2016届高三一轮数学(理)专题复习：第4讲 数系的扩充与复数的引入(第四章 平面向量与复数)
高考数学一轮复习第4章 第5节 数系的扩充与复数的引入
答案：5
5．已知复数 z＝1－3＋3ii2，则|z|＝________. 解析：z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i 3i ＝－2－3＋2 i3－i2－＋22＋23i3i＝－ 43＋14i，
答案：8
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解析：由题意知xx2－－11≠＝00， 得 x＝－1.
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解析：当 m»＝第1 五时级，z1＝3－2i，故 z1＝z2；反之当 z1＝z2 时， 有mm22＋ ＋mm＋ －14＝ ＝－ 3，2， 解得 m＝1 或 m＝－2.所以 m＝1 是 z1＝ z2 的充分不必要条件．
以 1 为半径的圆上.yx表示圆上的点与原点连线的斜率．
设过原点的直线为 y＝kx，由直线与圆相切，得 k|22＋k| 1＝1，
解得
k＝±
3 3.
故所求yx的取值范围为－ 33， 33.
答案：A
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2016年高考数学一轮复习课件：第四节 数系的扩充与复数的引入
1．会进行复数代数形式的四则运算； 2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)若复数 z1，z2 满足 z1－z2＞0，则 z1＞z2 ( × )
(2)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能 不成立
(3)两个复数的积与商一定是虚数
( × )
( × )
2． (人教 A 版教材例题改编)如果(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y
4 －2 ＋1)i，则 x＝________ ，y＝________.
基础盘查二
复数的几何意义
(一)循纲忆知
了解复数的代数表示法及其几何意义．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)原点是实轴与虚轴的交点 ( √)
第四节
数系的扩充与复数的引入
基础盘查一
复数的有关概念
(一)循纲忆知
1．理解复数的基本概念； 2．理解复数相等的充要条件．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)已知 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 时复数 z 为纯虚数( × ) (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小
－ 解析： 依题意得 (1 － z)· z ＝ (2＋ i)( － 1＋ i) ＝－ 3＋ i ，则 |(1 － － z)· z |＝|－3＋i|＝ －32＋12＝ 10.
[类题通法]
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实 部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列 出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
高考数学一轮复习第4讲 数系的扩充与复数的引入
第4讲 数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 与b 01实部与02虚部.03b ＝0，则a ＋b i 04b ≠0，则a ＋b i 05a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 06a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 07|z |或08|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|09a2＋b2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i 一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )．3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)10(a ＋c )＋(b ＋d )i.(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝11(a －c )＋(b －d )i. (3)乘法：z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝12(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(4)除法：z1z2＝a ＋bic ＋di ＝错误!＝错误!＋错误!i(c ＋d i ≠0)．1．(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )． (2)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )．2．z z －＝|z |2＝|z －|2，|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z1z2|＝|z1||z2|，|z n |＝|z |n (n ∈N )．3．(1)复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ1→，OZ2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是OZ1→－OZ2→＝Z2Z1→所对应的复数．1．(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－i D ．3＋i答案 D解析 (1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA→对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D解析 因为向量AB→对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，所以向量BA→对应的复数是－2－i ，且CA →＝CB →＋BA →，所以向量CA →对应的复数是(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.故选D.3．(2020·浙江高考)已知a ∈R ，若a －1＋(a －2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 因为a －1＋(a －2)i 为实数，所以a －2＝0，所以a ＝2.故选C. 4．已知复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．z 的模为2 B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为－1 D ．z 的共轭复数为1＋i答案 C解析 根据题意可知，2－1＋i ＝错误!＝－1－i ，所以z 的虚部为－1，实部为－1，模为2，z 的共轭复数为－1＋i.故选C. 5．已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D 解析 由(1＋3i)z ＝1＋i ，得z ＝1＋i 1＋3i＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋34，1－34，在第四象限．故选D.6．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________. 答案 －1解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.考向一 复数的有关概念 例1 (1)设i 是虚数单位，复数a ＋i2－i是纯虚数，则实数a ＝( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2答案 B 解析 因为a ＋i 2－i＝错误!＝错误!是纯虚数，所以2a －1＝0且a ＋2≠0，所以a ＝12.(2)(2020·天津市河北区二模)若复数1＋2ai 2－i(a ∈R )的实部和虚部相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．16D ．－16答案 C解析 ∵复数1＋2ai2－i ＝错误!＝错误!＋错误!i 的实部和虚部相等，∴错误!＝错误!，解得a ＝16.故选C.(3)给出下列命题：①两个不是实数的复数不能比较大小； ②复数i －1的共轭复数是i ＋1；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 其中错误命题的序号是________. 答案 ②③④解析 ①显然为真命题．对于命题②，复数i －1的共轭复数是－i －1，所以该命题是错误的．对于命题③，若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则x 2－1＝0且x 2＋3x ＋2≠0，所以x ＝1，所以该命题是错误的．对于命题④，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，可以z 1＝i ，z 2＝0，z 3＝1，所以该命题是错误的．求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意列方程(组)求解．1.(2020·广西钦州质检)复数2＋i1＋i的共轭复数是( )A ．－32＋12iB ．－32－12iC.32－12i D ．32＋12i答案 D解析 由复数2＋i1＋i ＝错误!＝错误!＝错误!－错误!i ，所以共轭复数为错误!＋错误!i.2．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋t i(t ∈R )，且满足z －1z 2是实数，则z 2等于( ) A ．1－12iB ．1＋12iC.12＋i D ．12－i答案 B解析 ∵z －1z 2＝(2－i)(1＋t i)＝2＋t ＋(2t －1)i 是实数，∴2t －1＝0，即t ＝12，∴z 2＝1＋12i.故选B.多角度探究突破考向二 复数的几何意义例2 (1)已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3i B ．