高阶差分方程
求差分方程的通解步骤
求差分方程的通解步骤差分方程是描述离散变量之间关系的方程。
通解指的是差分方程的所有解的集合。
为求差分方程的通解，一般可以遵循以下步骤：1.确定差分方程的阶数和形式。
差分方程的阶数指的是方程中最高阶的差分项的阶数。
形式指的是差分方程的表达式，一般可表示为y_{n+k}+a_{k-1}y_{n+k-1}+...+a_1y_{n+1}+a_0y_n=f(n)。
其中，n为自变量，y为因变量，k为差分方程的阶数，a为系数，f(n)为已知函数。
2.特解方法一：常系数特解。
如果差分方程的右侧函数f(n)为常数，形如f(n)=C，则差分方程的特解y(n)应呈线性增长或线性减少的形式，可设y(n)=A，其中A为常数。
将y(n)代入差分方程，求解A的值。
3.特解方法二：线性递推特解。
如果差分方程的右侧函数f(n)为线性递推型函数，形如f(n)=r^n，则差分方程的特解y(n)应呈指数增长或指数衰减的形式，可设y(n)=A*r^n，其中A为常数，r为非零实数。
将y(n)代入差分方程，求解A的值。
4.特解方法三：多项式特解。
如果差分方程的右侧函数f(n)为多项式类型，形如f(n)=g(n)，其中g(n)为多项式，则差分方程的特解y(n)可设为多项式形式，例如y(n)=a_k*n^k+a_{k-1}*n^{k-1}+...+a_1*n+a_0。
将y(n)代入差分方程，求解a_k,a_{k-1},...,a_1,a_0的值。
5.特解方法四：递推特解。
如果差分方程右侧不存在已知函数，或者求解特解方法一至三困难时，可尝试通过观察一系列已知解的递推关系来推导特解的形式。
6.通解的求解。
差分方程的通解应满足两个条件：（1）包含所有的特解；（2）满足差分方程本身。
通解的形式与差分方程的阶数和形式有关，一般可表示为y(n)=y_n+y_p，其中y_n为齐次方程的通解，y_p为特解。
齐次方程是将差分方程中的非齐次项f(n)设为零得到的方程。
差分方程的阶数
差分方程的阶数差分方程的阶数一、引言差分方程是离散时间系统的重要数学模型，它可以描述许多实际问题，如物理、工程、经济等领域中的动态过程。
在差分方程中，阶数是一个重要的概念，它决定了方程解的形式和求解方法。
本文将从阶数的定义、求解方法和应用等方面进行详细介绍。
二、阶数的定义1. 一阶差分方程一阶差分方程是指未知函数只含有一次时间导数的差分方程，即形如：y(n+1) = f(n, y(n))其中n表示时间步长，y(n)表示未知函数在第n个时间步长处的取值，f(n, y(n))表示已知函数关系。
由于该方程只含有一次时间导数，因此称为一阶差分方程。
2. 二阶差分方程二阶差分方程是指未知函数含有二次时间导数的差分方程，即形如：y(n+2) = f(n, y(n), y'(n), y''(n))其中y'(n)和y''(n)分别表示未知函数在第n个时间步长处的一次和二次时间导数。
由于该方程含有二次时间导数，因此称为二阶差分方程。
3. 高阶差分方程高阶差分方程是指未知函数含有高次时间导数的差分方程，即形如：y(n+k) = f(n, y(n), y'(n), ..., y^(k-1)(n))其中k为正整数，y^(k-1)(n)表示未知函数在第n个时间步长处的(k-1)次时间导数。
由于该方程含有高次时间导数，因此称为高阶差分方程。
三、求解方法1. 一阶差分方程对于一阶差分方程y(n+1) = f(n, y(n))，可以采用欧拉公式或泰勒公式进行逼近求解。
具体来说，可以将y(n+1)和y(n)在第n个时间步长处展开成泰勒级数：y(n+1) = y(n) + h*y'(n) + O(h^2)其中h表示时间步长。
将上式代入一阶差分方程中得到：y(n+1) = y(n) + h*f(n, y(n)) + O(h^2)将O(h^2)忽略不计，则得到欧拉逼近公式：y(n+1) ≈ y(n) + h*f(n, y(n))该公式可以用于迭代求解一阶差分方程的近似解。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
