2020年4月浙江自考高等几何试题及答案解析试卷及答案解析真题

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2020年4月全国高等数学(工本)自考试题及答案解析

全国2019年4月高等教育自学考试普通逻辑试题课程代码：00024一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.“p∧q→r”与“p∨q←r”这两个逻辑式子中，它们（）A.变项和逻辑常项相同B.变项不同但逻辑常项相同C.逻辑常项不同但变项相同D.变项和逻辑常项都不同2.对于A、B两概念，如果所有a都是b并且有b不是a，那么，A、B两概念具有（）A.全同关系B.真包含于关系C.交叉关系D.全异关系3.□p与□┐p之间关系是（）A.反对关系B.矛盾关系C.差等关系D.下反对关系4.一个相容选言判断p∨q假，那么，一定为（）A.p真q真B.p真q假C.p假q真D.p假q假5.判断间的反对关系，应是（）关系。

A.对称且传递B.对称且非传递C.非对称且反传递D.非对称且传递6.有学生在上课时间去看电影，老师批评时，学生反问：“看革命题材电影不是好事吗？”学生的说法（）A.违反同一律B.违反矛盾律C.违反排中律D.不违反普通逻辑的基本规律7.直接推理“SEP→PA S”，属于（）推理。

A.换质法B.换位法C.换质位法D.换位质法8.“（p→q）∧（r→s）∧(┐q∨┐s)→(┐p∨┐r)”，这一推理式是（）A.二难推理的简单构成法B.二难推理的简单破坏式C.二难推理的复杂构成式D.二难推理的复杂破坏式9.“因为aRb并且bRc，所以，a R c”,这一推理式是（）A.对称关系推理B.反对称关系推理C.传递关系推理D.反传递关系推理10.反证法是先论证与原论题相矛盾的论断为假，然后根据（）确定原论题真的论证方法。

A.同一律B.矛盾律1C.排中律D.充足理由律11.一国丧失过量的表土，需进口更多的粮食，这就增加了其他国家土壤的压力；一国大气污染，导致邻国受到酸雨的危害；二氧化碳过度排放，造成全球变暖，海平面上升，几乎可以危及所有的国家和地区。

(全新整理)4月浙江自考高等几何试题及答案解析

浙江省2018年4月高等教育自学考试高等几何试题课程代码：10027一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.以下哪个性质或量不是仿射不变性质或仿射不变量?（）A.二直线间的平行性B.两个三角形的面积之比C.线段的长度D.一直线上两线段之比2．在仿射平面上，一组平行直线上的无穷远点有（）A.唯一一个B.两个C.无穷多个D.没有3.设A,B,C,D是共线四点，取A和B为基底，将这四点的齐次坐标顺次表达为a,b,a＋λb,a+μb,则交比(AB,CD)=（）A.λμB.λ-μC.λ/μD.μ/λ4.以ABC为坐标三角形，E为单位点建立平面射影坐标系，则A,E的射影坐标分别为（）A.(0,0,1),(1,1,0)B.(0,1,0),(1,1,-1)C.(1,0,0),(1,1,1)D.(1,1,1),(1,0,0)5.以下说法不正确的是（）A.自极三角形中每个顶点都是其对边的极点B.自极三角形的顶点关于二次曲线两两共轭C.自极三角形中每条边都是其对顶点的极线D.完全四点形的对角三角形是自极三角形二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.若共线四点A，B，C，D的交比为（AB，CD）＝2，则交比（BC，AD）＝________。

7.平面射影几何基本定理是：像与原像分别无三点共线的________对对应点决定________的射影对应。

8.平面二次曲线的射影等价类共有________类。

129.在仿射平面上，无穷远点关于二次曲线Γ的极线（极线为无穷远直线除外）叫做Γ的________。

10.在欧氏平面上，二次曲线的主轴是一条________，它垂直于________。

三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)11．设平面仿射变换将点(0,0),(0,1),(1,0)分别变为(1,0),(1,1),(0,0)，求此仿射变换的代数表达式。

4月浙江自考高等几何试题及答案解析

1浙江省2018年4月自学考试高等几何试题课程代码：10027一、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1.简比(ABC)__________，则点C 在AB 上.2.对合的表达式是__________.3.欧氏几何的基本不变量是__________、__________.4.已知共线四点A 、B 、C 、D 的交比(AB ，CD)=2，则(DA ，BC)=__________.5.两个线束成透视的充要条件是__________.6.平面内两点I(1,i,0)和J(1,-i,0)称为平面内的__________点.7.几何公理体系的三个基本问题是__________，__________，__________.8.罗氏几何的一个重要定理：任何三角形的内角和__________两直角.9.欧几里得在前人的基础上写成的《__________》是仅存的古代数学名著之一.10.射影平面上，__________线不存在.二、计算题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1.求连接点(1，2，-1)与二直线(2，1，3)，(1，-1，0)之交点的直线方程.2.设共线三点P 1、P 2、P 3在留氏坐标系下，已知P 1,P 2的非齐次坐标顺次为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，且简比(P 1P 2P 3)=λ(λ≠1)，求P 3的坐标(x,y).3.已知线束中三直线a,b,c 的方程依次是3x-2=0,-x+2y+2=0，5x-y-4=0，它们与第四直线d 的交比为32，求d 的方程. 4.试求点(-1，2)关于二阶曲线x 2-3xy+y 2-2x-y-1=0的极线.5.试求二次曲线x 2+3xy-4y 2+2x-10y=0的中心.三、作图题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)1.给定透视仿射的对应轴g 和一对对应点A 、A′，求作已知正方形PQRS 的对应图形.作法：2.已知一直线上三点A、B、C，求作第四点D使交比(AB，CD)=-1. 作法：3.如图，求作直线p关于二次曲线Γ的极点(如图).作法：四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)1.△ABC和△A′B′C′的六个顶点在二次曲线Γ′上，证明CA、AB、BC、C′A′、A′B′，C′B′切于另一个二次曲线Γ上.证明：22.以四条迷向直线为边作一个四边形ABCD(如图)，其中对边属于同类迷向直线，试证其对角线AC，BD互相垂直.证明：五、综合应用题(本大题共12分)△ABC内接于椭圆，过A，B，C作椭圆的切线，交成△A1B1C1(图甲)，若AB∥A1B1，BC∥B1C1，求证：CA∥C1A1证明：(按以下程序作业)第一步：经某仿射变换将椭圆变成圆(图乙)为什么这样的变换是存在的?第二步：在图乙中画出图甲的对应点和线段，叙述原来的命题对应地变成怎样的命题?第三步：证明经变换后相应的命题成立，这样原来的命题也就成立，为什么?3。

微分几何浙江省月自考试题

浙江省2013年10月高等教育自学考试微分几何试题课程代码：10022一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑.错涂、多涂或未涂均无分.1.如果在点P 有20LN M >－，则点P 称为曲面的 A ．双曲点 B.椭圆点 C.抛物点D.平点2.球面上的大圆不可能是球面上的 A ．测地线 B.曲率线 C.法截线D.渐近线 3.若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是 A ．平面曲线 B.球面曲线 C.圆柱螺线D.直线4.设曲面在一点的单位法向量n →，切向量为d r →，则d n →=λd r →的充分必要条件是 A.存在方向r δ→使d n →·r δ→=0 B.存在方向r δ→使·d r r δ→→=0C.存在方向r δ→使·d n r δ→→=0且·d r r δ→→=0 D.沿d r →有n k =05.曲面(),r r u v →→=上曲线(C)在P 点的基本向量为,,,αβγ→→→曲面在P 点的单位法向量为n →.则下列选项中不是曲线(C)在P 点的测地曲率的是 A.k n β→→⨯ B.(,,)k n αβ→→→C.(,,)r r n →→→D.(,,)k n αβ→→→二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)6.若向量函数()r t 对于t 的每一个值有()()·r t r t '=0,且()|1|r =3,则()|5|r =________. 7.主法线与固定方向垂直的曲线是________.8．成为球面{cos cos , cos sin , sin }r R R R θϕθϕθ→=纬线的坐标曲线是________曲线.9.若曲面上非直线的曲线（C ）在每一点的切平面是在这点的密切平面,则曲线（C ）是曲面的________曲线.10.曲率恒等于零的曲线是________.11.曲线（C ）上P 点处的三个基本向量是,,αβγ→→→，则过P 点由β→和γ→确定的平面叫曲线(C)在P 点的________.12.若00u v r r u v →→⨯在（，）点模不等于零，则00u v （，）为曲面的________点. 13.曲面上曲线是曲率线的充要条件是________组成可展曲面. 14.柱面的高斯曲率K=________.15.曲面上曲线（C ）在一点P 的测地曲率g k =4，曲面在P 点沿（C ）的切向的法曲率n k =3，则曲线（C ）的曲率k =________.三、计算题(本大题共6小题，每小题7分,共42分)16．求曲线{} sin , cos ,t r t t t t te →=在原点的密切平面、法平面、切线方程. 17．求圆柱螺线{}2 cos ,2 sin ,2r t t t →=的曲率和挠率. 18.求正螺面{} cos , sin ,r u v u v bv →=的第二基本形式. 19．求在正螺面上{} cos , sin ,r u v u v bv →=的渐近线.20．求曲面(){(),,}222a b uvr u v u v →=+－上的曲率线的方程.21．求位于正螺面{} cos , sin ,r u v u v av →=上的圆柱螺线(C)：{}00cos ,sin ,r u v u v av →=（0u =常数）的测地曲率.四、证明题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 22．向量函数()r t 平行于固定平面，则有(,,)r r r '''=0. 23．证明：球面与平面不存在等距对应.24.证明：若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线.。

