实验2-行列式与方程组的求解
行列式的计算及应用
1.行列式的定义及性质1
1.1行列式的定义1
1.1.1排列1
1.1.2定义1
1.2行列式的相关性质1
2.行列式的计算方法5
2.1几种特殊行列式的结果5
2.1.1三角行列式5
2.1.2对角行列式5
2.2定义法5
2.3利用行列式的性质计算5
2.4降阶法6
2.5归纳法7
2.6递推法8
2.7拆项法9
2.8用范德蒙德行列式计算10
2.9化三角形法10
2.10加边法11
2.11拉普拉斯定理的运用12
2.12行列式计算的Mat lab实验13
This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction me什induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, more intuitive understanding of the essence of the solution determinant method・In addition, this paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant application in practice to achieve a theoretical and practical determinant combined・Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen什study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants through this series of methods, laid the foundation for future learning・
行列式的计算方法和应用[文献综述]
![行列式的计算方法和应用[文献综述]](https://img.taocdn.com/s3/m/4ad77af9f121dd36a22d823f.png)
毕业论文文献综述信息与计算科学行列式的计算方法和应用一． 前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。
行列式的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具，因此对许多人来说，掌握行列式的计算是重要的。
而对行列式进行计算不是唯一目的，我们还需要利用行列式去解决一些实际问题，使复杂问题简单化。
在了解行列式的概念、性质的基础上，讨论行列式的求解方法，其中包括化三角法，利用范德蒙行列式求解以及利用拉普拉斯定理的解法。
通过对行列式的求解方法的研究，探讨行列式在求解线性方程组中的应用。
二． 主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）我们知道,行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。
当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。
但由定义可知，n 阶行列式的展开式有!n 项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。
值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。
以下给出了行列式的概念及性质和行列式的计算方法包括：化三角法，利用范德蒙行列式求解行列式以及利用拉普拉斯定理的解法等等，涵盖了行列式解法的许多方面。
从这些解法中我们看到了计算行列式的巧妙之处。
2.1行列式的概念及性质2.1.1行列式的概念[9]n 级行列式nnn n nna a a a a a a a a (212222111211)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a ...2121的代数和，这里n j j j ...21是1,2，...，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j ...21是偶排列时，带有正号；当n j j j ...21是奇排列时，带有负号。
二阶行列式
二阶行列式什么是行列式？在线性代数中，行列式是一个数字，它和一个给定的方阵相关联。
行列式可以用于解决许多线性代数的问题，例如求解线性方程组、计算矩阵的逆等。
二阶行列式的定义对于一个2x2的矩阵A = A，其行列式记为|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = Determinant即A的左上元素乘以右下元素减去右上元素乘以左下元素。
二阶行列式的示例现在我们来求解一个具体的二阶行列式。
对于矩阵A = MatrixA，其行列式为：|A| = 2 * 5 - 3 * 4 = 10 - 12 = -2所以矩阵A的行列式为-2。
二阶行列式的性质1.行列式的值与矩阵的转置无关，即|A| = |A^T|。
2.当矩阵A中某两行或某两列互换位置时，行列式的值取相反数，即如果矩阵A的第i行与第j行互换位置得到矩阵B，则有|B| = -|A|。
3.行列式的值与矩阵的每一行（或每一列）成比例，即如果矩阵A的第i行（或第j列）的所有元素都乘以一个常数k，得到矩阵B，则有|B| = k * |A|。
二阶行列式的应用二阶行列式在线性代数中有许多重要的应用，以下列举几个常见的应用：1.解线性方程组：对于一个由两个线性方程组成的方程组，可以使用二阶行列式来判断方程组是否有解，以及求解方程组的解。
2.计算矩阵的逆：对于一个可逆的2x2矩阵A，可以使用二阶行列式计算其逆矩阵A^-1。
3.计算平面向量的面积：对于一个由两个非零向量构成的平面上的三角形，可以使用二阶行列式计算该三角形的面积。
总结二阶行列式是线性代数中的一个重要概念，用于解决许多与矩阵相关的问题。
我们可以通过简单的公式来计算二阶行列式，同时也可以利用行列式的性质进行计算和求解。
二阶行列式在解线性方程组、计算矩阵逆、计算平面向量面积等方面有着广泛的应用。
掌握二阶行列式的概念和计算方法对于理解线性代数和解决相关问题非常重要。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
行列式和线性方程组的求解共33页
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
计算行列式的方法总结
计算行列式的方法总结计算行列式的方法总结行列式涉及的方面很多，例如判断矩阵可逆与否要计算行列式的值、解线性方程组、特征值等都与求行列式密不可分，所以各种类型解行列式的方法一定要掌握好，才能写好行列式，下面是计算行列式的方法总结，一起来看看吧！计算行列式的方法总结(一)首先，行列式的性质要熟练掌握性质1行列互换，行列式的值不变。
性质2交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。
性质3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。
推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行(列)。
推论2若行列式有两行(列)元素对应成比例，则该行列式的值为零。
性质4若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)的元素，其余各行(列)与原行列式相同。
性质5将行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。
行列式展开法：行列式按某行(列)展开也是解行列式常用的方法。
