2012届高考数学第二轮填空题专题练习10

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陕西省师大附中2012届高考数学模拟试题理

陕西师大附中高2012届高考数学（理）模拟试题一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)1.若集合{|(2)3}A x x x =-<,{|()(1)0}B x x a x a =--+=,且A B B = ,则实数a 的取值范围为【】.A.03a <<B.14a <<C.13a -<<D.04a << 2.经问卷调查,某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度,其中持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多12人,按分层抽样的方法(抽样过程中不需要剔除个体)从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈.若抽样得出的9位同学中有5位持“喜欢”态度的同学,1位持“不喜欢”态度的同学和3位持“一般”态度的同学,则全班持“喜欢”态度的同学人数为【】.A.6B.18C.30D.54 3.函数lg ||y x =是【】.A.偶函数,在区间(,0)-∞上单调递增B.偶函数,在区间(,0)-∞上单调递减C.奇函数,在区间(0,)+∞上单调递增D.奇函数,在区间(0,)+∞上单调递减 4.若圆锥的主视图(正视图)是一个边长为2的等边三角形,则该圆锥的表面积为【】.A.2πB.3πC.4πD.5π 5.若数列{}n a 是等差数列,则数列12nn a a a b n+++=也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{}n c 是等比数列,且n d 也是等比数列,则n d 的表达式应为【】.A.12n n c c c d n +++=B.12nn c c c d n⋅⋅⋅=C.n d =n d =6.若双曲线122=+ny mx 的一个焦点与抛物线218y x =的焦点相同,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为【】.A.1322=-x y B.1322=-y x C.1121622=-x y D.1121622=-y x 7.按下面的流程图进行计算.若输出的202x =,则输入的正实数x 值的个数最多为【】.A.2B.3C.4D.58.若三角函数()f x 的部分图象如下,则函数()f x 的解析式,以及(1)(2)(2012)S f f f =+++ 的值分别为【】.A.1()sin 122xf x π=+, 2012S =B.1()cos 122xf x π=+, 2012S =C.1()sin 122xf x π=+, 2012.5S =D.1()cos 122xf x π=+, 2012.5S =9.在一次读书活动中,一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本,则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为【】.A.15 B.12 C.45 D.2310.已知实数,,a b c 满足a b c >>,且0a b c ++=.若12,x x 为方程20ax bx c ++=的两个实数根,则2212||x x -的取值范围为【】. A.[0,3) B.(0,1) C.(1,3) D.[0,1) 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.若复数z 满足(cos30sin 30)1z i ⋅︒-︒=,则复数z 对应的点所在象限为 . 12.若向量(21,3)a x x =-+,(,21)b x x =+,(1,2)c =,且()a b c -⊥,则x = . 13.若函数 5 (3)()2 (3)x x f x x m x ⎧⎪⎨⎪⎩+<=-≥,且((3))6f f >,则m 的取值范围为________.14.在直角坐标平面内,由不等式组22y xy x≤⎧⎨≥⎩所表示的平面区域的面积为_________.15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.A.(不等式选讲)若不等式|1|||2x x m m -+-<的解集为∅,则m 的取值范围为_________.B.(坐标系与参数方程)直线3410x y --=被曲线2cos 12sin x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)所截得的弦长为_________.C.(几何证明选讲)若直角ABC ∆的内切圆与斜边AB 相切于点D ,且1,2AD BD ==,则ABC ∆的面积为_________.三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本题12分)在数列{}n a 中,11a =,且对任意的n N +∈,都有122n n n a a +=+. (1)求证:数列{}2n na是等差数列；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,求证:对任意的n N +∈,14n n S a +-都为定值.17.(本题12分)如图,已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,E 是PC 的中点． (1)证明//PA 平面BDE ；(2)求二面角B DE C --的余弦值．18.(本题12分)在城A 的西南方向上有一个观测站B ,在城A 的南偏东15︒的方向上有一条笔直的公路,一辆汽车正沿着该公路上向城A 驶来.某一刻,在观测站B 处观测到汽车与B 处相距31km ,在10分钟后观测到汽车与B 处相距21km .若汽车速度为120/km h ,求该汽车还需多长时间才能到达城A ?19.(本题12分)甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队三人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为23,乙队中三人答对的概率分别为221,,332,且各人回答得正确与否相互之间没有影响. (1)若用ξ表示甲队的总得分,求随机变量ξ分布列和数学期望；(2)用A 表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”,用B 表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”,求()P AB .EPDCBA20.(本题13分)已知直线2222:1:1(0)x y L x my C a b a b=++=>>过椭圆的右焦点F ,且交椭圆C于A ,B 两点．(1)若抛物线2x =的焦点为椭圆C 的上顶点,求椭圆C 的方程；(2)对椭圆C ,若直线L 交y 轴于点M ,且12,MA AF MB BF λλ==,当m 变化时,求12λλ+的值.21.(本题14分)(1)讨论函数2ln ()xf x x=(1[,]x e e -∈)的图像与直线y k =的交点个数. (2)求证:对任意的*n N ∈,不等式4444ln1ln 2ln 3ln 11232n n e+++⋅⋅⋅+<总成立.陕西师大附中高2012届高考数学（理）答案一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.第四象限 12.3 13.2m <或35m << 14.43 15.A.13m ≤ B.2三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本题12分)在数列{}n a 中,11a =,且对任意的n N +∈,都有122n n n a a +=+. (1)求证:数列{}2n na是等差数列；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,求证:对任意的n N +∈,14n n S a +-都为定值. 证明: (1)∵122nn n a a +=+,∴1111122122222n n n n n n n n n a a a a +++++--===. ∴数列{}2n n a 是以11122a =为首项,12为公差的等差数列. (2) 由(1)知11(1)2222n na nn =+-=,∴12n n a n -=⋅. ∴01211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ .………………………………①∴12312122232(1)22n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ .……………………………………② ∴由②－①可得212(1222)(1)21n n n n S n n -=⋅-++++=-⋅+ . ∴111421421n n n n S a n n +-+-=⋅+-⋅=,故结论成立.17.(本题12分)如图,已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,E 是PC 的中点. (1)证明//PA 平面BDE ；(2)求二面角B DE C --的余弦值．解法一：(1)连结AC ，设AC 与BD 交于O 点，连结EO .∵底面ABCD 是正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为PC 的中点， ∴//OE PA ， ∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴//PA 平面BDE .解法二：(1)以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则(2,0,0),(0,0,2),(0,11),(2,2,0)A P E B .∴(2,0,2),(0,1,1),(2,2,0)PA DE DB =-==,设1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量,则由 111001,(1,1,1).2200n DE y z y n x y n DB ⎧⋅=+=⎧⎪=-=-⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩得,取得 ∵1220PA n ⋅=-= ，∴1PA n ⊥, PA BDE ⊄又平面，∴//.PA BDE 平面 (2) 由(1)知1(1,1,1)n =- 是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量.设二面角B DE C --的平面角为θ，由题意可知12,n n θ=<>.∴121212cos cos ,||||n n n n n n θ⋅=<>==⋅.18.(本题12分)在城A 的西南方向上有一个观测站B ,在城A 的南偏东15︒的方向上有一条笔直的公路,一辆汽车正沿着该公路上向城A 驶来.某一刻,在观测站B 处观测到汽车与B 处相距31km ,在10分钟后观测到汽车与B 处相距21km .若汽车速度为120/km h ,求该汽车还需多长时间才能到达城A ?解:如图,由题意知60A =︒,120106020()CD km =⨯÷= .则22231202123cos 2312031C +-==⨯⨯,从而sin C =. EPDCBA故sin sin(60)ABC C ∠=+︒=在△ABC 中,由正弦定理可得sin sin60BC ABCAC ⋅∠=︒,带入已知数据可求得35AC =,故15AD =.所以,汽车要到达城A 还需要的时间为15120607.5÷⨯=(分).19.(本题12分)甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队三人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为23,乙队中三人答对的概率分别为221,,332,且各人回答得正确与否相互之间没有影响. (1)若用ξ表示甲队的总得分,求随机变量ξ分布列和数学期望；(2)用A 表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”,用B 表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”,求()P AB .解:(1)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,则有03321(0)(1)327P C ξ==⨯-=,123222(1)(1)339P C ξ==⨯⨯-=,223224(2)()(1)339P C ξ==⨯⨯-=,32328(3)()327P C ξ==⨯=. 所以ξ的分布列为故ξ的数学期望E ξ=12480123 2.279927⨯+⨯+⨯+⨯= (2)用k A 表示事件“甲队得k 分”,用k B 表示事件“乙队得k 分”.因{0,1,2,3}k ∈,且由于30A B 与21A B 为互斥事件,故30213021()()()()P AB P A B A B P A B P A B ==+ .∴23213223222112111234()()()()32222433333P AB C C =⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=. 20.(本题12分)已知直线2222:1:1(0)x y L x my C a b a b=++=>>过椭圆的右焦点F ，且交椭圆C于A ，B 两点．(1)若抛物线2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程；(2)对于(1)中的椭圆C ，若直线L 交y 轴于点M ,且12,MA AF MB BF λλ==,当m 变化时,求12λλ+的值.解：(1)易知b =23,(1,0)b F ∴=又,1c ∴=,2224a b c =+=. 22143x y C ∴+=椭圆的方程为.(2)1(0,)l y M m- 与轴交于,设1122(,),(,)A x y B x y ,则由22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩可得:22(34)690m y my ++-=，故2144(1)0m ∆=+>. 121123m y y ∴+=. 又由1MA AF λ= 得111111(,)(1,)x y x y mλ+=--.1111my λ∴=--. 同理2211my λ=--.1212111282()233m y y λλ∴+=--+=--=-.21.(本题14分)(1)讨论函数2ln ()xf x x=(1[,]x e e -∈)的图像与直线y k =的交点个数. (2)求证:对任意的*n N ∈,不等式4444ln1ln 2ln3ln 12123n e n+++⋅⋅⋅+<总成立.21.(1)解:由题意得:312ln '()xf x x -=.令'()0f x =,得x=．当1(x e -∈时,'()0f x >,故函数()f x在1[e -上递增；当)x e ∈时,'()0f x <,故函数()f x在]e 上递减；又因为12()f e e -=-,12f e =,21()f e e=,所以当12k e >或2k e <-时,没有交点；当12k e =或221e k e -≤<时,有唯一的交点；当2112k e e≤<时,有两个交点.(2)证明:由(1)知函数()f x在上递增,在)+∞上递减,故()f x 在(0,)+∞上的最大值为12e .即对(0,)x ∈+∞均有2ln x x≤12e ,故4222ln ln 1112x x e x x x x =⋅≤⋅. 当1n =时,结论显然成立；当2n ≥时,有:4444222222222ln1ln 2ln3ln ln 21ln31ln 111110()2123223323n n e n n n n ++++=+⋅+⋅++⋅≤+++ 111111*********()()()21223(1)21223(1)212e n n e n n e n e<+++=-+-++-=-<⨯⨯-⋅- . 综上可知,对任意的*n N ∈,不等式4444ln1ln 2ln3ln 12123n e n +++⋅⋅⋅+<成立.。

