专题04 函数的零点与方程的根的解题方法 Word版 含答案 决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱
专题04函数的零点与方程的根的解题方法-名师揭秘高考数学(文)命题热点全覆盖(教师版)
专题04 函数的零点与方程的根的解题方法本专题特别注意：一．命题类型：1.零点与整数解；2.二分法；3.分段函数的零点；4.零点范围问题；5.零点个数问题；6.零点与参数；7.零点与框图；8.二次函数零点分布问题；9.抽象函数零点问题；10.复合函数零点问题；11.函数零点与导数；12.零点有关的创新试题。
二．【学习目标】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．2．利用函数的零点求解参数的取值范围【知识要点】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有________．(3)函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布（一）零点与整数解；例1．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是()A．函数f(x)在区间内一定有零点B．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是C．函数f(x)在内无零点D．函数f(x)在区间或内有零点【答案】B点睛：本题主要考查二分法的定义，属于基础题．已经知道零点所在区间，根据二分法原理，依次“二分”区间，零点应存在于更小的区间，而不是更大的区间。
这样就可以断定ACD是错误的。
故可以得到结论。
练习1.【河北定州2019模拟】设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当直线令，,函数在上为减函数，在上为增函数，当时，取得极小值为，时，，当时，，若存在唯一的整数，使得，即，只需解得： ，选D.练习2.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x 2﹣2x ﹣3，求当x≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】A【解析】由函数为奇函数可知当x≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数与0x ≥时()0f x ≤的个数相同，由奇函数可知()00f =，由得，所以整数解为1,2，3，所以满足题意要求的整数点有4个（二）二分法；例2．下面关于二分法的叙述中，正确的是 ( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D ．只能用二分法求函数的零点 【答案】B【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误； 二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C 错误； 求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D 错误．故选B .练习1.已知函数，设，且()F x 的零点均在区间(,)a b 内，其中a ,b Z ∈，a b <，则()0F x >的最小整数解为（ ） A ．1- B ．0 C ．5- D ．4-【答案】D【解析】，所以函数在()1,0-内有零点，且在区间()1,0-上，，函数递增，故只有唯一零点，()f x 左移4个单位得到()F x ，依题意，函数()F x 所有零点都在区间()5,4--上，所以使得()0F x >的最小整数为4-. 考点：函数图象平移与零点.【思路点晴】本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于，所以函数()F x 的图像是有函数()f x 的图像向左平移4个单位所得.由于()F x 零点都在某个区间上，所以函数()f x 的零点也在某个区间上.利用二分法的知识，计算的值，，且()'0f x >函数递增，有唯一零点在区间()1,0-，左移4个单位就是()5,4--.（三）分段函数的零点；例3.已知函数，若关于x 的方程有8个不等的实数根，则a 的取值范围是A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．（2, 94） 【答案】D【解析】函数，的图象如图：关于x 的方程有8个不等的实数根， ()f x 必须有两个不相等的实数根，由函数()f x 图象可知12f x ∈（）（，），令t f x =（），方程化为：， 23a t t =-+，开口向下，对称轴为： 32t =，可知： a 的最大值为：， a 的最小值为2， 92]4a ∈（，，故选D.练习1．函数的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】由得零点个数为2,选B.（四）零点范围问题；例4．【哈六中2019模拟】设函数，若方程恰好有三个根，且，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意,则，画出函数的大致图象：由图得,当时,方程f (x )=a 恰好有三个根,由得,由得， 由图知,点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，∴,则，即的取值范围是[,)，故选B.点睛：函数中方程问题，是高考经常涉及的重点问题， （1）转化为函数的零点问题，研究函数的图象；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.练习1.已知函数，且存在不同的实数123,,x x x ，使得，则123x x x 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．()1,2C ．()0,2D ．()1,3 【答案】A【解析】函数，画出()x f 的图象如图所示，作出直线t y =，当21<<t 时，直线与()x f 图象有三个交点，横坐标由小到大，设为1x ，2x ，3x ，令，即，则有121-=⋅t x x ，令t x =-22，得到，即有，令，()2,1∈t ，01>-t ，t 越大其值越大；，t 越大其值越大，则有，故选A ．（五）零点个数问题；例5．【湖北2019模拟】定义在R 上的奇函数()f x 满足①，②，③[]0,1x ∈时，则函数的零点个数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】由①②可知,f (x )是周期为2的奇函数,又x ∈[0,1]时,，可得函数f (x )在R 上的图象如图，由图可知,函数y =f (x )−log 3|x |的零点个数为6个， 本题选择C 选项.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 练习1.关于x 的方程有三个不同实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()3,+∞C ．(0, 3 )D ．(),3-∞ 【答案】B【解析】,即为22a x x=+， 设,导数，当1x >时,在(1,+∞)递增；当0,x <或01x <<时,在(−∞,0),(0,1)递减。
(教案)函数的零点与方程的解Word版含答案
第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.1函数的零点与方程的解教学设计一、教学目标1.了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.2.理解函数零点存在定理：了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间，达到直观想象、数学抽象核心素养学业质量水平一的层次. 二、教学重难点 1.教学重点理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法. 掌握函数零点存在定理并能应用. 2.教学难点数形结合思想，转化与化归思想的培养与应用. 函数零点存在定理的理解. 三、教学过程 （一）新课导入观察下列三组方程与函数：方程函数2230x x --=223y x x =-- 2210x x -+= 221y x x =-+ 22+30x x -=22+3y x x =-大家利用函数图像探究方程的根与函数图像与x 轴的交点之间的关系.教师以第一题为例阐述二者之间的关系，方程2230x x --=的根为-1和3，函数223y x x =--的图像与x 轴交于点（-1,0），（3,0）.学生思考回答下面两组关系.