行列式展开定理：定理1：n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与各自的代数余子式乘积之和。
定理2：行列式D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零。
(二)几种特殊行列式的值有关行列式的若干个重要公式：为便于考生综合复习及掌握概念间的联系，现将以后各章所涉及的有关行列式的几个重要公式罗列于下：2017考研数学：行列式的计算行列式是线性代数的一部分，题目比较灵活，下面小编为同学们简单讲一下行列式的几种计算方法，希望同学们可以有所启发，弄清楚这种类型题。
对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。
三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。
第一章(行列式和线性方程组的求解)
几何与代数主讲: 张小向第一章行列式和线性方程组的求解第一节二阶, 三阶行列式第二节n阶行列式的概念第三节行列式的性质第四节线性方程组的求解第五节用Matlab解题学代数方程组多项式的次数未知量的个数方程的个数线性代数线性方程组未知已知涉及的函数多项式一次≥1≥1线性方程组的应用: 平面的位置关系电路化学方程式配平交通流量营养配方搜索引擎投入产出模型……W. Leontief [美](1905.8.5-1999.2.5)1973Nobel 经济学奖投入(元)产出(元)煤运费电0.20.31煤0.50.11运费0.60.10.11电订单(元)60000100000 x y0.9x-0.65y= 60000-0.32x+ 0.89y= 100000§1.1 二阶, 三阶行列式历史上,行列式因线性方程组的求解而被发明G. W. Leibniz [德](1646.7.1~1716.11.14)S. Takakazu[日](1642?~1708.10.24)(a11a22-a12a21)x1= b1a22-a12b2(a11a22-a12a21)x2= a11b2-b1a 21⇒当a11a22-a12a21≠0时,a11x1+ a12x2= b1a21x1+ a22x2= b 2x1=b1a 22-a 12b 2a 11a 22-a 12a 21, x2= a11a22-a12a21a11b2-b1a21.a11 a12a21a 22记D= ,b1a12b2a 22D1= ,a11 b1a21b2D2= ,则当D= a11a22-a12a21≠0时,,=D1D =D2D.a11x1+ a12x2= b1a21x1+ a22x2= b2x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21有唯一确定的解x2= a11a22-a12a21a11b2-b1a21= 33+ a 1231+ 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-.对角线法则a 11 a 12 a 21a 22= a 11a 22-a 12a 21a 11a 12a 13a 21a 22 a 23 a 31a 32a 33a 13a 21a 32 a 11 a 22 a 33 a 23a 31 32 a 13a 22a 31a11a12a13a21a22a23a31a32a 33记D = ,则当D 0时,a11x1+ a12x2+ a13x3= b1a21x1+ a22x2+ a23x3= b2a31x1+ a32x2+ a33x3= b3,D1Dx1=有唯一确定的解b1a12a13b2a22a23b3a32a33D1= ,a11b1a13a21b2a23a31b3a33D2= ,a11a12b1a21a22b2a31a32b3D3= ,,D2Dx2= .D3Dx3=§1.2 n 阶行列式的概念110 0120 00 0 1-10 0 12仿照三阶行列式的对角线法则可得1⨯2⨯1⨯2-1⨯1⨯(-1)⨯1= 4+1 = 5.310 0520 000 1-130 123⨯2⨯1⨯2-1⨯5⨯(-1)⨯1= 12+5 = 17.但方程组⎧⎨⎩x 1+ x 2= 3x 1+ 2x 2= 5x 3-x 4= 0有唯一解⎧⎨⎩x 1= 1x 2= 2x 3= 1≠175一. 排列的逆序数与奇偶性1.全排列(简称排列)P n = n 个不同元素的所有排列的种数= 1⨯2⨯…⨯(n -1)⨯n 例如, 1, 2有个全排列: 1 23, 13 2, 3 1 2, 2 13, 23 1, 3 2 112, 21. 1, 2, 3有个全排列:2 6 =n !2. 逆序数先规定一个标准次序偶排列如自然次序: 1 2 3 4 … (n 1) n n = 6时, 1 2 3 4 5 6 ——标准次序1 4 2 3 5 6 ——有逆序4 2 4 32 个3 23 2 1456 ——有逆序2 13 1 3 个逆序数奇排列例1. 求下列排列的逆序数(1) 32514,(2) (2n )(2n -2)…4213…(2n -3)(2n -1). 3. 对换/邻对换注: ①任一邻对换都改变排列的奇偶性.②任一对换都可通过奇数次邻对换来实现.1 53 42 6 32 1 4 5 6 13 245 61 2 4 35 6定理 1.1. 每一个对换都改变排列的奇偶性. ☺ ☹ ☹ ☺ ☺ ☹ 1 ☺ ☹ 2 ☺ ☹ 3 ☺☹ 4 ☹☺ 5 ☹ ☺ 6 ☹ ☺ 7☹ ☺ 89☺ ☹ ☺ ☹ 1 ☺ ☹ 2 ☺☹ 3 ☹☺ 4 ☹ ☺ 5 ☹ ☺ 6☹ ☺ 7推论. n 2时, n 个元素的所有排列中, 奇、偶排列各占一半, 即各有n !/2个.二. n 阶行列式的定义1.三阶行列式的特点每一项都是三个元素的乘积.a 11 a 12a 13 a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33= a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a 31.每一项的三个元素都位于不同的行和列. 行列式的6项恰好对应于1, 2, 3的6种排列.各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性有关.()()=-∑1231231231231j j j j j j j j j a a a τa 11 a 12a 13 a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33j 1j 2j 3的逆序数对所有不同的三级排列j 1j 2j 3求和()()=-∑121212121j j j j j j a a τa 11 a 12a 21a 222. n 阶行列式的定义a 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()=-∑121212121 n nnj j j j j nj j j j a a a τ注: 当n = 1时, 一阶行列式|a 11| = a 11,这与绝对值符号的意义是不一样的.例如, 四阶行列式中, 负a 12a 23a 34a 411234a a 13a 14222331324144a 14a 23a 32a 41前面带____号,正a 11121314 a 21a 22a 23a 24a 31a 32a 33a 34a 41a 42a 43a 44a 31a 22a 13a 44前面带____号.负没有,a 11a 22a 31a 44前面带____号, a a a a3. 几个特殊的行列式λ1 0 ... 00λ2 0… … … …0 0 … λn0 … 0 λ10 … λ20… … … …λn … 0 0= λ1λ2…λn , (1) 对角行列式λ1λ2…λn .