§3 解三角形的实际应用举例(北师大必修五)

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2.3解三角形的实际应用举例教案(北师大版必修五)

A．c和α
B．c和b
C．c和β
D．b和α
【解析】由于不能过河测量，故c不能测出，排除A、B、C，在Rt△ACB中，a＝btanα，故较适宜的一组数据为b与α.
【答案】D
3．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛与B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛与C岛之间的距离为________nmile.
隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(视A、B、C、D四点在同一平面内)．求两目标A、B之间的距离．
图2－3－1
【解】在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝，∴AD＝3.
2．测量角度问题，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图．
图2－3－4
如图2－3－4所示，一缉私艇在A处发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船C正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值．
图2－3－2
【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝＝s.
在Rt△ABC中，
AB＝BC·tan∠ACB＝s·tan 30°＝s.
因此塔高为s.
测量角度问题
图2－3－3
如图2－3－3所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

高中数学必修五解三角形应用举例(三)-角度及面积

2
2
例7. 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S
(精确到0.1cm²)
（4）已知 a 2,b 6, A 45 ；
解：由正弦定理可得sin B bsin A 6 sin 45 3
a
2
2
b a B 60 或B 120
（1）若B 60 ，则C 180 45 60 75
S=15，求角A的大小。
解： ABC的面积为S 1 ab sinC 30sinC 15
sin C 1
2
2
∵a>c ， ∴∠C为锐角，故C=30o
B 180 C A 150 A
sin A cos B cos(150 A) 3 cos A 1 sin A
2
2
整理得 tan A 3
54.0sin137 113.15
0.3255,
ABC 137o 90o
故∠CAB≈19.0°,
∴75°-∠CAB=56.0°. 答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，
需要航行113.15n mile.
变题：如图，甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60 方向的 B 处，且乙船正在向正北方向行驶，如果甲船的速度是乙船的
解：（2） b c sin B sin C
c b sin C 3.16 sin 65.8 3.24(cm)
sin B
sin 62.7
又 A 180 (62.7 65.8 ) 51.5
S bc sin A 1 3.163.24sin 51.5 4.0(cm2). 2
例7. 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S (精确到0.1cm²) （1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°；（2）已知B=62.7°，C=65.8°，b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.

北师大版高中数学必修五§3 解三角形的实际应用举例

§3 解三角形的实际应用举例双基达标(限时20分钟)1．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )．A．10kmB．103kmC．105kmD．107km解析由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos120°＝700.∴AC＝107(km)．答案 D2．D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从D 、C 两点测得A 点仰角分别是α、β(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于( )． A.a sin αsin βsin (β－α) B.a sin α·sin βcos (α－β) C.a sin αcos βsin (β－α) D.a cos αsin βcos (α－β)解析由已知得∠DAC ＝β－α，由正弦定理AC sin α＝DC sin (β－α)，∴AC ＝a sin αsin (β－α).在Rt △ABC中，AB ＝AC ·sin β＝a sin αsin βsin (β－α). 答案 A 3．如右图所示，D ，C ，B 在同一地平面的同一直线上，DC ＝10m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB 等于( )．A ．10mB ．53mC ．5(3－1)mD ．5(3＋1)m解析在△ADC 中，AD ＝10·sin 135°sin 15°＝10(3＋1)(m)．在Rt △ABD 中，AB ＝AD ·sin30°＝5(3＋1)(m)．答案 D4．测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，使AB ＝120m ，从A ，B 望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，则河宽为________m.解析 ∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA＝180°－30°－75°＝75°，∴AC ＝AB ＝120m.∴河宽CD ＝12AC ＝60m. 答案 605．海岸边有一炮台高30m ，海中有两小船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两小船与炮台底部连线成30°角，则两小船相距________．解析如图，设CD 为炮台，A ，B 为两小船，由题意CD ＝30m ，∠CBD ＝45°，∠CAD ＝30°，∠ACB ＝30°，在Rt △ACD 中，AC ＝30tan60°＝303(m)，同理BC ＝30tan45°＝30(m)，在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(303)2＋302－2×30 3×30cos30°＝900，∴AB ＝30(m)．答案 30m6．如图所示，客轮以速度2v 由A 至B 再到C 匀速航行；货轮从AC的中点D 出发，以速度v 沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝50海里．若两船同时起航，则两船相遇之处距C 点多少海里？解设两船相遇之处距C 点x 海里，由题意可知，CD ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝252(海里)，则100－x 2v ＝(252)2＋x 2－2×252x cos 45°v，解得x 2＝5 0003，∴x ≈40.8(海里)．所以，两船相遇之处距C 点40.8海里．综合提高（限时25分钟）7．有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长表( )．A ．5mB ．10mC ．102mD ．103m解析如下图所示，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°.依题意，∠AB ′B ＝30°， ∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10m.在△ABB ′中，根据正弦定理得，BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝102(m)，即当坡底伸长102m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案 C8．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )．A ．a kmB.3a kmC.2a kmD ．2a km解析如图所示，在△ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°，∴AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝3a (km)．答案 B9．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10nmile ，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是_____nmile.解析在△ABC 中，由正弦定理可得BCsin A ＝ABsin C ，即BC ＝AB sin A sin C＝10sin 60°sin (180°－60°－75°) ＝5 6.答案 5 610．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为________．解析如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m ，依据正弦定理可得2sin 60°＝x sin (120°－α)，所以x ＝43·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．答案 30°11．如图所示，在高出地面30m 的小山顶上建造一座电视塔CD ，今在距离B 点60m 的地面上取一点A ，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度．解设CD ＝x m ，∠BAC ＝α，则tan α＝3060＝12，又∠DAB ＝45°＋α，tan ∠DAB ＝BD AB ＝x ＋3060，又tan(α＋45°)＝tan 45°＋tan α1－tan α＝3 ∴x ＋3060＝3，∴x ＝150m ，即电视塔的高度为150m.12．(创新拓展)在南海伏季渔期中，我渔政船在A 处观测到一外国偷渔船在我船北偏东60°的方向，相距a 海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的3倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？解如图所示，设渔船沿B 点向北行驶的速度大小为v ，则我船行驶的速度大小为3v ，两船相遇的时间为t ，则BC ＝vt ，AC ＝3vt ，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°，即3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋vat ，∴2v 2t 2－vat －a 2＝0.解得t 1＝a v ，t 2＝－a2v(舍去)．∴BC ＝a ，∴∠CAB ＝30°. 即我船应沿北偏东30°的方向去追赶渔船，在渔船行驶a 海里处相遇．。

