北京市重点中学新初三开学考试数学试题-初二期末数学复习资料-北京历年中考汇编

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2023年北京重点校初二(上)期末数学试卷汇编：全等三角形

2023北京重点校初二（上）期末数学汇编全等三角形一个条件，使得ACB DEF ≌．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是北京密云·八年级统考期末）已知：如图，3．（2023秋·北京通州方法进行测量，其中证明AOB DOC △≌△．二、解答题4．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）如图，A ，D 两点在BC 所在直线同侧，,AB AC BD CD ⊥⊥，垂足分别为A ，D ．AC BD ，的交点为E ，AB DC =．求证：BE CE =．5．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）如图，已知AB AD =，AC AE =，BAD CAE ∠=∠．求证：BC DE =．6．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）已知：如图，BC DE．=7．（2023秋·北京通州·∠DCE=∠A．求证：DE参考答案1．ABC E ∠=∠（答案不唯一）【分析】由AD BE =得到AB DE=，由AC DF ∥得到A FDB ∠=∠，根据两个三角形全等的判定定理可知，要么找到另一组对应角，利用ASA AAS 、判定ACB DEF ≌；要么选择AC DF =，利用SAS 判定ACB DEF ≌，从而得到答案．【详解】解：AD BE =，∴AB DE =，AC DF ∥，∴A FDB ∠=∠，∴根据两个三角形全等的判定定理，分三种情况：①ASA ：取ABC E ∠=∠，在ACD 和DEF 中，A FDB AB DE ABC E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ACB DFE ≌；②AAS ：取C F ∠=∠，在ACD 和DEF 中，A FDBC F AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACB DFE ≌；③SAS ：取AC DF =，在ACD 和DEF 中，AB DE A FDB AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACB DFE ≌；故答案为：ABC E ∠=∠或C F ∠=∠或AC DF =．【点睛】本题考查两个三角形全等的判定定理，读懂题意，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．2．AC AD =（答案不唯一）【分析】根据全等三角形全等的方法判断即可．【详解】解：根据AAS 判定ABC ABD △△≌，可以添加C D ∠=∠，根据ASA 判定ABC ABD △△≌，可以添加ABC ABD ∠=∠，根据SAS 判定ABC ABD △△≌，可以添加AC AD =，故答案为：AC AD =（答案不唯一）．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．3．SAS【分析】利用三角形全等的SAS 定理证明AOB DOC △≌△，根据全等三角形的性质可得CD AB =．【详解】解∶在BOA △和COD △中，OD OA COD BOA OC OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AOB DOC △≌△，∴CD AB =，故答案为∶SAS ．【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的SAS 定理是解题的关键．4．见解析【分析】根据垂直的定义得出A D ∠=∠，再由全等三角形的判定和性质证明即可．【详解】证明：∵,AB AC BD CD ⊥⊥，垂足分别为A ，D ，∴90,90A D ∠=︒∠=︒．∴A D ∠=∠．在ABE 和DCE △中，,,,A D AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE DCE △≌△．∴BE CE =．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 5．见解析【分析】先求出BAC DAE ∠=∠，再利用“边角边”证明ABC 和ADE 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【详解】证明：∵BAD CAE ∠=∠，∴BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SASABC ADE △≌△，∴BC DE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 6．见解析【分析】先证明∠=∠BAC DAE ，再根据SAS 得出BAC DAE ≅，即可证明=BC DE ．【详解】证明：∵BAD CAE ∠=∠，∴=BAD DAC CAE DAC ∠+∠∠+∠，∴∠=∠BAC DAE在BAC △和DAE △中，===AB AD BAC DAE AC AE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BAC DAE ≅()SAS∴=BC DE ．【点睛】本题考查三角形的判定与性质，三角形全等的判定方法有：SSS ASA SAS AAS HL 、、、、，选用合适的判定定理是解题的关键．7．证明见解析【分析】利用角边角证明△CDE ≌△ABC ，即可证明DE =BC ．【详解】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ．又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，∴△CDE ≌△ABC (ASA)．∴DE =BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．。

