高邮市送桥中学高三数学解答题专题训练(二)

解答题: 1.（本小题满分12分）
在三角形ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若cos (2)cos b C a c B =- （Ⅰ）求B ∠的大小
（Ⅱ）若b =4a c +=，求三角形ABC 的面积.
2．（本小题共14分）
已知圆C 方程为：224x y +=.
（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B
两点，若||AB =l 的方程;
（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+
，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
3.（本小题满分14分）
如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，
1
为侧棱CC 1上一点, 1AM BA ⊥. （I ）求证: AM ⊥平面1A BC ； （II ）求二面角B －AM －C 的大小; （Ⅲ）求点C 到平面ABM 的距离. A
B
C
A 1
B 1
C 1
M
4.（本小题满分14分）
设椭圆
22
22
1(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为
12(1,0)F F (-1,0)、，右准线
l 交x 轴于点A ，且122AF AF =
.
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、
M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值.
1．解（Ⅰ）由已知及正弦定理可得
C B B A C B sin cos cos sin 2cos sin -=
∴()C B C B C B B A +=+=sin sin cos cos sin cos sin 2 又在三角形ABC 中，()0sin sin ≠=+A C B ∴A B A sin cos sin 2=，即21cos =
B ， 3
π
=B （Ⅱ）∵2
2
2
72cos b a c ac B ==+- ∴2
2
7a c ac =+- 又∵()ac c a c a 216222
++==+ ∴3=ac
∴1sin 2ABC S ac B ∆=
即132ABC S ∆=⋅= 2．解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()
3,1-，其距离为32 满足题意
②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1
|2|12++-=
k k ，3
4
k =
， 故所求直线方程为3450x y -+=
综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x （00y ≠），Q 点坐标为()y x ,
则N 点坐标是()0,0y ∵OQ OM ON =+
，
∴()()00,,2x y x y = 即x x =0， 2
0y
y =
又∵420
20
=+y x ，∴2
2
4(0)4y x y +=≠ ∴Q 点的轨迹方程是
22
1(0)416
x y y +=≠， 轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆，除去短轴端点。

3．解：（I ）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，易知面ACC 1A 1⊥面ABC ，
∵∠ACB=90°，
∴BC ⊥面ACC 1A 1，∵AM ⊂面ACC 1A 1∴BC ⊥AM
∵1AM BA ⊥，且1BC BA B = ∴ AM ⊥平面1A BC
（II ）设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ，由（I ）可知AM ⊥ OB ，且AM ⊥ OC ，
所以∠BOC 为二面角B －AM －C 的平面角，
在RT △ACM 和RT △A 1AC 中，∠OAC+∠ACO=90°， ∴∠AA 1C=∠MAC ∴RT △ACM ∽RT △A 1AC ∴21AC MC AA =⋅
∴MC =
∴在RT △ACM
中，AM =A 1 B 1
C 1
∴1CO =∴在RT △BCO 中，tan 1BC
BOC CO
=
= ∴45BOC ∠=︒，故所求二面角的大小为45°
（Ⅲ）设点C 到平面ABM 的距离为h
，易知BO =
可知113222
ABM S AM BO ∆=⋅⋅= ∵C ABM
M ABC V V --= ∴11
33
ABM ABC hS MC S ∆∆⋅=⋅⋅
∴2232ABC ABM MC S h S ∆∆⋅===∴点C 到平面ABM
4．解（Ⅰ）由题意，12||22F F c == ， ∴()
2,0A a ， ∵122AF AF =
∴2F 为A 1F 的中点 ∴23a =，22b = 即
椭圆方程22
132
x y +=. （Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，
DE 22b a ==，
此时2MN a ==DMEN 的面积为
42
DE MN
⋅=.
同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为
42
DE MN
⋅=. 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，
设():1DE y k x =+，代入椭圆方程，消去y 得：
()()2
2
22236360k x
k x k +++-=.
设()11,D x y ，()22,E x y ，则2
122
2
1226,2336,23k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
所以，
12x x -=，
所以，)2122
123k DE x k +-=
+，
同理，
MN =222
2111131223k k k k ⎫
⎛⎫⎫
-+⎪ ⎪+⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭
. 所以，四边形的面积S =2DE MN
⋅=)2
2
11223k k +⋅⋅+221132k k ⎫+⎪⎝⎭+=222212421613k k k k ⎛⎫
++ ⎪
⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝
⎭， 令221u k k =+
，得24(2)44136136u S u u +==-++ 因为2
2
12u k k =+≥，当1k =±时，962,25
u S ==，且S 是以u 为自变量的增函数， 9696。