第八章函数_离散数学
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离散数学(函数)PPT课件
证 先证明FG是函数.
因为F, G是关系, 所以FG也是关系. 若对某个x∈dom(FG)有 xF Gy1和 xFGy2, 则
<x, y1>∈FG∧<x, y2>∈FG
t1(<x,t1>∈F∧<t1,y1>∈G)∧t2(<x,t2>∈F∧<t2,y2>∈G)
t1t2(t1=t2∧<t1,y1>∈G∧<t2,y2>∈G) （F为函数）
.
函数的定义
设A, B为集合, 如果 f 为函数, domf=A, ranfB,
则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B.
.
函数的定义
在<x,y> f 中,
定义域
domf A
例：d设omXf ={张A 三、李四、王五}， Y ={值法域国、(函美数国像、的俄集罗合斯)、英国} f ={<r张an三f ,美B国, ><李四,俄罗斯>
.
函数的复合
定理 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C满射, 则 fg:A→C也满射 (2) 如果 f:A→B, g:B→C单射, 则 fg:A→C也单射 (3) 如果 f:A→B, g:B→C双射, 则 fg:A→C也双射 定理 设 f:AB, 则 f = f IB = IAf
4.2 逆函数和复合函数
❖复合函数 ❖反函数
关系与逆关系: < y,x >R-1 <x,y>R 函数与反函数。 可能出现的问题： 定义域 (dom(f -1) A) 函数值 (一对多)
.
函数的复合
设F, G是函数, 则FG也是函数, 且满足 (1) dom(FG)={x|x∈domF∧F(x)∈domG} (2) x∈dom(FG)有FG(x)=G(F(x))
离散数学-----函数
2019/12/13
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计算机科学学院 刘芳
8.2 函数的性质
解 (1) f : R→R, f(x)= x2+2x1
在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的.
(2) f : Z+→R, f(x)=lnx
单调上升, 是单射的. 但不满射, ranf={ln1, ln2, …}.
(3) f : R→Z, f(x)= x
8.1 函数的定义
例3：
设A ＝ {1, 2, 3}, B ＝ {a, b}，则A到B共有多少个不
同的函数？分别列出来。
解：
f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>} , f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>} , f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>},
f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>} ,
BA＝{f | f : A→B}
思考：设|A|=m,|B|=n,则|BA|=？
2019/12/13
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计算机科学学院 刘芳
8.1 函数的定义
解：
设：A={x1, x2, …,xm}, B={y1, y2, …,yn}, 则集合A到B的函数f形如：
f＝{<x1,□>， {<x2,□>，…… {<xm,□>} 对于每个□所在的 位置都可用B中的任何一个
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计算机科学学院 刘芳
8.4 函数的复合和反函数
定理8.1
设f, g是函数, 则f∘g也是函数, 且满足
离散数学8-代数系统基础
理学院
第八章 代数系统基础
第八章 代数系统基础
8.1 代数系统概念 8.2 半群与独异点 8.3 群的基本定义与性质 8.4 子群与陪集 8.5 循环群和置换群 8.6 环和域
2
一、基本概念
定义1: 设A是个非空集合且函数f:A*A→A，则称f为 A上的二元运算。
二元运算的两个重要特点： 一是运算封闭性，集合内任意两个元素都可以运算，运算后仍在同
主要包括运算所具有的算律和特殊元素 算律主要：结合律、交换律、分配律、吸收律和消去律 特殊元素：等幂元、幺元、零元和逆元。
9
1.结合律
定义3: 设代数系统<A,*>，对于A中任意元素a,b,c， (ab)c=a(bc)，都称运算满足结合律，或是可结合的 。
