智慧测评新高考人教A版文科数学一轮总复习课时训练6.4基本不等式(含答案详析)

课时规范练4 基本不等式-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

课时规范练4基本不等式基础巩固练1.(2024·贵州黔西检测)函数y=x+4-1在区间(0,+∞)内的最小值是()A.-2B.1C.2D.32.(2024·广西柳州模拟)若a>0,b>0,a+b=2,则r B的最小值为()B.2C.1D.23.(2024·陕西榆林模拟)已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab的最大值为()A.14B.12C.1D.24.(2024·福建宁德模拟)已知a>1,b>1,a=b3,则lg a+3log b10的最小值为()A.4B.6C.8D.105.(2024·湖北宜昌模拟)若正数x,y满足x+2y=2,则+1的最小值为()A.2+1B.22+1C.2D.526.(2024·广东韶关模拟)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面为矩形,AB=2A1B1,高为3,且该棱台的体积为63,则该棱台上底面A1B1C1D1的周长的最小值是()A.15B.14C.13D.127.(多选题)(2024·海南海口模拟)已知a>0,b>0,且a+2b=2,则()A.ab的最大值为12B.a+4的最小值为4C.a2+4b2的最小值为2D.2+1的最大值为48.(2024·山东菏泽模拟)已知θ∈(0,π),则12sin2-cos2θ的最小值为.9.(2024·河北邢台联考)已知a>0,b>0,且ab=a-b+3,则a+b的最小值为.10.(2024·河北石家庄模拟)若a>0,b>0,c>0,且(a+b)(a+c)=4-23,则2a+b+c的最小值为.综合提升练11.(2024·广东佛山模拟)最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于22,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为()A.2B.1C.2D.612.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知正实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则4a+2b的最小值是()A.5B.9C.13D.1813.(多选题)(2024·浙江金华检测)已知a>0,b>0,a+b=2ab-32,则()A.a>34B.a+b≥3C.ab≥94D.1+1≥4314.(2024·天津红桥模拟)已知x,y为正实数,则+4r的最小值为.创新应用练15.(2024·山东济南模拟)若a>0,b>0,则2+4+2的最小值为()A.2B.2C.22D.416.(2024·山东日照模拟)设x>-1,y>0且x+2y=1,则1r1+1的最小值为.课时规范练4基本不等式1.D解析因为x∈(0,+∞),所以y=x+4-1=3,当且仅当x=4,即x=2时,等号成立,所以y=x+4-1在区间(0,+∞)上的最小值是3,故选D.2.D解析由已知可得r B=2B,因为a>0,b>0,由基本不等式知B≤r2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以0<ab≤1,所以1B≥1,所以r B=2B≥2,故r B的最小值为2.3.A解析因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥24B=4B,可得ab≤14,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab的最大值为14,故选A.4.B解析由b>1知log b10>0,所以lg a+3log b10=lgb3+3log b10=log3log10+3log b10=3log10+3log b6,当且仅当3log10=3log b10,即log b10=1,b=10时,等号成立,故lg a+3log b10的最小值为6,故选B.5.A解析由x+2y=2,得r22=1,所以+1=+r22=+2+1=2+1,当且仅当2=22,+2=2,即x=22-2,y=2-2时,等号成立,所以+1的最小值为2+1,故选A.6.D解析设棱台的上底面矩形边长分别为a,b,则下底面矩形边长分别为2a,2b,则棱台的体积为V=13×3×(ab+B·4B+4ab)=63,∴ab=9,∴棱台的上底面的周长为2(a+b)≥4B=12,当且仅当a=b=3时,等号成立,即上底面的周长最小值为12,故选D.7.AC解析对于A项,因为a>0,b>0,a+2b=2,由基本不等式可得a+2b≥22B,当且仅当a=2b=1时,等号成立,所以ab2=12,故A正确;对于B项,根据基本不等式可得a+4≥4,当且仅当a=2时,等号成立,此时b=0,故B错误;对于C项,a2+4b2≥(r2)22=2,当且仅当a=2b=1时,等号成立,故C正确;对于D项,根据基本不等式可得2+1=r2B=2B≥4,当且仅当a=2b=1时,等号成立,所以2+1的最小值为4,故D错误,故选AC.8.2-1解析θ∈(0,π),0<sinθ≤1,12sin2-cos2θ=12sin2+sin2θ-2sin1=2-1,当且仅当12sin2=sin2θ,即sinθ=2-14时,等号成立,所以12sin2-cos2θ的最小值为2-1.9.22解析由ab=a-b+3,得b=r3r1=1+2r1,则a+b=a+1+2r1≥22,当且仅当a=2-1,b=2+1时,等号成立,故a+b的最小值为2 2.10.23-2解析由a>0,b>0,c>0及(a+b)(a+c)=4-23,可得4-23=(a+b)(a+c)≤(rrr2)2,当且仅当b=c时,等号成立,所以(2a+b+c)2≥4(3-1)2,即2a+b+c≥2(3-1),所以2a+b+c的最小值为23-2.11.C解析设斜边c=22,直角边分别为a,b,则a2+b2=8,因为2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当a=b=2时,等号成立,此时a+b取最大值,则这个直角三角形周长取最大值,此时面积为12×2×2=2,故选C.12.D解析由题意,正实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则ab=a+2b,所以2+1=1,故4a+2b=(4a+2b)(2+1)=10+4+4≥10+18,当且仅当4=4,结合2+1=1,即a=b=3时,等号成立,即4a+2b的最小值是18,故选D.13.BCD解析对于A,取a=34,b=92,满足a+b=2ab-32,但不满足a>34,A错误;对于B,因为a+b=2ab-32,所以2ab=a+b+32≤(r)22,即[(a+b)-3][(a+b)+1]≥0,所以a+b≥3,当且仅当a=b=32时,等号成立,B 正确;对于C,a+b=2ab-32≥2B,令B=t(t>0),所以4t2-4t-3≥0,即(2t+1)(2t-3)≥0,所以t≥32,即B≥32,所以ab≥94,当且仅当a=b=32时,等号成立,C正确;对于D,1+1=r B=2B-32B=2-32B,令ab=m,由C选项可知,m≥94,而函数y=2-32在区间[94,+∞)上单调递增,所以2-32≥43,当且仅当m=94,即a=b=32时,等号成立,所以1+1≥43,即D正确,故选BCD.14.3解析+4r=r-+4r=r+4r-1=3,当且仅当r=4r,即y=x时,等号成立.15.C解析因为a>0,b>0,所以2+4+2≥2=4+2≥22,当且仅当2a=b=42,即a=22,b=42时,等号成立,所以2+4+2的最小值为22,故选C.16解析因为x>-1,y>0,所以x+1>0,2r1>0,r1>0,因为x+2y=1,所以x+1+2y=2,所以1r1+1=12(1r11)(x+1+2y)=12(3+2r1+r1)≥12(3+22),当且仅当2r1=r1,即x=22-3,y=2-2时取得最小。