第三讲 ARMA模型
3
2
1 55 60 65 70 75 80 85 90 95
12
（1）数据量不大时，如70或80数据，取M=[n/4]。 （2）数据量较大时，如300个数据，可取M=[n/10]。 （3）数据量很大时，如成千上万，可取M=根号n 此例有45个数据，最大滞后期取12即可。可得相关图如下：
从偏自相关函数来看，相邻两项的相关性很强（指的是滞后一期）。 13 而自相关函数则不同。
35
以下是常见的AR和MA模型的ACF和PACF的表现形式：
图 9.2.2 ACF 模型 1： ARMA(p,q)模型的 ACF 与 PACF 理论模式 PACF
X t 0.7 X t 1 t
0.8
0.8
ACF1
0.6
0.6
PACF 1
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
20
注意：用自相关研究时间序列季节性时，得先消除趋势性。 对于季节性，也可采用差分，此时叫季节差分。 对于季度数据，就用genr sy=y-y(-4)，对月度数据，就用genr iy=yy(-12) 第三，对逐期差分后的数据iy再做一阶季节差分 输入：genr sy=iy-iy(-4)， SY 先看sy的图形： 400
)2
2 = 1- 2
可见，只要|α|<1，则yt方差保持恒定不变。
25
为了对AR(1)的均值和方差有更感性的认识，可模拟 AR(1)数据生成过程，使用的AR(1)过程为
yt 1 0.5 yt t , t ~N (0, 2 ), 2 =0.5
分别生成两组观测值，容量n=30和n=1000，二序列 （模拟图如下）均值和方差分别为：
差分公式和迭代基本原理
差分公式和迭代基本原理
差分公式是一种数学工具，用于计算函数或序列中相邻元素之间的差异。
它基于迭代基本原理，通过对相邻元素之差进行迭代计算，得出一系列差异值。
差分公式主要分为一阶差分和高阶差分两种。
一阶差分公式：
对于一个函数或序列 f(n)，一阶差分公式可以表示为：Δf(n) = f(n+1) - f(n)。
通过该公式，我们可以得到函数或序列相邻元素的差异值，即一阶差分。
高阶差分公式：
对于一个函数或序列 f(n)，高阶差分公式可以表示为：Δ^kf(n) = Δ(Δ^(k-1)f(n))。
其中，k为差分的阶数。
通过该公式，我们可以得到函数或序列相邻元素的差异值的差异值，即高阶差分。
迭代基本原理指的是通过不断地迭代使用差分公式，从已知的初始值开始，逐步计算出更多的差异值。
具体的迭代过程可以通过以下步骤描述：
1. 给定初始值 f(0)，设置迭代起始点。
2. 根据差分公式，计算相邻元素的差异值Δf(n)。
3. 根据计算得到的差异值，更新函数或序列的值：f(n+1) = f(n) + Δf(n)。
4. 重复步骤 2 和步骤 3，不断迭代计算下一个差异值和更新函
数或序列的值。
5. 按需求终止迭代，得到所需的差分结果。
通过迭代基本原理和差分公式，我们可以在数学和计算领域中进行各种差分运算，如差分方程的求解、差分逼近等。
差分公式和迭代基本原理在数字信号处理、数值计算等领域有广泛应用。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
《高阶差分方程式》课件
04
高阶差分方程式的应用实例
金融领域的应用实例
股票价格预测
高阶差分方程式可以用于描述股 票价格的动态变化，通过历史数 据来预测未来的股票价格走势。
风险评估
在金融领域，高阶差分方程式可 以用于评估投资组合的风险，通 过分析资产价格的变动规律来预 测未来的市场波动。
期货价格建模
在期货市场中，高阶差分方程式 可以用于建立期货价格模型，以 预测未来期货价格的变化趋势。
数值分析法求解高阶差分方程式