2 C ．(－1，3)D ．－1＋3i答案 D解析 设复数z 对应的点为(x ，y )，则x ＝|z |·cos120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－1，y ＝|z |·sin120°＝2×32＝3，所以复数z 对应的点为(－1，3)，所以z ＝－1＋3i.(2)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析 由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵|z －i|＝1， ∴|x ＋y i －i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.复数几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．3.(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为z －＝－3－2i ，故z －对应的点的坐标为(－3，－2)，位于第三象限．故选C.4．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3) 答案 A解析 由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1.故选A.5．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是z 1，z 2，则|z 1－z 2|＝________.答案 22解析 由图象可知z 1＝i ，z 2＝2－i ，故|z 1－z 2|＝|－2＋2i|＝错误!＝2错误!. 多角度探究突破考向三 复数的代数运算 角度1 复数的乘法运算例3 (1)(2020·北京高考)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( )A ．1＋2iB ．－2＋iC ．1－2iD ．－2－i答案 B解析 由题意得z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i －2.故选B.(2)(2020·宝鸡模拟)已知i 为虚数单位，实数a ，b 满足(2－i)(a －b i)＝(－8－i)i ，则ab 的值为( )A ．6B ．－6C ．5D ．－5 答案 A解析 由题意，得(2a －b )＋(－a －2b )i ＝1－8i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝1，－a －2b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，∴ab ＝6.角度2 复数的除法运算例4 (1)(2020·新高考卷Ⅰ)2－i1＋2i ＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案 D 解析2－i1＋2i ＝错误!＝错误!＝－i ，故选D. (2)(2021·山东聊城月考)设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z1z2＝( )A ．1＋iB ．35＋45iC ．1＋45iD ．1＋43i答案 B解析 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z1z2＝2＋i2－i＝错误!＝错误!＋错误!i.角度3 复数的混合运算例5 (1)(2020·山东省、海南省新高考高三4月模拟)已知(2－i)z －＝i 2021，则复平面内与z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 由(2－i)z －＝i 2021，得z －＝i20212－i ＝i 2－i＝错误!＝－错误!＋错误!i ，∴z ＝－1 5－25i.∴复平面内与z对应的点在第三象限．故选C.(2)(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0 B．1C．2D．2答案 D解析z2＝(1＋i)2＝2i，则z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2，故|z2－2z|＝|－2|＝2.故选D.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．6.(2020·全国卷Ⅲ)若z－(1＋i)＝1－i，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－i D．i答案 D解析因为z－＝1－i1＋i＝错误!＝错误!＝－i，所以z＝i.故选D.7．(2021·临沂摸底)设z＝i3＋2－i1＋2i，则z的虚部是()A．－1 B．－4 5iC．－2i D．－2 答案 D解析根据复数的乘法与除法运算，则z＝i3＋2－i1＋2i＝i2·i＋错误!＝－i－i＝－2i.根据虚部的定义，可知虚部为－2.故选D.8．(2020·长沙市长郡中学高三适应性考试)已知i为虚数单位，m∈R，若复数(2－i)(m＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则复数mi1－i的虚部为()A．1 B．iC．－1 D．－i答案 A解析(2－i)(m＋i)＝2m＋1＋(2－m)i，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则2－m＝0，得m＝2，复数mi1－i ＝2i1－i＝错误!＝错误!＝－1＋i，即复数的虚部是1，故选A.一、单项选择题1．(2020·全国卷Ⅲ)复数11－3i的虚部是()A．－310B．－110C.110D．310答案 D解析因为11－3i＝错误!＝错误!＋错误!i，所以复数错误!的虚部为错误!.故选D.2．(2020·青岛市高三上学期期末)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，则z1z2＝()A．1＋i B．－1＋iC．－1－i D．1－i答案 D解析∵复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，∴z1＝1＋i，z2＝i.∴z1 z2＝1＋ii＝错误!＝1－i.故选D.3．(2020·厦门一模)设z＝－i＋3，则z－＋|z－|＝()A．i－3＋10B．i＋3＋10C．－i＋3＋10D．－i－3＋10答案 B解析∵z＝－i＋3，∴z－＝i＋3，∴z－＋|z－|＝i＋3＋10，故选B. 4．(2021·海口高考调研考试)在复平面内，复数1＋i1－i对应的点与复数－i对应的点的距离是()A．1 B．2C．2 D．22答案 C解析因为1＋i1－i＝错误!＝错误!＝i，所以复数错误!对应的点为(0,1)．又因为复数－i对应的点为(0，－1)，所以这两点之间的距离为2.故选C.5．(2020·葫芦岛模拟)已知－m＋3i2－i＝n＋2i(m，n∈R)，则复数z＝m＋n i在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析 由－m ＋3i 2－i＝n ＋2i ，得－m ＋3i ＝(n ＋2i)(2－i)＝(2n ＋2)＋(4－n )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝2n ＋2，3＝4－n ，解得m ＝－4，n ＝1.∴复数z ＝m ＋n i 在复平面内对应的点的坐标为(－4，1)，位于第二象限．故选B.6．(2021·湖南省长郡中学高三月考)复数⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 2021＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案 C解析 ∵1＋i 1－i ＝错误!＝错误!＝i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 2021＝i 2021＝(i 4)505·i ＝i. 7．(2020·南宁模拟)若复数z 满足(1＋3i)z ＝(1＋i)2，则|z |＝( ) A.54B ．55C.102D ．105答案 D解析 由(1＋3i)z ＝(1＋i)2＝2i ，得z ＝2i1＋3i＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫152＝105.故选D. 8．(2020·成都模拟)已知复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则|z |＝( )A.5 B ．5 C ．25D ．217答案 A解析 复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，则z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (2,6)，B (0，－2)，线段AB 的中点C (1，2)对应的复数为z ＝1＋2i ，则|z |＝12＋22＝5.故选A.9．(2020·聊城二模)在复数范围内，实系数一元二次方程一定有根．已知方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b ∈R )的一个根为1＋i(i 为虚数单位)，则a1＋i＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．2iD ．2＋i答案 B解析 ∵x 1＝1＋i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，∴x 2＝1－i 也是此方程的一个虚根，∴a ＝－(x 1＋x 2)＝－(1＋i ＋1－i)＝－2.所以a 1＋i ＝－21＋i＝错误!＝－1＋i.故选B.二、多项选择题10．(2021·新高考八省联考)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0，下列命题中正确的是( )A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若z －2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2 答案 BC解析 由复数模的概念可知，|z 2|＝|z 3|不能得到z 2＝±z 3，例如z 2＝1＋i ，z 3＝1－i ，A 错误；由z 1z 2＝z 1z 3可得z 1(z 2－z 3)＝0，因为z 1≠0，所以z 2－z 3＝0，即z 2＝z 3，B 正确；因为|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，而z －2＝z 3，所以|z －2|＝|z 3|＝|z 2|，所以|z 1z 2|＝|z 1z 3|，C 正确；取z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，显然满足z 1z 2＝|z 1|2，但z 1≠z 2，D 错误．