北京市海淀区2024-2025学年九年级数学第一学期开学统考模拟试题【含答案】

北京市海淀区2024-2025学年九年级数学第一学期开学统考模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）的结果是（）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．±42、（4分）如图，已知数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，过点A 作直线l 垂直于PA ，在l 上取点B ，使1AB =，以点P 为圆心，以PB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（）A ．B 1-C 1D ．13、（4分）数据42.610-⨯用小数表示为()A ．0.0026B ．0.00026C ．0.00026-D ．0.0000264、（4分）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．()222340m x x m -++-=的一个根是0，则m 的值为()A ．2m =±B ．2m =C ．2m =-D ．1m =5、（4分）下列代数式属于分式的是()A ．2xB ．3yC ．1xx -D ．2x+y6、（4分）下列各式中，不是二次根式的是（）A B C ．D ．7、（4分）方程20x x -=的根是（）A ．1x =B ．120x x ==C ．121x x ==D ．10x =，21x =8、（4分）服装店为了解某品牌外套销售情况，对各种码数销量进行统计店主最应关注的统计量是（）A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．众数二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若式子有意义，则x 的取值范围为___________．10、（4分）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝∠EAF ＝60，∠BAE ＝20，则∠CEF ＝________．11、（4分）如图，在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AB=2，则CD 的长为_____.12、（4分）如图，双曲线3(0)y x x =>经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB 'C ，B '点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是_____．13、（4分）若分式2x x x 的值为零，则x=___________。