2020年4月浙江省数学学考试卷及解析

浙江省数学学考试卷一、选择题1.函数的定义域为（）A. B. C. D.2.直线的斜率为（）A. 2B. -2C.D.3.下列点中，在不等式表示的平面区域内的是（）A. B. C. D.4.设为等差数列，若，则（）A. 4B. 5C. 6D. 75.若为锐角，，则=A. B. C. D.6.椭圆右焦点的坐标为（）A. （1，0）B.C.D. （2，0）7.已知函数，则（）A. 是偶函数，且在上是增函数B. 是偶函数，且在上是减函数C. 是奇函数，且在上是增函数D. 是奇函数，且在上是减函数8.在四棱锥中，底面，且．若M为线段的中点，则直线DM与平面所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.若向量与垂直，则实数的值为（）A. 2B. -2C. 8D. -810.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则b的值为（）A. B. C. D. 211.已知是空间两条直线，是一个平面，则“”是“m∥n”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12.若双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（） A. B. 1 C. D. 213.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.14.已知函数．若则x的值为（）A. 2或-2B. 2或3C. 3D. 515.设为等比数列，给出四个数列：①；②;③；④，其中一定为等比数列的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④16.函数=的图象如图所示，则( )A. 且B. 且C. 且D. 且17.已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足，且，则下列选项正确的是( )A. B.C. D.18.已知正方体，空间一动点P满足，且，则点P的轨迹为( )A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线二、填空题19.已知集合，集合，则=________；=________.20.已知实数x，y满足，则xy的最大值为__________．21.已知A，B为圆C上两点，若，则的值为____________．22.正项数列的前项和满足.若对于任意的，都有成立，则整数的最大值为_________________.三、解答题24.如图，不垂直于坐标轴的直线与抛物线有且只有一个公共点. （Ⅰ）当的坐标为（2，2）时，求的值及直线的方程；（Ⅱ）若直线与圆相切于点N，求的最小值.23.已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小正周期；（Ⅲ）若为偶函数，求的值.25.如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为.（Ⅰ）若，，求的定义域；（Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数b的取值范围.2019年4月浙江省数学学考答案1. 2. 3. 4. 6.7.，则为奇函数，又在上单调递增，则在上单调递减，本题正确选项：8.取中点，连接，为中点，为中点又底面底面，即为直线与平面所成角又，可知，且，，本题正确选项：9.，即，解得：，本题正确选项：10.由正弦定理可得：，解得：，本题正确选项：11.充分性：由直线和平面垂直的性质定理，可知“若，则”能够推出，故充分性成立；必要性：当时，若，显然成立。

2020年浙江卷数学试题(带解析)

2020年浙江卷数学试题（带解析）一、单选题1．已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则P Q =（） A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}<<x x2．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（） A ．1B ．–1C ．2D ．–23．若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =x +2y 的取值范围是（）A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞4．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）A ．73B ．143C ．3D ．66．已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11ad≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（） A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =8．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（）A B C D 9．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则（） A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >010．设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素二、双空题11．设52345123456(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a =________；123a a a ++=________． 12．已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______．13．设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．14．盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)ξ==P _______；()E ξ=______．三、填空题15．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是________．16．已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．17．设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．四、解答题18．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a -=．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．19．如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．20．已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()nn n n n n n ba b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ．（Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d+++<+．*()n N ∈ 21．如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．22．已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；（Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：（ⅰ012(1)a x a -- （ⅱ）00(e )(e 1)(1)xx f a a ≥--．参考答案1．B 【分析】根据集合交集定义求解. 【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==故选：B 【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．C 【分析】根据复数为实数列式求解即可. 【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，，故选：C 【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．B 【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B. 【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 4．A 【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 5．A 【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题. 6．B 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面. 综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题. 7．D 【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 8．D 【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩OP == 故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 9．C 【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C 【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题. 10．A 【分析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈，同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =，故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==，又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =，故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈，则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 11．80 51 【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可. 【详解】5(12)x +的通项为155(2)2r r r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；11221235512251a a a C C ++=++=.故答案为：80；51. 【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 12．3513【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2θ，根据两角差正切公式得tan()4πθ-【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53-【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13 【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，1=，1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 14．131【分析】先确定0ξ=对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果. 【详解】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.故答案为：1;13.【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．10 【分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出．【详解】因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===．即312313610S a a a =++=++=．故答案为：10. 【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题． 16．1 【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径. 【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则 21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==. 故答案为：1 【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题. 17．2829【分析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得1234e e ⋅≥，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤， 1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 18．（I ）3B π=；（II ）32⎤⎥⎝⎦【分析】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ）解：[方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 4a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=, 即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤．由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC 为锐角三角形，所以a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++，222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 3A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13sin 232A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.[方法三]：正余弦定理综合恒等变换三角函数性质同方法二得到11sin sin cos cos cos 1122sin a c A C A B C b B ++⎛⎫⎛⎫++=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．根据正弦定理得sin sin sin a c A Cb B++=， ∴1sin sin cos cos cos 12sin A C A B C B +⎛⎫++=+⎪⎝⎭，而3B π=，所以11cos cos cos sin )sin 262A B C A C C π⎛⎫++=++=++ ⎪⎝⎭．由ABC 为锐角三角形得62C ππ<<，故cos cos cos A B C ++的取值范固是32⎤⎥⎝⎦．【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一、三都涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.19．（I ）证明见解析；（II 【分析】（I ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ，由题意可知DH ⊥平面ABC ，即有DH BC ⊥，根据勾股定理可证得BC BH ⊥，又//EF BC ，可得DH EF ⊥，BH EF ⊥，即得EF ⊥平面BHD ，即证得EF DB ⊥；（II ）由//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为CH 与平面DBC 所成角，作HG BD ⊥于G ，连接CG ，即可知HCG ∠即为所求角，再解三角形即可求出DF 与平面DBC 所成角的正弦值．【详解】（I ）[方法一]：几何证法作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ．∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC 平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ， ∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥． ∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴2CD BC CH ==⇒．在CBH 中，22222cos 45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥．由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BH DH H =，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥． [方法二] 【最优解】：空间向量坐标系方法作DO AC ⊥交AC 于O ．∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC 平面ABC AC =，DO ⊂平面ADFC ， ∴DO ⊥平面ABC ，以O 为原点，建立空间直角坐标系如图所示.设OC =1,∵45ACB ACD ∠=∠=︒，2DC BC =∴BC =∴()()110,0,1,0,1,0,,,022D C B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11,,122BD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,11,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,11·044BD BC =-=,∴BC ⊥BD ,又∵棱台中BC //EF ,∴EF ⊥BD ；[方法三]：三余弦定理法∵平面ACFD ⊥平面ABC ，∴1cos cos cos cos 45cos 452BCD BAC ACD ∠=∠∠=︒︒=, ∴60BCD ∠=︒，又∵DC =2BC ．∴90CBD ∠=︒,即CD BD ⊥, 又∵//EF BC ，∴EF DB ⊥．（II ）[方法一]：几何法因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角．作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD ，因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD 平面BHD BD =，HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，则2CH a =，2233BH DH a a HG BD a ⋅⋅==， ∴3sin 3HG HCG CH ∠==．故DF 与平面DBC 3[方法二]【最优解】：空间向量坐标系法设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =,由（I ）得11,,122BD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,11,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,∴11022,11022x y z x y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令1x =,则1y =,2z =,()1,1,1n =, ()0,1,0OC =，13cos ,3111?1n OC ==++, 由于//DF OC ，∴直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33． [方法三]：空间向量法以{,,}CH CB CD 为基底,不妨设22DC BC ==，则3,2,45,45,60DB CH HCB HCD DCB ==∠=∠=︒∠=︒︒(由（I ）的结论可得）．设平面DBC 的法向量为n xCH yCB zCD =++，则由0,0,n CD n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得240,0,x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩取1z =，得32n CH CB CD =-++．设直线DF 与平面DBC 所成角为θ，则直线HC 与平面DBC 所成角也为θ，由公式得||2sin ||||2HC n HC n θ⋅===⋅．[方法四]：三余弦定理法由45ACB ACD ∠=∠=︒，可知H 在平面DBC 的射影G 在DCB ∠的角平分线上．设直线DF 与平面DBC 所成角为θ，则HC 与平面DBC 所成角也为θ．由由（I ）的结论可得60BCD ∠=︒，由三余弦定理，得cos45cos30cos θ=︒⋅︒，cos θ=从而sin θ=． [方法五]：等体积法设H 到平面DBC 的距离为h ，设1DH =,则1,HC DC BC BD ====, 设直线DF 与平面DBC 所成角为θ，由已知得HC 与平面DBC 所成角也为θ．由H DBC D HBC V V --=，11116014513232h ⨯︒⨯=⨯⨯︒⨯,求得h 3sin 1h HC θ===【整体评价】（I ）的方法一使用几何方法证明，方法二利用空间直角坐标系方法，简洁清晰，通性通法，确定为最优解；方法三使用了两垂直角的三余弦定理得到60BCD ∠=︒，进而证明，过程简洁，确定为最优解（II ）的方法一使用几何做法，方法二使用空间坐标系方法，为通性通法，确定为最优解；方法三使用空间向量的做法，避开了辅助线的求作；方法四使用三余弦定理法，最为简洁，确定为最优解；方法五采用等体积转化法，避免了较复杂的辅助线. 20．（I ）1142,.23n n q a -+==；（II ）证明见解析.【分析】（I ）根据1236b b b +=，求得q ，进而求得数列{}n c 的通项公式，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式.（II ）利用累乘法求得数列{}n c 的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立. 【详解】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即216q q +=，由于0q >，所以解得12q =，所以112n n b -=. 所以2112n n b ++=，故11112412n n n n n c c c -++=⋅=⋅，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n c -=.所以114n n n n a a c -+==-（*2,n n N ≥∈）.所以121421443n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=，又1n =，11a =符合，故1423-+=n n a . （II ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于12n n n n c bc b ++=，所以111n n n n c bc b --+=()*2,n n N ≥∈，故13211221n n n n n c c c c c c c c c c ---=⋅⋅⋅⋅⋅1232111143n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=⋅⋅⋅⋅⋅ ()1211111111112n n n n n n b b d n b b d b b d b b +++⎛⎫⎛⎫+⎛⎫==-=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又11c =，而()1212111111=111d d d dd b b d b b d d ⎛⎫++⎛⎫+-⨯=⨯= ⎪ ⎪⨯+⎝⎭⎝⎭，故()111111n n n c n d b b +⎛⎫⎛⎫=+-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以121223*********n nn c c c d b b b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111n d b +⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于10,1d b >=，所以10n b +>，所以1111111n d b d +⎛⎫⎛⎫+-<+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即1211n c c c d++⋯+<+， *n N ∈. 【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题. 21．（Ⅰ）1(,0)32；（Ⅱ【详解】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+， 2122222mx p m λλ∴=+-+. 由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+. 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p . 【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.22．（I ）证明见解析，（II ）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析. 【分析】（I ）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；（II ）（i ）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；（ii ）先根据零点条件转化：0000()()xx f e x f x a =+，再根据12a <≤放缩，转化为证明不等式224(2)(1)(1)a e e a -≥--，最后构造差函数，利用导数进行证明. 【详解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点；（II ）（i ）000()0,0xf x e x a =∴--=，002000012(1)xxx e x x e x ≤≤⇔--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2xxx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=，当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>，所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x xe x x e x x ∴--≤≤--（ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)a e e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--，即只需证明224(2)(1)(1)a e e a -≥--，令22()4(2)(1)(1),(12)a s a e e a a =----<≤，则22()8(2)(1)8(2)(1)0a a s a e e e e e e '=---≥--->， 2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x0e (e 1)(1)x f a a ≥--.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.。

