苏教版数学高二学案练习24_三次函数

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版高中数学第二章平面向量24第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版

第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，，ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3axybxy).＝＝((，)，，梳理若向量2112ab＝·数量积____________________________向量垂直平面向量的模知识点二ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．1→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211梳理向量的模及两点间的距离→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221类型一平面向量数量积的坐标运算abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1a的坐标；求(1)ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－2此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2→→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2)利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围．向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3→→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关反思与感悟于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．→→→OCtOCBCABxOyA，－－1)，在平面直角坐标系若中，已知((1,4)，)⊥(－2,3)，，(2跟踪训练3t________.则实数＝baba的夹角为，－2)，则________1．已知与＝(3，－1)，．＝(1????1331→→??ABCBABC＝，________.2．已知向量＝＝，则∠，????2222mnmnmn)，则λ－2,2)，若(＋＝)⊥(________. 3．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋abab a·b b＝____________. ＝5|＝14．已知平面向量，且，，若，则向量＝(4，－3)，|ab＝(－1,2)＝(4,3)，．5．已知ab的夹角的余弦值；与(1)求abab)，求实数λ(的值．－λ )⊥(2＋(2)若1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．a x，(若可以对比学习、注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，3．二者不能混淆，记忆．＝1 4 yb xy ab xyxy ab xxyy＝－＝0，⊥＋?0.，则，，)＝()∥?221112112224．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．5答案精析问题导学知识点一jjiiij 0. ＝1×1×cos 0＝1·，思考1 ·＝＝1×1×cos 0＝1，·jyxaxiyjbi ＝，＋＋＝，思考2 ∵221122yyjyyjxxxyjxiyjxixyxyabxii . ()·(＋＝＋＋)∴＝··＝(＋)＋＋2121122222121111ybabxxya 0. ?＝·＋思考3 ＝⊥0?2112yxxy ＋梳理2112yabxxy 0⊥＋?＝2211 知识点二yxiyjxa ＋，∈∵，＝R ，思考122222222jiyyjxyxaxiyji ·jxixyi ·j . )＋＋((＝)∴2＝(＋2＋＋)＝22i ·jji 1，0＝1，又∵，＝＝222222yaxyxa ＝|＋＋＝∴，∴|，22yax .∴||＋＝→→→yyyOAxyxxABOBx －，，)－(，，思考2 ∵)＝＝(－)－＝(11221221→22yxABxy.－|＋－＝∴|1212题型探究ba λλ)(>0)＝λ，＝(λ，21 例解 (1)设a ·b λ＝10则有，＝λ＋4a ＝(2,4)λ∴＝2，∴．a ·bb ·c 10，＝1×2－2×1＝0，(2)∵＝aab ·c 0)＝0，∴＝(ca ·b ．＝(20，－(10))1)＝10(2，－11 跟踪训练→OA ＝(16,12)例2 解 (1)由，→AB ，＝－12)(－21,3)－＝(－516,15→22OA ＝|20|＝1612＋，得→22AB 152.|－|＝＋3＝ 6→→ABAO ·→→ABOABAO. ＝(2)cos ∠cos ＝， →→ABAO ||||→→→→ABABAOOA 300. ＝－＝－[16×(－其中21,3)··21)＋12×3]＝＝－(16,12)·(－2300OAB .故cos ∠＝＝2220×15OAB ∴∠＝45°.ba ，1)∵，＝(1，－1)，＝(λ 跟踪训练2 解2baab 1. ＝|＝1＋λλ，∴|－|＝2|，·ba 为钝角，又∵的夹角，α ，1<0λ－?? ∴2?，2·1＋λλ≠1－，λ<1?? 即?2＋1≠0.λλ＋2??1. λ≠－<1∴λ且 1,1)．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1 (1)例3 － 7133±211. －(2)或或 2331 －跟踪训练3当堂训练π3 3.－1. 2.30° 434????，－ 4. ??552552 (2)(1)5． 925 720XX —019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。

苏教版高二数学全套学案

苏教版高二数学全套学案1.1 正弦定理学习目标1. 把握正弦定理的内容;2. 把握正弦定理的证明方法;3. 会运用正弦定明白得斜三角形的两类差不多问题.学习过程一、课前预备试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动.摸索：C的大小与它的对边AB的长度之间有如何样的数量关系?明显，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而.能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?二、新课导学※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就第一来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，依照锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又，从而在直角三角形ABC中，.探究2：那么关于任意的三角形，以上关系式是否仍旧成立?可分为锐角三角形和钝角三角形两种情形：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，依照任意角三角函数的定义，有CD= ，则，同理可得，从而.类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍旧成立.请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即试试：(1)在中，一定成立的等式是( ).A. B.C. D.(2)已知△ABC中，a=4，b=8，A=30，则B等于.[明白得定理](1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，;(2) 等价于，，.(3)正弦定理的差不多作用为：①已知三角形的任意两角及其一边能够求其他边，如; .②已知三角形的任意两边与其中一边的对角能够求其他角的正弦值，如; .(4)一样地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形.※典型例题例1. 在中，已知，，cm，解三角形.变式：在中，已知，，cm，解三角形.例2. 在.变式：在.三、总结提升※学习小结1. 正弦定理：2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法.3.应用正弦定明白得三角形：①已知两角和一边;②已知两边和其中一边的对角.※知识拓展，其中为外接圆直径.学习评判※自我评判你完成本节导学案的情形为( ).A. 专门好B. 较好C. 一样D. 较差※当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：1. 在中，若，则是( ).A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形C.直角三角形D.等边三角形2. 已知△ABC中，A∶B∶C=1∶1∶4，则a∶b∶c等于( ).A.1∶1∶4B.1∶1∶2C.1∶1∶D.2∶2∶3. 在△ABC中，若，则与的大小关系为( ).A. B.C. D. 、的大小关系不能确定4. 已知ABC中，，则= .5. 已知ABC中，A ，，则课后作业1. 已知△ABC中，AB=6，A=30，B= ，解此三角形.2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k (k0)，求实数k的取值范畴为.1.2 余弦定理学习目标1. 把握余弦定理的两种表示形式;2. 证明余弦定理的向量方法;3. 运用余弦定明白得决两类差不多的解三角形问题.学习过程一、课前预备我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