新高考数学一轮复习课时规范练6 基本不等式及其应用新人教A版高三全册数学试题

课时规范练6 基本不等式及其应用基础巩固组1.(2019山东济南历下区校级月考)设a,b∈(0,+∞),则下列各式中不一定成立的是()A.a+b≥2√aaB.aa +aa≥2C.2a2√aa ≥2√aa D.2aaa+a≥√aa2.若a,b都是正数,则1+aa 1+4aa的最小值为()A.7B.8C.9D.103.已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a +1a的最大值为()A.-1B.-32C.-4D.-24.(2019浙江丽水一模)已知正数a,b满足ab2(a+b)=4,则2a+b的最小值为()A.12B.8C.2√2D.√35.设正数x,y满足x>y,x+2y=3,则1a-a +9a+5a的最小值为()A.83B.3 C.32D.2√336.若lg a+lg b=0且a≠b,则2a +1a的取值范围为()A.[2√2,+∞)B.(2√2,+∞)C.[2√2,3)∪(3,+∞)D.(2√2,3)∪(3,+∞)7.已知a>b>0,则2a+3a+a +2a-a的最小值为()A.2√2+2√3B.√2+√3C.2√2+√3D.√2+√328.(2019浙江杭州模拟)已知a>2,b>2,则a2a-2+a2a-2的最小值为()A.2B.4C.6D.169.已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是.10.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.11.(2019江苏无锡二模)经过长期观测,某一公路段在交通繁忙的时段内,汽车的车流量(千辆/时)与aa2-5a+900成正比,其中v(千米/时)是汽车的平均速度.则该公路段在交通繁忙的时段内,汽车的平均速度v为时,车流量最大.12.(2019湖北武汉期末)已知△ABC满足aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2√3=0,∠BAC=30°,点P在△ABC内且△PCA,△PAB,△PBC的面积分别为12,x,y.(1)求x+y的值;(2)求1a +9a的最小值.综合提升组13.设a,b,c,d均为大于零的实数,且abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则a2+b2+m的最小值为()A.8B.4+2√3C.5+2√3D.4√314.(2019山东济南历下区模拟)设x,y∈(0,+∞),(x+y)1a +1a≥a恒成立,则实数a的最大值为()A.2B.4C.8D.16创新应用组15.(2019浙江杭州西湖区校级模拟)设m>n>0,当a22+8a(a-a)取得最小值p时,函数f(x)=|x-m|+|x-n|+|x-p|的最小值为.参考答案课时规范练6基本不等式及其应用1.D由a+a2≥√aa,得a+b≥2√aa,∴A成立;∵aa +aa≥2√aa·aa=2,∴B成立;∵22√aa ≥√aa=2√aa,∴C成立;∵2aaa+a ≤2√aa=√aa,∴D不一定成立.故选D.2.C∵a,b都是正数,∴1+aa 1+4aa=5+aa+4aa≥5+2√aa·4aa=9,当且仅当b=2a时取等号.故选C.3.D a<0,b<0,a+b=-2,∴1a +1a=-12(1a+1a)(a+b)=-122+aa+aa≤-12(2+2√aa·aa)=-2,当且仅当a=b=-1时取等号.故y=1a +1a的最大值为-2.故选D .4.C 依题意可转化为b 2a 2+b 3a-4=0,因为a>0,所以a=-a 3+√a 6+16a 22a 2=-a 2+√a 4+162a.所以2a+b=-a 2+√a 4+16a+b=-b+√a 2+16a 2+b=√a 2+16a 2≥√2√a 2×16a 2=2√2.当且仅当b=2时,等号成立.故选C .5.A 因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y )+(x+5y )=6,所以1a -a+9a +5a =161a -a+9a +5a ×6=161a -a+9a +5a[(x-y )+(x+5y )]=1610+a +5a a -a +9(a -a )a +5a≥16(10+2√9)=83,当且仅当x=2,y=12时取最小值.故选A .6.A ∵lg a+lg b=0且a ≠b ,∴lg ab=0,即ab=1.∴2a+1a·ab=2b+a ≥2√2aa =2√2,当且仅当a=2b=√2时取等号.∴2a +1a 的取值范围为[2√2,+∞),故选A .7.A ∵a>b>0,2a+3a +a +2a -a =a+b+a-b+3a +a +2a -a ,∴a+b+3a +a ≥2√3,当且仅当a+b=√3时取等号;a-b+2a -a ≥2√2,当且仅当a-b=√2时取等号.∴联立{a +a =√3,a -a =√2,解得{a =√3+√22,a =√3-√22.∴当{a =√3+√22,a =√3-√22时,a+b+a-b+3a +a +2a -a≥2√2+2√3,即2a+3a +a +2a -a 取得最小值2√2+2√3.8.D 令x=b-2,y=a-2,则原式=(a +2)2a+(a +2)2a≥2√(a +2)2a ·(a +2)2a=2√[aa +2(a +a )+4]2aa≥2√(aa +4√aa +4)2aa=2√(√aa +2)4aa≥2√(2√2√aa )4aa=2√24×22aaaa=16.当且仅当x=y=2时取等号.故选D .9.10 因为xy=x+2y ≥2√2aa ,则(xy )2≥8xy ,当且仅当x=2y 时等号成立;又因为x>0,y>0,所以xy ≥8,故m-2≤8,所以m ≤10.10.[4,12] ∵2xy=6-(x 2+4y 2),而2xy ≤a 2+4a 22,∴6-(x 2+4y 2)≤a 2+4a 22,∴x 2+4y 2≥4(当且仅当x=2y 时取等号).∵(x+2y )2=6+2xy ≥0,即2xy ≥-6,∴z=x 2+4y 2=6-2xy ≤12(当且仅当x=-2y 时取等号).综上可知4≤x 2+4y 2≤12.11.30 设y=aaa 2-5a +900(k ≠0).∵v>0,∴y=aa +900a -5.∵v+900a ≥60,∴y ≤a55.当且仅当v=900a ,即v=30(千米/时)时,车流量最大.12.解(1)由已知得aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bc cos ∠BAC=2√3,得bc=4,故S △ABC =x+y+12.又12bc sin A=1,则x+y=12.(2)1a +9a =2(1a +9a )×(x+y )=210+a a+9aa≥210+2√aa×9aa=32,当且仅当a a =9aa且x+y=12, 即x=18,y=38时取等号.∴1a +9a 的最小值为32.13.B ∵a ,b ,c ,d 均大于零且abcd=1,m=a (b+c+d )+b (c+d )+cd ,∴a 2+b 2+m=a 2+b 2+(a+b )·(c+d )+ab+cd ≥2ab+2√aa ·2√aa +ab+cd=4+3ab+cd ≥4+2√3aaaa =4+2√3.当且仅当a=b ,c=d ,3ab=cd ,即a=b=(13)14,c=d=314时取等号,∴a 2+b 2+m 的最小值为4+2√3.故选B .14.B ∵x ,y ∈(0,+∞),(x+y )1a+1a=2+a a +aa ≥4,所以a 的最大值为4.故选B .15.8-√2 依题意,因为m>n>0,所以m-n>0,所以a 22+8a (a -a )≥a 22+8[a +(a -a )2]2≥2√a 22×32a 2=8,当且仅当n=√2,m=2√2时取得等号,此时p=8.所以f (x )=|x-2√2|+|x-√2|+|x-8|.所以f (x )={3a -8-3√2(a ≥8),a +8-3√2(2√2≤a <8),-a +8+√2(√2≤a <2√2),-3a +8+3√2(a <√2).所以当x=2√2时f (x )取得最小值8-√2.。

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版提优版)：基本不等式

8x·5
760 x
当且仅当 8x＝5 7x60，即 x＝12 5时，等号成立. ∴当直角梯形的高为 12 5 cm 时，用纸量最少.
第
三部分
课时精练
基础保分练
1.下列函数中，最小值为 2 的是
A.y＝x＋2x
B.y＝
x2＋3 x2＋2
√C.y＝ex＋e－x
D.y＝sin x＋sin1 x0<x<2π
(2)设
0<x<32，则函数
9 y＝4x(3－2x)的最大值为__2___.
∵0<x<32，∴3－2x>0， y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋23－2x2＝92，
当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立.
∵34∈0，32， ∴函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92.
a＋b (3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何平均数.
知识梳理
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R).
(2) ba＋ab ≥ 2 (a，b同号).
a＋b2
(3)ab≤
2
(a，b∈R).
(4)
a2＋b2 2
≥
a＋b2
2
(a，b∈R).
命题点2 常数代换法例 2 已知 x>0，y>0，且 4x＋2y－xy＝0，则 2x＋y 的最小值为
√A.16
C.12
B.8＋4 2 D.6＋4 2
由题意可知2x＋4y＝1， ∴2x＋y＝(2x＋y)2x＋4y＝8yx＋2xy＋8≥2 8yx·2xy＋8＝16，当且仅当8yx＝2xy，即 x＝4，y＝8 时，等号成立，则2x＋y的最小值为16.

2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第六章第四节基本不等式含答案

3．(20xx·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________。
解析由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋ ≥2 ＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立。
答案
4．(20xx·山东高考)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________。
答案8
1．(配合例1使用)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn(n∈N*)，若a1＝d＝1，则的最小值是________。
解析an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，所以＝＝ ≥ ＝，当且仅当n＝4时取等号。所以的最小值是。
答案
2．(配合例2使用)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
【变式训练】某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元。
解析每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故 ≤18－2 ＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元。
答案A
3．(配合例3使用)已知函数f(x)＝|lgx|，a>b>0，f(a)＝f(b)，则的最小值等于________。
解析由函数f(x)＝|lgx|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，所以lga＝－lgb，b＝，a－b＝a－ >0，则＝＝a－＋ ≥2
。

高三文科数学一轮复习学案4 基本不等式(含答案)

文科数学一轮复习学案4 基本不等式一、考试要点：1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

3.高考试题对本节内容的考查形式有二种：一是不等式的证明；二是用于求函数的最值，以选择和填空为主，中等难度。

二、知识梳理：1、常用的重要不等式：（1）对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立.（2）任意实数,a b ，22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （3）任意实数,a b ，22222b a b a +≤⎪⎭⎫⎝⎛+ （4）2≥+b a a b （b a ,同号）（5）2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+（0,0>>b a ） 2、基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则2a b+____时，不等式取等号. 其中2ba +称为正数b a ,的，ab 称为正数b a ,的。

基本不等式的四种变形为。

3、利用基本不等式要注意条件及应用范围会变形应用基本不等式求最值。

（一正、二定、三相等）三、基础自测1.（2009湖南）若0x >，则2x x+的最小值是 2.（2011佛山二模）已知1x >，则11y x x =+-的最小值为A.1B. 2C.D. 3四、考点分析题型一利用基本不等式求最值例题1：的最值。

求xx y 1+=变式训练1：已知2x >，求42x x +-的最小值．变式训练2：若实数y x 、满足4y x =+，则yx 33+的最小值是变式训练3：如果0,0,21x y x y >>+=，求11x y+的最小值.例题2：已知0,0,41a b a b >>+=，求ab 的最大值．变式训练4：)10)21(<<-=x x x y 的最大值（求函数题型二利用基本不等式证明：例题3：已知1,0,0=+>>b a b a ，求证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a变式训练5：已知1,0,0=+>>b a b a ，求证：411≥+ba题型三利用基本不等式解决实际问题：例题4：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？（课本99页例2）变式训练6：（教材）半圆的半径为6，内接矩形的两个顶点在直径上另两顶点在半圆上，求矩形的长与宽多大时，矩形的面积最大？五、课堂练习 1、（2014深圳调研）若正实数b a ,满足1=+b a ，则（）A.b a 11+有最大值是4； B.ab 有最小值是41； C.b a +有最大值2 D.22b a +有最小值222、若y x ,是正实数，则()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++y x y x 41的最小值为（）A.6B.9C.12D.153、（11年广东模拟）下列函数最小值为2的是（）A.21222+++=x x y B.x x y 12+=C.()()220,22<<-=x x x y D.1222++=x x y4、下列命题中正确的有几个（）1. 0>x 时1y x x =+的最小值是2 2.2y =的最小值是23.2y =的最小值是524.423y x x =--的最小值是2- A.1个 B.2个 C.3个 D.4个六、能力提升1、（2013年广东）已知0,0>>y x ，且,12=+y x 则xy 的最大值是（）A.41 B.81C.4D.82、（2014广东七校联考）已知不等式()91≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++y a x y x 对任意的正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值为（）A.2B.4C.6D.83、（2013深一模）已知0,0>>y x ，且,424=--y x xy 则xy 的最小值是（）A.223+B. 223-C.4D.24、（2013广东佛一模）设二次函数()()R x c x ax x f ∈+-=42的值域为[)+∞,0，则ac 91+ 的最小值为（） A.3 B 29C.5D.75、（2014广东十校联考）已知函数()x x f 2log =，且()()2=+b f a f ，则ba22⋅的最小值为。

智慧测评新高考人教A版文科数学一轮总复习课时训练2.2函数的单调性、奇偶性、周期性(含答案详析)