高中数学第二章解三角形 3 解三角形的实际应用举例第1课时距离和高度问题练习(含解析)北师大

距离和高度问题A 级基础巩固一、选择题1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是(D )A ．103海里B ．106海里C ．52海里D ．56海里[解析]如图，由正弦定理得 BCsin60°＝10sin45°，∴BC ＝5 6.2．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( D )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m[解析] 在△ABC 中，已知可得BC ＝AC ＝4，∠C ＝180°－30°×2＝120°，所以由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝42＋42－2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝48，∴AB ＝43(m)．3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( A )A ．(30＋303)mB ．(30＋153)mC ．(15＋303)mD ．(15＋153)m[解析] 由正弦定理可得60sin45°－30°＝PBsin30°，PB ＝60×12sin15°＝30sin15°.h ＝PB ·sin45°＝30sin15°·sin45°＝(30＋303)(m)．4．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( B )A ．7 kmB ．13 kmC ．19 kmD ．10－3 3 km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13km.5．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( B )A ．a (km)B ．3a (km)C ．2a (km)D ．2a (km)[解析]在△ABC 中，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°. ∵AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2×(－12)＝3a 2，∴AB ＝3a (km)．6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( A )A ．4003米B ．40033米C ．20033米D ．2003米[解析] 解法一：如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°，∴BC ＝200tan30°＝20033，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝2003.∴CD ＝AB －AM ＝4003.解法二：如图AB 为山高，CD 为塔高．在△ABC 中，AC ＝ABsin60°＝40033，在△ACD 中，∠CAD ＝30°，∠ADC ＝120°. 由正弦定理CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC .∴CD ＝40033×1232＝4003(米)．二、填空题7．一只蜘蛛沿正北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x ＝1063cm.[解析] 如图，由题意知，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝45°.∠B ＝60°，由正弦定理，得x sin ∠ACB ＝10sin B，∴x ＝10sin ∠ACB sin B ＝10×sin45°sin60°＝1063.8．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为50 2 m.[解析] 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根据正弦定理可知：AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，即50sin30°＝ABsin45°，解得AB ＝50 2 m.三、解答题9．海面上相距10海里的A 、B 两船，B 船在A 船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C 岛，C 岛在B 船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C 岛，经测算，A 船行驶了107海里，求B 船的速度．[解析] 如图所示，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝107，∠ABC ＝120°由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos120°即700＝100＋BC 2＋10BC ，∴BC ＝20，设B 船速度为v ，则有v ＝2043＝15(海里/小时)．即B 船的速度为15海里/小时．10．在某某世博会期间，小明在中国馆门口A 处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B 处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1 m)．[解析] 由题意画出示意图(AA ′表示小明的身高)．∵AB ＝200，∠CA ′B ′＝45°，∠CB ′D ′＝60°， ∴在△A ′B ′C 中，A ′B ′sin ∠A ′CB ′＝B ′Csin45°，∴B ′C ＝A ′B ′sin45°sin15°＝200×226－24＝200(3＋1)．在Rt △CD ′B ′中，CD ′＝B ′C ·sin60°＝100(3＋3)，∴CD ＝1.8＋100(3＋3)≈475(米)．答：红灯笼高约475米．B 级素养提升一、选择题1．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( B )A ．20(2＋6)海里/时B ．20(6－2)海里/时C ．20(6＋3)海里/时D ．20(6－3)海里/时[解析] 设货轮航行30分钟后到达N 处，由题意可知∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°，则∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°.而MS ＝20，在△MNS 中，由正弦定理得MN sin30°＝MSsin105°，∴MN ＝20sin30°sin105°＝10sin 60°＋45°＝10sin60°cos45°＋cos45°sin45°＝106＋24＝10(6－2)．∴货轮的速度为10(6－2)÷12＝20(6－2)(海里/时)．2．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为( D )A ．500 2 mB ．200 mC ．1 000 2 mD ．1 000 m[解析] ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS 中，AB ＝AS ·sin135°sin30°＝1 000×2212＝1 0002，∴BC ＝AB ·sin45°＝1 0002×22＝1 000(m)． 3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( C )A ．5 n mlieB ．5 3 n mlieC ．10 n mlieD ．10 3 n mlie[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦某某岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( D )A ．1002米B ．400米C ．2003米D ．500米[解析] 由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD 得3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500(米)．二、填空题5．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A 、B 两点处测量与地面垂直的塔CD 的高，由A 、B 两地测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°，又知AB 的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是4033米．[解析] 如图所示，由题意，得∠ABC ＝45°－30°＝15°，∠DAC ＝60°－30°＝30°. ∴∠BAC ＝150°，∠ACB ＝15°，∴AC ＝AB ＝40米，∠ADC ＝120°，∠ACD ＝30°，在△ACD 中，由正弦定理，得CD ＝sin ∠CAD sin ∠ADC ·AC ＝sin30°sin120°·40＝4033.6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时，测量公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD 等于5(2－3)km.[解析] 在△ABC 中，∠A ＝15°，∠ACB ＝30°－15°＝15°，所以BC ＝AB ＝5.又CD ＝BC ·tan∠DBC ＝5×tan15°＝5×tan(45°－30°)＝5(2－3)．三、解答题7．(2018·全国卷Ⅰ理，17)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．[解析] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5.8．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？[解析] 由题画出示意图如图所示，设汽车前进20千米后到达B 处，在△ABC 中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21.由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝2331，则sin C ＝12331，所以sin ∠MAC ＝sin(120°－C )＝sin120°cos C －cos120°sin C ＝35362.在△MAC 中，由正弦定理得MC ＝AC ·sin∠MAC sin ∠AMC ＝3132×35362＝35，从而MB ＝MC －BC ＝15.即汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站．。