学生：2210x x -+=有两个相等的实根为1，函数221y x x =-+的图像与x 轴有唯一的交点（1,0）.22+30x x -=没有实根，函数22+3y x x =-的图像与x 轴无交点.教师讲解：由方程与函数的关系，接下来我们开始学习今天的内容. 探究一：零点的概念教师讲解:我们通俗地称函数图象与轴交点的横坐标为函数的零点，请同学们归纳函数零点的定义.学生思考并归纳：零点的概念：对于一般函数y =f （x ），我们把使f （x ）=0的实数x 叫做函数y =f （x ）的零点. 提问：考察函数（1）lg y x =；（2）2log (1)y x =+；（3）2x y =；（4）22xy =-的零点.学生思考回答：（1）零点是x =1；（2）零点是x =0；（3）没有零点；（4）零点是x =1. 教师引导学生思考归纳函数的零点与方程的根的关系：方程f （x ）=0有实数根⇔函数y =f （x ）的图像与x 轴有交点⇔函数y =f （x ）有零点. 探究二：二次函数零点的判定提问：我们已经知道了函数的零点与方程的根的关系，那么对于二次函数来说，方程有一个根，说明函数有一个零点，方程有两个根，说明函数有两个零点；那么大家思考：二次函数的零点与一元二次方程的根的判别式之间有什么关系呢?学生思考并由教师归纳总结：二次函数零点的判定.对于二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=，其判别式2Δ4b ac =-.师：大家思考下列问题：（1）如何求函数的零点?（2）函数零点与函数图像的关系怎样?学生回答，教师点评.生：（1）零点即函数值为零时对应的自变量的值，求零点可转化为求对应方程的根.（2）零点即函数图像与x 轴交点的横坐标.探究三：函数零点存在定理提问：探究函数245y x x =+-的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况?教师引导学生思考解决.师：利用图像观察零点所在区间，区间端点一般取整数.生：零点-5(6,4)∈--，零点1(0,2)∈，且(6)(4)0,(0)(2)0f f f f --<⋅<. 师：那么其他函数的零点是否具有相同规律呢? 观察下列函数的零点及零点所在区间： （1）()2 1.f x x =- （2）2()log (1)f x x =-.生：（1）函数()2 1.f x x =-的零点为12且(0)(1)0f f <，所以零点所在区间为（0,1）； （2）函数2()log (1)f x x =-的零点为2，2(1,3)∈且(1)(3)0f f <，所以零点所在区间为（1,3）.教师讲解，由特殊到一般，由此我们可以归纳出函数零点存在定理.如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f （a ）f （b ）<0，那么，函数()y f x =在区间（a ，b ）内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得f （c ）=0，这个c 也就是方程f （x ）=0的解.师生合作分析，并剖析定理中的关键词： （1）连续不断；（2）f （a ）f （b ）<0.教师讲解：由于函数图象连续不断，若f （a ）>0，f （b ）<0，则函数y = f （x ）的图象将从x 轴上方变化到下方，这样必通过x 轴，即与x 轴有交点.对定义的进一步理解：（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点；（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号；（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数.例题：函数2()2f x x ax =-+在（0,3）内（1）由2个零点（2）有1个零点，分别求a 得取值范围.学生求解：（1）()f x 在（0,3）内有两个零点，则(0)0(3)0Δ0032f f a >⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<-<⎪⎩622a ⇒-<<-；（2）()f x 在（0,3）内有一个零点，则(0)0(3)0f f >⎧⎨<⎩113a ⇒>.通过实例分析，进一步理解定理. （三）课堂练习例1.求函数3222y x x x =--+的零点，并画出他们的图像.解：因为3222x x x --+()22(2)(2)(2)1(2)(1)(1)x x x x x x x x =---=--=--+，所以这个函数的零点为-1，1，2.这三个零点把x 轴分为4个区间：(,1],[1,1],[1,2],[2,)∞∞---+. 在这4个区间内，取x 得一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表. x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y…-4.381.8821.13-0.632.63…在直角坐标系中描点连线，这个函数的大致图像如图：例2.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根?2(1)350x x -++=；(2)2(2)3x x -=-；2(3)44x x =-； 22(4)5235x x x +=+.解：（1）令2()35f x x x =-++，做出函数()f x 的图像，它与x 轴有两个交点，所以方程2350x x -++=有两个不相等的实数根.（2）2(2)3x x -=-可以化为22430x x -+=，令2()243f x x x =-+，作出函数()f x 的图像，它与x 轴没有交点，所以方程22430x x -+=没有实数根.（3）244x x =-可化为2440x x -+=，做出函数()f x 的图像，它与x 轴有一个交点，所以方程244x x =-有两个相等的实数根.（4）225235x x x +=+可以化为22250x x +-=，令2()225f x x x =+-做出函数()f x 的图像，它与x 轴有两个交点，所以方程22250x x +-=有两个不相等的实数根. （四）小结作业 小结：本节课我们主要学习了哪些内容? 1.数学知识：零点的概念、求法以及判定.2.数学思想：函数与方程的相互转化，即转化思想；借助图象探寻规律，即数形结合思想. 四、板书设计1.零点的概念、求法以及判定.2.函数与方程的相互转化，借助图象探寻规律.。
高中数学方程的根和函数的零点题型及解析
高中数学方程的根和函数的零点题型及解析一、知识点（总结）1、函数零点的定义对于函数 y = f(x) ，我们把使 f(x) = 0，的实数 x叫做函数 y = f(x) 的零点 .2、方程的根与函数的零点之间的关系（等价关系）方程 f(x) = 0 的实数根等价于函数 y = f(x) 的零点等价于函数 y = f(x) 的图象与 x 轴交点的横坐标 .3、一元二次方程ax^2 + bx + c = 0 (a≠0) 的根与二次函数y = ax^2 + bx + c (a≠0) 的图像之间的关系：注：a>0!方程的实数根就是对应函数图像与 x 轴交点的横坐标 .4、结论方程 f(x) = 0 有实数根等价于函数 y = f(x) 的图像与 x 轴有交点等价于函数 y = f(x) 有零点5、函数零点判定定理如果函数 y = f(x) 在区间[a , b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)▪f(b) < 0="">,那么函数 y = f(x) 在区间 (a , b) 内有零点，即存在c∈ (a , b) , 使得 f(c) = 0 ,这个c也就是 f(x) = 0 的根.注：①该定理能确定函数 f(x) 在 (a , b) 内有零点，但零点不一定唯一；②若函数 f(x) 在 [a , b] 上的图像是连续不断的，且是单调函数，f(a)▪f(b) < 0="">,则函数 f(x) 在区间 (a , b) 上有唯一的零点 .6、函数零点个数判断方法①几何法：作出函数的图像，找出零点；②代数法：求方程 f(x) = 0 的实数根 .注：“方程的根”与“函数的零点”尽管联系密切，但不能混为一谈！例：方程 x^2 - 2x + 1 = 0 在 [0 , 2] 上有两个相等的实数根，而函数 y = x^2 - 2x + 1 在 [0 , 2] 上只有一个零点！二、题型（总结）1、求下列函数的零点三、参考资料函数的连续性导数与微分。
方程的根与函数的零点
函数 y =f (x) 有零点
3、零点存在性定理
如果函数y f ( x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的 一条曲线,并且有f (a) f (b) 0, 那么,函数y f ( x)在 区间(a, b)内有零点,即存在c (a, b),使得f (c) 0, 这个 c也就是方程f ( x) 0的根.
