数据特征的测度

数据特征的测度

统计数据经过整理和显示后，我们对数据分布的类型和特点就有了一个大致的了解，但这种了解只是表面上的，还缺少代表性的数量特征值准确地描述出统计数据的分布。为进一步掌握数据分布的特征和规律，进行更深入的分析，还需要找到反映数据分布特征的各个代表值。对统计数据分布的特征，我们可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面，这里我们主要讨论集中趋势和离散程度的测度方法。

（一）集中趋势的测度

集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。集中趋势的测度值主要有众数、中位数、均值、几何平均数等几种。

1.众数

众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用0M 表示。例如，下面是抽样调查的10个家庭住房面积（单位：平方米）的数据：

55 75 75 90 90 90 90 105 120 150

这10个家庭住房面积的众数为90。即0M ＝90（平方米） 众数是一个位置代表值，它的特点是不受数据中极端值的影响。 2.中位数

中位数是一组数据按一定顺序排序后，处于中间位置上的数值，用e M 表示。显然，中位数将全部数据等分成两部分，每部分包含50％的数据，一部分数据比中位数大，另一部分则比中位数小。

根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，其公式为：

2

1

+n 中位数位置＝

式中的n 为数据的个数，最后确定中位数的具体数值。

设一组数据为1x ，2x ，…，n x ，按从小到大排序后为)1(x ，)2(x ，…，)(n x ，则中位数可表示为：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=++为偶数时

当为奇数时当n x x n x M n n n e 122)21

(21 例如，在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位：

元）：

750 780 850 960 1080 1250 1500 1650 2000

中位数位置＝（9＋1）÷2＝5，中位数为1080，即e M ＝1080（元）。 假定我们抽取了10个家庭，每个家庭的人均月收入数据为： 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1650 2000 这时，中位数位置＝（10＋1）÷2＝5.5，中位数为1020，即：

10202

1080

960=+=

e M （元）

中位数是一个位置代表值，其特点是不受极端值的影响，在研究收入分配时很有用。 3.均值

均值也称为算术平均数，它是全部数据的算术平均。均值在统计学中具有重要的地位，是集中趋势的最主要测度值，根据所掌握数据的不同，均值有不同的计算形式和计算公式。

（1）简单均值。根据未经分组整理的原始数据计算均值。设一组数据为1x ，2x ，…，

n x ，则均值x （读作x-bar ）的计算公式为：

n

x n

x x x x n

i i

n

∑==

+++=

1

21

例如，根据下面的例子，计算10个家庭的平均住房面积。 55 75 75 90 90 90 90 105 120 150

9410

150

1207555=++++=

x （平方米）

（2）加权均值。根据分组整理的数据计算均值。设原始数据被分成k 组，各组的组中值为1x ，2x ，…，k x ，各组变量值出现的频数分别为1f ，2f ，…，K f ，则均值的计算公式可以写为：

∑∑===

++++++=k

i i

k

i i

i k

k k f f x f f f f x f x f x x 1

1212211

例如，假定我们在某城市中随机抽取50个家庭，调查住房面积，经分组后结果如表。计算50个家庭的平均住房面积。

计算过程见表。

4-7 某城市50个家庭住房面积均值计算表

代入上面的公式得：

8.9850

4940

1

1==

=

∑∑==k

i i

k

i i

i f f x x （平方米） 从加权均值可以看出，其数值的大小不仅受各组变量值（i x ）大小的影响，而且受各组变量值出现的频数即权数（i f ）大小的影响。如果某一组的权数较大，说明该组的数据较多，那么该组数据的大小对均值的影响就越大，反之则越小。实际上，我们将加权均值变形为下面的形式，就能更清楚地看出这一点。

∑∑∑∑====⋅

==

k

i k

i i

i

i k

i i

k

i i

i f f x f f x x 1

1

1

1

由上式可以清楚地看出，加权均值受各组变量（i x ）值大小和各组权数∑=k

i i i

f f 1

大小

的影响。当我们掌握的不是各组变量值出现的频数，而是频率时，也可直接根据上面的公式计算均值。

均值在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统计推断的基础。从统计思想上看，均值是一组数据的重心所在，是数据误差相互抵消后的必然性结果。比如我们对同一事物进行多次测量，若所得结果不一致，可能是由于测量误差所致，也可能是其他因素的偶然影响，利用均值作为其代表值，则可以使误差相互抵消，反映出事物必然性的数量特征。均值的缺点是容易受极端值的影响。

4.几何平均数

几何平均数是n 个变量值乘积的n 次方根，计算公式为：

n

n

i i

n

n x x x x G ∏==⨯⨯⨯=1

21

式中：G 表示几何平均数，∏为连乘符号。 几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，它主要用于计算比率或速度的平均。当我们所掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率，这时就应采用几何平均法计算平均比率。在实际应用中，几何平均数主要用于计算社会经济现象的平均发展速度。

例如，一位投资者持有一种股票，在1996、1997、1998和1999年收益率分别为4.5％、2.0％、3.5％、5.4％。计算该投资者在这四年内的平均收益率。

解：根据几何平均数的计算公式得：

n n x x x G ⨯⨯⨯= 21

4%4.105%5.103%0.102%5.104⨯⨯⨯=