= (-1) n (n -1) 2(2) 上(下)三角形行列式a 11 a12 (1)0a22 ... a 2n ... ... ... ...00... a nn a11 0 0a21a22 0… … … …a n 1 a n2 … a nn = a 11 a 22…a nn . = a11 a22…a nn.事实上, 只有pi i(i= 1,2,…n)时,1212np p npa a a才有可能不为0.若有某个pk> k, 则必然有若有某个p l< l,否则1+2+…+n= p1+p2+…+p n>1+2+…+n, 矛盾!例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1a a a a →a a a a i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 11j 12j 23j 34j 4''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''(-1)例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1①τ(i 1i 2i 3i 4)奇τ( j 1 j 2 j 3 j 4)奇②τ(i 1i 2i 3i 4)奇τ( j 1 j 2 j 3 j 4)偶③τ(i 1i 2i 3i 4)偶τ( j 1 j 2 j 3 j 4)奇④τ(i 1i 2i 3i 4)偶τ( j 1 j 2 j 3 j 4)偶经过一次对换后奇奇偶偶偶奇奇偶τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性相同''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性与例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性相同''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性与τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4)(-1)= (-1)例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4)(-1)= (-1)a a a a →a a a a i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 11j 12j 23j 34j 4''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4)= (-1)τ(1234) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''= (-1)τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''(-1)4. n 阶行列式的另外一种定义a 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()=-∑112221121 n nn i i i i i i i ni i a a a τ性质1. DT = D .记D = 行列式D T 称为D 的转置. 记bij= a ji , 则D Ta 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n… … … …a n 1 a n 2 … a nna 11a 21… a n 1a 12a 22… a n 2… … … …a 1n a 2n … a nn, D T=()()=-∑1212121 n n j j nj j j j b b b τ()()=-∑1212121 n n j j j j j nj a a a τ5. 行列式的转置= D .§1.3 行列式的性质一. 行列式的基本性质a 11 a 12… a 1n k a 21k a 22 … k a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()()=-∑121231231 n n j j j j j j nj k a a a a τ()()=-∑121231231 n nj j j j j j nj k a a a a τa 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … … a n 1 a n 2 … a nna 11 a 12… a 1n k a 21k a 22 … k a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()()=-∑121231231 n n j j j j j j nj k a a a a τ()()=-∑121231231 n nj j j j j j nj k a a a a τa 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn= k .性质2. 行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式记号外.k a11 k a12… k a1n k a21k a22 … k a2n … … … …k a n1 k a n2 … k a nna11 a12 (1)a21a22 (2)… … … …a n1 a n2 … a nn = ___.k na 11+b 11a 12… a 1n a 21+b 21a 22 … a 2n … … … …a n 1+b n 1a n 2 … a nn()()()=-+∑111221121 n n i i i i i n i i a a a b τ()()=-∑1212211 n n i i i i i i n a a a τ()()+-∑1212211 n n i i i i i i nb a a τa 11+b 11a 12… a 1n a 21+b 21a 22 … a 2n … … … …a n 1+b n 1a n 2 … a nn()()()=-+∑111221121 n n i i i i i ni i a a a b τb 11a 12… a 1n b 21a 22 … a 2n … … … …b n 1a n 2 … a nn+ . a 11a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1a n 2 … a nn =性质3. 行列式可按某一行(列)拆成两个行列式之和. a + u b +vc +xd + y = [ ].+ a b c d (A)u v x y 例3. + u b x d (B)u v x y + a b cd a v c y + a b + v cd + y u b + v x d + y()()-∑1122331232131j j j j j j j j j a a a τa 31 a 32 a 33 a 21a 22 a 23a 11 a 12a 13 a 11 a 12a 13a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33→b 11 b 12 b 13 b 21b 22 b 23b 31 b 32b 33()()-∑3122311321j j j j j j b b b τ()()-∑3122313121j j j j j j a a a τ()()-∑3122131321j j j j j j a a a τ()()--∑1322131321j j j j j j a a a τ()()-∑3322113212131j j j j j j j j j a a a τ()()-∑1122331232131j j j j j j j j j a a a τ()()-∑3322113212131j j j j j j j j j a a a τ(-1)τ(123)a 11a 22a 33(-1)τ(321)a 13a 22a 31+ (-1)τ(132)a 11a 23a 32+ (-1)τ(231)a 12a 23a 31+ (-1)τ(213)a 12a 21a 33+ (-1)τ(312)a 13a 21a 32+ (-1)τ(231)a 12a 23a 31+ (-1)τ(312)a 13a 21a 32+ (-1)τ(321)a 32a 22a 31+ (-1)τ(132)a 11a 23a 32+ (-1)τ(213)a 12a 21a 33+ (-1)τ(123)a 11a 22a 33性质4. 