第二篇第 2 节一、选择题1．以下四个函数中，在 (0，＋∞ )上为增函数的是 ( )A ． f(x)＝ 3－xB ．f(x)＝ x 2－ 3x1 C ． f(x)＝－D ． f(x)＝－ |x|x ＋ 1分析：当 x>0 时， f(x)＝ 3－ x 为减函数；当 x ∈0，32 时， f(x)＝ x 2－ 3x 为减函数；当 x ∈32，＋ ∞ 时， f(x)＝x 2－3x 为增函数；当 x ∈(0，＋ ∞ )时， f(x)＝－ 1为增函数；x＋ 1当 x ∈(0，＋ ∞ )时， f(x)＝－ |x|为减函数．应选 C.答案： C2．函数 y ＝12x 2 －3x ＋ 1 的递减区间为 ()2A ． (1，＋∞ )B ．－∞，341，＋∞D ． 3，＋∞C. 24分析：令 g(x)＝ 2x 21 g(x)，因为 g(x)在3－3x ＋ 1，则 y ＝ 24，＋ ∞ 上单一递加，所以函数1g(x)3y ＝ 2的递减区间是 4，＋ ∞ ，应选 D.答案： D3．(2013 年高考广东卷 )定义域为 R 的四个函数y ＝ x 3，y ＝ 2x ，y ＝ x 2＋ 1， y ＝2sin x 中，奇函数的个数是 ()A ． 4B ．3C ． 2D ． 1分析：因 f(－x)＝ ( －x) 3＝－ x 3＝－ f(x)，所以 y ＝ x 3 是奇函数， f(－ x)＝ 2sin (－ x)＝－ 2sinx ＝－ f( x)，所以 y ＝ 2sin x 是奇函数，由函数性质知y＝2x是非奇非偶函数，y＝ x2＋1 是偶函数，所以奇函数的个数是2，故选 C.答案： Cb在 (0，＋∞ )上都是减函数，则y＝ ax2＋ bx 在4．(2014 合肥模拟 )若函数 y＝ ax 与 y＝－x(0，＋∞ )上是 ()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增b分析：由 y＝ ax 与 y＝－x在 (0，＋∞ )上都是减函数，知 a<0， b<0，2b∴函数 y＝ ax ＋ bx 的对称轴x＝－2a<0 ，所以函数 y＝ ax2＋ bx 在 (0，＋∞ )上为减函数．应选 B.答案： B2x， x<0，5．(2014 河南郑州模拟 )设函数 f( x)＝ 0， x＝ 0，且 f( x)为奇函数，则 g(3) 等于 ()g x ， x>0，1A． 8 B ．81C．－ 8D．－8分析：法一因为f( x)为奇函数，故当 x>0 时， f(x)＝－ f(－x)＝－ 2－x，所以 g(x)＝－ 2－x，1所以 g(3) ＝－8.应选 D.31法二由题意知， g(3) ＝ f(3) ＝－ f(－ 3)＝－ 2－＝－8.应选 D.答案： D－x2－ax－ 5， x≤1，6．已知函数f( x)＝ ax， x>1 A．－ 3≤a<0C． a≤－ 2在 R 上为增函数，则 a 的取值范围是 ()B ．－ 3≤ a≤－ 2D． a<0分析：要使函数在R 上是增函数则有－a2≥ 1，a<0，解得－ 3≤ a≤ － 2.应选 B.－1－ a－ 5≤ a，答案： B二、填空题x， x≥ 0，若 f(x) 为奇函数，则 g( －2)＝ ________.7．(2014 池州模拟 )已知函数 f(x)＝g x ， x<0，分析： g(－ 2)＝ f(－2) ＝－ f(2) ＝－ 2.答案：－ 2分析：当 a≤ 0 时， f( x)在区间 [1，＋∞ )上递加；当 a＞ 0 时， f(x)的增区间为 [a，＋∞ )，只需a≤ 1，得 a≤ 1.综上 a 的取值范围为 (－∞， 1]，应选 D.答案： D8．函数 f(x)关于随意实数1，若 f(1)＝－ 5，则 f(f(5)) ＝ ________. x 知足条件 f(x＋ 2)＝f x分析：∵f(x＋2) ＝1，f x∴f(x＋ 4)＝ f(x＋2＋ 2)＝1＝ f(x)，f x＋2所以函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数，∴f(5)＝ f(1) ＝－ 5，1 1∴f(f(5)) ＝ f(－ 5)＝ f(3) ＝f 1＝－5.答案：－1529．(2012 年高考上海卷 )已知 y＝ f(x)＋ x 是奇函数，且 f(1)＝ 1，若 g(x)＝ f( x)＋2，则 g( －1)＝ ________.2分析：∵y＝ f(x)＋x 是奇函数，即 f(－ 1)＝－ f(1) － 2＝－ 3.∴g(－ 1)＝ f(－ 1)＋ 2＝－ 3＋ 2＝－ 1.答案：－1110． (2014 吉林模拟 )若 f(x)＝2x － 1＋ a 是奇函数，则a ＝ ________.分析：法一由 f(－ x)＝ 1＋ a ＝ 2xx ＋a ＝－ f(x)，x 2－－ 1 1－ 2 2x1 ＋ a? 2a ＝1 x－2xx ＝ 1，得 2x＋a ＝－ 2x － 11－ 1－1－2 21故 a ＝2.法二由题意知 f(－ 1)＋ f(1)＝ 0，即1＋ a ＋1 ＋ a ＝ 0，解得 a ＝ 12－1－ 121－ 12.答案：12三、解答题1 111．已知函数 f(x)＝ a － x (a>0， x>0)．(1)求证： f(x)在 (0，＋∞ )上是单一递加函数；11(2)若 f(x)在 2， 2上的值域是2，2，求 a 的值．(1)证明：设 x 2>x 1>0，则 x 2－ x 1>0， x 1x 2>0，∵f(x 2)－ f(x 1)＝ 1 － 1－ 1－ 1a xa x121 1 x 2－ x 1＝x 1－ x 2＝ x 1x 2>0，∴f(x 2)> f(x 1) ，∴f(x)在 (0，＋ ∞)上是单一递加函数．11(2)解： ∵f(x)在 2， 2 上的值域是2，2 ，1 又 f(x)在 2，2 上单一递加，1 1 2∴f 2 ＝ 2，f(2) ＝ 2，解得 a ＝ 5.1＝ 1，假如关于 0<x<y ，12．已知函数 f(x)的定义域是 (0，＋∞ )，且知足 f(xy)＝ f(x) ＋f(y)，f 2都有 f( x)>f(y) ，(1)求 f(1) ；(2)解不等式 f(－ x)＋ f(3－ x)≥－ 2.解： (1)令 x ＝y ＝ 1，则 f(1) ＝ f(1) ＋ f(1)， f(1) ＝0.(2)由题意知 f(x)为 (0，＋ ∞ )上的减函数，－ x >0，且∴x<0，3－x>0，1∵f(xy)＝ f(x)＋ f(y) ， x 、 y ∈(0，＋ ∞ )且 f 2 ＝ 1.∴f(－ x)＋ f(3 － x)≥ － 2，1可化为 f(－ x)＋ f(3－ x)≥ － 2f 2 ，f(－ x)＋ f 1 ＋ f(3－ x)＋f 1 ≥0＝ f(1) ， 2 2f －x＋f3－ x≥ f(1) ，22f －x 3－ x≥ f(1)，2· 2x<0，则x 3－ x解得－ 1≤ x<0.－ 2·2 ≤ 1，∴不等式的解集为 [ － 1,0)．。

高考数学一轮复习 6.4 基本不等式精品课件理新人教A版

2 即a＝b时等号成立，又因为＋ab≥2 ab
2 1 1 2 ＝ab时等号成立，所以 2 ＋ 2 ＋ab≥ ＋ab≥2 2 ，当且仅当 ab a b ab
12＝ 12 a b 2 ＝ab ab
，即a＝b＝ 2时取等号．
4
即时训练
已知x>0，y>0，z>0.
y z x z x y 求证：( ＋ )( ＋ )( ＋ )≥8. x x y y z z
a＋b 1．“a>0且b>0”是“ ≥ ab”的( 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
)
a＋b a＋b 解析：∵a>0，b>0，显然有 ≥ ab ，而 ≥ ab 时， 2 2 a>0，b>0不一定成立，如a＝0，b>0时．
答案：A
2．下列不等式证明正确的是(
＋
)
A．若a，b∈R ，则lga＋lgb≥2 lgalgb b a B．若a，b∈R，则＋ ≥2 a b
＋
ab ·＝2 ba
－b － a b a C．若a∈R ，ab<0，则＋＝－( ＋ ) a b a b ≤－2 D. ab> －a －b · ＝－2 b a 2ab a＋b
解析：若0<a<1则lga<0，所以A错，若a，b异号，则B错，D 中需要同号．
证明：x>0，y>0，z>0， y z 2 yz ∴ ＋ ≥ >0， x x x x z 2 xz ＋ ≥ >0， y y y x y 2 xy ＋ ≥ >0. z z z
y z x z x y ( ＋ )( ＋ )( ＋ ) x x y y z z 8 yz· xz· xy ≥ ＝8. xyz 等号成立的条件是x＝y＝z，故原不等式得证．