高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

高考数学客观题训练【6套】选择、填空题

数学PA高考数学客观题训练【6套】选择、填空题专题练习（一）1．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U则≥-+=≥=（）A ．{x |x <2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－1<x ≤2}D ．{x |－1≤x <2}2．设,0,0<>b a 已知),(a b m ∈且0≠m ，则m1的取值范围是： ( )A ．)1,1(a b B.)1,1(b a C.)1,0()0,1(a b ⋃ D.),1()1,(+∞⋃-∞ab 3．设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是4．直线052)3(057)3()1(2=-+-=-+-++yx m m y m x m 与直线垂直的充要条件是（）A ．2-=mB ．3=mC ．31=-=m m 或D ．23-==m m 或5．命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为（）(A) 042,2≥+-∈∀x x R x (B) 042,2>+-∈∃x x R x (C)042,2≤+-∉∀x x R x (D) 042,2>+-∉∃x x R x6. 若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形7．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 A ．2a πB ．22a πC ．32a πD ．42a π8．若22πβαπ<<<-，则βα-一定不属于的区间是 ( )A ．()ππ,- B ．⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ C ．()π,0 D ． ()0,π-9．等差数列{a n } 中，a 3 =2，则该数列的前5项的和为( ) A ．10 B ．16C ． 20D ．3210．不等式10x x->成立的充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >-D ．1x >二、填空题（每题5分，满分20分，请将答案填写在题中横线上） 11. 线性回归方程ˆybx a =+必过的定点坐标是________. 12. .在如下程序框图中，已知：x xe x f =)(0，则输出的是__________.13. 如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒末，它从原点运动到（0，1），接着它按如图所示的x 轴、y 轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→ （2，0）→…），且每秒移动一个单位，那么第2008秒末这个粒子所处的位置的坐标为______。

北京市2012届高考数学理科仿真模拟卷及答案2

北京市2012届高考数学理科仿真模拟卷2一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D) 第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x > (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，xy a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆 5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120 (B) 84 (C) 60 (D) 48 6．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+本题就是考查正弦函数的图象变换。

最好采用排除法。

考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。

7．已知直线l ：0Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则(A) 直线l 与直线P 1P 2不相交(B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交(D) 直线l 与线段P 1P 2相交本题就是考查线性规划问题。