故选BC.11．复数z 的共轭复数记为z －，复数z ，z －分别对应点Z ，Z －.设A 是一些复数对应的点组成的集合，若对任意的Z ∈A ，都有Z －∈A ，就称A 为“共轭点集”．下列点集中是“共轭点集”的有( )A ．{(x ，y )|y ＝log 2x }B ．{(x ，y )|y 2＝x } C.错误! D ．{(x ，y )|y ＝2x }答案 BC解析 复数z 的共轭复数记为z －，复数z ，z －分别对应点Z ，Z －.设A 是一些复数对应的点组成的集合，若对任意的Z ∈A ，都有Z －∈A ，就称A 为“共轭点集”．即z ，z －表示的点(x ，y )，(x ，－y )都满足集合，即为“共轭点集”．B ，C 中的集合都满足，A ，D 中的集合都不满足．12．(2020·济南模拟)已知复数z ＝1＋cos2θ＋isin2θ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2＜θ＜π2(其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．|z |＝2cos θ D.1z 的实部为12 答案 BCD解析 z ＝1＋cos2θ＋isin2θ＝2cos θ(cos θ＋isin θ)，∵－π2＜θ＜π2.∴cos θ＞0，sin θ∈(－1,1)．则复数z 在复平面上对应的点不可能落在第二象限；z 可能为实数；|z |＝2cos θ；1z＝错误!＝错误!＝错误!－错误!tan θ，错误!的实部为错误!.故选BCD.三、填空题13．(2020·江苏高考)已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________. 答案 3解析 ∵复数z ＝(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ， ∴复数z 的实部为3.14．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.向量CA→所表示的复数为________，向量OB →所表示的复数为________.答案 5－2i 1＋6i解析 CA→＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.OB →＝OA →＋OC →，所以OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.15．(2020·开封期中)若|z 1－z 2|＝1，则称z 1与z 2互为“邻位复数”．已知复数z 1＝a＋3i与z2＝2＋b i互为“邻位复数”，a，b∈R，则a2＋b2的最大值为________.答案8＋27解析由题意，|a＋3i－2－b i|＝1，故(a－2)2＋(3－b)2＝1，∴点(a，b)在圆(x －2)2＋(y－3)2＝1上，而a2＋b2表示点(a，b)到原点的距离，故a2＋b2的最大值为(错误!＋1)2＝(1＋错误!)2＝8＋2错误!.16．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________.答案23解析解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝2，∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，∵z1＋z2＝a＋b i＋c＋d i＝3＋i，∴a＋c＝3，b＋d＝1，∴(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋2ac＋b2＋d2＋2bd＝4，∴2ac＋2bd＝－4，∵z1－z2＝a＋b i－(c＋d i)＝a－c＋(b－d)i，∴|z1－z2|＝错误!＝a2＋c2－2ac＋b2＋d2－2bd＝错误!＝错误!＝23.解法二：∵|z1|＝|z2|＝2，可设z1＝2cosθ＋2sinθ·i，z2＝2cosα＋2sinα·i，∴z1＋z2＝2(cosθ＋cosα)＋2(sinθ＋sinα)·i＝3＋i，∴错误!两式平方作和，得4(2＋2cosθcosα＋2sinθsinα)＝4，化简得cosθcosα＋sinθsinα＝－1 2.∴|z1－z2|＝|2(cosθ－cosα)＋2(sinθ－sinα)·i| ＝错误!＝错误!＝错误!＝2错误!.。
高三数学人教A数学(理)高考一轮复习课件：第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入
知识点二
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． 1＋i 1－i (1)(1±i) ＝±2i； ＝i； ＝－i. 1－i 1＋i
2
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n 1＝i，i4n 2＝－1，i4n 3＝－i，i4n＋i4n 1＋i4n 2＋i4n
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋3
题组训练
由题意知，复数(1－2i)(a＋
位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚 i)＝a＋2＋(1－2a)i 是纯虚
－2 ． 数，则实部 a＋2＝0，虚部 数，则实数 a 的值为________
1－2a≠0，解得 a＝－2.
栏目 导引
第十二章
选考部分
考点一
解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实
知识点二
C．1－i
栏目 导引
第十二章
选考部分
考点一
复数的有关概 念|
试题
解析
5 1． 若 a＋bi＝ (i 是虚数单位， 1＋2i a，b∈R)，则 ab＝( A )
题组训练
5 a＋bi＝ ＝1－2i， 所以 1＋2i a＝1，b＝－2，ab＝－2.
A．－2 C．1
B．－1 D．2
栏目 导引
第十二章
知识点二
栏目 导引
第十二章
选考部分
知识点二
试题
解析
5． 设复数 z＝1＋i(i 是虚数单位)， 2
知识点一
2 2 则 z ＋z ＝( D ) A．－1－i B．－1＋i D．1＋i
2 2 ＋ z ＝ ＋ (1 ＋ i) ＝ z 1＋ i
2
2 1 － i ＋ 1 ＋ 2i ＋ i2 ＝ 1＋i1－i 1－i＋2i＝1＋i.
高考总复习数学(理科)第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入
法二 因为 2i＝(1＋i)2， 所以由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得 z＝1＋i， 所以|z|＝ 2. 答案：C
—
2．(2019·济南调研)若复数 z 满足 2 z＋z＝3－2i，其
中 i 为虚数单位，则 z 等于( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
—
解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，所以 2(
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或
三角形法则进行．
如图所示给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映
出复数
加
减
法
的
几何意
义
，
即
→ OZ
＝O_→_Z_1_＋__O→_Z_2_
，
→ Z1Z2
＝
_O→_Z_2_－__O_→Z__1 ．
1．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋ i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2．(2019·长沙一中质检)如图，若向量
→ OZ
对应的复
数为z，则z＋4z表示的复数为( )
A．1＋3i B．－3－i C．3－i D．3＋i 解析：由图形知，点Z(1，－1)，所以z＝1－i， 所以z＋4z＝1－i＋1－4 i＝1－i＋4（12＋i）＝3＋i. 答案：D
谢谢
核心素
1.数学运 2.直观想
1．复数的有关概念
(1)定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a
叫做复数 z 的实__部__，b 叫做复数 z 的虚___部_ (i 为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件(a，b 为实数)
【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第4章 第5节 数系的扩充与复数的引入课件 理 苏教版
[答案] 21
考向 1
复数代数形式的运算(高频考点)
命题视角
复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内
容．题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题． 高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下几个命题角度： (1)复数的乘法运算； (2)复数的除法运算； 浙江高考改编)已知 i 是虚数单位，则(2 ＋i)(3＋i)＝________.
(1)(2013· 山东高考改编)复数 z 满足(z－3)(2
－i)＝5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 为________． (2)(2013· 课标全国卷Ⅰ改编)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|， 则 z 的虚部为________．
52＋i 5 [解析] (1)由(z－3)(2－i)＝5，得 z＝ ＋3＝ ＋3 2－i 2－i2＋i 52＋i ＝ 5 ＋3＝5＋i，∴ z ＝5－i. |4＋3i| 42＋32 53＋4i 3 (2)∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝ ＝ ＝ 25 ＝5＋ 3－4i 3－4i 4 4 5i，∴z 的虚部为5.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材习题改编)复数 z＝(1－i)i 的虚部为________． [解析] 因为 z＝(1－i)i＝1＋i，所以虚部为 1.
