经典例题与应用探究——变量之间的关系与平面直角坐标系

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利用平面直角坐标系解几何问题

利用平面直角坐标系解几何问题平面直角坐标系是解决几何问题的重要工具之一。

通过利用平面直角坐标系，我们可以方便地描述和推导各种几何关系，解决各种几何问题。

本文将介绍平面直角坐标系的基本概念和用法，并通过具体的几何问题演示如何利用平面直角坐标系解决问题。

1. 平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴构成，分别称为x轴和y 轴。

坐标轴的交点称为原点，用O表示。

x轴向右延伸正方向，y轴向上延伸正方向。

在坐标轴上，我们可以取一个单位长度，用于表示数值大小。

坐标轴上的点由坐标表示，例如一个点P的坐标为(x, y)，其中x表示点P在x轴上的位置，y表示点P在y轴上的位置。

2. 平面直角坐标系的用法（1）坐标计算：通过确定点的坐标，我们可以计算两点之间的距离、点到坐标轴的距离等。

例如，已知点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以通过距离公式来计算点A和点B之间的距离。

（2）图形描述：通过坐标轴上的点，我们可以绘制图形来描述几何关系。

例如，通过连接几个点可以绘制出直线、折线、曲线等。

通过计算几何图形上的点的坐标，我们可以了解图形的特征和性质。

（3）问题求解：通过利用平面直角坐标系，我们可以解决各种几何问题。

例如，已知两点可以求直线的斜率；已知直线的斜率和一点可以求直线的方程；已知两条直线的方程可以求直线的交点等。

3. 利用平面直角坐标系解几何问题的示例问题一：已知直线L1过点A(1, 2)且斜率为2，直线L2过点B(3, 5)且斜率为-1，求直线L1和直线L2的交点坐标。

解答：设直线L1的方程为y = 2x + b1，直线L2的方程为y = -x +b2。

将点A和点B的坐标代入直线方程，得到两个方程：2 = 2 * 1 +b1 和 5 = -1 * 3 + b2。

解得b1 = 0，b2 = 8。

因此，直线L1的方程为y= 2x，直线L2的方程为y = -x + 8。

两直线相交时，它们的坐标相等，因此求解方程2x = -x + 8，解得x = 2。

小学数学认识平面直角坐标系和变量的基本概念

小学数学认识平面直角坐标系和变量的基本概念数学作为一门科学，给我们提供了一种思维方式和解决问题的工具。

在小学数学的学习过程中，平面直角坐标系和变量是非常重要的基本概念。

本文将通过介绍这两个概念的定义、用途和相关知识点，帮助读者更好地理解和掌握它们。

一、平面直角坐标系平面直角坐标系是用来描述平面上点的位置的一种工具。

它由两条互相垂直的数轴组成，一条是横轴又称为x轴，一条是纵轴又称为y轴。

两条轴的交点称为坐标原点，用O表示。

平面直角坐标系中的点和坐标之间存在着一一对应的关系，每一个点在平面直角坐标系中都有唯一的坐标表示。

通常情况下，我们用一个有序数对(x, y)表示一个点P的坐标，其中x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。

x和y分别称为点P的横坐标和纵坐标。

平面直角坐标系在数学中的应用非常广泛，它可以用来解决几何问题、函数问题、图形的表示等等。

通过在平面直角坐标系中标出点的坐标，我们可以清晰地表示出几何图形的位置和形状，进而进行更深入的研究和推理。

二、变量的基本概念变量是数学中的一个重要概念，它用来表示数值的变化。

变量通常用字母表示，比如x、y等。

在数学问题中，我们往往会遇到未知的数值，这时候我们可以用变量来表示这个未知数值，并通过方程或不等式等方式来进行求解。

变量可以用于解决各种实际问题，比如通过变量来表示物体的长度、重量、时间等等。

通过引入变量，我们可以建立数学模型，对实际问题进行抽象和描述，从而更好地进行分析和解决。

在平面直角坐标系中，变量通常用来表示坐标的值。

比如我们可以定义一个函数y=f(x)，其中x为变量，表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标，f(x)表示这两个坐标之间的关系。

通过改变x的值，我们可以获得对应的y值，从而绘制出一条曲线，这对于研究函数和图像具有很大的帮助。

三、小学数学中的应用平面直角坐标系和变量在小学数学的学习中扮演着非常重要的角色。

在小学阶段，学生往往会通过图形的位置、方向和形状等概念来认识平面直角坐标系，从而提高他们的空间思维能力和几何直观。

七年级数学专项习题——变量之间的关系(附参考答案)

1. 已知AB ∥CD ，现将一个含30°角的直角三角尺EFG 七年级数学专项习题——变量之间的关系（附参考答案）按如图方式放置，其中顶点F 、G 分别落在直线AB ，CD 上，GE 交AB 于点H ，若∠EHB =50°，则∠AFG 的度数为（）A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°2. 如图，已知AB ∥DF ，DE 和AC 分别平分∠CDF 和∠BAE ，若∠DEA =46°，∠ACD =56°，则∠CDF 的度数为（）A ．22°B ．33°C ．44°D ．55°3. 如图，将长方形ABCD 沿EF 翻折，再沿ED 翻折，若∠FEA ″=105°，则∠CFE = 度．4. 已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1=40°，则∠2的度数为．5. 如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC= 时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．6. 已知：如图△ABC中，AC⊥BC，点D、E在AB边上，点F在AC边上，DG⊥BC于G，∠1=∠2.求证：EF∥CD.(请在下面空白处写出完整证明过程)∴∠AHG =∠EHB =50°，∵AB ∥CD ，∴∠EGD =∠AHG =50°，∵∠FGE =60°，∴∠FGD =∠FGE +∠EGD =60°+50°=110°，∵AB ∥CD ，∴∠AFG =∠FGD =110°1.解：∵GE 交AB 于点H 参考答案，．故选：B ．2.解：过点C 作CN ∥AB ，过点E 作EM ∥AB ，∵FD ∥AB ，CN ∥AB ，EM ∥AB ，∴AB ∥CN ∥EM ∥FD∴∠BAC =∠NCA ，∠NCD =∠FDC ，∠FDE =∠DEM ，∠MEA =∠EAB ． ∴∠DEA =∠FDE +∠EAB ，∠ACD =∠BAC +∠FDC ．又∵DE 和AC 分别平分∠CDF 和∠BAE ，∴∠FDC =2∠FDE =2∠EDC ，∠BAE =2∠BAC =2∠EAC ， ∴56°=∠BAC +2∠FDE ①，46°=∠FDE +2∠BAC ②．①+②，得3（∠BAC +∠FDE ）=102°，∴∠BAC +∠FDE =34°③．①-③，得∠FDE =22°．∴∠CDF =2∠FDE =44°．故选：C ．3.解：由四边形ABFE 沿EF 折叠得四边形A ′B ′FE ，∴∠A ′EF =∠AEF ．∵∠A ′EF =∠A ′ED +∠DEF ，∠AEF =180°-∠DEF ．∴∠A ′ED +∠DEF =180°-∠DEF ．由四边形A ′B ′ME 沿AD 折叠得四边形A ″B ″ME ，∴∠A ′ED =∠A ″ED ．∵∠A ″ED =∠A ″EF +∠DEF =105°+∠DEF ，∴∠A ′ED =105°+∠DEF ．∴105°+∠DEF +∠DEF =180°-∠DEF ．∴∠DEF =25°．∵AD ∥BC ，∴∠DEF =∠EFB =25°．∴∠CFE =180°-∠EFB =180°-25°=155°．故答案为：155．4. 解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB ∥DE ，∴∠1=∠3，又∵DC ∥EF ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，又∵∠1=40°，∴∠②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1=∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3=180°，∴∠2+∠1=180°，又∵∠1=40°，∴∠2=180°-∠1=180°-40°=140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．5.6. 证明:,,( 已知 ),( 垂直的定义 ),( 同位角相等,两直线平行)两直线平行,内错角相等),( 已知 ),( 等量代换 )同位角相等,两直线平行)。