苏教版高中学案数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数幂函数、指数函数与对数函数的综合

函数，且 = ( − )在(, +∞)上是增函数，所以()在(, +∞)上是增函数.
∣ + ∣> ,
由( + ) < ()得(| + |) < (||)，所以ቐ∣ ∣> ,
所以
∣ + ∣<∣ ∣,
( + ) > ,
第6章幂函数、指数函数和对数函数
午练23 幂函数、指数函数与对数函数的综合
1
1.当0 < ≤ 时，4 < log ，则实数的取值范围是() B
2
A.(0,
2
2
)B.( , 1)C.(1,
2
2
2)D.( 2, 2)
[解析]易知 < < ，则函数 = 与 = 的图象大致如图所示，只需满足
C.()在定义域内是偶函数D.()的图象关于直线 = 1对称
[解析]由| − | > ，得函数 = | − |的定义域为{| ≠ }.设
− , > ,
() =∣ − ∣= ቊ
则()在(−∞, )上单调递减，在(, +∞)上单调递
或 = .当 = 时，得 = ，解得 = .当 = 时，得 = ，即 = .
所以函数的定义域为[, ]( ≤ )，
所以当 = ， = 时， + 最大为3.
9.已知()是定义在[−2,2]上的奇函数，当 ∈ (0,2]时，() = 2 − 1，函数
1
2
1
4
因为() = log 2 (2 − 4 ) = log 2 [−(2 )2 + 2 ] = log 2 [−(2 − )2 + ]，所以当

苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件第7章三角函数三角函数的图象和性质

由图象可知，满足 ≥

的的取值范围是[ , ]，故选B.

π
π
3.函数() = 4tan( + )的单调递增区间是() A
4
8
5
2
3
2
3
2
5
2
A.(4 − , 4 + )( ∈ )B.(4 − , 4 + )( ∈ )
5
− , 8
2
3
3
5
C.(8
1
2
解由() = 3sin( − ) = ，得sin( − ) = ，
1
所以
2Байду номын сангаас
即 =
π
−
4
5π
6
=
π
6
1
+ 2π或
2
+ 4π或 =
又因为 ∈
13π
6
π
−
4
所以取0，得 =
+ 2π，
+ 4π， ∈ .
π 9π
[ , ]，
2 2
5π
或
6
=
5π
6
=
13π
.
6
,

⋅ csc 2 + tan2 ≥ 15
∈ )均成立，

，

∈ ，则 ∈ (, )，因为

)

(
−

−
= ( − ) −
= − (
+

因为 ≠
) ≤ −

全国高中数学优秀教案三次函数的图象和性质教学设计

“三次函数的图象与性质”教学设计一、教学内容解析：三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。

三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，围绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一大亮点，特别是文科数学。

因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。

但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。

本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。

同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。

基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为：重点：（1）探究系数a,b,c,d 的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律；（2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。

难点：根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。

二、教学目标设置：根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标： 1、知识与能力：①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。

②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。

③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。

2、过程与方法：通过对函数)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，掌握研究函数性质的基本过程和方法。

3、情感态度与价值观：通过直观的图形和抽象的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 习题2.4》

离散型随机变量的分布列（教学设计）教学目标：1知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

2过程与方法：通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力。

3情感、态度与价值观：学会合作探讨，体验成功，提高学生学习数学的兴趣。

教学重点：离散型随机变量的分布列的概念教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列教学过程：一、复习引入：1随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）1．随机变量1随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η…表示．2所有取值可以一一列出的随机变量称为____型随机变量．3随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做_____型随机变量2分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为1，2，…，3，…，ξ取每一个值i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表1)(0≤≤A P 11n i i p ==∑(),0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --===min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈2依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5又ξ＝1＝错误!＝错误!，ξ＝2＝错误!＝错误!，ξ＝3＝错误!＝错误!，ξ＝4＝错误!＝错误!，ξ＝5＝错误!＝错误!【互动探究】1．某次选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为错误!，错误!，错误!，且各轮问题能否正确回答互不影响． 1求该选手被淘汰的概率；2该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望注：本小题结果可用分数表示考点2 超几何分布例2：从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛．1求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率；2设ξ为参加辩论比赛的女生人数，求ξ的分布列及数学期望．解题思路：ξ可能取值为0,1,2,3,4，分别求其对应概率，列表即可求得．解析：1P ＝错误!＝错误!2ξ可能取值为0,1,2,3,4，Pξ＝0＝错误!＝错误!，Pξ＝1＝错误!＝错误!，Pξ＝4＝错误!＝错误!所求的分布列为：∴Eξ＝0×错误!【互动探究】2．2021 年广东广州调研某商店储存的50 个灯泡中，甲厂生产的灯泡占60%，乙厂生产的灯泡占40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是80%1若从这50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡每个灯泡被取出的机会均等，则它是甲厂生产的一等品的概率是多少？2若从这50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡每个灯泡被取出的机会均等，这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ，求Eξ的值．解：1方法一：设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”，事件B表示“灯泡为一等品”，依题意有P A＝，PB|A＝，根据条件概率计算公式得P AB＝P A·PB|A＝×＝方法二：该商店储存的50 个灯泡中是甲厂生产的灯泡有50×60%＝30个，乙厂生产的灯泡有50×40%＝2021其中是甲厂生产的一等品有30×90%＝27个，乙厂生产的一等品有20210%＝16个，故从这50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡，它是甲厂生产的一等品的概率是＝2ξ的取值为0,1,2，Pξ＝2＝错误!＝错误!∴ξ的分布列为：∴Eξ＝0×错误!＋1×考点3 二项分布例3：已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为—，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的．1第一小组做了3 次实验，记该小组实验成功的次数为X，求X 的概率分布列及数学期望；2第二小组进行实验，到成功了4 次为止，求在第4 次成功之前共有 3 次失败的概率解析：1由题意，随机变量X可能取值为0,1,2,3，则X～B错误!，即PX＝0＝C错误!·错误!3＝错误!，PX＝1＝C错误!·错误!1·错误!2＝错误!，PX＝2＝C错误!·错误!2·错误!1＝错误!，PX＝3＝C错误!·错误!3＝错误!∴X的概率分布列为：∴X的数学期望EX＝02第二小组第7次实验成功，前面6次实验中有3次失败，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为P＝C错误!·错误!3·错误!3·错误!＝错误!判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．【互动探究】3．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖1求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；2求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ解：1设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P A＝PB＝PC＝错误!P A·\to B·\to C＝P AP\to BP\to C＝错误!·错误!2＝错误!2ξ的可能值为0,1,2,3，Pξ＝＝C错误!错误!错误!3－＝0,1,2,3．所以中奖人数ξ的分布列为：Eξ＝0×错误!＋1×课堂小结：求一随机变量的分布列，可按下面的步骤进行：1明确随机变量的取值范围；2求出每一个随机变量的取值所对应的概率；3制成表格．通常会用到排列组合，古典概型，概率乘法公式来解决相关问题．对于常用的两点分布、超几何分布、二项分布要弄清楚基本模型课后作业：。