实数集合上的加法和乘法满足结合律。幂集P(A)上的交、并和对称差 都满足结合律。矩阵的加法和乘法满足结合律。代数系统(Nk,＋k)和 (Nk, ×k)中的＋k和×k都满足结合律。
例设<A,*>是一个代数系统，其中*定义为a*b=a，证明运算是不可交 换的。
11
3.幂等律
定义5: 设代数系统<A,*>，对于A中任意元素有 x*x=x，则称运算*在A上满足幂等律。
设A为集合，<P(A), ∩>和<P(A), ∪>中的∩和换律、结合律和幂等律。
则称<A,*>是群。
如果<A,>是独异点且每个元素存在逆元，则称<A,>是群。 （R，+），（Z，+）都是群，幺元为零，x -1 = -x；（R-{0}，×）是群，幺
元为1，x -1 =1/x ；<Q,>不是群，1是幺元，而0是无逆元。
第八章 代数系统基础
第八章 代数系统基础
8.1 代数系统概念 8.2 半群与独异点 8.3 群的基本定义与性质 8.4 子群与陪集 8.5 循环群和置换群 8.6 环和域
2
一、基本概念
定义1: 设A是个非空集合且函数f:A*A→A，则称f为 A上的二元运算。
二元运算的两个重要特点： 一是运算封闭性，集合内任意两个元素都可以运算，运算后仍在同
主要包括运算所具有的算律和特殊元素 算律主要：结合律、交换律、分配律、吸收律和消去律 特殊元素：等幂元、幺元、零元和逆元。
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1.结合律
定义3: 设代数系统<A,*>，对于A中任意元素a,b,c， (ab)c=a(bc)，都称运算满足结合律，或是可结合的 。
实数集合上的加法和乘法满足结合律。幂集P(A)上的交、并和对称差 都满足结合律。矩阵的加法和乘法满足结合律。代数系统(Nk,＋k)和 (Nk, ×k)中的＋k和×k都满足结合律。
例设<A,*>是一个代数系统，其中*定义为a*b=a，证明运算是不可交 换的。
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3.幂等律
定义5: 设代数系统<A,*>，对于A中任意元素有 x*x=x，则称运算*在A上满足幂等律。
设A为集合，<P(A), ∩>和<P(A), ∪>中的∩和换律、结合律和幂等律。
则称<A,*>是群。
如果<A,>是独异点且每个元素存在逆元，则称<A,>是群。 （R，+），（Z，+）都是群，幺元为零，x -1 = -x；（R-{0}，×）是群，幺
元为1，x -1 =1/x ；<Q,>不是群，1是幺元，而0是无逆元。
离散数学 函数
离散数学函数在数学的广袤领域中，离散数学如同一位低调但实力非凡的智者，而函数则是其手中的一把关键钥匙，为我们打开了理解和解决诸多问题的大门。
函数，简单来说，就是一种对应关系。
想象一下，你有一堆苹果，你把它们按照大小分类，每一个苹果都能找到自己所属的类别，这就是一种函数关系。
在数学中，我们给这种对应关系更精确的定义和规则。
离散数学中的函数与我们在中学阶段学习的函数有所不同。
中学时，我们接触的函数大多是连续的，比如常见的一次函数、二次函数等。
而离散数学中的函数，其定义域和值域往往是离散的元素集合。
比如说，假设有一个集合 A ＝｛1, 2, 3}，另一个集合 B ＝｛4, 5, 6}。
那么从集合 A 到集合 B 的一个函数 f 可以是这样的：f(1) ＝ 4，f(2) ＝ 5，f(3) ＝ 6。
这里的 1、2、3 就像一个个独特的“身份标识”，通过函数 f 的“安排”，分别与 4、5、6 建立了对应关系。
函数的定义中有两个重要的概念：定义域和值域。
定义域就是函数输入的所有可能值的集合，而值域则是函数输出的所有可能值的集合。
对于离散函数来说，这两个集合中的元素都是离散的、独立的。
再举个例子，假设我们有一个函数 g，其定义域是一周的七天（星期一到星期天），值域是 1 到 7 的数字。
那么 g(星期一) ＝ 1，g(星期二) ＝ 2，以此类推，直到 g(星期天) ＝ 7。
在这个例子中，定义域是离散的七天，值域是离散的数字 1 到 7。
离散函数在计算机科学中有着广泛的应用。
比如在数据库管理中，当我们根据某个条件筛选数据时，就可以看作是在使用一个离散函数。
又比如在算法设计中，函数的概念常常被用来描述数据的处理和转换过程。
从逻辑的角度来看，离散函数可以帮助我们进行推理和证明。
通过研究函数的性质和关系，我们能够得出一些关于系统行为的结论。
在组合数学中，离散函数也发挥着重要作用。
例如，在计算排列组合的问题时，我们常常需要定义特定的函数来描述问题中的数量关系。
离散数学-第八章函数
x (5) A B R , f ( x) 2 (x R ) x 1
能构成函数 f：A→B，但不是单射的，也不是满射的， 因为该函数在x=1处取得极大值f(1)=0.5。函数不是 单调的，且ranf ≠R+.
