=ln x,则f'(x)=.问题2:导数运算法则①[f(x)±g(x)]'=;②[f(x)·g(x)]'=;③[]'=(g(x)≠0).④从导数运算法则②可以得出[cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'=,也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘以函数的导数,即[cf(x)]'=.问题3:运用导数的求导法则,可求出多项式f(x)=a0+a1x+…+a r x r+…+a n x n的导数.f'(x)=.问题4:导数法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)的拓展有哪些?(1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形:若y=f1(x)±f2(x)±…±f n(x),则y'=.(2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a,b为常数).(3)[f(x)±c]'=f'(x).1.函数y=lg x的导数为().A.B.ln10C.D.2.曲线y=x3在x=α处的导数为12,则α等于().A.±4B.±2C.2D.43.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于.4.求下列函数的导数.(1)y=sin(x+);(2)y=lo x2-lo x.求函数的导数求下列函数的导数:(1)f(x)=a2+2ax-x2;(2)f(x)=.求曲线的切线方程已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.导数公式的综合应用已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O为坐标原点,试在直线AB左侧的抛物线上求一点P,使△ABP的面积最大.求下列函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);(2)y=1+sin cos;(3)y=-2x.(1)求曲线y=x cos x在x=处的切线方程;(2)求曲线y=在点(1,1)处的切线方程.点P是曲线y=e x上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.1.曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为().A.1B.2C.eD.2.曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是().A.[0,]∪[,π)B.[0,π)C.[,]D.[0,]∪[,]3.设函数f(x)=log a x,f'(1)=-1,则a=.4.已知直线y=kx是y=ln x的一条切线,求k的值.(2012年·新课标卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.考题变式(我来改编):第4课时导数的四则运算法则知识体系梳理问题1:①0②αxα-1③cos x④-sin x⑤a x ln a⑥e x⑦⑧问题2:①f'(x)±g'(x)②f'(x)g(x)+f(x)g'(x)③④cf'(x)cf'(x)问题3:a1+2a2x1+…+ra r x r-1+…+na n x n-1问题4:(1)f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x)基础学习交流1.C∵(log a x)'=,∴(lg x)'=.2.B y'=3x2,∵y'|x=α=12,∴3α2=12,解得α=±2,选B.3.4∵y=(x+1)2(x-1)=(x2-1)(x+1)=x3+x2-x-1,∴y'=(x3)'+(x2)'-(x)'-(1)'=3x2+2x-1,∴y'|x=1=4.4.解:(1)∵y=sin(x+)=cos x,∴y'=(cos x)'=-sin x.(2)∵y=lo x2-lo x=2lo x-lo x=lo x(x>0),∴y'=(lo x)'==-.重点难点探究探究一:【解析】(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=2a+2x.(2)f'(x)=()'===x sin x+x2cos x.[问题]求函数的导数是对谁求导?导数的运算法则正确吗?[结论](1)求导是对自变量的求导,要分清表达式中的自变量.本题的自变量是x,a是常量.(2)不正确,商的求导法则是:分母的平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.于是,正确解答为:(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=-2x+2a.(2)f'(x)=()'==.【小结】1.利用导数公式求函数的导数时,一定要将函数化为八个基本函数中的某一个,再套用公式求导数.2.求函数的导数时应注意以下几点:(1)要遵循先化简函数解析式,再求导的原则.(2)化简时注意化简的等价性,避免不必要的运算失误.(3)求导时,既要重视求导法则,更要注意求导法则对导数的制约作用.探究二:【解析】(1)∵y'=2x+1,∴y'|x=1=3.∴直线l1的方程为y=3(x-1)=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点P(x0,+x0-2),则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,x0=-.∴直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得又直线l1,l2与x轴的交点分别为(1,0),(-,0).∴所求三角形面积为S=×|-|×(1+)=.【小结】解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性质:①切点在切线上;②切点在曲线上;③切点处的导数为此点处的切线的斜率.探究三:【解析】∵|AB|为定值,∴三角形面积最大,只需P到AB的距离最大,∴点P是与AB平行且与抛物线相切的切线的切点.设点P(x0,y0),由题意知点P在x轴上方的图像上,即P在y=上,∴y'=.又∵k AB=,∴=,得x0=1.由y0=,得y0=1,∴P(1,1).