3解三角形的实际应用举例(北师大必修五)

2.方向角: 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成：正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.
解决有关测量、航海等问题时，一定要搞清题中有关术语的准确含义.
【例2】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+ ）3海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西 60°且与B点相距 20 3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
答：经过约1.1小时后，甲、乙两船相距最近. ………12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
常见错误
不能正确的用时间x表示出CD
错误原因对题意理解不清，不能正确理解方向角的含义，不会利用余弦定理表示出两船之间的距离，对于这类问题要养成利用数形结合解题的习惯.
课堂训练：
1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要( )
（A）5 000米
（B） 5 000 米2
（C）4 000米
（D） 4 000 米2
【解析】选A.作出示意图如图，∠A=30°,∠DBC=60°,AB=10
000.
∴∠BCD=30°,∴BC=10 000,BD=5 000（米）.
4.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮
的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮
又因为sin∠BAC＝ BCsin120 15 3 5 3，
AB
21 2 14

5.解三角形应用举例(3)

1.2应用举例（3）教材分析：本节知识是必修五第一章《解三角形》的第二节内容，本节主要是正弦定理、余弦定理的进一步应用，利用正弦定理、余弦定理解决高度、距离、角度以及三角形的综合应用.课时分配：本节内容用四课时完成，由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解. 结合实际测量工具，解决生活中的测量高度、距离、角度问题，这是前三课时的内容. 第四课时主要应用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，会求证简单的证明题.教学目标：重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系.难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.知识点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.能力点：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.教育点：在教学过程中激发学生的探索精神.自主探究点：正弦定理、余弦定理的选择.考试点：运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.易错点：化简关系式，诱导公式及三角函数的定义掌握不好.易混点：数学模型的解与实际问题的意义还原.拓展点：纠正实际操作中的错误教具准备：多媒体计算机，直尺等一、引入新课：提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题. 然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题.二、探究新知:[范例讲解]例1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB. 解：在∆ABC 中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理，AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222 =︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722 ≈113.15 根据正弦定理,CAB BC ∠sin = ABCAC ∠sin sin ∠CAB = ACABC BC ∠sin = 15.113137sin 0.54︒≈0.3255, 所以 ∠CAB =19.0︒, 75︒- ∠CAB =56.0︒答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高.师：请大家根据题意画出方位图. 生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评. 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD 中， AC=BC=30， AD=DC=103，∠ADC =180︒-4θ， ∴θ2sin 310=)4180sin(30θ-︒. 因为 sin4θ=2sin2θcos2θ∴c os2θ=23,得 2θ=30︒ ∴θ=15︒， ∴在Rt ∆ADE 中，AE=ADsin60︒=15答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x ，AE=h 在 Rt ∆ACE 中,(103+ x)2 + h 2=302 在 Rt ∆ADE 中,x 2+h 2=(103)2 两式相减，得x=53,h=15∴在 Rt ∆ACE 中,tan2θ=xh +310=33∴2θ=30︒,θ=15︒答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得∠BAC=θ， ∠CAD=2θ，AC = BC =30m , AD = CD =103m 在Rt ∆ACE 中，sin2θ=30x--------- ① 在Rt ∆ADE 中，sin4θ=3104, --------- ②②÷① 得 cos2θ=23,2θ=30︒,,sin .AE AD θ︒=15=60=15o 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m例3、某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量. 解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,∠ACB=︒75+︒45=︒120∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2⨯9⨯10xcos ︒120 ∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=23,或x=-169(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为sin ∠BAC =AB BC ︒120sin =2115⨯23=1435 ∴∠BAC =3831'︒,或∠BAC =14174'︒（钝角不合题意，舍去）， ∴3831'︒+︒45=8331'︒答：巡逻艇应该沿北偏东︒'8313方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船. 评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、理解新知：1.与三角形有关问题经常用到：正弦定理、余弦定理、内角和定理，边角关系等定理.2.解应用题的一般思路：（1）审题：理解问题的实际背景，分清已知与所求；（2）建模：抓住主要元素构造出一个或多个三角形；（3）计算：选择正弦定理或余弦定理解三角形；（4）还原：将三角形的解还原为实际定义，注意实际问题与抽象的数学问题在单位及近似计算上的差异.3.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.四、运用新知：课堂练习：课本P16 练习3.3 m 长的斜棒靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2 m 地面上，另一端在沿堤上2.8 m 的地方，求堤对地面的倾斜角α（精确到1°）.[设计意图] 为巩固所学的余弦定理的进一步应用,熟悉余弦定理之外，还能够利用计算器进行较复杂的运算，增强解斜三角形的能力.五、课堂小结：教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：知识：正余弦定理的进一步应用. 思想方法：方程思想，数形结合思想. 教师总结：解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.[设计意图] 加强对学生学习方法的指导，教会学生学会学习．六、布置作业：1. 阅读课本P15—P16.2. 书面作业：课本第20页，第9、10题3. 选作作业：我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？[设计意图]复习并掌握余弦定理的内容，并能运用正、余弦定理解决有关角度计算的实际问题. 选作作业是对正、余弦定理的进一步运用，考察学生综合运用正、余弦定理的能力.七、教后反思:1.本教案的亮点是一题多解.让学生尝试用多种方法解决实际问题，一题多解开阔思路．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在正、余弦定理的灵活运用上下足功夫.3.本节课的弱项是由于数据的特殊性，需要用计算器进行某些计算，降低了学生的动手计算能力. 强项是由于内容仅涉及角度的计算，对于学生的思维过程，教师可以及时的进行点评和总结，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计:。