苏教版高中学案数学必修第一册精品课件分层作业第7章三角函数第2课时正弦函数、余弦函数的性质(一)

2 2
2 2
2
2

[解析]由 ≤ ≤ ，得 ≤ + ≤ ，故− ≤

( +

)

≤

.故选B.

9.函数 =
|sin |(1−sin )
的奇偶性为()
1−sin
D
A.奇函数
B.既是奇函数也是偶函数
C.偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
[解析]由题意知， − ≠ ，即 ≠ ， =
第7章三角函数
7.3 三角函数的图象和性质
7.3.2 三角函数的图象与性质
第2课时正弦函数、余弦函数的性质（一）
A层基础达标练
1.函数 = 2sin − 1的定义域为() B
π
3
A.[2π + , 2π +
C.[2π −
5π
, 2π
6
2π
](
3
−
π
](
6
[解析]因为 − ≥

)

− .

π
1
π
4π + ( ∈
4.函数 = 3cos( − )在 =______________时，取得最得大值.
2
2
4

[解析]当函数取最大值时， − = ( ∈ )，所以 = + ( ∈ ).
π
5π
{| + 2π < <

− + ≤ ≤ + ， ∈ .故()的定义域为[− + , + ](

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.3 导数在研究函数中的应用》8

三次函数图像与性质教学重点：三次函数的图像与性质。

教学难点：利用数形结合的思想，根据特殊的三次函数图像，探究出三次函数的一般性质。

教学过程：由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题是高考命题的一个的重点和热点。

课前练习：作出以下函数的草图，写出它们的单调区间和极值点一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数〞〔从函数解析式的结构上命名〕。

定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。

二、三次函数图象与性质1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间。

〔根据两种不同情况进行分类讨论〕2、三次方程根的问题〔1〕当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以方程仅有一个实根。