(6) A=B=R×R, f(<x,y>)=<x+y ,x-y> L={y|y∈R∧y=x+1}, 计算f(L). 能构成函数 f：A→B，且f：A→B是双射的. f(L)={<2x+1,-1>|x∈R}=R× {-1}
因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2， 与函数定义矛盾。
F 是函数（映射） 对于x1，x2∈A， 如果x1=x2 ，一定有f(x1)＝f(x2)。即， 如果对于x1，x2∈A有f(x1) ≠f(x2)，则一定有x1≠x2
函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等
定义8.2 设F，G为函数，则 F=G F G∧G F 由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一 定满足下面两个条件： 1．domF=domG 2． x∈domF=domG都有F(x)=G(x)
|A|=3，|B|=2，而|BA|=23=8
当A或B中至少有一个集合是空集时，可以分成下面三种情况：
1. A= 且 B= ，则BA= ={}。 2. A= 且 B≠ ，则BA=B ={}。 3. A≠ 且 B= ，则BA= A= 。
定义8.5 设函数f：A→B，A1 A， B1 B。 (1) 令f(A1)={f(x)|x∈A1}，称f(A1)为A1在f下的像。 特别的，当A1=A时称f(A1)为函数的像。 f(A1) B (2) 令f-1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f-1(B1)为B1在f
《离散数学函数》课件
幂函数
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数
$f(x) = sin x$。
正弦函数
$f(x) = cos x$。
余弦函数
$f(x) = tan x$。
正切函数
自然指数函数
$f(x) = e^x$。
幂指数函数
$f(x) = x^n$，其中 $n > 0$。
03
函数的运算
Chapter
函数的加法是一种对应关系，将两个函数的对应点一一对应起来。
总结词：函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性等。
02
函数的分类
Chapter
01
02
03
04
$f(x) = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。
线性函数
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
二次函数
$f(x) = x^n$，其中 $n$ 是实数。
函数的加法运算是在函数值域上进行的，将两个函数的对应点一一对应起来，形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$和$g(x)$的定义域分别为$D_1$和$D_2$，值域分别为$R_1$和$R_2$，且$D_1 cap D_2 = emptyset$，那么函数$f(x)$和$g(x)$的加法运算结果是一个新的函数$h(x)$，其定义域为$D_1 cup D_2$，值域为$R_1 cup R_2$，且对于任意$x in D_1 cup D_2$，有$h(x) = f(x) + g(x)$。
VS
函数的复合是一种对应关系，将一个函数的对应点作为另一个函数的自变量。
详细描述
函数的复合运算是在一个函数的值域上定义另一个函数作为其自变量，从而形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$的定义域为$D_1$，值域为$R_1$；函数$g(y)$的定义域为$R_1$，值域为$R_2$，那么函数$g(f(x))$的复合运算结果是一个新的函数，其定义域为$D_1$，值域为$R_2$。对于任意$x in D_1$，有$(g circ f)(x) = g(f(x))$。
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数
$f(x) = sin x$。
正弦函数
$f(x) = cos x$。
余弦函数
$f(x) = tan x$。
正切函数
自然指数函数
$f(x) = e^x$。
幂指数函数
$f(x) = x^n$，其中 $n > 0$。
03
函数的运算
Chapter
函数的加法是一种对应关系，将两个函数的对应点一一对应起来。
总结词：函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性等。
02
函数的分类
Chapter
01
02
03
04
$f(x) = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。
线性函数
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
二次函数
$f(x) = x^n$，其中 $n$ 是实数。
函数的加法运算是在函数值域上进行的，将两个函数的对应点一一对应起来，形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$和$g(x)$的定义域分别为$D_1$和$D_2$，值域分别为$R_1$和$R_2$，且$D_1 cap D_2 = emptyset$，那么函数$f(x)$和$g(x)$的加法运算结果是一个新的函数$h(x)$，其定义域为$D_1 cup D_2$，值域为$R_1 cup R_2$，且对于任意$x in D_1 cup D_2$，有$h(x) = f(x) + g(x)$。
VS
