2019-2020学年广西壮族自治区来宾市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年广西壮族自治区来宾市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知0λ>，双曲线22x y λ-=的离心率为（ ）A ．BC ．2D ．与λ的值有关【答案】A【解析】转化双曲线22x y λ-=为标准形式221x y λλ-=，计算即可.【详解】22x y λ-=，可化为221x y λλ-=，则离心率为c e a ===故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．设命题:p x R ∀∈，22sin 30x x ++<，则p 的否定是（ ） A ．x ∀∈R ，22sin 30x x ++≥ B ．0x ∃∈R ，2002sin 30x x ++≥ C ．x ∀∈R ，22sin 30x x ++> D ．0x ∃∈R ，2002sin 30x x ++>【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，即得解. 【详解】全称命题的否定是特称命题．命题:p x R ∀∈，22sin 30x x ++<的否定为：0x ∃∈R ，2002sin 30x x ++≥故选：B 【点睛】本题考查了全称命题的否定是特称命题，考查了学生概念理解的能力，属于基础题. 3．在ABC V 中，2AB =，4BC =，2ABC S =V ，则角B =（ ） A ．6π B ．3π C ．3π或23π D ．6π或56π【答案】D【解析】利用三角形的面积公式1sin 22ABC S AB BC B =⋅⋅=V ，即得解. 【详解】1sin 22ABC S AB BC B =⋅⋅=V ，则1sin 2B =，则6B π=或56π．故选：D 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 4．“a b >”是“lg lg a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“lg lg a b >”充要条件是“0a b >> ”，即可得出结论. 【详解】由lg lg a b >，得0a b >>.取2a =，3b =-，此时满足a b >，但是不满足lg lg a b >. 综上，“a b >”是“lg lg a b >”的必要不充分条件. 故选:B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，属于基础题.5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且52515,2S a a =-+=-，则公差d = （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】53515S a ==- ，即33a =- ，25332262a a a d a d d +=-++=-⇒-+=- ， 4d = ，故选B.6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4a =，5b =，6c =，则cos B =（ ）A ．18- B ．18C ．916-D ．916【答案】D 【解析】【详解】根据题意，△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则2221636259cos .224616a cb B ac +-+-===⨯⨯故选D ．7．命题p ：在数列{}n a 中，“132n n a a -=，2,3,4,n =L ”是“{}n a 是公比为32的等比数列”的充分不必要条件；命题q ：若k ϕπ=，k ∈Z ，则()()()sin 0f x x ωϕω=+≠为奇函数，则在四个命题()()p q ⌝∨⌝，p q ∧，()p q ⌝∧，()p q ∨⌝中，真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】可判断p 为假命题，q 为真命题，继而可判断()()p q ⌝∨⌝，p q ∧，()p q ⌝∧，()p q ∨⌝的真假.【详解】因为当0n a =时也有132n n a a -=，2,3,4,n =L ， 但{}n a 是等差数列，不是等比数列，因此充分性不成立． 又因为当{}n a 是公比为32的等比数列时，有132n n a a -=，2,3,4,n =L ，所以必要性成立，所以命题p 为假命题；当,k k ϕπ=∈Z 时，可以推得()sin s n ()i f x x x ωϕω=+=±为奇函数； 当()()sin f x x ωϕ=+为奇函数时，可以得到k ϕπ=， 故命题q 为真命题，因此()()p q ⌝∨⌝真，p q ∧假，()p q ⌝∧真，()p q ∨⌝假， 故选：B ． 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.8．若函数()ln mf x x x=+在[1,3]上为增函数，则m 的取值范围为（ ） A ．[1,)+∞ B ．[3,)+∞C ．(,1]-∞D ．(,3]-∞【答案】C【解析】转化为2()0x mf x x-'=≥，即m x ≤对[1,3]x ∈恒成立，继而得解. 【详解】由题意函数()ln mf x x x=+在[1,3]上为增函数, 可知2()0x mf x x -'=≥， 即m x ≤对[1,3]x ∈恒成立， 所以1m £． 故选：C 【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.9．在数列{}n a 中，已知12a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．524B ．526C ．1024D ．1026【答案】C【解析】利用叠加法，求得2nn a =，即得解.【详解】根据题意，由12n n n a a +=+，得12nn n a a +-=，则112,n n n a a ---=L ，212a a -=，将各式相加得1222212nn n a a --==--又12a =，所以2nn a =，即101024a =．故选:C 【点睛】本题考查了叠加法求数列的通项，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.10．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为，A ，B 分别为C 的右顶点、上顶点.若C 的对称中心到AB C 的长轴长为（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题目给出椭圆的焦距为c =根据222a c b -=得222a b -=,又根据原点到直线AB=,即可求得a =则得出长轴长2a =. 【详解】解：依题意可得2c =,则c =所以222a b -=,=解得a =从而C 的长轴长为2a =故选：B 【点睛】本题考查椭圆的方程与性质,考查运算求解能力.11．点P 是抛物线24y x =-上的一点，则点P 到焦点F 的距离与到()3,1A -的距离之和的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，将||PF 转为点P 到抛物线准线的距离||PM ，由抛物线的定义，可得||||PF PM =，转化为求||||AP PM +的最小值，结合图形，即可求解. 【详解】由题意得抛物线的焦点为()1,0F -，准线方程为:1l x =. 过点P 作PM l ⊥于点M ，由定义可得||||PF PM =，所以||||||||PA PF PA PM +=+，由图形可得，当P ，A ，M 三点共线时，||||PA PM +最小，最小值为4. 