〔2〕当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。

①假设，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以方程有且只有一个实根。

②假设，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以方程有三个不等实根。

③假设，即与中有且只有一个值为0，所以，方程有三个实根，其中两个相等。

3、极值点问题假设函数f在点0的附近恒有f0≥f 或f0≤f，那么称函数f在点0处取得极大值〔或极小值〕，称点0为极大值点〔或极小值点〕。

当时，三次函数在上的极值点有两个；当时，三次函数在上不存在极值点。

4、最值问题函数假设，且，那么；。

设f=a3b2cda≠0，导数f '=3a22bc，导函数判别式Δ=4〔b2-3ac，当Δ>0时记f '=0的两根为1和2，且15、对称中心。

三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

三、例题分析例1、函数f〔〕=-3a31。

〔Ⅰ〕设a=2，求f〔〕的单调期间；〔Ⅱ〕设f〔〕在区间〔2,3〕中至少有一个极值点，求a的取值范围。

江苏高二数学复习学案+练习4 函数及其表示方法,函数的定义域文

学案4 函数及其表示方法，函数的定义域一、课前准备：【自主梳理】1．函数的三要素：，，。

2．相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备) 3．函数解析式的求法：① 定义法（拼凑）：② ③ ④ 赋值法．4．若{,,}A a b c =，{1,4}B =；问：A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个． 5．函数定义域的求法： ①)()(x g x f y =，则； ②)()(*2N n x f y n ∈=则； ③0)]([x f y =，则； ④)(log )(x g y x f =，则．【自我检测】1．已知函数()f x ax b =+，且(1)4f -=-，(2)5,(0)_________f f ==则．2．设2:f x x →是集合A 到B （不含2）的映射，如果{}1,2A =，则________A B ⋂=．3．函数y =的定义域是．4．函数21log (32)x y x -=-的定义域是．5．函数2log (2)y x =+的定义域是．6．已知()f x 是一次函数，且[()]41f f x x =-，则()f x 的解析式为．二、课堂活动：【例1】填空题：（1）若一次函数f (x )的定义域为[-3，2]，值域为[2，7]，那么f (x )= ．（2）函数y =xx x --224的定义域为．（3）若f (21)1x x x++=(x >0)，则f (x )= ．（4）若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【例2】给出下列两个条件：（1）f (x +1) = x + 2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0) = 3，f (x +2) -f (x ) = 4x + 2．试分别求出f (x )的解析式．【例3】某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括第30天)的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：第t 天4 10 16 22 Q (万股)36302418(1) 根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式； (2) 根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的函数关系式；(3) 用y (万元)表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？课堂小结三、课后作业1．设函数f 1(x )=x 21，f 2(x )=x -1，f 3(x )=x 2，则[]))0072((123f f f = ．2．函数f (x )=)1(log 1|21|2---x 的定义域为．3．若f (x ) =⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ，则f (-1)的值为．4．已知f (2211)11x x x x +-=+-，则f (x )的解析式为． 5．函数f (x ) =xx -132 + lg (3x +1)的定义域是．6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y ) = f (x )+f (y )+2xy (x ，y ∈R )，f (1) = 2，则f (-3) = ．7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出x 1 2 3 f (x )131则f ［g (1)］的值为，满足f ［g (x )］＞g ［f (x )］的x 的值是． 8．已知函数ϕ(x ) = f (x ) + g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（31）=16，ϕ(1) = 8，则ϕ(x ) = ．9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0，(1) 求f [g (2)]和g [f (2)]的值； (2) 求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式．11．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？x 1 2 3 g (x )321四、纠错分析参考答案：一、课前准备：【自主梳理】1．定义域，值域，对应法则；2．定义域，对应法则；3．换元法，待定系数法；4．8，9； 5． ①()0g x ≠②()0f x ≥③()0f x ≠④()0()1()0{f x f x g x >≠>且【自我检测】1．-1 2．{1} 3．[-2，2] 4．2(,1)(1,)3⋃+∞ 5．[3,)+∞ 6．12-213x x -+或二、课堂活动【例1】（1）5-4x x ++或（2）[2,1)(1,0)(0,1)(1,2]--⋃-⋃⋃（3）2111(0)x x x ++>（4）[0，34)【例2】解：（1）令t =x +1，∴t ≥1，x =（t -1）2．则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1，即f (x )=x 2-1，x ∈［1，+∞)．（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ，则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2．∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3，∴f (x )=x 2-x +3．【例3】解：(1)设表示前20天每股的交易价格P (元)与时间t (天)的一次函数关系式为P ＝k 1t ＋m ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 1×0＋m6＝k 1×20＋m，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝15m ＝2，即P ＝15t ＋2；设表示第20天至第30天每股的交易价格P (元)与时间t (天)的一次函数关系式为P ＝k 2t ＋n ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧6＝k 2×20＋n5＝k 2×30＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－110n ＝8，即P ＝－110t ＋8．综上知P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2， 0≤t<20－110t ＋8， 20≤t≤30(t ∈N )．(2)由表知，日交易量Q (万股)与时间t (天)满足一次函数关系式，设Q ＝at ＋b (a 、b 为常数且a ≠0)，将(4，36)与(10，30)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝36，10a ＋b ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝40.所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的函数关系式为Q ＝40－t (0≤t ≤30且t ∈N )．(3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2×40－t ，0≤t<20－110t ＋8×40－t ，20≤t≤30(t ∈N )．即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t 2＋6t ＋80，0≤t<20110t 2－12t ＋320，20≤t≤30(t ∈N )．当0≤t <20时，函数y ＝－15t 2＋6t ＋80的图象的对称轴为直线t ＝15，∴当t ＝15时，y max ＝125；当20≤t ≤30时，函数y ＝110t 2－12t ＋320的图象的对称轴为直线t ＝60，∴该函数在[20，30]上单调递减，即当t ＝20时，y max ＝120．而125>120，∴第15天日交易额最大，最大值为125万元．三、课后作业1．007212． []+∞,33． 3 4． f (x )=212xx+5．（-31，1）6． 6 7． 1， 2 8． 3x +x59．解析：法一：若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c ． ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－42＋b·－4＋c ＝c ，－22＋b·－2＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x≤0，2， x>0.当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2． ∴方程f (x )＝x 有3个解．法二：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．答案：310．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2． (2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x>0，x 2－4x ＋3，x<0.当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2；当－1<x <1时，f (x )<0，故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2．∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x>1或x<－1，3－x 2，－1<x<1.11．解（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为5000036003-=12，所以这时租出了88辆车．（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )=（100-500003)150)(500003----x x x ×50．整理得f (x )=-502x +162x -21 000=-501(x -4 050)2+307 050．所以，当x =4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)=307 050．即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元．版权所有：高考资源网()。

苏教版高中学案数学必修第一册精品课件第7章三角函数第2课时函数y=Asin(ω_φ)的图象与性质

,

15.将正弦曲线 = sin 上的所有的点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变得到曲线
π
1 的图象,再将曲线1 的图象向左平移个单位长度得到曲线2 的图象,曲线2 的图象正
6
好与()的图象重合.
（1）写出函数()的解析式,并求出()的最小正周期与单调递增区间;
解由题可得曲线1 : 1 = sin 2.
= ( −

+ )

= 的图象，故D正确．故选.
π
π
π
π
−
5.已知函数 = sin(2 + )(− < < )的图象关于直线 = 对称,则的值为____.
6
2
2
3

[解析]由题意可得( + ) =

= − + ( ∈ ).因为− <

因为 < < ，所以 < + < ，

所以 + = ，所以 = .

所以 =
+ )，
= sin( + )图象的两条
π
π
12.若函数() = sin( + )( > 0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 ,且该函
6
2
5
π
π
数的图象关于点(0 , 0)成中心对称，0 ∈ [0, ],则0 =_____.