函数的复合是一种对应关系，将一个函数的对应点作为另一个函数的自变量。
详细描述
函数的复合运算是在一个函数的值域上定义另一个函数作为其自变量，从而形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$的定义域为$D_1$，值域为$R_1$；函数$g(y)$的定义域为$R_1$，值域为$R_2$，那么函数$g(f(x))$的复合运算结果是一个新的函数，其定义域为$D_1$，值域为$R_2$。对于任意$x in D_1$，有$(g circ f)(x) = g(f(x))$。
《离散数学函数》课件
映射和函数
研究集合之间的映射关系和函数 的定义与分类。
初等函数
1 常函数
2 线性函数
3 正比例函数
了解常数函数及其在数学中 的特点。
研究线性函数的性质和特点。
学习正比例函数的图像和应 用。
4 幂函数
5 指数函数
6 对数函数
探索幂函数的定义及其多种 表现。
了解指数函数及其在数学和 科学中的应用。
研究对数函数的定义和性质。
小结
本章内容回顾
对第一章至第七章内容进行简 要回顾和概括。
知识点总结
总结重点知识点和核心概念。
拓展阅读建议
提供额外阅读资源以深入学习 离散数学函数。
函数极限的定义
学习函数极限的定义和基本计算 方法。
极限运算法则
掌握计算函数极限时的常用运算 法则。
函数连续性的定义
了解连续函数的定义及其特性。
离散数学函数的应用
1 离散数学函数在算机科学中的应用
探索离散数学函数在算法设计、数据结构等方面的应用。
2 例如：哈希函数、调度算法、图像处理等
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《离散数Байду номын сангаас函数》PPT课 件
欢迎来到《离散数学函数》PPT课件！在本课程中，您将学习离散数学的基本 概念及函数的重要性。准备好迈向数学的精彩世界吧！
离散数学基础
命题和命题公式
学习如何构建和解读命题及命题的逻辑关系。
命题逻辑
探索命题逻辑的运算和规则，理解命题的真值表。
命题的复合和否定
学会将命题组合成复合命题以及应用否定运算。
函数基础
函数定义
了解函数的定义及其在数学中的重要性。
第8章 可计算函数
f ( g1 ( y),, gn ( y))也是初等函数。
( x) 是初等函数,那么
xu
g (u ) = f ( x) ，
g (u ) = f ( x) 也是初等函数。
x u
(5) 只有有限次使用上述条款确定的函数是初等函数。
离散数学 第8章 可计算函数 8.2 初等函数
x1x x2
8.2.1 初等函数集
sg( x ) =
0 当x > 0 1 当x = 0
sg( x ) = 1 * x
右边是常数函数、投影函数合成于二元差函数。
离散数学 第8章 可计算函数
8.2 初等函数
x1x x2
8.2.1 初等函数集
EF4. 符号函数 sg(x) =
1 当x>0 0 当x=0
sg( x ) = 1 * - sg( x )
x u
称
为迭乘操作。
x u
离散数学 第8章 可计算函数
8.2 初等函数
x1x x2
8.2.1 初等函数集
定义8.2 归纳定义初等函数集：
(1) 本原函数是初等函数。 (2) 二元差函数是初等函数：
x
y=
0 x－ y
当x ≤ y 当 y < x , 这里的－ 是通常的算术减
(3) 如果f ( x1 , , xn ) 与g1 ( y) , , gn ( y) 都是初等函数，那么它们 的合成 (4) 如果f
1 1 m m m 1
离散数学 第8章 可计算函数
8.2 初等函数
8.2.2 初等谓词
定理8.4 下列判定函数 con(x,y,s,t)是初等函数:
s 当x y con( x , y , s , t ) t 当x y
离散数学函数概念
离散数学函数概念1. 函数的概念在离散数学中，函数是一种非常重要的概念。
简单来说，函数就是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的规则。
具体地说，函数包括三个要素：定义域、值域和对应关系。
其中，定义域是函数的输入集合，值域是函数的输出集合，对应关系则是对定义域中的每个元素，函数规定相应的输出元素的一个映射关系。
函数通常用符号f表示，可以写成f：A→B，表示从定义域A到值域B的映射。
2. 性质和操作函数在离散数学中有许多重要的性质和操作，下面我们分别介绍一下。
2.1. 单射、满射和双射在定义域和值域中，函数有三种重要的映射状态：单射、满射和双射。
如果对于定义域中的任意两个不同的元素，它们映射到值域中的不同元素，那么这个函数就是单射。
如果对于值域中的任意元素，都有至少一个定义域中的元素映射到它，那么这个函数就是满射。
如果函数同时满足单射和满射的条件，那么它就是双射。
双射函数可以看作是一种一一对应的关系，它在离散数学中有着重要的应用。
2.2. 复合函数另一个重要的函数操作是「复合函数」。
复合函数是指在两个或多个函数之间进行合成的操作，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
假设有函数f: A→B和函数g: B→C，那么它们的复合函数定义为g(f(x))，表示先将x代入函数f中得到f(x)，再将f(x)代入函数g中得到g(f(x))。
复合函数的应用在离散数学中非常广泛，是许多算法和数据结构的基础。
2.3. 逆函数逆函数是指在一个双射函数f的基础上，将定义域和值域交换位置得到的新函数。
逆函数通常用符号f-1表示，它的定义域和值域与原函数f完全相反，即f-1：B→A。
逆函数的作用是将一个函数的输入与输出交换位置，方便进行一些计算和处理。
3. 应用领域以及参考资料离散数学中的函数概念和相关操作在许多领域都有广泛的应用，如算法设计与分析、图形理论、密码学、计算机网络等。