新课标北师大版高中数学教材目录及课时安排

新课标北师大版高中数学教材目录及课时安排必修1（36节）第一章集合（5）§1 集合的含义与表示 1 §2 集合的基本关系1§3 集合的基本运算 2 阅读材料康托与集合论小结与复习1第二章函数（9）§1 生活中的变量关系1 §2 对函数的进一步认识3§3 函数的单调性 1 §4 二次函数性质的再研究2§5 简单的幂函数 1 阅读材料函数概念的发展小结与复习1第三章指数函数和对数函数（14）§1 正整数指数函数 1 §2 指数概念的扩充3§3 指数函数 3 §4 对数 2§5 对数函数3§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1第四章函数应用7§1 函数与方程 2 §2 实际问题的函数建模4小结与复习1必修2（36）第一章立体几何初步（18节）§1 简单几何体 1 §2 直观图 1§3 三视图 3 §4 空间图形的基本关系与公理 2§5 平行关系 3 §6 垂直关系 4§7 简单几何体的面积和体积2第二章解析几何初步（18节）§1 直线与直线的方程8 §2 圆与圆的方程 5§3 空间直角坐标系3必修3全书目录第一章统计（16）§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法第二章算法初步（12）§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句第三章概率（8）§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用必修4第一章三角函数（16）§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐第二章平面向量（12）§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形（8）§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用必修5第一章数列（12）§1数列1.1数列的概念 1.2数列的函数特性§2等差数列2.1等差数列 2.2等差数列的前ｎ项和§3等比数列3.1等比数列 3.2等比数列的前ｎ项和§4书雷在日常经济生活中的应用第二章解三角形（8）§1正弦定理与余弦定理1.1正弦定理 1.2余弦定理§2三角形中的几何计算§3解三角形的实际应用举例第三章不等式（16）§1不等关系——2 1.1不等关系 1.2比较大小§2一元二次不等式——52.1一元二次不等式的解法 2.2一元二次不等式的应用§3基本不等式——— 33.1基本不等式 3.2基本不等式与最大（小）值§4简单线性规划——54.1二元一次不等式（组）与平面区域4.2简单线性规划 4.3简单线性规划的应用。

北师大版高中数学课本目录大全(必修)

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》教学设计

如图 1．1-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的
a Bb A 定义，有 CD=
s i ns i n,则
a sinA
b sinB
，
同理可得
c sinC
b sinB
，
从而
a sinA
b sinB
c sinC
C
b
a
A
c
B
当 ABC 是钝角三角形时，类似可以证明请同学们补充。
八、课后反思：
北师大版高中数学必修 5 第二章《解三角形》第一课时 §2.1.1 正弦定理
教学反思
周至县第三中学马周科
2011 年 9 月，陕西教育学院、陕西教育科学研究研究所的教学专家来我校进行新课程及高校课堂视导，我作为我校数学教师代表上了一节课。这节课我选择了高中数学北师大版必修 5 第二章《解三角形》第一棵时“正弦定理”，基于我校“联勤互助-高效课堂”的教学模式设计了导学案和教学设计。导学案提前下发，让学生先进行预习；上课时，先进行教学目标展示，指出本节课的学习目标；然后引导学生进行预习成果展示，通过提问方式检查学生预习情况；再通过教师根据学生情况进行适当引导和讲解，进行分组探析新课；分组探析例题；分组进行课堂练习；最后引导学生小结本节内容；安排课后训练等环节，组织学生学习活动。课后，省教科所专家马亚军老师高屋建瓴，给予了非常详尽评价和指导，本组同志也提出了宝贵的意见。使我很受启发，为此对这节课进行反思。
高中数学北师大版必修 5 第二章解三角形（教学设计）周至县第三中学数学组马周科
北师大版高中数学必修 5 第二章《解三角形》教学设计第一课时 §2.1.1 正弦定理周至县第三中学马周科

北师大版解三角形的实际应用举例优秀课件

解 : A 6 0 , B 7 5 , C 4 5

C
由正弦定理得 : 60° BC 10 A 75° s in 6 0 s in 4 5 10 BC s in 6 0 5 6 (海里 ) s in 4 5 B
解斜三角形的主要理论依据是什么？
谢谢
再见！
解三角形问题是三角学的基本问题之一。什我国古代很早就有测量方面的知识，公元解三角形的方法在度量工件、测量距离和高么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， “测量”。最初的理解是解三角形的计算，后的记载，公元三世纪，我国数学家刘徽在计在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就形的方法。两部分内容的一门数学分学科。已经取得了某些特殊角的正弦……
练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S 在船的北偏东200, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东650方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）解：AB=16，由正弦定理知：
B S 16 sin20 sin45
可求得BS≈7.7海里。
B
C1
C