【小结】利用基本初等函数的求导公式结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,解题的关键是正确确定所求切线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数的方法求切点的坐标,运用配方法求出最值.思维拓展应用应用一:(1)(法一)y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+[(x+1)(x+2)](x+3)'=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3) +(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(法二)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,y'=3x2+12x+11.(2)y=1+sin x,y'=cos x.(3)y'=()'-(2x)'=-2x ln2=-2x ln2=-2x ln2.应用二:(1)y'=x'cos x+x·(cos x)'=cos x-x sin x,y'=-,切点为(,0),∴切线方程为y-0=-(x-),即2πx+4y-π2=0.(2)y'==,y'|x=1==0,即曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=0.因此曲线y=在(1,1)处的切线方程为y=1.应用三:根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e x相切于点P0(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.则在点P 0(x0,y0)处的切线斜率为1,即y'=1.∵y'=(e x)'=e x,∴=1,得x0=0,代入y=e x,得y0=1,即P0(0,1).∴d==.基础智能检测1.A由条件得y'=e x,根据导数的几何意义,可得k=y'|x=0=e0=1.2.A∵(sin x)'=cos x,∵k l=cos x,∴-1≤k l≤1,∴αl∈[0,]∪[,π).3.∵f'(x)=,∴f'(1)==-1,∴ln a=-1,∴a=.4.解:设切点坐标为(x0,y0).∵y=ln x,∴y'=.∴f'(x0)==k.∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=ln x上,∴把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.∴k==.全新视角拓展4x-y-3=0由题意得,y=x(3ln x+1)=3x ln x+x⇒y'=3ln x+4,所以y'|x=1=4,由点斜式方程得y-1=4(x-1),整理得4x-y-3=0.。

高中数学《导数的四则运算法则》导学案北师大版选修1-1

第4课时导数的四则运算法则1.记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则.2.能通过运算法则求出导数并解决相应问题.3.经历由定义到具体求解的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学习热情.你能利用导数的定义推导f(x)·g(x)的导数吗?若能,请写出推导过程.问题1:基本初等函数的导数公式表:①若f(x)=c,则f'(x)= ;②若f(x)=xα(α∈Q),则f'(x)= ;③若f(x)=sin x,则f'(x)= ;④若f(x)=cos x,则f'(x)= ;⑤若f(x)=a x,则f'(x)= (a>0);⑥若f(x)=e x,则f'(x)= ;⑦若f(x)=log a x,则f'(x)= (a>0,且a≠1);⑧若f(x)=ln x,则f'(x)= .问题2:导数运算法则①[f(x)±g(x)]'= ;②[f(x)·g(x)]'= ;③[]'= (g(x)≠0) .④从导数运算法则②可以得出[cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'= ,也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘以函数的导数,即[cf(x)]'= . 问题3:运用导数的求导法则,可求出多项式f(x)=a0+a1x+…+a r x r+…+a n x n的导数.f'(x)= .问题4:导数法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)的拓展有哪些?(1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形:若y=f1(x)±f2(x)±…±f n(x),则y'= .(2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a,b为常数).(3)[f(x)±c]'=f'(x).1.函数y=lg x的导数为( ).A.B.ln 10C.D.2.曲线y=x3在x=α处的导数为12,则α等于( ).A.±4B.±2C.2D.43.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于.4.求下列函数的导数.(1)y=sin(x+);(2)y=lo x2-lo x.求函数的导数求下列函数的导数:(1)f(x)=a2+2ax-x2; (2)f(x)=.求曲线的切线方程已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.导数公式的综合应用已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O为坐标原点,试在直线AB左侧的抛物线上求一点P,使△ABP的面积最大.求下列函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);(2)y=1+sin cos ;(3)y=-2x.(1)求曲线y=x cos x在x=处的切线方程;(2)求曲线y=在点(1,1)处的切线方程.点P是曲线y=e x上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.1.曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( ).A.1B.2C.eD.2.曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是( ).A.[0,]∪[,π)B.[0,π)C.[,]D.[0,]∪[,]3.设函数f(x)=log a x,f'(1)=-1,则a= .4.