对于一些计算机科学和工程学科的学生，掌握和理解离散数学中的函数概念和相关知识是非常重要的。
函数-离散数学
X 。 1 。 2 3
f1
Y
。 。
a b
X 。 1 。 2 3
f2
Y
。 。
a b
X 。 1 。 2 3
f3
Y
。 。
a b
X 。 1 。 2 3
f4
Y
。 。
a b
。 f5
。 f6
。 f7
。 f8
X 。 1 。 2 3
Y
。 。
a b
X 。 1 。 2 3
Y
。 。
a b
X 。 1 。 2 3
Y
。 。
a b
本章的主要内容
二、几种特殊函数
(1)定义：设f是从 到Y的函数。 定义： 是从 是从X到 的函数 的函数。 定义 a)若f(X)=Y,那么称为满射 即 那么称为满射,即 若 那么称为满射 ∀y∈Y,∃x∈X,使f(x)=y. ∈ ∃ ∈ 使 b)若∀x1,x2∈X,x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2) 若 ∈ ≠ ⇒ ≠ (即若 即若f(x1)=f(x2) ⇒x1=x2),那么称 是入射 那么称f是入射 即若 那么称 或单射）。 （或单射）。 c)若f既是满射，又是入射，则称 是双 若 既是满射 又是入射，则称f是双 既是满射， 射或称一一映射。 射或称一一映射。
一、函数的概念
二、几种特殊函数
三、复合函数
四、逆函数
一、函数的概念
（1）函数的定义：
X与Y集合，f是从 到Y的关系，如果任x∈X, 与 集合 是从 集合， 是从X到 的关系 如果任 ∈ 的关系， 都存在唯一 唯一y∈ ，使得<x,y>∈f,则称 是从X到Y的 则称f是 都存在唯一 ∈Y，使得 ∈ 则称 到 的 函数， 函数， (变换、映射 ，记作 变换、 变换 映射)，记作f:X → Y, 或X → Y. 如果f:X→X是函数 也称f是X上的函数 如果 → 是函数, 也称 是 上的函数. 是函数 上的函数 下面给出A={1,2,3}上几个关系，哪些是A到A的函数？
f1
Y
。 。
a b
X 。 1 。 2 3
f2
Y
。 。
a b
X 。 1 。 2 3
f3
Y
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a b
X 。 1 。 2 3
f4
Y
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a b
。 f5
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X 。 1 。 2 3
Y
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a b
X 。 1 。 2 3
Y
。 。
a b
X 。 1 。 2 3
Y
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a b
本章的主要内容
二、几种特殊函数
(1)定义：设f是从 到Y的函数。 定义： 是从 是从X到 的函数 的函数。 定义 a)若f(X)=Y,那么称为满射 即 那么称为满射,即 若 那么称为满射 ∀y∈Y,∃x∈X,使f(x)=y. ∈ ∃ ∈ 使 b)若∀x1,x2∈X,x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2) 若 ∈ ≠ ⇒ ≠ (即若 即若f(x1)=f(x2) ⇒x1=x2),那么称 是入射 那么称f是入射 即若 那么称 或单射）。 （或单射）。 c)若f既是满射，又是入射，则称 是双 若 既是满射 又是入射，则称f是双 既是满射， 射或称一一映射。 射或称一一映射。
一、函数的概念
二、几种特殊函数
三、复合函数
四、逆函数
一、函数的概念
（1）函数的定义：
X与Y集合，f是从 到Y的关系，如果任x∈X, 与 集合 是从 集合， 是从X到 的关系 如果任 ∈ 的关系， 都存在唯一 唯一y∈ ，使得<x,y>∈f,则称 是从X到Y的 则称f是 都存在唯一 ∈Y，使得 ∈ 则称 到 的 函数， 函数， (变换、映射 ，记作 变换、 变换 映射)，记作f:X → Y, 或X → Y. 如果f:X→X是函数 也称f是X上的函数 如果 → 是函数, 也称 是 上的函数. 是函数 上的函数 下面给出A={1,2,3}上几个关系，哪些是A到A的函数？
离散数学公式
离散数学公式
离散数学是一门利用数学原理研究离散复杂系统的科学，是一门多维而全面的学科，其研究范围涵盖了计算机科学、逻辑学、概率论和组合数学等领域。
关系公式：若集合X和Y之间存在一对一的函数关系，则X到Y的映射关系可以用公式f：X→Y表示，其中•x∈X表示x是X集合中的一个元素，•f（x）∈Y表示f（x）是Y集合中的一个元素，•f：X→Y表示Y集合的每个元素都可以通过函数f映射回X集合中的一个元素。
函数关系公式：若集合X和Y之间存在可定义的函数关系，则可以用f：X→Y表示，其中•f：X→Y表示函数f把X集合中的元素映射到Y集合中，•f（x）表示x在X集合中的元素映射到Y集合中的元素。
算数逻辑公式：若集合X和Y之间存在逻辑关系，则可以用公式
x∈X⊃y∈Y表示，其中•x∈X表示x是X集合中的一个元素，•y∈Y表示y是Y集合中的一个元素，•x∈X⊃y∈Y表示若x属于X集合，则y属于Y集合。
离散数学知识点
离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。
本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。
1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。
- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。