故选:B.【点睛】本题考查动点到两定点距离和最小，灵活应用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离互相转化是解题的关键，属于中档题. 12．现有下列四条曲线：①曲线22x y e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x=+；④曲线32y x x =--. 直线2y x =与其相切的共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】先求出直线2y x =的斜率为2k =,然后对曲线函数求导,代入2k =求切点,如果切点在2y x =,即直线与曲线相切,即可求得直线2y x =与四条曲线相切的共有几条. 【详解】解：直线2y x =的斜率为2k =,①若()22xf x e =-,则由()2e 2xf x '==,得0x =,点()0,0在直线2y x =上,则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；②若()2sin f x x =,则由()2cos 2f x x '==,得()2x k k π=∈Z ,()20f k π=,则直线2y x =与曲线2sin y x =相切；③若()13f x x x =+,则由()2132f x x'=-=,得1x =±,()1,4,()1,4--都不在直线2y x =上, 所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； ④若()32f x x x =--,则由()2312f x x '=-=,得1x =±,其中()1,2--在直线2y x =上, 所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故直线2y x =与其相切的共有3条. 故选：C 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.二、填空题13．若x ，y 满足不等式组430,230,0,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则21z x y =-+的最大值为______.【答案】2【解析】做出可行域，根据图象特征，即可求出目标函数的最小值. 【详解】做出可行域，如下图所示：由23y x y x =-+⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，(1,1)A ，当目标函数21z x y =-+过点A 时，取得最大值为2. 故答案为:2.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为24n S n n =-，则{}n a 的通项公式为______.【答案】85n a n =-【解析】根据数列前n 项和与通项的关系，分111,n a S ==，12,n n n n a S S -≥=-，即可求出通项公式. 【详解】当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()221441185n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-. 又13a =也满足85n a n =-，所以85n a n =-. 故答案为:85n a n =-. 【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项的关系，属于基础题. 15．已知0x >，0y >，则2x y yy x y+++的最小值为___________． 2【解析】利用均值不等式，即得解. 【详解】由于0x >，0y >，2x y y y x y ++≥=+2x y y y x y +=+取得最小值．【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.16．已知P 为双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为___________．【解析】由2||MP PF +的最小值为12F F ，且21||2PF PF a -=，得到211||||2222MP PF MP PF a MF a a c +=++≥+==，即22a c =，化简即得解.【详解】211||||2222MP PF MP PF a MF a a c +=++≥+==22a c =，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+=，解得e =e =，又1e >，所以42e +=【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题17．设:,:3p x a q x >>.（1）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围；（3）若a 是方程2690x x -+=的根，判断p 是q 的什么条件. 【答案】（1）3a <；（2）3a >；（3）充要条件【解析】设{}{},3A x x a B x x =>=>.（1）由题得B ⊂A ，得到a 的取值范围；（2）由题得A B ⊂，得到a 的取值范围；（3）因为方程2690x x -+=的根为3，则有A B =,判断得解. 【详解】设{}{},3A x x a B x x =>=>.（1）若p 是q 的必要不充分条件，则有B ⊂A ，所以3a <. （2）若p 是q 的充分不必要条件，则有A B ⊂，所以3a >. （3）因为方程2690x x -+=的根为3，则有A B =， 所以p 是q 的充要条件. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，考查根据充分必要条件求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．（1）求不等式()236x x x --≤的解集；（2）已知矩形ABCD 的面积为16，求它的周长的最小值． 【答案】（1）[]1,3-；（2）16【解析】（1）将问题转化为一元二次不等式，解不等式得结果；（2）假设矩形的长，将周长转化为基本不等式的形式，从而求得周长的最小值. 【详解】（1）不等式()236x x x --≤可化为2230x x --≤ 即()()130x x +-≤，解得：13x -≤≤∴该不等式的解集为[]1,3-（2）设矩形ABCD 的长为x ，则它的宽为16x，0x >则矩形的周长为162222416l x x ⎛⎫=+≥⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭当且仅当16x x=，即4x =时取等号 矩形周长的最小值为16 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题. 19．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()222tan ab c C +-=.（1）求C ；（2）求函数()212cos 2sin cos f A A A A =-+的定义域及其最大值.【答案】（1）2π；（2）,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）根据余弦定理将已知等式化为cos C =，再化切为弦，可得sin C =，结合C 范围，即可求解； （2）由（1）得3C π=，则23B A π=-，由,A B 为锐角，求出62A ππ<<，用二倍角及辅助角公式，化简()24f A A π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合角A 的范围，即可求解【详解】(1)因为()222tan a b cC +-=，所以222cos 2a b c C ab +-==，即sin C =， 因为02C <<π，所以3C π=.