互换行列式中的两行(列), 值变号. ()()-∑1122331232131j j j j j j j j j a a a τa 31 a 32 a 33 a 21a 22 a 23a 11 a 12a 13 a 11 a 12a 13a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33 →b 11 b 12 b 13 b 21b 22 b 23b 31 b 32b 33()()-∑3122311321j j j j j j b b b τ()()-∑3122313121j j j j j j a a a τ()()-∑3122131321j j j j j j a a a τ()()--∑1322131321j j j j j j a a a τ()()-∑3322113212131j j j j j j j j j a a a τ例4.= _____. 3 2 1 01 5 6 -20 -1 7 3 1 01 01 5 6 -2 0 -1 7 3 1 0=-3 2 -1 0 3 2 -1 0 -1 0 3 2 -1 0 推论. 若行列式D 中有两行(列)完全相同, 则D = 0.6 4 -2 0 1 5 6 - 20 - 1 7 3 3 2 - 1 0 例5.= _____. 3 2 -1 01 5 6 -2 0 -1 7 3 3 2 -1 0=2性质5. 若行列式D 中有两行(列)成比例,则D = 0.例6.111213a21a22a23a31a32a33⨯k→a11a12a13a21a22a23a31+k a11a32+k a12a33+k a13=a11a12a13a21a22a23a31a32a33+ 0=a11a12a13a21a22a23a31a32a33+a11a12a13a21a22a23k a11k a12k a13例6.性质6. 将行列式中某一行(列)的k 倍加到另一行(列), 所得的行列式与原行列式的值相等.111213a 21a 22a 23a 31a 32a 33k = a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31+k a 11a 32+k a 12a 33+k a 13例7. (1) 1 2 34 5 67 8 9⨯(-1)=1 2 33 3 37 8 9⨯(-1)= 1 2 33 3 36 6 6= 0.(2) 1 1 11 2 11 1 3⨯(-1)=1 1 10 1 01 1 3⨯(-1)= 1 1 10 1 00 0 2= 2.(3)⨯(-1)1 1 ... 1 1 a (1)1 1 … a= (a +n -1)… …… =a +n -1 a +n -1...a +n -11 a (1)1 1 … a ………n ⨯na 1 … 1 1 a … 1 1 1 … a ………(4)1 0 λ+1-5 λ+2 -3λ-3 1 -2= -λ-3 1 -2-5 λ+2 -31 0 λ+1⨯51 0 λ+10 λ+2 5λ+2λ-3 1 -2= -⨯(3-λ)1 0 λ+10 λ+2 5λ+20 1 -λ2+2λ+1= -⨯(-λ-2) 1 0 λ+1 0 λ+2 5λ+20 1 -λ2+2λ+1 = -1 0 λ+1 0 1 -λ2+2λ+1 0 λ+2 5λ+2 = 1 0 λ+10 1 -λ2+2λ+10 0 λ3= = λ3.(其中a 1a 2…a n ≠0).(5) 1+a 1 1 … 1 1 1+a 2… 1… … … …1 1 … 1+a n= 1 1 1 … 101+a 1 1 … 1 0 1 1+a 2… 1…… … … …0 1 1 … 1+a n⨯(-1)…= 1 1 1 (1)01+a1 1 (1)0 1 1+a2 (1)…… … … …0 1 1 … 1+a n⨯(-1)…1 1 1 (1)-1a10 0-10 a2 0…… … ……-10 0 … a n= ―伞形”行列式Il veit!= 1 1 1 … 1-1a 10 … 0 -10 a 2… 0…… … ……-10 0 … a n⨯(-1/a 1)…⨯(-1/a 2)⨯(-1/a n )注意已知条件: a 1a 2…a n ≠0,否则不能1/a 1, …, 1/a n != [1+ ∑(1/a i )]a 1a 2a n .… n= 1+∑(1/a i )00...0-1a 10 0-10 a 2… 0…… … ……-10 0 … a n i = 1 n例8. 证明n阶级(n≥2)范德蒙(Vandermonde)D n = 1 1 (1)x 1x 2… x nx12x22… x n2… … … …x1n -1x2n-1 … x n n -1= ∏(x j-x i).1≤i<j≤n行列式注: ①有些书上将上述转化过程用r k↔r j, c k↔c j, r i+k r j , c i+k c j等记号表示, 并写在等号的上方或下方.但这样不够直观.②为了不引起混淆, 每步最好只进行一个操作. 例如:a b c da+c b+dc da+c b+d-a -b r1+r2a b c da bc-a d-bc dc-a d-br1+r2r2-r1r2-r1例9. 设D = a 11 … a 1m a m 1 … a mmD 1=……, 证明: D = D 1D 2.证明: 对D 1施行r i +k r j 这类运算, 把D 1化为下三角形行列式:= p 11p m 1…p mm…...= p 11 …p mm , b 11 …b 1nb n 1 …b nnD 2=,……a 11 …a 1m 0 … 0 ……………………,a m 1... a mm 0 0c 11 …c 1m b 11 …b 1nc n 1 …c nm b n 1 …b nna 11 … a 1m a m 1 … a mmD 1=……。
行列式和方程组的解的关系
行列式和方程组的解的关系
如果该行列式为一个n阶行列式，那基础解系的解向量为n减去秩的数量，简单地说解向量的个数为零行数；秩可以看作方程组中有效方程的个数，n代表未知量的个数，而基础解系则可看作自由未知量,显然有未知量个数-有效方程个数=自由未知量个数，即n-r=基础解系中向量个数。
基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组，即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合。
基础解系需要满足三个条件：
(1)基础卢播中所有量均就是方程组的求解；
(2)基础解系线性无关,即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示；
(3)方程组的任一求解均可由基础卢播线性表出来，即为方程组的所有求解都可以用基础卢播的量去则表示。
值得注意的就是：基础卢播不是唯一的，因个人排序时对民主自由未知量的博采众长而异。
秩是线性代数术语。
在线性代数中，一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。
行列式定义性质与计算
行列式与逆序数的计算
总结词
行列式的逆序数与计算顺序有关。
详细描述