浙江自考高数真题答案解析

浙江自考高数真题答案解析在浙江自考中，高等数学是一门关键性的科目。

许多考生们常常对高数真题感到困惑，因此在这篇文章中，我们将对浙江自考高数真题的答案进行解析，帮助考生们更好地准备这门科目。

问题一：已知函数y=2^x，求f(x)=2^x在点（1，2）处的切线方程。

解析：首先，我们需要求函数f(x)在点（1，2）处的导数。

根据导数的定义，导数可以表示函数在某一点的变化率。

对于指数函数y=2^x来说，它的导数就是函数本身。

因此，f'(x)=2^x。

接下来，我们可以利用切线的定义来求解切线方程。

切线是曲线在某一点的切线，与曲线相交于该点，并且与曲线在该点的斜率相等。

由于我们已经求解出f'(x)=2^x，就可以得到切线在点（1，2）处的斜率。

切线的斜率等于导数值，因此切线在点（1，2）的斜率为f'(1)=2^1=2。

同时，我们已知切线通过点（1，2），根据两点式方程，切线方程可以表示为y-2=2(x-1)。

因此，切线方程为y=2x。

问题二：已知函数y=log⁡(x+1)，求f(x)=log⁡[(x+1)^2]的导数。

解析：首先，我们需要利用对数函数的性质来求解f(x)的导数。

对于对数函数y=log⁡(x+1)来说，它的导数可以表示为f'(x)=1/(x+1)。

接下来，我们可以利用链式法则来求解f(x)=log⁡[(x+1)^2]的导数。

链式法则是求导的一个常用方法，可以帮助我们求解复合函数的导数。

根据链式法则，我们可以得到f'(x)=1/(x+1) * 2(x+1) = 2。

因此，f(x)=log⁡[(x+1)^2]的导数为2。

通过以上两个问题的解析，我们可以看到在自考高数真题中，掌握函数的导数和利用导数的性质是解题的关键。

在解答真题时，需要熟练运用导数的求法和链式法则，以及对数函数的运算规则。

另外，在自考过程中，多做一些相关的习题和练习题也是非常有帮助的。

通过反复练习和总结经验，考生们可以更好地理解和掌握高数的知识点，提高解题能力。

2024年4月自学考试自考浙江省人员素质测评理论与方法历年试卷试题真题

做试题,没答案?上自考365,网校名师为你具体解答!浙江省2024年4月高等教化自学考试人员素养测评理论与方法试题课程代码：06090一、填空题(本大题共10小题，每小题1分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1．素养是个体完成任务、形成果效及接着发展的前提。

假如把素养限制在个体范围内，是指个体完成肯定活动（工作）与任务所具备的基本条件和基本特点，是行为的基础与根本因素，包括________与心理素养两个方面。

2．素养是高度统一的个体行为与特定系统中的稳定的结构因素。

这说明白素养具有________的特性。

3．绩效，是指主体在肯定时间与条件下完成某一任务所取得的业绩、成效、效果、效率和效益。

其表现形式多种多样。

一般来说，主要体现在三个方面：________，包括时间、财物、信息、人力及其相互结合利用的效率。

工作任务完成的质与量，包括工作（学习）中取得的数量与质量。

工作效益，包括工作（学习）中取得的经济效益、社会效益与时间效益。

4．素养测评是指测评主体采纳科学的方法，收集被测评者在主要活动领域中的________，针对某一素养测评目标体系作出量值或价值的推断过程。

5．要求所做的每一个评价结论都要有足够的依据，是事实本身的反映而不是事实的主观推论，这是指操作与运用考核性测评的________原则。

6．1905年，法国心理学家比奈把智力看作人的一种高级困难的心理活动，创建了世界上第一个智力测验——________量表。

7．素养测评量化除了便利简洁的物化表述功能以外，还有助于促进测评者对素养特征进行细致、深化的分析与比较，有助于从大量的________中抽象概括出本质的特征和作出尽可能精确的差异比较。

8．由主管人员通过日常的管理权力来记录所管理人员的工作活动、任务、职责。

是工作分析的________法。

9．依据测验的具体对象，可以将心理测验划分为________与人格测验。

10．学问测评可以从三个不同的层次进行，它们是________、理解和应用。

2020年浙江专升本高等数学真题与答案解析(详细)

浙江省2020年高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1、已知函数，则x =0是函数f(x)的（）A 、连续点B 、可去间断点C 、跳跃间断点D 、第二类间断点 2、已知f (x +3)=x 3+8，则f’(x)为（）A 、3x 2B 、3(x −3)2C 、3(x +3)2D 、3x 2+6x 3、当x →0是√1+ax 23−1与tan 2x 是等价无穷小，则a 的值为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、下列结论不正确的是（）A 、设函数f(x)在闭区间[a,b ]上连续，且在这区间的端点取到不同的函数值，f (a )=A 和f (b )=B ，则对于A 和B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b )上至少有一点ξ，使得f (ξ)=C .B 、若函数f(x)满足在闭区间[a,b ]上连续，在(a,b )内可导，那么在(a,b )上至少有一点ξ，使得f (b )−f (a )=f′(ξ)(b −a)成立.C 、若函数f(x)满足在闭区间[a,b ]上连续，那么在[a,b ]上至少有一点ξ，使得等式∫f(x)ba dx =f (ξ)(b −a)成立.D 、若函数f(x)满足在闭区间[a,b ]上连续，那么在(a,b )内必能取得最大值与最小值.5、若函数y (x )=e 3x cos x 为微分方程y ′′+py ′+qy =0的解，则常数p 和q 的值为（）A 、p =−6，q =10B 、p =−6，q =−10C 、p =6，q =−10D 、p =6，q =10二、填空题（只要在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分） 6、极限lim x→∞(x−2x+3)2x=7、设函数f(x)在x =5处可导，并且极限lim x→5f (x )−f(5)(x−5)3=3,则f ′(5)=8、lim x→0+2x3+ln(1+x)= x =2t +cos ty =ln(3+t 2)9、设则dydx =10、函数f (x )=x 3−3x 2−9x +1在闭区间[0,3]上的最大值为 11、定积分∫xe x2−110dx =12、设函数y =y (x )是方程2x +3y +sin(xy)=0确定的隐函数，则dy =13、设函数f (x )连续，则ddx ∫etx 21f (t )dt =14、由曲线y =√2x 及直线y =x2所围成的封闭平面图形面积等于 15、广义积分∫1(x−7)2+∞8dx =三、计算题（本大题共8小题，其中16-19题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分）16、求极限lim x→01−cos 2x√1+cos x tan x 217、求函数f (x )=e 3x sin 2x 在x =0处的二阶导数f′′(0).18、求不定积分∫x √x+6dx19、设f (x )= 确定常数a 和b ,使得f (x )在x =0处可导.x 3+ax +3,x ≤0e x −2x +b,x >020、求定积分∫(cos √|x |+sin x1+x )π2−π2dx21、求过点M 0(1,2,3)且平行于平面2x +3y −z +1=0，又与直线L:x+21=y−13=z 4垂直的直线方程。