( − )，

，所以

=

，

专题4三次函数的图象及性质备战2018届高三二轮数学(江苏版)精品讲义

专题4三次函数的图象及性质【热身训练】1. 作出下列函数的图象： (1) f (x )＝x 3； (2) g (x )＝x 3－3x ；解析：作图图(1) 图(2)2．已知曲线f (x )＝x 3，则f (x )在点P (1,1)处的切线方程为____________________；过点P (1,1)的f (x )的切线方程为______________________．解析：f (1)＝1，f′(1)＝3，所以f (x )在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2；设切点为(x 0，x 30)，切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，将P (1,1)代入切线方程得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，得x 0＝1或x 0＝－12，所以过点P (1,1)的f (x )的切线方程为y ＝3x －2或y ＝34x ＋14.3．已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋1在x ＝－3时取得极值，则a 的值等于________．解析：f′(x )＝x 2＋ax ，根据题意f′(－3)＝0，解得a ＝3，经检验满足题意，所以a 的值等于3. 4.若函数g (x )＝x 3－3x 在开区间(a,6－a 2)既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是________．【热点追踪】三次函数与二次函数有着非常紧密的联系，在高考中同样占据着非常重要的位置，在近几年的江苏高考中三次函数问题屡次作为压轴题型出现，必须引起广大师生们的重视．熟悉三次函数的模型，掌握其图象及性质，对于解决三次函数的极值最值问题、对称性问题和切线问题等都有着非常重要的作用. （一）三次方程根的个数例1. (1)若13x 3＋12ax 2＋1＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围．(2)已知函数f (x )＝13x 3－ k ＋1 2x 2，g (x )＝13－kx ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．变式1 若13x 3－x 2＋ax －a ＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围．解析：令f (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，则f′(x )＝x 2－2x ＋a .f (x )＝0有一个实数根⇔f′(x )＝0的Δ≤0或者f (x 1)·f (x 2)>0(x 1，x 2是f (x )的极值点)．① f′(x )＝0的Δ≤0⇒a ≥1； ② 由x 1，x 2为f′(x )＝0的两个根，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21－2x 1＋a ＝0⇒x 21＝2x 1－a x 22－2x 2＋a ＝0⇒x 22＝2x 2－a ，(a <1)于是f (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a＝13x 1(2x 1－a )－(2x 1 －a )＋ax 1－a ＝23x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －2x 1＝23(2x 1－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －2x 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －23x 1－23a ，同理可得f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －23x 2－23a ，于是有f (x 1)·f (x 2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －23x 1－23a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －23x 2－23a >0.当a <1时，⎝⎛⎭⎪⎫x 1－a a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a a －1>0⇒x 1x 2－a a －1(x 1＋x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －12>0，又因为x 1，x 2是方程x 2－2x ＋a ＝0的根，所以x 1 ＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，化简可得a (a 2－3a ＋3)>0，解得0<a <1；综上所述，a 的取值范围是[0，＋∞)．变式2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋c －a (a ∈R ，c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)，求c 的值．（二）三次函数的切线例2. 已知函数f (x )＝x 3－3x .(1) 求曲线y ＝f (x )在点M (2,2)处的切线方程；(2) 若过点A (2，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．解析：(1) f′(x )＝3x 2－3，f′(2)＝9，所以y ＝f (x )在点M (2,2)处的切线方程是y ＝9x －16； (2) 设切点为(t ，t 3－3t )，切线方程为y －t 3＋3t ＝ (3t 2－3)(x －t )，将A (2，m )代入切线方程得2t3－6t 2＋6＋m ＝0，令g (t )＝ 2t 3－6t 2＋6＋m ，g ′(t )＝ 6t 2－12t ＝0⇒t 1＝0，t 2＝2，题设中有三条切线等价于g (t )＝0有三个不同实根，故⎩⎪⎨⎪⎧g 0 >0g 2 <0⇒－6<m <2.变式1 设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，其中a >0，若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求a 的取值范围．变式2 已知函数g (x )＝x 3－3x ，过任意一点A (1，n )可作曲线g (x )的几条切线？解析：设切点为(x 0，x 30－3x 0)，切线方程为y －x 30＋3x 0＝(3x 20－3)(x －x 0)，将A (1，n )代入切线方程得2x 30－3x 20＋3＋n ＝0，设h (x )＝2x 3－3x 2＋3＋n ，h ′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，h (x )在(－∞，0)和(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减，h (0)＝n ＋3，h (1)＝n ＋2，按照上面例题的解法，当－3<n <－2时，可作三条切线；当n ＝－2或n ＝－3时，可作两条切线；当n >－2或n <－3时，可作一条切线．（三）三次函数的图象性质例3. (2017·江苏)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1) 求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2) 证明：b 3>3a ；(3) 若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．解析：(1)f′(x )＝ 3x 2＋2ax ＋b 有零点，Δ＝4a 2－12b >0，即a 2> 3b ，又f″(x )＝6x ＋2a ＝0，解得x ＝－a3，根据题意，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 33＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 32＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋1＝0，化简得b ＝29a 2＋3a ，又⎩⎪⎨⎪⎧a >0a 2>3b，所以a >3，即b ＝29a 2＋3a(a >3)；(2)设g (a )＝b 2－3a ＝481a 4－53a ＋9a 2＝181a2(4a 3－27)(a 3－27)，而a >3，故g (a )>0，即b 2>3a ；(3) 设x 1，x 2为f (x )的两个极值点，令f′(x )＝0得x 1x 2＝b 3，x 1＋x 2＝－2a3，法一：f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋x 32＋a (x 21 ＋x 22)＋b (x 1＋x 2)＋2＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＋a [(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋b (x 1＋x 2)＋2 ＝427a 3－23ab ＋2＝427a 3－23a ⎝ ⎛⎭⎪⎫29a 2＋3a ＋2＝0.记f (x )，f′(x )所有极值之和为S (a )，f (x 1)＋f (x 2)＝0，f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝b －a 23，则S (a )＝f (x 1)＋f (x 2)＋f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝b －a 23＝3a －a 29≥－72，而S (a )＝3a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32在a ∈(3，＋∞)上单调递减且S (6)＝－72，故3<a ≤6.法二：下面证明f (x )的图像关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3中心对称，因为对任意x ∈R ，f (－a 3－x )＋f (－a 3＋x )＝[(－a3－x )3＋a (－a3－x )2＋b (－a 3－x )＋1]＋[(－a3＋x )3＋a (－a3＋x )2＋b (－a3＋x )＋1]＝4a 327－2ab 3＋2＝2f (－a 3)，所以f (x )的图像关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3中心对称，下同法一．变式1 设函数f (x )＝x (x －1)(x －a ) (其中a >1)有两个不同的极值点x 1，x 2，若不等式f (x 1)＋f (x 2)≤0成立，求a 的取值范围．＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a 应用此结论，得到如下解法：f (x 1)＋f (x 2)≤0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤0, 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 3≤0, 即a ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13－1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13－a ≤0.解得a ≥2. 变式2 已知函数f (x ) ＝x 3－6x 2＋9x －a 有三个不同的零点，且他们构成等差数列，则a ＝________. 解析：要使f (x )有三个零点且构成等差数列，则必有f (x )的对称中心在x 轴，即f (2)＝0，解得a ＝2.【乘热打铁】1．设直线y ＝－3x ＋b 是曲线y ＝x 3－3x 2的一条切线，则实数b 的值是________．解析：令y ′＝3x 2－6x ＝－3，则x ＝1，此时y ＝－2，将(1，－2)代入y ＝－3x ＋b 得b ＝1. 2．若关于x 的方程x 3＋ax 2＋x ＝0有三个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：即x 2＋ax ＋1＝0有两个相异的非零实根，易得a ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．3．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是________．解析：f′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，所以Δ＝ 4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝4(m 2－6m ＋8)≤0，所以2≤m ≤4.4．设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx ，若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2________0，y 1＋y 2________0(填“>”、“<”或“＝”)．。