(完整版)：平面直角坐标系经典例题解析

【平面直角坐标系重点考点例析】考点一:平面直角坐标系中点的特征例1 在平面直角坐标系中,点P（m，m-2）在第一象限内，则m的取值范围是．思路分析：根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围．解:由第一象限点的坐标的特点可得:20 mm>⎧⎨->⎩,解得:m＞2．故答案为：m＞2．点评：此题考查了点的坐标的知识，属于基础题,解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标,横坐标为正,纵坐标为正．例1 如果m是任意实数，则点P（m-4，m+1)一定不在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限思路分析：求出点P的纵坐标一定大于横坐标,然后根据各象限的点的坐标特征解答．解：∵（m+1)-(m-4)=m+1-m+4=5，∴点P的纵坐标一定大于横坐标，∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，∴第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标，∴点P一定不在第四象限．故选D．点评：本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（—，+）;第三象限(-,—)；第四象限(+，-）．例2 如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（)A．（2,0) B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣1）分析：利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2,物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点,找出规律即可解答．解答：解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1:2，由题意知：①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1,物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8,在BC边相遇；②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2,物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16,在DE边相遇;③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12,物体乙行的路程为12×3×=24,在A点相遇；…此时甲乙回到原出发点,则每相遇三次，两点回到出发点,∵2012÷3=670…2，故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点,即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16,在DE边相遇;此时相遇点的坐标为：（﹣1,﹣1)，故选：D．点评：此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．例2 如图，动点P从(0，3)出发,沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时,点P的坐标为（）A．（1，4) B．（5，0）C．（6,4) D．（8,3)思路分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．解:如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）,∵2013÷6=335…3，∴当点P第2013次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹,点P的坐标为（8，3）．故选D．点评：本题是对点的坐标的规律变化的考查了，作出图形,观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．对应训练2．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2）,D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A ．（1，﹣1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1,﹣2）D ． (1，﹣2）分析：根据点的坐标求出四边形ABCD 的周长,然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度,从而确定答案．解答：解：∵A(1，1）,B （﹣1,1)，C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2），∴AB=1﹣（﹣1)=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣(﹣2)=3, ∴绕四边形ABCD 一周的细线长度为2+3+2+3=10， 2012÷10=201…2,∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置, 即点B 的位置,点的坐标为(﹣1，1）．故选B ．点评：本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD 一周的长度,从而确定2012个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P （-3，5）关于y 轴的对称点的坐标为（） A ．（—3，—5) B ．（3，5) C ．（3．—5） D ．(5，—3）答：B考点二：函数的概念及函数自变量的取值范围例3 在函数1x y x+=中，自变量x 的取值范围是．思路分析:本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义,被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可以求出自变量x 的取值范围．解：根据题意得：x+1≥0且x≠0 解得：x≥-1且x≠0．例3 函数y=31x x +-中自变量x 的取值范围是（）思路分析:根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解．解:根据题意得，x+3≥0且x —1≠0，解得x≥—3且x≠1．故选D ．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．对应训练 3．函数2y x =+中自变量x 的取值范围是（）A ．x ＞—2B ．x≥2 C．x≠—2 D ．x≥-2 3．A考点三：函数图象的运用例4 一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散步过程中离家的距离S （米）与散步时间t （分）之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是（）A ．从家出发,到了一家书店，看了一会儿书就回家了B ．从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了C ．从家出发,一直散步（没有停留),然后回家了D ．从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段,18分钟后开始返回思路分析：根据图象可知，有一段时间内时间在增加，而路程没有增加,意味着有停留,与x 轴平行后的函数图象表现为随时间的增多路程又在增加，由此即可作出判断．解:A 、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了,图象为梯形，错误；B 、从家出发,到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段,然后回家了,描述不准确，错误；C 、从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了，图形为上升和下降的两条折线，错误；D 、从家出发，散了一会儿步,到了一家书店，看了一会儿书,继续向前走了一段，18分钟后开始返回从家出发,符合图象的特点，正确．故选D ．点评:考查了函数的图象，读懂图象是解决本题的关键．首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据函数图象用排除法判断．例5 如图，ABCD 的边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD 的顶点上,它们的各边与ABCD 的各边分别平行，且与ABCD 相似．若小平行四边形的一边长为x ，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y ，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．思路分析：根据平行四边形的中心对称性可知四块阴影部分的面正好等于一个小平行四边形的面积,再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列式求出y 与x 之间的函数关系式，然后根据二次函数图象解答．解：∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD 的顶点上，∴阴影部分的面积等于一个小平行四边形的面积， ∵小平行四边形与ABCD 相似,∴2()328y x =, 整理得212y x =,又0＜x≤8，纵观各选项，只有D 选项图象符合y 与x 之间的函数关系的大致图象．故选D ．点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据平行四边形的对称性与相似多边形的面积的比等于相似比的平方求出y与x的函数关系是解题的关键．例8已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中,点A（11，0），点B（0，6），点P为BC 边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标;(Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t 的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标(直接写出结果即可）．考点：翻折变换(折叠问题）;坐标与图形性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析：（Ⅰ）根据题意得,∠OBP=90°，OB=6,在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案;（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E,易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长,然后利用相似三角形的对应边成比例与m= 16t2-116t+6，即可求得t的值．点评:此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．对应训练4．甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断,下列说法正确的是（）A．甲队率先到达终点B．甲队比乙队多走了200米路程C．乙队比甲队少用0。

完整word版北师大版七年级下册数学第三章《变量间的关系》知识点梳理及典型例题,文档

第三章变量之间的关系知识点梳理及典型例题轴〔纵轴〕上的点表示，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置；知识回忆——复习【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两路程、速度、时间之间的关系：，，；个变量之间的关系的一局部，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.知识点一常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为.数值始终不变的量为；在某一变化过程中，如果有两个变量x和y，当其中一个变量x在一定范围内取一个数值时，另一个变量y也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变量x叫做，后一个变量y叫做自变量的；注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度60千米/时是，时间t和里程s为变量.t是，s是。