高三数学(文科)高考一轮总复习课时跟踪检测6-4基本不等式含解析

[课时跟踪检测][基础达标]1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是()A．a2＋b2B．2abC．2ab D．a＋b解析：只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0,1)，∴a2<a，b2<b，∴a2＋b2<a ＋b.答案：D2．(2017届清新区校级一模)下列各函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋1 xB．y＝sin x＋1sin x，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C．y＝x2＋3 x2＋2D．y＝x＋1 x解析：对于A，∵x>0，∴y＝x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1时取等号．故选A.答案：A3．(2017届人大附中模拟)(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A．9 B.9 2C．3 D.32 2解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知(3－a)(a＋6)≤(3－a)＋(a＋6)2＝92，当且仅当a＝－32时等号成立．故选B.答案：B4．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则1ab的最小值为()A.14 B ．4 C.12D ．2解析：∵a >0，b >0,2a ＋b ＝4，∴1ab ＝22a ·b ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝12，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab min ＝12.答案：C5．(2017届金山模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1即x ＝1＋3时取等号，故选A. 答案：A6．(2018届全国模拟)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：∵lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，∴lg(2x ·8y )＝lg 2，∴2x ＋3y ＝2，∴x ＋3y ＝1. ∵x >0，y >0，∴1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y＝12时取等号，故选C.答案：C7．(2018届雅安模拟)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.答案：B8．(2018届柳州模拟)设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为( )A ．2 3B ．8C ．4 3D ．4＋2 3解析：因为a >0，b >1且a ＋b ＝2，所以a ＋(b －1)＝1，则3a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b －1[a ＋(b －1)]＝3＋ab －1＋3(b －1)a ＋1 ＝4＋ab －1＋3(b －1)a ≥4＋2 3. 当且仅当⎩⎨⎧ab －1＝3(b －1)a ，a ＋b ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－32，b ＝1＋32时等号成立．所以3a ＋1b －1的最小值为4＋2 3.答案：D9．(2017届山东临沂期中)若x ≥0，则y ＝x ＋4x ＋1的取值范围为________．解析：y ＝x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥24－1＝3.⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＋1＝4x ＋1即x ＝1时等号成立因此y ＝x ＋4x ＋1的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)10．(2017届湖北八校二模)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时x ＋2y 取得最大值2.答案：211．(2017年江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和＝600x ×6＋4x ≥4×2× 900x ·x ＝240(万元)．当且仅当x ＝30时取等号．答案：3012．某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．解：(1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋2＋4＋6＋…＋2xx ，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *)． (2)由基本不等式得， y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．13．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库底面积S的取值范围是多少？(2)为使仓库底面积S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？解：(1)设正面铁栅长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库底面积S＝xy.由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.因为x>0，y>0，所以4x＋9y≥24x－9y＝12xy＝12S，当且仅当4x＝9y 时取等号，所以6S＋S≤160，即(S)2＋6S－160≤0，所以0<S≤10，即0<S≤100.故仓库底面积S的取值范围是(0,100]．(2)当S＝100 m2时，4x＝9y且xy＝100，解得x＝15(m)，y＝203(m)．故当仓库底面积S达到最大，且实际投资不超过预算时，正面铁栅长为15 m.14．(2017届合肥二模)已知log 12(x＋y＋4)<log12(3x＋y－2)，若x－y≤λ恒成立，求λ的取值范围．解：由log 12(x＋y＋4)<log12(3x＋y－2)得，x＋y＋4>3x＋y－2>0，可行域如图中阴影部分所示，不包括边界．而x－y≤λ恒成立等价于(x－y)max≤λ，由可行域知，z＝x－y过点A(3，－7)时取得最大值10，而点A不在可行域内，所以λ的取值范围是[10，＋∞)．[能力提升]1．(2017届徐汇区校级模拟)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥22＋2 B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥22＋2解析：∵x ，y ∈R ＋，∴xy ≤(x ＋y )24(当且仅当x ＝y 时成立)．∵xy ＝1＋x ＋y ，∴1＋x ＋y ≤(x ＋y )24，解得x ＋y ≥2＋22或x ＋y ≤2－22(舍)，A 符合题意，可排除C ；同理，由xy ＝1＋x ＋y ，得xy －1＝x ＋y ≥2xy (当且仅当x ＝y 时成立)，解得xy ≥1＋2或xy ≤1－2(舍)，即xy ≥3＋22从而排除B 、D ，故选A.答案：A2．(2017届湖北黄石调研)圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和圆x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49解析：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a,0)，(0,2b )，半径分别为2和1，故有a 2＋4b 2＝3，所以a 2＋4b 2＝9，所以a 2＋4b 29＝1，所以1a 2＋1b 2＝a 2＋4b 29a 2＋a 2＋4b 29b 2＝19＋49＋4b 29a 2＋a 29b 2≥59＋2481＝1，当且仅当4b 29a 2＝a 29b 2时，等号成立，所以1a 2＋1b2的最小值为1.答案：A3．(2017届江西师大附中期末)不等式2x 2－axy ＋y 2≥0对于任意x ∈[1,2]及y ∈[1,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2 2B ．a ≥2 2C ．a ≤113D ．a ≤92解析：因为y 不为0，所以对原不等式两边同时除以y 2，能够得到2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－a ·x y ＋1≥0，令t ＝xy ，则不等式变为2t 2－at ＋1≥0，其中t 由x ，y 的范围决定，可知t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，这样就将原不等式恒成立转化为2t 2－at ＋1≥0在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒成立，由2t 2－at ＋1≥0可得a ≤2t 2＋1t ⇒a ≤2t ＋1t ，当t ＝22时，2t ＋1t 取得最小值22，且此时t ＝22∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，所以有a ≤2 2.答案：A4．(2018届珠海模拟)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________(其中a ＞0，b ＞0)．解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 23a ＋4b ＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，因为a ，b ＞0，所以b ＝3aa －4＞0，解得a ＞4. a ＋b ＝a ＋3a a －4＝a ＋3(a －4)＋12a －4＝a －4＋12a －4＋7≥7＋2 (a －4)·12a －4＝7＋4 3.当且仅当a ＝4＋23时取等号，所以a ＋b 的最小值是7＋4 3. 答案：7＋4 35．(2018届陕西部分学校摸底检测)已知0＜x ＜32，则y ＝2x ＋93－2x 的最小值为________．解析：解法一：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x (3－2x )，设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x (3－2x )＝25t －2t 2＋39t －162＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，记f (t )＝t ＋81t ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，易知f (t )在(6,9)上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫9，283上是增函数，∴当t ＝9时函数f (t )＝t ＋81t 取得最小值，最小值为18，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法二：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x (3－2x )，设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x (3－2x )＝25t－2t 2＋39t －162＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，由基本不等式得t ＋81t ≥18(t ＝9时取等号)，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法三：∵0<x <32，∴0<2x <3， ∴y ＝2x ＋93－2x ＝42x ＋93－2x＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋93－2x (2x ＋3－2x )＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋4(3－2x )2x ＋9·2x 3－2x ≥13(13＋2×6)＝253.当且仅当x ＝35时等号成立，∴y min＝253. 答案：253。

智慧测评新高考人教A版文科数学一轮总复习课时训练10.2古典概型(含答案详析)

第十篇第 2 节一、选择题1．以下事件属于古典概型的基本领件的是( )A ．随意扔掷两枚骰子，所得点数之和作为基本领件B ．篮球运动员投篮，察看其能否投中C ．丈量某天 12 时的教室内温度D ．一先一后掷两枚硬币，察看正反面出现的状况分析： A项随意扔掷两枚骰子，所得点数之和作为基本领件，但各点数之和不是等可能的，比如和为2 的概率为361，和为3 的概率为362＝ 181，所以它不是等可能的，不是古典概型．B项明显事件 “ 投中 ” 和事件 “ 未投中 ” 发生的可能性不必定相等，所以它也不是古典概型． C 项其基本领件空间包括无穷个结果，所以不是古典概型． D 项含有 4 个基本领件，每个基本领件出现的可能性相等，切合古典概型，应选D.答案： D2．甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲方才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且 a ，b ∈ {1,2,3} ，若 |a － b|≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”，现随意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()1 B. 5 A. 39 2 D. 7 C.39分析：甲想一数字有 3 种结果，乙猜一种数字有3 种结果，基本领件总数 3× 3＝ 9.设甲乙 “ 心有灵犀 ” 为事件 A ，则 A 的对峙事件 B 为 “ |a － b|>1” ，即 |a － b|＝ 2，包括 2 个基本事件，∴P(B)＝ 2，∴P(A)＝ 1－ 2＝ 7，应选 D.9 9 9 答案： D3．(2014 合肥质检 )将包括甲、乙两人的4 名同学均匀分红 2 个小组参加某项公益活动，则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为()1 B.2A. 5511 D.C.36分析：记此外两名同学为丙、丁，则将包括甲、乙两人的 4 名同学均匀分红 2 个小组的分法有 (甲乙，丙丁 )，(甲丙，乙丁 ) ，(甲丁，乙丙 )，共 3种；甲、乙两名同学分在同一小组1的只有 (甲乙，丙丁 )1 种，故甲、乙两名同学分在同一小组的概率为P＝3.应选 C.答案： C4．从正六边形的 6 个极点中随机选择 4 个极点，则以它们作为极点的四边形是矩形的概率等于 ()11 B.A. 10811 D.C.65分析：以下图，从正六边形ABCDEF的6个极点中随机选 4 个极点，能够看作随机选 2 个极点，剩下的4 个极点组成四边形，有A、 B， A、 C， A、D ，A、 E， A、 F， B、 C，B、 D， B、E， B、 F，C、 D， C、 E，C、 F， D、 E，D 、 F， E、F，共 15 种．若要组成矩形，只需选相对极点即可，有A、 D， B、 E， C、 F，共 3 种，故其概率为153＝15，应选 D.答案： D5．(2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)从 1,2,3,4 中任取 2 个不一样的数，则拿出的 2 个数之差的绝对值为 2的概率是 ()11 B.A. 2311 D.C.46分析：从 1,2,3,4 中任取 2 个不一样的数有六种状况：(1,2)，(1,3) ，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，21知足条件的有(1,3)， (2,4)，故所求概率是6＝3.应选 B.答案： B6． (2014 临沂模拟 )已知 A＝{1,2,3} ， B＝ { x∈R |x2－ ax＋ b＝0， a∈ A， b∈ A} ，则 A∩B ＝B 的概率是 ()12 B.A. 938D ． 1C.9分析： ∵A ∩B ＝ B ，∴B 可能为 ?， {1} ， {2} ， {3} ， {1,2} ， {2,3} ，{1,3} ．当 B ＝?时， a 2－ 4b<0，知足条件的 a ， b 为 a ＝ 1，b ＝ 1,2,3； a ＝ 2，b ＝ 2,3；a ＝ 3，b ＝ 3.当 B ＝ {1} 时，满足条件的 a ， b 为 a ＝ 2， b ＝ 1.当 B ＝ {2} ， {3} 时，没有知足条件的a ，b.当 B ＝ {1,2} 时，满足条件的 a ， b 为 a ＝3， b ＝ 2.当 B ＝ {2,3} ， {1,3} 时，没有知足条件的 a ，b ，∴A ∩ B ＝B 的88概率为 3× 3＝ 9.应选 C.答案： C二、填空题x 2 y 27．曲线 C 的方程为 2＋ 2＝ 1，此中 m 、n 是将一枚骰子先后扔掷两次所得点数，事件mn2 2xyA ＝“方程 m 2 ＋ n 2＝ 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”，那么P(A)＝ ________.分析：试验中所含基本领件个数为36，若想表示椭圆，则前后两次的骰子点数不可以相同，则去掉 6 种可能，既然椭圆焦点在 x 轴上，则 m>n ，又只剩下一半状况，即有15 种，所以 P(A)＝ 15 5 36＝ 12.5 答案： 128． (2013 年高考新课标全国卷Ⅱ)从 1,2,3,4,5 中随意拿出两个不一样的数，其和为5 的概率是 ________．分析：从 1,2,3,4,5 中随意取两个不一样的数共有(1,2)， (1,3) ，(1,4)， (1,5)， (2,3)， (2,4) ，(2,5) ，(3,4)， (3,5) ，(4,5)10 种．此中和为 5 的有 (1,4)， (2,3)， 2 种．21由古典概型概率公式知所求概率为10＝ 5.答案：159． (2014 南京模拟 )在会合 A ＝ {2,3} 中随机取一个元素 m ，在会合 B ＝ {1,2,3} 中随机取一个元素 n ，获得点 P(m ，n)，则点 P 在圆 x 2＋ y 2＝ 9 内部的概率为 ________．分析：点 P(m ，n)共有 (2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2) ，(3,3) ，6 种状况，只有 (2,1)，(2,2)222 1 这 2 个点在圆 x ＋ y ＝ 9 的内部，所求概率为6＝ 3.答案：1310．(2013 年高考重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．分析：甲、乙、丙三人随机地站成一排有 6 种方法：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，此中甲、乙相邻的有 4 种．故所求概率4 2 P＝ 6＝ 3.答案： 23三、解答题11．(2014 马鞍山市第一次教课质量检测)乳制品按行业质量标准分红五个等级，等级系数 x 分别为 1,2,3,4,5.现从该乳制品中随机抽取频次散布表以下：20 件，对其等级系数进行统计剖析，获得的x12345f a0.30.35b c(1)若抽取的20 件乳制品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求a， b， c 的值；(2)在 (1)的条件下，将等级系数为 4 的乳制品记为x1，x2，x3，等级系数为 5 的乳制品记为 y1， y2，现从这 5 件乳制品 x1， x2， x3， y1， y2中任取两件 (假定每件乳制品被抽取的可能性同样 )，写出全部可能的结果，并求出这两件乳制品的等级系数恰巧同样的概率．解： (1)由频次散布表得 a＋ 0.3＋ 0.35＋b＋ c＝ 1，即 a＋b＋ c＝ 0.35.由于所抽取的20 件乳制品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，3所以 b＝20＝ 0.15，又由于所抽取的20 件乳制品中，等级系数为 5 的恰有 2 件，2所以 c＝20＝ 0.1，于是 a＝ 0.35－0.15－ 0.1＝ 0.1，所以 a＝ 0.1， b＝ 0.15， c＝ 0.1.(2)从 5 件乳制品x1， x2， x3， y1， y2中任取两件，全部可能的结果为( x1，x2)， (x1， x3)，( x1， y1)， (x1， y2) ， (x2， x3)， (x2， y1) ，(x2， y2)， (x3， y1)， ( x3， y2)， (y1， y2)共 10 个．设事件 A 表示“从这 5 件乳制品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，等级系数恰巧同样” ，则 A 包括的事件为(x1， x2)， (x1， x3)， (x2， x3)，( y1，y2 )共 4 个，故所求的概率 P(A)＝ 4 ＝210 5.12．(2014 滨州一模 )甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A 、B 、C 、D 四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同一时间．所以甲、乙都只好在这四所院校中选择一所做志愿，假定每位同学选择各个院校是等可能的，试求：(1)甲、乙选择同一所院校的概率；(2)院校 A 、 B 起码有一所被选择的概率．解：由题意可得，甲、乙都只好在这四所院校中选择一个做志愿的全部可能结果为：(甲 A ，乙 A)，(甲 A ，乙 B)，(甲 A ，乙 C)，(甲 A ，乙 D)， (甲 B ，乙 A)，(甲 B ，乙 B)， ( 甲 B ，乙 C)， (甲 B ，乙 D)，(甲 C ，乙 A)，(甲 C ，乙 B)，(甲 C ，乙 C)，(甲 C ，乙 D )，(甲D ，乙 A)， (甲 D ，乙 B)，(甲 D ，乙 C)， (甲 D ，乙 D )，共 16 种．4 1(1)此中甲、乙选择同一所院校有4 种，所以甲、乙选择同一所院校的概率为16＝ 4.(2)院校 A 、B 起码有一所被选择的有12 种，所以院校 A 、 B 起码有一所被选择的概率123为 16 ＝ 4.。

