第8章_位移法(李廉锟_结构力学) (1)

F l/2 A B EI = 常数 l D l l C
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
第一节 概述
F
B C
B
F
B
B
C
l
l/ 2
l/2
A
l/ 2
l/ 2
三次超静定图示刚架 力 法：三个未知约束力。
位移法：一个未知位移（θB）。
第一节 概述
第八章
第一节 概述
位移法
第二节 等截面直杆的转角位移方程
第三节 位移法的基本未知量和基本结构
第四节 位移法的典型方程及计算步骤
第五节 直接由平衡条件建立位移法基本方程
第六节 对称性的利用
第一节 概述
已有的知识： （1）结构组成分析； （2）静定结构的内力分析和位移计算； （3）超静定结构的内力分析和位移计算 力法。 已解得如下单跨
第二节 等截面直杆的转角位移方程
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移 法的基本结构为以下三种单跨超静定梁:
A
两端固定梁
B
A
B
一端定向支承梁
仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、 材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(8-1) 。 仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(8-1) 。
基本结构：对原结构添加一定数量的附加约束所 得到的没有结点位移(铰结点的角位移除外) 的单跨梁 Z 的组合体。
2
1
q
Z2 Z1 Z1
3
Z2
1
q
Z2 Z1 Z1
Z1
1
Z1
3
Z2
2
2
基本未知量: 结点1的转角Z1和水平线位移Z2。
第三节 位移法的基本未知量和基本结构 2. 基本结构的确定
Z2Z2
1
q
Z2 Z11
B B
F
B
MBA
MBC
于是
Fl 2 B 64 EI
将θB 回代入公式 (8-1) 则各杆的杆端弯矩即可 确定。然后可利用叠加法作出原结构的弯矩图。再 利用平衡条件作出剪力图和轴力图。
第一节 概述
位移法思路： 1、设定某些结点的位移为基本未知量，取 单个杆件作为计算的基本单元； 2、将单个杆件的杆端力用杆端位移表示, 而各杆端位移与其所在结点的位移相协调； 3、由平衡条件求出基本位移未知量，由此 可求出整个结构（所有杆件）内力。
q
M
A
B
A
B

θA
θB
AB
第二节 等截面直杆的转角位移方程
FP
x
1. 先求杆端位移引起的弯矩
取简支梁基本结构
y
11 X 1 12 X 2 1 A 21 X 1 22 X 2 2 B
11 22
l 3EI
12 21
在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间 存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。
位移法：以结点的位移 ( 角位移和线位移）为基 本未知量, 运用结点或截面的平衡条件——建立位移 法方程 —— 求出未知位移 —— 利用位移与内力之间 确定的关系计算相应的内力。
第一节 概述
位移法主要是由于大量高次超静定刚架的出现而 发展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远 比结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。
观察法
结构有1个独立的线位移（Z3），2个独立的结点 角位移（Z1、Z2），共三个位移法的基本未知量。
第三节 位移法的基本未知量和基本结构
对于不易观察的结构用换铰法。
先将原结构的每一个刚结点(包括固定支座)都 变成铰结点，从而得到一个相应的铰结链杆体系。 为保持该体系为几何不变所需增加链杆的最少数目 就是原结构独立的结点线位移的数目。 只需增加一根链杆， 1个独立的线位移
第四节 位移法的典型方程及计算步骤
在基本结构上分别考虑： 1) 荷载引起的附加约束中的反力R1P。 2) 人为给予结点B以转角θB ,由于转角而引起附加 约束的附加反力R11。 由线形系统的叠加原理得到位移法基本体系.
R 1P
B B
FF
C
Z1
R11 =
rZ
11
1
R1 =R11 + R1P
C
B
B
Z1 Z1
l 6 EI
作出 M 1
1 2
、
M2
、
R （略）
AB l
解出
X1
4 EI 2 EI 6 EI A B 2 AB l l l
X2
2 EI 4 EI 6 EI A B 2 AB l l l
第二节 等截面直杆的转角位移方程
2. 荷载等外因引起的弯矩 荷载等外因引起的弯矩成为固端弯矩，同样 F F 可用力法求解，表示 M AB ，M BA 。 由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：
位移法中杆端内力、杆端位移符号规定： (1) 杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或 支座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件 受拉纤维一侧。剪力的规定同前.
(2)杆件转角以顺时针为正,反之为负。杆件两端 在垂直于杆轴方向上的相对线位移ΔAB（侧移）以使 杆件顺时针转动为正,反之为负。
M F
例：确定图a所示连续梁的基本结构。
A A A A B B
B B
C C C C
D D （图a）
DD（图b）
基本结构 基本结构
在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量 及其数目。
第三节 位移法的基本未知量和基本结构
基本未知量，基本结构确定举例
６＋１＝７
第三节 位移法的基本未知量和基本结构
EI
（8-2）
——两端固定等截面直杆的转角位移方程。
第二节 等截面直杆的转角位移方程
MAB A A