2020自考数学试题及答案

2020自考数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4的根是：A. -4, 1B. 1, -4C. -1, 4D. -4, -1答案：C3. 以下哪个数是无理数？A. 3.14B. √2C. 1/3D. 0.1111...答案：B4. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B5. 以下哪个表达式等价于x^2 - 4x + 4？A. (x - 2)^2B. (x + 2)^2C. (x - 4)^2D. (x + 4)^2答案：A6. 已知数列1, 3, 5, ...，其第n项an的通项公式为：A. an = nB. an = 2n - 1C. an = 2nD. an = 2n + 1答案：B7. 以下哪个选项是矩阵的转置？A. [1 2; 3 4]B. [1 3; 2 4]C. [1 3; 2 4]'D. [4 2; 3 1]答案：C8. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...答案：D9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = |x|D. f(x) = log(x)答案：B10. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = x/y的解？A. y = x^2 + CB. y = x + CC. y = e^x + CD. y = 1/x + C答案：D二、填空题（每题3分，共30分）11. 极限lim (x->0) [sin(x)/x] 的值是 _______。

4月浙江自考高等几何试题及答案解析试卷及答案解析真题

浙江省2019年4月高等教育自学考试高等几何试题课程代码：10027一、填空题(每空2分，共20分)1.二直线间的平行性是_______不变性。

2.一直线上任两线段的比是仿射_______。

3.在欧氏直线补充了_______以后，称此直线为射影直线。

4.点坐标(0，1，0)的方程是_______。

5.若7x-y=(2x-y+1)+λ(3x+y-2)，则λ=_______。

6.已知共线四点A 、B 、C 、D 的交比(AB ，CD)=2，则(BA ，CD)=_______。

7.射影直线上互异的四点A 、B 、C 、D ，若有(AB ，CD)<0则A ，B_______C ，D 。

8.射影几何的基本不变性质是_______。

9.二级曲线就是两个射影__________的全体。

10.罗巴切夫斯基的平行公理是_______。

二、计算题(每小题6分，共30分)1.求通过点(1,i,0)的实直线。

2.已知点(0，0)、(1，1)、(1，-1)分别仿射对应点(2，3)、(2，5)、(3，-7)，求此仿射变换。

3.设P 1、P 2、P 4三点的坐标为(1，1，1)、(1，-1，1)、(1，0，1)且(P 1P 2，P 3P 4)=2，求点P 3的坐标。

4.求点P(1，2)关于二阶曲线x 2+xy -y 2+2x+1=0的极线方程。

5.求二次曲线x 2+2xy+2y 2+4x+2y+1=0的中心。

三、作图题(每小题6分，共18分)1.给定点A 、B 作出点C ，使(ABC)=43作法：2.已知直线a ∥b ，限用直尺，过任一点P ，作它们的平行线。

作法：3.如图，求作点P 关于二次曲线Γ的极线作法：四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分)1.已知△ABC及其平面上一点P(不在任一边上)，连结AP、BP、CP与对边交于A′、B′、C′，且A1=BC×B′C′，B1=CA×C′A′，C1=AB×A′B′，求证：(1)(BC，A1A′)=-1,(CA，B1B′)=-1，(AB，C1C′)=-1(2)A1，B1，C1三点共线证明：2.试证迷向直线上任何两点的距离等于零。

2020年4月浙江自考试题及答案解析预决算概论试卷及答案解析

浙江省2018年4月自考试题预决算概论试卷课程代码：10076本试卷分A、B卷，使用2018年版本教材的考生请做A卷，使用2018年版本教材的考生请做B卷；若A、B两卷都做的，以B卷记分。

A卷一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.________是指具有独立的设计文件，竣工后可以独立发挥生产设计能力或效益的工程。

( ) A.分项工程 B.单位工程C.单项工程D.分部工程2.装饰工程预算定额项目中的材料消耗指标，计算公式为：( )A.装饰材料消耗量＝材料净用量B.装饰材料消耗量＝损耗量＋材料净用量×材料损耗率C.装饰材料消耗量＝材料净用量＋损耗量D.装饰材料消耗量＝实际消耗量3.在投资前期阶段，建设单位向国家申请拟订建设项目或国家对拟订建设项目进行决策时，确定建设项目在规划、项目建议书、可行性研究报告等不同阶段的相应投资总额而编制的经济文件称为( )A.竣工决算B.投资概算C.投资预算D.投资估算4.下列哪项需计算建筑面积？( )A.用于检修、消防等室外爬梯B.建筑物内宽度为100mm的变形缝C.独立烟囱D.突出外墙的构件、配件、悬挑雨篷5.甲、乙双方在施工阶段履行各自承担的责任和分工的经济契约，也是当事人按有关法令、条例签订的权利和义务的协议称为( )1A.施工合同B.投标文件C.招标文件D.工程量清单6.审查工作量大、时间性强的预算主要采用________，其特点是速度快，质量基本能保证。

( ) A.专家审查法 B.全面审查法C.重点审查法D.经验审查法7.下列哪项是正确的？( )A.单跑楼梯不论其中间是否有休息平台，其工程量与双跑楼梯同样计算B.台阶面层和平台面层是同一种材料时，平台计算面层后，台阶还需计算最上一层踏步面积C.包括垫层的地面和不包括垫层的楼面不需分别计算工程量D.如间壁墙在做地面前已完成，地面工程量仍需扣除8.机械台班单价不含以下哪项费用?( )A.折旧费B.租赁费C.机上人工费D.大修理费9.邀请招标邀请的企业不能．．少于________家。

(全新整理)4月浙江自考高等几何试题及答案解析试卷及答案解析真题

浙江省2018年4月高等教育自学考试高等几何试题课程代码：10027一、填空题(本大题共10小题，每空2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1.仿射由有限回___________组成。

2.仿射几何的基本不变性质是___________。

3.斜率为k的直线上无穷远点的齐次线坐标方程是___________。

4.设（AB，CD）=2，则（CA，BD）=___________。

5.两个不同底的点列之间的射影对应，若不是透视，则一定是___________个透视的乘积。

6.对合的表达式是___________。

7.二级曲线的射影定义是___________。

8.二次曲线的直径是___________。

9.迷向直线是___________。

10.二次曲线的渐近线就是___________。

二、计算下列各题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1.设A，B，D坐标依次为（1，1，1），（1，-1，1），（1，0，1），且（AB，CD）=2.求C 的坐标。

2.设完全四点形边AD与BC，AC与BD，AB与CD分别交于X，Y，Z。

选△XYZ为坐标三角形，D为单位点，求A，B，C的坐标。

3.设一个对合的两个对应点对的非齐次坐标是1，-1和-2,3,求这个对合的方程。

4.设射影对应将直线l上的三点（1，0），（-1，1），（2，1）依次变为直线l′上的三点（0，1），（1，2）和（4，1），求这个射影对应的表达式。

5.求直线3x1-x2+6x3=0关于二阶曲线x12+x22-2x1x2+2x1x3-6x2x3=0的极点坐标。

6.求二次曲线x2+3xy-4y2+2x-10y=0的渐近线。

三、求作下列图形(写出作法，画出图形，本大题共2小题，每小题6分，共12分)1.给定点P及两条已知直线l，l′，不先定出l，l′的交点，过P作一直线，使它通过l，l′的交点。

122.如图，作出直线l 关于二次曲线Γ的极点。

2020年浙江省高考数学模拟试卷(4月份)(含答案解析)