高二选修三次函数专题(解析版)

8、三次函数切线问题。
①在 Px0，y0 处的切线求法设点 Px0，y0 为三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 图象上任一点，则在点 P 一定有直线与
y f (x) 的图象相切，且只有一条。 k f (x0 ) 3ax02 2bx0 c ，切线方程为： y y0 (3ax02 2bx0 c)(x x0 )
∵ f (x) x2 x 2 (x 2)(x 1) ，∴当 x (, 1] 时， f (x) 0 ，函数单调递增，
当 x (1, 2] 时， f (x) 0 ，函数单调递减．∴ x 0 时， f (x) 在 x 1 处取得最大值 7 d ， 6
∵ x 0 时， f (x) 1 d 2 2d 恒成立，∴ 7 d 1 d 2 2d ，即 (d 7)(d 1) 0 ，
为零的点（拐点）。
1
由上又可得以下结论：
y f (x) 是可导函数， ① 若 y f (x) 的图象关于点 (m, n) 对称，则 y f '(x) 图象关于直线 x m 对称. ② 若 y f (x) 图象关于直线 x m 对称，则 y f '(x) 图象关于点 (m,0) 对称.
(6ma 2b)x2 (2am3 2bm2 2mc 2d) 2n ，据多项式恒等对应系数相等,可得，
m b 且 n am3 bm2 mc d = f (m) f ( b ) ，
3a
3a
从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是 ( b , f ( b )) . 3a 3a
可见， y f (x) 图象的对称中心在导函数 y f (x) 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导
(2)若 c 6 ,函数 f (x) 的两个极值点为 x1 ， x2 满足 1 x1 1 x2 2 . 设 a2 b2 6a 2b 10 , 试求实数的取值范围.

2019-2020学年高中数学函数及其表示学案苏教版选修2-3.doc

2019-2020学年高中数学函数及其表示学案苏教版选修2-3备考方向：明确考什么？1.了解构成函数的要素，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.知道怎么考？1.考查方式多为填空题．2.函数的表示方法是高考的常考内容，特别是图象法与解析法更是高考的常客．3.分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数值，由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如2010年高考T11，2011年高考T11.基本知识点：1.函数与映射2.函数的基本概念：函数的定义域和值域，函数的三要素.3.如何判断两个函数是否相同？4.函数的表示方法5.分段函数简单应用：1.给出下列五个命题，真命题的是______．①函数是定义域到值域的对应法则；②函数f(x)＝x－4＋1－x；③f(x)＝5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)也等于5；④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；⑤f (x )＝1与g (x )＝x 0表示同一个函数．2.(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A 到B 的映射的有________(填序号)．①集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应法则f ：数轴上的点与它所代表的实数对应; ②集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈R，y ∈R}，对应法则f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合A ＝{x |x 是三角形}，集合B ＝{x |x 是圆}，对应法则f ：每一个三角形都对应它的内切圆；3.(2012·江西高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝_____.4.(教材习题改编)已知函数f (x )＝x ＋2x －6，则f (f (4))＝___；若f (a )＝2，则a ＝____. 5．(教材习题改编)A ＝{x |x 是锐角}，B ＝(0,1)，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是____；与B 中元素32相对应的A 中的元素是．考点探究：考点一：函数与映射的概念例1.判断下列命题：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x 表示同一个函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数； ④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 其中真命题的是________(填序号)．方法总结：1.判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能找到惟一的函数值y 与之对应．2.判断两个函数是否为同一函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．跟踪训练：1．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝x x ，f 2：y ＝1；(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2，f 2：(3)f 1：y ＝2x , f 2：如图所示．考点二：求函数解析式例2(1)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9.求f (x )．思考：若将本例(1)中“f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1”改为“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ”，如何求解？方法总结：求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．跟踪训练：给出下列两个条件：(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．考点三：分段函数求值例3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f x ＋，x <4，则f (2＋log 23)的值为_______．方法总结：解决分段函数求值问题的方法(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值；(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．跟踪训练：1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于____．2.(2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．当堂检测：1.试判断以下各组函数是否表示同一函数：(1)y ＝x －2·x ＋2，y ＝x 2－4；(2)y ＝x ，y ＝3t 3；(3)y ＝|x |，y ＝(x )2. 2.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2，且f (a )＝3，求a 的值．。

江苏省2020届高三数学二轮复习第24讲三次函数的图象和性质 (共49张PPT)

��
��
坐标是二阶导数为零的根.
一、知识梳理
证明：设函数�� = �� + �� + �� + ��(�� ≠ ��)的对称中心为
高三数学二轮复习第24讲
三次函数的图象和性质
〇、引言
有关三次函数 �� = �� + �� + �� + ��(�� ≠ ��)的问题在近几年的数学高考中屡屡出现，利用导数研究三次函数的图象和性质，以及借助数形结合的思想方法解决问题，可以迁移到其他函数的研究中，其研究的过程与方法具有普适性、一般性和有效性．
一、知识梳理
2、性质
此时结合函数图象可知： ��若�� ∙ �� > ��，即函数�� = �� 的极大值和极小值同号，所以函数有且只有一个零点；
(��, ��).将函数的图象进行平移，
则所得函数 �� = �� + �� − �� 是奇函数，所以 �� + �� +
�� −�� + �� − �� = ��

