4 复合函数的求导法则

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4复合函数的求导法则

求w , 2w . x xz 解: 令 u x y z , v x y z , 则
w , f1 , f2
uv
wf(u,v)
w x
f11f2yz
x y zx y z
f 1 ( x y z ,x y z ) y z f 2 ( x y z ,x y z )
z
uv
t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
t
有增量△u ,△v ,
zzuzv o ( ) ( (u)2(v)2)
u v
zzuzv o ( ) ( (u)2(v)2)
t ut vt t
令t 0, 有 u 0 , v 0 ,
u
x r
r
ux
(2)

2u x2
(( uu ))cos
rx xx
(

u x
)
sin r
r(urcos usinr)cos
r
x yx y
注意利用已有公式
(urcos
usin)sin
z ,
z .
x y
解:
z z u z v x u x v x
eusinv y eucovs1
z
e x y [y six n y ) (co x y s )( ]u v
z z u z v y u y v y
二、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具有一阶连续偏导
为 x2简w z便起f f1 1 见1 1, y 1 引( fx 入1 2 记z x) 号yf 1 f y1x 2 f2y 2 ufz y ,f z2 [ f1f 221y 2 1f u2 2fvf2,2 xy]

复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则

复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！复合函数求导公式复合函数求导法则证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0)f'(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。

设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。

大学数学_8_4 复合函数的求导法则

z dz ( u 2 v 2 )
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均在点 t 处可导， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数，写出复合函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(

复合函数的导数

yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x.
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x，求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且或
或
证设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0

复合函数的求导法则

导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
y , 其中为可导函数, 七、设 z 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 2. 验证: x x y y y 八、设 z [ x ( x y ), y ], 其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x yLeabharlann 练习题答案一、1、
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: x cos y z 1、设 z ,则 ________________； y cos x x z ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z z 2 、设 ,则 _______________； 2 x y z ________________. y sin t 2 t 3 dz z e 3、设 ,则 ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z ue ,而u x y , v xy ，求 , . x y
例：z = (1+ x )
2 sin3x
dz 求 dx
例：z = (x y )
2
2 2 x 3 y
z z 求 x y
2、复合函数求导注意事项：

复合函数求导公式运算法则

复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。

2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。

3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。

4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。

5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。

常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。

常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。

8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。

常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。

下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。

例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。

解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。

复合函数的导数求法

幂函数的导数
幂函数是形如$y = x^n$的函数，其中$n$是实数。
VS
幂函数的导数可以通过幂函数的定义和极限的定义求得，结果为$y' = nx^{n-1}$。
三角函数的导数
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的导数是余弦函数，即$frac{d}{dx}sin x = cos x$；余弦函数的导数是负的正弦函数，即$frac{d}{dx}cos x = -sin x$；正切函数的导数是正切函数的平方与1的和的倒数，即$frac{d}{dx}tan x = frac{1}{cos^2 x}$。
探讨未来可能的研究方向
复杂复合函数的求导方法
对于更为复杂的复合函数，如多层嵌套、多变量复合等，需要进一步研究更为高效、简洁的求导方法。这有助于解决实际应用中更为复杂的数学问题。
复合函数导数的性质研究
复合函数的导数具有一些独特的性质，如连续性、可微性等。未来可以进一步探讨这些性质在复合函数求导中的应用，以及它们对导数求解的影响。
对数函数是形如$y = log_a x$的函数，其中$a > 0$且$a neq 1$。
03 复合函数求导举例
简单复合函数求导
举例1
$y = sin(2x)$
分析
这是一个简单的复合函数，其中内层函数是 $2x$，外层函数是$sin u$。
求导过程
根据链式法则，$frac{dy}{dx} = cos(2x) cdot 2 = 2cos(2x)$。
指数函数和对数函数的导数
指数函数的导数是其本身与底数自然对数的乘积，即$frac{d}{dx}a^x = a^x ln a$。
对数函数的导数是底数的倒数与自变量对数的倒数之积，即$frac{d}{dx}log_a x = frac{1}{x ln a}$。