2020年浙江省高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x∈N||x|<4}，B={x|2x≤4}，则A∩B=()A. {x|x≤2}B. {x|−4<x≤2}C. {0,1，2}D. {1,2}2.设复数z满足i⋅z=2+3i，其中i为虚数单位，在复平面内，复数z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知q是等比数列{a n}的公比，首项a1<0，则“0<q<1”是“数列{a n}是递增数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设x，y满足{x−y≥0x+2y≤3x−2y≤1，则|x+4y|的最大值为()A. 0B. 1C. 2D. 55.函数y=−cosx⋅ln|x|的图象可能是()A. B.C. D.6.随机变量X满足P(X=p)=p，P(X=1−p)=1−p，随机变量Y=1−X，则()A. E(X)≥E(Y)，D(X)≥D(Y)B. E(X)≥E(Y)，D(X)=D(Y)C. E(X)≤E(Y)，D(X)≥D(Y)D. E(X)≤E(Y)，D(X)=D(Y)7.已知正四面体ABCD中，E，F分别是线段BC，BD的中点，P是线段EF上的动点(含端点).PA与平面BCD所成的角为θ1，二面角A−EF−D的平面角为θ2，二面角A−CD−B的平面角为θ3，则()A. θ1≤θ3≤θ2B. θ3≤θ1≤θ2C. θ1≤θ2，θ1≤θ3D. θ1≤θ3，θ2≤θ38.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF1|=|F1F2|，PF2与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率是() A. √2 B. √3 C. √5 D. 39. 已知a ∈R ，函数f(x)={x 2−ax +a,x <1lnx −ax,x ≥1，则函数y =f(x)的零点个数不可能为( )A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=12an +1(n ∈N ∗)．(1)数列{a n }是单调递减数列； (2)对任意的n ∈N ∗，都有a n ≥13； (3)数列{|a n −12|}是单调递减数列；(4)对任意的n ∈N ∗，都有|a n+1−a n |≤23⋅(611)n−1．则上述结论正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 若log 3m =2，则m =______；2log 23+30+log 39=______．12. 《九章算术》中有这样的描述：“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤四丈”，其中“广”是东西走向的意思，“袤”是南北走向的意思．若有几何体的三视图如图，则该几何体的体积为______，表面积为______(不需填单位)．13. 已知多项式(2x +a)5=a 0+a 1x +⋯+a 5x 5+(1+x)2，若a 0=0，则a =______；若a 2=−41，则a 1+a 2+⋯+a 5=______．14. 在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，AB =AD =1，AC =2，则BC =______；若O 是△ABD 的外接圆圆心，则BO =______． 15. 设点P(1,y 0)，若圆O ：x 2+y 2=1上存在点Q ，使得∠OPQ ≥π6，则y 0的取值范围是______．16. 地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库，当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有______种． 17. 矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，圆O 是△BCD 的内切圆，P 是圆O 上的动点，M 为AB 的中点，N 为边AD 上的动点(包含端点)，则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=2sinxsin(x+π3)−12．(Ⅰ)若f(x+φ)为偶函数，且φ∈(0,π)，求φ；(Ⅱ)在△ABC中，角A满足f(A)=1，sinB=2sinC，a=2，求△ABC的面积．19.如图，已知多面体ABCD−A1B1C1D1，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，AD//BC，AB=BC=CD=AA1=CC1=2，BB1=1，AD=DD1=4．(Ⅰ)证明：A1C1⊥平面CDD1C1；(Ⅱ)求直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．20.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，数列{b n}的前n项和T n=1−b n．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)设R n=1S1+1S2+⋯+1S n，试比较R n与T n的大小．21.如图，椭圆：x22+y2=1的上顶点A恰为抛物线x2=2py(p>0)的焦点，B，C是抛物线上的两个动点．(Ⅰ)若点P(2,1)，且满足PC⊥CB，求点B横坐标的取值范围；(Ⅱ)若A，B，C三点共线，过坐标原点O的直线l平分BC，且与椭圆交于M，N两点，求△BMN面积的最大值．22.已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=f(x)(x−lnx)−x2，a∈R．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a∈Z，且函数g(x)只有一个零点，求a的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A={0,1，2，3}，B={x|x≤2}，∴A∩B={0,1，2}．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，指数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：由题知，z=2+3ii =2i+3=3−2i，对应的点(3,−2)，在复平面内位于第四象限，故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数的几何意义和除法运算，是基础题．3.答案：C解析：解：在等比数列{a n}中，a n+1−a n=a1q n−1⋅(q−1),a1<0，若数列{a n}是递增数列，则0< q<1；反之，若0<q<1，则a n+1−a n=a1q n−1(q−1)>0，数列{a n}是递增数列，所以“0<q<1”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件．故选：C．本题考查等比数列的性质及充要条件的判定．此题借助于等比数列的性质来考查充要条件的判定，易忽视前提条件：首项a1<0．4.答案：D解析：解：作出可行域如图中的阴影部分(含边界)所示，设z=x+4y，因为直线z=x+4y的斜率为−14>−12，目标函数z=x+4y中的z随直线x+4y=0向上平移而增大，所以目标函数z=x+4y在点A(1,1)处取得最大值5，在点C(−1,−1)处取得最小值−5，故|x+4y|的最大值为5，故选：D．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．解析：解：因为y=−cosx⋅ln|x|为偶函数，定义域为{x|x≠0}，故排除C，D；当x=π时，y=lnπ<2，排除B；故选：A．由函数为偶函数，可排除C，D，由lnπ<2，可排除B，由此得出正确选项．本题考查函数图象及性质，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵P(X=p)=p，P(X=1−p)=1−p，∴E(X)=p2+(1−p)2，∵Y=1−X，∴E(Y)=1−E(X)=2p(1−p)，由基本不等式可知E(X)≥E(Y)．又D(Y)=D(1−X)=D(X)，故选：B．先根据随机变量X的概率分布，计算出E(X)，由于Y=1−X，所以可得出E(Y)，D(X)和D(Y)的大小关系．本题考查随机变量的期望和方差，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：如图所示，设点O为底面BCD的中心，作OH⊥EF于点H，连接AH，AO，PO，则θ1=∠APO，θ2=∠AHO，二面角A−CD−B与二面角A−BC−D相等，所以θ3=∠AEO．因为OH≤OP≤OE，所以tanθ2≥tanθ1≥tanθ3，所以θ2≥θ1≥θ3，故选：B．如图，作OH⊥EF得到θ1=∠APO，θ2=∠AHO，θ3=∠AEO.根据OH≤OP≤OE，则可得θ2≥θ1≥θ3，本题考查空间角的直观分析．数形结合，属于中档题．8.答案：D解析：解：设双曲线焦距为2c，由题意得|PF1|=|F1F2|=2c，所以|PF2|=2c−2a．如图，在等腰△PF1F2中，cos∠PF2F1=c−a2c，又由PF2与双曲线的一条渐近线平行知cos∠PF2F1=ac，所以c−a2c =ac，解得c=3a，则该双曲线的离心率e=3，故选：D．由三角形的余弦定理和双曲线的渐近线可得所以c−a2c =ac，化简可得c=3a，再由离心率公式可得所本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出a 、c 关系，是解决本题的关键． 9.答案：D解析：解：令f(x)=0，得a =g(x)={x 2x−1,x <1；lnxx,x ≥1．当x <1且x ≠0时，g(x)=x 2x−1=11x−(1x)2=1−(1x −12)2+14；故其在(−∞,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减；且g(0)=0；当x ≥1时，g(x)=lnx x，g′(x)=1−lnx x 2；故g(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，且g(1)=0其余对应的g(x)>0 画出y =g(x)的图象如图所示．由图象可知，y =g(x)与y =a 的交点个数可能是0个，1个和两个；不可能是3个；故选：D ．把所求问题通过整理，转化为求g(x)={x 2x−1,x <1；lnxx ,x ≥1．与y =a 的交点个数问题，画出图象，借助于图象求解即可．本题考查了方程的根与函数的零点的关系，同时考查了数形结合的数学思想以及转化思想，属于基础题． 10.答案：C解析：解：由题可知a 1=1,a 2=13,a 3=35>a 2，故(1)不正确；由题意得a n >0，则|a n+1−12||a n −12|=12an+1<1，故数列{|a n −12|}为单调递减数列，故(3)正确；因为a 1=1,a 2=13.所以当n ≥3时，|a n −12|<16，则13<a n <23，故a n ≥13(n ∈N ∗)，故(2)正确；因为|a n+2−a n+1||a n+1−a n |=22an+3≤611，所以|a n+1−a n |≤|a 2−a 1|⋅(611)n−1=23⋅(611)n−1，故(4)正确．综上，正确结论的个数为3，故选：C ．(1)，(3)可利用作差法来解决，(2)，(4)运用到的是基本不等式的性质，也可以采用作差法来解决大小的问题．本题考查数列与不等式的综合、迭代法、通项公式与递推关系之间的推导．11.答案：9 6解析：解若log3m=2，则m=9，2log23+30+log39=3+1+2=6．①利用指数为对数逆运算，a x=y，则x=log a y，从而得出答案．②利用对数运算公式a log a N=N，求出答案．本题考查对数的运算，属于基础题．12.答案：60 54+8√26解析：解：由题意可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的横放的直四棱柱(如图所示)．易知，底面是上底为2，下底为4，高为5的等腰梯形，故S底面=12(2+4)×5=15．梯形的腰长为√52+11=√26又因为柱体的高为4，故侧面积S侧=(2+4+2√26)×4=24+8√26．故表面积为S表=2S底+S侧=54+8√26．该几何体的体V=S底×ℎ=15×4=60．故答案为：60 54+8√26因为正视图、俯视图都是矩形，所以初步判断是一个柱体，再结合侧视图可知，这是一个底面为梯形的直四棱柱．据此计算体积、表面积．本题考查空间几何体的三视图的识图问题，以及四棱柱的表面积、体积计算问题，同时考查了学生的直观想象、数学运算以及逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．13.答案：1 −1解析：解：由题可知(2x+a)5−(1+x)2=a0+a1x+⋯+a5x5，令x=0，则a5−1=a0=0，故a=1；若a2=C53×22×a3−1=−41，则a=−1，∴(2x−1)5−(1+x)2=a0+a1x+⋯+a5x5；令x=0可得a0=−2，令x=1可得a0+a1+a2+⋯+a5=15−22=−3；故a1+a2+⋯+a5=−1．故答案为：1，−1．把已知等式变形，整理后令x=0可得第一个空，根据a2求得a，再令x=1即可求解结论．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．14.答案：3√22√14 7解析：解：因为AD平分∠BAC，所以ABAC =BDCD=12；所以cos∠BAD=cos∠CAD，由余弦定理得AB2+AD2− BD22AB⋅AD =AD2+AC2−DC22AD⋅AC，即1+1−BD22×1×1=1+4−4BD22×1×2，解得BD=√22，所以CD=√2，所以BC=3√22；在△ABD中，由余弦定理得cosB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD =√24，所以sinB=√1−cos2B=√1−216=√144，由正弦定理得BO=AD2sinB=2×√144=√147．根据角平分线定理和余弦定理，列方程求得BD的值，从而求得CD、BC的值；在△ABD中由余弦定理求得cos B的值，再计算sin B，由正弦定理求出BO的值．本题考查了正弦定理、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．15.答案：[−√3,√3]解析：解：如图，找临界情况：当PQ与圆O相切，且∠OPQ=π6时，y0=±√3，所以当−√3≤y0≤√3时，符合题意．故答案为：[−√3,√3]结合已知可找临界情况，可先求出当PQ与圆O相切时的y0即可求解．本题考查直线与圆的位置关系，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．16.答案：336解析：解：根据题意，分2步进行分析：(1)：首先把四辆车排列有A44种排法，再把两个连续的空车位捆绑与另一空车位往4辆车中插入有A52种方法，由乘法原理有A44A52种停法；(2)：因为红、白两车相邻的情况有A33A22A42种．则符合要求的停车方法有A44A52−A33A22A42=336种．故停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有336种．故答案为：336．