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-4基本不等式含解析精品

[课时跟踪检测][基础达标]1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是()A．a2＋b2B．2abC．2ab D．a＋b解析：只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0,1)，∴a2<a，b2<b，∴a2＋b2<a ＋b.答案：D2．(2017届清新区校级一模)下列各函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋1 xB．y＝sin x＋1sin x，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C．y＝x2＋3 x2＋2D．y＝x＋1 x解析：对于A，∵x>0，∴y＝x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1时取等号．故选A.答案：A3．(2017届人大附中模拟)(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A．9 B.9 2C．3 D.32 2解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知(3－a)(a＋6)≤(3－a)＋(a＋6)2＝92，当且仅当a＝－32时等号成立．故选B.答案：B4．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则1ab的最小值为()A.14 B ．4 C.12D ．2解析：∵a >0，b >0,2a ＋b ＝4，∴1ab ＝22a ·b ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝12，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab min ＝12.答案：C5．(2017届金山模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1即x ＝1＋3时取等号，故选A. 答案：A6．(2018届全国模拟)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：∵lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，∴lg(2x ·8y )＝lg 2，∴2x ＋3y ＝2，∴x ＋3y ＝1. ∵x >0，y >0，∴1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y＝12时取等号，故选C.答案：C7．(2018届雅安模拟)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.答案：B8．(2018届柳州模拟)设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为( )A ．2 3B ．8C ．4 3D ．4＋2 3解析：因为a >0，b >1且a ＋b ＝2，所以a ＋(b －1)＝1，则3a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b －1[a ＋(b －1)]＝3＋ab －1＋3(b －1)a ＋1 ＝4＋ab －1＋3(b －1)a ≥4＋2 3. 当且仅当⎩⎨⎧ab －1＝3(b －1)a ，a ＋b ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－32，b ＝1＋32时等号成立．所以3a ＋1b －1的最小值为4＋2 3.答案：D9．(2017届山东临沂期中)若x ≥0，则y ＝x ＋4x ＋1的取值范围为________．解析：y ＝x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥24－1＝3.⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＋1＝4x ＋1即x ＝1时等号成立因此y ＝x ＋4x ＋1的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)10．(2017届湖北八校二模)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时x ＋2y 取得最大值2.答案：211．(2017年江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和＝600x ×6＋4x ≥4×2× 900x ·x ＝240(万元)．当且仅当x ＝30时取等号．答案：3012．某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．解：(1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋2＋4＋6＋…＋2xx ，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *)． (2)由基本不等式得， y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．13．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库底面积S的取值范围是多少？(2)为使仓库底面积S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？解：(1)设正面铁栅长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库底面积S＝xy.由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.因为x>0，y>0，所以4x＋9y≥24x－9y＝12xy＝12S，当且仅当4x＝9y 时取等号，所以6S＋S≤160，即(S)2＋6S－160≤0，所以0<S≤10，即0<S≤100.故仓库底面积S的取值范围是(0,100]．(2)当S＝100 m2时，4x＝9y且xy＝100，解得x＝15(m)，y＝203(m)．故当仓库底面积S达到最大，且实际投资不超过预算时，正面铁栅长为15 m.14．(2017届合肥二模)已知log 12(x＋y＋4)<log12(3x＋y－2)，若x－y≤λ恒成立，求λ的取值范围．解：由log 12(x＋y＋4)<log12(3x＋y－2)得，x＋y＋4>3x＋y－2>0，可行域如图中阴影部分所示，不包括边界．而x－y≤λ恒成立等价于(x－y)max≤λ，由可行域知，z＝x－y过点A(3，－7)时取得最大值10，而点A不在可行域内，所以λ的取值范围是[10，＋∞)．[能力提升]1．(2017届徐汇区校级模拟)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥22＋2 B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥22＋2解析：∵x ，y ∈R ＋，∴xy ≤(x ＋y )24(当且仅当x ＝y 时成立)．∵xy ＝1＋x ＋y ，∴1＋x ＋y ≤(x ＋y )24，解得x ＋y ≥2＋22或x ＋y ≤2－22(舍)，A 符合题意，可排除C ；同理，由xy ＝1＋x ＋y ，得xy －1＝x ＋y ≥2xy (当且仅当x ＝y 时成立)，解得xy ≥1＋2或xy ≤1－2(舍)，即xy ≥3＋22从而排除B 、D ，故选A.答案：A2．(2017届湖北黄石调研)圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和圆x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49解析：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a,0)，(0,2b )，半径分别为2和1，故有a 2＋4b 2＝3，所以a 2＋4b 2＝9，所以a 2＋4b 29＝1，所以1a 2＋1b 2＝a 2＋4b 29a 2＋a 2＋4b 29b 2＝19＋49＋4b 29a 2＋a 29b 2≥59＋2481＝1，当且仅当4b 29a 2＝a 29b 2时，等号成立，所以1a 2＋1b2的最小值为1.答案：A3．(2017届江西师大附中期末)不等式2x 2－axy ＋y 2≥0对于任意x ∈[1,2]及y ∈[1,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2 2B ．a ≥2 2C ．a ≤113D ．a ≤92解析：因为y 不为0，所以对原不等式两边同时除以y 2，能够得到2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－a ·x y ＋1≥0，令t ＝xy ，则不等式变为2t 2－at ＋1≥0，其中t 由x ，y 的范围决定，可知t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，这样就将原不等式恒成立转化为2t 2－at ＋1≥0在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒成立，由2t 2－at ＋1≥0可得a ≤2t 2＋1t ⇒a ≤2t ＋1t ，当t ＝22时，2t ＋1t 取得最小值22，且此时t ＝22∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，所以有a ≤2 2.答案：A4．(2018届珠海模拟)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________(其中a ＞0，b ＞0)．解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 23a ＋4b ＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，因为a ，b ＞0，所以b ＝3aa －4＞0，解得a ＞4. a ＋b ＝a ＋3a a －4＝a ＋3(a －4)＋12a －4＝a －4＋12a －4＋7≥7＋2 (a －4)·12a －4＝7＋4 3.当且仅当a ＝4＋23时取等号，所以a ＋b 的最小值是7＋4 3. 答案：7＋4 35．(2018届陕西部分学校摸底检测)已知0＜x ＜32，则y ＝2x ＋93－2x 的最小值为________．解析：解法一：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x (3－2x )，设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x (3－2x )＝25t －2t 2＋39t －162＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，记f (t )＝t ＋81t ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，易知f (t )在(6,9)上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫9，283上是增函数，∴当t ＝9时函数f (t )＝t ＋81t 取得最小值，最小值为18，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法二：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x (3－2x )，设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x (3－2x )＝25t－2t 2＋39t －162＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，由基本不等式得t ＋81t ≥18(t ＝9时取等号)，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法三：∵0<x <32，∴0<2x <3， ∴y ＝2x ＋93－2x ＝42x ＋93－2x＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋93－2x (2x ＋3－2x )＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋4(3－2x )2x ＋9·2x 3－2x ≥13(13＋2×6)＝253.当且仅当x ＝35时等号成立，∴y min＝253. 答案：253。