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解10 函数零点

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第10讲函数零点专项突破高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难.考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点，则实数λ的值是（）A．14B．18C．78-D．38-【答案】C利用函数零点的意义结合函数f (x )的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可. 【详解】依题意，函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )的零点，即方程f (2x 2+1)+f (λ-x )=0的根，由f (2x 2+1)+f (λ-x )=0得f (2x 2+1)=-f (λ-x )，因f (x )是R 上奇函数，从而有f (2x 2+1)=f (x -λ)，又f (x )是R 上的单调函数，则有2x 2+1=x -λ，而函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，于是得2x 2-x +1+λ=0有两个相等实数解，因此得Δ=1-8(1+λ)=0，解得λ=78-，所以实数λ的值是78-.故选：C.练（2021·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)【答案】B 【详解】因为()f x 为开口向上的抛物线，且对称轴为2a x =-，在区间（－1，1）上有两个不同的所以()()101002112f f a f a ⎧->⎪>⎪⎪⎛⎫⎨-< ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-<-<⎩，即22102102022222a a a a a a a a ⎧-->⎪⎪⎪+->⎪⎨⎪⎛⎫---<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-<<⎩，解得023a <<，所以实数a 的取值范围是2(0,)3.故选：B例1-2．（2021·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e 为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定【答案】C解析：()()22x f x x x a e '=++当1a ≥时，220x x a ++≥在R 恒成立，所以()()2'20xf x x x a e =++≥在R 恒成立，所以函数()()2x f x x a e =+在R 上单调递增，没有最小值；当1a <时，令() '0f x =得111x a =---，211x a =--，且12x x <当x →-∞时，所以若有最小值，只需要2∵()()22221022100xf x a e a a =--⇔--≤⇔≤≤，∴20x x a ++=的判别式1410a ∆=->≥，因此()2g x x x a =++有两个零点.故选：C ．类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2021·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（） A ．()0,1B ．()1,2 C ．()2,3D ．()3,4【答案】B 【详解】∵()ln 1f x x x =-，()1ln f x x '=+，由()1ln 0f x x '=+=得，1ex =，∴1,()0ex f x '>>，函数()f x 为增函数，当01x <<时，()ln 10f x x x =-<，又()()410,2ln 21ln 0e12f f =-<=-=>，故()f x 的零点所在的区间是()1,2.练．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B 【详解】因为()2xf x x =+为单调递增函数，当2x =-时，()2722204f --=-=-<，当1x =-时，()1112102f --=-=-<，当0x =时，()002010f =+=>，由于()()010f f ⋅-<，且()f x 的图象在()1,0-上连续，根据零点存在性定理，()f x 在()1,0-上必有零点，故选：B.类型三、利用两图像交点判断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象，把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案．【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知，函数()1y f x =-的零点的个数为2个．故选：B ．练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（）A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ln 20,4e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，作出函数()21ln x g x x +=的图象，可知满足不等式()a g x <的整数解有且只有一个，从而可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，令()21ln x g x x +=，其中0x >，则()()243121ln 2ln 1x x x x x g x x x ⋅-+--'==.当120x e -<<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当12x e ->时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减.且当12x e ->时，()21ln 0xg x x +=>，作出函数()g x 的图象如下图所示：由图可知，满足不等式()a g x <的整数解有且只有一个，所以，()1,m n ∈，()2,m n ∉，所以，()()21g a g ≤<，即1ln2ln2144e a +=≤<.因此，实数a 的取值范围是ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数求参数，解题的关键在于利用图象确定整数有哪些，进而可得出关于参数不等式（组）来进行求解.例3-2（一个曲线一个直线）28．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.【答案】7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】求出函数()()y f x g x =-的表达式，构造函数()()(2)h x f x f x =+-，作函数()h x 的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()222,02,0x x f x x x ⎧--⎪-=⎨<⎪⎩… ，∵函数y =f (x )−g (x )恰好有四个零点，∴方程f (x )−g (x )=0有四个解，即f (x )+f (2−x )−b =0有四个解，即函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象有四个交点，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩剟，作函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象如下，115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，结合图象可知，74<b <2，故答案为:7,24⎛⎫⎪⎝⎭. 例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2021福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．【答案】13a ≤-或2a e ≥【解析】函数g x f x ax a =-+（）（）存在零点，即方程0f x ax a -+=（）存在实数根，也就是函数y f x =（）与1y a x =-（）的图象有交点．如图：直线1y a x =-（）恒过定点10（，），过点21-（，）与10（，）的直线的斜率101213k -=---＝；设直线1y a x =-（）与x y e =相切于00x x e （，），则切点处的导数值为0x e ，则过切点的直线方程为()000x x y e e x x --＝，由切线过10（，），则()00000012x x x x e e x x e e --∴＝，＝，得02x = ．此时切线的斜率为2e ．由图可知，要使函数g x f x ax a =-+（）（）存在零点，则实数a 的取值范围为13a ≤- 或2a e ≥．【点睛】本题考查函数零点的判定，其中数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法的灵活应用．例3-4（两个曲线）49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2 【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定. 【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+-222sin cos sin 2x x x x x =-=-，函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点，即f (x )的零点个数为2. 故答案为：2.（两个曲线）8．（2021·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（） A ．3B ．72C ．4D ．92【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性确定函数()f x 的周期，将函数的零点问题转化为两函数的交点，最后通过数形结合求解出参数的值. 【详解】因为()1f x +是奇函数，所以函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称，即(2)()0f x f x -+=．又因为函数()f x 为奇函数，所以(2)()()f x f x f x -=-=-，即(2)()f x f x +=，所以函数()y f x =是周期为2的周期函数．由于函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，得(2)(4)0f f ==．又因为当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，所以21log 212f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11122f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是得出7311222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象如下图所示，由图象可知，函数()y f x =与函数()sin y x π=在区间[]1,m -上从左到右10个交点的横坐标分别为1-，12-，0，12，1，32，2，52，3，72，第11个交点的横坐标为4．因此，实数m 的取值范围是7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故实数m 的最小值为72．故选：B．f x满足（两个曲线）【2021河北省武邑中学高三】若定义在R上的偶函数() ()()=，则函数()3logf x xy f x x=-的零点个数是+=，且当[]2x∈时，()f x f x0,1（）A． 6个 B． 4个 C． 3个 D． 2个【答案】B|x|的图象，【解析】分析：在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3这两个函数图象的交点个数即为所求．详解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f （x）=x，|x|的零点的个数等于函数故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x．因为函数y=f（x）﹣log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：（x）的图象与函数y=log3显然函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象有4个交点，故选B ．点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，根据函数零点和方程的关系进行转化是解决本题的关键．判断零点个数一般有三种方法：（1）方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.本题利用的就是方法（3）.例3-5（直接解出零点）（2021·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（） A ．12B ．14C ．16D ．18 【答案】C 【分析】令()25sin sin 10f x x x =--=可得21sin sin 5x x -=，根据()2sin sin g x x x =-为偶函数，只需求()21sin sin 5g x x x =-=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解的个数，等价于21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-的解的个数，结合正弦函数的性质以及对称性即可求解.【详解】令()0f x =可得21sin sin 5x x -=，设()2sin sin g x x x =-，则()()22sin sin sin sin g x x x x x g x -=--=-=，所以()2sin sin g x x x =-是偶函数，故只需要讨论21sin sin 5x x -=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解得个数，当0x ≥时，由21sin sin 5x x -=可得21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-，解方程21sin sin 5x x -=可得sin x =sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x =解方程21sin sin 5x x -=-可得sin x =或sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x =有三解，sin x =有三解，所以在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，()21sin sin 5g x x x =-=有8解，根据对称性可得()21sin sin 5g x x x =-=在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有16解，所以函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为16，故选：C.类型三、利用周期性判断零点个数例3-1．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（）A ．404B ．804C ．806D ．402 【答案】A 【分析】根据两个偶函数得()f x 的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数．【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，(7)(7)f x f x +=-+，所以()f x 图象关于2x =，7x =轴对称，所以()f x 为周期函数，且2(72)10T =⋅-=，所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组，所以2012402N =⨯=，在[2010,2013]中，含有零点(2011)(1)0f f ==，(2013)(3)0f f ==共2个，所以一共有404个零点.故选：A.例3-2．偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()444f x f x f x +=-=-，所以()()8f x f x +=所以()f x 是周期函数，且周期为8，且()f x 关于4x =对称，又当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，则()()()221ln 21ln 2(0)x x xx f x x x x ⋅--'==>，令()0f x '=，解得e2x =，所以当e0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，当e ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x 为减函数，作出()f x 一个周期内图象，如图所示：因为()f x 为偶函数，且不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，所以不等式在()0,200内有100个整数解，因为()f x 周期为8，所以在()0,200内有25个周期，所以()f x 在一个周期内有4个整数解，（1）若0a >，由()()20f x af x +>，可得()0f x >或()f x a <-，由图象可得()0f x >有7个整数解，()f x a <-无整数解，不符合题意；（2）若0a =，则()0f x ≠，由图象可得，不满足题意；（3）若0a <，由()()20f x af x +>，可得 ()f x a >-或()0f x <，由图象可得()0f x <在一个周期内无整数解，不符合题意，所以()f x a >-在一个周期()0,8内有4个整数解，因为()f x 在()0,8内关于4x =对称，所以()f x 在()0,4内有2个整数解，因为()1ln 2f =，()ln 42ln 22f ==，()ln 633f =，所以()f x a >-在()0,4的整数解为1x =和2x =，所以ln 6ln 23a ≤-<，解得ln 6ln 23a -<≤-. 故选：C类型四、零点之和例4-1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（）A ．0B ．6C ．12D ．24 【答案】A 【分析】首先判断()f x 的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性计算可得；【详解】由()()0g x g x -+=得()y g x =的图象关于()0,0对称，因为()1sin sin f x x x=+，定义域为{}|,x x k k Z π≠∈，且()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x -=+-=--=--，所以()1sin sin f x x x=+为奇函数，即()1sin sin f x x x=+也关于()0,0对称，则函数()1sin sin f x x x=+与()y g x =图象的交点关于()0,0对称，则不妨设关于点()0,0对称的坐标为()()1166,,,,x y x y ⋯，则16160,022x x y y ++==， 252534340,0,0,02222x x y y x x y y ++++==== 则1616252534340,0,0,0,0,0x x y y x x y y x x y y +=+=+=+=+=+=，即()61i i i x y =+=∑()3000⨯+=，故选：A ．例4-2（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（）A ．20B ．24C ．28D ．36 【答案】C 【分析】根据题意可得函数()f x是周期为4，关于点(4,0)中心对称的函数，再将函数()()()4y k x=与()4=-的交点的横坐标，又函数=--的所有零点转化为()y f xg x f x k x()4=-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，在坐标系中作出草图，根据数形结合y k x即可求出结果.【详解】∵定义在R上的奇函数()=-，故图象关于1f x f x2f x满足()()x=对称，∴()()2+=-，f x f x--=-，故()()2f x f x∴()()()f x f x f x+=-+=，即周期为4，42又()f x一个对称中心，f x定义在R上的奇函数，所以(4,0)是函数()又因为当[]=，作出函数()f x的草图，如下：f x xx∈-时，()31,1函数()()()4=与()4y k x=-的交点的横坐标，y f xg x f x k x=--的所有零点即为()易知函数()4=-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，y k x又1335k <<，分别作出函数()143y x =-和()345y x =-的图象，则函数()4y k x =-的图象在函数()143y x =-和()345y x =-的图象之间，如下图所示：则()y f x =与()4y k x =-交点关于(4,0)中心对称，由图像可知关于(4,0)对称的点共有3对，同时还经过点(4,0)，所以1324428ni i x ==⨯⨯+=∑.故选：C.类型五、等高线的使用例5-1．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________. 【答案】[)3,10/310a b c ≤++<【分析】根据题意，作出函数()y f x =图象，数形结合即可求解.根据题意，作出函数()y f x =图象，令()()()f a f b f c t ===，可知函数()y f x =图象与y t =的图象有三个不同交点，由图可知01t ≤<.因a ､b ､c 互不相等，故不妨设a b c <<，由图可知1212a b +=⨯=.当01t <<，时()8log 1c t -=，因01t <<，所以118c <-<，即29c <<，故310a b c <++<；当0t =时，2c =，故3a b c ++=. 综上所述，310a b c ≤++<. 故答案为：[)3,10.例5-2（2021·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（） A ．109,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A根据分段函数解析式研究()f x 的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得123412345x x x x <<<<<<<<、348x x +=、12(1)(1)1x x --=，进而将目标式转化并令11121t x x =-+，构造1()21g x x x =-+，则只需研究()g x 在3(,2)2上的范围即可. 【详解】由分段函数知：12x <≤时()(,0]f x ∈-∞且递减；23x <≤时()[0,1]f x ∈且递增；34x <<时，()(0,1)f x ∈且递减；4x ≥时，()[0,)f x ∈+∞且递增；∴()f x 的图象如下：()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，由图知：01a <<时()f x a =有四个实数根，且123412345x x x x <<<<<<<<，又348x x +=，由对数函数的性质：121212(1)(1)()11x x x x x x --=-++=，可得21111x x =-， ∴令()3411122111112214x x x x x t x x x ++=+=-+=，且1322x <<，由1()21g x x x=-+在3(,2)2上单增，可知31()21(2)2g x g x<-+<，所以10932t <<故选：A.例5-3（2021·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（） ①()0,1m ∈；②()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ③函数()y f x x m =--恰有三个零点.A ．①②B．①③C．②③D．①②③ 【答案】D 【分析】①将问题转化为直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，观察图像可得答案；②设a b c d <<<，则可得2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，根据关系代入a b c d +++求值域即可；③函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，关注1m =和0m =时的交点个数即可得答案根据图像可得答案. 【详解】解：函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像如图：()()()()f f b f d a c f m ====，即直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，故()0,1m ∈，①正确；()()()()f f b f d a c f m ====，不妨设a b c d <<<，则必有2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，ln ln 2d c ∴+=-，则2e c d-=，且11e d << 2e c d d d-∴++=，由对勾函数的性质可得函数2e y x x -=+在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2122e ,e 1e dc d d ---∴+=∈++，()1222,1a b c d e e --∴+++∈--，②正确；函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，如图当1m =时，函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点，当0m =时，研究y x =与1ln y x =+是否相切即可，1y x'=，令1y '=，则1x =，则切点为()1,1，此时切线方程为11y x -=-，即y x =，所以y x =与1ln y x =+图像相切，此时函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点，因为()0,1m ∈，故函数()y f x =与y x m =+的图像恒有3个交点，即函数()y f x x m =--恰有三个零点，③正确.故选：D. 【点睛】关键点点睛：将函数的零点问题转化为图像的交点问题，可以使问题更加直观，并方便解答.例5-4．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】ABC 【分析】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象，根据图象有3个交点确定出123,,x x x 的关系，所以可将方程转化为()3315(ln 21)n x x -+=-，然后构造函数()()()ln 21g x x x =+-并分析()g x 的单调性确定出其值域，由此可求解出n 的取值范围，则n 的值可确定.【详解】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象如下图所示：当1x ≤时，()2333y x =-++≤，当1x >时，ln 11y x =+>，所以由图象可知：()1,3m ∈时关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解，又()221223236,ln 625x x x x x ++=⨯-=+-=--，所以()()()121223323ln 2)5651(16n x x x x x x x -+=+++-=-，又因为()1,3m ∈，所以()3ln 11,3x +∈，所以()231,e x ∈ ，设()()()()()2ln 211,e g x x x x =+-∈，所以()1ln 3g x x x'=-+，显然()g x '在()21,e 上单调递增，所以()()120g x g ''>=>，所以()g x 在()21,e 上单调递增，所以()()()()21,e g x g g ∈，即()()20,4e 4g x ∈-，所以()1250,4e 4n -∈-，所以n 可取1,2,3 故选：ABC.类型六、嵌套函数零点例6-1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【详解】函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，由()()102y f f x =-=，得()()12f f x =，令()f x t =，则1()2f t =，当0t ≤时，1322t +=，得12t =-，当0t >时，1lg 2t =，则t所以当12t =-时，1()2f x =-，由图象可知方程有两个实根，当 =t ()f x =，由图象可知，方程有1个实根，综上，方程()()12f f x =有3个实根，所以函数()()12y f f x =-的零点个数为3，故选：C例6-2．（2021·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x=-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________. 【答案】3ln3- 【分析】设()f x t =，则根据题意得2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <，故122t t +=，212t t =-，再结合()f x 的图象可得1221x x e t ==，3212x t t ==-，101t <<，进而1231122ln 34x x x t t -+=-+，再构造函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，分析函数的单调性，求得最大值. 【详解】由题意设()f x t =，根据方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根，即2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <122t t ∴+=，则212t t =-，方程1()f x t =或2()f x t =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，作出图象如图所示：那么1221x x e t ==，可得3212x t t ==-，101t <<，所以1231122ln 34x x x t t -+=-+，构造新函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，则13()t h t t-'=，所以()h t 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()3ln 33h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以12322x x x -+的最大值为3ln3-. 故答案为：3ln3-.例6-3（2021·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________．【答案】(]01，．【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求．【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t>时，有唯一的x与之对应；当1t≤时，有两个不同的x与之对应．由方程组()()t f xf t a=⎧⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x知，需要方程②有两个不同的t，且一个1t>，一个1t≤，结合图象可知，当(]01a∈，时，满足一个(]10t∈-，，一个(]12t∈，，符合要求，综上，实数a的取值范围为(]01，．故答案为：(]01，.例6-4. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.【详解】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得： .即的取值范围是.类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x ，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x xax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的所有极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,3B ．(]1,3C ．[]1,3D ．[)3,+∞【解析】（1）易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x ，令2x －πsin x=0，得2,0π==x x ，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x ，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.（2）【答案】B 【解析】由题意得()221362f x x ax a a'=+++()0a >，因为()f x 有极值，所以()2213620f x x ax a a'=+++=有2个不等实根，即()222116432120a a a a a ⎛⎫⎛⎫∆=-⨯⨯+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即310a a->，因为0a >，解得1a >．令()()()2213620h x f x x ax a a a '==+++>，由()660h x x a '=+=得x a =-，设()f x 的极值点为1x ，2x ，则1x ，2x 为方程()2213620f x x ax a a'=+++=的根，则122x x a +=-，2122133a x x a=+，因为()()3223221211122211321321f x f x x ax a x x ax a x a a ⎛⎫⎛⎫+=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3221212121212121336220x x x x x x a x x ax x a x x a ⎛⎫=+-+++-++++= ⎪⎝⎭，所以()()()2121263f x f x f a a a '++-=-+≥-，令()()211g a a a a =-+>，易得()g a 在()1,+∞上单调递减，且()2633g =-，所以31≤<a ．故选：B.例7-2已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>. （1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>，∴1()x af x e x a-'=-+. ∵x a e -在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()'f x 在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<，则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<.令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（*）. 函数1()x af x e x a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x e x a -==-+.由（*）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（*）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12.【方法总结】类型一：化为一元二次函数得零点问题类型二：复杂函数得零点思想：①先设后求、设而不求②与零点存在性定理结合使用步骤：(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f(x 0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围．【答案】(],2-∞．解：原不等式等价于()()ln 21xxe x x b x -+≥-+，即ln 1x xe x x bx +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，等价于ln 1x xe x x b x +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，令()ln 1x xe x x t x x +--=，()0,x ∈+∞，∴()22ln x x e xt x x+'=，令()2ln xx x e x ϕ=+，则()x ϕ为()0,∞+上的增函数，又当0x →时，()x ϕ→-∞，()10e ϕ=>，∴()x ϕ在()0,1存在唯一的零点0x ，即0020e n 0l xx x +=，由0001ln 2000000ln 1ln 0ln x x x x x e x x e e x x ⎛⎫+=⇔=-= ⎪⎝⎭，又有x y xe =在()0,∞+上单调递增， ∴0001ln ln x x x ==-，001x e x =，∴()()00000min 0ln 12x x e x x t x t x x +--===⎡⎤⎣⎦， ∴2b ≤，∴b 的取值范围是(],2-∞．例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）()g x 只有一个零点，理由见解析.（1）求出导数()'f x ，按a 分类讨论确定()'f x 的正负，得函数的单调性；（2）求出导函数()'g x ，对其中一部分，设()1e xh x x=-(0x >)，用导数确定它的零点0(0,1)x ∈，这样可确定()g x 的单调性与极值，然后结合零点存在定理确定结论．【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()()()()2222e 2e 2e x x xx x x a f x a x =-+-+=+-'，当2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上是增函数；当2a <时，()(2(2)e e xx x a x x f x ⎡⎤=--=⎣⎦'，所以()0x f x =⇔='()0x f x >⇔<'或x > ()0f x x ⇔<'<所以()f x 在(上是减函数，在(,-∞和)+∞上是增函数.（2）当1a =时，()()2211e ln 2xg x x x x =--+，其定义域为()0,∞+，则()()()1e 11x g x x x x '=+--⎛⎫⎪⎝⎭.设()1e xh x x =-(0x >)，则()21e 0xh x x'=+>，从而()h x 在()0,∞+上是增函数，又1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0x h x x =-=，即001e x x =，00ln x x =-. 列表如下：由表格，可得()g x 的极小值为()12g =-；()g x 的极大值为()()022222000000000002111111e ln 2222x x x g x x x x x x x x x -+=--+=--=-+-因为()0g x 是关于0x 的减函数，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()03128g x -<<-，所以()g x 在(]0,1内没有零点.又()1102g =-<，()22e 2ln 20g =-+>，所以()g x 在()1,+∞内有一个零点. 综上，()g x 只有一个零点.类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关思想：偏离−−→−转化对称步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数（2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）构造对称函数类型二、目标与极值点不相关步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数（2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）寻找零点之间的关系，消元换元来解决例8-1．（2021·江苏高三开学考试）已知函数()ln a f x x x=+（a ∈R ）有两个零点.（1）证明：10ea <<.（2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求出导函数，当0a ≤时显然不成立，当0a >时求出函数的单调区间，即可得到函数的极小值()f a ，依题意()0f a <，即可求出参数a 的取值范围；（2）由（1）可得120x a x <<<，设()()()2g x f a x f x =--，求出函数的导函数，即可得到122x x a +>，（3）由（1）可得120x a x <<<，再设21x tx =，1t >，则1221ln ln x x t x x ==，则()()12ln 1ln ln 1t t x x t t t +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，再利用导数说明()ln 1th t t =-的单调性，即可得到121x x +<，从而得证；【详解】（1）证明：由()ln af x x x=+，0x >，可得()21af x x x '=-，0x >.当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，与题意不符.当0a >时，令()210af x xx '=-=，得x a =. 当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.可得当x a =时，()f x 取得极小值()ln 1f a a =+.又因为函数()ln a f x x x=+有两个零点，所以()n 10l a f a =+<，可得1e a <.综上，10ea <<.（2）解：由上可得()f x 的极小值点为x a =，则120x a x <<<.设()()()()l 2ln 22n a ag x f a x f x a x a x xx =--=-+---，()0,x a ∈，可得()()()()222224110222a x a a ag x a x x x a x x a x ---'=--+=>---，()0,x a ∈，所以()g x 在()0,a 上单调递增，所以()()0g x g a <=，即()()20f a x f x --<，则()()2f a x f x -<，()0,x a ∈，所以当120x a x <<<时，12a x a ->，且()()()1122f a x f x f x -<=.因为当(),x a ∈+∞时，()f x 单调递增，所以122a x x -<，即122x x a +>.（3）由（1）可得120x a x <<<，设21x tx =，1t >，则1122ln 0,ln 0,a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩则1221ln ln x x t x x ==，即()1211ln ln ln ln ln x t x t tx t x t ===+.所以1ln ln 1t tx t =--，所以()()()()()1211ln 1ln ln ln ln 1ln ln 1ln 111t t tt x x x t x t t t t t t ⎛⎫++=+=++=-++=- ⎪--⎝⎭.又因为()ln 1th t t =-，则()()211l n 01t t h t t --'=<-，所以()h t 在()1,+∞上单调递减，所以()ln 1ln 1t t t t +<-，所以()12ln 0x x +<，即12 1.x x +<综上，1221a x x <+<.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π. 【解析】 (1)易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x ，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，设h(x)＝2x －πsin x ，h′(x)＝2－πcos x ，显然h′(x)单调递增，而h′(0)＜0，h′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得h′(x 0)＝0.当x∈(0，x 0)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，而 h(0)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，h(x)＜0，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x ，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.(2)证明：依题意得x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，f(x 1)=f(x 2), 构造函数F(x)＝f(x)－f(π－x)，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，F′(x)＝f′(x)＋f′(π－x)＝2π－2πsin x ＞0，即函数F(x)单调递增，所以F(x)＜F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，即当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f(x)＜f(π－x)，而x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以f(x 1)＜f(π－x 1)，又f(x 1)＝f(x 2)，即f(x 2)＜f(π－x 1)，此时x 2，π－x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞. 由(1)可知，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞上单调递增，所以x 2＜π－x 1，即x 1＋x 2＜π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当12()()f x f x =12()x x ≠时，120x x +<【解析】解： (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('222222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--⋅=+⋅--+⋅-+-=（（（ ;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴<⋅-=∆单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈.所以，()y f x =在0]-∞在（，上单调递增；在[0x ∈+∞，）上单调递减. （Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(－x)即可。