根据题意，首先用捆绑法与插空法计算恰有两个连续的空车位必须相邻的所有停车方法，再计算红白两车相邻的停车法；结合题意，用间接法，两数相减，即可得答案．本题考查排列组合的应用，本题运用间接法，捆绑法，插空法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．17.答案：√13+4解析：解：先固定点P ，则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤max{MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }，易得圆O 的半径为1，以C 为坐标原点建立如图所示坐标系，则M(3,2)，D(0,4)，设P(x,y)，则对应的圆的方程为：(x −1)2+(y −1)2=1； ∴MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −3,y −2)，MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2)；利用投影可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤0， MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3)(x −3)+2(y −2)=−3x +2y +5； ∵(x −1)2+(y −1)2=1；故可得：x =1+cosα，y =1+sinα；∴MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +2y +5=2sinα−3cosα+4=√13sin (α−φ)+4，其中tanφ=32；所以：MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为：√13+4．故MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为√13+4．故答案为：√13+4．先根据条件把所求问题转化，再建立坐标系，通过点的坐标转化以及三角函数的有关知识即可求解结论．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)f(x)=2sinx(12sinx +√32cosx)−12=sin 2x +√3sinxcosx −12=1−cos2x 2+√32sin2x −12=sin (2x −π6)，则f(x +φ)=sin (2x +2φ−π6)，由f(x +4)为偶函数可知f(0+φ)=sin (2φ−π6)=±1，所以2φ−π6=π2+kπ(k ∈Z)，解得φ=π3+kπ2(k ∈Z)．又因为φ∈(0,π)，所以φ=π3或56π．(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(A)=sin (2A −π6)=1⇒A =π3，sinB =2sinC ⇒b =2c ，所以由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc⇒c =23√3，b =43√3，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×43√3×23√3×√32=23√3．解析：(Ⅰ)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． (2)利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19.答案：(Ⅰ)证明：如图，连接AC ， ∵AA 1//CC 1，且AA 1=CC 1，∴四边形ACC 1A 1为平行四边形，即A 1C 1//AC ．又底面ABCD 为等腰梯形，且AB =BC =CD =2，AD =4，∴AC ⊥CD ． ∵CC 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴CC 1⊥AC ．又CD ∩CC 1=C ，∴AC ⊥平面CDD 1C 1， ∴A 1C 1⊥平面CDD 1C 1；(Ⅱ)解：法一、由题意得BC 1=2√2，延长DC ，D 1C 1，AB ，A 1B 1交于点G ，取CG 中点M ，连接BM ，AC ．∵BM//AC//A 1C 1，BM ⊄平面A 1B 1C 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴BM//平面A 1B 1C 1，∴点B 到平面A 1B 1C 1的距离和点M 到平面A 1B 1C 1的距离相等．由(Ⅰ)知A 1C 1⊥平面CDD 1C 1，又A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴平面A 1B 1C 1⊥平面CDD 1C 1．过点M 作MH ⊥GD 1于点H ，则MH ⊥平面A 1B 1C 1，即点M 到平面A 1B 1C 1的距离为MH =√22．设直线BC 1与平面A 1B 1C 1所成的角为θ，则sinθ=MH BC 1=√222√2=14，即直线BC 1与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为14；解法二、以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，过点D 且垂直于平面ADD 1A 1的直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(3,√3,0),A 1(4,0,2),B 1(3,√3,1),C 1(1,√3,2)， BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,√3,0)，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)．设平面A 1B 1C 1的法向量n⃗ =(x,y,z)，由{n ⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +√3y =0n ⃗ ⋅B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +z =0，令x =1，得n ⃗ =(1,√3,2)．设直线BC 1与平面A 1B 1C 1所成的角为θ，则sinθ=|cos 〈BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1,n ⃗ 〉|=2√2⋅2√2=14，即直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为14．解析：(Ⅰ)连接AC，由已知可得四边形ACC1A1为平行四边形，即A1C1//AC.再由已知证明CC1⊥AC.结合直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面CDD1C1，从而得到A1C1⊥平面CDD1C1；(Ⅱ)法一、延长D1C1，AB，A1B1交于点G，取CG中点M，连接BM，AC.证明BM//平面A1B1C1，可得点B到平面A1B1C1的距离和点M到平面A1B1C1的距离相等．由(Ⅰ)知A1C1⊥平面CDD1C1，可得平面A1B1C1⊥平面CDD1C1.过点M作MH⊥GD1于点H，则MH⊥平面A1B1C1，求得点M到平面A1B1C1的距离为MH=√22.设直线BC1与平面A1B1C1所成的角为θ，可得sinθ，得到直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值；法二、以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，过点D且垂直于平面ADD1A1的直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标与平面A1B1C1的一个法向量n⃗，由BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n⃗所成角的余弦值可得直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．本题考查直线与平面垂直的判定、线面角，考查空间想象能力和运算求解能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1，经检验当n=1时a1=3，也成立，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n+1(n∈N∗)；当n≥2时，b n=T n−T n−1=b n−1−b n，∴b nb n−1=12，当n=1时，b1=12，∴数列{b n}的通项公式为b n=12n(n∈N∗)；(Ⅱ)∵1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，R n=12×(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=12×(1+12−1n+1−1n+2)<34．当n≥2时，T n=1−b n=1−12≥T2=34>R n，且T1>R1，∴T n>R n(n∈N∗)．解析：(Ⅰ)运用数列的递推式：当n≥2时，a n=S n−S n−1，计算可得a n；运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得所求b n；(Ⅱ)求得1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，由数列的裂项相消求和可得R n，讨论当n≥2时，n=1时，R n与T n的大小可得所求关系．本题考查数列的通项与求和，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)由题易知A(0,1)，则p2=1，则抛物线的方程为x2=4y．设B(x1,x124),C(x2,x224)．∵PC⊥CB，∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,x 224−1)⋅(x 1−x 2,x 12−x 224)=(x 2−2)(x 1−x 2)+x 22−44⋅x 12−x 224=0，化简得1+(x 2+2)(x 1+x 2)16=0，即x 1=−16x2+2−x 2=−[(x 2+2)+16(x2+2)]+2∈(−∞,−6]∪[10,+∞)，故点B 橫坐标的取值范围为(−∞,−6]∪[10,+∞)． (Ⅱ)设直线BC ：y =kx +1,B(x 1,x 124),C(x 2,x 224)，联立{y =kx +1x 2=4y得x 2−4kx −4=0，显然△>0，∴{x 1+x 2=4kx 1x 2=−4，∴BC 的中点坐标为(2k,2k 2+1)．设直线MN 的方程为y =mx ，其中m =2k 2+12k．联立{y =mx x 2+2y 2=2得(1+2m 2)x 2=2，∴x M =−x N =√2√1+2m 2， ∴|MN|=2√1+m 2|√2√1+2m 2．由点到直线的距离公式可知，点B 、C 到MN 的距离分别为d 1=|x 124−mx |√m 2+1，d 2=|x 224−mx |√m 2+1．且点B ，C 在直线MN 的两侧， ∴d 1+d 2=|(x 124−mx )−(x 224−mx )|√m 2+1=|x 1+x 24(x −x )−m(x −x )|√m 2+1=4|k−m|⋅√k 2+1√m 2+1． ∵MN 平分BC ，∴S △BMN =S △CMN ， ∴S △BMN =12(S △BMN +S △CMN )=|MN|4⋅(d 1+d 2)=2|k −m|√k 2+1|√2√1+2m 2=2√k 2+14k 4+6k 2+1．设k 2+1=t ，t ≥1， ∴k 2+14k 4+6k 2+1=t4(t−1)2+6(t−1)+1=14t−1t−2≤1，即当k =0时，(S △BMN )max =2．解析：(Ⅰ)先根据椭圆的几何性质求出点A 的坐标，从而得到抛物线的方程，设B(x 1,x 124),C(x 2,x 224)，结合PC ⊥CB ，利用平面向量数量积的坐标运算，构造等式，用x 2表示出x 1，然后利用对勾函数的性质即可得解；(Ⅱ)设直线BC 的方程为y =kx +1，联立该方程与抛物线的方程，结合韦达定理可求得BC 中点的坐标；再设直线MN 的方程为y =mx ，联立该方程与椭圆的方程，可求得M 、N 的坐标，进而求得线段|MN|的长，以及利用点到直线的距离公式可求得B 、C 两点到直线MN 的距离d 1，d 2，由于MN 平分BC ，所以S △BMN =12(S △BMN +S △CMN )=|MN|4⋅(d 1+d 2)，最后对其进行化简整理，即可得解．本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，涉及曲直联立、点到直线的距离公式、平面向量数量积的坐标运算、利用对勾函数、换元法等求最值，具有一定的综合性，考查学生转化与化归的思想和运算能力，属于难题．22.答案：解：(Ⅰ)由题意可知x >0，f′(x)=a +1x ．当a ≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a <0时，f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减．(Ⅱ)解法一：由题意可知x >0，且g(x)=(ax +lnx)(x −lnx)−x 2=0⇔(a +lnx x)(1−lnx x)=1．令t =lnx x,t ∈(−∞,1e ],则(a +t)(1−t)=1．记φ(t)=t 2+(a −1)t +1−a =0，(∗)当a ≤−1时，a +t <0，1−t >0，与(a +t)(1−t)=1相矛盾，此时(∗)式无解；当a =0时，φ(t)=t 2−t +1=0无解；当a =1时，(∗)式的解为t =0，此时g(x)=0有唯一解x =1；当a ≥2时，{t 1t 2=1−a <0t 1+t 2=1−a <0，φ(1e )=1e 2+(a −1)(1e −1)≤1e 2+1e −1<0，所以(∗)式只有一个负根t 0，g(x)=0有唯一解，故a 的最小值为1．解法二：由题得g(x)=(ax +lnx)(x −lnx)−x 2=0⇔(a +lnx x)(1−lnx x)=1，令t =lnx x，则a =11−t −t ．再令k =1−t ，则a +1=k +1k ．记y =k +1k ,k =1−lnx x，函数y =k +1k 和函数k =1−lnx x的图象如图所示：当a +1<2，即a <1时，显然不成立；当a +1≥2，即a ≥1时，由a ∈Z ，得方程a +1=k +1k 存在唯一解k 0，且k 0≥1．此时k =1−lnx x亦存在唯一解x 0．综上，a的最小值为1．解析：(Ⅰ)可求得f′(x)=a+1x(x>0)，分a≥0与a<0两类讨论可得函数的单调情况；(Ⅱ)解法一：由g(x)=0，可得(a+lnxx )(1−lnxx)=1，令t=lnxx,t∈(−∞,1e]，则(a+t)(1−t)=1，记φ(t)=t2+(a−1)t+1−a=0，(∗)分a≤−1，a=0，a=1三类讨论，可得a的最小值；解法二：由题得g(x)=(ax+lnx)(x−lnx)−x2=0⇔(a+lnxx )(1−lnxx)=1，令t=lnxx，则a=1 1−t −t，再令k=1−t，则a+1=k+1k，记y=k+1k,k=1−lnxx，作出函数y=k+1k和函数k=1−lnxx的图象，分析可求得a的最小值．本题考查导数在研究函数中的应用，突出考查推理论证能力，考查分类与整合思想、等价转化思想及数形结合思想的综合运用，属于难题．。