数值分析法是一种基于数值计算的方法，通过将高阶差分方程式转化为数值求解问题，利用数值计算的方法得到近似解。常 用的数值分析法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
数值分析法的优点是适用范围广，可以求解各种类型的高阶差分方程式。然而，数值分析法的精度和稳定性取决于所选择的 数值方法和计算步长，需要进行合理的选择和控制。
解释
高阶差分方程式在数学、物理、工程等领域有广泛应用，用于描述各种动态系统的行为。
高阶差分方程式的形式
线性形式
如果差分方程中不含有 (y) 的非线性项，则称为 线性差分方程。例如：(y_{n+1} - 2y_n + y_{n1} = 0)。
非线性形式
如果差分方程中含有 (y) 的非线性项，则称为非 线性差分方程。例如：(y_{n+1}^2 - y_n^2 = 0) 。
物理学中的应用
高阶差分方程式在物理学中的波动方程、热传导方程等领域有广泛应用，为解决实际问 题提供了有效工具。
工程学中的应用
在工程学中，高阶差分方程式被用于描述信号处理、图像处理等领域的问题，推动了相 关领域的科技进步。
高阶差分方程式未来的研究方向
01
高效算法研究
差分方程的阶数
差分方程的阶数差分方程是描述离散时间系统动力学行为的数学模型。
它是微分方程的离散形式，通过差分算子来逼近微分算子。
差分方程的阶数是指方程中最高阶差分项的阶数。
1. 一阶差分方程一阶差分方程是指方程中最高阶差分项为一阶差分项的差分方程。
一阶差分方程的一般形式为：y[n+1] = f(y[n])，其中y[n]表示第n 个时刻的状态值，y[n+1]表示下一个时刻的状态值，f是关于y[n]的函数。
一阶差分方程描述了系统在当前时刻的状态如何转移到下一个时刻的状态。
2. 二阶差分方程二阶差分方程是指方程中最高阶差分项为二阶差分项的差分方程。
二阶差分方程的一般形式为：y[n+2] = f(y[n], y[n+1])，其中y[n]和y[n+1]分别表示第n个时刻和第n+1个时刻的状态值，y[n+2]表示下两个时刻的状态值，f是关于y[n]和y[n+1]的函数。
二阶差分方程描述了系统在当前时刻和下一个时刻的状态如何转移到下两个时刻的状态。
3. 高阶差分方程高阶差分方程是指方程中最高阶差分项为高于二阶的差分项的差分方程。
高阶差分方程的一般形式为：y[n+k] = f(y[n], y[n+1], ...,y[n+k-1])，其中y[n]、y[n+1]、...、y[n+k-1]分别表示第n个时刻、第n+1个时刻、...、第n+k-1个时刻的状态值，y[n+k]表示下k个时刻的状态值，f是关于y[n]、y[n+1]、...、y[n+k-1]的函数。
高阶差分方程描述了系统在当前时刻和多个未来时刻的状态如何转移。
差分方程的阶数决定了系统动力学的复杂性。
一阶差分方程描述了简单的状态转移，而高阶差分方程可以描述更复杂的状态转移规律。
通过研究差分方程的阶数，可以深入理解系统的动力学行为，为系统的建模和分析提供有力的工具。
差分方程的阶数是指方程中最高阶差分项的阶数。
一阶差分方程描述了系统在当前时刻的状态如何转移到下一个时刻的状态，二阶差分方程描述了系统在当前时刻和下一个时刻的状态如何转移到下两个时刻的状态，高阶差分方程描述了系统在当前时刻和多个未来时刻的状态如何转移。
第三讲 ARMA模型
累计脉冲响应函数：
y t +j t
+
y t +j t +1
+
y t +j t +2
+
+
y t +j t +j
= j + j -1 + j -2 +
+ +1
以此衡量随机扰动因素如果出现永久性变化后，即 t，t +1， ，t +j 都变化一个单位，对yt 造成的影响和冲击。 练习：建立年度（1951~1983）数据文件，导入book1 中数据x。利用Eviews创建一个程序，尝试生成不同的yt序 列，还可尝试绘制出脉冲响应函数图： smpl @first @first series x=0 smpl @first+1 @last series x=0.7*x(-1)+0.8*nrnd（正态分布） 该程序是用一阶差分方程生成一个x序列，初始值设定 为0，扰动项设定为服从均值为0，标准差为0.8的正态分布。