3.1.1 方程的根与函数的零点
第1课时
中外历史上的方程求解
《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数 三次方程的求根方法。
19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一 般方程没有根式解。
一、基上础述知方识程讲的解不相等的根的个数和对应的函数图象与
x 轴交点的个数0相同。 0
0
方程方程xf2(x)=20x的 3实数0根就x2是相2x应函1 数0图象x与2 x2轴x的交3 点0
y A、
B、 y
O 1 2 345 x
O 1 2 345 x
C、 y
D、 y
O 1 2 345 x
O 1 2 345 x
例3、已知f ( x) x2 7 x 12，求该函数的零点个数. 解：令f ( x) 0得 即 x2 7 x 12 ( x 3)( x 4) 0 方程x2 7x 12 0有两个不相等的实数根：3, 4； 函数有两个零点，分别是3, 4. 法2： (7)2 4 12 1 0 方程x2 7x 12 0有两个不相等的实数根；
零点不是
点，是数
5 4 O
45 x
三、基础知识讲解
函数 y = x2- 2x - 3
图象
区间 (a,b)
y
(-2 , 0)
(0 , 2)
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练04 函数的图象、零点及应用(含解析)
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题04 函数的图象、零点及应用考点1 作函数的图象 1.作出下列函数的图象． (1)y ＝⎩⎨⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2；【解析】(1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x ＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．考点2 识图与辨图2.已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )【答案】D【解析】法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.3．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高三模拟）函数()21xy x e =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()21xy x e =-，则()21xy x e '=+，1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+<，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+>，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，且12x <时，()210xy x e =-<，所以BCD 均错误，故选：A.4．（2021·吉林高三模拟）函数()6cos 2sin xf x x x=-的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数()6cos 2sin xf x x x=-为奇函数，所以排除选项BC ，又当0x >时，()f x 第一个零点为2x π=，所以令4x π=，则有222sin 0,cos0242x x ππ--=>=>，所以排除D.故选：C 考点3 函数图象的应用 考向1 研究函数的性质5.已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【答案】C【解析】将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．6．（2021·山东烟台高三模拟）设函数()2,01,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．()0,∞+ C ．()1,0- D ．(),0-∞【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示：所以，函数()f x 在(),0-∞上为减函数，且当0x ≥时，()1f x =， 因为()()12f x f x +<，观察图象可得2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是(),0-∞.故选：D. 考向2 求不等式解集7.若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2] B.)1,22(C ．(1，2) D ．(2，2) 【答案】A【解析】要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．8.（2021·甘肃省会宁县第一中学高三模拟）已知)(f x 在R 上是可导函数，)(f x 的图象如图所示，则不等式)()(2230x x f x '-->解集为（ ）A ．)()(,21,-∞-⋃+∞B ．)()(,21,2-∞-⋃C ．)()()(,11,02,-∞-⋃-⋃+∞D ．)()()(,11,13,-∞-⋃-⋃+∞ 【答案】D【解析】原不等式等价于()22300x x f x '⎧-->⎪⎨>⎪⎩或()22300x x f x '⎧--<⎪⎨<⎪⎩，结合)(f x 的图象可得，3111x x x x ><-⎧⎪⎨-⎪⎩或或或1311x x -<<⎧⎨-<<⎩，解得1x <-或3x >或11x -<<．故选：D ． 考点4 函数图象对称性的应用9.已知lga ＋lgb ＝0，函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图像可能是( )【答案】B【解析】∵lga ＋lgb ＝0，∴lgab ＝0，ab ＝1，∴b ＝1a .∴g(x)＝－log b x ＝log a x ，∴函数f(x)与g(x)互为反函数，图像关于直线y ＝x 对称，故选B.10．（2021·云南高三模拟）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为1B ．函数()f x 在()0,2021内单调递增C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2D ．函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点 【答案】D【解析】由()()11f x f x =+-得：()()2f x f x +=，()f x ∴最小正周期为2，A 错误； 当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，又()f x 为R 上的奇函数，则()00f =， 可得()f x 大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 在()0,2021上没有单调性，B 错误；()f x 的对称中心为()()0,k k Z ∈，则相邻的对称中心之间距离为1，C 错误；()ln y f x x =+在区间()0,2021内的零点个数等价于()f x 与ln y x =-在()0,2021内的交点个数，在平面直角坐标系中画出()f x 与ln y x =-大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 与ln y x =-在每个()()2,22k k k Z +∈内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于21k +，∴两个函数在()0,2021内有1010个交点，即()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点，D正确.故选：D.11．（2021·山东淄博高三模拟）已知函数()y f x =的定义域为{|0}x x x ∈≠R ，，且满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()()0f x f x --=得函数()f x 为偶函数，排除A 、B 项， 又当0x >时，()ln 1f x x x =-+，∴(1)0f =，()20f e e =-<.故选:D 考点5 判断函数零点所在的区间12.设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间)1,1(e，(1，e)内均有零点B ．在区间)1,1(e，(1，e)内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D【解析】法一：图象法 令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图， 显然y ＝f (x )在)1,1(e内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈),1(e e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在),1(e e 上单调递减．又f )1(e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．13．（2021·黑龙江高三模拟）函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（）A ．()1,2B ．()1,0-C ．()0,1D ．()2,1--【答案】D【解析】如图，绘出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数29y x =+的图像，结合图像易知，函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是()2,1--，故选：D.考点6 判断函数零点(或方程根)的个数14.(2021·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解方程法，令f (x )＋3x ＝0， 则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.15．（2021·山东潍坊高三模拟）已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（ ） A ．()1,0- B ．[]1,0-C ．（0，1）D ．[]0,1【答案】C【解析】因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点．作出函数()y f x =图象，由图可知，实数m 的取值范围是(0,1)．故选：C ．16．（2021·浙江镇海中学高三模拟）函数4()log (||1)cos f x x x π=+-的零点个数为（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】令()4log (||1)x g x =+ ，因为10x +>恒成立，则()g x 的定义域为R ， 由()()44log (||1)log (||1)x g x x g x --+=+==，所以()g x 为偶函数， 当0x >时，()4log (1)g x x +=，在()0,∞+上单调递增，令()cos h x x π=， 分别画出()g x 与()h x 的函数图象，由图可知，()g x 与()h x 有六个交点， 即函数4()log (||1)cos f x x x π=+-有六个零点.故选: D.考点7 函数零点的应用 考向1 根据零点的范围求参数17.若函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2) 【答案】C【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a －3)<0，解之得0<a<3.18．（2021·浙江高一期末）已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞【答案】A【解析】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2f -=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点.故选：A.19．（2021·江西高三模拟）设函数,10()11,01(1)x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,{0}4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】因为()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩所以(),1011,011x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，其图象如下：函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，等价于()40f x t -=在区间()1,1-内有且仅有一个实数根，又等价于函数()y f x =的图象与直线4y t =在区间()1,1-内有且仅有一个公共点. 于是41t ≤-或40t =，解得14t ≤-或0t =.故选：D 考向2 已知函数零点或方程根的个数求参数20．（2020·湖南高三模拟）已知函数2141,0()1,02x x x x f x x +⎧-+≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()g x f x a =-恰好有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0,1) B ．(0,1)C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由条件可知()0f x a -=()a f x ⇒=()()g x f x a =-恰好有3个零点，等价于y a =与()y f x =有3个交点，如图画出函数的图象，由图象可知112a <≤.故选：D21.(2021·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】]2,41[-【解析】∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝2)412(-x －14，∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈]2,21[，∴2)412(-x －14∈]2,41[-∴实数a 的取值范围是]2,41[-考点8 用函数图象刻画变化过程22.甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ 【答案】B【解析】由题知速度v ＝st 反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．23．（2021·重庆高三模拟）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，xhr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒=⋅，而,,r H v 都是常数，即2323H v r π是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h tr π=⋅，203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=⋅>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A 24．（2021·浙江高三模拟）如图，设有圆O 和定点C ，当l 从0l 开始在平面上绕O 匀速旋转（旋转角度不超过90︒）时，它扫过圆内阴影部分面积S 是时间t 的函数，它的图像大致是如下哪一种（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当直线l 从初始位置0l 转到经过点C 的过程中阴影部分面积增加的越来越快，图像越来越“陡峭”；l 从过点C 的位置转至结束时阴影部分面积增加的越来越慢，图像越来越“平缓”，故选：C.考点9 应用所给函数模型解决实际问题25.某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元 【答案】A【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.26．（2021·湖南高三期末）某工厂8年来某种产品年产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年到第八年每年的年产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 【答案】②④【解析】由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确； 第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确； 综合所述，正确的为：②④. 故答案为：②④.27．