2024-2025学年北京市重点中学数学九上开学考试试题【含答案】

2024-2025学年北京市重点中学数学九上开学考试试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列运算正确的是（）A ．3±B ．（m 2）3=m 5C ．a 2•a 3=a 5D ．（x+y）2=x 2+y 22、（4分）下列二次根式中，不是最简二次根式的是()A ．B C D ．3、（4分）如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),下列结论错误的是()A ．该班总人数为50B ．步行人数为30C ．乘车人数是骑车人数的2.5倍D ．骑车人数占20%4、（4分）在一个不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球，如果口袋中有5个红球，且摸出红球的概率为13，那么袋中总共球的个数为（）A ．15个B ．12个C ．8个D ．6个5、（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．平行四边形D ．菱形6、（4分）x 的取值范围是（）A ．0x ≥B ．2x ≥-C ．2x <-D ．2x ≠-7、（4分）如图所示，在菱形ABCD 中，已知两条对角线AC ＝24，BD ＝10，则此菱形的边长是（）A ．11B ．13C ．15D ．178、（4分）为筹备班级的元旦联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种零食作民意调查，从而最终决定买什么零食，下列调查数据中最值得关注的是（）A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．标准差二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则αβαβ+-的值是______.10、（4分）如图，菱形ABCD 的周长为16，∠ABC ＝120°，则AC 的长为_______________.11、（4分）菱形有一个内角是120°，其中一条对角线长为9，则菱形的边长为____________.12、（4分）某商场利用“五一”开展促销活动：一次性购买某品牌服装3件，每件仅售80元，如果超过3件，则超过部分可享受8折优惠，顾客所付款y （元）与所购服装()3x x ≥件之间的函数解析式为__________．13、（4分）若1x ，2x 是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则1211x x ⋅=__________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，四边形ABCD 中，45ABC ADC ∠=∠=o ，将BCD ∆绕点C 顺时针旋转一定角度后，点B 的对应点恰好与点A 重合，得到ACE ∆.（1）判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若2AD =，3CD =，试求出四边形ABCD 的对角线BD 的长.15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，边OA ,OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，把正方形OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P 为抛物线2()2y x m m =--++的顶点．（1）当0m =时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当3m =时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m 的取值范围．16、（8分）解方程：2320x -+=（用公式法解）．17、（10分）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，从点C 为圆心，CB 长为半径画弧交线段AC 于点D ，以点A 为圆心AD 长为半径画弧交线段AB 于点E ，连结BD ．(1)若A ABD ∠=∠，求C ∠的度数：(2)设BC a AB b ==，．①请用含a b ，的代数式表示AD 与BE 的长；②AD 与BE 的长能同时是方程22 2 0x ax b +-=的根吗？说明理由．18、（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在y 轴的正半轴上，D 是BC 边上的一点，:5:3OC CD =，6DB =.反比例函数k (0)y k x =≠在第一象限内的图像经过点D ，交AB 于点E ，:1:2AE BE =.(1)求这个反比例函数的表达式，(2)动点P 在矩形OABC 内，且满足25PAO OABC S S ∆=四边形.①若点P 在这个反比例函数的图像上，求点P 的坐标，②若点Q 是平面内一点，使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为____．20、（4分）若21x kx ++是完全平方式，则k 的值是__________.21、（4分）如图，点E 、F 分别是平行四边形ABCD 的两边AD 、DC 的中点.若ABC ∆的周长是30，则DEF ∆的周长是_________.22、（4分）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则CE 与EO 之间的数量关系是_____．23、（4分）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax ，②y=bx ，③y=cx ，将a ，b ，c 从小到大排列并用“＜”连接为_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在▱ABCD 中，点E ，F 在AC 上，且∠ABE=∠CDF ，求证：BE=DF ．25、（10分）数学问题：用边长相等的正三角形、正方形和正六边形能否进行平面图形的镶嵌？问题探究：为了解决上述数学问题，我们采用分类讨论的思想方法去进行探究．探究一：从正三角形、正方形和正六边形中任选一种图形，能否进行平面图形的镶嵌？第一类：选正三角形．因为正三角形的每一个内角是60°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有6个正三角形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形可以进行平面图形的镶嵌．第二类：选正方形．因为正方形的每一个内角是90°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有4个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正方形也可以进行平面图形的镶嵌．第三类：选正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)探究二：从正三角形、正方形和正六边形中任选两种图形，能否进行平面图形的镶嵌？