[答案] 1
a＋2i 3．若复数 为纯虚数，则实数 a＝________. 1＋i
[解析]
a＋2i a＋2i1－i a＋2＋2－ai 因为 ＝ ＝ ，由已知该 2 1＋i 1＋i1－i
[答案] (1)一 (2)－5
【规律方法】 1．判断复数在平面内的点的位置的方法 首先将复数化成 a＋bi(a，b∈R)的形式，其次根据实部 a 和虚 部 b 的符号来确定点所在的象限． → 一一对应， 2． (1)复数 z＝a＋bi(a， b∈R)与点 Z(a， b)及向量OZ 相等向量表示同一复数． (2)复数加减法运算可借助向量的平行四边形法则和三角形法 则进行．
2016高考数学-数系的扩充与复数的引入
2016高考数学:数系的扩充与复数的引入2016高考各科复习资料
2016年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2016年高考复习，2016年高考一轮复习，2016年高考二轮复习，2016年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。
1.复习平面向量内容时要注意：
(1)向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.
(2)共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.
(3)向量的加、减、数乘是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.
(4)向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.
(5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.
(6)平面向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的.
精心整理，仅供学习参考。
2016届高三数学一轮总复习课件：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4-1
→ EB
＋
F→C＝－12(B→A＋B→C)－12(C→A＋C→B)＝－12(B→A＋C→A)＝12(A→B＋A→C)＝12
×2A→D＝A→D，故选A.
答案 A
第十七页，编辑于星期五：二十点 十四分。
知识点三 共线向量定理 5.判一判 (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．( ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( ) (3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则 λ＝－12.( ) (4)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要 条件．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
其中假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
第二十四页，编辑于星期五：二十点 十四分。
【思维启迪】 以概念为判断依据，或通过举反例来说明其 不正确．
第二十五页，编辑于星期五：二十点 十四分。
听 课 记 录 ①不正确．|a|＝|b|但a，b的方向不确定，故
a，b不一定相等；
②不正确．因为
→ AB
第五页，编辑于星期五：二十点 十四分。
知识梳理
知识点一
向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有 方向 的量叫向量；向量的大小叫 做向量的 模 ．
(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1个单位 的向量． (4)平行向量：方向相同或 相反 的非零向量，又叫共线向
【思维启迪】
(1)A、C、D三点共线⇔存在实数λ使
→ AC
＝
→ λCD.
(2)A、C、F三点共线⇔存在实数λ使A→C＝λA→F.
第三十八页，编辑于星期五：二十点 十四分。
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第四章 第4讲 数系的扩充与复数的引入
第4讲 数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i| 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i ―→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应 平面向量OZ →． 3．复数的运算(1)复数的加、减 、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．[做一做]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( )A.12B.22C.32D ．2 解析：选B.∵z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 2．(2014·高考安徽卷)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i ·z －＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i解析：选C.∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴z i＋i ·z －＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.1．辨明三个易误点(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．2．复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．3．复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. [做一做]3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)（1＋i ）3（1－i ）2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D.法一：（1＋i ）3（1－i ）2＝（1＋i ）（1＋i ）2－2i＝（1＋i ）（1＋i 2＋2i ）－2i ＝－2＋2i －2i＝1－i i ＝－1－i.故选D.法二：（1＋i ）3（1－i ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． 4．(2014·高考广东卷)已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i解析：选D.法一：由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝3－4i.法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i.考点一__复数的有关概念______________________(1)(2014·高考浙江卷)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)(2015·石家庄市第一次模拟)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若(a －1)(a ＋1＋i)是纯虚数，则a 的值为( )A ．－1或1B ．1C ．－1D ．3[解析] (1)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件． (2)∵(a －1)(a ＋1＋i)＝(a 2－1)＋(a －1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0a －1≠0，∴a ＝－1. [答案] (1)A (2)C[规律方法] 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．1.若a1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝__________．解析：∵a ，b ∈R ，且a1－i＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1. ∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋（－1）2＝ 5. 答案： 5考点二__复数的几何意义______________________(1)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i(2)(2013·高考湖北卷)在复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2，1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2，1)，即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.(2)z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，所以z －＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限．[答案] (1)A (2)D[规律方法] 复数几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2. 如图，平行四边形OABC 中，顶点O 、A 、C 分别表示0、3＋2i 、－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数，BC →表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数．解：(1)AO →＝－OA →， ∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →， ∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. 考点三__复数代数形式的运算(高频考点)________复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度很小． 高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)复数的乘法运算； (2)复数的除法运算； (3)利用复数相等求参数．(1)已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3(2)(2014·高考天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i (3)(2014·高考浙江卷)已知i 是虚数单位，计算1－i（1＋i ）2＝________．(4)i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________． [解析] (1)由a ＋2ii＝b ＋i ，得a ＋2i ＝b i －1，所以a ＝－1，b ＝2，所以a ＋b ＝1.(2)7＋i 3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－25i 25＝1－i ，故选A.