知识点二用表格表示变量之间的关系表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一局部，从数据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.【方法技巧】〔1〕借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值.〔2〕借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，那么说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，那么说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，那么说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.知识点五变量之间的关系的表示方法比拟表示变量之间的关系，可以用、和；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系，但是求对应值时，要经过比拟复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其缺乏是由图象法往往难以得到准确的对应值；知识点三用关系式表示两个变量之间的关系例如，正方形的边长为x，面积为 y，那么y=x2这个关系式就是表示两个变量之间的对应关系，其中x是，y是；一般地，含有两个未知数〔变量〕的等式就是表示这两个变量的关系式；【温馨提示】〔1〕写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式〔.2〕自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义.〔3〕实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来.【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.知识点四用图象表示两个变量间的关系图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴〔横轴〕上的点表示，用竖直方向的数专题一能从表格中获取两个变量之间关系的信息1．有一个水箱，它的容积是500L，现要将水箱注满，下面是注水的情况表注水时间/min0510********注水量/L200250300350400450500〔1〕在这个注水过程中，反映的是两个变量与之间的关系，其中变量是自变量，变量是因变量；〔2〕这个水箱原有水L；〔3〕min时水箱注满水；〔4〕由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水L.12．一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系：温度〔℃〕-5051015长度〔cm〕10〔1〕上表反映了温度与长度两个变量之间的关系，其中自变量，是因变量.〔2〕当温度是10℃时，合金棒的长度是cm．〔3〕如果合金棒的长度大于cm小于cm，根据表中的数据推测，此时的温度应在℃～℃的范围内．〔4〕当温度为-20℃和100℃，合金棒的长度分别为cm和cm．专题二根据表格确定自变量、因变量及变化规律3．七年级〔1〕班第一小组的同学星期天去郊外爬山，得到如下数据：爬坡长度x/m305080100150200爬坡时间y/min2914201〕当爬到100m时，所花的时间是多少？2〕当爬到每增加10m时，所花的时间相同吗？3〕从表中数据的变化中，你能得到什么变化趋势？4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒之间的速度经测量如下表：时间〔s〕012345678910速度〔m/s〕01〕上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？〔2〕如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？〔3〕当t每增加1s时，v的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v的增加量最大？〔4〕假设在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120km/h，试估计还需几秒这辆小汽车的速度就到达这个上限?专题三用关系式表示两个变量之间的关系5．某水果批发市场香蕉的价格如下表：购置香蕉数x≤2020<x≤40x>40x〔千克〕每千克价格8元7元6元假设小强购置香蕉x千克〔x大于40千克〕付了y元，那么y关于x的关系式为.6.〔1〕某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式，并写出自变量n的取值范围．〔2〕在其他条件不变的情况下，请探究以下问题：①当后面每一排都比前一排多2个座位时，那么每排的座位数m与这排的排数n的关系式是〔1≤n≤25，且n是正整数〕；②当后面每一排都比前一排多3个座位、4个座位时，那么每排的座位数m与这排的排数n的关系式分别是，〔1≤n≤25，且n是正整数〕；③某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后面每一排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式．218 专题四用关系式求值7．一棵树苗，栽种时高度约为80厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：〔1〕此变化过程中是自变量，是因变量；〔2〕树苗高度 h 与栽种的年数 n 之间的关系式为；〔3〕栽种后后，树苗能长到 280厘米．8．某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：〔1〕现小伟家四月份用水吨，那么应缴纳水费多少元？栽种以后的年数 n/年高度h/厘米1 1052 1303 1554180每月每户用水量每吨价〔元〕不超过10吨局部〔3〕这一天从最低温度到最高温度经过了小时；〔4〕温度上升的时间范围为，温度下降的时间范围为；〔5〕你预测次日凌晨 1时的温度是．10．如图，水以恒速〔即单位时间内注入水的体积相同〕注入下面四种底面积相同的容器中 .1〕请分别找出与各容器对应的水的高度h 和时间t 的变化关系的图象，用直线段连接起来；2〕当容器中的水恰好到达一半高度时，请在关系图的 t 轴上标出此时 t 值对应点 T 的位置．专题六折线型图象11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．〔1〕A 、B 两点分别表示〔2〕写出每月每户的水费〔y 元〕超过10吨而不超过20吨局部与用水量x 〔吨〕之间的函数关超过20吨局部系式．〔3〕假设小伟家五月份的水费为 17元，那么他家五月份用水多少吨？专题五曲线型图象9．温度的变化是人们经常谈论的话题．请你根据图象，讨论某地某天温度变化的情况如下图：〔1〕上午10时的温度是度， 14时的温度是度；〔2〕这一天最高温度是度，是在时到达的；最低温度是度，是在时到达的；汽车是什么状态？〔2〕请你分段描写汽车在第0分钟到第 19分钟的行驶状况．〔3〕司机休息 5分钟后继续上路，加速 1分钟后开始以 60km/h 的速度匀速行驶， 5分钟后减速，用了 2分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．3第三章变量之间的关系复习题1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：所挂物体的质量/千克012345弹簧的长度/cm121314上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？(5)当x在什么范围变化时，y随x的增大而增大，当x在什么范围变化时，y 随x的增大而减小？你又是根据哪种表示法得到的？请你估计x取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？3．小红与小兰从学校出发到距学校5千米的书店买书，以下图反响了他们两人离开学校的路程与时间的关系。

学习平面直角坐标系的应用

学习平面直角坐标系的应用平面直角坐标系是数学中重要的基本概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。

无论是几何、物理、经济还是计算机科学等，我们都能看到它的身影。

本文将介绍平面直角坐标系的基本原理，并探讨其在实际问题中的应用。

一、平面直角坐标系的原理平面直角坐标系由两个互相垂直的数轴组成，其中一个代表了水平方向，另一个代表了垂直方向。

我们通常将水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴。

这两个轴的交点称为原点，用O表示。

在这个坐标系中，可以通过一组有序数对（x，y）来表示平面上的任意一个点。

由此可见，平面直角坐标系将平面分割成了无数个小的方格，每个方格都有一个唯一的坐标标识。

这个理论框架为我们解决各种问题提供了基础。

二、平面直角坐标系在几何中的应用在几何学中，平面直角坐标系可以用于描述平面上的点、线、图形等。

以点为例，对于平面上的一个点P，可以通过它在平面直角坐标系中的坐标（x，y）来确定它的位置。

通过计算两点之间的距离和求解等式，我们可以更好地研究平面几何中的各种性质。

除了点，线段和图形也可以通过平面直角坐标系进行描述。

通过计算不同点的坐标，我们能够求解线段的长度、图形的面积等。

通过研究图形在坐标系中的位置和形状，我们可以理解和分析各种几何问题。

三、平面直角坐标系在物理中的应用在物理学中，平面直角坐标系常被用于表示物体在空间中的位置和运动。

例如，我们可以通过平面直角坐标系描述一个物体在水平方向和垂直方向上的位移。

通过计算位移的大小和方向，我们可以分析物体的运动规律和速度。

在力学中，平面直角坐标系也被广泛应用于受力分析。

通过将力施加的位置和方向用坐标表示，我们可以计算出物体受力的大小和方向，并进一步分析物体所受的合力和加速度等物理量。

四、平面直角坐标系在经济中的应用平面直角坐标系在经济学中也有着重要的应用。

通过坐标系可以表示市场供求关系、价格变化、经济增长等经济现象。

例如，通过绘制供求曲线，我们可以观察市场的平衡点，并预测价格和数量的变化。

人教版苏科版初中数学—变量之间的关系(经典例题 )