D1
D

A1 A
1.52m
B
求A 1B
C1

C
a
D1

A1
D
A
h
例2
曲柄连杆机构
当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作往复直线运动。当曲柄在CB0时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处。设连杆AB长为 340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自 CB0按顺时针方向旋转80度，求活塞移动的距离。

高中数学课时作业15 解三角形的实际应用举例北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题

课时作业(十五)1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC 等于( )A．10°B．50°C．120°D．130°答案 D2．一只船速为23米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为( )A．120°B．90°C．60°D．30°答案 B3．一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距82海里，则灯塔S在B处的( ) A．北偏东75°B．南偏东15°C．北偏东75°或南偏东15°D．以上方位都不对答案 C4．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°，然后朝新方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值是( )A. 3 B．2 3C.3或2 3 D．3答案 C5．一船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 3 h后，该船实际航行为( )A．215 km B．6 kmC.84 km D．8 km答案 B6．有货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时答案 B7.(2015·某某高二检测)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜率15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( ) A.32B. 3C.3－1D.2－1答案 C8．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( ) A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时 D ．2小时答案 B9．河两岸A ，B 两点，现测得BC ＝32米，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________米(结果不要求取近似值)．答案3263解析 AB ＝BC·sinC sinA ＝32·sin45°sin60°＝3263(米)．10．某市全运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A ，B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．答案30解析由题意可知∠BAM＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得ANsin45°＝106sin30°，解得AN ＝203米，在△AMN中，MN＝203×sin60°＝30(米)，故旗杆的高度为30米．11．如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________(千米/分钟)．答案64解析在△BCD中，∠BDC＝30°＋60°＝90°，CD＝1，∠BCD＝45°，∴BC＝ 2.在△ACD中，∠CAD＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°，∴CDsin45°＝ACsin30°，∴AC＝22.在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos60°＝32，∴AB＝62，∴船速为622＝64千米/分钟．12．在山脚A处测得山顶S的仰角为45°，沿倾斜角为15°的该斜坡向上走100 m到B，又测得S 的仰角为75°，求山高SD.解析在△ABS中，∠SAB＝45°－15°＝30°，∠ASB＝30°，∠ABS＝120°，AB＝100 m，由正弦定理，得SA＝100×sin120°sin30°＝1003(m)．在Rt△SAD中，SD＝SA·sin45°＝1003×22＝506(m)．所以山高SD为50 6 m.13. (2015·某某高二检测)如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3) 海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D点需要多长时间．解析由题意知AB＝5(3＋3)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB.所以DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5（3＋3）sin45°sin105°＝5（3＋3）sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝5（3＋3）·2222·12＋22·32＝10 3.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203，在△DBC中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD·BC·cos ∠DBC ＝(103)2＋(203)2－2·103·203·12＝900，所以CD ＝30.又航行速度为30海里/小时，所以该救援船到达D 点需要1小时．14．(2013·某某)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cosA ＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么X 围内？解析 (1)在△ABC 中，因为cosA ＝1213，cosC ＝35，所以sinA ＝513，sinC ＝45.从而sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C) ＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝513×35＋1213×45＝6365. 由AB sinC ＝AC sinB，得 AB ＝AC sinB ×sinC ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由BCsinA＝ACsinB，得BC＝ACsinB×sinA＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得1 25043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[1 25043，62514](单位：m/min)X围内．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．解析方法一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理，得AM＝dsinα2sin（α1＋α2）；第二步：计算AN，由正弦定理，得AN＝dsinβ2sin（β2－β1）；第三步：计算MN.由余弦定理MN ＝AM 2＋AN 2－2AM×AN cos （α1－β1）方法二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d(如图所示)． ②第一步：计算BM.由正弦定理，得BM ＝dsin α1sin （α1＋α2）；第二步：计算BN.由正弦定理，得BN ＝dsin β1sin （β2－β1）；第三步：计算MN.由余弦定理，得MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM×BN cos （β2＋α2）.1．(2013·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asinBcosC ＋csinBcosA ＝12b ，且a>b ，则∠B＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 A解析根据正弦定理，得asinBcosC ＋csinBcosA ＝12b 等价于sinAcosC ＋sinCcosA ＝12，即sin(A ＋C)＝12.又a>b ，∴∠A ＋∠C＝5π6，∴∠B ＝π6.故选A 项．2．(2014·某某)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．答案 2 3解析方法一：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sinB ＝BC sinA ，所以4sinB ＝23sin60°，解得sinB ＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B ＝90°，所以C ＝30°，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12·AC ·BC ·sinC ＝2 3. 方法二：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sinB ＝BC sinA ，所以4sinB ＝23sin60°，解得sinB ＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B ＝90°，所以AB ＝42－（23）2＝2. 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12·AB ·BC ＝2 3.3．设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则角C ＝________．答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，整理，可得a 2＋b 2－c 2＝－ab. ∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3.4．(2014·某某)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B.(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解析 (1)因为A ＝2B ，所以sinA ＝sin2B ＝2sinBcosB. 由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A<π，所以sinA ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sinAcos π4＋cosAsin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.5．(2013·)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A. (1)求cosA 的值； (2)若c 的值．解析 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sinA ＝26sin2A. 所以2sinAcosA sinA ＝263.故cosA ＝63.(2)由(1)知，cosA ＝63，所以sinA ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B＝2∠A，所以cosB ＝2cos 2A －1＝13.所以sinB ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝539.所以c ＝asinCsinA＝5.6．(2013·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cosB －sin(A －B)sinB ＋cos(A ＋C)＝－35，(1)求cosA 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解析 (1)由2cos2A －B 2cosB －sin(A －B)sinB ＋cos(A ＋C)＝－35，得[cos(A －B)＋1]cosB －sin(A －B)sinB －cosB ＝－35，即cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB ＝－35.则cos(A －B ＋B)＝－35，即cosA ＝－35.(2)由cosA ＝－35，0<A<π，得sinA ＝45.由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，所以sinB ＝bsinA a ＝22. 由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB ＝22.7．(2013·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc. (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cosBcosC 的最大值，并指出此时B 的值．解析 (1)由余弦定理，得 cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A<π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sinA ＝12，又由正弦定理及a ＝3，得S ＝12bcsinA ＝12·asinB sinA·asinC ＝3sinBsinC. 因此，S ＋3cosBcosC ＝3(sinBsinC ＋cosBcosC)＝3cos(B －C)．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cosBcosC 取最大值3.8．(2012·新课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acosC ＋3asinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.解析 (1)由acosC ＋3asinC －b －c ＝0及正弦定理，得 sinAcosC ＋3sinAsinC －sinB －sinC ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sinAsinC －cosAsinC －sinC ＝0. 由于sinC ≠0，所以sin(A －π6)＝12. 又0<A<π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bcosA ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.9．(2012·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cosB 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sinAsinC 的值．解析 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cosB ＝12.(2)方法一：由已知b 2＝ac ，及cosB ＝12，根据正弦定理，得sin 2B ＝sinAsinC. 所以sinAsinC ＝1－cos 2B ＝34.方法二：由已知b 2＝ac ，及cosB ＝12，根据余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－ac2ac ，解得a ＝c.所以A ＝C ＝B ＝60°，故sinAsinC ＝34.10．(2013·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC ＋(cosA －3sinA)cosB ＝0. (1)求角B 的大小；word11 / 11 (2)若a ＋c ＝1，求b 的取值X 围．解析 (1)由已知得－cos(A ＋B)＋cosAcosB －3sinAcosB ＝0，即有sinAsinB －3sinAcosB ＝0.因为sinA ≠0，所以sinB －3cosB ＝0.又cosB ≠0，所以tanB ＝ 3.又0<B<π，所以B ＝π3. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2accosB.因为a ＋c ＝1，cosB ＝12，所以b 2＝3(a －12)2＋14. 又0<a<1，于是有14≤b 2<1，即12≤b<1.。