2012届高考理科数学一轮复习(新人教A版)单元质量评估10

单元质量评估十(第十章) 时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．在(x 2－13x )8的二项展开式中，常数项等于( )A.32 B ．－7 C ．7D ．－32解析：(x 2－13x)8的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C 8r (x 2)8－r·(－x －13)r ＝(－1)r C 8r28－r·x 8－43r ，令8－43r ＝0得r ＝6，所以r ＝6时，得二项展开式的常数项为T 7＝(－1)6C 8628－6＝7. 答案：C2．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A ．6个B ．9个C ．18个D ．36个解析：由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相同的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．答案：C3．从5位志愿者中选派4位在星期五、星期六、星期日参加海地地震募捐公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有( )A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种解析：按分步计数原理可分三步：第一步：从5位同学中选派4位有C 54种选法；第二步：从4位同学中选派2人在星期五参加活动有C 42种选法；第三步：剩下2人在星期六、日参加活动有A 22种．∴不同选派方法共有C 54C 42A 22＝60(种)．答案：B4．(x －13x )10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：∵T r ＋1＝C 10r (x )10－r (－13x)r＝C 10r x 10－r2·(－13)r ·x －r ＝C 10r(－13)r x 5－32r ，由5－32r ∈N *，知r ＝0或r ＝2，∴展开式中第1、3项的x 的指数为正整数．故选B. 答案：B5．在一底面半径和高都是2 m 的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2 m 3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是( )A.14B.18πC.14πD ．1－14π解析：可用体积作为几何度量，易知取出带有麦锈病的种子的概率为P ＝2π·22·2＝14π.答案：C6．集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －1|，x ∈N *}，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N *}．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a ，掷第二颗骰子得点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于( )A.14 B.29[来源:Z&xx&] C.736D.536解析：由于y ≥|x －1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0x ＋y －1≥0，根据二元一次不等式表示平面的区域，可知A ∩B对应如下图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a ，b )∈A ∩B 的概率为836＝29，故选B.答案：B7．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且E (Y )＝34，若X 的概率分布如下表，则m 的值为( )X 1 2 3 4 P14 mn112A.13B.14C.16D.18解析：由Y ＝12X ＋7⇒EY ＝12EX ＋7 ⇒34＝12EX ＋7⇒EX ＝94⇒94＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112，又14＋m ＋n ＋112＝1，联立求解可得m ＝13，故选A. 答案：A8．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开，若他们在限期内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为( )[来源:学。

福建省2012届高考数学文二轮专题总复习课件：函数的图像与性质(2)

f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0或 ( x1 − x2 ) f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0；单调递增： x1 − x2 f ( x1 ) − f ( x2 ) 单调递增： < 0或 ( x1 − x2 ) f ( x1 ) − f ( x2 ) < 0. x1 − x2
第t天 Q(万股)
4 36
10 30
16 24
22 18
20
(1) 根据提供的图象，写出该股票交易价格P(元)所满足
的函数关系式；
( 2 ) 根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t (天)的一
次函数关系式；
( 3)问30天内，该股票日交易金额哪天最大？最大日交易
金额是多少？
21
1 ( 0 < t ≤ 20，t ∈ N*) 5 t + 2 【解析】1) P = . ( − 1 t + 8 ( 20 < t ≤ 30，t ∈ N*) 10 ( 2 ) 设Q = at + b(a，b为常数)，将 ( 4,36 ) 与 (10,30 )的坐标代入， 4a + b = 36 a = −1 得，解得 . 10a + b = 30 b = 40 所以日交易量Q(万股)与时间t (天)的一次函数关系式为 Q = 40 − t (0 < t ≤ 30，t ∈ N* )．
23
②当20 < t ≤ 30，t ∈ N*时， 1 1 2 P Q = (− t + 8) ( 40 − t ) = ( t − 60 ) − 40， 10 10 所以，当t = 21时， Q) max = 112.1 < 125； (P 当t = 15时， Q) max = 125(万元)． (P 故该股票日交易额15号最大，最大交易金额是125万元．

2012届高三数学第二轮复习计划

2012届湘阴六中高三理科数学第二轮复习计划湘阴六中阳建冬一、指导思想高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。

强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。

整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，掌握通性通法。

第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有“二轮看水平”之说.“二轮看水平”概括了第二轮复习的思路，目标和要求．具体地说，一是要看教师对《考试说明》、《考题》理解是否深透，研究是否深入，把握是否到位，明确“考什么”、“怎么考”．二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展．三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架．四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法．二、考试说明分析：与2011年相比，今年湖南省高考数学考纲估计不会有太大改动，今年高考数学的主体内容我估计会不变,传统的六大块仍然是我们二轮复习的重点。