班级小组姓名成绩满分（120）一、用表格表示的变量间关系（一）变量、自变量和因变量的定义（共4小题，每题3分，题组共计12分）例1.小明的妈妈自小明出生时起每隔一段时间就给小明称一下体重，得到下面的数据:从表中可以得到:小明体重的变化是随小明的的变化而变化的,这两个变量中,是自变量,是因变量,虽然随着年龄的增大,小明的体重,但体重增加的速度越来越.例1.变式1.据国家统计局统计，新中国成立以来至2000年我国各项税收收入合计如下表:从表中可以得出:新中国成立以来我国的税收收入总体趋势是,其中,年与5年前相比,增长百分数最大,年与5年前相比增长百分数最小,算一算，2000年与1950年相比,税收收入增长了倍.(保留一位小数)例1.变式2.某电动车厂2014年各月份生产电动车的数量情况如下表:（1）为什么称电动车的月产量y为因变量?它是谁的因变量？（2）哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？（3）哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量,电动车厂的厂长应该怎么做？例1.变式3.某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册.该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页.印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表.（1）找出题目中的自变量和因变量.（2）印制一本纪念册的制版费为多少元?（3）若印制2千册，则共需多少费用?（二）用表格表示的变量间关系（共4小题，每题3分，题组共计12分）cm的长方形,其长为x cm,宽为y cm,在这一变化过程中,常量与变量例2.要画一个面积为202分别为()A.常量为20，变量为,x yB.常量为20，y，变量为xC.常量为20,x变量为yD.常量为x,y,变量为20例2.变式1.赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表：下列说法错误的是()A.赵先生的身高增长速度总体上先快后慢B.赵先生的身高在21岁以后基本不长了C.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高7.1cmD.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1cm例2.变式2.2002年1~12月某地大米的平均价格如下表表示：（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？（2）自变量是什么值时，因变量的值最小？自变量是什么值时,因变量的值最大？（3）该地哪一段时间大米的平均价格在上涨？哪一段时间大米的平均价格在下落？（4）从表中可以得到该地大米的平均价格变化方面的哪些信息？平均价格比年初降低了,还是上涨了?例2.变式3.在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y (cm)与所挂物体的质量x (kg)的一组对应值:（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量?哪个是因变量？（2）当所挂重物为3kg 时，弹簧多长?不挂重物呢？（3）若所挂重物为6kg 时（在弹簧的允许范围内）你能说出此时弹簧的长度吗?二、用关系式表示的变量间关系（一）用关系式表示两个变量之间的关系（共4小题，每题3分，题组共计12分）例3.我国政府为解决老百姓看病难的问题,决定大幅度下调药品价格.某种药品在2009年涨价30%，2013年降价70%至a ，那么这种药品在2009年涨价前的价格为.例3.变式1.如图，ABC ∆的底边BC 的长是10cm ，当顶点A 在BC 的垂线PD 上由点D 向上移动时，三角形的面积随之发生了变化.(1)在这个变化的过程中,自变量是,因变量是.(2)如果AD 长为x (cm ),面积为y (2cm ),则y =.(3)当AD BC =时,ABC ∆的面积为.例3.变式2.如图,圆柱的底面半径为2cm ，当圆柱的高由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量是,因变量是.(2)如果圆柱的高为x (cm ),圆柱的体积V (3cm )与x 的关系式为.(3)当圆柱的高由2cm 变化到4cm 时,圆柱的体积由3cm 变化到3cm .(4)当圆柱的高每增加1cm 时,它的体积增加3cm .例3.变式3.烧一壶水，假设冷水的水温为20℃，烧水时每分钟可使水温升高8℃，烧了x 分钟后的水温为y ℃,当水烧开时就不再烧了.(1)y 与x 的关系式为,其中自变量是,它应在范围内变化.(2)1x =时，y =；5x =时，y =.(3)x =时，48y =；x =时，80y =.（二）列关系式并求值（共4小题，每题3分，题组共计12分）例4.学校为优胜班级买篮球作为奖品，若一个篮球30元，总价y 元随篮球个数x 的变化而变化，写出y 与x 的关系式：，其中自变量是，因变量是.当篮球个数为10时,总价为.例4.变式1.齿轮每分钟转120转，如果n (转)表示转数，t (分)表示转动时间，那么n 与t 之间的关系式是,其中为变量，为常量.当10t =时，n=.例4.变式2.一个梯形，它的下底比上底长2cm ，它的高为3cm ，设它的上底长为x cm ，它的面积为y 2cm .(1)写出y 与x 之间的关系式，并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量.(2)当x 由5变到7时,y 如何变化？(3)用表格表示当x 从3变到10时(每次增加1),y 的相应值.(4)当x 每增加1时，y 如何变化？说明你的理由.(5)这个梯形的面积能等于92cm 吗？能等于22cm 吗？为什么？例4.变式3.ABC ∆的底边BC 为8cm ，当BC 边上的高从小到大变化时，ABC ∆的面积也随之变化.(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么?(2)ABC ∆的面积y 2cm 与高x cm 之间的关系式是什么?(3)当x 增加1cm 时,y 如何变化?（三）关系式的综合应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例5.根据如图所示的程序计算y 值，若输入的x 值为1-，则输出的结果为()A.72B.94C.1D.92例5.变式1.在关系式35y x =+中，下列说法：①x 是自变量,y 是因变量；②x 的数值可以任意选择；③y 是自变量，它的值与x 的值无关；④y 与x 的关系不能用表格表示；⑤y 与x 的关系可以用表格表示。

函数知识点总结与经典例题与解析

函数知识点总结知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当ba≠时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0x,0>⇔y>点P(x,y)在第二象限0⇔yx,0><点P(x,y)在第三象限0x⇔y,0<<点P(x,y)在第四象限0,0<⇔yx>2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上0⇔y，x为任意实数=点P(x,y)在y轴上0⇔x，y为任意实数=点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于2 2y x+知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

中考数学基础梳理第3章第9讲《平面直角坐标系与变量之间的关系》

1．[2017·青岛，5,3分]如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转 90°，则顶点B的对应点B1的坐标为(B ) A．(－4,2) B．(－2,4) C．(4，－2) D．(2，－4)
2．[2016·青岛，5,3分]如图，线段AB经过平移得到线段 A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为( A ) A．(a－2，b＋3) B．(a－2，b－3) C．(a＋2，b＋3) D．(a＋2，b－3)
C 解析：∵点A坐标为(0，a)，∴点A在该平面直角坐标系的y轴上．∵点C，D的坐标为(b，m)，(c，m)， ∴点C，D关于y轴对称．∵正五边形ABCDE是轴对称图形，∴点B，E也关于y轴对称．∵点B的坐标为(－ 3,2)，∴点E的坐标为(3,2)．
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关
第3章函数及其图象第9讲平面直角坐标系与变量之间的关系
考点梳理过关考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征 6年3考 1．各象限的点的坐标特点
2．坐标轴上的点的坐标特征 (1)x轴上的点的③ 纵坐标为0； (2)y轴上的点的④ 横坐标为0； (3)原点的坐标为⑤ (0,0) . 注意►坐标轴上的点不属于任一象限．
3．象限角平分线上的点的坐标特征 (1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标⑥ 相等 .(如图中A点：x1＝y1) (2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．(如图中B点：x2＝⑦ －y2 ) 4．对称点的坐标特征
P(a，b)(―关―于x―轴―对称→)P′(a，－b)； P(a，b)(―关―于―y轴―对―称→)P′⑧ (－a，b) ； P(a，b)(―关于―原―点―对→称)P′⑨ (－a，－b) .