(3)1－i （1＋i ）2＝1－i 1＋2i ＋i 2＝1－i 2i ＝－i （1－i ）－2i 2＝－i －12 ＝－12－12i.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 21 008＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝⎛⎭⎫2－2i 1 008＋i 6＝i 1 008＋i 6＝i 4×252＋i 4＋2＝1＋i 2＝0. [答案] (1)B (2)A (3)－12－12i (4)0[规律方法] 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．3.计算下列各式的值：(1)⎝⎛⎭⎫2i 1＋i 2；(2)2＋4i （1＋i ）2；(3)1＋i 1－i＋i 3.解：(1)⎝⎛⎭⎫2i 1＋i 2＝4i2（1＋i ）2＝－42i ＝2i.(2)2＋4i （1＋i ）2＝2＋4i2i ＝2－i. (3)1＋i 1－i ＋i 3＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＋i 3＝2i 2＋i 3＝i －i ＝0.交汇创新——与复数有关的新定义问题(2015·南昌模拟)在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，a 2，b 1，b 2∈R )，当且仅当“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1>b 2”时，z 1>z 2.按上述定义的关系“>”，给出如下四个命题： ①若z 1>z 2，则|z 1|>|z 2|；②若z 1>z 2，z 2>z 3，则z 1>z 3；③若z 1>z 2，则对于任意z ∈C ，z 1＋z >z 2＋z ； ④对于复数z >0，若z 1>z 2，则zz 1>zz 2. 其中所有真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 对于复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－3i ，显然满足z 1>z 2，但|z 1|＝5，|z 2|＝10，不满足|z 1|>|z 2|，故①不正确；设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，(a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R )，由z 1>z 2，z 2>z 3，可得“a 1>a 3”或“a 1＝a 3且b 1>b 3”，故②正确；设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z ＝a ＋b i ，(a ，a 1，a 2，b ，b 1，b 2∈R )，由z 1>z 2，可得“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1>b 2”．显然有“a 1＋a >a 2＋a ”或“a 1＋a ＝a 2＋a 且b 1＋b >b 2＋b ”，从而z 1＋z >z 2＋z ，故③正确；对于复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－3i 显然满足z 1>z 2，令z ＝1＋i ，则zz 1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，zz 2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i ，显然不满足zz 1>zz 2，故④错误．综上②③正确，故选B.[答案] B[名师点评] 解决本题的关键有以下两点：(1)根据所给的新定义把所给的复数大小比较问题转化为复数的实部、虚部之间的大小比较问题来处理．(2)能善于利用举反例的方法解决问题．定义一种运算如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1x 2 y 1y 2＝x 1y 2－x 2y 1，则复数z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋i 3－i －1 i (i 是虚数单位)的共轭复数是________．解析：z ＝(3＋i)i －(3－i)(－1)＝3i ＋i 2＋3－i ＝(3－1)i ＋3－1， ∴z －＝(3－1)＋(1－3)i. 答案：(3－1)＋(1－3)i1．(2015·山西省第三次四校联考)设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i解析：选D.2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＋2i ＋i 2＝1－i ＋2i ＝1＋i.2．(2014·高考江西卷)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3解析：选C.∵z (1＋i)＝2i ，∴z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）2＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2.3．(2015·洛阳市统考)已知复数a ＋3i1－2i纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6解析：选D.a ＋3i 1－2i ＝a －6＋（2a ＋3）i 5，∴当a ＝6时，复数a ＋3i1－2i为纯虚数．4．(2015·浙江宁波高三期中)已知复数z ＝1＋2i1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．0解析：选D.z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i （1＋i ）2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝1×（1－z 2 016）1－z＝1－i 2 0161－i ＝1－i 4×5041－i＝0. 5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中为假命题的是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1－＝z 2－B ．若z 1＝z 2－，则z 1－＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1－＝z 2·z 2－D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：选D.对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1－＝z 2－，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．6．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.答案：－57．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________．解析：z 2－2z z －1＝（z －1）2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i ·i＝－2i.答案：－2i8．(2015·河北教学质量检测)已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________．解析：m ＋i 1＋i －12＝（m ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－12＝（m ＋1）＋（1－m ）i 2－12＝m ＋（1－m ）i2，由已知得m ＝1－m ，则m ＝12.答案：129．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i；(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2； (3)1－3i （3＋i ）2. 解：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i.(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1.(3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2 ＝－i 3＋i＝（－i ）（3－i ）4＝－14－34i.10．已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z ·z ＋2i z ＝9＋2i. 求z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i.∵z ·z －＋2i z ＝9＋2i ，∴(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9， ①2a ＝2. ② 由②得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0. 解得b ＝－2或b ＝4. ∴z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.。
高考数学一轮复习 第4节 数系的扩充与复数的引入课件
2．复数中的解题策略 (1)证明复数是实数的策略： ①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)； ②z＋ z ＝2a∈R； ③z＝ z ⇔z∈R. (2)证明复数是纯虚数的策略： ①z＝a＋bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0(a，b∈R)； ②b≠0时，z－ z ＝2bi为纯虚数； ③z是纯虚数⇔z＋ z ＝0且z≠0.
2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝ c 且 b ＝d (a，b，c，d∈R)． 3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ a＝c，b＋d＝0 (a，b， c，d∈R)．
4．复数的模: 复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z到 原点 的距离|OZ|叫 作复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a
2．复数加法、乘法的运算律；
（1）复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、 z3∈C，有z1＋z2＝ z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ． (2)复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配
律，即对任意z1、z2、z3 ∈C，有z1 · z2＝ z2.z1
＝ z1.(z2.z3) ， z1(z2 ＋ z3)＝ z1 z2 ＋ z1 z3.
，(z1 ·z2)·z3
1．(2011· 浙江高考)若复数z＝1＋i，i为虚数单位，
则(1＋z)· z＝
A．1＋3i C．3－i B．3＋3i D．3
(
)
解析： ∵(1＋z)· z＝z＋z2＝1＋i＋(1＋i)2＝1＋i＋2i ＝1＋3i. 答案： A