已知直线y=kx是y=ln x的一条切线,求k的值.(2012年·新课标卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.考题变式(我来改编):第4课时导数的四则运算法则知识体系梳理问题1:①0②αxα-1③cos x ④-sin x ⑤a x ln a ⑥e x⑦⑧问题2:①f'(x)±g'(x)②f'(x)g(x)+f(x)g'(x)③④cf'(x)cf'(x)问题3:a1+2a2x1+…+ra r x r-1+…+na n x n-1问题4:(1)f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x)基础学习交流1.C∵(log a x)'=,∴(lg x)'=.2.B y'=3x2,∵y'|x=α=12,∴3α2=12,解得α=±2,选B.3.4∵y=(x+1)2(x-1)=(x2-1)(x+1)=x3+x2-x-1,∴y'=(x3)'+(x2)'-(x)'-(1)'=3x2+2x-1,∴y'|x=1=4.4.解:(1)∵y=sin(x+)=cos x,∴y'=(cos x)'=-sin x.(2)∵y=lo x2-lo x=2lo x-lo x=lo x (x>0),∴y'=(lo x)'==-.重点难点探究探究一:【解析】(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=2a+2x.(2)f'(x)=()'===x sin x+x2cos x.[问题]求函数的导数是对谁求导?导数的运算法则正确吗?[结论](1)求导是对自变量的求导,要分清表达式中的自变量.本题的自变量是x,a是常量.(2)不正确,商的求导法则是:分母的平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.于是,正确解答为:(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=-2x+2a.(2)f'(x)=()'==.【小结】1.利用导数公式求函数的导数时,一定要将函数化为八个基本函数中的某一个,再套用公式求导数.2.求函数的导数时应注意以下几点:(1)要遵循先化简函数解析式,再求导的原则.(2)化简时注意化简的等价性,避免不必要的运算失误.(3)求导时,既要重视求导法则,更要注意求导法则对导数的制约作用.探究二:【解析】(1)∵y'=2x+1,∴y'|x=1=3.∴直线l1的方程为y=3(x-1)=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点P(x0,+x0-2),则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,x0=-.∴直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得又直线l1,l2与x轴的交点分别为(1,0),(-,0).∴所求三角形面积为S=×|-|×(1+)=.【小结】解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性质:①切点在切线上;②切点在曲线上;③切点处的导数为此点处的切线的斜率.探究三:【解析】∵|AB|为定值,∴三角形面积最大,只需P到AB的距离最大,∴点P是与AB平行且与抛物线相切的切线的切点.设点P(x0,y0),由题意知点P在x轴上方的图像上,即P在y=上,∴y'=.又∵k AB=,∴=,得x0=1.由y0=,得y0=1,∴P(1,1).【小结】利用基本初等函数的求导公式结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,解题的关键是正确确定所求切线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数的方法求切点的坐标,运用配方法求出最值.思维拓展应用应用一:(1)(法一)y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+[(x+1)(x+2)](x+3)'=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3) (x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(法二)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,y'=3x2+12x+11.(2)y=1+sin x,y'=cos x.(3)y'=()'-(2x)'=-2x ln 2=-2x ln 2=-2x ln 2.应用二:(1)y'=x'cos x+x·(cos x)'=cos x-x sin x,y'=-,切点为(,0),∴切线方程为y-0=-(x-),即2πx+4y-π2=0.(2)y'==,y'|x=1==0,即曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=0.因此曲线y=在(1,1)处的切线方程为y=1.应用三:根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e x相切于点P0(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.则在点P 0(x0,y0)处的切线斜率为1,即y'=1.∵y'=(e x)'=e x,∴=1,得x0=0,代入y=e x,得y0=1,即P0(0,1).∴d==.基础智能检测1.A由条件得y'=e x,根据导数的几何意义,可得k=y'|x=0=e0=1.2.A∵(sin x)'=cos x,∵k l=cos x,∴-1≤k l≤1,∴αl∈[0,]∪[,π).3.∵f'(x)=,∴f'(1)==-1,∴ln a=-1,∴a=.4.解:设切点坐标为(x0,y0).∵y=ln x,∴y'=.∴f'(x0)==k.∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=ln x上,∴把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.∴k==.全新视角拓展4x-y-3=0 由题意得,y=x(3ln x+1)=3x ln x+x⇒y'=3ln x+4,所以y'|x=1=4, 由点斜式方程得y-1=4(x-1),整理得4x-y-3=0.。

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