高考调研北师大版数学必修52-3高考调研精讲精练

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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
●思考题 2 有一长为 10 m 的斜坡，倾斜角为 75°，在不
改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改
为 30°，则坡底要延长________m．( )
A．5
B．10
C．10 2
D．10 3
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【解析】如右图，设将坡底加长
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2．如图所示，为了测量隧道口 AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )
A．α，a，b C．a，b，γ
B．α，β，a D．α，β，b
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答：C 由 a，b，γ利用余弦定理可求出 AB.
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§3 解三角形的实际应用举例
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要点 1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角如图．
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要点 2 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α 如图．
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探究 1 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，然后把未知的另外边长转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题．测量长度、距离是解三角形应用题的一种基本题型，在解这类问题时，首先要分析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解．

高中数学必修五-解三角形的实际应用

解三角形的实际应用知识集结知识元解三角形的应用知识讲解1．解三角形【知识点的知识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S △ABC＝ah a ＝bh b＝ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；②S △ABC＝ab sin C ＝bc sin A ＝ac sin B ；③S △ABC ＝2R 2sin A sin B sin C ．（R 为外接圆半径）④S △ABC＝；⑤S △ABC ＝，（s ＝（a +b +c ））；⑥S △ABC ＝r •s ，（r 为△ABC 内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A +B +C ＝π+＝﹣，2A +2B ＝2π﹣2C余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos Ccos A ＝cos B ＝cos C ＝正弦定理＝2RR 为△ABC 的外接圆半径a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin Csin A ＝，sin B ＝，sin C ＝射影定理a cos B +b cos A ＝c a cos C +c cos A ＝b b cos C +c cos B ＝a面积公式①S △＝ah a ＝bh b ＝ch csin A ＝②S△＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sin B＝sin C＝例题精讲解三角形的应用例1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=6，A=，若该三角形有两解，则a的取值范围是（）A．（3，6）B．（0，3）C．（3，6）D．（3，+∞）例2.如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在A点测得公路北侧山顶D的仰角为30°，汽车行驶300m后到达B点测得山顶D在北偏西30°方向上，且仰角为45°，则山的高度CD为（）A．150m B．150m C．300m D．300m例3.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知b=，c=，tan（A+）=2，则a=（）A．15B．C．3D．当堂练习填空题练习1.线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩_h后，两车的距离最小．托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始__解答题练习1.'如图，在△ABC中，A=，在△CDE中，CE=4，BC⊥CD，AC=CD，A，C，E三点共线，DF⊥CE于点F，DF=．（1）若∠DCE=，求DE；（2）求BC的最小值．'练习2.'如图，为了测量河对岸A，B两点的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C．并测量得到以下数据，∠DCA=105°，∠ADC=30°，∠BCE=90°，∠ACB=∠CEB=60°，DC=200米，CE=100米．求A，B两点的距离．'练习3.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B+cos B=1．（1）求角B；（2）若b=，求△ABC周长的取值范围．'练习4.'如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10（km），设地铁在AB部分的总长度为y（km）。

2.3.1.解三角形的实际应用举例

课题: 2.3.1解三角形的实际应用举例编制人：徐海军审核：领导签字：【使用说明】1.请同学们认真阅读课本，划出重要知识，并熟记基础知识，用红颜色笔做好疑难标记。