对于任何给定的方阵A，其逆序数与计算行列式的顺序有关。换句话说，如果你 改变计算行列式的顺序，那么逆序数也会相应地改变。这是因为行列式的定义涉 及对行和列的操作，而行和列的顺序会影响到这些操作的顺序和结果。
03
行列式的计算方法
二阶行列式的计算方法
矩阵逆运算中行列式的应用
总结词
行列式在矩阵逆运算中扮演关键角色。
详细描述
在求解矩阵的逆时，行列式是一个关键因素 。只有方阵才可能有逆矩阵，而判断一个方 阵是否可逆的方法之一就是查看其行列式值 。如果行列式值等于零，那么这个方阵就是 不可逆的；反之，如果行列式值不等于零， 那么这个方阵就是可逆的。因此，行列式在
用代数余子式展开，然后进行简单的 代数运算。
03
例子
对于三阶行列式
三阶行列式的计算方法
```
|abc| |def|
三阶行列式的计算方法
01
|ghi|
```
02
03
其值为 a*e*i + b*f*g + c*d*h c*e*g - b*d*i - a*f*h。
n阶行列式的计算方法-展开法
定义
n阶行列式是所有位于对角线上 的元素和它们不相邻的元素的总 和，共有n!项，每个项都是不同 行不同列的n个元素的乘积。
行列式定义性质与计算
2023-11-06
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的计算方法 • 行列式在解线性方程组中的应用 • 行列式在矩阵运算中的应用
01
行列式的定义
二阶行列式定义
01
二阶行列式是由2行2列组成的矩阵，其值由其元素的代数余子 式决定。
线性代数下的行列式和矩阵
线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。
若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。
于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。
所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。
行列式和线性方程组的求解
行列式在解线性方程组中的优势与局限性
优势
行列式可以用来判断线性方程组的解的情况，如是否有解、解的个数等，同时也可以用于求解某些特 定类型的线性方程组。
局限性
对于一些复杂或大规模的线性方程组，直接利用行列式求解可能比较困难或计算量较大，此时需要考 虑其他方法或工具进行求解。
THANKS
谢谢
当线性方程组的系数行列式不为零时，克拉默法则适用。
克拉默法则的原理基于代数余子式的概念，通过代数余子式的计算，可以得出系数和常数项之间的关系。
应用克拉默法则的步骤
第一步
计算系数行列式D，确保D≠0。
第二步
根据D的值，计算每个未知数的系数行列式Di（i=1,2,3...n）。
第三步
根据Di的值，计算每个未知数的代数余子式Ai。
迭代法
通过迭代过程逐步逼近方程组的解，常用的迭代法有雅可比法、高斯 -赛德尔迭代法和松弛法等。
03
CHAPTER
高斯消元法求解线性方程组
消元过程
初始化
将线性方程组转化为增广矩阵形式，并存储在矩阵中。
消元
通过行变换将增广矩阵中的某一行或某一列的元素化 为零，以便消除该行或列中的未知数。
迭代
重复上述步骤，直到所有未知数都被消除。
回带过程
确定主元
在回带过程中，选择主元是为了保证计算的稳定性 和准确性。主元应选择绝对值最大的元素。
回带
从最后一行开始，将已求解的未知数代入增广矩阵 中，并计算出其他未知数的值。
迭代
重复上述步骤，直到所有未知数的值都被计算出来。
算法的优缺点
优点
高斯消元法是一种简单、直观且易于理 解的算法，适用于大多数线性方程组。 它能够精确求解方程组，且在主元选择 合适的情况下具有较高的计算效率和稳 定性。
行列式与解线性方程组
= a11 a22 - a12 a21
= b1 a22 a33 + a12 a23 b3 +
可知 , 其数学表达式共有 2 ( 2 = 2 ! ) 项 , 1 项带正号 1 2! 项带负号 1 = ; 每项 2 个因子 , 分别来自 D 的 2 不同的行和不同的列 , 2 个因子的第 1 下标的数码 排成自然顺序后 , 第 2 下标恰为 2 个数码 1, 2 的某 个全排列 (共 2 = 2 ! 个全排列 ) , 逆序数 σ ( 12 ) = 0 (偶数 ) 的项带正号 , 逆序数 σ ( 21 ) = 1 (奇数 ) 的项 带负号 。 分析 3 阶行列式 ( 8 ) 式
这本来是一个纯代数问题如果我们把这个纯代数问题与几何结合起来在求解线性方程组的过程中从整体上考虑系数与常数项的关系就产生了求解线性方程组的行列式理论和矩阵理论
中国人民公安大学学报 (自然科学版 )
2010 年第 1 期 No. 1 2010 Journal of Chinese Peop leπ s Public Security University ( Science and Technology)
显然 , 线性方程组的解与其系数和常数项有关 。 这本来是一个纯代数问题 , 如果我们把这个纯代数 问题与几何结合起来 , 在求解线性方程组的过程中 从整体上考虑系数与常数项的关系 , 就产生了求解 线性方程组的行列式理论和矩阵理论 。
1 标准形式的 2 元线性方程组
= b1 a22 - b2 a12 , = a11 b2 - a21 b1 。
- a12 a21 ≠0, 则得线性方程组 ( 1 ) 式的惟一解及求解
于是 , 2 元线性方程组 ( 1 ) 式的求解公式 ( 2 ) 式 就可以写成容易记忆的公式
行列式的计算方法与其在线性方程组的简单应用
本科生毕业论文题 目： 行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用姓 名： 学 号： 系 别：年 级: 专 业：摘 要《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。
行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。
计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
当看到一个貌似非常复杂的n 阶行列式时，仔细观察，会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。
掌握住这些规律，选择合适的计算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种计算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。
行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。
它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。