F EI
B
B
AB
A
FSAB
l
MBA FS AB
由两端固定等截面 直杆的转角位移方程可 得到其他支撑的转角位 移方程。
杆端剪力的一般为
6i AB ΔAB FSAB ( A B 2 ) FSF AB l l 6i AB ΔAB FSBA ( A B 2 ) FSF BA l l
（8-3）
第二节 等截面直杆的转角位移方程 2、一端固定、一端铰支的等截面直杆
MAB A A FS BA l FS BA
A
F EI
B
AB
令式（8-2）的MBA=0,θB 是θA 和ΔAB的函数，转角 位移方程为
M AB 3i AB A 3i AB M BA 0
ΔAB F M AB l
力法与位移法必须满足的条件： 1. 力的平衡; 位移法的基本假定： （1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变 形和剪切变形的影响。 （2）变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比 是微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保 持不变。 注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为 了减少基本未知量，简化计算。 2. 位移的协调;
第二节 等截面直杆的转角位移方程 1、两端固定的等截面直杆
MAB A F EI

记荷载单独作用引
B
AB
A
A
起的杆端弯矩分别为M F
B
和M
FSAB
AB F BA ，杆端剪力分别
l
MBA FS AB
为F F 和 F F 。 SAB SBA
杆端弯矩的一般公式： ΔAB F M AB 4i AB A 2i AB B 6i AB M AB l ΔAB F M BA 2i AB A 4i AB B 6i AB M BA l
A A
B
B
超静定梁的结果:
第一节 概述
P
力法计算太困难了！ 用力法计算，9 个基本未知量
如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
第一节 概述 一、位移法的提出(Displacement Method)
力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。 力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立 力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。
F
C
Z1
C B
F
C
基本体系
Z1
Z1
A A F单独作用 l/2 l/ 2
+
l
A
M BA
l 4 EI B l 8 l 8
M AB
2 EI B l
（8-1）
第一节 概述
B
B
F
C
B
考虑结点B的平衡条件,由∑MB=0，
有
l
M BA M BC 0
（8-2）
A
l/ 2 l/ 2
将（8-1）代入式（8-2）得
4 EI 4 EI Fl B B 0 l l 8
一、位移法基本未知量的确定
1. 独立的结点角位移和独立的结点线位移
结点角位移基本未知量数目=刚结点的数目。 铰结点处(包括铰支座处的铰结点)的角位移，在 计算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。 注意：在忽略的直杆的轴向变形时，受弯直杆两 端之间的距离保持不变。
第三节 位移法的基本未知量和基本结构 2. 确定独立结点线位移的方法—— 观察 法、换铰法。
第一节 概述
提出问题：
1、单跨超静定梁在杆端发生各种位移、荷 载、温度等因素作用下的内力。(用力法可以求 得) 2、哪些结点的位移作为基本未知量。
3、如何确定基本未知量。
第二节 等截面直杆的转角位移方程