全国4月高等教育自学考试高等数学基础试题及答案解析历年试卷及答案解析

全国2018年4月高等教育自学考试高等数学基础试题课程代码：00417 第一部分选择题一、单项选择题(本大题共30小题，每小题1分，共30分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1. 在空间直角坐标系中，点A （-1，2，4）关于xy 面的对称点A 1的坐标是（） A.(1,-2,4) B.(1,-2,-4) C.(-1,2,-4) D.(1,2,4) 2. 与向量{-1,1,1}共线的向量是（） A.{2，1，1} B.{2，-2，-2} C.{2，-1，-1} D.{1，1，1} 3. 已知三点A （-1，2，3），B （1，2，1），C （0，1，4），则∠BAC 是（） A.直角 B.锐角 C.钝角 D.平角4. 空间直角坐标轴上的单位向量k ,j ,i有性质（）A.1i k ,1k j ,1j i • • •B. 0i k ,0k j ,0j i • • •C. j i k ,i k j ,k j i• • •D.上述三个选项均错5. 对于任意向量c ,b ,a，下列诸等式中成立的是（）A.（b b b a 2a a )b a ()b aB.（22b b a 2a )b a ()b a• •C.（b b a a )b a ()b aD.)c b (a c )b a (• •6．平面4y-7z=0的位置特点是（） A.通过z 轴 B.通过y 轴C.通过x 轴且通过点（0，7，4）D.平行于yz 面7．经过A （2，3，1）而平行于yz 面的平面的平面方程是（） A.x=2 B.y=3 C.z=1 D.x+y+z-6=08.函数f(x)=0x ,x 0x ,x 12 的定义域是（）A.（-∞，0）B.（-∞,+ ∞）C.[0，+∞]D.（-∞，0）∪（0，+∞）9.下列各对函数中，相同的是（） A.y=x 与y=2x B.y=lnx1与y=lnx C.y=1x 1x 2 与y=x+1 D.y=cosx 与u=cosv10.在（-∞，+∞）内，f(x)=2x1x1 是（） A.奇函数 B.偶函数 C.有界函数 D.单调函数 11.下列命题正确的是（）A.因为数列{a n }有界，所以数列{a n }有极限B. 因为数列{a n }单增，所以数列{a n }无极限C. 因为数列{a n }单减，所以数列{a n }有极限D. 因为数列{a n }单增有上界，所以数列{a n }有极限 12.下列极限中，正确的是（）A.e )x 1(x1x limB.e )x 1(x10x limC.e )n11(2n limD.e )x11(x 2x lim13.x=0是函数f(x)=sinx1的（） A.可去间断点 B.第一类间断点 C.第二类间断点 D. 连续点14.函数f(x)在x=x 0连续是其在该点可导的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关条件 15.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上不满足罗尔定理条件是因为（） A.在x=0无定义 B.在[-1,1]上不连续 C.在（-1，1）内不可导 D.f(1)=f(-1)16.函数y=x 2+x 在区间[0，1]上应用拉格朗日中值定理，则中值定理中的ξ=( )A. 1B.21C.2D. 25 17.直线x=0是f(x)的水平渐近线，则f(x)是下列函数中的（）A.x11B.2x eC.lnxD.sinx 18.设,C x sin dx )x (f 则 )x (f （）A.cosxB.sinxC.-cosxD.-sinx 19.设)x (Ad dx x1，则A=（）A.1B.21C.2D.0 20.设 ,C )x (F dx )x (f 则dx )b ax (f ( )A.F(ax+b)+cB.a1F(ax+b)+C C.aF(x)+C D.aF(ax+b)+C21.定积分1xu dx e满足（）A.0<u<1B.1<u<eC.-1<u<0D.2<u<e 22.21212dx x11( )A.0B.6 C. 3 D. 223.0k312k 的充分必要条件为（）A.k ≠1或k ≠-3B.k ≠1且k ≠-3C.k ≠1D.k ≠-3 24.下列排列中，齐排列是（）A.3214B.4321C.1234D.3412 25.四阶行列式|a ij |所表示的代数和中共有（） A.1项 B.4项 C.16项 D. 24项 26.n 阶矩阵A 非奇异是矩阵A 可逆的（） A.充分条件 B.必要条件 C.既非充分又非必要条件 D.充分必要条件 27.下列矩阵中，零矩阵是（）A. 0001B. 000000C. 2101D.1001 28.矩阵910054324321的一个3阶子式是（）A.1B.9143 C.0032 D.91054343229.A ，B 为n 阶矩阵，若（A+B ）（A-B ）≠A 2-B 2，则必有（） A.A=I B.A=-B C.A=B D.AB ≠BA 30.下列矩阵中，秩为3的是（）A.3021 B.000531020 C.900005002310 D.3000010000200001第二部分非选择题二、填空题(本大题共10小题，每小题1分，共10分)31.若向量}z ,y ,x {b },z ,y ,x {a 222111 ，则b 2a=__________.32.已知点A （3，-1，2），B （1，1，1），则A ，B 两点间的距离为_______. 33.平面3x+2y+4z-6=0的截距式方程为_________. 34.函数y=lg(x-1)的反函数是__________.35.设函数f(x)= 0x ,a 0x ,xx sin ,要使f(x)在x=0点连续，则a=_________.36.曲线y=tgx 在点（π，0）处的切线方程是________. 37.dx x3x1________. 38.若函数G （x ）=x22,dt t 1则G （x ）=_________.39.行列式321中元素3的代数余子式为________.40.若矩阵A=283726 ，则A T =_________.三、计算题（一）（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 41.求球面x 2+y 2+z 2-2x+4y+2z-3=0的球心坐标及半径. 42．已知函数y=2sinx+xcosx+tg10,求dy. 43.求极限2xx x tdt sin lim.44.用初等变换解线性方程组.2x 3x ,2x x ,6x 3x 2x 2132321 四、计算题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）45.试求过点P （1，1，1）且与二已知向量a={2，0，3}和b ={-1，1，1}平行的平面方程. 46.设y=xarctgx,求0x y47.计算.dx ex48.计算行列式1011201112123250 .五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 49.设函数y=x-ln(2+x).(1) 求函数y 的增减区间和极值；(2) 证明函数在（-2，∞）内是下凸的.50.平面图形由曲线y=x 2，x=y 2围成，求该图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积.。