（【百强校】福建师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题）如图所示，边长为 1的正方形PABC 沿 x 轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B 恰好能经过原点．设动点P 的纵坐标关于横坐标的函数解析式为()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x = 是偶函数； ②()y f x =是周期为 4 的函数；③函数 ()y f x =在区间[10，12] 上单调递减； ④函数 ()y f x = 在区间[1，1] 上的值域是[1，2] 其中判断正确的序号是_______．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①②④【解析】当2x 1-≤<-时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆当1x 1-≤<时，P 的轨迹是以B 为圆心，半径为2的14圆 当1x 2≤<时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆当2x 3≤≤时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆 故函数的周期为4因此最终构成图象如下所示：①根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数；故正确②由图可得()f x 的周期为4，故正确③函数()y f x =在区间[2，4]上为增函数，故在区间[10，12]上也是增函数，故错误 ④在区间[1，1]上的值域是[1，2]，故正确 综上，正确的序号是①②④考点10 构建函数模型解决实际问题 考向1 构建二次函数模型28.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计) 【答案】2 500【解析】设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )． 当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)．29．（2021·四川高三模拟）某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为6元，即最初3km （不含3km ）计费6元.若某人乘坐该市的出租车去往13km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为_____. 【答案】19.2【解析】乘车距离为x km ，车费为y 元，由题意得：6,036 1.2,346 1.22,456 1.23,56x x y x x <<⎧⎪+≤<⎪⎪=+⨯≤<⎨⎪+⨯≤<⎪⎪⎩， 所以当13x =时，()6132 1.219.2y =+-⨯=元，所以他需要支付的车费为19.2元，故答案为：19.230（2021·河南郑州一中高三模拟）在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，x =（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】A【解析】不妨设投产后的累计收入2y ax bx c =++，则100.520242304.593a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1,100,02a b c ===， 211002y x x ∴=+， ∴改造后累计纯收入为215001005002y x x -=+-， 不改造的累计纯收入为()10020x -，令()21100500100202x x x +->-， 即212050002x x +->， 解得201014x >-+201014x <--，20101417.4x ∴>-+，x N *∈，x 的最小值为18.故选：A 考向2 构建指数函数、对数函数模型31.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况【答案】B【解析】设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．32.声强级1L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭.若普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ） A ．610倍B ．510倍C ．410倍D ．310倍【答案】B【解析】设普通列车的声强为1I ，高速列车的声强为2I ，因为普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，所以1129510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2124510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()11129510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得12.5lg I -=，所以 2.5110I -=， ()22124510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得27.5lg I -=，所以7.5210I -=， 两式相除得 2.5517.52101010I I --==， 则普通列车的声强是高速列车声强的510倍.故选：B.33．（2020·重庆市酉阳第一中学校高三月考）为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：22112.51g E m m E -=-，联系两个天体的星等1m ､2m 和它们对应的亮度1E ､2E .这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是1.26，猎户星座的“参宿一”星等是1.76，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（ ）倍.（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.567B ．1.568C ．1.569D ．1.570 【答案】B【解析】设“十字架三”的星等是1m ，“参宿一”的星等是2m ，“十字架三”的亮度是1E ，“参宿一”的亮度是2E ，则1 1.26m =，2 1.76m =，设12E rE =， 两颗星的星等与亮度满足22112.51gE m m E -=-， 211.76 1.26 2.51g E E ∴-=-，0.21210E E =0.22101 2.30.2 2.7(0.2) 1.568r ∴=≈+⨯+⨯=，∴与r 最接近的是1.568，故选B ． 考向3 构建分段函数模型34（2021·广东江门市·高三模拟）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为___________小时．【答案】7916【解析】当01t ≤≤时，函数图象是一个线段，由于过原点与点()1,4，故其解析式为4,01y t t =≤≤，当 1t ≥时，函数的解析式为12t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()1,4M 在曲线上，所以1142a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得 3a =， 所以函数的解析式为31,12t y t -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭， 综上，34(01)()1(1)2t t t y f t t -≤<⎧⎪==⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意有340.2510.252t t -≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1165t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，所以1516t ≤≤， 所以服药一次治疗疾病有效的时间为17951616-=个小时，故答案为：7916． 35．（2020·福建三明市·三明一中高三期中）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是21300,0300()245000,300x x x P x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≥⎩，则总利润最大时店面经营天数是__________，最大总利润是__________．【答案】200 10000元【解析】由题意，0300x ≤<时，221130010010000(200)1000022y x x x x =---=--+，200x ∴=时，10000max y =；300x ≥时，4500010010000350001005000y x x =--=-≤，200x ∴=天时，总利润最大为10000元 故答案为：200, 10000元。
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点1. 引言在数学中，方程的根和函数的零点是非常重要的概念。
它们在代数、微积分、几何等多个领域中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍方程的根和函数的零点的概念及其在数学中的应用。
2. 方程的根2.1 什么是方程的根？方程是通过等号连接的两个算式，其中包含一个或多个未知数。
方程的根指的是能够使方程等式成立的未知数的取值。
比如，对于一元二次方程ax2+bx+c=0来说，方程的根就是使等式成立的x的值。
2.2 方程的根的分类根据方程的次数和复数域中的性质，方程的根可以分为以下分类：•一元一次方程：ax+b=0，其中a eq0。
该方程的根为$x=-\\frac{b}{a}$。
•一元二次方程：ax2+bx+c=0，其中a eq0。
该方程的根可以通过求解二次方程的判别式来得到：–当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。
–当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根。
–当b2−4ac<0时，方程有两个共轭复根。
•一元三次方程、一元四次方程以及更高次的方程，求解根的方法相对复杂。
2.3 方程根的性质方程根的性质是研究方程的重要内容之一。
以下是一些常见的方程根的性质：•一元一次方程的根：即线性方程ax+b=0的根，其中a和b为常数。
该方程的根为 $x=-\\frac{b}{a}$。
由此可见，一元一次方程的根只有一个，且是唯一的。
•一元二次方程的根：即二次方程ax2+bx+c=0的根，其中a、b和c为常数。
根据判别式b2−4ac的值，可以分为实数根和复数根。
当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。
3. 函数的零点3.1 什么是函数的零点？函数是自变量和因变量之间的关系，函数的零点即函数取值为零的点。
对于实数域上的函数f(x)，其零点即满足f(x)=0的x的值。
3.2 函数的零点与方程的根的联系函数的零点与方程的根有很密切的联系。
函数的零点与方程根的关系
函数的零点与方程根的关系
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
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函数的零点与解析式问题及例题解析
函数的零点与解析式问题及例题解析引言函数的零点和解析式问题是数学中常见的重要概念。
本文将介绍函数的零点和解析式问题的基本概念，以及通过例题解析来帮助读者理解和应用这些概念。
函数的零点函数的零点指的是函数取值为零的点。
具体而言，对于一个函数f(x)，如果存在一个实数a，使得f(a)=0，则a称为函数f的零点。
函数的零点在数学和实际问题中具有重要的意义。
一个函数可以有多个零点，也可以没有零点。
通过求解函数的零点可以帮助我们揭示函数的性质和解决实际问题。
常见的求解函数零点的方法包括零点定理、代数方法和数值方法。
解析式问题解析式问题是指通过已知的解析式来分析函数的性质和求解特定问题。
解析式是描述函数的一种抽象表达形式，通常使用符号和变量表示。
通过对解析式进行数学推导和计算可以得到函数的各种性质，例如函数的导数、极值点等。
解析式问题的求解通常需要运用数学方法和技巧，包括代数运算、函数性质的研究和推理、微积分等。
解析式问题在数学建模、物理学、工程学等领域具有广泛的应用，可以解决实际问题并提供深入的数学分析。
例题解析下面通过一些例题来具体说明函数的零点和解析式问题的应用。
例题1：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数f的零点。
解答：要求函数f的零点，即求解方程x^2 - 4x + 3 = 0的解。
通过因式分解或使用求根公式，可以得到方程的两个解为x=1和x=3。
因此，函数f的零点为1和3。
例题2：已知函数f(x) = sin(x)，求函数f的极值点。
解答：要求函数f的极值点，即找到函数f取得最大值和最小值的点。
对于函数f(x) = sin(x)，我们知道sin(x)的最大值为1，最小值为-1。
因此函数f的极值点为x=kπ，其中k为整数。
通过以上例题的解析，我们可以看到函数的零点和解析式问题与数学的相关概念和方法紧密相连，对于理解函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
总结通过本文的介绍，我们了解了函数的零点和解析式问题的基本概念。
专题04+函数的零点与方程的根的解题方法(理)
专题04函数的零点与方程的根的解题方法本专题特别注意：一．命题类型：1零点与整数解；2二分法；3分段函数的零点；4零点范围问题；5零点个数问题；6零点与参数；7零点与框图；8二次函数零点分布问题；9抽象函数零点问题；10复合函数零点问题；11函数零点与导数；12零点有关的创新试题。
二．【学习目标】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．2．利用函数的零点求解参数的取值范围【知识要点】1．函数的零点1函数零点的定义对于函数y＝f，我们把使___________的实数叫做函数y＝f的零点．2方程f＝0有实数根⇔函数y＝f的图象与轴有交点⇔函数y＝f有________．3函数零点的判定如果函数y＝f在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f在区间__________内有零点，即存在c ∈a，b，使得fc＝0，这个c也就是方程f＝0的根．2．二次函数y＝f＝a2＋b＋ca>0零点的分布根的分布m<nm<1<2m<2fm<01<m<1<2<nm<1<n <2，n之间或fm·fn<0（一）零点与整数解；例1．已知函数f在区间0，a上有唯一的零点a>0，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是A．函数f在区间内一定有零点B．函数f在区间或内有零点，或零点是C．函数f在内无零点D．函数f在区间或内有零点【答案】B【解析】根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，在区间内一定有零点，不对，因为有可能在这个区间之外之内，在内无零点，这个是不确定的；在区间或内有零点，这个也是不确定的。
在零点应在或中或f（）＝0这个是有可能的。
故答案为B。
点睛：本题主要考查二分法的定义，属于基础题．已经知道零点所在区间，根据二分法原理，依次“二分”区间，零点应存在于更小的区间，而不是更大的区间。
方程的根与函数的零点 课件
如y＝图|lo所ga示x|(．0<a<1)的图象如图所示．
由图可知，两函数的图象有两个交点，
由图可知，两函数的图象有两个交点，
所以函数 所以函数
yy＝＝22xx||llooggaaxx||－－11
有两个零点． 有两个零点．
[解] 由 f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐标系中分别画出 y＝|2x－2|与 y＝b 的图象，如图所示．
已知 0<a<1，则函数 y＝a|x|－|logax|的零点的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
思路探究：
构造函数fx＝a|x|0<a<1 与gx＝|logax|0<a<1
→
画出fx与 gx的图象
→
观察图象得 零点的个数
B [函数 y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方 程 a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是函数 f(x) ＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点 的个数． 画出函数 f(x)＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的 图象，如图所示，观察可得函数 f(x)＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象 的交点的个数为 2，从而函数 y＝a|x|－|logax|的零点的个数为 2.]