可以想象，如果按一定规则的数据 生成过程生成足够多的观测序列（比如 1万次或10万次），然后再求样本均值， 应该可以得到较高精度的结果，从而尽 量捕捉真实过程的特性。
该思想与计量经济学的另一重要概 念不谋而合，即蒙特卡洛模拟。
27
（2）AR (p) 序列的自相关和偏自相关：
●φk截尾性：AR(p)为p阶截尾。
例4：季度数据文件：1979:1~1999:2，调入book8中1个数据y。 同样，输入序列名y，滞后期取20。可得自相关图：
可见：自相关程度缓慢减弱。而偏自相关相邻两项相关程度很高。
14
例5：建月度文件：1972:01~1982:12，调入book18 的y（汗衫背心零售 量），滞后期36。自相关图为： 从自相关函数看： 12、24、36很大，即相 同月份有很强季节性，无明 显趋势。 从偏自相关函数看， k=1时一样，k=2时“自”和 “偏”自相关差距很大。
高阶常系数线性差分方程的解的研究
及定理 １ 知 ， 可
（ ， 肿 ｎ ｒｅｉ１＝ｎ０ｃｓ ｎ ＋ ，７－０） ｎ。ｎ Ｊ ｎ
去ｎ 们 ｅｅ： ｉ 』 （ Ｌｎ －） ｓ ｅ ， ｎ ｎ ４． ｎ
帆 是 方 程 （ ） 的解 。 ６
因此，得到 ２ 个实数解 』
ｃ ， ￣ ｏａ，２ ｃｓ ， 。０ ｎ ｃ ｎｒ 。０， ｚ ｓ ｉ ｒ ｓ ｊ ］ …， ｓ ， ，ｉＯ，２ ｓ ， ， ｉ０ ｎ ｓ ｊ ｒ ｉ０ …， ｎ １ｒ ｎ ｎ ； ｎＪ ｚ
（＋ｎｃ２ ＋４ ｃ ＋６ ７ｎ Ｃ ｃ＋ｎ （＋ 。 （＋ ） １ ２ ３３ ｃ ）詈 ｃ ｃＳ ） ｓ ｉ
其中 Ｃ ， ， ３Ｃ ， ， ， 为任意实数。 １Ｃ２Ｃ ， ４Ｃ５Ｃ６Ｃ７
参考文 献 ：
【健 ｌ 士银． 一阶常系数差分 方程 的特解公式【】 Ｊ 沈阳工程 学院学报， ０ ， ） １９ ． ． ２ ８（ ： —３ ０ １９
其中口 ＋ ｌ ２＋… ＋ ，＝ｋ。 ， ｌ
引进 算子 ，
（） ４
Ｅｙ ＝ Ｙ ，Ｅ２ ＝Ｅ（ ｙ ） 肘ｌ ｙ Ｅ ＝Ｅ（， １ ＝） ＋ ） ＋） ， ２… ． ，Ｅｋ Ｙ ＋ ｙ Ｅｋ ｎ Ｙ＋ ｙ ｎ ，
且 ｔ ＝ Ｙ ｙ 。
则 方程 （） 可 以写 成 １
其中：用 Ｉ表示恒 等算子 ，即 ｔ ＝ Ｙ ｙ 。
在解常差分方程时常用到以下算子 的有 关引理 ：
引理 １ （ ，（ １ ｙ Ｅ一 ）Ｅ一 ） ＝（ ，（ ， ｙ Ｅ一 ）Ｅ一 ）
证明：
（ ） 一 １ ｙ 一 （ ）
＝
Ｅ 一九Ｅ 一九Ｅ ＋ ｊ 、 ｎ ２ ＩＩ ｊ ｌ Ｉ ｙ ２
若 ａｌ ＝１，即 为单根 。此时 ，
高阶差分方程式
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.2 薩繆爾遜乘數加互動模型
架構
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18.2 薩繆爾遜乘數加互動模型
問題解
圖18.2
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© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.1 二階線性差分方程式： 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
範例5 範例
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18.1 二階線性差分方程式： 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
18.3 離散時間的通貨膨脹與失業
失業率U的分析 失業率 的分析
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.3 離散時間的通貨膨脹與失業