2020年自考高等数学(工专)考试题库及答案

2020年自考高等数学（工专）考试题库及答案第一章（函数）之内容方法函数是数学中最重要的基本概念之一。

它是现实世界中量与量之间的依赖关系在数学中的反映，也是高等数学的主要研究对象。

本章主要阐明函数的概念，函数的几个简单性态，反函数，复合函数，初等函数及函数关系的建立等。

重点是函数的概念与初等函数，难点是复合函数。

1－2 函数的概念函数的定义：y=f(x)(x∈D),其中x是自变量，f为对应法则，y为因变量，D是定义域。

∀（对任意）x∈D,∃!(有唯一)y与x对应。

y所对应的取值范围称为函数的值域。

当自变量x取平面的点时，即x=(x1,x2)时，f(x)是二元函数；当x取空间中的点x=(x1,x2,x3)时，f(x)是三元函数。

函数的表示法主要有两种。

其一是解析法，即用代数式表达函数的方法。

例如y=f(x)=e x,符号函数，其中后者是分段函数。

其二是图示法。

如一元函数可表示为平面上的一条曲线，二元函数可表示为空间中的一张曲面等。

给定一个函数y=f(x)，则会求函数的定义域，值域，特殊点的函数值等是最基本的要求。

应综合考虑分母不能为0，偶次根式中的表达式应大于等于0，对数函数的真数应大于0等情形。

1－3 函数的简单性态1．单调性：称函数f(x)在区间I（含于定义域内）单调增，若∀x1,x2∈I,当x1<x2时f(x1)≤f(x2);称函数在区间I（含于定义域内）单调减，若∀x1,x2∈I,当x1<x2时f(x1)≥f(x2).单调增函数和单调减函数统称为单调函数，I称为单调区间。

判断一个函数f(x)在区间I是否为单调函数，可用单调性的定义或者用第四章中函数在I中的导数的符号。

2．奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点对称。

如果∀x∈D,有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；如果∀x∈D,有f(-x) = -f(x),则称f(x)为奇函数。

判断一个函数的奇偶性时一般用定义。

在几何上，偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像关于原点对称。

全国4月高等教育自学考试高等数学基础试题及答案解析

3•向量{-2，-1，2}的方向余弦是（2 12 A. cos,cos,cos — 3 332 12 B. cos,cos,cos — 3 3321 2 C. cos,cos ,cos — 3 3 321 2 D. cos,cos ,cos—3334. 对于任意向量a,b ，下列诸等式中成立的是（5. 对于任意向量a,b ，下列四式中不成立的是（A.标准式方程B.参数方程C.两点式方程D. —般方程全国2018年4月高等教育自学考试咼等数学基础试题课程代码：00417、单项选择题（本大题共30小题，每小题1分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.在空间直角坐标系中，点（4, 0，0）在（） A.y 轴上 B.Z 轴上 2.与向量{2，1，-2}相等的向量是（ A.{-2,-1,2} B.{-2,1,-2} C.x 轴上 ) D.yz 布C.{2,-1,-2}D.2 i j 2kA.|b|b b 2B. (a a)ba 2bC. a(a b) a 2bD. (a b)2 a 2b 2A. (a b) (a b) 0B. a a 0C. (a b) (a b) 2a bD. ( a) a 06. 向量与二向量及的位置关系是（A. 共面B.共线C.垂直7.平面5（x-1）=0的位置特点是（） D.斜交C.垂直于y 轴D.垂直于z 轴 8方程-2称为该直线的（49. 若直线的方向向量与平面的法线向量的数量积为零，则直线与平面（）A.平行C.斜交D.前述三个选项都不能确定10.设 f(x)=arctyx,则 f(1)=( )B.垂直 A.—2B.—4C.1D.11.函数f(x)的定义域是[0,1]，则f(x+2)的定义域是( A.[0,1] B.[-2,-1] 12. 下列函数在其定义域内有界的是 A.2xB.l nx13.函数f(x)在x=x o 有定义是lim C.[o,2] D.[1,2]( )C.tgxD.arccosx f (x)存在的( )14. lim (1-)x()xxA.eB.-eC.e -1D.-e -1115.x =0 是函数 f(x)=xsin 的( )A.可去间断点B.第一类间断点C.第二类间断点D.连续点16. 曲线y=e 2x 在点(0，1)处的切线方程是()A.y=2x-1B.y=2x+1C.y=-2x-1D. y=-2x+117•设f(x)在点X 0左、右导数都存在，则( )A. f(x)在点x o 可导B. f (x)在点x o 连续C. f (x)在点x o 可微18•设 f(x)= e x ，贝U df(x)=( )A.e x dx2“xC.e-X19.设 f(x)在(a,b)内可导，x o € (a,b),则( A.f(x o )是极大值时，f (x o ) v o C.f(x o )是极值时，f (x o ) =o )B.f(x o )是极小值时，f (x o ) > o D. f (xJ =o 时，f(x o )是极值20. 函数e x A. e x e xC.e x e xe x 的不定积分是( B. e x e x eC D.21. 下列等式成立的是 A. d f (x)dx f (x) B. ( f (x)dx) f (x) CC. df (x) f (x)D. f (x)dx f (x) CA.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关条件（）25.四阶行列式|a ij |的下列四项中符号为正的是a 11a 12a 134an a n 3a 12a1326.如果,那么Da 21 a 22 a 23 =1, D 14a 21 a 21 3a 22 a 23,那么D 1=( )a 31a 32a 334a 31a 313a 32a33A.8B.-12C.24D.1227.如果Qu312 1 ，则方程组a 11X 1 a 12X 2b 1的解是（)a 21 a 22a 21x 1 a22 X 2A. 811822833844B. a )2a 2i a 33a 44D. 3i a 22a 34a 4322•设f （x ）在区间［a,b ］上连续，则在［a,b ］上至少存在一点，使得 f(x)dx f ( )(b a).这个a结论被称为（A.罗尔中值定理B.拉格朗日中D.积分中值定理23. d b dx( )dx aA .・ 2 sin x2B. cosxeIn x ,()2dx1 xA .1B .1C.2C.0D.-2D. 2xcosxC. a^a 23a 32a 44bi a12biX 1,X 2b 2 a 22a21 b 2b 1a12a 11 b1X 1,X 2b 2a22a21b2C. X 1b 1 a 12,X 2911b 1 D. X 1b 1 a 12 ,X 2a 11b 1b 2a22a21b 2b 2a 22a 21b 228.下列四个矩阵中，非对称矩阵是 2 0 1 0 A.B.0 00 1C. D.29. 设A 是3 X 4矩阵，B 是4X 3矩阵，则下列结论不正确的是A.|BA|=030.下列四个矩阵中， B.A T B T有意义初等矩阵是C. (A)= (A T ) w 3D.)(AB)w 31 01 01 0 01 2A.B. 0 11C. 0 1c2 D. 1 1 11 10 110 0 10 0 1二、填空题31.与向量｛-1,2,-2｝反向的单位向量是X 132.直线J6年的参数方程是33.将复合函数 2e tg x 拆成简单函数应是C.牛顿一莱布尼兹公式A.B. (136.已知 f (x)=，且 f(0) =0,贝V f (X )= _____________V 1 X 2X37.设 f (t)dtln( x 2 1)，贝V f (1) = ___________2 0 038.行列式0 3 0_____________0 0 539.若矩阵A2 1 31,B2 1 31 2 0 ，则矩阵A+B=40.线性方程组 2X 3y 3的增广矩阵为 _______________________ .x y 0三、计算题（一）（本大题共4小题，每小题4分，共16分）41.求过四点(0, 0, 0), (1 , 0, 0), (0 , -2, 0), (0 , 0 , 2)的球面方程3 1 1 1是否可逆？如果可逆，求出逆矩阵1 1本大题共2小题，每小题8分，共16分）34.设 lim X nnX n 1 X n35.设函数f （x ）在点X=1可导，且f (1)=2，则 lim iX 1f(x) f(1) X 1精品自学考试资料推荐7 40 3中元素2与-2的代数余子式2 3四、计算题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）X y 1 z 145.试求经过点(2 , 1 , 3)且与二直线l1 : 和l21 1 346.求极限lim (x )tgx .x — 22osxdx.42.设f (X)A,x 0試确定A的值，使f（x）在x=0点连续. 043.设函数y2 X1 ln x47.讨论函数y x4 2x32的凸性并求其拐点148.用初等变换判断矩阵 A 1150.平面图形由曲线y=cosx , x轴及直线X4 ,X 2围成，求其面积S.144.求行列式52x y z 1 0均垂直的直线方程x 2z 1 0。