复合函数求导

= f ′( u0 ) g ′( x0 ).
复合函数的求导法则可以写成: 复合函数的求导法则可以写成
dy dy du = dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求即因变量对自变量求导，导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为: 复合函数的微分公式为
n n1 (sin x n ) ′(sin x n ) cos x n nx n1
= n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
n1 (sin x n ) f ′[ n (sin x n )] ′(sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x )
第四节
复合函数求导法则及其应用
一、复合函数求导法则二、初等函数的求导问题三、一阶微分的形式不变性四、隐函数的导数五、对数求导法六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u = g( x ) 在 x0可导，可导，定理复合函数求导法则处可导，而函数 y = f (u) 在 u0 = g( x0 ) 处可导，则复合函数 y = f [ g( x )] 在 x0 可导，且有可导，且有:
d[ f ( g( x))] = f ′(u) g′( x)dx
推广
设 y = f ( u), u = (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数
y = f { [ψ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv = dx du dv dx
例4.4.1 解: 求函数 y = ln sin x 的导数 .

复合函数的求导法则

复合函数的表示方法
记号表示
复合函数通常用记号F(u)来表示，其中F表示外部函数，u表示内部函数的输出。
具体表示
如果y=f(x)且u=g(y)，则复合函数可以表示为z=f(g(y))或z=F(u)，其中 z=F(u)表示z是u的函数。
03
链式法则
链式法则的原理
链式法则是复合函数求导的重要法则之一，其原理是将复合函数分解为多个基本函数，然后对每个基本函数分别求导，再根据复合函数的复合关系，将各个基本函数的导数相乘，得到复合函数的导数。
商的求导法则的原理
商的求导法则指出，对于两个函数的商，其导数等于被除函数的导数除以除函数的导数。即 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2。
这个法则的原理基于函数的商的性质，即当两个函数同时变化时，其商的变化率满足特
定的关系。
商的求导法则的应用示例
假设有两个函数 f(x) = x^2 和 g(x) = sin(x)，我们需要求它们的商函数 f(g(x)) = x^2 / sin(x) 的导数。
进一步学习高阶导数、隐函数求导等更深入的数学知识，为后续学习打下基础。
THANKS
感谢观看
乘积法则
在求导过程中，将复合函数的中间变量与常数相乘，并使用乘积法则进行求导。
反函数求导法则
对于反函数，使用反函数求导法则进行求导。
学习建议与展望
熟练掌握复合函数的求导法则，能够快速准确地求出复合函数的导数。
了解复合函数在实际问题中的应用，如经济学、物理学等领域。
ABCD
在学习过程中，多做练习题，加深对复合函数求导法则的理解和掌握。
表示

复合函数求导公式有哪些

复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。

2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。

3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。

即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。

复合函数求导法则公式

复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。

设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。

链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。

例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。

首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。

其次，求解du/dx=2x。

最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。

2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。

设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。

乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。

根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。

3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。

设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。

商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。

根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。

链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。

高等数学《复合函数的求导法则》

例 8 设z f ( x2,e2x )，f 可微，求 dz . dx
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数，有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏导数的关系问题.
——全导数公式
证设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t

复合函数怎么求导

复合函数怎么求导一、复合函数的概念复合函数是指由两个或多个函数组合而成的新函数，例如f(g(x))。

其中g(x)称为内函数，f(u)称为外函数。

在微积分中，常常需要对复合函数进行求导。

二、链式法则链式法则（chain rule）是求导复合函数的基本方法，它是微积分中非常重要的概念之一。

链式法则会用到两个函数f(x)和g(x)，其中g(x)是f(x)的内部函数。

假设y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，u = g(x)，dy/du是外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数，称为外导数；du/dx是内函数g(x)对自变量x的导数，称为内导数。

链式法则就是基于这个公式进行求导的。

三、基本问题：对于复合函数的求导问题，我们首先需要解决以下几个基本问题：1. 如何确定内函数和外函数？2. 如何计算外导数和内导数？3. 如何组合外导数和内导数，求得最终的导数？接下来，将从这三个问题出发，逐一解答。

四、内函数和外函数在求复合函数的导数时，首先需要确定内函数和外函数。

一般来说，我们将靠近自变量的函数看成内函数，靠近因变量的函数看成外函数。

例如对于函数f(x) = sin(x²)，我们可以将其拆分为f(u) = sin(u) 和u = x²，其中u是内函数，f(u)是外函数。

此时f(u)可以看成一元函数，对它求导很容易。

五、外导数和内导数1. 外导数外导数是指外函数对内函数的导数。

假设外函数为f(u)，内函数为u=g(x)，则外导数可以表示为：df/du其中，u是内函数，f是外函数。

求外导数需要用到导数的基本公式，例如常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等函数的导数公式。