判断函数零点所在的区间
(1)函数 f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )
A．(3,4)
B．(2，e)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
考点04 函数的零点与方程的根(解析版)
考点04 函数的零点与方程的根一、单选题1．已知函数f(x)的图像是连续且单调的，有如下对应值表：则函数f(x)的零点所在区间是（ ）A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)【答案】B【解析】【分析】根据函数f(x)的图像是连续且单调的，(2)(3)0f f ⋅<，即得解. 【详解】因为函数f(x)的图像是连续且单调的，(2)(3)10f f ⋅=-<，所以函数f(x)的零点所在区间是(2,3).故选：B【点睛】方法点睛：判断一个连续函数的零点所在的区间，一般直接利用零点存在性定理解答，即找到区间(,)a b ，且()()0f a f b <即得解.2．函数()34xf x x =+的零点所在的区间是（ ）A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)【答案】B【解析】【分析】结合题中选项，分别计算函数值，根据函数零点存在性定理，即可得出结果.【详解】易知函数()34xf x x =+是增函数，且1(1)430f --=-+<，()010f =>， 由函数零点存在性定理可得，函数()34xf x x =+的零点所在的区间是(1,0)-. 故选：B.【点睛】方法点睛：在判定函数零点所在区间时，一般根据函数零点存在性定理来判断，要求学生要熟记零点存在性定理；另外，在根据判断函数零点时，有时也需要结合函数单调性进行判断.3．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】【分析】函数()f x lnx 2x 6=+-在其定义域上连续，同时可判断f （2）＜0，f （3）＞0；从而可得解．【详解】函数f （x ）＝lnx 2x 6+-在其定义域上连续，f （2）＝ln 2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0，f （3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0；故函数()f x lnx 2x 6=+-的零点在区间（2，3）上，故选B ．【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题．4．方程2221,(0)x x a a -=+>的解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】 将题意转化为22y x x =-的图象与21y a =+的图象交点的个数即可得结果. 【详解】∵0a >，∴211a +>.而22y x x =-的图象如图，∴22y x x =-的图象与21y a =+的图象总有两个交点， 即方程2221,(0)x x a a -=+>的解的个数是2，故选：B.【点睛】本题主要考查了方程根的问题，利用数形结合思想是解题的关键，属于基础题. 5．已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，且关于x 的方程()0f x a -=有两个实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1] B ．(0,1) C ．[0,1] D ．(0,)+∞【答案】A【解析】【分析】当0x ≤时，021x <≤，当0x >时，2log x R ∈，由题意可得，函数()y f x =与直线y a =有两个交点，数形结合求得实数a 的范围．【详解】当0x ≤时，021x <≤，当0x >时，2log x R ∈．所以，由图象可知当要使方程()0f x a -=有两个实根，即函数()y f x =与直线y a =有两个交点，所以，由图象可知01a <≤，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．6．一元二次方程02=+-k kx x 一根大于0，一根小于0，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．(,0)(4,)-∞+∞C ．(,0)-∞D ．(4,)+∞【答案】C【解析】【分析】利用函数与方程的关系，结合二次函数的性质，列出不等式求解即可．【详解】解：方程02=+-k kx x 一根大于0，一根小于0，即函数()2f x x kx k =-+与x 轴有两个交点，且位于0的两侧，所以只需()00f <可得k 0<．故选：C ．【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题．7．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()2f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，若函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-上恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）A ．(]3,5B ．()3,5C ．D ． 【答案】C【解析】【分析】判断出()f x 的周期，由()g x 在区间()1,3-上的零点个数，结合图象列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，可求得[]1,0x ∈-，函数()()31x f x f x -=-=-，()()2f x f x -=，即周期为2，又由函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-恰有3个不同的零点，即函数()y f x =与()log 2a y x =+的图象在区间()1,3-上有3个不同的交点，又由()()132f f ==，则满足()log 122a +<且()log 322a +≥a <≤.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、周期性，考查函数零点，属于中档题.8．若函数|21|,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，则函数()()2g x f f x ⎡⎤⎣⎦=-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】 ()()2g x f f x ⎡⎤⎣⎦=-的零点即方程()2f f x =⎡⎤⎣⎦的根，设()t f x =，则()2f t =，先解方程()2f t =的根t ，再根据图像数形结合()t f x =的解的个数即可.【详解】 函数|21|,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，()()2g x f f x ⎡⎤⎣⎦=-的零点即()2f f x =⎡⎤⎣⎦的根， 设()t f x =，则()2f t =，先解方程()2f t =的根t ，再计算()t f x =的解. 2t <时|21|2t -=得2log 3t =；2t ≥时321t =-得52t =. 如图所示，函数|21|,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩的图像，方程()2()log 31,3f x =∈和方程()5()1,32f x =∈各有两个解，即方程()2f f x =⎡⎤⎣⎦共有4个解，故()()2g x f f x ⎡⎤⎣⎦=-的零点有4个.故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点个数，考查了数形结合思想，属于中档题.二、多选题9．已知集合{}2320A x tx x =-+=中至多有一个元素，则t 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】ACD【解析】【分析】对t 分成0t =和0t ≠两种情况进行分类讨论，由此确定正确选项.【详解】当0t =时，2320,3x x -+==，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭符合题意.当0t ≠时，9980,8t t ∆=-≤≥，所以2,3t =符合.故选：ACD【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的个数求参数.10．已知函数()2x f x e x =--，则下列区间中含()f x 零点的是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】AD【解析】【分析】 计算出各端点处的函数值，若两端一正一负即可判断出存在零点.【详解】22(2)220f e e ---=+-=>，11(1)1210f e e ---=+-=-<，0(0)0210f e =--=-<，1(1)1230f e e =--=-<，22(2)2240f e e =--=->，根据零点的存在性定理可知()2,1--和()1,2存在零点.故选：AD.【点睛】本题考查零点的存在性定理，属于基础题.11．已知函数())3f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在[0,]π上有三个零点C ．当56x π=时，函数()f x 取得最大值D ．为了得到函数()f x 的图象，只要把函数())3f x x π=+图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)【答案】AC【解析】【分析】根据各选项分别进行讨论，从而得出结论.【详解】A 选项，根据周期公式22T ππ==，故A 正确； B 选项，画出函数图象，根据图象可知函数()f x 在[0,]π上有两个零点，故B 错误； C 选项，画出函数图象，根据图象可知当56x π=时，函数()f x 取得最大值，故C 正确；D 选项，为了得到函数()f x 的图象，只要把函数())3f x x π=+图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，故D 错误.