- 幂集：一个集合所有子集的集合。
- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。
2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。
- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。
- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。
3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。
- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。
- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。
4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。
- 函数的类型：单射、满射和双射。
- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。
5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。
- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。
- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。
6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。
- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。
- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。
7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。
- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。
结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。
它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。
掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。
本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。
离散数学函数
Df =dom f=X
f的值域(range) ：记作ran f， 或Rf 即或f(X) Rf =ran f=f(X)={y| y∈Y∧x(x∈X∧<x,y>f)}
Rf = ran f ⊆Y
f的陪域(codomain): Y 称之为 f 的陪域。
二. 函数的表示方法 函数的关系图的特点：
每个节点都有且仅有一条往外发的弧线。
函数的复合运算满足可结合性。 设 f:XY, g:YZ, h:ZW 是函数, 则 (h g) f=h (g f)
证明：与关系复合的可结合性证明类似，但要 注意，要有函数相等的定义去证明。
2.定理5-2.2 设f:XY, g:YZ是两个函数, 则 ⑴如果f和g是 满射的，则 g f 也是满射的；
定理 令X，Y为有限集合，若X和Y的元素个数 相同，则 f:XY是入射的，当且仅当它是满射的。
例：判断下列函数类型
f:RR y=ax+b 双射的
f:RR y=x2 映内的
f:RR y=2x 映内的 入射的
思考：满射函数、入射函数、双射函数的关系矩
阵及关系图有什么特点？
本节重点掌握：函数的定义、函数相等的 定义、函数映射类型的判定。
5-2
函数的复合
由于函数就是特殊的关系，关系的复合运算： 设R是从X到Y的关系，S是从Y到Z的关系，则R和S 的复合关系记作RοS ，定义为：
Rο S ={<x,z>|xXzZy(yY <x,y>R<y,z>S)} 一. 定义: f:XY, g:YZ是函数,则 g f ={<x,z>|xXzZy(yY <x,y>f<y,z>g)} 称g在函数 f 的左边可复合 (左复合)。
电子科技大学离散数学第8章-函数
R11={<a,1>,<a,2>,<b,1>}；
R12={<a,1>,<a,2>,<b,2>}；
R13={<a,1>,<b,1>,<b,2>}；
R14={<a,2>,<b,1>,<b,2>}；
R15={<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>}。
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67-12
A到B不同的函数
从A到B的不同的函数仅有22=4个。分别如下： f1={<a,1>,<b,1>}, f2={<a,1>,<b,2>}， f3={<a,2>,<b,1>}, f4={<a,2>,<b,2>}。
67-11
A到B不同的关系
R0=Φ；R1={<a,1>}；R2={<a,2>}；R3={<b,1>}；
R4={<b,2>}；R5={<a,1>,<b,1>}；R6={<a,1>,<b,2>}；
R7={<a,2>,<b,1>}；R8={<a,2>,<b,2>}；
R9={<a,1>,<a,2>}；R10={<b,1>,<b,2>}；
2019/6/2
67-6
例8.2.1