2．(2011· 湖南高考)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i ＝b＋i，则 ( )
2 2 ＋bi|＝ a ＋b .
二、复数的几何意义 1．复平面的概念：用直角坐标平面内的点来表示复数时， 这个 直角坐标平面为复平面． 实轴
2016届新课标数学一轮复习课件 第四章 第4讲 数系的扩充与复数的引入
栏目 第二十一页，编辑于星期五：十九导点 五引十七分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
B A
栏目 第二十二页，编辑于星期五：十九导点 五引十七分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
0
栏目 第二十三页，编辑于星期五：十九导点 五引十七分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目 第十五页，编辑于星期五：十九点导五十引七分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目 第十六页，编辑于星期五：十九点导五十引七分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
考点二 复数的几何意义 A
D
栏目 第十七页，编辑于星期向量、数系的扩充与复数的引入
(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i (ac－bd)＋(ad＋bc)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
栏目 第四页，编辑于星期五：十九点 五导十七引分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
B
栏目 第五页，编辑于星期五：十九点 五导十七引分。
栏目 第九页，编辑于星期五：十九点 五导十七引分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
D
栏目 第十页，编辑于星期五：十九点 五导十七引分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
D
栏目 第十一页，编辑于星期五：十九点导五十引七分。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
考点一 考点二 考点三
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
高考数学一轮复习数系的扩充与复数的引入
第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真 ] (教师用书独具 )1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件 .2.了解复数的代数表示法及其几何意义 .3.能进行复数代数形式的四则运算， 了解两个具体复数相加、减的几何意义．(对应学生用书第 63 页 )[基础知识填充 ]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a ＋bi(a ，b ∈ R )的数叫复数，其中 a 叫做复数 z 的实数， b 叫做复数 z 的虚部 (i 为虚数单位 )．(2)分类：满足条件 (a ，b 为实数 )a ＋bi 为实数 ?b ＝ 0复数的分类a ＋bi 为虚数 ?b ≠ 0a ＋bi 为纯虚数 ? a ＝0 且b ≠ 0(3)复数相等： a ＋bi ＝ c ＋ di? a ＝c ， b ＝ d(a ， b ， c ， d ∈ R )．(4)共轭复数： a ＋bi 与 c ＋di 共轭 ? a ＝c ，b ＝－ d(a ， b ， c ， d ∈R )．→ 的模 r 叫做复数 z ＝a ＋bi 的模，即 |z|＝|a ＋bi|＝ a 2＋b 2(5)复数的模：向量 OZ . 2．复数的几何意义复数 z ＝a ＋bi 复平面内的点 Z(a ，b)平面向量→OZ ＝(a ， b)．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设 z 1＝a ＋bi ， z 2＝ c ＋ di ，a ，b ，c ，d ∈ R .z 1±z 2 ＝(a ＋ bi) ±(c ＋di) ＝(a ±c)＋(b ±d)i.z 1·z 2＝(a ＋bi)(c ＋di) ＝(ac － bd)＋(bc ＋ad)i.z 1 a ＋bi ac ＋bd bc －ad ＝ ＋ ＝ 2 2 ＋ 2 2i(c ＋di ≠0)． z 2 c ＋d c ＋d c di(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．1如图 4-4-1 所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几→→→→→何意义，即 OZ＝OZ1＋ OZ2，Z1Z2＝ OZ2－OZ1.图 4-4-1[基本能力自测 ]1．(思考辨析 )判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数 z＝ a＋ bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 . ()[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改编 )如图 4-4-2，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是 ()图 4-4-2A．A B．BC．C D．DB[共轭复数对应的点关于实轴对称． ]3．(2017 ·全国卷Ⅲ )复平面内表示复数z＝i( －2＋i) 的点位于 ()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[ ∵z＝i( －2＋i) ＝－ 1－ 2i，∴复数 z＝－ 1－ 2i 所对应的复平面内的点为Z(－ 1，－ 2)，位于第三象限．故选 C．]．·北京高考复数1＋2i＝()4 (2016)2－i2A ．iB ．1＋iC ．－ iD ．1－i1＋2i 1＋ 2i 2＋i 5i＝i.A [ 法一： 2－i ＝ 2－i 2＋i ＝ 5 1＋2i i 1＋2i i 1＋2i ＝ i.]法二： 2－i ＝ i 2－ i ＝ 2i ＋15．复数 i(1 ＋i) 的实部为 ________．－ 1 [i(1＋ i)＝－ 1＋ i ，所以实部为－ 1.](对应学生用书第 64 页)复数的有关概念z(1)(2016 全·国卷Ⅲ )若 z ＝ 4＋ 3i ，则 |z| ＝()A ．1B ．－14 343C ．5＋ 5iD ．5－5i(2)i 是虚数单位，若复数 (1－2i)(a ＋i) 是纯虚数，则实数 a 的值为 ________．(1)D (2)－2 [(1) ∵z ＝4＋3i ，∴ z ＝ 4－ 3i ，|z|＝ 42＋ 32＝5，z4－ 3i 4 3∴ |z|＝ 5 ＝5－5i.(2)由(1－ 2i)(a ＋ i)＝ (a ＋2)＋ (1－2a)i 是纯虚数可得 a ＋ 2＝ 0,1－ 2a ≠0，解得 a＝－ 2.][规律方法 ]1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时， 需把所给复数化为代数形式，即 a ＋bi(a ，b ∈ R )的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．i[变式训练 1](1)(2017 合·肥二次质检 )已知 i 为虚数单位，复数 z ＝2＋i 的虚部为() 【导学号： 79170142】312A．－5B．－512C．5D．51＋i ，则 |z|＝ ()(2)设 z＝1＋i12A．2B．23C．2D．2i i 2－ i1＋2i122(1)D (2)B[(1) 复数 z＝2＋i＝2＋i2－ i＝5＝5＋5i ，则其虚部为5，故选 D．11－i11 1 2 1 22(2)z＝1＋i＋ i＝2＋i＝2＋2i ，|z|＝2＋2＝2 .]复数代数形式的四则运算(1)(2015 全·国卷Ⅰ )已知复数 z 满足 (z－1)i ＝1＋i，则 z＝()A．－ 2－i B．－ 2＋iC．2－ i D．2＋ia(2)(2016 天·津高考 )已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1 － bi) ＝a，则b的值为________．i＋ 1(1)C(2)2[(1) ∵(z－ 1)i ＝i ＋1，∴ z－1＝i＝1－i，∴z＝ 2－ i，故选 C．(2)∵(1＋ i)(1 －bi)＝ 1＋ b＋ (1－b)i ＝a，又 a， b∈R，∴ 1＋b＝a 且 1－ b＝ 0，a得 a＝2，b＝1，∴b＝2.][规律方法 ] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度2＝±2i； (2)1＋i＝ i；(3)1－i＝－ i； (4)－b＋ai＝ i(a＋bi) ；(5)i 4n＝1；(1)(1 i)±1－i1＋ii4n＋1＝i ；i4n＋2＝－ 1；i4n＋3＝－ i(n∈N)．4[变式训练 2](1)已知1－ i2)z＝1＋i(i 为虚数单位 )，则复数 z＝(【导学号： 79170143】A．1＋ i B．1－i C．－ 1＋i D．－ 1－i1＋i 8＋22 018(2)已知 i 是虚数单位，1－i－i ＝________.11－i21－ i2－2i－2i 1－i(1)D(2)1＋i [(1)由z＝1＋ i，得 z＝＋＝＋i ＝＋－i＝－ 1－1 i1 1 i1 i，故选 D．1＋ i 8 2 2 1009(2)原式＝1－i ＋1－i＝i8＋21 009＝i8＋i1 009－2i＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]复数的几何意义(1)(2017 北·京高考 )若复数 (1－ i)(a＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 ()A．(－∞， 1)B．(－∞，－ 1)C．(1，＋∞ )D．(－1，＋∞ )1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋ i，则 z12＝() (2)设复数 z zA．－5B．5C．－ 4＋i D．－ 4－i(1)B(2)A[(1) ∵(1－ i)(a＋i) ＝a＋i－ ai －i 2＝a＋1＋(1－a)i ，又∵复数 (1－i)(a＋i) 在复平面内对应的点在第二象限，a＋1<0，∴解得 a<－1.1－ a>0，故选 B．(2)∵z1＝ 2＋ i 在复平面内的对应点的坐标为 (2,1)，又 z1与 z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 z2的对应点的坐标为 (－2,1)即 z2＝－ 2＋ i，∴z1z2＝(2＋ i)( －2＋i) ＝i 2－4＝－ 5.]5[规律方法 ] →1.复数 z 、复平面上的点 Z 及向量 OZ 相互联系，即 z ＝a ＋bi(a ，→b ∈ R )? Z(a ，b)? OZ.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法， 使问题的解决更加直观．[ 变式训练 3]a b (2017 ·郑州二次质检 )定义运算＝ ad － bc ，则符合条件c dz 1＋i的复数 z 对应的点在 ()2 ＝0 1A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [ 由题意得 z ×1－2(1＋i) ＝0，则 z ＝2＋2i 在复平面内对应的点为 (2,2)，位于第一象限，故选 A ． ]6。
高考数学第一轮总复习知识点课件 第四节 数系的扩充与复数的引入
∴当m=-12时，z是纯虚数.