变量之间的关系与平面直角坐标系

变量之间的关系与平面直角坐标系【回忆与摸索】【例题经典】了解平面直角坐标系的意义，会判定点的位置或求点的坐标例1（1）（2006年益阳市）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分不为A（-•2，1），B（-3，-1），C（1，-1）．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是________．（2）（2006年德州市）将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90°到点B，则点B•的坐标是__________．【解析】利用数形结合的方法，直观求解．会依照图象猎取信息，进行判定例2（2006年怀化市）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，•两人同时工作了一段时刻后，休息时小明对小丽讲：“我已加工了28千克，你呢？”小丽摸索了一会儿讲：“我来考考，图（1）、图（2）分不表示你和我的工作量与工作时刻关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明摸索后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．”(1) (2)【解析】结合已知条件和图象，先求出小明休息前的工作时刻和小丽的工作效率，是解决咨询题的关键．了解函数的表示方法，明白得函数图象的意义例3（2006年贵阳市）小明依照邻居家的故事写了一道小诗：“亲小孩学成今日返，老父早早到车站，亲小孩到后细端详，父子快乐把家还．”假如用纵轴y•表示父亲与亲小孩行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时刻，•那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（）【评析】本例要紧考查识图能力，关于函数图象信息题，要充分挖掘图象所含信息，通过读图、想图、析图找出解题的突破口．另外，函数图象信息通常是以其他学科为背景，因此熟悉相关学科的有关知识对解题专门有关心．【考点精练】基础训练1．（2006年江阴市）在平面直角坐标系中，点P（3，-2）在（）2．（2005年河北省）如右图，点A关于y轴的对称点的坐标是（）A．（3，3） B．（-3，3）C．（3，-3） D．（-3，-3）3．（2005年重庆市）点A（m-4，1-2m）在第三象限，则m的取值范畴是（）A．m>12B．m<4 C．12<m<4 D．m>44．（2006年十堰市）学校升旗仪式上，•慢慢上升的国旗的高度与时刻的关系能够用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（）5．（2006年益阳市）小明骑自行车内学，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车出了故障，他只好停下来修车．车修好后，因怕耽搁上课，故加快速度连续匀速行驶赶往学校．下图是行驶路程S（米）与时刻t（分）的函数图象，那么符合小明骑车行驶情形的图象大致是（）6．（2006年南京市）在平面直角坐标系中，ABCD的顶点A、B、D的坐标分不是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）(第6题) (第7题) (第8题)7．（2006年长春市）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，•若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（a，-b） B．（b，a） C．（-b，a） D．（-a，b）8．（2006年济宁市）已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，假如△A′B•′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（）A．（-4，2） B．（-4，-2） C．（4，-2） D．（4，2）9．（2006年宿迁市）小明从家骑车内学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，•所用的时刻与路程如图所示．假如返回时，上、下坡速度仍旧保持不变，•那么他从学校回到家需要的时刻是（）A．8．6分钟 B．9分钟 C．12分钟 D．16分钟(第9题) (第10题) (第11题)10．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O逆时针旋转90•°得到OA′，则点A′的坐标是（）A．（-4，3） B．（-3，4） C．（3，-4） D．（4，-3）能力提升11．（2006年绍兴市）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…P2006的位置，则P2006的横坐标X2006=_______．12．（2006年烟台市）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A•与坐标系中原点重合，边AB、AD分不落在x轴、y轴上（如图1），•再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若AB=4，BC=3，则图1和图2中点B的坐标为______，点C•的坐标为_______．13．（2006年茂名市）如图，在平面直角坐标系XOY中，直角梯形OABC，BC∥AO，A（-2，0），B（-1，1），将直角梯形OABC绕点O顺时针旋转90°后，点A、B、C分不落在A′、B′、C′处．请你解答下列咨询题：（1）在如图直角坐标系XOY中画出旋转后的梯形O′A′B′C′．（2）求点A旋转到A′所通过的弧形路线长．14．（2006年宿迁市）如图，在平面直角坐标系中，三角形②、•③是由三角形①依次旋转所得的图形．（1）在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标；（2）在图上画出再次旋转后的三角形④．应用与探究15．（2006年常州市）在平面直角坐标系中描出下列各点A（2，1），B（0，1），C（-4，3），D（6，3），并将各点用线段依次连接构成一个四边形ABCD．（1）四边形ABCD是什么专门的四边形？（2）在四边形ABCD内找一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD•差不多上等腰三角形，请写出P点的坐标．例题经典例1：（1）D（2，1），（2）B（1，-3）例2：1607例3：C考点精练1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．C 8．D 9．C •10．•A • •11．2006 12．B（4，0），（23，2），C（4，3），（433334,22-+）13．解：（1）如图所示，（2）点A旋转到A•′所通过的弧形路线长224π=π14．（1）旋转中心P位置如图所示，点P的坐标为（0，1），（2）•旋转后的三角形④如图所示．15．解：画图正确，（1）等腰梯形；（2）P（17-3）。

中考数学复习第3章函数第9讲平面直角坐标系与变量之间的关系课件298

过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y 都有① 唯一确定的值与它对应，那么就说x是 ② 自变量，y是③ 因变量，此时也称y是x
的函数
表示方法 (1)④ 解析法；(2)列表法；(3)图象法
(1)列表：列表给出自变量与因变量的一些数组；
画函数图象的一般步骤
(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点； (3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各
征 P(x，y)在第四象限：x⑦ > 0，y<0
(1)点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；
坐标轴上点 (2)点P(x，y)在y轴上⇔⑧ x ＝0，⑨ y 为任意实数；
的坐标特征 (3)点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即
点P坐标为⑩ (0,0)
两坐标轴夹角平分线上点的
原点
在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对③ 有序实数
有序实数对
对来表示，如A(a，b)，(a，b)即为点A的坐标，其中a 是该点的④ 横坐标，b是该点的⑤ 纵坐标，平面
内的点和有序实数对具有一一对应的关系
不同象限内点P(x，y)在第一象限：x>0，y>0；点P(x，y)在第二象限：
点的坐标特 x⑥ < 0，y>0；点P(x，y)在第三象限：x<0，y<0；点
点用平滑的曲线连接起来
自变量的取 (1)自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义；值范围 (2)自变量的取值应使实际问题有意义
拓展
在一般的函数关系式中，自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：(1) 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；(2)函数关系式为分式形式：分母≠0；(3)函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；(4)函数关系式含零指数幂：底数≠0.