设 A={1,2,3,4} ， B={a,b,c,d} ， 试 判 断 下 列 关 系 哪 些是函数。如果是函数，请写出它的值域。 （ 1 ） f1 ＝ {<1,a>,<1,b>,<2,c>,<3,b>}, 其 中 A ＝ {1,2,3},B＝{a,b, c}； （ 2 ） f2 ＝ {<a,b>,<b,b>,<c,c>}, 其 中 A ＝ {a,b,c},B ＝{b,c}； （3）f3＝{<x,y>|y−x＝1,x,y∈R},其中A＝B＝R （4）f4＝{<x,y>|y−x＝1,x,y∈Z＋},其中A＝B＝Z＋
离散数学(函数)课件
02
函数的运算
函数的加法
总结词
函数的加法是一种对应关系，表示将函数$f$和$g$的每一个输出值都加上一定的量。
详细描述
函数的加法是一种二元运算，表示将函数$f$和$g$的每一个输出值都加上一定的量。具体来说，如果函数$f$和 $g$的定义域分别为$D_f$和$D_g$，那么函数$f+g$的定义域为$D_{f+g} = D_f cap D_g$，对于任意$x in D_{f+g}$，有$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$。
详细描述
幂函数的形式为 y=x^n，其中 n 是实数。当 n>0 时，幂函数是增函数；当 n<0 时，幂函数是减函数；当 n=0 时，幂函数值为 1。幂函数在离散数学中可 用于表示一些复杂的关系。
指数函数
总结词
指数函数是指数等于输入值的函数。
详细描述
指数函数的形式为 y=a^x，其中 a 是实数且 a>0，a≠1。当 a>1 时，指数函 数是增函数；当 0<a<1 时，指数函数是减函数。指数函数在离散数学中可用于 表示概率和统计中的分布情况。
函数的三要素包括定义域、值域和对应法则。
函数的表示方法
01
02
03
解析法
通过公式来表示函数，例 如y=f(x)。
表格法
通过表格的形式列出函数 的输入和输出值。
图象法
通过绘制函数图像来表示 函数。
函数的性质
单调性
函数在某个区间内单调增 加或单调减少。
有界性
函数在某个区间内有上界 和下界。
奇偶性
函数是否关于原点对称或 关于y轴对称。
函数的复合
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解: F1是函数 F2 不是函数 因为对应于 1存在 1和y2满足 1 F2 y1 和x1 是函数, 不是函数,因为对应于 存在y 因为对应于x 满足x
F2 y2,与函数定义矛盾 与函数定义矛盾. 与函数定义矛盾
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第八章 函数
8.1 函数的定义与性质
下面讨论函数的性质: 下面讨论函数的性质 定义8.6 设f: A→B, 定义 则称f: 是满射的(Onto); (1) 若ranf = B, 则称 A→B是满射的 是满射的 都存在唯一的x∈ 使得: (2) 若∀y∈ranf, 都存在唯一的 ∈A, 使得 ∈ f(x) = y, 则称 A→B是单射的 则称f: 是单射的(One-to-one); 是单射的 既是满射又是单射, 是双射的(或一一映射 (3) 若f既是满射又是单射 则称 是双射的 或一一映射 既是满射又是单射 则称f是双射的 或一一映射)(Oneto-one Correspondence). 由定义不难看出: 由定义不难看出 是满射的, 若f: A→B是满射的 则对于∀y∈B, 都存在 ∈A, 使得 f(x) = y; 是满射的 则对于∀ ∈ 都存在x∈ 使得: 是单射的, 一定有: 若f: A→B是单射的 则对于∀x1, x2∈A, x1 ≠ x2, 一定有 f(x1) ≠ f(x2); 是单射的 则对于∀ 则有: 若∀x1, x2∈A, 有: f(x1) = f(x2), 则有 x1 = x2.
f0 = { <1, a>, <2, a>, <3, a> } f1 = { <1, a>, <2, a>, <3, b> } f2 = { <1, a>, <2, b>, <3, a> }f3 = { <1, a>, <2, b>, <3, b> } f4 = { <1, b>, <2, a>, <3, a> }f5 = { <1, b>, <2, a>, <3, b> } f6 = { <1, b>, <2, b>, <3, a> }f7 = { <1, b>, <2, b>, <3, b> }
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第八章 函数
8.1 函数的定义与性质
定义8.3 设A和B为集合 如果 为函数 且domf = A, ranf⊆B, 为集合, 为函数, 定义 和 为集合 如果f为函数 ⊆ 则称f为从 为从A到 的函数 记作f:A→B. 的函数, 则称 为从 到B的函数 记作 例如 f:N→N, f(x) = 2x是从 到N的函数 是从N到 的函数 的函数, 是从 g:N→N, g(x) = 2也是从 到N的函数 也是从N到 的函数 的函数. 也是从
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第八章 函数
8.1 函数的定义与性质
由排列组合知识不难证明: 由排列组合知识不难证明 若|A| = m, |B| = n, 且m, n > 0, 则|BA| = nm. 在例8.2中, |A| = 3, |B| = 2, 所以, |BA| = 23 = 8. 在例8.2中 所以, 中至少有一个集合是空集时, 当A或B中至少有一个集合是空集时 可以分成下面三 或 中至少有一个集合是空集时 种情况: 种情况 1). A = φ且B = φ, 则BA = φφ = { φ }. 2). A = φ且B ≠ φ, 则BA = Bφ = { φ }. 3). A ≠ φ且B = φ, 则BA = φA = φ.