第四类：选正三角形和正方形在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正方形的内角可以拼成个周角．根据题意，可得方程60x+90y＝360整理，得2x+3y＝1．我们可以找到唯一组适合方程的正整数解为32 xy=⎧⎨=⎩.镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着3个正三角形和2个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正方形可以进行平面镶嵌第五类：选正三角形和正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)第六类：选正方形和正六边形，(不写探究过程，只写出结论)探究三：用正三角形、正方形和正六边形三种图形是否可以镶嵌平面？第七类：选正三角形、正方形和正六边形三种图形．(不写探究过程，只写结论)，26、（12分）将正方形ABCD放在如图所示的直角坐标系中,A点的坐标为(4,0),N点的坐标为(3,0)，MN平行于y轴，E是BC的中点，现将纸片折叠，使点C落在MN上，折痕为直线EF.(1)求点G的坐标；(2)求直线EF的解析式；(3)设点P为直线EF上一点，是否存在这样的点P，使以P,F,G的三角形是等腰三角形?若存在，直接写出P点的坐标;若不存在，请说明理由.参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】AB、（m2）3=m6，本选项错误；C、a2•a3=a5，本选项正确；D、（x+y）2=x2+y2+2xy，本选项错误，故选C2、C【解析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断即可．【详解】解：A是最简二次根式，不合题意，故本选项错误；B、是最简二次根式，不合题意，故本选项错误；C=2不是最简二次根式，符合题意，故本选项正确；D故选C．本题考查了最简二次根式的定义，根据定义，最简二次根式必须满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式．3、B【解析】根据乘车人数是25人，而乘车人数所占的比例是50%，即可求得总人数，然后根据百分比的含义即可求得步行的人数，以及骑车人数所占的比例．【详解】A、总人数是：25÷50%=50（人），故A正确；B、步行的人数是：50×30%=15（人），故B错误；C、乘车人数是骑车人数倍数是：50%÷20%=2.5，故C正确；D、骑车人数所占的比例是：1-50%-30%=20%，故D正确．由于该题选择错误的，故选B．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．4、A【解析】根据红球的概率公式列出方程求解即可．【详解】解：根据题意设袋中共有球m个，则513 m所以m=1．故袋中有1个球．故选：A．本题考查了随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m n．5、D【解析】按照轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可.【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键.6、B根据二次根式的双重非负性即可求得.【详解】0，故20x +≥∴2x ≥-故选B.本题考查了二次根式有意义的条件，难度低，属于基础题，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题关键.7、B 【解析】由菱形的性质可得AO=AC=12，BO=BD=5，由勾股定理可求菱形的边长．【详解】如图，∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ，AO=AC=12，BO=BD=5∴AB==13故选B ．本题考查了菱形的性质，利用勾股定理求AB 长是本题的关键．8、C【解析】根据众数的定义即可求解.【详解】根据题意此次调查数据中最值得关注的是众数,此题主要考查众数的特点，解题的关键是熟知众数的定义.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可解答.【详解】解：根据一元二次方程的根与系数关系可得：111b a αβ+=-=-=-，221c a αβ-===-所以可得1(2)1αβαβ+-=---=故答案为1.本题主要考查一元二次方程的根与系数关系，这是一元二次方程的重点知识，必须熟练掌握.10、【解析】设AC 与BD 交于点E ，则∠ABE =60°，根据菱形的周长求出AB 的长度，在RT △ABE 中，求出AE ，继而可得出AC 的长．【详解】解：在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，∴∠ABE =60°，AC ⊥BD ，∵菱形ABCD 的周长为16，∴AB =4，在RT △ABE 中，AE =ABsin ∠ABE =42⨯=，故可得AC =2AE =2⨯.故答案为此题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．11、9或【解析】如图，根据题意得：∠BAC=120°，易得∠ABC=60°，所以△ABC 为等边三角形．如果AC=9，那么AB=9；如果BD=9，由菱形的性质可得边AB 的长．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠ABD=∠CBD ，OA=OC ，OB=OD ，AC ⊥BD ，AB=BC ，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形，如果AC=9，则AB=9，如果BD=9，则∠ABD=30°，OB=92，∴OA=12AB ，在Rt △ABO 中，∠AOB=90°，∴AB 2=OA 2+OB 2，即AB 2=(12AB)2+(92)2，∴AB=3，综上，菱形的边长为9或本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意分类讨论思想的运用.12、644(3)8y x x =+≥【解析】因为所购买的件数x≥3，所以顾客所付款y 分成两部分，一部分是3×80=240，另一部分是（x-3）×80×0.8，让它们相加即可．【详解】解：∵x≥3，∴y=3×80+（x-3）×80×0.8=64x+48（x≥3）．故答案是：644(3)8y x x =+≥.此题主要考查利用一次函数解决实际问题，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．13、12-【解析】根据根与系数的关系可得出122x x =-，将其代入1212111x x x x =中即可求出结论．【详解】解：∵x 1，x2是一元二次方程x 2+x-2=0的两个实数根，∴122x x =-，∴121211112x x x x ==-．故答案为：12-．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）ABC ∆是等腰直角三角形，理由详见解析；（2【解析】（1）利用旋转不变性证明A4BC 是等腰直角三角形.（2）证明ACDE 是等腰直角三角形，再在Rt △ADE 中，求出AE 即可解决问题.【详解】解：（1）ABC ∆是等腰直角三角形.