故选：AC.【点睛】 本题考查余弦型三角函数的知识点，涉及到函数的周期零点以及函数的图象等，属于基础题型.12．已知函数()243,1ln 2,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨+>⎩，则函数()()()10g x f x ax a =-->的零点个数可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，得到函数()g x 的零点即是函数()y f x =与直线()10y ax a =+>图像交点的横坐标，画出()243,1ln 2,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨+>⎩的大致图像如下，结合函数图像，即可得出结果.【详解】由()()10g x f x ax =--=可得()1f x ax =+，则函数()g x 的零点即是函数()y f x =与直线()10y ax a =+>图像交点的横坐标，画出()243,1ln 2,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨+>⎩的大致图像如下，由ln 2y x =+得1y x '=，所以曲线ln 2y x =+在点()1,2处的切线斜率为11x k y ='==，此时的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，恰好过点()0,1，又直线()10y ax a =+>也过点()0,1，所以由图像可得，当1a =时，直线1y ax =+与函数()y f x =的图像有两个交点；即函数()g x 有两个零点；当1a >时，直线1y ax =+只与函数()y f x =在1x <的图像有一个交点，即函数()g x 有一个零点； 当01a <<时，直线1y ax =+与函数()y f x =有三个不同的交点，即函数()g x 有三个零点； 综上，函数()()()10g x f x ax a =-->的零点个数可能为1，2，3.故选：BCD.【点睛】本题主要考查判定函数零点的个数问题，利用数形结合的方法求解即可，涉及导数的方法求曲线的切线方程，属于常考题型.第II 卷（非选择题）三、填空题13．用二分法研究函数f(x)＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x 1)，则x 1＝________.【答案】0.25【解析】【分析】由零点存在定理得零点在(0,0.5)上，区间中点即为下一步要计算的自变量的值．【详解】∵f(0)·f(0.5)<0，∴f(x)在区间(0，0.5)内有零点． 又∵00.52+＝0.25， ∴第二次应计算f(0.25)，即x1＝0.25.故答案为：0.25．【点睛】本题考查二分法，掌握二分法的概念是解题基础．在确定零点在区间(,)a b 上后，接着可计算2+⎛⎫ ⎪⎝⎭a b f ，即区间中点处的函数值．14．函数2()log (1)f x x =-的零点为_____________.【答案】2【解析】【分析】令2()log (1)0f x x =-=，解方程即可.【详解】令2()log (1)0f x x =-=，即11x -=，解得：2x =，故答案为：2【点睛】本题主要考查函数零点的求解，属于基础题.15．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()22x f x x =-，则函数()f x 在R 上的零点的个数是______.【答案】5【解析】【分析】由函数的零点，在0x >时,令220x x -=求零点，根据奇函数的对称性及性质可得其它的零点，即可知()f x 在R 上的零点的个数.【详解】0x >时,令220x x -=，解得2x =，4x =；根据奇函数的对称性，当0x <时，()f x 的零点是2x =-，4x =-；又()00=f ，所以()f x 在R 上共有5个零点.故答案为：5.【点睛】本题考查了函数的零点，应用了奇函数的性质：关于原点对称且()00=f ，属于基础题.16．函数2log ,1,()(1),1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩若方程()f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_________.【答案】(,2)-∞【解析】【分析】根据题意，画出函数图像，利用数形结合法，分别画出()f x 与y x m =-+的图像即可求解【详解】令()g x x m =-+，画出()f x 与()g x 的图像，平移()g x 的图像，当直线经过(1,1)时，只有一个交点，此时2m =，向右移，不再符合条件，故2m <故答案为：(),2-∞【点睛】本题考查函数图像的交点问题，主要考查学生数形结合的能力，属于中档题；四、解答题17．已知关于x 的方程()22210x k x k --+=有两个实数根12,x x ． （1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值．【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）－3． 【解析】【分析】（1）依题意，得0∆≥，解出即可；（2）由韦达定理得，()1221x x k +=-，212x x k =，再根据第一问的结论代入即可求出答案．【详解】解：（1）依题意，得()22414480k k k ∆=--=-≥，解得12k ≤， ∴k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦； （2）由韦达定理得，()1221x x k +=-，212x x k =， 由12k ≤得，()12210x x k +=-<， ∴由12121x x x x +=-得，()12121x x x x -+=-，即()2211k k --=-，即()()310k k +-=， 解得3k =-，或1k =（舍），∴3k =-．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，属于基础题．18．已知函数()22f x x x =-，x ∈R .（Ⅰ）在给定的直角坐标系内作出函数()f x 的图象（不用列表）；（Ⅱ）由图象写出函数()f x 的单调区间，并指出单调性（不要求证明）；（Ⅲ）若关于x 的方程()f x t =有3个不相等的实数根，求实数t 的值（只需要写出结果）.【答案】（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）(],1-∞-减函数：()1,0-增函数；()0,1减函数；[)1,+∞增函数；（Ⅲ）0t =.【解析】【分析】（Ⅰ）0x ≥时，2()2f x x x =-，作出二次函数的图象，再把它关于y 轴对称，即可得()f x 的图象，（Ⅱ）根据单调性与图象的关系写出单调区间；（Ⅲ）由直线y t =与函数()f x 的图象有三个交点可得．【详解】（Ⅰ）如图所示：（Ⅱ）(],1-∞-减函数：()1,0-增函数；()0,1减函数；[)1,+∞增函数.（Ⅲ）0t =.19的近似值(精确度0.1).【答案】1.4375.【解析】【分析】x =,则33x =.令()33f x x =-,()33f x x =-的零点，利用二分法求出函数的零点的近似值，即可得解.【详解】解:x =,则33x =.令()33f x x =-,()33f x x =-的零点,因为()120f =-<,()250f =>,所以可取初始区间()1,2,用二分法计算.列表如下:由于1.5 1.43750.06250.1-=<, 1.4375. 【点睛】本题考查二分法的应用，关键是合理构造函数将问题转化，属于基础题.20．已知函数()121x a f x =+-(a 为常数)是奇函数 （1）求a 的值；（2）函数2()()log g x f x k =-，若函数()g x 有零点，求参数k 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）1(0,)(2,)2+∞. 【解析】【分析】（1）利用()()0f x f x 列方程，化简求得a 的值.（2）令()0g x =，转化为221log 21x k +=-，求得2121x +-的值域，由此列不等式，解不等式求得k 的取值范围.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，根据奇函数的定义，应有(,0)(0,),()()0x f x f x ∀∈-∞+∞-+=， 即1102121x x a a -+++=--， 即()22021212x x x x a a -⋅++=--⋅，2201221x x x a a ⋅++=--， 22021xx a a -⋅+=-，()122021x x a -+=-， 20,2a a -==.所以()2121x f x =+-， （2）22()1log 21x g x k =+--， 令()0g x =，得22221log 0,1log 2121x x k k +-=+=-- ()211,0(0,)x -∈-⋃+∞，那么2(,2)(0,)21x ∈-∞-+∞-， ()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞，所以2log k ∈(,1)(1,)-∞-+∞，即2log 1k <-或2log 1k > 解得：102k <<或2k >. 所以参数k 的取值范围是1(0,)(2,)2+∞. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的值域、零点等知识.21．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()241f x x x =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）讨论函数()()g x f x mx =-零点的个数.