关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized compulsory of the basic mathematic. The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation, alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours . There are a lot of calculations ofn order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,and we will find that their elements are arranged in rows or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method,it can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an important theory in linear equations and it is an indispensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and promotion. It is not only the solution of linear equations of the important tool, but also in some other branch has a wide range of applications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations目录引言 (1)1 n阶行列式的定义 (3)2 n阶行列式的性质 (3)3 计算n阶行列式的具体方法与技巧 (4)3.1 利用行列式定义直接计算 (4)3.2 利用行列式的性质计算 (5)3.3 化为三角形行列式 (6)3.4 降阶法 (7)3.5 逆推公式法 (8)3.6 利用范德蒙德行列式 (9)3.7 加边法（升阶法） (9)3.8 数学归纳法 (10)3.9 拆开法 (11)4 行列式在线性方程组中的初步应用 (11)4.1 克拉默（Gramer）法则 (12)4.2 克拉默（Gramer）法则的应用 (12)4.2.1 用克拉默（Gramer）法则解线性方程组 (13)4.2.2 克拉默法则及其推论在几何上的应用 (14)结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)引 言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位.因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r ，它的两端的电位差v ，那么通过这段导线的电流强度i ，就可以有关系式v ir =求出来.这就是所谓解一元一次方程的问题.在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a bx a x a ，当021122211≠-a a a a 时，次方程组有惟一解，即 211222112122211a a a a b a a b x --=， 211222111122112a a a a ba b a x --=.我们称21122211a a a a -为二级行列式，用符号表示为 21122211a a a a -=22211211a a a a于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式 22211211a a a a 0≠时，该方程组有惟一解，即.,222112112211112222112112221211a a a a ba b a x a a a a a b a b x ==对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.,,333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a称代数式312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++为三级行列式，用符号表示为：312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=333231232221131211a a a a a a a a a .我们有：当三级行列式=d 333231232221131211a a a a a a a a a 0≠时，上述三元线性方程组有惟一解，解为 d d x 11=，d dx 22=，d d x 33= 其中3332323222131211a a b a a b a a b d = ，3333123221131112a b a a b a a b a d =，3323122*********b a a b a a b a a d =在本论文中我们将把这个结果推广到n 元线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的情形.为此，我们首先要给出n 阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是本论文的主要内容.1 n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a (212222111211)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a ...2121（1）的代数和，这里j 1j 2…j n 是1,2,…,n 的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j 1j 2…j n 是偶排列时，（1）带正号，当j 1j 2…j n 是奇排列时，（1）带有负号.这一定义可以写成nnn n nna a a a a a a a a ..................212222111211=∑Γ-nnn j j j nj j j j j j a a a ...21)...(212121...)1(这里∑nj j j ...21表示对所有阶排列求和.定义表明，为了计算n 阶行列式，首先作所有有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。
行列式的求解方法
行列式的求解方法行列式是矩阵所具备的的一个重要的数学性质，它可以为我们解决很多的线性代数问题。
在数学和工程的应用中，行列式常常应用于解决线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、线性变换、矩阵的可逆性等问题上。
本文将对行列式的定义、基本性质、计算方法以及相关的应用等方面进行详细的讲解。
一、行列式的定义行列式是由数学家Cramer所发明的。
行列式又叫矩阵行列式，是由一个n*n的方阵中所计算出来的一个标量值。
对于二阶方阵$\bold A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$，其行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$对于更高阶的n阶矩阵，则可以采用逐步消元的方法来进行求解。
对于一般的n*n阶矩阵A的行列式，我们可以采用下面的定义进行计算：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n} (-1)^{N(i_1,i_2,\cdots,i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n} $$其中，$N(i_1,i_2,\cdots,i_n)$表示将$i_1,i_2,\cdots,i_n$从小到大排列时所需的逆序对个数，$a_{1i_1}a_{2i_2}\cdotsa_{ni_n}$为行列式的元素积。
行列式与方程组解的关系
行列式与方程组解的关系
只有方程个数和未知数个数相等的线性方程组才有对应的行列式，即系数行列式。
其余种类的线性方程组是没有系数行列式。
针对第一种线性方程组它的系数行列式非零时，有唯一组解并且能否利用行列式知识求解出来（参考克莱姆法则）它的系数行列式为零时，无解，或者有无穷解特别的，对齐次线性方程组（等号右边都时0）系数行列式非零时，有唯一解，全部解为零系数行列式为0，有无穷多解（这种方程组不可能无解）。
行列式 解方程