智慧测评新高考人教A版理科数学一轮总复习课时训练6.1不等关系与不等式(含答案详析)

第六篇第1节1．(2014泰安模拟)如果a >b ，则下列各式正确的是( )A ．a ·lg x >b ·lg xB ．ax 2>bx 2C ．a 2>b 2D ．a ·2x >b ·2x解析：∵a >b,2x >0，∴a ·2x >b ·2x .故选D.答案：D2．(2014华中师大一附中5月模拟)若a 、b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a ”的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若0<ab <1，当a <0时，b >1a ，反之，若b <1a ，当a <0时，ab >1.故选D.答案：D3．(2014潍坊模拟)若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．(－3π2，3π2 )B ．(－3π2，0)C ．(0，3π2 )D ．(－π2，0)解析：∵－π2<α<β<π，∴－π2<α<π，－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2，又α－β<0，∴－3π2<α－β<0.故选B.答案：B4．(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解析：∵1＜log 23＜log 25＜log 27，∴1log 23＞1log 25＞1log 27＞0，即log 32＞log 52＞log 72，a ＝log 3(3×2)＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，∴a ＞b ＞c .故选D.答案：D5．(2014南平模拟)如果a ，b ，c 满足c acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：由条件知a >0，c <0，则选项A 、B 、D 一定正确，当b ＝0时，选项C 不正确．故选C.答案：C6．(2014浙江龙泉市模拟)如果a 1a D.1a 2<1b 2 解析：法一由a 0，a －b >0，两边平方得：a 2>b 2，故选项B 错；由a 0，若1a －b >1a 成立，则a (a －b )a －b >a (a －b )a 成立，即a >a －b 成立，也就是b >0成立，与已知矛盾，故选项C 错；由a －1a>0，则1a 2＝(－1a )2<(－1b )2＝1b 2，故选项D 正确．法二 ∵a －12＝1b ，故选项A 错；a 2＝9，b 2＝4，∴a 2>b 2，故选项B 错；a －b ＝－1，∴1a －b＝－1<－13＝1a ，故选项C 错；1a 2＝19，1b 2＝14，∴1a 2<1b 2，故选项D 正确．故选D. 答案：D二、填空题7．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________________________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b8．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<11无解．综上可得b <－1.答案：(－∞，－1)9．(2014南昌一模)现给出三个不等式：①a 2＋1>2a ；②a 2＋b 2>2a －b －32；③7＋10>3＋14.其中恒成立的不等式共有________个．解析：①∵a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，故①不恒成立；②∵a 2＋b 2－2a ＋2b ＋3＝(a －1)2＋(b ＋1)2＋1>0，∴a 2＋b 2>2a －b －32恒成立． ③∵(7＋10)2＝17＋270，(3＋14)2＝17＋242，又∵70>42，∴17＋270>17＋242， ∴7＋10>3＋14，成立．答案：210．(2014南京一模)给出下列四个命题：①若a >b >0，则1a >1b； ②若a >b >0，则a －1a >b －1b； ③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >a b； ④设a ，b 是互不相等的正数，则|a －b |＋1a －b≥2. 其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．解析：①作差可得1a －1b ＝b －a ab ，而a >b >0，则b －a ab <0，①是假命题；②a >b >0，则1a <1b，进而可得－1a >－1b ，所以可得a －1a >b －1b ，②是真命题；③2a ＋b a ＋2b －a b ＝b (2a ＋b )－a (a ＋2b )(a ＋2b )b＝b 2－a 2(a ＋2b )b ＝(b －a )(b ＋a )(a ＋2b )b<0，③是假命题；④当a －b <0时不成立，④是假命题．答案：②三、解答题11．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7枝，练习本至少买6本．写出满足条件的不等式．解：设铅笔买x 枝，练习本买y 本(x ，y ∈N *)，总钱数为0．6x ＋0.7y ，且不大于10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0.6x ＋0.7y ≤10，x ≥7，x ∈N *，y ≥6，y ∈N *.12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．。

第2节基本不等式-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

考向1直接运用基本不等式求最值
例1(1)(2024·上海宝山检测)若实数x,y满足x+2y=1,则2x+4y的最小值
为 2 2 .
解析 2 +4 ≥2
x
y
2 ·4 =2
2 ·22 =2
2+2 =2
时,等号成立,故 2x+4y 的最小值为 2 2.
2,当且仅当 x=2y,即
1
1
x=2,y=4
4
.
解析因为 x>0,y>0,所以由基本不等式得 4= +2 ≥2
·2 ,所以
·2 ≤2,得 0< ≤2,所以 xy≤4,当且仅当 =2 即 x=4,y=1 时,等号
成立,所以 xy 的最大值是 4.
考向2通过配凑利用基本不等式求最值
4
例2(1)(2024·贵州贵阳模拟)若x>0,则x+
D.9
1
2

4
2x+y=( + )(2x+y)=4+ +

1
2
时,等号成立,又 + =1,所以

=1,则2x+y的最小值
≥4+2
4

· =8,当且仅当

x=2,y=4,此时 2x+y 的最小值为 8,故选 C.
=
4

变式探究1
(变结论)本例中,若条件不变,试求xy的最小值为
2
2
1
(a+b)2+(a+b)-8≥0,解得 a+b≥4,即 a+b 的最小值为 4,故 B 选项正确;由

2015届《智慧测评》高考数学(人教A版,理科)大一轮总复习课时训练第6篇第4节基本不等式Word版含解析

第六篇第4节一、选择题1．(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0， ∴lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1. 故选C.答案：C2．(2014安徽省示范高中高三模拟)“1<a <2”是“对任意的正数x,2x ＋a x≥2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：2x ＋a x ≥22a ≥2⇒a ≥12.故选A. 答案：A3．(2014重庆市部分重点中学高三联考)已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2(x ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q解析：p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时，取得等号；而由于x 2－2≥－2，故q ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4，故p ≥q .故选A. 答案：A6．(2014淮北模拟)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a a ，又1a ＋1b >21ab， ∴v <ab .故a <v <ab ，故选A.答案：A5．(2014山西省示范性高中联考)函数y ＝a x ＋3－2(a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n＝－1上，且m ，n >0，则3m ＋n 的最小值为( ) A ．13B ．16C ．11＋62D ．28解析：依题意，定点A (－3，－1)，所以－3m ＋－1n ＝－1，即3m ＋1n ＝1，则3m ＋n ＝(3m ＋n )·⎝⎛⎭⎫3m ＋1n ＝9＋3n m ＋3m n＋1≥10＋23n m ·3m n＝16，当且仅当n ＝m ＝4时等号成立．故选B.答案：B 6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，存储费用是x 8元，总的费用y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8时取等号，得x ＝80(件)，故选B. 答案：B二、填空题 7．(2014湖北黄州模拟)已知各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为________．解析：由已知a 4a 14＝(22)2＝8.再由等比数列的性质有a 4a 14＝a 7a 11＝8.又∵a 7>0，a 11>0.∴2a 7＋a 11≥22a 7a 11＝8.当且仅当2a 7＝a 11时等号成立．答案：88．(2013年高考四川卷)已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解析：因为x >0，a >0，所以f (x )＝4x ＋a x≥24a ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号．由题意可得a ＝4×32＝36.答案：369．已知直线ax －2by ＝2(a >0，b >0)过圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，ab 的最大值为________．解析：圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心为(2，－1)，因为直线过圆心，所以2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1.所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以ab 的最大值为14.答案：1410．(2014北京朝阳质检)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 8三、解答题11．已知函数f (x )＝lg x ，若x 1，x 2>0，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的大小，并加以证明．解：12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.证明如下：∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)，f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22，且x 1，x 2>0，x 1x 2≤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222， ∴lg(x 1x 2)≤lg ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22，即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. ∴12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，当且仅当x 1＝x 2时，等号成立．12．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x 张(x 是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张书桌，则共需分36x批，每批价值为20x 元，由题意得f (x )＝36x·4＋k ·20x . 由x ＝4时，f (x )＝52，得k ＝1680＝15. ∴f (x )＝144x＋4x (0＜x ≤36，x ∈N *)． (2)由(1)知f (x )＝144x＋4x (0＜x ≤36，x ∈N *)， ∴f (x )≥2144x×4x ＝48(元)．当且仅当144x＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．。

智慧测评新高考人教A版文科数学一轮总复习课时训练6.2一元二次不等式及其解法(含答案详析)

第六篇第2节一、选择题1．(2014渭南模拟)函数y ＝x－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)B ．(－4,1)C ．(－4,0)∪(0,1)D ．(－1,4)解析：由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以函数的定义域为(－4,1)．故选B. 答案：B2．(2012年高考重庆卷)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析：不等式x －12x ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0 ⇒－12<x ≤1.故选A. 答案：A3．(2014安徽省六校联考)设00，即⎩⎪⎨⎪⎧－b a －1<x <ba ＋1，a >1.因为0<b <1＋a ，所以0<b a ＋1<1，原不等式的四个整数解必为0，－1，－2，－3，可得－4≤－ba －1<－3，即3<ba －1≤4，故3<a ＋1a －1，可得1<a <2.故选B.答案：B4．(2014沈阳模拟)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：设销售价定为每件x 元，利润为y ，则： y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应为12元到16元之间．故选C. 答案：C5．(2014广州模拟)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则有Δ＝1－4m <0， ∴m >14，∴它的一个必要不充分条件应为m >0.故选C. 答案：C6．(2014厦门模拟)对于实数x ，当n ≤x <n ＋1(n ∈Z )时，规定[x ]＝n ，则不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为( )A ．{x |2≤x <8}B ．{x |2<x ≤8}C ．{x |2≤x ≤8}D ．{x |2<x <8}解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0可解得32<[x ]<152，又由题意，当n ≤x <n ＋1(n ∈Z )时，[x ]＝n ，则2≤n ≤7，∴x 的取值范围应为2≤x <8.故选A. 答案：A 二、填空题7．(2014山东师大附中第三次模拟)不等式x (x －1)x ＋2<0的解集是________．解析：原不等式等价为x (x －1)(x ＋2)<0，解得x <－2或0<x <1，即原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0,1)．答案：(－∞，－2)∪(0,1)8．(2014烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2， ∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)9．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2；若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．解析：当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0， f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1. 答案：110．(2013年高考重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0，对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________．解析：由题意知，(8sin α)2－4×8·cos 2α≤0，∴2sin 2α－cos 2α≤0， ∴2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0， ∴4sin 2α－1≤0， ∴sin 2α≤14，又0≤α≤π， ∴0≤sin α≤12.∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π.答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 三、解答题11．(2014日照模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， ∴当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0， ∴0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ， ∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32. 12．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)．(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)由题意知，月利润y ＝px －R ，即y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500. 由月利润不少于1300元，得－2x 2＋130x －500≥1300. 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故该厂月产量在20～45件范围内时，月利润不少于1300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝⎛⎭⎫x －6522＋32252，由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1612元．。