平面直角坐标系及变量之间的关系

平面直角坐标系及变量之间的关系一、考点回顾1、平面直角坐标系中特殊点的坐标的特征．x轴上的点，其纵坐标为0，y轴上的点，其横坐标为0，原点的坐标为（0，0）．2、各象限内的点的坐标的符号特征．3、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征．平行于x轴的直线上任两点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上任两点的横坐标相同．4、象限角平分线上的点的坐标特征．第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．5、对称点的坐标特征A（a，b）关于x轴的对称点坐标为（a，－b），A（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（－a，b），A（a，b）关于原点的对称点为（－a，－b）．6、对函数概念的理解（1）在某一个变化过程中有两个变量x，y；（2）变量y的值随变量x的值的变化而变化；（3）对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对立．7、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法．二、考点精讲精练例1、已知点A（－1，2），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到点B，则点B的坐标为__________．变式练习11、在直角坐标系中，把点A（－2，3）向右平移3个单位到B点，则点B的坐标为__________．2、将点P（－3，y）向下平移3个单位，并向左平移2个单位后得到点Q（x，－1），则xy＝__________．例2、已知点P（－2，a），Q（b，3），且PQ∥x轴，则a＝__________，b≠__________．变式练习21、已知线段AB＝3，AB∥x轴，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为__________．2、过A（－2，4）和B（－2，2）两点的直线一定（）A．垂直于x轴B．与y轴相交但不平行于x轴C．平行于x轴D．与x轴，y轴相交例3、已知如图，菱形ABCD的边长为2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为__________．变式练习3在平面直角坐标系中，若以点A（0，－3）为圆心，5为半径画一个圆，则这个圆与x轴的负半轴相交的点的坐标为（）A．（4，0）B．（0，－4） C．（0，4）D．（－4，0）例4、如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（）A．B ． C ． D ．变式练习4如图，将平面直角坐标系中的△AOB绕点O顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB ＝60°，∠B＝90°，，则点B′的坐标是（）A ．B ．C ．D ．例5、一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15km/h，水流速度为5km/h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是（）变式练习5某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（）A．学校离家的距离为2000米 B．修车时间为15分钟C．到达学校时共用时间20分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米例6、函数中自变量x的取值范围为__________．变式练习6、函数中，自变量x的取值范围为__________．课后练习：一、填空题1、已知点P（a，b），当ab＞0，则点A在第__________象限．2、在直角坐标系内，将点A（－2，3）向右平移3个单位到B点，则点B的坐标是__________．3、矩形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（0，0），（6，0），（6，4），则D点的坐标是__________，D点关于x轴的对称点是__________．4、已知点P在第二象限两坐标轴所成角的平分线上，且到x轴的距离为3，则点P的坐标为__________．5、在同一坐标系中，图形a是图形b向上平移3个单位长度得到的，如果在图形a中点A的坐标为（5，－3），则图形b中与A对应的点B的坐标为__________．二、选择题6、有一个长方形，已知它的三个顶点的坐标分别是（－1，－1）、（－1，2）、（3，－1），则第四个顶点的坐标为（）A．（2，2）B．（3，2） C．（3，3）D．（2，3）7、若a＞0，则点P（－a，2）应在（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限8、在平面直角坐标系中，点P（－1，m2＋1）一定在（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限9、在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是（）10、如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y，则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）三、综合题11、如图，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A（－2，0）、B（1，7）、C（5，5）、D（7，0），试求这个四边形的面积．12、若函数则当函数值y＝8时，自变量x的值是多少？13、某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费．（1）某月该单位用水3200吨，水费是__________元；若用水2800吨，水费是__________元；（2）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式；（3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位这个月的用水量为多少吨？14、在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，4），C点坐标为（10，0）．（1）如图①，若直线AB∥OC，AB上有一动点P，当P点的坐标为__________时，有PO＝PC；（2）如图②，若直线AB与OC不平行，在过点A的直线y＝－x＋4上是否存在点P，使∠OPC＝90°？若有这样的点P，求出它的坐标；若没有，请简要说明理由．15、一辆经营长途运输的货车在高速公路的A处加满油后匀速行驶，下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：行驶时间x（时）0 1 22.5余油量y（升）100 80 60 50 （1）请你认真分析上表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）（2）按照（1）中的变化规律，货车从A处出发行驶4.2小时到达B处，求此时油箱内余油多少升？。