行列式解方程行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解方程和矩阵运算中起着至关重要的作用。
当我们面对复杂的线性方程组时，可以通过求解行列式来得到方程组的解。
下面我将以一个现实生活中的例子来解释行列式的概念和应用。
假设有一家公司，该公司有三个部门：销售、财务和人力资源。
每个部门的年度利润与其人员数量有关。
现在我们面临一个问题：如何确定每个部门的人员数量，使得公司的总利润最大化？为了解决这个问题，我们可以将其转化为一个线性方程组，使用行列式的方法进行求解。
首先，我们假设每个部门的人员数量分别为x、y和z。
然后，我们可以根据已知条件建立如下方程组：销售部门的年度利润等于销售人员数量的两倍；财务部门的年度利润等于财务人员数量的三倍；人力资源部门的年度利润等于人力资源人员数量的四倍；公司的总利润等于各部门年度利润之和。
通过以上条件，我们可以得到以下方程组：2x + 3y + 4z = 总利润；现在，我们可以将上述方程组转化为矩阵形式，即：⎡2 3 4⎤⎡x⎤⎡总利润⎤⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎣1 1 1⎦⎣y⎦⎣⎦⎡1 1 1⎤⎡z⎤⎡⎤这个矩阵形式就是一个行列式。
通过求解行列式，我们可以得到方程组的解，也就是各个部门的人员数量和公司的总利润。
在实际运算中，我们可以使用高斯消元法等方法来求解行列式。
通过将矩阵进行变换，我们可以将其化为上三角矩阵，然后通过回代法来求解未知数的值。
通过求解行列式，我们可以得到每个部门的人员数量，以及公司的总利润。
这个例子展示了行列式在解决实际问题中的应用。
行列式不仅在线性代数中有重要作用，也在经济学、物理学等领域有广泛应用。
行列式是一个重要的数学工具，它可以帮助我们解决复杂的线性方程组问题。
通过求解行列式，我们可以得到方程组的解，从而解决实际生活中的问题。
行列式的应用不仅局限于数学领域，它在各个领域都发挥着重要作用。
希望通过这个例子，你对行列式的概念和应用有了更深入的理解。
行列式性质及其计算方法
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1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算 。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展 开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所 构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工 具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时 ，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的 符号变化。 以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获 取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于 用数k乘此行列式。 行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些 性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计 算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时， 需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法
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2 行列式与方程组的求解1.求行列式的命令； 2.求矩阵秩的命令； 3.求矩阵的最简行矩阵的命令； 4.满秩线性方程组的各种方法； 5.符号变量的应用； 6. 验证与行列式相关的公式和定理。
例2.1 已知非齐次线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-+=+++-=+-++=+++-=++++851035372227772902116115359131073280543265432154321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ， 要求用下列方法求解该方程组。
（1）求逆矩阵法；（2）矩阵左除法；（3）初等行变换；（4）克莱姆法则。
解：（1）把非齐次线性方程组写为矩阵形式：b Ax =，则b A x 1-=，直接在MATLAB 的命令窗口输入：A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];b=[80;59;90;22;85];x=inv(A)*b%或：x=A^-1*b计算结果为：x =9.00003.00002.00001.00002.0000（2）矩阵的乘法不遵守乘法交换律，Matlab 软件定义了矩阵左除和矩阵右除运算，针对方程组的矩阵形式b Ax =，可用左除法等式两端同时左除A ，得到：“b A x \=”，即b A x 1-=针对矩阵方程B XA =，，可用右除法，等式两端同时右除A ，A B X /=，即1-=BA X在MATLAB 命令窗口中输入：A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];b=[80;59;90;22;85];x=A\b% 符号“\”即为左除运算，注意它的方向。
结果为：x =9.00003.00002.00001.00002.0000（3）用初等行变换，把方程组的增广矩阵变换为最简行阶梯形式，从而得到方程组的解。
在MATLAB 命令窗口中输入：A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];b=[80;59;90;22;85];U=rref([A,b])运算结果为：U =1 0 0 0 0 90 1 0 0 0 30 0 1 0 0 20 0 0 1 0 10 0 0 0 1 2（4）根据克莱姆法则，有：DD x i i， 其中D 是方程组的系数行列式， i D 是用常数列向量b 代替系数行列式的第i 列所得到的行列式。
用Matlab 的M 文件编辑器，编写la01.m 文件如下：% 用克莱姆法则求解方程组clear % 清除变量n=input('方程个数n ＝') % 请用户输入方程个数A=input('系数矩阵A=') % 请用户输入方程组的系数矩阵b=input('常数列向量b=') % 请用户输入常数列向量if (size(A)~=[n,n]) | (size(b)~=[n,1])% 判断矩阵A 和向量b 输入格式是否正确disp('输入不正确,要求A 是n 阶方阵，b 是n 维列向量')% disp ：显示字符串elseif det(A)==0 % 判断系数行列式是否为零disp('系数行列式为零，不能用克莱姆法则解此方程。
')elsefor i=1:n % 计算x1,x2,...xnB=A; % 构造与A 相等的矩阵BB(:,i)=b; % 用列向量b 替代矩阵B 中的第i 列 x(i)=det(B)/det(A); % 根据克莱姆法则计算x1,x2,...xn endx=x' % 以列向量形式显示方程组的解 end在MATLAB 命令窗口中输入：la01得到以下人机对话结果：方程个数n ＝5n =5系数矩阵A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10]A =6 2 3 4 52 -3 7 10 133 5 11 -16 212 -7 7 7 27 3 -5 3 10常数列向量b=[80;59;90;22;85]b =8059902285x =93212例2.2求矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=411183073920325911311363164627A 的逆，要求用以下方法：（1）矩阵左除和右除运算；（2）初等行变换；（3）利用伴随矩阵*A 求逆的公式A A A *1=-。