2021高考高三数学一轮复习答案-第六章第4讲基本不等式

【自主体验】1.答案 (1)2 (2)1 2 A 圆 x2＋y2－2y－5＝0 化成标准方程，得 x2＋(y－1)2＝6， 3
所以圆心为 C(0,1)．因为直线 ax＋by＋c－1＝0 经过圆心 C，所以 a×0＋b×1＋c－1＝0，即 b＋c
＝1.因此4＋1＝(b＋c)(4＋1)＝4c＋b＋5.因为 b，c>0，所以4c＋b≥2 4c·b＝4.当且仅当4c＝b时等
12
x
x 3y 3y xy
9
x
y
3 1
x 3y xy 9 2 x 3y xy ，令 n xy n 0 ，所以 9 2 3n n2 ，3 3 n 3
所以 0
xy
3
，
xy
的最大值为
3
，此时
x
x 3y 3y xy
9
x y
3 1
【训练 3】答案 (1)大于 (2)8
编制：杨乃秀
1
4.
4
由 a 3b 6 0 可知 a 3b 6 ，且 2a
1 8b
2a
23b
，因为对于任意 x，2x
0 恒成立，
当且仅当 n＝4 时取等号．∴Sn＋8的最小值是9.
an
2
所以： 2a 23b 2
2a 23b 2
26
1
2a 23b
4
.当且仅当
a
3b
6
时等号成立
bc
bc b c
bc
bc
bc
号成立．由此可得 b＝2c，且 b＋c＝1，即 b＝2，c＝1时，4＋1取得最小值 9. 3 3 bc
3. 答案 9 解析 (1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋2 2ab＝9.当且仅当 2a＝b，即 a＝1，b＝2 时取等号．

2022年旧高考(人教版)数学一轮教学案：第六章第四讲基本不等式 (含解析)

第四讲基本不等式知识梳理·双基自测知识梳理知识点一重要不等式a 2＋b 2≥__2ab __(a ，b ∈R )(当且仅当__a ＝b __时等号成立)．知识点二基本不等式ab ≤a ＋b2(均值定理) (1)基本不等式成立的条件：__a >0，b >0__； (2)等号成立的条件：当且仅当__a ＝b __时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的__算术平均数__，ab 叫做正数a ，b 的__几何平均数__.知识点三利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当__x ＝y __时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)归纳拓展常用的几个重要不等式(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(当且仅当a ＝b 时取等号) (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(3)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号) (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(当且仅当a ＝b 时取等号)． (5)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b >0当且仅当a ＝b 时取等号)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二走进教材2．(必修5P 100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x ( D )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2[解析] 因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2. 3．(必修5P 100练习T3改编)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( B ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D ．ab <a <a ＋b2<b[解析] 解法一(特值法)：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2.解法二(直接法)：我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B ．4．(必修5P 100A 组T2改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25__m 2.[解析] 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三走向高考5．(2020·江苏，12,5分)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__45__.[解析] 由5x 2y 2＋y 4＝1知y ≠0，∴x 2＝1－y 45y 2，∴x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15y 2＋4y 25≥2425＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12，x 2＝310时取“＝”．故x 2＋y 2的最小值为45. 6．(2019·天津，13)设x >0，y >0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为__92__.[解析] (x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy .∵x >0，y >0，∴4＝x ＋2y ≥2x ·2y ，解得0<xy ≤2，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2且y ＝1时“＝”成立．此时1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92，故(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为92.考点突破·互动探究考点一利用基本不等式求最值——多维探究角度1 拼凑法求最值例1 (1)(2020·天津，14,5分)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__4__.(2)(2021·吉林模拟)已知x >2，若f (x )＝x ＋1x －2在x ＝n 处取得最小值，则n ＝( B )A ．52B ．3C ．72D ．4(3)(2021·重庆南开中学质检)已知实数a ，b >1，且满足ab －a －b ＝5，则2a ＋3b 的最小值为__17__.[解析] (1)12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2×8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即(a ＋b )2＝16，也即a ＋b ＝4时取等号．又∵ab ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2＋3，b ＝2－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－3，b ＝2＋3时取等号，∴12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4. (2)由f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x －2＝1x －2>0，即x ＝3时，取得等号，故选B ．(3)由ab －a －b ＝5⇒6＝(a －1)(b －1) ⇒36＝(2a －2)(3b －3)≤⎝⎛⎭⎪⎫2a －2＋3b －322则2a ＋3b ≥17，当且仅当a ＝4，b ＝3取最小值． [引申]f (x )＝x ＋1x －2的值域为__(－∞，0]∪[4，＋∞)__. [解析] f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2， ∵|(x －2)＋1x －2|＝|x －2|＋1|x －2|≥2 (当且仅当|x －2|＝1即x ＝3或1时取等号) ∴(x －2)＋1x －2≥2或x －2＋1x －2≤－2，∴f (x )≥4或f (x )≤0，即f (x )的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)．名师点拨拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．角度2 换元法求最值例2 (1)已知x >54，求函数y ＝16x 2－28x ＋114x －5的最小值；(2)(2021·百校联盟尖子生联考)已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝ab －16，则ab 的最小值为( B )A ．16B ．32C ．64D ．128[思路] (1)通过换元转化为形如Ax ＋Bx ＋C 形式的函数．[解析] (1)设4x －5＝t ，则x ＝t ＋54.∵x >54，∴t >0.∴y ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋542－28·t ＋54＋11t＝t 2＋3t ＋1t＝t ＋1t＋3≥2＋3＝5.当且仅当t ＝1即x ＝32时，上式取“＝”号．∴x ＝32时，y min ＝5.(2)ab －16＝a ＋2b ≥22ab ，令ab ＝t ，则t 2－22t －16≥0⇒t ≥22＋722＝42，故ab ≥32，即ab 最小值为32.(当且仅当a ＝8，b ＝4时取等号)故选B ． [答案] (1)5角度3 常数代换法求最值例3 (1)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则2x ＋1y 最小值为__2__；(2)已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为__18__.[思路] (2)先利用乘常数法或消元法，再利用基本不等式求解最值． [解析] (1)2x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1y (x ＋2y )×14＝14⎝⎛⎭⎫4＋x y ＋4y x ≥14⎝⎛⎭⎫4＋2x y ·4y x ＝2. 当且仅当x y ＝4yx，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4y 2＝x 2，x ＋2y ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时取等号．(2)解法一：x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋1y ·(x ＋2y)＝10＋x y ＋16y x ≥10＋2x y ·16yx＝18，当且仅当⎩⎨⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3时“＝”成立，故x ＋2y 的最小值是18. 解法二(消元法)：由8x ＋1y ＝1，得y ＝x x －8，由y >0⇒xx －8>0，又x >0⇒x >8，则x ＋2y ＝x＋2x x －8＝x ＋2(x －8)＋16x －8＝x ＋2＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12(x ＝4舍去)，y ＝3时，“＝”成立，故x ＋2y 的最小值为18.名师点拨常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·宁夏银川一中月考)已知正数x 、y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为( B )A ．2B ．92C ．143D ．5(2)(角度2)(2021·山东师大附中模拟)若正数x ，y 满足x ＋5y ＝3xy ，则5x ＋y 的最小值为__12__；(3)(角度3)(2020·天津七校期中联考)已知a >0，b >0，且1a ＋1＋1b ＝1，求a ＋b 的最小值__3__.[解析] (1)∵x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝[x ＋(1＋y )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝4x 1＋y＋1＋y x ＋5≥24x 1＋y·1＋yx ＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋y ＝1＋y xx ＋y ＝1，即当⎩⎨⎧x ＝23y ＝13时取等号∴1x ＋41＋y 的最小值为92，故选B ． (2)∵x >0，y >0，x ＋5y ＝3xy ，即5x ＋1y ＝3，∵5x ＋y ＝13⎝⎛⎭⎫5x ＋1y (5x ＋y ) ＝13⎝⎛⎭⎫26＋5y x ＋5x y ≥13⎝⎛⎭⎫26＋25y x ·5x y ＝12， (当且仅当x ＝y ＝2时取等号) ∴5x ＋y 的最小值为12，另解：∵x >0，y >0，x ＋5y ＝3xy ，即x ＝5y3y －1，令3y －1＝t ，则y ＝t ＋13，(t >0)，∴5x ＋y ＝25y 3y －1＋y ＝253⎝⎛⎭⎫1＋1t ＋t ＋13＝263＋13⎝⎛⎭⎫25t＋t ≥263＋2325t·t ＝12. (当且仅当t ＝5，即x ＝y ＝2时取等号) ∴5x ＋y 的最小值为12. (3)∵a >0，b >0，且1a ＋1＋1b＝1， ∴a ＋b ＝[(a ＋1)＋b ]－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [(a ＋1)＋b ]－1＝ba ＋1＋a ＋1b ＋1≥2b a ＋1·a ＋1b ＋1＝3，当且仅当a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为3，另解：(换元法)由1a ＋1＋1b ＝1得b ＝1＋1a ，(a >0)，∴a ＋b ＝a ＋1a＋1≥2a ·1a＋1＝3，当且仅当a ＝1，b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为3.考点二利用基本不等式求参数的范围——师生共研例4 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则 (1)ab 的取值范围是__[9，＋∞)__； (2)a ＋b 的取值范围是__[6，＋∞)__. [解析] (1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0.∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． (2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. 今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0. ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．名师点拨利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b ＝a ＋3a －1>0，∴a －1>0，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥6.当且仅当a ＝b ＝3时取等号．〔变式训练2〕(2020·黑龙江哈尔滨三中期中)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是__4__. [解析] 解法一：∵x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8. ∴(2y ＋1)(x ＋1)＝9且x ＋1>0,2y ＋1>0∴x ＋2y ＝(2y ＋1)＋(x ＋1)－2≥2(2y ＋1)·(x ＋1)－2＝4.(当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)∴x ＋2y 的最小值为4.解法二：∵x >0，y >0，∴2xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋x 22＝(2y ＋x )42(当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)又x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴x ＋2y ＋(x ＋2y )42≥8， ∴(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0， ∴x ＋2y －4≥0，即x ＋2y ≥4 (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号) ∴x ＋2y 的最小值为4.解法三：∵x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴x ＝8－2y 1＋2y ＝92y ＋1－1，∴x ＋2y ＝92y ＋1＋(2y ＋1)－2≥292y ＋1·(2y ＋1)－2＝4(当且仅当y ＝1时取等号) ∴x ＋2y 的最小值为4.秒杀解法：x ＋2y ＋2xy ＝8，即x ＋2y ＋x ·2y ＝8.由条件及结论关于x 、2y 的对称性知当x ＝2y ＝2时x ＋2y 取最小值为4.考点三利用基本不等式解决实际问题——师生共研例5 某人准备在一块占地面积为1 800 m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m 2，其中a ∶b ＝1∶2，则S 的最大值为__1 568__.[解析] 由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，x >3，y >3，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40，y ＝45时等号成立，S 取得最大值，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值为1 568.名师点拨应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④再还原成实际问题，作出解答．〔变式训练3〕某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m 3，深度为3 m ．如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为__160__m.[解析] 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m ，由题意可得水池总造价f (x )＝150×4 8003＋120⎝⎛⎭⎫2×3x ＋2×3×4 8003x ＝240 000＋720⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x (x >0)，则f (x )＝720⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ＋240 000 ≥720×2x ·1 600x＋240 000＝720×2×40＋240 000＝297 600，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，f (x )有最小值297 600，此时另一边的长度为4 8003x＝40(m)，因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160 m.名师讲坛·素养提升基本不等式的综合应用角度1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例6 设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和是S n，若a1＝d＝1，则S n＋8a n的最小值是__92__.[解析]a n＝a1＋(n－1)d＝n，S n＝n(1＋n)2，所以S n＋8a n＝n(1＋n)2＋8n＝12⎝⎛⎭⎫n＋16n＋1≥12⎝⎛⎭⎫2n·16n＋1＝92，当且仅当n＝4时取等号，所以S n＋8a n的最小值是92.角度2求参数值或取值范围例7 已知不等式(x＋y)⎝⎛⎭⎫1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(B)A．2 B．4C．6 D．8[解析]已知不等式(x＋y)⎝⎛⎭⎫1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)⎝⎛⎭⎫1x＋ay的最小值大于或等于9，∵1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴a＋2a＋1≥9，∴a≥2或a≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a的最小值为4，故选B．名师点拨求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．〔变式训练4〕(1)(角度1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋b ab的最小值是( B ) A ．10B ．9C ．8D ．3 2(2)设x >0，y >0，不等式1x ＋1y ＋m x ＋y≥0恒成立，则实数m 的最小值是__－4__. [解析] (1)由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ，由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋8b (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝⎛⎭⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9，当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋b ab的最小值为9，故选B ． (2) 原问题等价于m x ＋y≥－⎝⎛⎭⎫1x ＋1y 恒成立， ∵x >0，y >0，∴等价于m ≥－⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (x ＋y )的最大值．而－⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (x ＋y )＝－2－⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≤－2－2＝－4，当且仅当x ＝y 时取“＝”，故m ≥－4.。