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第八章 函数
8.1 函数的定义与性质
定义8.5 设函数 A→B, A1 ⊆ A, B1 ⊆ B. 设函数f: 定义 下的像.特别的 (1) 令f(A1) = { f(x) | x∈A1 }, 称f(A1)为A1在f下的像 特别的 当A1=A ∈ 为 下的像 特别的, 时称f(A)为函数的像 为函数的像. 时称 为函数的像 下的完全原像. (2) 令f-1(B1) = { x | x∈A∧f(x)∈B1 }, 称f-1(B1)为B1在f下的完全原像 ∈ ∧ ∈ 为 下的完全原像 这里需区别: 函数的值和像.函数值 函数值f(x)∈B, 而 这里需区别 函数的值和像 函数值 ∈ 像f(A1) ⊆ B. 假设: 显然, 的子集. 假设 B1 ⊆ B, 显然 B1在f下的完全原像 f-1(B1)是A的子集 下的完全原像 是 的子集 考虑A 那么, 考虑 1 ⊆ A, 那么 f(A1) ⊆ B. f(A1)的完全原像就是 -1(f(A1)). 的完全原像就是f 的完全原像就是 一般有: 一般有 f-1(f(A1)) ≠ A1, A1 ⊆ f-1(f(A1)).
8.1 函数的定义与性质
函数(Function)是一种特殊的二元关系 是一种特殊的二元关系. 函数 是一种特殊的二元关系 定义8.1 设F为二元关系 若∀x∈domF, 都存在唯一的 ∈ranF, 使xFy成立 为二元关系, 都存在唯一的y∈ 成立, 定义 为二元关系 ∈ 成立 则称F为函数 或映射).对于函数 如果有xFy, 则记作 为函数(或映射 对于函数F, 则记作y=F(x), 并称 为F 并称y为 则称 为函数 或映射 对于函数 如果有 的值. 在x的值 的值 判断下列关系是否为函数: 例8.1 判断下列关系是否为函数 F1 = { <x1, y1>, <x2, y2>, <x3, y2> } F2 = { <x1, y1>, <x1, y2> }
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第八章 函数
8.1 函数的定义与性质
例如: 函数f: 满足: 例如 函数 { 1, 2, 3 }→{ 0, 1 }, 满足 f(1)=f(2)=0, f(3)=1 那么, 令A1 = { 1 }, 那么 有: f-1(f(A1)) = f-1(f({1})) = f-1({0}) = { 1, 2 } 这时, 这时 A1 ⊂ f-1(f(A1)). x / 2 若x为偶数 例8.3 设f: N→N, 且
f ( x) = x + 1 若x为奇数
假设: 那么, 假设 A1 = { 0, 1 }, B1 = { 2 }, 那么 有 f(A1) = f({0,1}) = { f(0), f(1) } = { 0, 2 } f-1(B1) = f-1({2}) = { 1, 4 }
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第八章 函数
8.1 函数的定义与性质
定义8.4 所有从 到B的函数的集合记作 A, 读作“B上A”.符 所有从A到 的函数的集合记作 的函数的集合记作B 读作“ 上 定义 符 号化表示为B 号化表示为 A = { f | f: A→B }. 例8.2 设A = { 1, 2, 3 }, B = { a, b }, 求BA. 解BA = { f0, f1,…, f7 }, 其中
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第八章 函数
8.1 函数的定义与性质
由于函数是集合, 可用集合相等来定义函数的相等. 由于函数是集合 可用集合相等来定义函数的相等 定义8.2 设F和G为函数 则, F=G ⇔ F⊆G∧G⊆F . 为函数, 定义 和 为函数 ⊆ ∧ ⊆ 由以上定义可知, 如果两个函数F和 相等 相等, 由以上定义可知 如果两个函数 和G相等 一定满足下面两个 条件: 条件 1). domF = domG 2). ∀x∈domF = domG, 都有 F(x) = G(x) 都有: ∈ 例如: 函数F(x) = (x2-1)/(x+1), G(x) = x-1是不相等的 因为 是不相等的, 例如 函数 是不相等的 domF = { x | x∈R∧x ≠ -1 } , domG = R. ∈ ∧