【答案】（Ⅰ）2241,0()0,041,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩；（Ⅱ）答案见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）当0x <时，0x ->，运用已知区间上的解析式和奇函数的定义，结合()00f =，可得所求解析式； （Ⅱ）首先判断()g x 为奇函数，考虑0x =时显然成立；0x >时，由参数分离和对勾函数的图象，对m 讨论可得所求零点个数.【详解】（Ⅰ）当0x <时，0x ->，()()241f x x x -=-++，∵()f x 是奇函数，()()f x f x -=-，∴0x <时，()()241f x f x x x =--=---， 当0x =时，()00f =，∴2241,0()0,041,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩.（Ⅱ）易知()()g x f x mx =-为奇函数，令()0g x =，则()f x mx =，当0x =时，显然()0g x =，无论m 取何值，0x =均为函数()g x 的零点，当0x >时，由()f x mx =，得14m x x=+-， 当2m =-时，函数()g x 在()0,∞+有一个零点；当2m >-时，函数()g x 在()0,∞+有两个零点；当2m <-时，函数()g x 在()0,∞+无零点，根据奇函数的对称性可得，当2m =-时，函数()g x 在()0,∞+有3个零点；当2m >-时，函数()g x 在()0,∞+有5个零点；当2m <-时，函数()g x 在()0,∞+有1个零点.【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求解析式，同时考查函数的零点个数问题，注意运用分类讨论思想和对称性，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题.22．已知函数()2()0f x ax bx c a =++≠满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论方程()f x m x =在1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的解的个数． 【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）当134m >或1m <时，无解； 当31324m <≤或1m =时，一个解； 当312m <≤时，两个解.【解析】【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式即可得答案；（2）结合（1）得()11f x m x x x ==+-，令11,421(),g x x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣=+⎦-，将问题转化为函数y m =与11,421(),g x x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣=+⎦-公共点的个数，再根据数形结合思想求解即可. 【详解】（1）函数()2()0f x ax bx c a =++≠， (0)1f =，所以1c =，221112()()()()()f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++-++=++，(1)()2f x f x x +-=，即220a a b =⎧⎨+=⎩，11a b =⎧⎨=-⎩所以2()1f x x x =-+； （2）()11f x m x x x==+-， 令11,421(),g x x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣=+⎦-， 根据对勾函数单调性可得1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，[]1,4x ∈单调递增，1313(),(1)1,(4)224g g g === 方程()f x m x =在1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的解的个数， 即函数y m =与11,421(),g x x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣=+⎦-公共点的个数， 11,421(),g x x x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣=+⎦-函数图象：所以根据图象得：当134m>或1m<时，无解；当31324m<≤或1m=时，一个解；当312m<≤时，两个解【点睛】本题考查待定系数法求解析式，方程的解的个数，考查化归转化思想和数形结合思想，是中档题.。
专题04函数的零点与方程的根的解题方法-名师揭秘高考数学(理)命题热点全覆盖(教师版)
专题04 函数的零点与方程的根的解题方法本专题特别注意：一．命题类型：1.零点与整数解；2.二分法；3.分段函数的零点；4.零点范围问题；5.零点个数问题；6.零点与参数；7.零点与框图；8.二次函数零点分布问题；9.抽象函数零点问题；10.复合函数零点问题；11.函数零点与导数；12.零点有关的创新试题。
二．【学习目标】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．2．利用函数的零点求解参数的取值范围【知识要点】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有________．(3)函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布（一）零点与整数解；例1．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是()A．函数f(x)在区间内一定有零点B．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是C．函数f(x)在内无零点D．函数f(x)在区间或内有零点【答案】B【解析】根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，A. 函数f(x)在区间内一定有零点，不对，因为有可能在这个区间之外之内，C. 函数f(x)在内无零点，这个是不确定的；D. 函数f(x)在区间或内有零点，这个也是不确定的。
在零点应在或中或f（）＝0.这个是有可能的。
故答案为B。
高考数学命题热点名师解密专题：函数的零点与方程的根(理)含答案
高考数学命题热点名师解密专题：函数的零点与方程的根（理）含答案本专题特别注意：一．命题类型：1.零点与整数解；2.二分法；3.分段函数的零点；4.零点范围问题；5.零点个数问题；6.零点与参数；7.零点与框图；8.二次函数零点分布问题；9.抽象函数零点问题；10.复合函数零点问题；11.函数零点与导数；12.零点有关的创新试题。
二．【学习目标】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．2．利用函数的零点求解参数的取值范围【知识要点】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有________．(3)函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布（一）零点与整数解；例1．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( )A．函数f(x)在区间内一定有零点B．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是C．函数f(x)在内无零点D．函数f(x)在区间或内有零点【答案】B【解析】根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，A. 函数f(x)在区间内一定有零点，不对，因为有可能在这个区间之外之内，C. 函数f(x)在内无零点，这个是不确定的；D. 函数f(x)在区间或内有零点，这个也是不确定的。
在零点应在或中或f（）＝0.这个是有可能的。
函数零点问题的题型归类及解题策略
函数零点问题的题型归类及解题策略一、函数零点问题的题型归类在数学中，函数零点问题是一个常见的题型，通常是要求求出一个函数的零点或根。
根据不同的函数形式和解法，可以将这些题型分为以下几类：1. 多项式函数的零点问题：多项式函数是指由一系列单项式相加或相减而成的函数，例如f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5就是一个三次多项式函数。
对于多项式函数而言，求解它的零点通常使用因式分解、配方法、牛顿迭代法等方法。
2. 三角函数的零点问题：三角函数包括正弦、余弦、正切等等，例如f(x) = sin(x) - x就是一个三角函数。
对于三角函数而言，求解它的零点通常使用周期性、奇偶性等特征来进行简化。
3. 指数和对数函数的零点问题：指数和对数函数包括指数、自然对数等等，例如f(x) = e^x - x就是一个指数和对数函数。
对于指数和对数函数而言，求解它们的零点通常需要使用到特殊技巧如换底公式、取对数等方法。
4. 分段定义的复合函数的零点问题：分段定义的复合函数是指一个函数在不同的区间内采用不同的定义方式，例如f(x) = {x^2 + 1, x < 0; x - 1, x >= 0}就是一个分段定义的复合函数。
对于这类函数，求解它们的零点通常需要将其分成不同的部分进行讨论。
二、解题策略针对以上不同类型的函数零点问题，我们可以采用以下几种解题策略：1. 因式分解法因式分解法是一种常见的求多项式函数零点的方法。
对于一个多项式函数f(x)，我们可以先将其进行因式分解，然后再求出每个因子的零点。
例如f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x可以写成f(x) = x(x-1)(x-2)，然后再求出每个因子的零点即可得到f(x)在实数范围内所有的零点。