高三数学(文)一轮复习课时作业1.6.4基本不等式及其应用含答案

一、选择题1。

设a＞0，b＞0.若错误!是3a与3b的等比中项,则错误!＋错误!的最小值为( ）A.8 B．4 C．1 D.错误!解析:由题意有(3）2＝3a·3b⇒a＋b＝1,又a＞0,b＞0，∴1a＋错误!＝（错误!＋错误!)(a＋b）＝1＋错误!＋错误!＋1≥2＋2错误!＝4,∴错误!＋错误!的最小值为4.答案：B2。

若函数f（x）＝x＋错误!(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( ) A。

1＋ 2 B．1＋错误!C。

3 D．4解析:当x＞2时，x－2＞0，f（x）＝（x－2)＋错误!＋2≥2错误!＋2＝4，当且仅当x－2＝错误!(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f（x)取得最小值时，x＝3,即a＝3，选C。

答案:C3。

设x，y∈R，a＞1,b＞1.若a x＝b y＝3，a＋b＝2错误!，则错误!＋错误!的最大值为( ）A。

2 B.错误!C．1 D.错误!解析:由a x＝b y＝3，得x＝log a3，y＝log b3,∴错误!＋错误!＝log3（ab）≤log3(错误!)2＝1，故选C.答案：C4.当x＞2时，不等式x＋错误!≥a恒成立,则实数a的( ）A.最小值是8 B．最小值是6C。

最大值是8 D．最大值是6解析：x＋错误!＝(x－2)＋错误!＋2≥4＋2＝6,又x＋错误!≥a恒成立,故a≤6，所以a的最大值为6.答案：D5.已知x＞0，y＞0，且错误!＋错误!＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )A.m≥4，或m≤－2 B．m≥2，或m≤－4C。

－2＜m＜4 D．－4＜m＜2解析：∵x＞0，y＞0，且错误!＋错误!＝1，∴x＋2y＝（x＋2y)(错误!＋错误!）＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!，即4y2＝x2，x＝2y时取等号,又错误!＋错误!＝1，此时x＝4，y＝2.∴（x＋2y)min＝8,要使x＋2y＞m2＋2m恒成立，只需（x＋2y)min ＞m2＋2m成立，即8＞m2＋2m，解得－4＜m＜2.答案：D6。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：6.4 基本不等式 Word版含答案

第四节基本不等式1．基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．知识点基本不等式 1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．必记结论活用几个重要的不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． [自测练习]1．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg (ab )＝lg a ＋lg B.答案：C2．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2(－x )·1(－x )－2＝－4，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时等号成立．答案：C3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1解析：∵y ＝x ＋4x 中x 可取负值，∴其最小值不可能为4；由于0<x <π，∴0<sin x ≤1， ∴y ＝sin x ＋4sin x>2sin x ·4sin x＝4，其最小值大于4；由于e x >0， ∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x ＝4，当且仅当e x ＝2时取等号，∴其最小值为4；∵x 2＋1≥1， ∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22，故选C. 答案：C4．已知x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：∵x >1，∴x －1>0，∴x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时等号成立．答案：5考点一利用基本不等式证明简单不等式|(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎫1＋1b ≥9. (2)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.[证明] (1)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋ab.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9，当且仅当a ＝b＝12时等号成立．(2)由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b2≥21a 2·1b 2＝2ab，当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab＋ab ≥22ab·ab ＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．考点二利用基本不等式求最值|(1)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 3C ．2 2D ．4(2)(2015·高考重庆卷)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． [解析] (1)由lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2得，2x ×23y ＝2x＋3y＝2，即x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ×(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ×x3y＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3yx ＝x3y ，x ＋3y ＝1，x >0，y >0，即最小值为4.故选D.(2)(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2·(a ＋1)2＋(b ＋3)22＝9＋a ＋b＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立．所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.[答案] (1)D (2)3 2条件最值的求解通常有两种方法一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．1．(2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析：x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2，故选D.答案：D2．(2016·洛阳统考)若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z 取最大值时，1x ＋12y －1z的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1D.12解析：∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx －3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y 2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2≤12(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.答案：D考点三基本不等式的实际应用|某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解] (1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋(2＋4＋6＋…＋2x )x ，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *)．(2)由基本不等式得： y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD的周长为4，沿AC 将△ABC 翻折，使点B 落到点B ′的位置，AB ′交DC 于点P .研究发现当△ADP 的面积最大时最节能，则最节能时△ADP 的面积为( )A ．22－2B ．3－2 2C ．2－ 2D ．2解析：设AB ＝x ，DP ＝y ，则BC ＝2－x ，PC ＝x －y .因为x >2－x ，故1<x <2.因为△ADP ≌△CB ′P ，故P A ＝PC ＝x －y .由P A 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y )2＝(2－x )2＋y 2，即y ＝2⎝⎛⎭⎫1－1x ，1<x <2.记△ADP 的面积为S ，则S ＝⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x )＝3－⎝⎛⎭⎫x ＋2x ≤3－22，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时，S 取得最大值3－2 2.答案：B11.忽视等号成立条件致误【典例】 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的最小值为________．[解析] (1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号) ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. [答案] (1)3＋22 (2)1＋2 6[易误点评] (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2. (2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.[防范措施] (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件．(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[跟踪练习] 已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3. 答案：3A 组考点能力演练1．(2016·汉中一模)“a ≥0，b ≥0”是“a ＋b2≥ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ≥0，b ≥0可得a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．反之，若a ＋b2≥ab ，则ab ≥0，可得a ≥0，b ≥0，故选C.答案：C2．(2016·杭州一模)设a >0，b >0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 B.14 C ．4D ．8解析：由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4.当且仅当b a ＝ab，即a ＝b ＝12时取等号，所以最小值为4. 答案：C3．若a >0，b >0且a ＋b ＝7，则4a ＋1b ＋2的最小值为( )A.89 B ．1 C.98D.10277解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b ＝7－a ，所以4a ＋1b ＋2＝4a ＋19－a ＝19(a＋9－a )·⎝⎛⎭⎫4a ＋19－a ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋4(9－a )a ＋a 9－a ≥19(4＋1＋4)＝1，当且仅当4(9－a )a ＝a 9－a 时取得等号，故选B.答案：B4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由a x ＝b y ＝2得x ＝log a 2＝1log 2 a ，y ＝log b 2＝1log 2 b ，2x ＋1y＝2log 2 a ＋log 2 b ＝log 2(a 2·b )≤log 2⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22＝2(当且仅当a 2＝b ＝2时取等号)．答案：B5．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b 的最小值为( )A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2D ．6解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1)，于是有a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2a ＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b的最小值是3＋22，故选C.答案：C6．(2016·济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________．解析：设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，当且仅当a ＝b 时取等号，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0.∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4，即2<t ≤4.答案：(2,4]7．(2015·郑州二模)已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1ab 的最小值为________．解析：由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝⎛⎭⎫2a ＋b 22＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为12.答案：128．已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn－4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．解析：由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋yn －4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1.答案：19．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z，③ 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x .则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．B 组高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.答案：C2．(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b＋4a＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4b a，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.答案：D3．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a pD ．p ＝r >p 解析：∵0<a ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B. 答案：B4．(2015·高考山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝⎛⎭⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y ＝2y x，即x ＝2y 时取等号．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2. 答案： 2。