理由：∵BC CA =，∴45CBA CAB ∠=∠=o ，∴90ACB ∠=，∴ACB ∆是等腰直角三角形.（2）如图：由旋转的性质可知：90DCE ACB ∠=∠=o ，3CD CE ==，BD AE =，∴DE =45CDE CED ∠=∠=o ，∵45ADC ∠=o ，∴454590ADE ∠=+=o o o ，∴AE ==∴BD AE ==.本题考查旋转变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型15、（1）好点有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)和(1,1)，共5个；（2）(1,1)，(2,4)和(4,4)；（3）512m -<.【解析】（1）如图1中，当m ＝0时，二次函数的表达式y ＝﹣x 2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可；（2）如图2中，当m ＝3时，二次函数解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题；（3）如图3中，抛物线的顶点P （m ，m +2），推出抛物线的顶点P在直线y ＝x +2上，由点P 在正方形内部，则0＜m ＜2，如图3中，E （2，1），F （2，2），观察图象可知，当点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF 有交点（点F 除外），求出抛物线经过点E 或点F 时Dm 的值，即可判断．【详解】解：（1）当0m ≡时，二次函数的表达式为22y x =-+画出函数图像（图1）图1当0x =时，2y =；当1x =时，1y =∴抛物线经过点(0,2)和(1,1)∴好点有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)和(1,1)，共5个（2）当3m =时，二次函数的表达式为2(3)5y x =--+画出函数图像（图2）图2当1x =时，1y =；当2x =时，4y =；当4x =时，y 4=∴该抛物线上存在好点，坐标分别是(1,1)，(2,4)和(4,4)学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………（3）抛物线顶点P 的坐标为(,2)m m +∴点P 支直线2y x =+上由于点P 在正方形内部，则02m <<如图3，点(2,1)E ，(2,2)F 图3∴当顶点P 支正方形OABC 内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF 有交点（点F除外）当抛物线经过点(2,1)E 时，2(2)21m m --++=解得：15132m -=，25132m +=（舍去）当抛物线经过点(2,2)F 时，2(2)22m m --++=解得：31m =，44m =（舍去）∴当51312m -<时，顶点P 在正方形OABC 内，恰好存在8个好点本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题．16、123636,33==x x 【解析】先求出b 2-4ac 的值，再代入公式求出即可．【详解】解：3x 23x+2=0，∵a=3，c=2，∴△=b 2-4ac=（2-4×3×2=24，∴x=23⨯=3，则12236236,33==x x .本题考查了解一元二次方程—公式法．熟记公式x=42b b c aa -±-是解题的关键．17、（1）60C ∠=°；（2）①AD a =-，=+-BE a b ；②是，理由见解析【解析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC 是等边三角形，即可得到结论；（2）①根据线段的和差即可得到结论；②根据方程的解得定义，判断AD 是方程的解，则当AD=BE 时，同时是方程的解，即可得到结论．【详解】解：（1）∵90ABC ∠=︒，90A C ∴∠+∠=︒，90ABD CBD ∠+∠=︒又A ABD ∠=∠，C CBD∴∠=∠ DC DB ∴= DC BC=DBC ∴∆是等边三角形．60C ∴∠=︒．（2）①∵BC a AB b ==，，AC ∴=AD AC BC a∴=-=又AD AE =，()BE b a a b ∴=--=+-．②∵()()2220a a ab +-=∴线段AD 的长是方程2220x ax b +-=的一个根．若AD 与BE 的长同时是方程2220x ax b +-=的根，则 AD BE =，a a b -=+-243ab b ∴=，0b ≠，34a b ∴=∴当34a b =时，AD 与BE 的长同时是方程2220x ax b +-=的根．本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．18、（1）15y x=；（2）①15(,4)4P ；②12(91);(6,9)Q Q --【解析】（1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ，13n ），点D 的坐标为（m−6，n ），利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m 的值，结合OC ：CD ＝5：3可求出n 值，再将m ，n 的值代入k ＝13mn 中即可求出反比例函数的表达式；（2）由三角形的面积公式、矩形的面积公式结合S △PAO ＝25S 四边形OABC 可求出点P 的纵坐标．①若点P 在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标；②由点A ，B 的坐标及点P 的纵坐标可得出AP≠BP ，进而可得出AB 不能为对角线，设点P 的坐标为（t ，2），分AP ＝AB 和BP ＝AB 两种情况考虑：（i ）当AB ＝AP 时，利用勾股定理可求出t 值，进而可得出点P 1的坐标，结合P 1Q 1的长可求出点Q 1的坐标；（ii ）当BP ＝AB 时，利用勾股定理可求出t 值，进而可得出点P 2的坐标，结合P 2Q 2的长可求出点Q 2的坐标．综上，此题得解．【详解】解：（1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ，13n ），点D 的坐标为（m−6，n ）．∵点D ，E 在反比例函数k(0)y k x=≠的图象上，∴k ＝13mn ＝（m−6）n ，∴m ＝1．∵OC ：CD ＝5：3，∴n ：（m−6）＝5：3，∴n ＝5，∴k ＝13mn ＝13×1×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝15x；（2）∵S △PAO ＝25S 四边形OABC ，∴12OA•y P ＝25OA•OC ，∴y P ＝45OC ＝2．①当y ＝2时，15x＝2，解得：x ＝154，∴若点P 在这个反比例函数的图象上，点P 的坐标为（154，2）．②由（1）可知：点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（1，5），∵y P ＝2，y A ＋y B ＝5，∴y P ≠2A By y +，∴AP≠BP ，∴AB 不能为对角线．设点P 的坐标为（t ，2）．