(2)()212cos 2sin cos sin 2cos 224f A A A A A A A π=-+⎛⎫ ⎪⎝=-=⎭-.在锐角ABC V 中，因为02A π<<，2032A <-<ππ， 所以62A ππ<<，则()f A 的定义域为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 321244A πππ<-<，故当242A ππ-=，即38A π=时，()max f A =【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角函数化简，求函数的最值，在求定义域中要注意隐含条件角B 为锐角不要遗漏，属于中档题.20．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，3518a a +=，3550S S +=.数列{}n b 为等比数列，且11b a =，2143b a a =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列211n n b S -⎧⎫⎨⎩+⎬⎭的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，3nn b =；（2）1311242n n T n +=--+.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，将已知条件转化为1,a d 的方程组，求解，可得到21n a n =+；由已知可得13b =，29b =，从而求出数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）得22141n S n -=-，211111322121nn n b S n n -⎛⎫+=-+ ⎪-+⎝⎭，数列211n n b S -⎧⎫⎨⎩+⎬⎭的前n 项和n T 分成两部分，其中211n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭用裂项相消求和，{}n b 用等比数列的前n 项和公式求和，二者相加，即可求出结论. 【详解】(1)设公差为d ，则由3518a a +=，3550S S +=，得112618,81350,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,2,a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =+.设{}n b 的公比q ，又因为13a =，49a =，所以13b =，29b =，故3n n b =.(2)由(1)可知22141n S n -=-，则()()211111133212122121n nn n b S n n n n -⎛⎫+=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭.数列211n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为111111111123352121221n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， 数列{}n b 的前n 项和为()131333132n n +--=-，故1311242n n T n +=--+.【点睛】本题考查等差数列通项、前n 项和基本量的运算，以及求等比数列的通项与前n 项和，考查裂项相消求数列的前n 和，属于中档题.21．已知函数2()ln x f x x=．（1）求()f x 在(1,)+∞上的单调区间；（2）若函数()()g x f x a =-在123,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）单减区间：，单增区间：)+∞（2）243(3,]{2}2e e e U【解析】（1）先求函数()f x 的定义域，然后对函数求导，令导数等于0，得到x =通过导函数的正负，得到函数的单调性；（2）令()0()g x f x a =∴=，根据函数在123,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，得到()2313423,,22e f e f f e e e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即得a 的取值范围.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，()2(2ln 1)'ln x x f x x-=令()2(2ln 1)'=0ln x x f x x x-==，令()'>0f x x >，()f x的单增区间为)+∞；令()'<010f x x >>，1x >>，故()f x的单减区间为.（2）由()0()g x f x a =∴=，由（1）()f x 的单增区间为()e +∞，，单减区间为(0,1),(1,)e且()2313423,,()22e f e f f e e e e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭结合图像，所以243(3,]{2}2e a e e ∈U .【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.22．已知直线2x p =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于P ，Q 两点，且POQ △的面积为16（O 为坐标原点）． （1）求C 的方程.（2）直线l 经过C 的焦点F 且l 不与x 轴垂直；l 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，试问在x 轴上是否存在点E ，使||||AB DE 为定值？若存在，求该定值及E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =（2）存在点E ，且E 的坐标为(1,0) 【解析】（1）由POQ △的面积为16，得到21244162p p p ⨯⨯==，故得解; （2）设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，联立得到韦达定理，得到212244||k AB x x p k +=++=，表示线段AB 的垂直平分线的方程，得到22|||3|DE t k=+-，分析即得解. 【详解】（1）将2x p =代入22y px =，得2y p =±，所以POQ △的面积为21244162p p p ⨯⨯==． 因为0p >，所以2p =， 故C 的方程为24y x =．（2）由题意设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++=． 设()()1122,,,A x y B x y ，则212224k x x k ++=，所以212244||k AB x x p k+=++=， 因为线段AB 的中点的横坐标为212222x x k k++=，纵坐标为2k ， 所以线段AB 的垂直平分线的方程为22212()k y x k k k+-=--， 令0y =，得223x k =+，所以D 的横坐标为223k+， 设(,0)E t ，则2222|(3)2||||3|t k DE t k k -+=+-=，当且仅当32t -=，即1t =时，||||AB DE 为定值，且定值为2， 故存在点E ，且E 的坐标为(1,0)． 【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.。