考点演练
10. （2008·上海）若z是实系数方程 x2 2x 的p 一0个虚根，且 |z|=2,则p= .
解析:
2 4 4 p 2 2 p 1i
z
1 p 1i
2
2
∵|z|=2,∴1+p-1=4,∴p=4.
答案: 4
11. （2009·福建改编）若 2=a+bi(i为虚数单位)，a,b∈R,
2. 求7+24i的平方根.
解析： 设平方根为x+yi(x,y∈R),
则 x y=i72 +24i,即 x+2 2xyy2 i=7+24i,
∴ x2 = 7y2,
2xy=24,解得 x=4,
y=3或 x=-4,
y=-3.
故7+24i的平方根为4+3i或-4-3i.
题型三 复数集上的代数方程
分析 复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.
解 ∵z=( m-32m)+( -mm2-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i,
∴(1)当m=-2或m=3时,z为实数; (2)当m≠-2且m≠3时,z为虚数; (3)当m=0时,z为纯虚数; (4)当m=3时,z=0; (5)由 m(m-3)＜0,
为邻边O的Z1平,O行Z2四边形的对角线 所对应的复数O. Z ②复数减法的几何意义
复数 z1 是z2连接向量
所对应的z2复• 数z1 . 5. 复数的乘法与除法
OZ的1,终OZ点2 ，并指向被减向量的向量
设 z1=a+bi, z=2 c+di，
（1）复数的乘法运算法则
2016届高三数学一轮总复习课件：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入4-4
解得yx＝＝41，， 故x＋y＝5. 答案 (1)C (2)5
第三十三页，编辑于星期五：二十点 十四分。
考点三
复数的运算
【例3】 (1)(2014·新课标全国卷Ⅰ)11－＋ii23＝(
)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
(2)(2014·辽宁卷)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一页，编辑于星期五：二十点 十四分。
第四节 数系的扩充与复数的引入
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
第二页，编辑于星期五：二十点 十四分。
高考明方向 1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． 2.掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数形式的加法、 减法、乘法、除法运算． 3.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.
解析 (1)由题意得A(6,5)，B(－2,3)，所以AB中点C的坐标为 (2,4)，所以点C对应的复数为2＋4i.
(2)由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)． ∵O→C＝xO→A＋yO→B. ∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1) ＝(－x＋y,2x－y)， ∴2－x－x＋y＝y＝－32，，
答案 (1)× (2)× (3)×
第十一页，编辑于星期五：二十点 十四分。
2．设a是实数，且1＋a i＋1＋2 i是实数，则a＝________. 解析 1＋a i＋1＋2 i＝a－2 ai＋1＋2 i ＝a＋1＋2 1－ai为实数，故1－a＝0，即a＝1. 答案 1
第十二页，编辑于星期五：二十点 十四分。
高考数学(理)一轮复习课件：数系的扩充与复数的引入
知识点 复数的运算 复数的几何意义 复数的运算
源自教材 P61·A组T5 P61·A组T3 P61·A组T5
考向一 复数的概念 【典例1】(1)若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为 A.-1 B.0 C.1 D.-1或1
(
)
(2)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为
4.复数a+bi(a,b∈R)数系表
【教材母题变式】 1.设复数z满足 =i,则|z|= 【解析】选A.由 所以|z|=|i|=1.
(
) =i,
=i,得1+z=i-zi,z=
1 z 1 z
A.1
B. 2
C. 3
D.2
1 z 1 z
1 i 1 i
2.设i是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的 点位于 ( ) 2i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 【解析】选B.因为 =-1+i,由复数的1 i 几何意义知-1+i在复平面内的对应点为(-1,1),该点 位于第二象限.
【同源异考· 金榜原创】 1.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+ 为纯虚数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
b i
【解析】选B.因为a+ =a-bi为纯虚数,所以a=0,b≠0, 所以“ab=0”是“复数a+ 为纯虚数”的必要不充分 b 条件.
z1
z1
【巧思妙解】(1)题可根据纯虚数的概念,代入验证,若x=1时,x-1=0,复数z表示实数, 排除C,D,若x=0,x2-1=-1有实部,不为纯虚数,故排除B,选A.
【技法点拨】 解决复数概念类问题的要点 (1)找准复数的实部和虚部.复数的相关概念都与实部和虚部有关. (2)复数问题实数化.解决复数概念类问题,常从复数定义出发,把复数问题转化为实数 问题处理.
2016届高三数学(北师大版)一轮复习课件：第4章-第4课时 数系的扩充与复数的引入
第七页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
教材梳理 基础自测
【知识梳理】
(4)正整数指数幂的运算律 zm·zn＝ zm＋n ，(zm)n＝ zmn ， (z1z2)n＝ zn1·zn2 (m，n∈N＋)．
为纯虚数
复数 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d (a、
相等 b、c、d∈R)
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教材梳理 基础自测
【知识梳理】
内容
意义
备注
共轭 复数
a＋bi与c＋di共轭⇔
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考点突破 题型透析
考点一 复数的有关概念
1．(2013·高考新课标全国卷)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为( )
A．－4
B．－45
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考点突破 题型透析
考点二 复数的运算
(3)几个常用结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． ①(1±i)2＝±2i；11－＋ii＝i；11＋－ii＝－i； ②－b＋ai＝i(a＋bi)； ③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N ＋.