2. 配方法配方法也是一种常见的求多项式函数零点的方法。
对于一个二次或三次多项式函数，我们可以通过配方将其转化为完全平方或完全立方形式，然后再根据完全平方或完全立方公式来求解它们的零点。
函数的零点与解析问题及例题分析
函数的零点与解析问题及例题分析1. 函数的零点函数的零点指的是函数取值为零的点，即满足$f(x) = 0$的$x$值。
求函数的零点是许多数学问题中的基本任务。
求函数的零点方法很多，常见的包括二分法、牛顿法、割线法等。
下面以二分法为例来说明求函数零点的过程。
例题1：：已知函数$f(x) = \sin(x)$，求$f(x)$的零点。
解析过程如下：1. 首先确定一个区间$[a, b]$，使得$f(a)$和$f(b)$异号。
2. 将区间中点记作$c$，计算$f(c)$的值。
3. 如果$f(c)$为零，则$c$是$f(x)$的零点；否则，根据$f(c)$和$f(a)$（或$f(b)$）的符号确定新的区间。
4. 重复步骤2和3，直到找到一个足够接近零点的解。
2. 解析问题解析问题是指在数学运算中的一些特殊情况，如分母为零、根号内为负数等。
解析问题的存在可能导致函数无法取值或无法计算。
解析问题的判定和处理与具体的数学表达式有关。
以下是一些常见的例子：- 分母为零：当函数中出现分母为零的情况时，其解析问题是分母为零的$x$值，并且在该点处函数无法取值。
- 根号内为负数：当函数中出现根号内为负数的情况时，其解析问题是根号内为负数的$x$值，并且在该点处函数无法计算。
解析问题在数学问题的解决中需要注意，可以通过数值计算的方法来规避这些问题。
3. 例题分析例题2：：已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$，求$f(x)$的定义域。
解析过程如下：由于分母为$x^2 - 4$，我们需要排除使分母为零的情况。
即解方程$x^2 - 4 = 0$，求得$x = \pm 2$。
因此，函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$。
以上是关于函数的零点与解析问题的简要分析和例题讲解。
希望对您有所帮助！。
函数的零点与方程的根的求解
函数的零点与方程的根的求解在数学中，函数的零点与方程的根都是指能使函数取值为零的变量值或方程的解。
求解函数的零点和方程的根在数学和实际应用中都有重要的意义。
本文将介绍一些基本的求解方法和一些实际应用。
一、函数的零点求解函数的零点是指使函数取值为零的变量值。
求解函数的零点可以通过以下几种方法进行：1. 图像法：通过观察函数的图像，找到函数与x轴相交的点。
这种方法在函数图像相对简单，且有明显的交点时比较适用。
2. 代入法：将函数中的变量值替换为0，然后解方程求解变量值。
这种方法适用于一些简单的函数表达式，例如线性函数。
3. 迭代法：通过迭代计算逼近函数的零点。
迭代法通常需要通过设定一个初始值，然后根据一定的迭代公式逐步逼近零点。
4. 数值逼近法：使用数值方法求解函数的零点，例如二分法、牛顿法等。
这些方法会利用函数在某个区间内的性质进行迭代，逐步逼近零点。
二、方程的根求解方程的根是指使方程成立的变量值。
方程的根求解可以通过以下几种方法进行：1. 代数解法：将方程转化为标准形式，然后利用代数的性质进行求解。
例如，对于一元二次方程可以使用求根公式进行求解。
2. 图像法：绘制方程和常数曲线的图像，观察图像的交点即为方程的根。
这种方法适用于一些简单的方程，例如线性方程。
3. 迭代法：通过迭代计算逼近方程的根。
迭代法适用于无法通过代数方法求解的方程，通过不断迭代逼近根的值。
4. 数值逼近法：使用数值方法求解方程的根，例如二分法、牛顿法等。
这些方法会利用方程的特点进行迭代，逐步逼近根的值。
三、实际应用函数的零点和方程的根在实际应用中有广泛的应用。
例如，在物理学中，可以使用函数的零点来求解物体的运动方程；在经济学中，可以使用方程的根求解经济模型的均衡点；在工程学中，可以使用函数的零点来求解系统的稳定状态等。
总结：函数的零点与方程的根的求解是数学中重要的内容，它们在数学理论和实际应用中都有重要的意义。
求解函数的零点和方程的根可以使用各种方法，其中包括图像法、代入法、迭代法和数值逼近法等。
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一．命题陷阱：
1．复合函数零点问题陷阱（忽视定义域陷阱）
2．函数零点个数与参数问题（图象不完备陷阱）
3. 函数零点中的任意存在陷阱（最值求反陷阱）
4. 函数的性质在函数零点中的应用（忽视周期性陷阱）
5. 函数零点与不等式综合（运用均值不等式时的条件陷阱）
6. 方程的根的求解问题
7. 分段函数的零点问题
8. 零点问题中新定义问题
9. 零点与导数、数列等的综合
二、陷阱典例及训练
1．复合函数陷阱（忽视定义域陷阱）
例1.已知函数，若有两个零点，则的取值范围
是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，
所以，令，则，
又有两个零点，
则有解，则存在解，
又，
【陷阱防范措施】注意复合函数性质的使用，并注意定义域限制
练习 1.设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
作出函数的图象如图，令，则方程化为，要使关于的方程，恰好有六个不同的实数根，则方
程在内有两个不同实数根，，解得
实数的取值范围是，故选B.
【思路总结】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
练习2．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的
取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
作出函数f（x）的图象，由图象知当x＞0时，有一个解，
则等价为当x≤0时，f（x）==1无解，即若k＞0，满足=1无解，
若k＜0，则函数f（x）=在x≤0时为增函数，则函数的最大值为，
此时只要满足，即，即可，
综上实数k的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞），故选：A
【思路总结】：本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法将条件转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．利用数形结合以及分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度．
练习3设函数，若函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
故答案为A。
练习 4. 已知，若关于的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∴函数f（x）=在（0，+∞）上有一个最大值为f（1）=，作出函数f（x）的草图如图：
设m=f（x），当m＞时，方程m=f（x）有1个解，
当m=时，方程m=f（x）有2个解，
当0＜m＜时，方程m=f（x）有3个解，
当m=0时，方程m=f（x），有1个解，
当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，
则方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0等价为m2﹣tm+t﹣1=0，
要使关于x的方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，
等价为方程m2﹣tm+t﹣1=0有两个不同的根m1＞且0＜m2＜，
设g（m）=m2﹣tm+t﹣1，
则
解得1＜t＜1+，
故答案选：C。
练习5. 若函数，函数的零点个数是___________. 【答案】4
2.函数零点个数与参数问题（图象错误陷阱）
例2．若方程有两个不等的实数根，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由方程得：，因为的最低点为，当
过时有一个交点，此时，所以要让方程两个不等实数根，只需，故选C.
【陷阱防范措施】这类问题采用数形结合法
练习 1. ．已知函数，若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、方程与函数思想以及数形结合思想的应用，属于难题. 数
形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
练习2. 已知函数有唯一零点，则实数 ( )
A. B. C. D. 1
【答案】C
∴函数的图象的最高点为，函数的图象的最高点为
∵
∴此时函数的图象与的图象有两个交点，不成立；
当时，由在上单调递增，在上单调递减，且在
上单调递减，在上单调递增。
∴函数的图象的最高点为，函数的图象的最低点为
∵此时函数的图象与的图象只有一个交点
∴，即
故选C
点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：现将参数分离，转化为函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
练习3. 已知函数．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
练习4. 若关于的方程有实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
，，实数的
取值范围是，故选A.
【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
练习5. 若关于的方程有两个不同实根，则实数的取值范围是
A. B. [) C. () D. (]
【答案】B
【解析】
∴直线与曲线y=有两个交点,实数的取值范围是[)
故选：B.
点睛：已知方程解的个数(或函数零点个数)求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
练习6.方程有三个不相等的实根，则的取值范围是（）。