中考数学-中考数学变量间的关系精品

第9讲变量间的关系◆考点链接1．能发现实际情境中的两个变量及其关系．2．能从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，•并能用自己的语言准确表达．3．理解平面上的位置与平面直角坐标系之间的联系．4．利用点的坐标变化，将图形放大、缩小、对称、平移变换．◆典例精析【例题1】某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如图3－•1－1，根据图象回答：（1）当______时，港口的水最深，深度是_______m；（2）当______时，港口的水最浅，深度是_______m；（3）当______时，港口的水深一样深，都是________m；（4）用语言描述水深随时间的变化情况；（5）一艘货船于上午7：30在码头开始卸货，计划当天卸完后离港，•已知这艘船卸货后吃水深度为2.5m（吃水深度即船底离水面的距离）．该港口规定：为了保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m时，才能进出该港，•则该船出港时水深不少于_______m，卸货只能用_______h．解题思路：观察图象可知，10：00水最深，21：00最浅．关键要抓住：8：00～9：00，1：00水深都一样深，解决（4）问就不易出错了，船只要安全进出该港口，•水深不得少于6m，只能有9h时间供卸货用，这是解决（5）问的关键．解：（1）10：00，7.5m （2）21：00，3m （3）8：00～9：00，11：00，7m （4）0：•00•～8：00，9：00～10：00，21：00～24：00，水深在增加10：00～21：00，水深在减小（5）6m，7.5m．评析：题中的图象有生动的实际背景，必须细心观察有关特征，结合实际问题的背景知识，才能准确地解答这类题目中的若干问题．一般地，两个变量之间的关系用图象表示出来，有别于我们熟悉的一次函数、反比例函数、二次函数这些规律性极强的函数的图象．【例题2】阅读下列材料：“父亲和儿子同时出去晨练，如图1，实线表示父亲离家的路程y（m）与时间x（min）的函数图象；虚线表示儿子离家的路程y（m）与时间x（min）的函数图象．由图可知，他们在出发10min时第一次相遇，此时离家400m；晨练了30min，他们同时到家．”(1) (2) (3)根据阅读材料给你的启示，利用指定的直角坐标系（如图2）或用其他方法解答问题：一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100km的B港口，巡逻艇和货轮速度分别为100km/h和20km/h，巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻．（巡逻艇调头的时间忽略不计）（1）货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？（2）出发多少时间巡逻艇与货轮第三次相遇？此时离A港口多少千米？解题思路：在给出的平面直角坐标系（图3）中，同时画出巡逻艇往返于A、•B港口，货轮由A港口航行到B港口的函数图象即可找到解决问题的办法．解：实线表示巡逻艇往返于A、B港口的路程y（km）与时间x（h）的函数图象；•虚线表示货轮从A港口航行到B港口的路程y（km）与时间x（h）的函数图象（图3）．由图可知，货轮从A港口出发以后到直B港口与巡逻艇一共相遇了4次．•第三次在M处相遇，则BM=13AB．出发3h 20min时巡逻艇与货轮第三次相遇，此时离A港口2003km．评析：通过阅读一段较为简单的数学材料，•从中体会情境与图象的关系以及处理某些问题的方法，从而达到考察学生的阅读和获取信息，分析数据和相关材料解决问题的能力．【例题3】如图，在直角坐标系中，点A（5，0），B（0，4），若有一个直角三角形与Rt△AOB全等，并且它们有一条公共边，•请你写出这个直角三角形所有可能的未知顶点的坐标．解题思路：由题意，两个Rt△全等，且有一条公共边，考虑原△ABO•的三边都可以作公共边，利用翻折、旋转、平移等方法，图中的P1、P2、P3点的坐标易求且不会遗漏，在寻找P4、P5、P6点时，翻折、旋转、平移三种方法要综合使用．•另外使用好分类的思想方法，也是杜绝遗漏这六个点中的某些点的情况产生的很好方法．解：如图所示，满足条件的三角形未知顶点的坐标有P1（5，4），P2（0，－4），P3（－5，0），P4（－5，4），P5（5，－4），连结P6O交AB于F，作P6E⊥OA于E．∵△ABP6是将△ABO沿AB翻折得到的．∴根据对称性，P6O⊥AB，且OF=FP6，6ABOFOP AF=∴==∴====又（也可以利用相似比求AF的长）．∵12P6O·AF=12OA·P6E，∴P6E=20041，由△OEP6∽△OFA，得OE=16041．∴P6的坐标是（16041，20041）．评析：以OA、OB、AB为公共边构造与△AOB全等的直角三角形都有两种情况，所以满足条件的6种情况就自然产生，类似的可解决有关等腰三角形的问题．另外，•面积法求直角三角形斜边上的高较其它方法方便，同学们应引起足够重视，还应注重平面几何的翻折、旋转、平移等方法在代数中的应用．◆探究实践【问题1】如图，B船在A船的西偏北45°处，两船相距，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，试探索两船能否有一个最近距离？若有，这个最近距离是多少千米？何处是这个最近位置？解题思路：B→C，A→C分别是B、A船的航行方向，且△ABC是等腰Rt△，，•∴BC=AC=10km．设同一时刻B到B′，A到A′，不妨设AA′=x（km），则BB′=2x（km），•由勾股定理可找到两船的距离A′B′与x的表达式，问题就可解答．解：如图，AA′=x（km），则BB′=2x（km）．由题意知△ABC是等腰Rt△，AC=BC=10km．∴B′C=10－2x，A′C=10－x．由勾股定理得==∴当x=6时，即当A船，B船分别航行6km，12km时处在最近的位置上，这个最近距离是．评析：将两个变量、两船的距离、A船行驶的路程的关系找出来，进行配方，利用非负数的性质解答此题是关键．解决最大（最小）值问题通常用的方法是：（1）•配方，利用非负数性质；（2）抛物线的顶点坐标；（3）两点之间线段最短．【问题2】某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位．（1）后面每一排比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n•的关系式并求n的取值范围；（2）其他条件不变，当后面每一排都比前一排多2个座位时写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式（1≤n≤25，且n为整数）；（3）当后面每一排都比前一排多3个座位，4个座位时，分别写出每排的座位数m 与这排的排数n的关系式（1≤n≤25，且n为整数）；（4）某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后面每一排比前一排多b个座位，•试写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式，并指出n的取值范围；（5）针对第（1）问你能求出该礼堂总共有多少个座位吗？解题思路：此题系课本习题的改编题，抓住后面每一排比前一排增加的座位个数与排数之间的数字规律，此题就不难解答了．第（5）问实际上是计算20+（20+1）+（•20+2）+…+（20+24）的值的问题，又转化为计算20×25+（1+2+3+…+24）的值的问题，相信同学们已看出了计算方法．解：（1）m=19+n，1≤n≤25且n为整数．（2）m=18+2n．（3）所求关系式分别为m=17+3n，m=16+4n．（4）m=（a－b）+bn，1≤n≤p且n为整数．（5）礼堂总共有座位个数是20×25+（1+2+3+…+24）=500+(124)242+⨯=800（个）．评析：寻找两个变量之间的关系时，如果是数字规律的题型，那么一般方法是找到变化过程中的不变量和改变量，再寻找改变量与序号（如：排数、个数、千克数、秒数等）的变化规律；如果是面积、体积、周长类题型，那么一般方法是找到变化过程中所要用到的公式中所缺的量（如：高、底边等），或者将所缺的量用变量表达出来）．◆中考演练一、填空题1．如果点M（ab，a+b）在第四象限，那么点N（a，－b）在第______象限．2．点A（－5，2）关于x轴对称的点B的坐标是_______．点P（6，－4）关于y轴对称的点Q的坐标是________．3．如图1，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A•的坐标为（a，b），则点A′的坐标为________．(1) (2)二、选择题1．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图2所示，若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是（）．A．37.2min B．48min C．30min D．33min2．为鼓励居民节约用水，北京市将出台新的居民用水收费标准：（1）•若每月每户居民用水不超过4m3，则按每立方米2元计算；（2）若每月每户居民用水超过4m3，•则超过部分按每立方米4.5元计算（不超过部分仍按每立方米2元计算）．•现假设该市某户居民某月用水x（m3），水费y元，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）．3．（山西）若用图（1）（2）（3）四幅图象分别表示变量之间的关系．请按图象所给顺序，将下面的（a）（b）（c）（d）对应排序：（a）•小车从光滑的斜面上滑下（小车的速度与时间的关系）；（b）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（•弹簧长度与所挂重物的质量的关系；（c）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）；（d）小杨从A到B后，停留一段时间，然后按原速度返回（路程与时间的关系）正确的顺序是（）．A．（c）（d）（b）（a）B．（a）（b）（c）（d）C．（b）（c）（a）（d）D．（d）（a）（c）（b）三、解答题1．如图，直角梯形ABCD，BA⊥x轴于A，BC∥OA，OA=10，OC=4，∠AOC=30°．（1）求B，C两点的坐标；（2）求梯形AOCB的面积．2．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点B在坐标原点，∠α=60°，求点D的坐标．◆实战模拟一、填空题:1．已知：点A（－2，0），B（－1，－3），C（4，0），D（1，4），则四边形ABCD的面积是_____．2．m为整数，点P（1－m，3m－9）关于x轴对称的点在第二象限，则点P到原点的距离是________．3．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P•依次落在P1，P2，P3，P4……P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=________．二、选择题1．某游泳池分为深水区和浅水区，每次消毒后要重新将水注满泳池，假定进水管的水速是均匀的，那么泳池内水的高度h随时间t变化的图象是（）．2．如右图，矩形ABCD的边AB=5cm，BC=4cm，动点P从A出发，在折线AD•→DC•→CB 上以1cm/s的速度向B点匀速运动，那么表示△ABP的面积S（cm2）与运动时间t（s）•之间的函数关系的图像是（）．3．三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水，如果平均每天流入库区的水量为a（m3），平均每天流出的水量控制为b（m3），当蓄水位低于135m时，b<a；当蓄水位达到135m时，b=a，•设库区的蓄水量y（m3）是时间t（天）的函数，那么这个函数的大致图象是（）．三、解答题:1．（长沙）我市某乡A、B两村盛产柑桔，A村有柑桔200t，B村有柑桔300t．•现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240t，D仓库可储存260t；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的柑桔重量为x（t），A，B•两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为y元和y元．（1）请填写下表，并求出y A，y B与x之间的函数关系式；（2）试讨论A，B两个村中，哪个村的运费较少？2．如图，菱形OABC的边长为4cm，∠AOC=60°，动点P从O出发，以每秒1cm的速度沿O→A→B路线运动．点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1cm的速度，在AB上以每秒2cm的速度沿O→A→B路线运动．过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设点P运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形（图中的阴影部分）•的周长为y（cm）．请你回答以下问题：（1）当x=3时，y的值是多少？（2）就下列情形，求y与x之间的关系式．①0≤x≤2；②2≤x≤4；③4≤x≤6；④6≤x≤8．（3）点P运动到何处时，所围图形的周长最大？（4）在同一直角坐标系中，用图象表示（2）中的各种情形下y与x的关系．参考答案中考演练一、1．二2．（－5，－2），（－6，－4）3．（－b，a）二、1．A 2．C 3．A三、1．（1）B（10，－2）C（2）（2）20－2．D实战模拟一、1．21 23．2006二、1．B 2．A 3．B三、1．（1）填表格，y A=－5x+5000（0≤x≤200），y B=3x+4 680（0≤x≤200）（2）•由A村调往C50t，由B调往C190t，调往D110t时运费之和最小，为9 580元．2．（1）y=8（2）①当0≤x≤2时，y=3OP，即y=3x，②当2≤x≤4时，y=3PO－QO=3x－•（x－2）=2x+2③当4≤x≤6时，y=2（OA+AP）－QO+BP=2x－（x－2）+（8－x）=10④当6≤x≤8时，AQ=2[（x－2）－4]=2x－12，y=3[（AB－AQ）]－PB=3[4－（2x－12）]－（8－x）=－5x+40 （3）当点P运动的时间x在4≤x≤6时，周长的值最大（4）提示：分段画图，图略.。