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.3 離散時間的通貨膨脹與失業
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
收斂與休爾定理
範例4 範例
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.4 推論變數項與高階方程式
範例5 範例
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
範例4 範例
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.1 二階線性差分方程式： 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
差分方程的概念与定义
差分方程的概念与定义差分方程是一种描述离散时间变量之间关系的数学方程，它在许多领域中发挥着重要作用，如物理学、经济学、生物学和工程学等。
差分方程的研究不仅有助于了解系统的动态行为，还可以预测未来的趋势和进行系统的控制和优化。
差分方程的定义可以理解为，给定一个递推序列{x_n}，其中n表示时间的离散变量，差分方程描述了序列中相邻两个时间点的关系。
一般来说，差分方程可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)其中x_{n+1}表示下一个时间点的值，f(n,x_n)是一个给定的函数，描述了当前时间点和上一个时间点之间的关系。
这个函数可以是线性的、非线性的、离散的或连续的，具体取决于问题的特性和所研究系统的动态行为。
差分方程有两种常见的形式：一阶差分方程和高阶差分方程。
一阶差分方程是指只涉及到一个变量的差分方程，通常可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前一个时间点的值计算而得。
高阶差分方程涉及到多个变量，可以表示为：x_{n+k}=f(n,x_n,x_{n-1},...,x_{n-k+1})这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前面k个时间点的值计算而得。
高阶差分方程通常用于描述更复杂的系统，其中多个变量之间存在相互作用和依赖关系。
差分方程的解可以通过迭代和递推来获得。
给定一个初始条件x_0，根据差分方程的定义，我们可以通过递推计算出序列中的其他时间点的值。
这种递推计算可以用来分析系统的长期行为和稳定性，预测未来的发展趋势，并进行系统的控制和优化。
差分方程是离散时间系统的重要数学工具，它可以描述和分析许多实际问题。
例如，在经济学中，差分方程可以用来描述经济变量之间的关系，如消费、投资和就业等。
在物理学中，差分方程可以用来描述粒子在离散时间点上的位置和速度的变化。
在生物学中，差分方程可以用来描述种群数量的变化和生物进化等现象。
总之，差分方程的概念与定义为我们研究和理解离散时间系统的动态行为提供了重要的数学工具。
差分方程
yn 2 2 yn1 yn
称为函数yn的二阶差分，记为 2 yn .
同样，二阶差分的差分 称为三阶差分，记为 yn ,即
3
3 yn yn 3 3 yn 2 3 yn 1 yn
类似地，m 1阶差分的差分称为 yn的m阶差分，记作 m yn。
3、线性、非线性差分方程
定义 差分方程中未知函数都 是一次幂的，称为线性 差分方程，
否则，称为非线性差分 方程。
3 yn 32 yn y n yn yn3 6 yn2 10 yn1 6 yn 0。
例如
（1） yn3 2 yn1 3 yn 2
* 将yn 代入方程后可用比较系 数法求。
例 求yn1 2 yn 2n 的通解。
2
A0 2 2 A0 A1 0 A A A 0 1 2 0
A0 2, A1 4, A2 6.
yn * 2n 4n 6,
2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法:
设(n) a n pm (n)型(a 0),其中pm (n)
为已知m次多项式，可以证明非齐次方程 的特 解形式是
a Qm (n), a不是特征根， y n na Qm (n), a是特征根。
n * n
其中Qm为m次多项式，有 m 1个特定系数 ,
则称为齐次方程。
1、迭代法
设y0已知，将 n 0,1,2Fra bibliotek.... 依次代入
2 yn1 byn中得y1 by0 , y2 by1 by0
y3 by2 b3 y0 ,..., yn b n y0 ,
高数 差分方程
高数差分方程1. 差分方程的概念差分方程是一种数学表达式，用于描述数列中相邻项之间的关系。
它通过将连续的变量按照某个固定的差值进行离散化，从而将微分方程转化为离散的数学问题。
差分方程广泛应用于控制系统、金融模型、生物学、物理学等领域。
差分方程一般形式为：y[n] = f(y[n-1], y[n-2], ..., y[n-k])其中 y[n] 代表第 n 项的值，k 是差分方程的阶数。
2. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程是指阶数为1 的差分方程。
一般形式为：y[n] = a * y[n-1] + b其中 a 和 b 是常数，y[n-1] 是第 n-1 项的值。
例如，给定一个一阶线性差分方程 y[n] = 2 * y[n-1] + 3，已知初始条件 y[0] = 1，我们可以通过递推求解该差分方程。
首先代入初始条件，得到 y[1] = 2 * y[0] + 3 = 2 * 1 + 3 = 5。
然后再代入 y[1]，得到 y[2] = 2 * y[1] + 3 = 2 * 5 + 3 = 13。
继续进行递推，我们可以得到 y[3]、y[4]、y[5] 等等。
3. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程是指阶数为2 的差分方程。
一般形式为：y[n] = a * y[n-1] + b * y[n-2] + c其中 a、b 和 c 是常数，y[n-1] 和 y[n-2] 分别是第 n-1、n-2 项的值。
同样以一个例子来说明，给定一个二阶线性差分方程 y[n]= 2 * y[n-1] + 3 * y[n-2] + 1，已知初始条件 y[0] = 1 和 y[1] = 2。
首先代入初始条件，得到 y[2] = 2 * y[1] + 3 * y[0] + 1 = 2 *2 +3 * 1 + 1 = 9。
然后再代入 y[1] 和 y[2]，得到 y[3] = 2 * y[2] + 3 * y[1] + 1= 2 * 9 + 3 * 2 + 1 = 24。
高阶差分方程的解
(ix ) 0 < R < 1 ⇒ b1b2 = αγ < 1 收敛 ( xi ) R ≥ 1 ⇒ b1b2 = αγ ≥ 1 发散
１７．２ Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ乘数加速互作用模型 –稳定性 条件
n
稳定性条件
收敛 iff αγ < 1
n
Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ模型有关参数ｇａｍｍａ、ａｌｐｈａ的关系
( vi ) 0 < b < 1 ⇒ 0 < γ ≤ 1; b1b2 = αγ < 1 收敛 (v) b > 1 ⇒ 0 < γ < 1; b1b2 = αγ > 1 发散
© ２００４ Ｍｉｎｇ－Ｈｅｎｇ／ＩＴＱｕａｎｔ™
１７．２ Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ乘数加速互作用模型 –稳定性 – 重根
n
稳定性分析 –重根
n
参数ａｌｐｈａ、ｇａｍｍａ分布
© ２００４ Ｍｉｎｇ－Ｈｅｎｇ／ＩＴＱｕａｎｔ™
１７．３ 离散时间条件下的通货膨胀与失业
n
n
模型 –微分方程／差分方程 •ｐ –通货膨胀率 价格水平增长率 •ｐｉ –预期通货膨胀率 •Ｕ –失业率 pt = α − T − βU t + hπ t •ｍ –名义货币增长率 ∆π t +1 = π t +1 − π t = j ( pt − π t ) •Ｔ –劳动生产增长率 ∆U t +1 = U t +1 − U t = −k ( m − pt +1 ) 关于实际通货膨胀率的差分方程
© ２００４ Ｍｉｎｇ－Ｈｅｎｇ／ＩＴＱｕａｎｔ™
１７．３ 离散时间条件下的通货膨胀与失业 –通货膨 胀率分析
高阶差分方程式
18.1 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
範例3
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.1 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
範例4
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.1 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.4 推論變數項與高階方程式
範例3
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.4 推論變數項與高階方程式
收斂與休爾定理
範例4
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.4 推論變數項與高階方程式
範例2
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.4 推論變數項與高階方程式
範例2
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.4 推論變數項與高階方程式
高階線性差分方程式
範例3
18.3 離散時間的通貨膨脹與失業
變數p的差分方程式
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.3 離散時間的通貨膨脹與失業
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.3 離散時間的通貨膨脹與失業
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
時間路徑收斂
範例7
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• 第一种情况（不同的实根）：当a12＞4a2时， b1和b2为不同的实根。在这种情况下，b1t 和b2t线性无关，余函数可以简单地写成b1t 和b2t的线性组合，即yc=A1b1t+A2b2t。
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经济管理学院财务与投资系 刘亚娟
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• 因此，yt的二阶差分可以转换为包含两期时滞的 项的和。因为像Δ2yt和Δyt这样的表达式写起来很 麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包含 变量的两期时滞的方程。类似地，三阶差分方程 为包含三期时滞的方程；等等。 • 我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再 在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。为控 制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性 差分方程。但对常数项和可变项两种形式，均作 考察。
• 所以，yc A1 (1) A2 (5) A1 A2 (5) • 因此，方程的通解为
t t t
y A A (5) 3t
c 1 2
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t
• (3)该方程的特别积分为： y
p
8 2 2 4t 2t
• 该方程的特征方程为：b2-2b+1=0，所以特 征根为： b 2 4 4 1 2 1 b
1 1 2 1 2
1
1
• 联立方程求解A1＝5和A2=3，最后把它代入 通解中可得特解：
y 5 (2) 3(8) 2
t
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t
t
• （2）该方程的特别积分为：
12 y p 2 6 t 3t
• 该方程的特征方程为：b2-6b+5=0，所以特 征根为： 6 36 4 5 6 4 1,5 b1 , b2 2 2
2
R 0(
2
)
2
• 因为θ值可满足两个方程 • 则θ＝π/2
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cos
h v 0and sin 1 R R
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• 因而，余函数为 y ( 1 ) ( cos t sin t ) A5 2 A6 2 c 2
• 为求yp，我们在完备方程中尝试常数解yp ＝k。这产生k＝4，因此yp＝4，且通解可 以写成： 1 ( ) ( A cos t A sin t ) 4 y 2 2 2
1 2
2
2
• 所以， yc A1 (1) A2 t (1) A1 A2 t • 因此，方程的通解为
t
t
y A A t 4t
c 1 2
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2
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• 第三种情况（复数根）：当a12＜4a2时，b1 和b2为一对共轭复数根。具体地，根的形 式为h±vi，其中 a ,v 4a a h
17
• 因此，余函数可以变换如下： • yc=A1Rt(cosθt+isinθt)+A2Rt(cosθt-isinθt)＝ Rt[(A1+A2)cosθt+（A1-A2）isinθt)]＝Rt （A5cosθt+A6sinθt) • 该余函数表达式与其在微分方程中的对应物有两点重要区 别。
– 首先，表达式cosθt和sinθt巳取代了原来使用的cosvt和sinvt。 – 其次，乘积因子Rt (以R为底的指数)已取代了自然指数式eht。
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a ，θ为（0，2π）内 • 其中 的角，以弧度度量。它满足条件
4
2
R
h v
2
2
a
4 a2 1 a 1
2
2
cos
h R 2
1 a