去年湖南高考数学试卷难度不太大，要求不高，但是知识覆盖面广，区分度适宜。

因此，我预估今年试题题型不会变化太大，而且难度也不会有太大变化，不回避以前考过的重要内容，减少运算量加大思维量，降低试题的入口难度，考查知识主干知识，注重通性通法，淡化特殊技巧。

2012届高考理科数学小题训练

2012届高考理科数学小题训练1 姓名一、本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合211{|log (1)1},{|()1}42xM x x N x =-<=<<，则M N = （） A ．{|12}x x <<B ．{|13}x x <<C ．{|03}x x <<D ．{|02}x x <<2．已知向量()525,2,1=-=⋅=b a a等于（）A ．5B ．52C ．25D ．53．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（） A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm4．命题“存在R x ∈，使24x ax a +-＜0，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， 105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（） A. m 250B. m 350C. m 225D. m 22256. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. 1s ，2s 分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）. 为（） A ．> B ．< C ．＝ D ．不能确定7. 函数x x y sin 3+=的图象大致是（）正视图侧视图俯视图8．设双曲线1422=-y x 的两条渐近线与直线2=x 围成的三角形区域（包括边界）为D ，P ()y x ,为D 内的一个动点，则目标函数y x z -=21的最小值为（）A ．2-B ．223-C ．0D ．225-二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上。

2012届高考理科数学二轮复习课件：数列的通项与求和

【典例】在等比数列{an}中,设前n项和为Sn,x=Sn2+S2n2,
y=Sn(S2n+S3n),试比较x与y的大小. 【解题指导】用首项a1和公比q 表示等比数列的和,并对公比 q 分q=1和q≠1两种情况讨论. 【规范解答】设等比数列的首项为a1,公比为q, 则当q=1时，Sn=na1, ∴x=(na1)2+(2na1)2=5n2a12,y=na1(2na1+3na1)=5n2a12, ∴x=y;
bn
【解题指导】解答本题(1)利用两个已知条件直接求公比及首项a1,确定通项公式.对于(2)，首先利用对数运算性质求出bn,
进而得 1 ，再利用裂项相消求和法求解.
bn
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【规范解答】(1)设数列｛an｝的公比为q.由a32=9a2a6得 a32=9a42,所以 q 2 . …………………………………………2分由条件可知q＞0,故 q . ……………………………………3分由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,得 a1 1 . ………………………5分
3 1 3 1 9
故数列｛an｝的通项公式为 a n 1n . ………………………6分
n n 1 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)= . 2
3
…………………………………………………………………8分故
1 2 1 1 2( ). ………………………………9分 bn n n 1 n n 1
bn
n 1
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数列求和方法集锦 (1)直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列中q≠1的讨论.

【公开课优质课】高考数学专题填空题解题策略

2012届高考数学专题复习
填空题解题策略
解填空题要求：“快速、准确”
要想“快速“解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下工夫。直接法特例法解填空题的常用方法有：数形结合法转化法构造法归纳猜想法
一、直接法
直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通
y 1
-1
O
1
x
-1
注：涉及解析几何中的斜率、截距、距离等, 研究取值范围的问题。
例2：记实数 x1 , x 2 , , x n 中的最小数为 minx1 , x 2 , , x n , 设函数
f ( x) min 1 sinx,1 sinx( 0) ，若
f x 的最小正周期为1，则
例2.过双曲线
x2 a
2

y2 b
2
1 上任意一点P，引与
实轴平行的直线，交两渐近线与M,N两点，
则 PM PN 的值为____________ 。 a
2
N
M
P
设P（x0, y 0） b y x a M y , y a 0 0 b y y0 b y x a N y , y a 0 0 b y y0 a a PM y 0 x0 ,0 , PN y 0 x 0 ,0 b b PM PN
注：构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围，函数的最值问题
【2010江苏高考数学试卷11】
f (1 x 2 ) f 2 x 的 x 的范围是_____________。
【2011江苏高考数学试卷14】

2012届高三数学第二学期复习计划

2012届高三数学第二学期复习计划高三数学备课组一、复习内容与进度安排1、完成第二轮专题复习，巩固第一轮复习知识，抓住重点，突出专题;2、完成第三轮综合巩固复习，全面提升学生各种能力.二、第二轮复习及第三轮复习内容与要求1、第二轮复习，抓重点、促提高，实行重点知识专题讲授，题组训练。

时间安排：2月—5月中，共8周.题组训练：题组和专题配套训练①训练重点题和热点题②训练本校主要得分题③训练意外题与创新题○4训练查漏补缺题训练要求：练在讲之前，讲在关键处；限时训练，及时讲评.2、第三轮复习：回归基础，巩固提高时间安排：5月18日—6月5日（1）主干知识一：函数与导数（2）主干知识二：数列递推，综合应用（3）主干知识三：三角函数图象与解三角形（4）主干知识四：立体几何（5）主干知识五：解析几何（6）主干知识六：向量、不等式、概率统计注意事项：（1）加强套题整体训练. （2）加强对临界生的贴身辅导，个性化辅导.（3）加强对考生的心理疏导. （4）加强考试技能的辅导.（5）加强对基础的回归与巩固.三、备课组活动安排每周定时定点开展一次备课组活动.活动地点：后东二；每次安排一位老师作为中心发言人，中心发言人要对下一周复习内容的重点、难点、进度、难度、深度、方法及要使用的例题作分析发言，然后其它老师深入讨论，备课组长、学科带头人把关决定.中心发言人同时要准备本周的周练.中心发言人按教学进度与时间安排表发言.2012届高三数学备课组2011年2月制订高三第二轮复习建议与计划作者:高三数学备课组来源:高新一中网站录入:Admin更新时间：2009-1-22点击数：555【字体：】【编辑寄语】高三年级第二轮复习是提高高考数学成绩的关键，怎样安排，怎样才能事半功倍.现将数学第二轮复习计划和建议整理出版，仅供读者参考.---王凤进高三第二轮复习建议与计划高三数学备课组一．高三数学复习时间安排：第二轮：从本学期3月15日开始到4月15日结束；第三轮：：从本学期4月16日开始到5月11日结束1.每周安排7课时，分专题进行主干知识的整理，查漏补缺.2.利用2课时的时间，做填空题的专项训练，提高学生解填空题的速度与正确率，促进学生思维的敏捷性和严谨性；3.利用2课时进行作业讲评，学习交流.4.每周训练至少一份综合试卷二、二轮复习的定位1．第二轮复习——“方法篇”以综合性专题形式，强调方法、技巧，主要研究数学思想方法，练习专题化，专题规律化.2．第三轮复习——“策略篇”以仿真训练为主，同时强调冲刺和应试技巧，提高同学们的解题速度和应对策略，为学生排忧解难，及时剔除学生复习中暴露出来的各种不利因素，调整心态，加强补漏，提高实战能力.三、高三数学二轮复习的教学建议突出方法，提升能力，学会思考，关注高考，重在体验1．吃透“说明”抓重点；2．重组内容抓专题；3．有效操作抓落实；4．师生和谐抓效益；5．查漏补缺抓到人.四．高三数学二轮复习的关键1、一看教师对《教材》、《教学要求》与《考试说明》理解是否透彻，研究是否深入，把握是否到位，明确“考什么”，“怎么考”；2、二看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出；3、三看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，能使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，立的联系起来.练习检测与高考是否对路，不拔高、不降低，难度适宜；4、四看学生教师关系协调是否融洽，是否能形成合力.五．高三数学二轮复习的方法1、变“介绍方法”为“选择方法”，突出解法的发现和运用；2、变“全面覆盖”为“重点讲练”，突出高考的“热点”问题；3、变“以量为主”为“以质取胜”，突出讲练落实，严控练习检测量；4、变“以…补弱‟为主”为“扬长补弱”，突出因材施教.六．高三数学二轮复习的处理好八个方面的问题：1、《考纲》解读问题；2、基础与专题问题；3、规范与速度问题；4、课堂容量问题；5、信息反馈问题；6、发挥学生主体地位问题；7、信息反馈有效即时的问题；8、讲解方式问题.七．高三数学二轮复习的克服六种倾向：1、克服难题过多，起点过高；2、克服速度过快，内容过多；3、克服只练不讲；4、克服照抄照搬；5、克服集体备课不到位，会诊不力；6、克服高原现象.八．知识重组专题安排：第一单元集合、函数与导数第一讲集合与逻辑的工具作用第二讲函数的图象与性质第三讲几个重要的初等函数第四讲函数的综合第五讲导数及其应用第二单元空间几何体第一讲线面位置关系第二讲空间几何体第三讲空间向量的应用第三单元直线、圆、圆锥曲线第一讲直线和圆、线性规划第二讲圆锥曲线基本问题第三讲圆锥曲线综合问题第四单元三角函数、平面向量、解三角形第一讲三角函数的图象与性质第二讲三角恒等变换第三讲解三角形第四讲平面向量第五单元数列第一讲等差数列与等比数列第二讲数列的综合应用第六单元不等式不等式的应用第七单元排列、组合与概率、统计第一讲概率与统计第二讲排列组合与概率第八单元应用与创新专题复习第九单元高考中常用数学的方法第十单元第一讲高考数学选择题的解题策略第二讲高考填空题的常用方法第三讲怎样解高考数学压轴题。

高考数学三角函数选择填空专题练习(含答案)