坐标系及变量之间的关系

坐标系与变量之间的关系一、知识回顾1、函数1-=x x y 的自变量x 的取值范围是__________________ 2、在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（-4，6），则点P 在第____象限；若点Q 与点P 关于原点对称，则点Q 坐标为_____________；若点M 与点P 关于x 轴对称，则点M 坐标为______________；若点N 与点P 关于y 轴对称，则点N 坐标为______________3、若点A （m ，4-m ）在第二象限，则m 应满足__________________4、点A （a ，b ）向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到点B 坐标是_____________二、典型例题例1 如图12-1，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片沿OB 折叠，使点A 落在点A ’的位置上，若OB=5，tan ∠BOC=21，求点A ’坐标。

例2 如图12-2，一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x （h ），两车之间的距离为y （km ），图中的折线表示y 与x 之间的函数关系根据图象进行研究：（1）甲、乙两地之间距离是_______________（2）求快车和慢车的速度；（3）若第二列快车也从甲地驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。

求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？三、课堂练习1、平面内点P （m ，2）与点Q （3，-2）关于原点对称，则m =_____________2、函数2+=x xy 中自变量x 的取值范围是__________________3、在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，5）、（-3，-1）、（1，-1），在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 坐标是_______________4、如图12-3是某函数的图象，则下列结论正确的是（）A 、当y =1时，x 的取值是23-，5 B 、当y =-3时，x 的近似值是0，2图12-1 图12-2C 、当x =23-时，函数值最大 D 、当x >-3时，y 随x 的增大而增大四、家庭作业1、在平面直角坐标系中，点（-1，12+m ）一定在（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、如图12-4，小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用时间与路程的关系如图所示，下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别和上班时一致，那么他从单位回到家所需时间为_____________3、如图12-5，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，动点P 从点B 出发，沿路线B->C->D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（）4、如图12-6，△ABC 是边长为2的等边三角形，点A 在坐标原点，则点B 坐标为____________5、点A 坐标为（1，2），AB ∥y 轴且AB=3，则点B 坐标为_______________6、如图12-7，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的两条直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴，y 轴的负半轴上，且OA=2，OB=1，将Rt △AOB 绕点O 按顺时针方向旋转90°，再把所得的图象沿x 轴正方向平移1个单位，得△CDO ；（1）写出点A 、C 的坐标；（2）求AC 的长度。

中考数学模拟试题变量之间的关系

中考数学模拟试题变量之间的关系变量之间的关系在数学中起着重要的作用，它们可以描述不同数值之间的联系和变化规律。

在中考数学模拟试题中，考察变量之间的关系是一种常见的题型，学生需要了解和掌握各种数学函数和方程式，以便解决与变量相关的问题。

本文将讨论中考数学模拟试题中常见的变量关系及其解题方法，以帮助学生更好地应对这类题目。

一、线性关系在中考数学模拟试题中，线性关系是最简单也是最常见的一种关系。

对于两个变量x和y，如果它们之间存在满足y = ax + b（a、b为常数）的关系，则称这两个变量之间是线性关系。

在解决线性关系的问题时，我们可以通过求解方程来确定变量之间的具体关系。

例题1：已知方程y = 2x - 3，求当x = 5时，y的值。

解析：根据给定的方程，可以得到y = 2 * 5 - 3，即y = 7。

因此，当x = 5时，y的值为7。

二、反比例关系反比例关系是指两个变量之间的关系呈现出一种倒数的关系。

对于两个变量x和y，如果它们之间存在满足y = k/x（k为常数）的关系，则称这两个变量之间是反比例关系。

在解决反比例关系的问题时，我们可以通过构建等式来确定变量之间的具体关系。

例题2：已知实数x和y满足y = 2/x，若x = 3，求y的值。

解析：根据给定的等式，可以得到y = 2/3。

因此，当x = 3时，y的值为2/3。

三、正比例关系正比例关系是指两个变量之间的关系呈现出一种比例的关系。

对于两个变量x和y，如果它们之间存在满足y = kx（k为常数）的关系，则称这两个变量之间是正比例关系。

在解决正比例关系的问题时，我们可以通过构建等式来确定变量之间的具体关系。

例题3：已知实数x和y满足y = 3x，若x = 4，求y的值。

解析：根据给定的等式，可以得到y = 3 * 4，即y = 12。

因此，当x = 4时，y的值为12。

四、复合关系在一些中考数学模拟试题中，变量之间的关系不仅仅是简单的线性、反比例或正比例关系，可能还存在其他复合的关系。