2.联系课本知识和学过的知识，利用自习时间认真限时完成此训练学案，要特别注意解题的方法和规范性。

3. 根据自身特点选择提升自身能力的侧重点。

4.小组长在课堂上讨论环节发挥引领作用，确保人人达到目标。

【学习目标】知识与技能：了解斜三角形在测量、工程、航海等实际问题中的应用；能选择正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题。

过程与方法：在解三角形的实际问题中，进一步体会数学建模的思想，掌握数学建模的方法。

. 情感态度价值观：体会数学知识来源于实际生活，体会正弦定理、余弦定理在实际生活中的广泛应用.重点：构建数学模型，解决实际问题。

难点：数学建模的过程及解三角形的运算。

一、问题导学 1、正弦定理：2sin sin sin a b c R ABC===2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ；变形：bcac b A 2cos 222-+==2b=2c3、面积公式：在ABC Rt ∆中=S 在一般三角形中=S二、课内探究1、从地平面A ，B ，C 三点测得某山顶的仰角均为 15，设 30=∠BAC ，而BC=200m 。

求山高（结果精确到0.1m ）2、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量。

已知AB=50m,BC=120m ，于A 处测得水深AD=80m ，于B 处测得水深BE=200m ，于C 处测得CF=110m ，求DEF ∠的余弦值。

解：作DM//AC 交BE 于N ，交CF 于M 。

29810170302222=+=+=DM MF DF 130120502222=+=+=ENDNDE.15012090)(2222=+=+-=BCFC BE EF在DEF ∆中，由余弦定理，EFDE DFEFDEDEF ⨯-+=∠2cos 222.6516150130229810150130222=⨯⨯⨯-+=.3、某观测站C 在A 城的南偏西20°的方向.由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31千米正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A 城？解：设∠ACD=α，∠CDB=β. 在△BCD 中，由余弦定理得 cos β=CDBD CBCDBD⋅-+2222=21202312120222⨯⨯-+=-71，则sin β=734,而sin α=sin(β-60°)=sin βcos60°-cos βsin60°=734×21+23×71=1435,在△ACD 中，由正弦定理得︒60sin 21=αsin AD ,∴AD=︒60sin sin 21α=23143521⨯=15(千米).4、如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C 在AB 的延长线上，BC=1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值. 解：POC 中，由余弦定理得PC 2=OP 2+OC 2-2OP ·OCcos θ=5-4cos θ. ∴y=S △OPC +S △PCD =21×1×2sin θ+43(5-4cos θ)=2sin(θ-3π)+435.∴当θ-3π=2π，即θ=65π时，y max =2+435. 所以四边形OPDC 面积的最大值为2+435.三、当堂检测1、在△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，则角B 为（） (A) 30°(B) 60°(C) 90° (D) 120°2、在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C=（）(A) 60° (B) 90°(C) 150°(D) 120°3、在△ABC 中，若sin cos cos sin A B A B =，则△ABC 为（）(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形4、如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C 点，求P 、C 间的距离。