分AP ＝AB 和BP ＝AB 两种情况考虑（如图所示）：（i ）当AB ＝AP 时，（1−t ）2＋（2−0）2＝52，解得：t 1＝6，t 2＝12（舍去），∴点P 1的坐标为（6，2），又∵P 1Q 1＝AB ＝5，∴点Q 1的坐标为（6，1）；（ii ）当BP ＝AB 时，（1−t ）2＋（5−1）2＝52，解得：t 3＝，t 2＝1＋2（舍去），∴点P 2的坐标为（，2）．又∵P 2Q 2＝AB ＝5，∴点Q 2的坐标为（，−1）．综上所述：点Q 的坐标为（6，1）或（，−1）．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、矩形的面积、菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出点B 的横纵坐标；（2）①由点P 的纵坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点P 的坐标；②分AP ＝AB 和BP ＝AB 两种情况，利用勾股定理及菱形的性质求出点Q 的坐标．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】先根据矩形的特点求出BC 的长，再由翻折变换的性质得出△CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF 的长，再在△ABC 中利用勾股定理即可求出AB 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF 是△AEB 翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF ，△CEF 是直角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt △CEF 中，4CF ==设AB=x ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2，即（x+4）2=x 2+82，解得x=1，则AB=1．故答案为：1．本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．20、2±【解析】根据完全平方公式即可求解.【详解】∵21x kx ++是完全平方式，故k=2±此题主要考查完全平方式，解题的关键是熟知完全平方公式的特点.21、15【解析】根据平行四边形与中位线的性质即可求解.【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，ABC ∆的周长是30，∴△ADC 的周长为30，∵点E 、F 分别是平行四边形ABCD 的两边AD 、DC 的中点.∴DE=12AD,DF=12CD ，EF=12AC ，∴则DEF ∆的周长=12×30=15.此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及中位线的性质.22、CE ＝3EO 【解析】根据三角形的中位线得出DE ＝12BC ，DE ∥BC ，根据相似三角形的判定得出△DOE ∽△BOC ，根据相似三角形的性质求出CO ＝2EO 即可．【详解】.解：CE ＝3EO ，理由是：连接DE ，∵在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，∴DE ＝12BC ，DE ∥BC ，∴△DOE ∽△BOC ，∴DE EO BC CO ＝12，∴CO ＝2EO ，∴CE ＝3EO ，故答案为：CE ＝3EO ．.本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质和判定，能求出DE ＝12BC 和△DOE ∽△BOC 是解此题的关键．23、a ＜c ＜b 【解析】根据直线所过象限可得a ＜0，b ＞0，c ＞0，再根据直线陡的情况可判断出b ＞c ，进而得到答案．【详解】根据三个函数图象所在象限可得a ＜0，b ＞0，c ＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b ＞c ．则b＞c＞a，故答案为a＜c＜b．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、证明见解析.【解析】利用ASA即可得证；【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF∴在△ABE和△CDF中，ABE CDFAB CDBAE DCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．考点：1．平行四边形的性质；2．三角形全等的判定与性质．25、详见解析【解析】根据题意列出二元一次方程或三元一次方程，求出方程的正整数解，即可得出答案．【详解】解：第五类：设x个正三角形，y个正六边形，则60x+10y＝360，x+2y＝6，正整数解是22xy=⎧⎨=⎩或41xy=⎧⎨=⎩，即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形（或4个正三角形和1个正六边形）的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；第六类：设x个正方形，y个正六边形，则90x+10y+＝360，3x+4y＝1，此方程没有正整数解，即镶嵌平面时，不能在一个顶点周围围绕着正方形和正六边形的内角拼成一个周角，所以不能用正方形和正六边形进行平面镶嵌；第七类：设x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，则60x+90y +10z ＝360，2x +3y +4z ＝1，正整数解是121x y z=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形、1个正六边的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌．本题考查了平面镶嵌和三元一次方程、二元一次方程的解等知识点，能求出每个方程的正整数解是解此题的关键．26、（1）G 点的坐标为：）；（2）EF；（3）P 1（1，、P 2，，P 3（，2）、P 4（3，【解析】分析：（1）点G 的横坐标与点N 的横坐标相同，易得EM 为BC 的一半减去1，为1，EG=CE=2，利用勾股定理可得MG 的长度，4减MG 的长度即为点G的纵坐标；（2）由△EMG 的各边长可得∠MEG 的度数为60°，进而可求得∠CEF 的度数，利用相应的三角函数可求得CF 长，4减去CF 长即为点F 的纵坐标，设出直线解析式，把E ，F 坐标代入即可求得相应的解析式；（3）以点F 为圆心，FG 为半径画弧，交直线EF 于两点；以点G 为圆心，FG 为半径画弧，交直线EF 于一点；做FG 的垂直平分线交直线EF 于一点，根据线段的长度和与坐标轴的夹角可得相应坐标．详解：（1）易得EM=1，CE=2，∵EG=CE=2，∴∴；G 点的坐标为：（3，）；（2）易得∠MEG 的度数为60°，∵∠CEF=∠FEG ，∴∠CEF=60°，∴，∴，∴点F （0，）．设EF 的解析式为易得点E 的坐标为（2，4），把点E 的坐标代入可得∴EF 的解析式为：y=（3）P 1（1，）、P 2），P 3（-1）、P 4（3，点睛：本题综合考查了折叠问题和相应的三角函数知识，难点是得到关键点的坐标；注意等腰三角形的两边相等有多种不同的情况．。

