2018-2019学年高中数学北师大版选修2-2同步配套课件：第二章 §3 计算导数

问题 3：利用 f′(x0)可求 f′(1)和
1 f′－2吗？
1 提示：可以．只要令 x0＝1，x0＝－ . 2
问题 4：若 x0 是一变量 x，则 f′(x)还是常量吗？
提示：因 f′(x)＝－2x，说明 f′(x)不是常量，其值随自变 量 x 而改变．

1．导函数 若一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导 fx＋Δx－fx 数值记为 f′(x)：f′(x)＝ li m ，则 f′(x)是关 Δx Δx→0
Δx→0
1 f′－2＝li m Δx→0
Δx→0
1 1 2 －－2＋Δx ＋2－－4＋2
Δx
＝li m (1－Δx)＝1.
问题 2：求 f′(x0)的值．
－x0＋Δx2＋2－－x2 0＋2 提示： f′(x0)＝li m ＝li m (－ Δ x Δx→0 Δx→0 2x0－Δx)＝－2x0.
π 解析：y＝sin2－x＝cos
x，所以 y′＝－sin x.
答案：－sin x
4．若 f(x)＝x2－ex，则 f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝2x－ex，∴f′(－1)＝－2－e－1.
答案：－2－e－1
5．求下列函数的导数： (1)y＝x
2 014
3 3 2 x ；(2)y＝ 3；(3)y＝5 ；(4)y＝ x . x
利用导数公式求导数
[例 2] 求下列函数的导数． (1)y＝x ，(2)y＝ x，(3)y＝log3x，(4)y＝
13
4
1 5 x2
.
[思路点拨] (1)(3)直接套用公式，(2)(4)先将分式、根式转 化为幂的形式，再求解．
[精解详析] 4
(1)y′＝(x13)′＝13x13 1＝13x12；
－
1 1 4 1 3
1 4 1 4 (2)y′＝( x)′＝(x )′＝ x ＝ x ； 4 4 1 (3)y′＝(log3x)′＝ ； xln 3 1 2 (4)y′＝ 5 ′＝(x－ )′ 5 2 x
7 -1 2 -2 2 ＝－ x 5 ＝－ x 5 . 5 5
理解教材 新知
第 二 章
§ 3 计 算 导 数 把握热点 考向
考点一 考点二
考点三
应用创新 演练
§ 3
计算导数
对于函数 y＝－x2＋2. 问题 1：试求
1 f′(1)，f′－2.
－1＋Δx2＋2－－1＋2 提示：f′(1)＝li m Δx Δx→0 ＝li m (－2－Δx)＝－2.
Δx→0
∴f′(3)＝2×3＋5＝11.
[一点通] 利用定义求函数 y＝f(x)的导函数的一般步骤： (1)确定函数 y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； (2)计算 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； (3)当 Δx 趋于 0 时，得到导函数 fx＋Δx－fx f′(x)＝ lim . Δ x → Δx 0
f′(x)为 f(x) 的导函数，简称为______ 导数 ． 于 x 的函数，称____________
2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度) 函数 y＝c (c 是 常数) y＝xα(α 为 实数) y＝ax 导函数 函数 y＝sin x 导函数
0 y′＝___
α－1 αx y′＝______
1．利用导数定义求 f(x)＝1 的导函数，并求 f′(2)，f′(3)．
Δy 解：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝1－1＝0， ＝0. Δx Δy Δx 趋于 0 时， 趋于 0. Δx 所以 f′(x)＝0. 所以有 f′(2)＝0，f′(3)＝0.
2．求函数 y＝ x的导函数．
解：Δy＝ x＋Δx－ x， x＋Δx－ x Δy 1 ＝ ＝ ， Δx Δx x＋Δx＋ x Δy 所以 y′＝ lim ＝ lim Δ x Δx→0 Δx→0 1 1 ＝ . x＋Δx＋ x 2 x
解：(1)y′＝(x2 014)′＝2 014x2 013；
3 － (2)y′＝x3′＝－9x 4；
(3)y′＝(5x)′＝5xln 5； (4)y′＝( 3
2 x )′＝ x
2 3
2 －3 ′ ＝3 x
1
导数的综合应用
[例 3] 点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y＝
cos x y′＝_____
－sin x y＝cos x y′＝______
1 2 y＝tan x cos x y′＝______ 1 － 2 sin x y＝cot x y′＝_______
y′＝_______ axln a 特
ex (a>0， a≠1) 别地(ex)′＝___ 1 y＝loga x y′＝______ xln a 特别 1 (a>0， a≠1) x 地(ln x)′＝____
利用导函数定义求导数
[例 1] 求函数 f(x)＝x2＋5x 在 x＝3 处的导数和它的导函数．
[思路点拨] 先用导函数的定义求 f′(x)，再将 x＝3 代入即 可得 f′(3)．
x＋Δx2＋5x＋Δx－x2＋5x [精解详析] f′(x)＝li m Δx Δx→0 2Δx· x＋Δx2＋5Δx ＝li m Δx Δx→0 ＝li m (2x＋Δx＋5)＝2x＋5.
[一点通] 求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导， 可以简化运算过程、 降低运算难度． 解 题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选 择合适的求导公式．
3．函数
π y＝sin2－x的导数是________．
1．f′(x)是函数 f(x)的导函数，简称导数，它是一个确定的函 数， 是对一个区间而言的； f′(x0)表示的是函数 f(x)在 x＝x0 处的导 数，它是一个确定的值，是函数 f′(x)的一个函数值． 2．对公式 y＝xα 的理解： (1)y＝xα 中，x 为自变量，α 为常数； (2)它的导数等于指数 α 与自变量的(α－1)次幂的乘积，公式对 α∈R 都成立．