解：在MATLAB 的M 文件编辑器中，编写程序la02.m ：% 逆矩阵各种求法：clearA=[-7,-2,-6,4,6;1,3,-6,3,11;3,-11,9,5,-2;-3,0,-2,9,-3;7,30,-18,11,4]; % 1.命令法：An1=inv(A)% 2.幂运算法：An2=A^-1% 3.右除法：An3=eye(5)/A % eye(5)为5阶单位矩阵% 4.左除法：An4=A\eye(5)% 5.初等行变换法：B=rref([A,eye(5)]); % 对矩阵[A , I] 进行初等行变换% B 为矩阵A 的最简行阶梯矩阵if(rank(B(:,1:5))==5) % 判断最简行阶梯矩阵B 的前5列是否为单位阵An5=B(:,6:10) % 取出矩阵的后5列，并显示elsedisp('A 不可逆');end% 6.伴随矩阵求逆法：for i=1:5 % 构造伴随矩阵的5×5个元素for j=1:5T=A; % 把矩阵A 赋给矩阵TT(i,:)=[]; % 删去矩阵T 的第i 行T(:,j)=[]; % 删去矩阵T 的第j 列% 此时，|T| 为矩阵A 元素aij 的余子式 AA(j,i)=(-1)^(i+j)*det(T);% 算出aij 的代数余子式% 并放入矩阵AA 的第j 行、第i 列% 当循环结束，矩阵AA 即为A 的伴随矩阵endendif det(A)~=0An6=AA/det(A)elsedisp('A 不可逆');end运算程序la02，前四个方法计算结果相同：1.0e+004 *-1.5895 1.3448 -1.0646 1.6206 -0.63081.6298 -1.3789 1.0916 -1.6617 0.64682.5392 -2.1483 1.7007 -2.5889 1.00770.3631 -0.3072 0.2432 -0.3702 0.14410.9860 -0.8342 0.6604 -1.0053 0.3913后两个方法计算结果相同：-15895 13448 -10646 16206 -630816298 -13789 10916 -16617 646825392 -21483 17007 -25889 100773631 -3072 2432 -3702 14419860 -8342 6604 -10053 3913从计算结果可以发现，前四个方法得到的是实数矩阵，而后两个方法得到的是整数矩阵。
如果在Matlab 环境下，键入：format long然后再重新运行该程序，会发现前四个方法的运算结果存在误差，这是计算机做数值运算时，存在舍入误差的原因。
为了进一步观察计算机做数值运算所产生的误差，现在用上述六种方法来计算矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=131211*********A 的逆， A=[1,2,3;10,10,10;11,12,13]前四种方法得到以下类似结果：Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 2.135044e-018.ans =1.0e+015 *-4.5036 -4.5036 4.50369.0072 9.0072 -9.0072-4.5036 -4.5036 4.5036显然此结果是不正确的，因为A 不可逆。
例2.3 解方程：0231723151223112322=--x x 。
解：Matlab 软件定义了“符号变量”的概念。
在MATLAB 的M 文件编辑器中，应用“符号变量”编写程序la03.m ：% 求解符号行列式方程clear all % 清除各种变量syms x % 定义x 为符号变量A=[3,2,1,1;3,2,2-x^2,1;5,1,3,2;7-x^2,1,3,2]% 给矩阵A 赋值D=det(A) % 计算含符号变量矩阵A 的行列式D f=factor(D) % 对行列式D 进行因式分解% 从因式分解的结果，可以看出方程的解 X=solve(D) % 求方程“D ＝0”的解在MATLAB 的命令窗口输入：la03运行结果为：A =[ 3, 2, 1, 1][ 3, 2, 2-x^2, 1][ 5, 1, 3, 2][ 7-x^2, 1, 3, 2]D =-6+9*x^2-3*x^4f =-3*(x-1)*(x+1)*(x^2-2)X =[ 1][ -1][ 2^(1/2) ][ -2^(1/2)]例2.4 请用Matlab 软件验证行列式按行（列）展开公式：A A a A a A a =+++1515121211110351532123111=+++A a A a A a解：在MATLAB 的M 文件编辑器中，编写程序la04.m ：% 验证行列式按行（列）展开公式clearA=round(10*randn(5)); % 构造5阶随机数方阵D=det(A); % 计算矩阵A 的行列式% 矩阵A 按第一行元素展开：s=a11*A11+a12*A12+…+a15*A15s=0;for i=1:5T=A;T(1,:)=[]; % 删去阵矩第1行T(:,i)=[]; % 删去矩阵第i 列% 此时，|T| 为矩阵A 元素a1i 的余子式 s=s+A(1,i)*(-1)^(1+i)*det(T);ende=D-s % 验算D 与s 是否相等在MATLAB 的命令窗口中输入：la04计算结果为：e =在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la05.m：% 计算5阶方阵A的第一行元素与第三行元素对应的代数余子式乘积之和：% s=a11*A31+a12*A32+…+a15*A35clearA=round(10*randn(5)); % 构造5阶随机数方阵s=0;for i=1:5T=A;T(3,:)=[]; % 删去矩阵第3行T(:,i)=[]; % 删去矩阵第i列% 此时，|T| 为矩阵A元素a3i的余子式 s=s+A(1,i)*(-1)^(3+i)*det(T);ends % 验算s是否为0在MATLAB命令窗口中输入：la05计算结果为：s =例2.5 计算行列式的444422221111dcbadcbadcba值.解在MATLAB编辑器中建立M文件：syms a b c dA=[1 1 1 1;a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^4 b^4 c^4 d^4];d1=det(A)d2=simple(d1) %用 simple函数化简表达式d1pretty(d2) %用pretty函数使表达式d2符合人们的书写习惯.则结果显示为：d1 =b*c^2*d^4-b*d^2*c^4-b^2*c*d^4+b^2*d*c^4+b^4*c*d^2-b^4*d*c^2-a*c^2*d^4+a*d^ 2*c^4+a*b^2*d^4-a*b^2*c^4-a*b^4*d^2+a*b^4*c^2+a^2*c*d^4-a^2*d*c^4-a^2*b*d^4+a^ 2*b*c^4+a^2*b^4*d-a^2*b^4*c-a^4*c*d^2+a^4*d*c^2+a^4*b*d^2-a^4*b*c^2-a^4*b^2*d+ a^4*b^2*cd2 =(-d+c)*(b-d)*(b-c)*(-d+a)*(a-c)*(a-b)*(a+c+d+b) (-d + c) (b - d) (b - c) (-d+ a) (a - c) (a - b) (a + c + d + b)。