高考数学三角函数选择填空专题练习一、选择题1．为了得到函数sin 2y x =的图象，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移π12个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度 2．若3tan 4x =，则ππtan tan 2424x x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．2 C ．32 D ．32-3．已知函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线8π3x =对称 C ．()f x 的一个零点为π6 D ．()f x 在区间π03⎛⎫⎪⎝⎭,上单调递减4．函数()()π2sin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,1上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）A ．[]2π,4πB ．9π2π,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13π25π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．25π2π,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕϕω⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭为π2，且()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2y x =的图象向右平移π6个单位 B ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =对称C ．当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为D ．函数()f x 在ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增6．函数()πsin sin 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（）A B ．2C ．D ．47．已知函数()cos sin f x x x =-在[],a a -上是减函数，则a 的最大值是（） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π8．已知A 是函数()ππsin 2018cos 201863f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x ⋅-的最小值为（） A ．π2018B ．π1009C ．2π1009D ．π40369．如图，己知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象关于点()2,0M 对称，且()f x 的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将()f x 的图象向右平移13个单位长度，得到函数()g x 的图象；则下列是()g x 的单调递增区间的为（）A ．713,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．410,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．17,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1016,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()2sin 22sin f x x x =-，给出下列四个结论（）①函数()f x 的最小正周期是π；②函数()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；③函数()f x 图像关于π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④函数()f x 的图像可由函数2y x =的图像向右平移π8个单位，再向下平移1个单位得到．其中正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知()()sin f x x ωθ=+（其中0ω>，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）()()12''0f x f x ==，12x x -的最小值为π2，()π3f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图像向左平移π6个单位得()g x ，则()g x 的单调递减区间是（）A ．ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，()k ∈ZB ．π2πππ63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，()k ∈ZC ．π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k ∈ZD ．π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z12．已知函数()sin sin3f x x x =-，[]0,2πx ∈，则()f x 的所有零点之和等于（） A ．8π B ．7π C ．6π D ．5π二、填空题13．已知α为第一象限角，sin cos αα-=，则()cos 2019π2α-=__________． 14．已知tan 2α=，则2cos sin2αα+=__________．15．已知πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π7π,66α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2sin cos 222ααα=_____．16．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0ω>，πϕ<）的一个零点是π3x =，且当π6x =-时，()f x 取得最大值，则当ω取最小值时，下列说法正确的是___________．（填写所有正确说法的序号） ①23ω=；②()01f =-； ③当π5π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；④函数()f x 的图象关于点7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．参考答案 1．【答案】B【解析】ππsin 2sin 2126y x x ⎡⎤⎛⎫==-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故应向右平移π12个单位长度．故选B ． 2．【答案】C【解析】因为2tan1tan 14tanππ3222tan tan 2tan 242421tan 1tan 1tan 222x x xx x x x x x+-⎛⎫⎛⎫++-=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+-，故选C ． 3．【答案】B【解析】函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期为2ππ2T ==，故A 正确；函数图像的对称轴为2ππ2π32x k +=+，ππ122k k x ∈⇒=-+Z ，k ∈Z ，8π3x =不是对称轴，故B 不正确；函数的零点为2π2π3x k +=，ππ32k k x ∈⇒=-+Z ，k ∈Z ，当1k =时，得到一个零点为π6，故C 正确；函数的单调递减区间为2ππ3π2π,π322x k k ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，解得x 的范围为ππ5π,π122122k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，区间π0,3⎛⎫⎪⎝⎭是其中的一个子区间，故D 正确．故答案为B ．4．【答案】C 【解析】由题意得π5π32ω+≥，π9π32ω+<，13π25π66ω∴≤<，故选C ． 5．【答案】A【解析】因为()f xA =，又图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，故π22T =，即2ω=，所以()()2f x x ϕ=+，令π12x =-，则ππ6k ϕ-+=即ππ6k ϕ=+，k ∈Z ，因π2ϕ<，故π6ϕ=，()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．πππ22266y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故向右平移π6个单位后可以得到()π26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故A 正确；5π5ππ01266f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数图像的对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故B 错；当ππ66x -≤≤时，πππ2662x -≤+≤，故()min f x =，故C 错；当ππ63x ≤≤时，ππ5π2266x ≤+≤，()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，故D 错．综上，故选A ． 6．【答案】A【解析】函数()π1sin sin sin sin 32f x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭31πsin cos 226x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭A ． 7．【答案】A【解析】()'sin cos f x x x =--，由题设，有()'0f x ≤在[],a a -上恒成立，π04x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故3ππ2π2π44k x k -≤≤+，k ∈Z ．所以3π2π4π2π4k a a k -≤-⎧⎪≤⎨+⎪⎪⎪⎩，因0a >，故0k =即π04a <≤，a 的最大值为π4，故选A ．8．【答案】B 【解析】()ππsin 2018cos 201863f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112018cos2018cos2018201822x x x x =++π2018cos 20182sin 20186x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()max 2A f x ∴==，周期2ππ20181009T ==，又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，()()2max 2f x f x ∴==，()()1min 2f x f x ==-，12A x x ⋅-的最小值为1π21009A T ⨯=，故选B ．9．【答案】D【解析】由图象可知A =()f x 的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，所以(22242T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得4T =，即2π4w =，即π2w =，则()π2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 关于点()2,0M 对称，即()20f =π202ϕϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，解得0ϕ=，所以()π2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移13个单位长度，得到()g x 的图象，即()π1ππ2326g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由ππππ2π2π2262k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，得244433k x k -+≤≤+，k ∈Z ，当1k =时，101633x ≤≤，即函数的单调增区间为1016,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选D ． 10．【答案】B【解析】()2πsin 22sin sin 2cos21214f x x x x x x ⎛⎫=-=+-+- ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故①正确令ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+，解得π5πππ88k x k +≤≤+，当0k =时，()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，故②正确令π204x +=，解得π8x =-，则()f x 图像关于π,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故③错误 ()π214f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，可以由()2f x x =的图象向左平移π8个单位，再向下平移一个单位得到，故④错误，综上，正确的结论有2个，故选B ． 11．【答案】A【解析】∵()()sin f x x ωθ=+（其中0ω>，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）由()()12''0f x f x ==可得，1x ，2x 是函数的极值点， ∵12x x -的最小值为π2，∴1ππ22T ω⋅==，2ω∴=，()()sin 2f x x θ∴=+，又()π3f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象的对称轴为π6x =，ππ2π62k θ∴⨯+=+，k ∈Z ，令0k =可得π6θ=，()πsin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移π6个单位得()ππsin 2cos 266g x x x ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，令2π22ππk x k ≤≤+，πππ2k x k ∴≤≤+，则()cos 2g x x =的单调递减区间是ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ，故选A ． 12．【答案】B【解析】由已知函数()sin sin3f x x x =-，[]0,2πx ∈，令()0f x =，即sin sin30x x -=，即2sin sin3sin cos2cos sin 2sin cos22sin cos x x x x x x x x x x ==+=+，即()2sin cos22cos 10x x x +-=，解得sin 0x =或2cos22cos 10x x +-=，当sin 0x =，[]0,2πx ∈时，0x =或πx =或2πx =；当2cos22cos 10x x +-=时，即222cos 2cos 20x x +-=，解得cos x =，又由[]0,2πx ∈，解得π4x =或3π4或5π4或7π4，所以函数()f x 的所有零点之和为π3π5π7π0π2π7π4444++++++=，故选B ．13．【解析】()cos 2019π2cos2αα-=-，因为sin cos αα-=，所以11sin23α-=，2sin23α∴=，因为sin cos 0αα->，α为第一象限角，所以ππ2π2π42k k α+<<+，k ∈Z ，π4π24ππ2k k α∴+<<+，k ∈Z ，所以cos2α=． 14．【答案】1【解析】tan 2α=，∴原式22222cos 2sin cos 12tan 1221sin cos tan 121ααααααα+++⨯====+++．故答案为1．15．【解析】原式1ππsin sin cos 236αααα⎛⎫⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π7π,66α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]π0,π6α-∈，因πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．16．【答案】①④【解析】函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0ω>，πϕ<）的一个零点是π3x =，则ππ2sin 1033f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π1sin 32ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ2π36k ωϕ+=+或()5π2π6k k +∈Z ，()ππ2π62n n ωϕ-+=+∈Z ，两式相减得()243k n ω=-±，又0ω>，则min 23ω=，此时2π5π2π96k ϕ+=+，k n =，11π2π18k ϕ∴=+，又πϕ<，则11π18ϕ=，()211π2sin 1318f x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，当π5π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 先减后增，函数()f x 的图象关于点7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，()11π02sin1118f =-≠-，故填①④．。

热点专题03 求极限无穷等比数列(选填题)高考数学二轮复习热点考题精华篇(上海专用)(解析版)