高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第四章第4讲数系的扩充与复数的引入
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml谋梳理严1.复数的有关概念⑴复数的概念：形如a+bi(a9方UR)的数叫复数，其中”，b 分别是它的实部和虚部.若b = 0,则a-hbi为实数；若〃工0, 贝|a+bi为虚数；若。
=0且方H0,贝|| a+bi为纯虚数・(2)复数相等：a+"i=c+〃iOa=c 且方=〃(a, b, c9〃WR).(3)共轨复数：〃+方i 与c+〃i 共辘0a=c, b = —(l(a9 b, c9 〃WR).(4)复数的模：向量庞的模厂叫做复数z=a+bi(a f b^R)的模，记作Izl或l«+MI,即lzl = l“+bil=Q/+庆.2.复数的几何意义⑴复数Z=a+bi一-复平面内的点Z(«, b)(a,方ER).(2)复数z=a+〃i(a,方WR)—~平面向量OZ・3. 复数的运算设Zi=a+"i, Z2=c+d\(a, b, c, "WR),则①加法：Zi +Z2=(a +〃i)+(c +〃i) = (a+c) + (〃 +〃)i ；②减法:习一Z2=(a+bi)—(c+〃i) = (a —c) + (〃一〃)i；Zi • Z2=(«+^i)e (c + Ji) = (ac —bd) +(ad+bc)i ；Zi_a+〃i_ (a+〃i) (c —〃i) _ac^rbd be —ad ⑴复数的加、减、乘、 除运算法则③乘法: ④除法:Zi c+〃i (c+〃i) (c—Ji) c2^rd2c2+iZ2（2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z1，有Z1+Z2=Z2+Z1，（Z1+Z2）+Z3=Z1 +（Z2+Z3）・產D【做二做〕1.已知复数z=*则该复数的虚部为_____________ . 解析:严力（;—l） =]+i,该复数的虚部为1・52 •若a+bi=2潭是虚数单位心〃 $ R），则"= -解析：a+方2i,所以a = l f b = —2, ab = ~2.3.已知复数Zi = —l+2i, Z2=l—i，Z3=3—4i,它们在复平面上对应的点分别为A, B, C,若OC=lOA+pOB^f旳，则2+“的值是].解析：由条件得荒=(3,—4),鬲=(一1, 2), OB=(l f -1),根据O C=2,OA-\-pOB得(3, —4)=2(—1, 2)+“(1, —1) = (—2 A —/z),所以2+“ = 1・4.设复数z=-l-i（i为虚数单位），z的共轨复数为s则1（1解析：依题意得(l-z)-z=(2+i)(-l+i) = -3+i, l(l-z)-zl = l-3+il=^ (-3) 2+l2=^10.5.化简:卩+f|6边+佝 (1—i 丿 \[3—\[2i 解：原式=*+ （边+価）i1.必明辨的3个易错点(1)判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.(2)利用复数相等a+bi=c+〃i列方程时，注意a, b, c, d WR的前提条件.(3)Z2<0在复数范围内有可能成立.2.常用的3个结论(1) (l±i)2=±2i；1+i •口=1•4w + .4n _ 1 + j4n—2 9產0；、缘二绦］1.复数Z=(2—i)i在复平面内对应的点位于第_____ 象限. 解析：z=(2-i)i=2i-i2=l+2i,故复数z=(2-i)i在复平面内对应的点为(1, 2),位于第一象限.=b+i(a9 bWR)其中i为虚数单位，贝l| a+b = 解2.已知申析：根据已知可得葺2^b+i今2—ai=〃+iO即1 2\从而a+b = l.2+i3・复数爲的共轨复数是一所以其共轨复数为一i ・解析：因为Hi 4+i ) l-2i (l-2i)(l+2i) 5i (l+2i) =?4.设。
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第4讲 数系的扩充与复数的引入（A 组）
一、选择题
1． i 是虚数单位，1＋i 3等于（ ）
A ．i
B ．－i
C ．1＋i
D ．1－i
2．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝（ ）
A ．－2＋i
B ．2＋i
C ．1－2i
D ．1＋2i
4.复数123,1z i z i =+=-，则复数12
z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 5.把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝（ ）
A ．3－i
B ．3＋i
C ．1＋3i
D ．3
6.若复数 z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝（）
A ．1
B ．2 C. 2 D. 3
二．填空题
7 ．设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z
+=_____ 8. i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .
9． ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，则点D 对应的复数为________．
10.若复数3+i 是实系数一元二次方程2
60x x b -+=的一个根，则b=___________,另一个
根为_____________
三、解答题
11．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3
； (2)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2；
(3) 20151(
)1i i
-+.
12.实数m 分别取什么数值时？复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2
－2m －15)i
(1)与复数2－12i 相等；
(2)与复数12＋16i 互为共轭；
（3）是纯虚数
(4)对应的点在x 轴上方.
第4讲 数系的扩充与复数的引入（B 组）
一、选择题
1．计算 (1＋i )3
(1－i )2
＝( ) A ．1＋i B ．1－I C ．－1＋i D ．－1－i
2.设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )
A ．－5
B ．5
C ．－4＋i
D ．－4－i
4．若a ＋b i ＝51＋2i
(i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2
5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2
B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2
C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2
D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22
6.若z 为复数，且221z i +-=，则22z i --的最小值是( )
. 2 A . 3B . 4C . 5 D
二．填空题
7.若复数满足11z i z
-=+ 则1z +的值为_____ 8.设z 的共轭复数是z ，若z +z =4,z ·z ＝8，则
z z 等于__________ 9.
设()n n f n ⎛⎫⎛⎫=+，则集合{(),}x x f n n Z =∈的元素个数为________
10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x
的最大值为________． 三．解答题
11.已知复数26(2)2(1)1m z i m i i =+-
---，当实数m 取什么值时，复数z 是 （1）0 （2） 虚数 （3）纯虚数
（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数
12.如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：
(1)AO →、BC →所表示的复数；
(2)对角线CA →所表示的复数；
(3)求B 点对应的复数．
第4讲 数系的扩充与复数的引入（C 组）
一、选择题
1. i 是虚数单位，若集合S={-1,0,1}，则( )
(A)i ∈S (B)i 2∈S (C)i 3∈S (D)
2i ∈S 2.若i 为虚数单位，图中
复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z i 的点是（ ）
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
z ＝1＋2i 2－i ，z 的共轭复数为z ，则3．i 为虚数单位，若复数
z ·z ＝( )
A ．1
B ．－1 C.259 D ．－259
4．复数z ＝1＋2i 2 015
1－i 2 015
(i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5.下面是关于复数z ＝2－1＋i
的四个命题： p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1，其中的真命题为（ ）
A ．p 2，p 3
B ．p 1，p 2
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4 6．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )
A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦
⎤－916，1 C.⎣⎡⎦⎤－916，7 D.⎣⎡⎦
⎤916，7 二．填空题
7. 若21a bi i
=+-（i 为虚数单位，,a b R ∈ ）则a b +=_________
8.设复数a +bi （a ，b ∈R a +bi ）（a -bi ）=________.
9.复数z 1=1+2i,z 2=-2+i,z 3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，则这个正方形的第四个顶点对应的复数为________
10.已知复数z 1＝cos θ－i ，z 2＝sin θ＋i ，则z 1·z 2的实部最大值为 ，虚部最大值为 .
三．解答题
11．已知关于x 的方程：x 2
－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)有实数根b .
(1)求实数a ，b 的值；
(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的值.
12.已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .。