正五边形判定方法的探究
正三、四、五、六、八、十、十二边形的尺规做法
正三、四、五、六、⼋、⼗、⼗⼆边形的尺规做法
正多边形的尺规作图⼀直以来都是⼈们⾮常感兴趣的问题．正三边、正四边、正六边形相对来
说⽐较容易作⼀些，正五边形就相对难⼀点了，但⼈们也找到了正五边形的直规作图⽅法．
正七边形的尺规作图是容易⼀些，还是困难⼀些呢？⼈们很久很久都没有找到正七边形的尺规
做法，这使⼈怀疑：究竟⽤尺规能否作出正七边形来？⼈们迅速地解决了正三、四、五、六边
形的尺规作图问题，却在正七边形⾯前⽌步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案⼀
直悬⽽未决两千余年．直到⼀位德国数学家⾼斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边
数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更⼀般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要
的条件是n=2k（2的k次幂）或2k×p1×p2×…×ps，（1，2…s为右下⾓标）
其中，p1，p2，…，ps是费马素数．
正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．
倒是正17边形可尺规作图，⾼斯最初的⼀项成就就是作出了正17边形．根据⾼斯的理论，还有
⼀位德国格丁根⼤学教授作了正257边形．
就这样，⼀个悬⽽未决两千余年的古⽼⼏何问题得到了圆满的解决．
下⾯是⼀些优秀⽼师做出的正三、四、五、六、⼋边形的尺规作图法动态图，给⼤家整理以便
学习。
正三⾓形
正⽅形
正五边形
正六边形
正⼋边形
再来两个，正⼗边形
正⼗⼆边形
上⾯这些绘图的难点在于如何进⾏圆等分，算料宝的【常⽤计算】⾥⾯有圆等分计算，可
以计算出任意多边形的各种数据。
剩余的就是使⽤等分弦长进⾏分割处理了。
正五边形尺规作图方法赏析
正五边形尺规作图方法赏析作者：谢俊峰来源：《数学大世界·上旬刊》2018年第11期尺规作图是起源于古希腊的数学课题。
历史上最先明确提出尺规限制的是希腊天文学家、数学家伊诺皮迪斯。
由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决。
最著名的是古希腊最有影响力的四大数学学派之——巧辨学派提出的三大著名尺规作图问题：倍立方问题、化圆为方问题、三等分角，当然，这三个问题都已被证明不可能用尺规作图来解决。
尺规作图中有许多有趣的问题，其中作正多边形就是其中一种。
大家认为这是一个简单的问题，但在操作中我们知道，正四邊形、正五边形、正六边形都比较简单，但到正七边形、正九边形却遇到了很大的困难，最终解决这个问题的是伟大的数学家高斯，他给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积。
本文提供正五边形的几种作图方法，供大家赏析。
一、已知圆的半径为r，求作圆的内接正五边形作法1：如图1，作圆O的任意半径OA1，A1B⊥OA1，并使得A1B=1/2OA1，连接BO，以B为圆心，删，为半径作弧截BO于点C，以O为圆心、0C为半径作弧截0A1于点M，以点A1起顺次截取等于0M的弦A1B2，A2B3，…，A10A1，将A2、A4、A6、A8、A10顺次连接，即为圆的内接正五边形。
作法2：如图2，作互相垂直的直径AM，BN，作0N的垂直平分线交ON于点E，以E为圆心、EA为半径作弧交OB于点F，从点A起顺次在圆上截取等于AF的弦，AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A，顺次连接A、A1、A2、A3、A4、A，即得到正五边形。
作法3：如图3，任作圆O的半径OA，，过O点作OA1的垂线OB交圆O于点B，取OB的中点C，作∠OCA1的角平分线CD交于点D，过D点作DA2⊥OA1交圆O于点A2，从点A2起顺次在圆上截取等于A1A2的弦A2A3、A3A4、A4A5，顺次连接A1、A2. A3、A4.A5、A，即得到正五边形。
正五边形尺规作图的画法及其他
正五边形尺规作图的画法及其他正五边形的画法圆内接正五边形的画法如下:1、作一个圆，设它的圆心为O；2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；3、作OY的中点M；4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N；5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。
以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系，用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段，从而作出整个图形，这是尺规作图中常用的一种方法——等线段法，即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段。
正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如Fi （i为右下角标）＝22i（底数2指数2的i次幂）＋1 的数．费马的一个著名猜想是，当 n≥3时，不定方程xn＋yn＝zn没有正整数解．现在他又猜测Fi都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi：F0＝3，F1＝5，F2＝17，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F5＝641×6 700 417．当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事．更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k（2的k次幂）或 2k×p1×p2×…×ps，（1，2…s为右下角标）其中，p1，p2，…，ps是费马素数．正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5＝F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正 13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22，因为 6= 2·3而 3=F0．THANKS致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
正五边形的面积。评课记录
正五边形的面积。
评课记录
正五边形的面积评课记录
介绍
本评课记录旨在探讨正五边形的面积计算方法，并评估其在课
堂教学中的有效性和适用性。
本文档将记录相关的讨论和实施过程，以及评估结果。
讨论内容
1.正五边形的定义：首先，说明正五边形是一个具有五条边和
五个角的多边形，而且它的五个角大小相等，每个角均为108度。
2.面积计算方法：介绍使用正五边形的边长来计算面积的方法，即通过公式A = (s^2 × (5 + 2 × √5)) / 4（其中s表示边长）来求解面积。
探讨这一计算方法的有效性和适用性，以及与其他多边形面积
计算方法的比较。
3.实施过程：详细描述在课堂中如何引入和解释正五边形的面
积计算方法，包括示范和练。
记录学生的反应和理解程度，以及对
这一方法的应用能力。
评估结果
1.学生反应：通过观察学生的参与度和提问反馈，评估学生对
正五边形面积计算方法的理解和应用能力。
记录学生在课堂上发表
的意见和观点。
2.效果评估：通过统计学生成绩和参与度数据，评估正五边形
面积计算方法的效果。
讨论学生是否能够正确计算正五边形的面积，并分析他们在其他多边形面积计算方面的理解程度是否有所提升。
结论
通过本评课记录的实施和评估，我们可以得出关于正五边形面
积计算方法的教学有效性和适用性结论，进一步指导我们在课堂教
学中的教学内容和方法选择。
【初中数学】初中数学正五边形的公式定理大全
【初中数学】初中数学正五边形的公式定理大全【—正五边形公式定理】正五边形要领：正五边形每个角均为108°，每条边长度相等。
正五边形是旋转对称图形，但不是中心对称图形。
常规五角大楼正五边形的画法常规画法（1）已知边长规则五边形的近似作图方法①作线段ab等于定长l,并分别以a,b为圆心,已知长l为半径画弧与ab的中垂线交于k。
② 取2/3长度的AB，将AK延伸至C，使CK=2/3AB。
③以点c为圆心，已知边长ab为半径画弧，分别与前两弧相交于m，n。
④ 按顺序连接点a、B、N、C和m，即大致形成所需的规则五边形。
(2)民间口诀画正五边形公式简介：“九五”是前五个九年计划，而“八五”则分为两部分。
画法:① 绘制线段AB=20mm。
②作线段ab的垂直平分线l，垂足为g。
③ 连续截取L上的GH和HD，使GH=9.5/5*10mm=19mm，HD=5.9/5*10mm=11.8mm。
④过h作ec⊥hg,在ec上截取he=hc=8/5*10mm=16mm。
⑤ 连接De、EA、AB、BC、CD。
五边形abcde就是边长为20mm的近似正五边形。
尺规作图法1.作线段ab2.将AB剖面的垂直平分线设为hi，垂直底脚为h（基本图）3.以线段ab为一边,作正方形(不会作,看下面小步骤)（1）以点a为圆心，以适当的长度为半径，画一条弧，并在点c和D处与直线AB相交（清楚地看到，这是一条直线）。
(2)分别以点c、d为圆心，大于二分之一cd长为半径，画弧，两弧交于点e。
（3）通过点E绘制一条直线AE，并以点a为端点，在直线AE上截取线段AF=AB。
(4)以点f、b为圆心，线段ab长为半径，画弧，两弧交于点g。
（5）连接段FG和BG。
那么四边形abgf是正方形的。
4.继续。
以点h为圆心，线段hg长为半径，画弧，交射线hc于点j。
5.以a点和j点为圆心，以AB线的长度为半径绘制一条圆弧。
这两条弧在K点相交并连接akbk。
同心正五边形和正十边形
同心正五边形和正十边形
首先来看同心正五边形。
同心正五边形是指五个边都相等且内角相等的五边形，而且它们的中心重合。
同心正五边形的特点是，所有边长相等，所有内角相等，而且中心重合。
此外，同心正五边形的对角线长度也是相等的。
它们的面积可以通过一定的公式进行计算，而且同心正五边形的对称性也具有一定的特点。
接下来是正十边形。
正十边形是指具有十条边且所有内角相等的多边形。
正十边形的特点是，所有边长相等，所有内角相等。
正十边形的对角线长度也是可以通过一定的公式进行计算的。
正十边形也具有一定的对称性，而且它的面积计算也可以通过特定的公式来完成。
当我们将同心正五边形和正十边形放在一起比较时，我们可以看到它们有一些共同点和差异点。
首先，它们都是多边形，都具有一定的对称性和特定的内角。
但是，它们的边数不同，同心正五边形只有五条边，而正十边形有十条边。
另外，它们的面积计算公式也是不同的，因为它们的边长不同。
同时，它们的对角线长度也是不同的。
总的来说，同心正五边形和正十边形都是几何学中常见的多边形，它们具有一些相似之处，但也有一些显著的差异。
通过研究它们的性质和特点，我们可以更深入地了解多边形的几何性质。
正五边形边的垂直平分线
正五边形边的垂直平分线
正五边形是一种特殊的多边形，它有五个相等的边和五个相等的角。
在正五边形中，每条边的垂直平分线都会经过相邻两个顶点之间的角的顶点。
这是因为正五边形的对称性质，每个顶点都有五条边与之相连，所以每个顶点之间的角度是360度/5=72度。
因此，垂直平分线将两个相邻顶点之间的72度角分成了两个相等的36度角，同时也平分了相邻两条边。
正五边形的垂直平分线具有一些有趣的性质。
例如，五条垂直平分线的交点是正五边形的中心，同时也是正五边形对称轴的交点。
此外，正五边形的外接圆和内切圆的圆心都在这个交点上。
因此，正五边形边的垂直平分线是正五边形的重要性质之一，它不仅有美学价值，还有许多数学应用。
- 1 -。
内接正五边形画法原理
内接正五边形画法原理内接正五边形是指一个五边形的内接圆的圆心与五边形的顶点连线所形成的五条线段相等。
内接正五边形画法原理是指如何根据已知的五边形边长来构造内接正五边形的方法。
我们需要了解内接正五边形的特性。
由于内接正五边形的五条边相等，所以五边形的边长可以作为内接正五边形的边长。
另外，五边形的内角和为540度，所以内接正五边形的每个内角为108度。
根据内接正五边形的特性，我们可以采用以下方法来构造内接正五边形。
方法一：利用正五边形的对称性画一个正五边形。
可以通过以下步骤来画出正五边形：1. 画一条直线作为五边形的一条边。
2. 在直线的一个端点处作一个等边三角形。
3. 在等边三角形的一条边上作一个等边三角形。
4. 依次类推，画出五边形的其他边。
接下来，利用正五边形的对称性来构造内接正五边形。
具体步骤如下：1. 在正五边形的一个顶点上作一条与边平行的线段。
2. 作一条与这条线段垂直且长度为正五边形边长的线段。
3. 这条线段的终点即为内接正五边形的一个顶点。
4. 依次类推，可得到内接正五边形的其他顶点。
方法二：利用正五边形的内切圆另一种构造内接正五边形的方法是利用正五边形的内切圆。
具体步骤如下：1. 画一个正五边形。
2. 作正五边形的内切圆，即将圆心放在正五边形的内角平分线上。
3. 这个内切圆的半径即为内接正五边形的边长。
4. 连接内切圆的圆心与正五边形的顶点，即可得到内接正五边形。
无论是利用正五边形的对称性还是利用内切圆，都可以很容易地构造出内接正五边形。
这些方法都基于内接正五边形的特性，通过合理的构造步骤来实现。
内接正五边形在几何学中有着重要的应用，它具有很多有趣的性质和特点。
例如，内接正五边形的对角线之间的夹角为72度，内接正五边形的面积可以通过边长来计算，公式为(5/4) * a^2 * tan(π/5)，其中a为边长。
总结起来，内接正五边形的画法原理是根据内接正五边形的特性，通过构造合适的线段或圆来实现。
正五边形的几个性质
· 短论荟萃 ·
∠OCA = 18 ° ， ∠ COG = 36 °． ∵ cos36 ° = OG OG = ， OC OA
OG 5 +1 ∴ cos36 ° = =槡 ． 4 （槡 5 － 1 ） OG 推论 3 证明 cos36 ° = 1 － 2sin2 18 °． 5 －1 ∵ 1 － 2sin2 18 ° = 1 － 2 · 槡 4
图4
BM 槡 5 － 1 AB 槡 5 －1 = ， = ， AB 2 BE 2 5 －1 a， 所以 BM = 槡 2 BE = a 2a = 5 －1 槡 5 －1 槡 2 5 + 1） （ 槡 5 + 1） a 2 a（ 槡 = ． 4 2
π ． 5
图7
于是四边形 HGIF 为平行四边 形． ∴ HG = 1 ． 1 EF x EH = = ． = FG 1 x －1 HG
正五边形的几个性质241300安徽省南陵县春谷中学邹守文本文立足于初中数学知识给出正五边形的几个性质
· 短论荟萃 ·
（ 2011 年第 3 期·初中版）
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正五边形的几个性质
241300 安徽省南陵县春谷中学 邹守文
本文立足于初中数学知识， 给出正五边形的几个性质． 性质 1 AC ⊥ DE， 正五边形 ADEFG 的中心为 O， 边 1 5 AB + AC = OB． 2 2 =
则使 | AB | 最大的 B 点必位于线段 PQ 上 ． 且当 B 从 P 向 Q 移动时， AB 先减小后增大， 于是 | AB | m ax = | AP | 或 | AQ | ； 对于线段 PQ 上任意一点 B， 都有 BR2 ≥ BA ． 于是 AB
max
r OG 槡 5 +1 = = ． R OA 4 设正五边形的边长为 a， 五条对角线组成 b 3 －槡 5 = ． a 2
相似在正五边形中的应用
则CD= 5 1，可求出CP
再证△BGE∽△CGP得 BG = BE CG CP
C
D
A
B
O G C
E D
六、作业
A
2、正五边形ABCDE
（3）若G为BC的中点，连接EG交BD于H B
E
若AB 5 1，直接写出 BH的长．
H G
C
D
A型相似，如△APQ∽△ACD
X型相似，如△OQE∽△ODC
1、了解正五边形的构成 小组讨论，小结后展示
（5）正五边形的边分割数（小组探讨证明方法， 并展示）
教师引导 2、教师引导学生将几何问题转化为正五边形中的基 本图形问题
问题：如图，正五边形ABCDE中， （1）AC与BE交于点P，
通过前一个专题“正六边形为背景的相似问题”的研究， 我们知道要研究正五边形中的相似，我们必须对正五边形的 构成有所了解。
1、了解正五边形的构成
小组讨论，小结后展示
（1）边：正五边形的五条边都相等，
对角线: 五条对角线都相等
角： 正五边形中的角分三类，五个内 角都相等为108°，其余钝角也 为108°，所有大锐角为72°， 小锐角为36°，每个内角角被对 角线分成三个36°的角；
3 5 sin CBE CE = 2 = 5 1
CB 5 1 4
五、回顾反思、升华提高
通过今天的学习教师提问：
1、你学到了哪些知识？ 2、掌握了哪些方法？ 3、你还有哪些困惑？
六、作业
问题1、下节课我们将研究菱形与相似， 希望同学们类比今天的方法探索菱 形隐藏的相关性质，特别是含60° 角的菱形。
如图，设AC=2，则AB= 5 1 =CP=BQ=DQ，等
PQ=AB —BP= 2 ( 5 1) 3 5 AP=AC— AB=AQ=BP=EQ= 5 1 (3 5) 2 5 4 线段的垂直关系：两个正五边形正对的顶点连线垂直于底边
用圆规和直尺画正五边形和正六边形的方法
用圆规和直尺画正五边形和正六边形的方法以《用圆规和直尺画正五边形和正六边形的方法》为标题，画图可以给我们一个看见自己想象中的形状的机会，在画出正五边形和正六边形时，也可以利用圆规和直尺，来画出你想要的图案。
首先，想要画正五边形，可以利用圆规来划分直线起点，将圆规上的标尺刻度调整到72度，然后从第一条直线的起点开始画，在每一条线段中，直到画完五边形为止。
每条线段之间间隔72度，直到最后一条线段，这样就可以画出正五边形了。
然后，想要画正六边形，可以利用直尺来划分直线起点，先将直尺上的标尺刻度调整到120度，然后从第一条直线的起点开始画，在每一条线段中，直到画完六边形为止。
每条线段之间间隔120度，直到最后一条线段，这样就可以画出正六边形了。
此外，为了画出完美的正五边形和正六边形，可以利用圆规和直尺作为尺子，用正确的长度来画直线，这样就可以画出边缘无缝通顺的正五边形和正六边形了。
此外，若要画出正五边形和正六边形，还可以利用其它规格的工具。
比如，可以使用圆心和尺子、铅笔和尺子，先将铅笔放在固定的位置，然后再使用尺子来划分每条线，绘出图案。
另外，也可以利用圆角尺将圆心放在固定的位置，再依次把图案画出来，这样也是一种有效的画图方法。
总之，想要画出正五边形和正六边形，可以利用圆规或直尺、圆心和尺子、铅笔和尺子、圆角尺等工具，用不同的方式来画图，这样
就可以画出边缘无缝通顺的正五边形和正六边形了。
正五边形的周长优秀教学设计
正五边形的周长优秀教学设计简介本教学设计旨在帮助学生掌握正五边形的性质和计算周长的方法。
通过引入有趣的活动和示例，激发学生的兴趣和参与度，提高他们的研究效果。
教学目标- 理解正五边形的定义和性质；- 掌握计算正五边形周长的公式；- 运用所学知识解决实际问题；- 培养学生的合作能力和创造力。
教学过程第一步：导入- 引入正五边形的概念，并展示一张正五边形的图片；- 引发学生的好奇心，让他们猜测正五边形的一些性质。
第二步：讲解性质和公式- 通过简单的语言和示意图，向学生介绍正五边形的定义和性质；- 解释正五边形的每个边和角的特点，并引导学生自己发现规律；- 讲解计算正五边形周长的公式：周长 = 边长 × 5。
第三步：活动与练- 将学生分成小组，每个小组领取一些贴画；- 要求学生利用贴画组装一个正五边形，并测量其中一条边的长度；- 让学生使用公式计算出正五边形的周长；- 鼓励学生展示他们的成果，并相互讨论解决方法。
第四步：拓展应用- 给学生提供一些实际问题，例如用正五边形制作一块玩具的边框；- 让学生根据实际情景设计解决方案，并计算周长；- 学生可以通过绘制草图或模型来展示他们的创意。
教学评估- 观察学生在活动中的表现和回答问题的能力；- 评估学生组装正五边形和计算周长的准确性；- 收集学生提出的问题和解决方案，以评估他们的理解程度和创造力。
教学资源- 正五边形的图片和示意图；- 贴画和测量工具；- 实际问题的描述和示例。
结论通过以上教学设计，学生将能够深入理解正五边形的性质，并掌握计算周长的方法。
培养学生的团队合作能力和创造力，以及应用所学知识解决实际问题的能力。
不仅提高了学生的数学水平，还激发了他们对数学的兴趣和学习动力。
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一
中学数学 教学参考 ， ２ ０ １ １ （ ７ ） ： ５ ０ — ５ １ ．
１ — ２Байду номын сангаас６
数 学教 学
２ ０ １ ３ 年第 １ 期
情形一： 相等的三个 内角顺次相邻． 如图 ｌ 。 在五边 形 Ａ ＢＣＤＥ中， Ｂ ＝ ＢＣ ＣＤ ＝ ＤＥ ＝ ＥＡ， 且 Ｂ ＝ Ｃ ＝ Ｄ， 则 五边 形 Ｂ ＤＥ是 正 五 边 形 ． 证 明 ： 连 结 ＡＤ，并 延 长 ＡＢ、Ｄ 交 于 点 ， 由 已知 即得 ＢＭ ＝ＣＭ ， 由于 Ｂ＝ＣＤ，
在 思考， 再添 加什么样 的条件 就 能使答 案确定
了呢 ？
截面 ／ ｋ Ｏ ＰＱ的距离 为 ｔ ， 截面 右侧 的图形 的体 积为 ｆ （ ｔ ） ． 试求函数 ㈤ 的解析式 ．
Ｄ
图６
当 问题提 出来 以后， 很多 同学马上投入 到 紧张 的探 究之 中， 大 约过 了 １ ５ 分钟左 右， 有几 位 同学做 出来 了， 但结 果却 不一样 ， 有 的 同学 在 下 面 小 声 的 嘀 咕 着 ：“ 我 没 有解 错 呀” ，“ 为 什 么 我 们 的 答 案 不 一 样 呢 ？” ，“ 难 道 是 题 目错
＝
所以 Ｍ ＝ ＤＭ ，则Ａ Ｄ／ ／ Ｂ Ｃ，即 四 边 形
Ａ ＢＣ Ｄ 是 等 腰 梯 形，故 四边 形 ＡＢ ＣＤ 内接 于 圆． 同理，四边 形 ＢＣ Ｅ也 内接 于 圆， 所 以 五 边 形 Ｂ Ｄ 内 接 于 圆，于 是 五 边 形 ＡＢＣＤ 是 正 五 边 形 ． 情 形 二： 相 等 的三 个 内角 只有两 个是相 邻的． 如 图２ ，在 五 边 形 ＢＣ ＤＥ 中，Ａ Ｂ ：
且三条对角线相等 的五边形是正五边形． 潘老师 是从对角线 的角度 去探 究 的， 笔者
想 ，能否 直 接 弱 化 其 中 的边 角 条 件 呢 ？ 于 是 有 了下 面 的思 考 过 程 ．
先弱 化 内角条 件， 很 显然， 有 五条 边相 等 且 四个 内角相 等 的五边形 是正五边 形， 如果把 相 等 内角个 数减 少为三 个 呢 ？答 案是 肯定 的．
最 后 两个 问题 是在 老 师 的引 导下 学生 自 己提 出的， 这 样不仅可 以培养 学 生提 出问题 的 能力， 还 能 提 高 学 生 类 比能 力 ．上 述 两 问题 不 只是平面 到空 间的简单类 比， 而且在 问题解决 过程 中会 遇到不少 新 问题， 如面积计算 到体积 计算 的转 化， 特 别是 最后一 个 问题 的提 出， 对 学 生 的探 究 能 力 要 求 较 高 ， 而 这 些 问题 的解 决 又有利于提高学生的探究能力和创 新意识等 ． 从 以上 的探 究过 程 中， 还 可 根 据 学 生 的 实 际情况 ， 继 续 设 计 一 些 问题 探 究 ， 如 改 变 截 面／ Ｘ Ｏ ＰＱ的位 置等 ， 这 些可 以让 学 生在课 余 时 间加 以解 决 ． 参 考 文 献 ｆ １ ］刘 瑞 美． 对 课 本 习 题 的数 学 探 究 个 案『 Ｊ ］ ． 数学教学， ２ ０ １ １ （ ７ ） ： １ ４ — １ ７ ． ｆ ２ １黄 元 华． 圆锥 曲线 的一 组 生 成 方 式 道 课本 习题 引发 的探 究性学 习 ． 数 学 通报 ， ２ ０ １ １ （ ６ ） ：２ ４ —２ ６ ． 『 ３ １ 魏俊． 课 本例题 的变 式设计及 思考 ．
Ｂ ： Ｄ ＝ Ｄ Ｅ ＝ Ｅ ， 且 Ａ ＝ Ｃ ＝ Ｄ ，
图３
图４
若 ＺＢ ＝ ＺＥ ＝ １ ０ ８ 。 ，则 利 用 图 ４ 可 得 △ＡＢ 与 △ Ｄ 均 为 等 腰 三 角 形 ，且 顶 角
均为 １ ０ ８ 。 ． 若令五边形边长为ａ ，由黄 金 等 腰 三 角 形性 质 得 Ｃ ： ＡＤ ＝ ： ０ ，即
、 ／ ５— １
．
１
： Ｄ ： Ｃ Ｄ＝１ ： １ ： 金等腰三角形 ， 所 以
， 故 ＡＡ ＣＯ是黄 Ｄ：３ ６ 。 ， 则Ｚ ＢＡ Ｅ：
则 五 边 形 ＡＢＣＤＥ 是 正 五边 形 ．
２ ０ １ ３ 年第 １ 期
数 学教学
１ － ２ ５
正 五边 形 判 定方 法 的探 究
３ １ ５ ３ ０ ０ 浙江省 慈溪实验 中学 华漫天
今年 暑假， 笔者有 幸聆听 了潘 小梅老 师的 讲座 《 初 中数 学综合 与实践研 究》， 其 中提 到 了一个课例 《 正五边 形的判定方 法》， 获益 匪 浅．潘 老 师 从正 三 角形 与 正方 形 的判 定定 理 出发， 进 而提 出： 我们 知道， 五条边相等且 五个 内角 也 相 等 的五 边 形 是 正 五 边 形 ， 那 么， 能 否 把其 中的条件弱化 ， 得 出 正 五 边 形 的 判 定 方 法 呢 ？潘老师 的结论 是： 五条边相 等且三条对角 线相等的五边 形是正五边形 或者五个 内角相等
了 ？”
为 了 能达 到 探 究 的 目的 ， 笔 者 进 行 了适 时 的 引 导 ：我 们 先 来 分 析 一 下 实 际 上 ， 垂 直 于
底面且 到点 Ｂ 的距离为 ｔ 的截面应该是不 固定
的， 因此函数 ｆ （ ｔ ） 是不确定的， 因此本题是没
有确 定答 案 的．从命 题学 的角度来 说， 此题 应
可分下列两种情形：
而 ＿ Ｏ Ｐ Ｑ＝
所
一
该是一道错题， 但 能提 出 问题 应 该 是 了不 起 的 ， 提 出 问题 往 往 比解 决 问题 更 难 ． 至 此， 对 本题 的探 究还在 继续 ， 有 的同学
ｔ ３ （ ０ ≤ ≤ ３ ／
探究５ 如图６ ，四 面 体 ＡＢＣＤ 是 边 长 为 ２的 正 四面 体 ， 设 点 Ｂ 到 垂 直 于 底 面 ＢＣＤ 的