2023年北京重点校初二(上)期末数学试卷汇编：分式

x−3
∴ 2x + 4 = 0 且 x −3 0 ，
解得： x = −2 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零
且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
4．C
【分析】根据题意得 x − 4 0 ，进行计算即可得．
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9．（2023 秋·北京密云·八年级统考期末）若分式 x −1 的值为 0，则 x 的值为______. x
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参考答案
1．D
【分析】按分式的基本性质，逐项约分化简，即可判断出正确答案．
【详解】解： a6 = a3 a2 ，故 A 选项变形错误，不合题意； a3b b b
a + 3c 的分子、分母中不含公因式，不能化简，故 B 选项变形错误，不合题意；
a
a−3 a2 −9
=
(a
−
a−3
3)(a
+
3)
=
a
1 +
3
a
1 −
3
，故
C
选项变形错误，不合题意；
a2 −9 a2 − 6a +
9
=
(a
+ 3)(a −3) (a − 3)2
=
a a
+ −
3 3
，故
D
选项变形正确，符合题意；
故选 D．
【点睛】本题考查分式的变形，掌握分式的基本性质、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
6．（2023 秋·北京·八年级校联考期末）若 ab 0 ，且 3a + 2b = 0 ，则 2a + b 的值是_________． b

北京市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

北京市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题一、单选题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 2．在ABC V 中，A B C ∠∠∠，，的对边分别是a ，b ，c ，下列条件中，不能．．判定ABC V 是直角三角形的是（）A ．AB ∠∠=︒+90B ．::3:4:5A BC ∠∠∠=C ．::3:4:5a b c =D ． 1a b c ==，3．若3x =是关于x 的方程220x x m --=的一个根，则m 的值是（）A ．15-B ．3-C ．3D ．15 4．若点()0,5M ，()2,5N 在抛物线()223y x m =-+上，则m 的值为（）A ．2B ．1C ．0D ．1-二、填空题5．某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的月平均增长率为x ，根据题意可得方程．三、单选题6．在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后，一定不发生变化的统计量是（） A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差7．如图，在ABC V 中，点E 、D 、F 分别在边AB BC CA 、、上，且DE CA ∥，DF BA P ，下列四个判断中，不正确的是（）A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．如果AD 平分EAF ∠，那么四边形AEDF 是菱形C ．如果AD EF =，那么四边形AEDF 是矩形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是正方形8．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AD AB ，边上的点，AE AF =，且0A E E D <<，过点E 作EH BC ⊥于点H ，过点F 作FG CD ⊥于点G ，EH FG ，交于点D ，连接OB OD BD ，，．设AE a =，ED b =，BD c =，给出下面三个结论：①a b +>②c ；③a b +>．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③四、填空题9x 的取值范围是．10．若点()11,A y -和点()22,B y 在一次函数3y x b =-+的图象上，则1y 2y （用“＞”、“＜”或“＝”连接）．11．已知ABC V 中，D 、E 、F 分别是边AB BC CA 、、的中点，若DEF V 的周长为10，则ABC V 的周长为．12．下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择．13．在平行四边形ABCD 中，5AB =，3BC =，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接CH ．若CH 平分DCB ∠，则DH 的长是．14．已知二次函数()214y x =+-，当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为15．已知二次函数²83y x x =-++，当x m >时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 16．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别在AB AD CD 、、上，31AB AE ==，，DG AE BF EG >=，，BF 与EG 于点P ，连接DP ，则DP 的最小值为．五、解答题17．计算：18．解方程：(1)2280x x+-=；(2)2410x x--=．19．下表给出一个二次函数的一些取值情况：(1)求这个二次函数的解析式；(2)在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(3)根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．21．如图，在ABCDY中，FA AB⊥交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF BC=，连接AC DF，．(1)求证：四边形ACFD是菱形；(2)若5AB=，132DF=，求四边形ACFD的面积．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b k≠0的图象由函数y x=的图象平移得到，且经过点()1,2．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当1x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．23．学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．(1)请在图2中建立平面直角坐标系xOy ，并求出该抛物线的解析式；(2)“技”与“之”的水平距离为2a 米．小明想同时达到如下两个设计效果：① “科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a 的值；若不能实现，请说明理由． 24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2=22y ax mx -+经过点()1,32m -．(1)求a 的值；(2)求抛物线的对称轴(用含m 的式子表示)；(3)点()12,A m y -，()2,B m y -，()32,C m y -在抛物线上． ①若31y y <则m 的取值范围是； ②若23y y <则m 的取值范围是 25．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AD 上的一点（不与A ，D 重合），连接CE ，点B 关于直线CE 的对称点是点F ，连接CF ，DF ，直线CE 与直线DF 交于点P ，连接BF 与直线CE 交于点Q ．(1)依题意补全图形；(2)求CPF ∠的度数；(3)用等式表示线段PC ，PD ，PF 之间的数量关系，并证明．。