热点专题03求极限无穷等比数列（选填题）每个模块详细全面的知识点讲解+专题练习，可以在本人的作品的一轮复习找到对应资料一、填空题 1．若{}n a 是无穷等比数列，且12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，则1a 的取值范围为___________. 【答案】(0,2)(2,4)【解析】先设无穷等比数列的公比为q ，根据无穷等比数列各项和的性质，由题中条件，得到121a q=-，1q <且0q ≠，即可求出结果.设无穷等比数列的公比为q ，因为12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，即()11lim 21n n a q q→∞-=-，即11lim 211n n q a q q →∞⎛⎫-= ⎪--⎝⎭，所以只需121a q=-，1q <且0q ≠，所以122a q =-，因为1q <且0q ≠，即10q -<<或01q <<，则022q <-<或220q -<-<，因此2224q <-<或0222q <-<，即122(0,2)(2,4)=-∈⋃a q . 故答案为：(0,2)(2,4).【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于掌握无穷等比数列各项和的性质，为使无穷等比数列各项和为常数，公比q 必然满足1q <且0q ≠，进而即可求解.2．无穷等比数列{}n a 中，23342,1a a a a +=+=，则此数列的各项和S =________________【答案】163【解析】先利用已知条件求出等比数列的首项和公比，再求{}n a 的前n 项和，取极限即可求解.设等比数列{}n a 公比为q ，则()342323a a a q a q q a a +=+=+，所以12q =，解得：12q =，由()22312a a a q q+=+=可得111224a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得183a=，所以18132n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其前n 项和为81132161113212nnnS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 1611616116lim lim 1lim 323323nn n x x x S →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故答案为：1633．2225lim 410n n n n →∞+=++__________________．【答案】2【解析】分子分母同时除以2n ，再求极限即可.2222522520lim lim 24104101100n n n n n n n n→∞→∞+++===++++++，故答案为：24．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所有项的和为S ，且lim(2)1n n S S →∞-=，则其首项1a 的取值范围________ 【答案】(2,1)(1,0)---【解析】无穷等比数列{}n a 的公比q 满足0||1q <<,而lim(2)21n n S S S S S →∞-=-=-=,再结合11a S q=-,可求得1||110a +<<,解不等式即可.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,11a S q=-,则0||1q <<, 因为lim n n S S →∞=,所以lim(2)lim lim221n n n n n S S S S S S S →∞→∞→∞-=-=-=-=,则111a q=--,11q a =+, 因为0||1q <<,所以1||110a +<<,解得1(2,1)(1,0)a ∈---.故答案为:(2,1)(1,0)---.【点睛】本题考查了数列极限的应用,考查了学生对极限知识的掌握,要注意公式11a S q=-中0||1q <<,属于中档题. 5．在数列{}n a 中，已知13a =.若对于任意大于1的正整数n，点在直线0x y --=，则2lim(1)nn a n →∞=+______.【答案】3 【解析】==，公差d ==即23n a n =，再由数列的极限运算即可得解.由题意0===，所以数列=d =()1n d -=，所以23n a n =，所以22223lim lim 3lim 3(1)132121100n n n n n n n n na n →∞→∞→∞=++++===+++. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了等差数列的判定及通项公式的应用，考查了数列极限的求解与运算求解能力，属于中档题.6．如果函数()log a f x x =的图像经过点1,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2lim n n a a a →∞+++=______.1【解析】先根据题意求出a 的值，再有等比数列前n 项和公式列出2n a a a +++的和，再用极限的方法即可求解.将点1,22P ⎛⎫⎪⎝⎭代入()log a f x x =，可得1log 22a =，即a =所以212⎫⎪-⎪⎝⎭+++=nna a a 所以()21221limim l →∞→∞⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++==⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=⎝⎭n n n n a aa .1【点睛】本题主要考查用极限的方法求无穷等比数列各项的和，涉及到对数函数的应用，属于中档题.7．设数列{}n a 的前n 项和为221(*)n S n n N =+∈，则2lim nn nS a →∞=__________. 【答案】18【解析】先算出n a ，从而可求2lim n n nS a →∞，因为221(*)nS n n N =+∈，故3,142,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故()22222122121lim lim lim 1684224n n n n n S n n a n n →∞→∞→∞++====-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：18. 【点睛】方法点睛：求数列极限时，要注意利用常见的数列极限来求解，如11lim0,lim 02n n n n →∞→∞==，还要注意合理变形，从而可以利用常见极限.8．等差数列{}n a 中，公差为d ，设n S 是{}n a 的前n 项之和，且1d >，计算()1lim +1n n n n S n a d →∞⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭__________. 【答案】12【解析】下利用等差数列的通项公式和前n 项和公式将()1nn S n a +用1a ，d和n 表示，再结合1d >求极限即可.因为{}n a 是等差数列，所以()11na a n d +-= ，()112n n n S na d -=+，所以()()()()21121111222111n n d d n n n a n na d S n a dn a n a dn a n d ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭==+++-++-⎡⎤⎣⎦，因为1d>，所以1lim0n n d→∞=，所以()1lim +1n n n n S n a d →∞⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭()212111222lim lim 12n n n n d d d n a n S n a dn a n a d d →∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭===+++-，故答案为：129．1,1100001,100012n n n n n a n +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则lim n n a →∞=___________ 【答案】0 【解析】由题意可得1lim lim 2n n n n a →∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即可得答案.由题意可得10lim lim 2n n nn a →∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：010．设(),n n n P x y 是直线()*21+=∈+n x y n N n 与圆222x y +=在第四象限的交点，则极限1lim 1→∞+=-n n ny x _____. 【答案】1 【解析】当n →∞时，直线方程无限趋近于直线21x y +=，直线21x y +=与圆222x y +=在第四象限的交点坐标为()1,1P -，11+-n n y x 表示点(),n n n P x y 与点()1,1P -连线的斜率，故11lim 1n n n OP y x k →∞+=--，代入计算即可得结果.因为lim11n nn →∞=+，所以当n →∞时，直线方程无限趋近于直线21x y +=，又直线21x y +=与圆222x y +=在第四象限的交点坐标为()1,1P -，11+-n n y x 表示点(),n n n P x y 与点()1,1P -连线的斜率，当n →∞时，(),n n x y 无限趋近于点(1,1)-，因此，极限11lim11n n n OPy x k →∞+=-=-. 故答案为：1 【点睛】本题考查极限的计算，考查两点斜率公式，考查了转化与化归的思想.11．1111lim 11113452n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】2 【解析】先化简原式为22lim()lim()221n n n n n→∞→∞=++，即得解.由题得1111lim 11113452n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦234122lim lim()lim()22345221n n n n n n n n n→∞→∞→∞+⎡⎤⋅⋅⋅⋅===⎢⎥++=+⎣⎦. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查数列的极限的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知2231lim 45n n cn n an bn →∞⎛⎫++-= ⎪+⎝⎭，则a b c ++=__________. 【答案】92【解析】先对所求的极限通分化简，再分析分子分母项的系数求解.因为()3222322224341313144lim 4lim lim →∞→∞→∞⎛⎫-+-++⎛⎫⎛⎫++++---== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n an b n cn n cn n cn an bn n an bn an bn an bn ，若0a ≠则极限不可能是常数，所以0a = ，所以()3224341lim →∞⎛⎫-+-++= ⎪+⎝⎭n an b n cn an bn ()2341lim →∞⎛⎫-++ ⎪⎝⎭n b n cn bn ，同理340-=b ，解得 34b =，所以 ()2134114lim lim lim 533344→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪-+++==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n c b n cn cn c n bn n ，解得154c =，所以a b c ++=92故答案为：92【点睛】本题主要考查数列极限的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．2222212342lim ...11111n n n n n n n →∞⎛⎫+++++=⎪+++++⎝⎭____________ 【答案】2 【解析】先求出和，再由极限定理求极限．2222222222(21)1234212222lim ...lim lim lim 11111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+++++⎛⎫+++++=== ⎪++++++++⎝⎭212lim211n n n→∞+==+，故答案为：2 【点睛】本题考查求数列的极限，对于和的极限需先求出和，然后再求极限，不可先极限再求和．14．数列{}n a 满足*142()1n n n a a n N a +-=∈+． ①存在1a 可以生成的数列{}n a 是常数数列；①“数列{}n a 中存在某一项4965ka =”是“数列{}n a 为有穷数列”的充要条件； ①若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是()(),11,2-∞-；①只要113232k k k ka +-≠-，其中*k N ∈，则lim n n a →∞一定存在；其中正确命题的序号为__________. 【答案】①① 【解析】根据已知中数列{}n a 满足*142()1n n n a a n N a +-=∈+．举出正例11a =或12a =，可判断①；举出反例115a =，可判断①；举出反例12a =-，可判断①；构造数列12n n n ab a -=-，结合已知可证得数列{}n b 是以32为公比的等比数列，进而可判断①．解：当11a =时，1n a =恒成立，当12a =时，2n a =恒成立，故①正确；当115a =时，则21a =-，由递推公式*142()1n n n a a n N a +-=∈+，可知数列{}n a 只有这两项，数列{}n a 为有穷数列，但不存在某一项4965k a =，故①错误；当12a =-时，()()1,11,2a ∈-∞-，此时210a =，33811a =，数列不存在单调递增性，故①错误；1421n n n a a a +-=+∴142331111n n n n n a a a a a +---=-=⋯++① 且142242211n n n n n a a a a a +---=-=⋯++①①÷①得：11113222n n n n a a a a ++--=--令12n n n a b a -=-，则数列{}n b 是以32为公比的等比数列则113()2n n b b -=11111132()112233()1()122n n n n b a b b ----∴==+--当113232k k k k a +-≠-时，11123()12n b -+-的极限为2，否则式子无意义，故①正确故答案为：①① 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题15．如果等差数列{}{},n n a b 的公差都为()0d d ≠，若满足对于任意*n N ∈，都有n n b a kd -=，其中k 为常数，*k N ∈，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim 3n n n a b a b a b →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭，则k =__________ 【答案】2 【解析】由等差数列通项公式得21n a n =-，由新定义可得212n n b a kd n k =+=-+，11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k==---+--+，分别讨论1k =，2，3，⋯，m ，求得的极限，由数列的单调性可得2k=．由等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，可得12(1)21n a n n =+-=-，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，可得212n n b a kd n k =+=-+，由11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k ==---+--+，则1122111111111(1)21233221212n n a b a b a b k k kn n k++⋯+=-+-++-++--+，当1k =时，若1122111111111lim()lim (1)23352121n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+，不成立；当2k=时，112211111111111lim()lim (1)4537592123n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 1111141lim (1)432123433n n n →∞=+--=⨯=++，成立；当3k=时，112211111111111lim()lim (1)67395112125n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 11111112323lim (1)63521232561590n n n n →∞=++---=⨯=+++，不成立；同理可得km =时，1122111111lim()(1)2321n n n a b a b a b m m →∞+++=+++-，由1111(1)23213m m +++=-，即11213213m m +++=-，可设11213213m mc m =+++--，1120213m m c c m +-=-<+，可得{}m c 递减，20c =，可得仅有2k=时，11221111lim()3n n n a b a b a b →∞+++=，故答案为2．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消法求和，以及数列极限的求法，考查分类讨论思想方法和运算能力、推理能力，属于中档题．二、单选题 16．下列关于极限的计算，错误的是（）A ．2227lim 57n n n n →∞++=+221722lim 755n n n n→∞++=+ B ．222242lim n n n n n →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭222242lim lim limn n n nn n n →∞→∞→∞=+++0000=+++=C ．)lim limnn n →∞=12n == D ．已知2,3,n n n n a n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则()12lim n n a a a →∞+++= 12222319121324----+=-- 【答案】B 【解析】先计算每个极限，再判断，如果是数列和的极限还需先求和，再求极限．2227lim 57n n n n →∞++=+221722lim 755n n n n→∞++=+，A 正确；①222222422211(1+2++)(1)12n n n n n n n n n n+++==⋅+=+， ①22224211lim lim(1)1lim 1n n n n n nn n n→∞→∞→∞⎛⎫+++=+=+=⎪⎝⎭，B 错；)limlimn n n →∞→∞=12n ==，C 正确；若2,3,n n n n a n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，()12lim n n a a a →∞+++需按奇数项和偶数项分别求和后再极限，即()12lim n n a a a →∞+++= 12222319121324----+=--，D 正确．故选：B ．【点睛】本题考查数列的极限，掌握极限运算法则是解题基础．在求数列前n 项和的极限时，需先求出数列的前n 项和，再对和求极限，不能对每一项求极限再相加．17．已知数列{}n a 满足12n n a pa +=+(0)p ≠，1a R ∈，则下列命题中的真命题是（）A ．2p =-，则数列{2}n a +一定是等比数列B ．1p >，10a ≠，数列{}n a 不存在极限C ．1p ≠，数列2{}1n a p +-一定是等比数列D ．0||1p <<，则数列{}n a 的极限为21p- 【答案】D 【解析】把递推式12n n a pa +=+变形为122()11n n a p a p p ++=+--，然后根据数列的概念进行判断．①12n n a pa +=+，①122()11n n a p a p p ++=+--，当2p =-时，若12a =-，则120a +=，数列{2}n a +一定不是等比数列，A 错；当1p >，10a ≠，当12=01a p +-时，201n a p +=-，即2=1n a p --，此时2lim 1nn a p →∞=--，B 错； 1p ≠，12=01a p +-时，数列2{}1n a p +-不是等比数列，C 错； 0||1p <<，若12=01a p +-，则2=1n a p --，此时22lim 11n n a p p →∞=-=--，若1201a p +≠-，2{}1n a p +-是等比数列，122()11n n a a p p p +=+--，122()11n n a a p p p =+---， 1122222lim lim[()]lim[()]11111n n n n n n a a p a p p p p p p→∞→∞→∞=+-=+-=-----，D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推公式，考查数列的极限，解题时由递推公式变形构造出数列后，根据等比数列的定义判断新数列是否是等比数列，是等比数列的情况下求出数列的通项公式，再由数列的极限的定义确定是否存在极限，极限是什么．18．若数列{}n a 的通项公式1,1,211,3,3n nn n a n n N *⎧=⎪⎪+=⎨⎪≥∈⎪⎩前n 项和为n S ，则下列结论中正确的是（）A ．lim n n a →∞不存在 B ．8lim 9n n S →∞=C ．lim 0n n a →∞=或1lim 3n n a →∞=D ．1lim 18n n S →∞=【答案】B 【解析】先利用等比数列求和公式求和，再求极限得结果.1lim lim03nnn n a →∞→∞==3234211(1)11111551133+++(1)1233336618313n n n n S ---=++=+=+--因此2511518lim lim[(1)]61836189n n n n S -→∞→∞=+-=+= 故选：B 【点睛】本题考查数列解析以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 19．下列命题正确的是（）A ．若lim ,lim n n n n a A bB →∞→∞==，则limn n na Ab B →∞=B ．若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=C ．若22lim nn a A →∞=，则lim n n a A →∞=D ．若0n a ≠，则lim 0n n a →∞≠ 【答案】B 【解析】利用举反例的方法排除A 、C 、D,并利用极限的运算法则判定B 对于选项A,当0B =时,lim n n na Ab B →∞=无意义,故A 错误；对于选项C,当()1nn a =-时,()22lim lim 11nn n n a →∞→∞=-=,此时lim n n a →∞不存在,故C 错误；、对于选项D,当1n a n=时,0n a ≠,但1lim 0n n →∞=,故D 错误；对于选项B,根据极限的运算法则,当lim n n a A →∞=时,()lim n n n a a A A →∞⋅=⋅,即22lim n n a A →∞=,故B 正确；故选：B 【点睛】本题考查举反例法处理选择题,考查极限的运算法则的应用20．已知两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点 P 1是线段 OQ 的中点，点 P 2是线段 QP 1的中点， P 3 是线段 P 1P 2的中点，……，P n + 2是线段 P n P n +1的中点，则点 P n 的极限位置应是（）A ．(,)22a bB ．(,)33a bC ．22(,)33a b D ．33(,)44a b 【答案】C 【解析】由中点坐标公式求得部分中点的坐标，再寻求规律，求极限得之．解：两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点1p 是线段 OQ的中点，点2p 是线段 QP 1 的中点，3p 是线段 P 1P 2 的中点，……1,22a P b ⎛⎫⎪⎝⎭∴ 2,2424a a P b b ⎛⎫++⎪⎝⎭∴ 3,248248a a a b b b P ⎛⎫+-+-⎪⎝⎭∴ 4,2481624816a a a a b b b b P ⎛⎫+-++-+ ⎪⎝⎭∴5,24816322481632a a a b P aa b b b b ⎛⎫+-+-+-+- ⎪⎝⎭∴……∴点n P 的位置应是()()()()()()()()234234,2222222222n n a a a ab b b abb⎛⎫⎪++++++++++ ⎪-----⎝---⎭其中()()()()()121234112211122262222122n n naa aaaa a aa --⎡⎥=-⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦++++++=+⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭---⎢⎣⎦-- ⎪⎝⎭故()()()()1234312l lim 2im 1226226222n n n n a a a a a a a a a a-∞→∞→⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫++++++⋅--=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎢⎥⎪⎣=-⎪⎣⎦⎩⎭⎦ 同理()()()()1234312l lim 2im 1226226222n n n n b bb b b bb b b b-∞→∞→⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫++++++⋅--=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎢⎥⎪⎣=-⎪⎣⎦⎩⎭⎦ ∴点n P 的极限位置应是22(,)33a b．故选：C．【点睛】本题主要考查中点坐标公式和数列求和以及推理思想的应用．21．数列{}n a 满足1110,1810(*)n n a a a n n N +==++∈，记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则)n →∞=( ) A ．1B ．12C ．13D ．16【答案】D 【解析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入)n →∞求得答案.解：由已知1110,1810n n a a a n +==++，2118110a a ∴-=⨯+，3218210a a -=⨯+，118(1)10n n a a n --=-+，累加得：21(1)18[12(1)]10(1)101892nn n a a n n n n n -=+++⋯+-+-=+⨯=+， ()()22223996+1=31n n n n n n <+<++，331n n ∴+，3n ∴=，223n ====，则16n n →∞==. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题.22．若,,||||a b R a b ∈>且11lim lim n n n nn n n n a b a b a a-+→∞→∞++>，则a 的取值范围为（） A ．1a >或1a <- B ．11a -<< C ．1a >或10a -<< D ．1a <-或01a <<【答案】D 【解析】根据数列极限运算法则化简11lim lim n n n nn n n n a b a b a a -+→∞→∞++>，求出关于a 的不等式，即可求解.11lim lim n n n nn n n n a b a b a a -+→∞→∞++>化为 1lim ))li ()(m(()n n n n b ba aa a →∞→∞>++， ||||,li 1(1)(1)(,m )0,0n nb a b a a a a a a →∞>∴=-+∴><，∴1a <-或01a <<.故选:D 【点睛】本题考查数列极限，考查分式不等式，属于中档题.23．若1lim 12n n r r +→∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则r 的取值范围是（）A ．13r -≥或1r -≤ B ．13r >-或1r <- C ．13r >-或1r -≤ D ．113r --≤≤ 【答案】C 【解析】根据极限存在得到1112r r -<≤+，计算得到答案.1lim 12n n r r +→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则1112r r -<≤+，解得13r >-或1r -≤故选：C 【点睛】本题考查了根据极限求参数的范围，忽略掉等号是容易发生的错误.24．若lim()n n n a b →∞+存在，则有（） A ．lim n n a →∞与lim n n b →∞一定都存在 B ．lim n n a →∞与lim n n b →∞只能有一个存在 C ．lim n n a →∞与lim n n b →∞不可能都不存在 D ．lim n n a →∞与lim n n b →∞或者都存在，或者都不存在【答案】D 【解析】逐个选项判断在lim()n n n a b →∞+的极限存在的条件下，各个命题是否成立。