and sin
2
a
v a 1 1 R 4 a2Biblioteka 22013-7-25
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• 解：（1）该方程的特别积分为： 14 y 1 10 16 2 • 该方程的特征方程为：b2-10b+16=0，所以 特征根为： , 10 100 4 16 10 6 2,8 b b 2 2
p
1 2
• 所以， yc A1 (2) A2 (8) • 因此，方程的通解为若给定y0=10和y1=36， 可求出该方程的特解：
• 总之，我们已由复根的笛卡尔坐标系(h和v)转换到极坐标 系(R和θ)。一旦h和v已知，则R和θ的值可由此确定，或 可由参数a1和a2直接确定。
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• 例：求yt+2+1/4yt=5的通解。 • 这里，系数a1＝0和a2＝1/4，这是一个a12 ＜4a2的复根的例子。 • 根的实数和虚数部分分别为h＝0，v＝1/2。 并可得 1 1
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• 此二阶差分方程的特征方程与二阶微分方程的特 征方程具有可比性。它具有两个特征根：
b ,b
1
2
a1
a
2
2
1
4 a2
• 对解Abt中的b而言，上述每个根都是可接受的。 事实上，b1和b2均应在齐次差分方程的通解中出 现，恰如在微分方程中的情况一样，此通解必然 包括两个线性无关的部分，每一部分都有自己的 任意乘积常数。 • 与微分方程特征根的三种情况一样，差分方程的 特征根也有三种情况：两个不相等的实数根、两 个相等的实数根和一对共轭复数根。
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t
t
• 令t=0和t=1则：按照初始条件， y A (2) A (8) 2 A A 2
0 0 0 1 2 1 2
y A (2) A (8) 2 2 A 8A 2 • 令y0=10和y1=36，则 • A1+A2+2=10 • 2A1+8A2+2=36
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具有常系数和常数项的二阶线性差 分方程
• 一类简单的二阶差分方程的形式为： • yt+2+a1yt+1+a2y=c • 此方程为线性、非齐次，且具有常系数 （a1，a2）和常数项c的差分方程。 • 二阶差分方程的通解是由余函数和特别积 分构成：yt＝yc+yp。
2 1 2 1
2
2
• 因此，余函数变成： yc=A1b1t+A2b2t=A1(h+vi)t+A2(h-vi)t • 上式表明，解释yc并不容易。但幸运的是， 由于棣莫弗定理，此余函数很容易化为三 角函数，而三角函数我们已知如何解释。 具体如下。
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• 若令v=Rsinθ，h=Rcosθ，则共轭复数可以变换 如下：h±vi＝Rcosθ±Risinθ＝R （cosθ±isinθ）。 • 进而，由欧拉关系（即eiθ=cosθ+isinθ，eiθ=cosθ-isinθ）可再写成h±vi＝Re±iθ • 则相应地（h+vi）n＝(Reiθ)n=Rneinθ类似地，（hvi）n＝(Re-iθ)n=Re-inθ • 所以(h±vi)n＝[R(cosnθ±isinnθ)]n＝ Rn(cosnθ±isinnθ) • 此即为棣莫弗定理。 • 根据棣莫弗定理，可以写出(h±vi)t＝ [R(cosnθ±isinnθ)]t＝Rt(costθ±isintθ)
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• 特别积分是
y
p
c 1 a1 a2
, a1 a2 1
c y p 2 t , a1 a2 1, a1 2 a1
y
p
c 2 t , a1 a2 1, a1 2 2
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• 第二种情况（重实根）：当a12＝4a2时，特征根 为重根：b（＝b1＝b2）＝-a1／2。现在若将余函 数表示为如不同实根时的形式，则两部分将合并 为一项：A1b1t+A2b2t＝（A1+A2）bt≡A3bt。 • 此式无效，因为现在缺一个常数。 • 为了补上缺失的部分（我们回顾一下，这部分应 与A3bt项线性无关），还需要以变量t乘bt这个老 方法。这样这个新的项可取A4tbt形式。它与A3bt 项线性无关是很明显的，因为我们永远不能给 A3bt项加上一个常系数而得到A4tbt。 • A4tbt像A3bt一样，确实可以作为简化方程的解这 一事实，可以很容易得到验证：只需将 yt=A4tbt[和yt+1=A4（t+1）bt+1等]代入简化方程， 便可以看到该方程是一个恒等式。因此，重实根 情况下的余函数为：yc=A3bt+A4tbt
5
• 为求出余函数，我们必须集讨论简化方程 • yt+2+a1yt+1+a2y＝0 • 解一阶差分方程的经验告诉我们，Abt式在这种方 程的通解中起非常重要的作用。因此，我们先试 探形式为yt＝Abt的解，它自然意味着yt+1＝Abt+1， 等等。我们的任务便是确定A和b的值。 • 将试探解代入简化方程，方程变成 • Abt+2+a1Abt+1+a2Abt＝0 • 或在消去（非零）共同因子Abt后，有b2+a1b+a2 ＝0