数据特征的测度

数据特征的测度统计数据经过整理和显示后，我们对数据分布的类型和特点就有了一个大致的了解，但这种了解只是表面上的，还缺少代表性的数量特征值准确地描述出统计数据的分布。

为进一步掌握数据分布的特征和规律，进行更深入的分析，还需要找到反映数据分布特征的各个代表值。

对统计数据分布的特征，我们可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。

这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面，这里我们主要讨论集中趋势和离散程度的测度方法。

（一）集中趋势的测度集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。

集中趋势的测度值主要有众数、中位数、均值、几何平均数等几种。

1.众数众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用0M 表示。

例如，下面是抽样调查的10个家庭住房面积（单位：平方米）的数据：55 75 75 90 90 90 90 105 120 150这10个家庭住房面积的众数为90。

即0M ＝90（平方米） 众数是一个位置代表值，它的特点是不受数据中极端值的影响。

2.中位数中位数是一组数据按一定顺序排序后，处于中间位置上的数值，用e M 表示。

显然，中位数将全部数据等分成两部分，每部分包含50％的数据，一部分数据比中位数大，另一部分则比中位数小。

根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，其公式为：21+n 中位数位置＝式中的n 为数据的个数，最后确定中位数的具体数值。

设一组数据为1x ，2x ，…，n x ，按从小到大排序后为)1(x ，)2(x ，…，)(n x ，则中位数可表示为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++为偶数时当为奇数时当n x x n x M n n n e 122)21(21 例如，在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位：元）：750 780 850 960 1080 1250 1500 1650 2000中位数位置＝（9＋1）÷2＝5，中位数为1080，即e M ＝1080（元）。

假定我们抽取了10个家庭，每个家庭的人均月收入数据为： 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1650 2000 这时，中位数位置＝（10＋1）÷2＝5.5，中位数为1020，即：102021080960=+=e M （元）中位数是一个位置代表值，其特点是不受极端值的影响，在研究收入分配时很有用。

3.均值均值也称为算术平均数，它是全部数据的算术平均。

均值在统计学中具有重要的地位，是集中趋势的最主要测度值，根据所掌握数据的不同，均值有不同的计算形式和计算公式。

（1）简单均值。

根据未经分组整理的原始数据计算均值。

设一组数据为1x ，2x ，…，n x ，则均值x （读作x-bar ）的计算公式为：nx nx x x x ni in∑==+++=121例如，根据下面的例子，计算10个家庭的平均住房面积。

55 75 75 90 90 90 90 105 120 15094101501207555=++++=x （平方米）（2）加权均值。

根据分组整理的数据计算均值。

设原始数据被分成k 组，各组的组中值为1x ，2x ，…，k x ，各组变量值出现的频数分别为1f ，2f ，…，K f ，则均值的计算公式可以写为：∑∑===++++++=ki iki ii kk k f f x f f f f x f x f x x 11212211例如，假定我们在某城市中随机抽取50个家庭，调查住房面积，经分组后结果如表。

计算50个家庭的平均住房面积。

计算过程见表。

4-7 某城市50个家庭住房面积均值计算表代入上面的公式得：8.9850494011===∑∑==ki iki ii f f x x （平方米） 从加权均值可以看出，其数值的大小不仅受各组变量值（i x ）大小的影响，而且受各组变量值出现的频数即权数（i f ）大小的影响。

如果某一组的权数较大，说明该组的数据较多，那么该组数据的大小对均值的影响就越大，反之则越小。

实际上，我们将加权均值变形为下面的形式，就能更清楚地看出这一点。

∑∑∑∑====⋅==ki ki iii ki iki ii f f x f f x x 1111由上式可以清楚地看出，加权均值受各组变量（i x ）值大小和各组权数∑=ki i if f 1大小的影响。

当我们掌握的不是各组变量值出现的频数，而是频率时，也可直接根据上面的公式计算均值。

均值在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统计推断的基础。

从统计思想上看，均值是一组数据的重心所在，是数据误差相互抵消后的必然性结果。

比如我们对同一事物进行多次测量，若所得结果不一致，可能是由于测量误差所致，也可能是其他因素的偶然影响，利用均值作为其代表值，则可以使误差相互抵消，反映出事物必然性的数量特征。