三次函数的图象与性质2024-2025学年高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册

【题型三】三次函数的零点
例3 已知函数 .
（1）讨论的单调性；
解的定义域为，，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，或，，所以在区间上单调递增，在区间，上单调递减，在区间上单调递增．
（2）若有三个零点，求的取值范围.
，则只有一个零点.当时，由，得或；由，得，即在区间，上单调递增，在区间上单调递减，函数在处取得极大值，在处取得极小值，而，要使有三个零点，需使，解得，所以的取值范围是
（2）当时，若函数在区间上的最小值为，求实数的值.
.因为，则由，得，显然，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，而，，则函数在上的最小值为，解得，即实数的值为1．
题后反思求三次函数的极值与最值，先求导函数的零点，再讨论各零点将定义域分成的各个区间的单调性，最后确定极值或最值.
②已知三次函数的对称中心的横坐标为，若存在两个极值点，，则 .
性质四奇偶性
题型分析·能力素养提升
【题型一】三次函数的图象
例1 （多选题）函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断，其中正确的是( )
CD
A. B. C. D.函数在区间上单调递增
[解析] 根据题意，函数，其导数，在区间，上，，单调递增，且，在区间上，，单调递减，且，其简图如图所示.
对于，有其图象全部在轴上和轴上方，对应图象丙;对于，其图象与的图象关于轴对称，对应图象甲;对于，有为偶函数，对应图象丁;对于，其图象与的图象关于原点对称，对应图象乙.故选B．
规律方法研究过点可以作出三次函数的图象的几条切线，本质上是研究方程的根的个数.这一问题的结论如图所示：

高二数学函数复习一苏教版

高二数学函数复习一苏教版一、本周教学内容：函数复习（1）二、本周教学目标：1、了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域、值域．2、在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3、能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；三、本周知识要点：函数的有关概念1. 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）| x ∈A }叫做函数的值域．注意：①如果只给出解析式y＝f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；②函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1．（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的．那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合．（6）指数为零底不可以等于零。

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义．（又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域．）2. 构成函数的三要素：定义域、对应法则和值域再注意：（1）构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关．相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）值域补充（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域．（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础．（3）求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、均值不等式法、单调性法、数形结合法．3. 函数图象知识归纳（1）画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x，y的一些对应值并列表，以（x，y）为坐标在坐标系内描出相应的点P（x，y），最后用平滑的曲线将这些点连接起来．B、图象变换法常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换（2）作用：①直观地看出函数的性质；②利用数形结合的方法分析解题的思路，提高解题的速度．4. 区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．5. 映射一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ”给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A ，b ∈B ．且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象．6. 常用的函数表示法及注意点：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，描点法作图要注意确定函数的定义域；②解析法：必须注明函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；③列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．优点：解析法：便于算出函数值．列表法：便于查出函数值．图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数．在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．补充二：复合函数如果y ＝f （u ），（u ∈M ），u ＝g （x ），（x ∈A ），则 y ＝f[g （x ）]＝F （x ），（x ∈A ）称为f 、g 的复合函数．例如：y ＝2sinx y ＝2cos （x 2＋1）一、函数的概念及解析表达式1、集合A ＝{3，4}，B ＝{5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________．解：从A 到B 可分两步进行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法．由乘法原理，不同的映射种数N 1＝3×3＝9．反之从B 到A ，道理相同，有N 2＝2×2×2＝8种不同映射．2、下列函数组中表示同一函数的有（2）（5）（6）(1),y x y ==，0(2),x y x yx == ，(3)y y == ，(4)y y =，(5)()21,()21f x xg t t =+=+ ，1(0)(6),1(0)x x y y x x >⎧==⎨-<⎩ ， 3、函数y =的定义域为（0，2）4、已知1()1x f x x -=+，（1）若()3,f a a ==则－2 （2）1()()f x f x+= 0 5、已知2,0()(1),0x x f x f x x +<⎧=⎨-≥⎩，(2.5)f = 1.5 6、已知2(1)21f x x -=+，（1）(1)f = 11 （2）()f x 2245x x ++二、函数定义域1、求下列函数的定义域(1)(1)2x y x +=+- (2)y = （1）解：若使函数有意义，则210210x x x ⎧+≠⎪≠⎨⎪-≥⎩解得函数的定义域为(,2)(2,1)(1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞（2）解：若使函数有意义，则220.5430log (43)0x x x x ⎧->⎪⎨-≥⎪⎩ 定义域为13[,0)(,1]44-⋃1. 设集合{|0},,A x x B =>=R 则从集合A 到集合B 的映射f 只可能是（）A.||x y x =→B. x y x 2=→C. x y x 2log =→D. )1(log 2+=→x y x 2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（） A. ||2x y x y ==与 B. 2lg lg 2x y x y ==与C. 23)3)(2(+=--+=x y x x x y 与 D. 10==y x y 与 3. 函数322-+=x x y 在区间[－3，0]上的值域为（）A. [－4，－3]B. [－4，0]C. [－3，0]D. [0，4]4. 若)(x f 的定义域为[1，4]，则)(log 2x f 的定义域为（）A. [0，2]B. [1，4]C. [2，16]D. （0，＋∞）5. 若函数)1(log 221++=ax ax y 的定义域为R ，则a 的取值范围是（）A. （0，4）B. [0，4]C. （0，4）D. [0，4]6. 函数4)1lg()(2-+-=x x x f ，则函数定义域为．7. ①求函数|1||1|13-++-=x x x y 的定义域； ②求函数x x y 21-+=的值域；8. 已知函数x x f x x f x =+-+-)()11()1(，其中1≠x ，求函数解析式． 9. 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ；设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数解析式．[参考答案]1－5CABCD6. [2，＋∞]7. 解：①因为|1||1|-++x x 的函数值一定大于0，且1-x 无论取什么数三次方根一定有意义，故其定义域为R ； ②令t x =-21，0≥t ，)1(212t x -=，原式等于1)1(21)1(2122+--=+-t t t ，故1≤y ． 8. 题示：分别取t x =和11-+=x x x ，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+--=--+-11)11()(12)()11()1(x x x x f t f t x x f x x f t ，联立求解可得结果． 9. 解：显然当P 在AB 上时，PA ＝x ；当P 在BC 上时，PA ＝2)1(1-+x ；当P 在CD 上时，PA ＝2)3(1x -+；当P 在DA 上时，PA ＝x -4，再写成分段函数的形式．。

高中数学24逆变换与逆矩阵242二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版2

2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1．把⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 写成矩阵形式为AZ ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，称为系数矩阵，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，当A 可逆时，方程组有唯一解，当A 不可逆时，方程组无解或有无数组解． 3．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝mzx ＋dy ＝n，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，D x＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪mb nd ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪am cn ，当D ≠0时，方程组有唯一组解，为x ＝D x D ，y ＝D y D .4．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0cx ＋dy ＝0，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，当D ＝0时，此方程组有非零解．5．二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆的充要条件是det(A )≠0且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d det A －b det A－c det Aadet A.[对应学生用书P34]求行列式的值[例1] 求⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值(其中λ∈R )．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值．[精解详析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值为3.(1)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与它的行列式det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的意义是不同的．矩阵A 不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A )是由矩阵A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．1．计算下列行列式的值： (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ＝cos 2θ－(－sin 2θ)＝1. 2．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x 2y 2－1 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪xx y －y ，求x ＋y 的值．解：x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.利用行列式求可逆矩阵的逆矩阵[例2] 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11，判断AB 是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解． [精解详析]AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－31.因det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 3－31＝－1＋9＝8≠0，故AB 可逆，∴(AB)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤18－3838－18.已知矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤abcd，利用行列式求矩阵A的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算det(A)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪abcd＝ad－bc，当det(A)≠0时，逆矩阵存在．(2)利用A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ddet A－bdet A－cdet Aadet A，求出逆矩阵A－1.3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 11 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a0 1；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00 1.解：(1)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 11 1＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12121212.(2)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 a0 1＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －a0 1.(3)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a00 1＝a，当a＝0时，矩阵不可逆，当a≠0时，矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a0 1.4．若矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 96 x2存在逆矩阵，求x的取值范围．解：据题意det(A)≠0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 96 x2≠0.∴3x2－54≠0.∴x≠±3 2.故x 的取值范围是{x |x ∈R 且x ≠±32}.二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法[例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，－x ＋4y ＝3.[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x ＝D xD ，y ＝D y D求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．[精解详析] 法一：(行列式解法)D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －2－1 4＝12－2＝10， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 4＝4＋6＝10，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－13＝9＋1＝10，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD ＝1010＝1y ＝D yD ＝1010＝1.法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. 令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －2－1 4，则其行列式det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵M 存在逆矩阵M －1，且 M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310，这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：(1)将二元一次方程组化成标准形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f .并写成矩阵形式．(2)判定系数矩阵是否可逆，即看⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 是否为零．若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一．(3)若可逆，求逆矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 1－(4)利用矩阵乘法求解：即计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .5．利用行列式解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.解：(1)因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10.所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.(2)先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝－2≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4，所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.含参的齐次线性方程组解的讨论[例4] m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？[思路点拨] 先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解． [精解详析] 二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y x －4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx my ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝mx ，x －4y ＝my ，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m x －2y ＝0，x －4＋m y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－m －2 1 －4＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00. ∴当⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－m －2 1 －4＋m ＝0，即－(3－m )(4＋m )＋2＝0时，方程组有非零解．∴当m ＝－1±412时，方程有非零解．齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即a c ＝b d，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－b a 1.6．齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＝0x －2y ＝0存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解．解：因D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －41 －2＝－4＋4＝0，所以存在非零解．其中一组非零解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋my ＝0，4x －11y ＝0有非零解，求m 的值．解：D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 m4 －11＝－33－4m ，令D ＝0，则得m ＝－334.[对应学生用书P36]1．求下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 32－1 5；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4. 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－15＝3×5－(－1)×2＝15＋2＝17. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4＝28－(－72)＝28＋72＝100.2．已知矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆，求函数f (x )＝ax 2－7x ＋4的最小值．解：∵矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax 13 1x ＝ax ·1x －3×1＝a －3＝0，即a ＝3，∴f (x )＝3x 2－7x ＋4 ＝3(x 2－73x ＋4936)＋4－4936×3＝3(x －76)2－112.∴当x ＝76时，函数f (x )有最小值－112.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，解方程AX ＝B . 解：因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 021＝1≠0，所以A 的逆矩阵存在，且A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3. 4．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.证明：因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因为A －1是唯一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组唯一的解．5．分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝03x ＋4y －6＝0.解：法一：方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x ＋4y ＝6，D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123 4＝4－6＝－2， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 264＝20－12＝8， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 536＝6－15＝－9，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxD＝－4，y ＝D yD ＝92.法二：方程组用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤56.故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡1 234⎦⎥⎤56 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －2－3 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 926．试写出齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，4x ＋6y ＝0，的矩阵形式及该方程组的一组非零解．解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤234 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 346＝2×6－3×4＝0，∴此齐次线性方程组有非零解如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－23就是它的一组非零解．7．当λ为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？解：由题意知二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝λx ，x ＋3y ＝λy ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－λx ＋2y ＝0，x ＋3－λy ＝0.D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ 21 3－λ＝(2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4，当D ＝0即λ＝1或4时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤2213⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解． 8．如果建立如下字母与数字的对应关系abc … yz↔ ↔ ↔ … ↔ ↔ 1 2 3… 25 26并且发送方按可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5321进行加密．(1)若要发出信息work hard ，试写出所要发送的密码； (2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息．解：(1)若要发出信息work hard ，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811，⎣⎢⎡⎦⎥⎤81，⎣⎢⎡⎦⎥⎤184，计算它们在矩阵A对应的变换下的象，可得A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5321⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤160 61， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5321⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 47， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5321⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4317， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤184＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5321⎣⎢⎡⎦⎥⎤18 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102 40，于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40. (2)因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 321＝5×1－2×3＝－1，所以A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A －1对应的变换作用下的象，可得11 / 11 A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15 6， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤315， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤15960＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤15960＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2118， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11043＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤11043＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤195. 于是密码恢复成编码15,6,3,15,21,18,19,5，再根据已知的对应关系，即得到原来的信息of course.。

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