专题3-10 导数与数列,导数与概率统计(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

a＝1.
于是
f′(x)＝
1 x
－1＝
1
x
x
，
当 x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当 x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即 f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2) 由(1)知 x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即 f(x1)的最大值为 0，由题意知：对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得 f(x1)≤g(x2)成立，只需 f(x)max≤g(x)max.
在区间 ea1,1 单调递减.
又 f ea1 f 1 0 ,与 f x0 恒成立相矛盾.
综上, 实数 a 的取值范围为1, .
(2)
由（1）知当 a 1 时， x 1 x ln x ≤ 0 0 x ≤1
即 ln x ≥ x 1 1 1
x
x
令 x 1 ，则 ln 1 ≥1 n
.............................................................22
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
【典例分析】
例题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列an 满足
a0
0,
a2 n1
an2
2(n
1), n
N
．
(1)求证： an2 an1 ； an1 an
.
4．（2022·湖南张家界·高二期末）已知函数 f x ln x ax 1，其中 a R ．
(1)当 a 1 时，求函数 f (x) 的单调区间；
(2)①若 f x 0 恒成立，求 a 的最小值；

河南省_2012年_高考新课标全国卷数学真题(理科数学)(附答案)_历年历届试题(详解)

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（）()A 3 ()B 6()C 8 ()D 10（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种 ()B 10种()C 9种 ()D 8种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5()D -7（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（） ()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（）()A ()B ()C 4 ()D 8（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

苏州大学2012届高考数学考前指导题组

19－3．在直角坐标平面上有一点列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，…，对一切正整数n， 13 5 点Pn位于函数y＝3x＋ 4 的图象上，且Pn的横坐标构成以－2为首项，－1 为公差的等差数列{xn}． (1)求点 Pn 的坐标； (2)设抛物线列 c1，c2，c3，…，cn，…中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴，第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn，且过点 Dn(0，n2＋1)，设与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 kn． 1 1 1 求：k k ＋k k ＋…＋； k － 1 2 2 3 n 1kn * (3)设S＝{x|x＝2xn，n∈N }，T＝{y|y＝4yn，n∈N*}，等差数列{an}的任一项an∈S∩T，其中 a1 是S∩T中的最大数，－265<a10<－125，求{an}的通项公式．
y P
F1 A
O
F2
B
x
18－3．设 F1 , F2 是椭圆 C :
x2 y 2 1 (a b 0) 的左、右 a 2 b2 焦点，A, B 分别为其左顶点和上顶点，BF1 F2 是面积为 3
A
y
B
O
N
M
的正三角形．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆 C 于 M , N 两点，直线
A
A
F D C E 图（1） B
F
D
C
E 图（2）
B
18 － 1 ．如图，已知椭圆
x2 y 2 1 (a b 0) 的左，右焦点为 a 2 b2 F1 , F2 ，点 P 为椭圆上动点，弦 PA，PB 分别过点 F1 , F2 ． 24 （1）若 F1 (3,0) ，当 PF1 F1 F2 时，点 O 到 PF2 的距离为， 17 求椭圆的方程；（2）设 PF1 1 F1 A ， PF2 2 F2 B, 1 , 2 R ，求证： 1 2 为定值．

2012届高考数学二轮复习专题：立体几何(教师版)

俯视图正(主)视图侧(左)视图EF D IA H GBC E FD AB C 侧视图1 图2B E A ． B E B ． B EC ． B ED ． 2012届高考数学二轮复习专题：立体几何（文理适用）第一节空间几何体三视图和几何体的结构特征是新课标高考的必考点，几何体的表面积和体积也是高考命题的重点和热点，几乎年年出现，大多以小题出现，难度不大，大题中也有以三视图为背景条件的求面积、体积及位置关系问题。

考试要求:（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；（2）能画出简单空间图形（长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等简单组合体）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）（5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；题型一：三视图例1（1）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（） A ．9π B ．10π C ．11π D ．12π 点拨识别上述三视图表示的立体图形解从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱体组合而成的简单几何体，其表面积为：22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选D.易错点对原几何体的下部分（圆柱体）的分析出错，误以为是长方体.（2）将正三棱柱截去三个角（如图，图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）点拨侧视图和底面和HGDE 垂直，分析A 的位置 .解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A 易错点对于左视图中点A 的位置分析不正确.变式与引申1（1）一个体积为三棱柱的左视图的面积为（）A ．B ．8 C．D ．12（2）用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是（）.A．6 B．7 C．8 D．9题型二与球有关组合体例2如图正三棱锥的高为1，底面边长为62，内有一个球与四个面都相切. 求棱锥的表面积和球的半径.点拨解决这类题的关键是根据空间想象能力和组合体的特点画出截面图.解：如图下图过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE，因△ABC是正三角形，易知AE即是△ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线，作为正三棱锥的高PD通过球心，且D是三角形△ABC的重心，据此根据底面边长为62，即可算出1133DE AE PE====由△POF～△PED，知,1PErDEr-=∴.26,312-=-=rrr∴().362962433622132+=⨯+⨯⨯⨯=+=底侧表SSS易错点，立体几何问题转化为平面问题解决.，截面图准确画出是最关键，也是容易出错的地方。