均值的缺点是容易受极端值的影响。

4.几何平均数几何平均数是n 个变量值乘积的n 次方根，计算公式为：nni inn x x x x G ∏==⨯⨯⨯=121式中：G 表示几何平均数，∏为连乘符号。

几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，它主要用于计算比率或速度的平均。

当我们所掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率，这时就应采用几何平均法计算平均比率。

在实际应用中，几何平均数主要用于计算社会经济现象的平均发展速度。

例如，一位投资者持有一种股票，在1996、1997、1998和1999年收益率分别为4.5％、2.0％、3.5％、5.4％。

计算该投资者在这四年内的平均收益率。

解：根据几何平均数的计算公式得：n n x x x G ⨯⨯⨯= 214%4.105%5.103%0.102%5.104⨯⨯⨯=＝103.84％即该投资者的年平均收益率为103.84％－100％＝3.84％。

（二）离散程度的测度集中趋势只是数据分布的一个特征，它所反映的是各变量值向其中心值聚集的程度。

而各变量值之间的差异状况如何呢？这就需要考查数据的分散程度。

数据的分散程度是数据分布的另一个重要特征，它所反映的是各变量值远离其中心值的程度。

我们知道，集中趋势的各测度值是对数据一般水平的一个概括性度量，它对一组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平。

数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差，离散程度越小，其代表性就越好。

数据离散程度测度值有很多，这里我们主要介绍极差、标准差和离散系数等。

1.极差极差也称全距，它是一组数据的最大值与最小值之差。

即： 极差＝最大值－最小值 例如，根据上面10个家庭月人均收入的数据，计算的极差为：极差＝139－107＝32（件）。

极差是描述数据离散程度的最简单测度值，计算简单，易于理解，但它容易受极端值的影响。

由于极差只是利用了一组数据两端的信息，不能反映出中间数据的分散状况，因而不能准确描述出数据的分散程度。

2.标准差标准差是各变量值与其均值离差平方和的平均数的平方根，它是数测量数据离散程度的最主要方法，也是实际中应用最广泛的离散程度测度值。

设标准差为σ，对于未经整理的原始数据，标准差的计算公式为：nx x ni i ∑=-=12)(σ对于组距分组数据，标准差的计算公式为：∑∑==-=ki iki if f x x 112)(σ标准差与变量值的计量单位相同，其实际意义比较清楚。

因此，在对社会经济现象进行分析时主要使用标准差。

例如，根据表4-7中的数据，计算50个家庭住房面积的标准差。

计算过程见表。

某城市50个家庭住房面积标准差计算表根据上面的计算公式得：8.235028328)(112==-=∑∑==ki iki if f x x σ（平方米） 结果表明，每个家庭的住房面积与平均数相比，平均相差23.8平方米。

3.离散系数上面介绍的标准差是反映数据分散程度的绝对值，其数值的大小一方面取决于原变量值本身水平高低的影响，也就是与变量的均值大小有关，变量值绝对水平高的，离散程度的测度值自然也就大，绝对水平小的离散程度的测度值自然也就小；另一方面，它们与原变量值的计量单位相同，采用不同计量单位计量的变量值，其离散程度的测度值也就不同。

因此，对于平均水平不同或计量单位不同的几组数据，是不能用上述离散程度的测度值直接比较其离散程度的。

为消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数。

离散系数通常是就标准差来计算的，因此也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标，其计算公式为：xV σσ=离散系数的作用主要是用于比较对不同组别数据的离散程度。

离散系数大的说明数据的离散程度也就大，离散系数小的说明数据的离散程度也就小。

例如，某集团公司所属的8家子公司，其产品销售数据如表。

试比较产品销售额与销售利润的离散程度。

需要计算离散系数。

由表中数据计算得：1x ＝536.25（万元） 1σ＝289.22（万元） 539.025.53622.2891==V2x ＝32.5215（万元） 2σ＝21.60（万元） 664.05125.3260.212==V计算结果表明，21V V ，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度。