北师大版高中数学必修五3 解三角形的实际应用举例.doc

3 解三角形的实际应用举例（北师大版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共25分）1．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A. 20（ +）海里/时B. 20（﹣）海里/时C. 20（+）海里/时D. 20（-）海里/时2．在山脚A处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为（）A. 200 mB. 300 mC. 400 mD. 100 m3．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（）A. mB. mC. mD. m4．甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A.分钟B.分钟C.21.5分钟D.2.15分钟5．海中有一小岛B，周围3.8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北偏东75°，航行8海里到C，望见岛B在北偏东60°，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险（）A. 有触礁危险B. 不会触礁C. 前两种情况都有可能发生D. 不能判断二、填空题（每小题5分，共20分）6．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为米．7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°.若PB=，则PA的长为 .8.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为 .9.如图，在倾斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的倾斜度为15，向山顶前进100 m后，又从点B测得倾斜度为45，假设建筑物高50 m，设山坡对于地平面的倾斜度为，则cos= .三、解答题（共55分）10．（10分）用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α，β,已知B，D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.11．（10分）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105o方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120o方向的2B处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？12.（12分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD DC，，且拐弯处的转角为120o ．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．13. （13分）在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连接本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示） 14. (10分)如图，为了计算北江岸边两景点B 与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两个测量点，现测得AD CD ⊥，10km,AD =km AB=14 60BDA ︒∠= ，135BCD ︒∠=，求两景点B 与C 的距离（假设,,,A B C D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：1.414, 1.732,2.236===）3 解三角形的实际应用举例答题纸得分：一、选择题二、填空题6． 7． 8． 9．三、解答题 10. 11. 12. 13. 14.3 解三角形的实际应用举例参考答案1．B 解析：由题意知SM =20，∠SNM =105°，∠NMS =45°，∴∠MSN =30°.△MNS 中利用正弦定理可得，20.sin 30sin105MN =︒︒12010,MN ⨯==∴ 货轮航行的速度v =102012= （海里/时）.点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解．2.B 解析：依题意可知AB =BP =600，BC =CP =200，∴ cos 2θ=2223.22BC BP PC BC BP +-=⋅ ∴ 2θ=30°，θ=15°， ∴ PD = PC •sin 60°=2003×32=300 m ，故选 B. 点评：本题主要考查了解三角形中的实际应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力．3．A 解析：依题意可得图象如图所示，从塔顶向山体引一条垂线CM ，则AB =BD ⋅tan 60°，AM =CM ⋅tan 30°，BD = CM ， ∴ AM =tan 30tan 60AB⨯︒︒=，∴ 塔高 CD =200﹣=m ，故选A.点评：本题主要考查构造三角形求解实际问题，属基础题．4．A 解析：假设经过x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至C ，D ，可知BC =10﹣4x ，BD =6x ，∠CBD =120°，CD 2=BC 2+BD 2﹣2BC g BD g cos ∠CBD =（10﹣4x ）2+36x 2-2g （10﹣4x ）g 6x g 12⎛⎫- ⎪⎝⎭=28x 2﹣20x +100，当x =514小时，即1507分钟时距离最小，故选A. 点评：本题主要考查余弦定理的应用，关键在于画出图象．属基础题．5．B 解析：由B 向AC 的延长线作垂线，垂足为D ，依题意可知∠BAC =15°，∠BCD =30°， ∴ ∠ABC =30°﹣15°=15°∴ BC =AC =8，∴ BD =BC sin30°=4＞3.8，故可知无触礁危险，故选B.点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题．6．解：依题意设树干底部为C ，树尖着地处为B ，折断部分为A ，可知∠A =30°，∠C =90°，BC =5，故AC =53,tan 3BC A ==∠510,1sin 2BC AB A ===∠∴ 树干原来的高度为 AC +AB =10+5.点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题． 7．解析：由已知得∠PBC =60°，所以∠PBA =30°. 在△PBA 中，由余弦定理得PA 2=3+-2××cos 30°=,故PA =.8. 1 h 解析:设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30千米，AP ＝x ，在△ABP 中,PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40 cos 45︒,化简得24027000x x -+=，｜x 1－x 2｜2＝（x 1＋x 2）2-4x 1x 2=400,|x 1－x 2｜＝20，即CD ＝20，故 20120CD t v ===. 9. 13- 解析：在△ABC 中，AB = 100 m , ÐCAB = 15°, ÐACB = 45°- 15° = 30°, 由正弦定理得οο15sin 30sin 100BC=，∴ BC = 200sin 15°. 在△DBC 中，CD = 50 m , ÐCBD = 45°, ÐCDB = 90° + θ由正弦定理得)90sin(15sin 20045sin 50θ+=οοοÞcos θ =13-. 10.分析：在Rt △EGA 中求解EG ，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC 中有较多已知条件，故可在△EAC 中考虑EA 边长的求解，而在△EAC 中有角β，∠EAC ＝180°－α两角与AC =BD ＝a 一边，故可以利用正弦定理求解EA .解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α－β，根据正弦定理，得AE ＝a sin βsin （α－β） ,在Rt △AEG 中，EG ＝AE sin α＝a sin αsin βsin （α－β） ,∴ EF ＝EG ＋b ＝a sin αsin βsin （α－β）＋b .答：气球的高度是a sin αsin βsin （α－β）＋b .11．分析：解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用s vt =求出边长,再进行进一步分析.解：如图，连接11A B ，由已知22102A B =，122030210260A A =⨯=， 1222,A A A B ∴=又12218012060A A B =-=o o o∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212102A B A A ∴==.由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=o o o∠，在121A B B △中，由余弦定理得，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-o g g22220(102)2201022=+-⨯⨯⨯200=，12102B B ∴=．因此，乙船的速度的大小为1026030220⨯=（海里/时）．答：乙船每小时航行302海里．12．解法一：设该扇形的半径为r 米. 由题意，得 CD =500（米），DA =300（米），∠CDO =60︒，在CDO ∆中，2222cos 60,CD OD CD OD OC +-︒=gg ，即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯= 解得490044511r =≈（米）. 解法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于H ，由题意，得CD =500（米），AD =300（米），120,CDA ∠=︒∴AC =700（米），22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）.点评：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图;（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解; （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.13. 解：设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB ＝15°，OB ＝vt ，4v AB t ≤⋅. 在△AOB 中，由正弦定理，得sin sin15OB ABOAB =∠o， ∴ 62sin sin1562/4OB vt OAB AB vt -∠=≥⋅=-o而2(62)84384 1.741-=->-⨯>，即sin∠OAB1,∴ 这样的∠OAB 不存在，因此，游击手不能接着球.14. 解：在△ABD 中，设BD =x ，则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222，即ο60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ，整理得：096102=--x x ，解得161=x ，62-=x （舍去），在△BCD 中，由正弦定理，得BCDBDCDB BC ∠=∠sin sin , ∴2830sin 135sin 16=⋅=οοBC ≈11(km). 答：两景点B 与C 的距离约为11 km.。

23解三角形的实际应用举例北师大版必修五

图1
图2
(1)当0≤t≤2时，如图 1，在△ APQ中， AP＝8t，AQ＝20－10t，
∴ PQ＝ AQ2＋AP2－ AP·AQcos 120°＝
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＝ 84t2－240 t＋400＝2 21t2－ 60 t＋ 100.
(2) 当 t>2 时，如图 2，
解如图，∠ OAP＝30°，∠ OBP ＝45°，
∠ AOB＝60°，AB＝ 200 m ，
在△ OAP 中，∵ OP⊥AO，
∴∠ AOP＝90°，则 OOPA＝tan 30°，
∴ OA＝tanO3P0°＝ 3h(m)，同理在△ BOP 中，∠ BOP＝90°，
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定在公路上离恐怖分子最近时将其击毙，问再过多少小时，特警向恐怖分子射击．
[思路分析 ] 根据人物的不同位置，分情况列出相距最近的表达式，利用二次函数求最值的条件即可求所需时间．
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解设开始(kāishǐ)时B地特，警恐在怖分子在A地， t小时(xiǎoshí)后两人到达(Qd，àoPdá两) 地，特警到达A地需 2小时，分别画出示意图．
(2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线 (如图所示 )．
想一想：用三角形知识解决高度，角度问题的关键是什么？提示关键是将要解的问题归结到一个或几个三角形中，通过
合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后求解．
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名师(mínɡ shī)点睛
千米？