例如，对于指数函数f(u)=e^u，其外导数为：df/du = e^u2. 内导数内导数是指内函数对自变量的导数。

假设内函数为u=g(x)，则内导数可以表示为：du/dx其中，g(x)是内函数，u=g(x)是外函数中的内函数。

第八章4复合函数求导法则

x x(r, ), y y(r, )
均满足复合函数求偏导数的条件计算 w , w
（两重复合问题）
r
解由链式法则 u
x
r
w
v
y
w w u w v u u x u y r u r v r r x r y r
v v x v y r x r y r
故
w w (u x u y) w (v x v y) r u x r y r v x r y r
复合函数求导法则
先回忆一下一元复合函数的微分法则
若y f (u)而u ( x)可导则复合函数
y f [( x)] 对 x 的导数为 dy dy du
dx du dx
这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元
一、链式法则
定理如果函数u (t) 及v (t ) 都在t点可
导，函数 z f (u,v) 在对应点(u,v) 具有连续偏
导数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应t点可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？
这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数
如 z f ( x2 y2, xy) 它是由 z f (u,v)
及u x2 y2,v xy 复合而成的由于 f 没有具体给出在求 z , z 时
x y

2.4.2 复合函数求导法则、基本公式

2
x (2). y ; 2 tan x 2 x (4). y 2 ; 3 ( x 2) (6). y 2 .
x ln x
2
(5). y ln( x 1 x );
2
1 (1).(ln | x |) , x
/
( x 0);
(2). y x cot x,
2 2
y 2x cot x x 2 cot x ( csc x)
2 3 2 2 2 /
4 x(1 x ) 2 ; 4 ( x 2)
2
(5).y
/
1 x 1 x
2
(1
x 1 x
2
)
1 1 x
2
;
1 ln x x x x ln x 1 / x ln x ln x (6). y 2 ln 2 2 ln 2 . 2 2 (ln x ) (ln x)
/
ln x /
(a ) (e
x /
x ln a /
)
e
x ln a
( x ln a) e
/
x ln a
ln a a ln a.
x
[ x tan(sin x)] ( x)/ tan(sin x) x[tan(sin x)]/
tan(sinx) x sec (sin x) (sin x)
/ 2 /
1 1 x
2
1 x / 例 : (arctan arccos e ) x
1 e 1 1 x . 2 e 2 2 2x 1 x 1 (e x ) 2 1 x 1 e 1 x
1
x
课内练习

复合函数求导法则与隐函数的求导

1 2 x
.
例11 设 y sin 3 (2 x 1)，求y'. 解
y' (sin (2 x 1))'
3
3 sin 2 (2 x 1) (sin3 (2 x 1))' 3 sin 2 (2 x 1) cos( 2 x 1) (2 x 1)' 3 sin (2 x 1) cos( 2 x 1) 2
f' (u ) g' ( x).
复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)))就可导，且有
dy dy du dv f' (u ) g' (v)h' ( x). dx du dv dx
1 ( sin x) cos x tan x .
例10 设 y e
tan x
，求y' .
y e u , u tan v，v x .则解令
dy dy du dv dx du dv dx
e sec v
u 2
1 2 x
2
e
tan x
sec
x
1 x
若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在
对初等函数求导时，就可以“一步到位”. 例14 计算 [ln( x 2 1 x)]' . 解 [ln( x 2 1 x)]'
1
x2 1 x 2 x2 1
(
1
2 x 1)

1 x ( 2 1) 2 x 1 x x 1 1 x 1

复合函数求导数的四步

复合函数求导数的四步
复合函数求导法则如下：
一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·u ⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。

总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】×1【注：1即为(x+2)的导数】
复合函数求导的步骤:
1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。

2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。

3、相乘：把上述求导的结果相乘。

4、变量回代：把中间变量回代。

主要方法：
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

例如，复合函数求导。

求复合函数的导数注意:
1、分解的函数通常为基本初等函数。

2、求导时分清是对哪个变量求导。

3、计算结果尽量简单。

4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。

5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。

4 复合函数的求导法则