北京市第八中学2024-2025学年九上数学开学统考模拟试题【含答案】

北京市第八中学2024-2025学年九上数学开学统考模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是（）A ．13B ．8C ．D ．2、（4分）已知三角形的三边为2、3、4，该三角形的面积为()A ．4B ．4C ．5D ．43、（4分）如图所示,在▱ABCD 中,分别以AB ,AD 为边向外作等边△ABE ,△ADF ,延长CB 交AE 于点G ,点G 在点A ,E 之间,连接CG ,CF ,则下列结论不一定正确的是()A ．△CDF ≌△EBC B ．∠CDF=∠EAF C ．CG ⊥AE D ．△ECF 是等边三角形4、（4分）随着私家车的增加，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上车辆的行驶速度（千米/时）与路上每百米拥有车的数量x （辆）的关系如图所示，当x≥8时，y 与x 成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x 应该满足的范围是（）A ．x ＜32B ．x≤32C ．x ＞32D ．x≥325、（4分）若关于x 的方程()2m 110x mx -+-=是一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．m 1≠.B ．m 1=.C ．m 1≥D ． m 0≠.6、（4分）如图，在同一平面直角坐标系中，函数k y x =与函数1y kx =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7、（4分）在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6cm ，8cm ，则下列结论不正确的是（）A ．斜边长为10cm B ．周长为25cmC ．面积为24cm 2D ．斜边上的中线长为5cm8、（4分）某水果超市从生产基地以4元/千克购进一种水果，在运输和销售过程中有10%的自然损耗.假设不计其他费用，超市要使销售这种水果的利润不低于35%，那么售价至少为（）A ．5.5元/千克B ．5.4元/千克C ．6.2元/千克D ．6元/千克二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）对于实数c ，d ，min{c ，d}表示c ，d 两数中较小的数，如min{3，﹣1}＝﹣1．若关于x 的函数y ＝min{2x 2，a(x ﹣t)2}(x≠0)的图象关于直线x ＝3对称，则a 的取值范围是_____，对应的t 值是______．10、（4分）如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2018BC 和∠A 2018CD 的平分线交于点A 2019，得∠A 2019，则∠A 2019＝_____°．11、（4分）如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG 、BG 、BD 、DG ，下列结论：①BC =DF ，②∠DGF=135o ；③BG ⊥DG ，④若3AD=4AB ，则4S △BDG =25S △DGF ；正确的是____________（只填番号）．12、（4分）如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点P 是AB 的中点，PO ＝2，则菱形ABCD 的周长是_________.13、（4分）将5个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，O 1，O 2，O 3，O 4，O 5是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，一架5米长的梯子AB 斜靠在一面墙上，梯子底端B 到墙底的垂直距离BC 为3米．（1）求这个梯子的顶端A 到地面的距离AC 的值；（2）如果梯子的顶端A 沿墙AC 竖直下滑1米到点D 处，求梯子的底端B 在水平方向滑动了多少米？15、（8分）已知，直线12y x =-与双曲线ky x =交于点(),2A m ，点B .（1）求反比例函数k y x =的表达式；（2）根据图象直接写出不等式12k x x ->的解集.（3）将直线12y x =-沿y 轴向下平移后，分别与x 轴，y 轴交于点C ，点D ，当四边形ABDC 为平行四边形时，求直线CD 的表达式.16、（8分）+1）-1）+.17、（10分）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边上的点，∠AEF=90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）如图①，当点E 是BC 边上任一点（不与点B 、C 重合）时，求证：AE=EF ．（2）如图②当点E 是BC 边的延长线上一点时，（1）中的结论还成立吗？（填成立或者不成立）．（3）当点E 是BC 边上任一点（不与点B 、C 重合）时，若已知AE=EF ，那么∠AEF 的度数是否发生变化？证明你的结论．18、（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt ABC ∆的三个顶点(2,2)A -，(0,5)B ，(0,2)C ．(1)将ABC ∆以点C 为旋转中心旋转180︒，得到△11A B C ，请画出△11A B C 的图形；(2)平移ABC ∆，使点A 的对应点2A 坐标为(2,6)--，请画出平移后对应的△222A B C 的图形；(3)若将△11A B C 绕某一点旋转180︒可得到△222A B C ，请直接写出旋转中心的坐标．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，P 是反比例函数6(0)y x x =>图象上的一点，PA x ⊥轴于A ，点B ，C 在y 轴上，四边形PABC 是平行四边形，则▱PABC 的面积是______．20、（4分）如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP BC 的长为_______．21、（4分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是对角线BD 上一点，连接AE ，将DE 绕D 点逆时针方向旋转90︒到DF ，连接BF ，交DC 于点G ，若3DG =，2CG =，则线段AE 的长为___________．22、（4分）若方程x 2﹣x ＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则x 2﹣x 1＝______．23、（4分）如图，在□ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，点E 为AB 边上的中点，OE=2.5cm ，则AD=________cm 。

北京市重点中学新初三入学开学考试数学试题-初二下学期-含详细解析

初二下学期数学练习-历年中考试题汇编一、选择题1.正五边形的外角和为()A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°2.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是()A. 14B. 13C. 12D. 233.如果m+n=1，那么代数式(2m+nm2−mn +1m)⋅(m2−n2)的值为()A. −3B. −1C. 1D. 34.如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为(0,0)，表示广安门的点的坐标为(−6,−3)时，则表示左安门的点的坐标为(5,−6)；②当表示天安门的点的坐标为(0,0)，表示广安门的点的坐标为(−12,−6)时，则表示左安门的点的坐标为(10,−12)；③当表示天安门的点的坐标为(1,1)，表示广安门的点的坐标为(−11,−5)时，则表示左安门的点的坐标为(11,−11)；④当表示天安门的点的坐标为(1.5,1.5)，表示广安门的点的坐标为(−16.5,−7.5)时，则表示左安门的点的坐标为(16.5,−16.5)．其中正确结论的序号是()5.下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．2011−2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图。

(以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告(2017)》)。

根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是()A. 与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B. 2011−2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C. 2011−2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元D. 2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多6.小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y(单位：m)与跑步时间t(单位：s)的对应关系如图2所示．下列叙述正确的是()A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C. 小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程D. 小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次7.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．其中合理的是()A. ①B. ②C. ①②D. ①③8.在1−7月份，某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是()A. 3月份B. 4月份C. 5月份D. 6月份9.为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量(单位：m3)，绘制了统计图．如图所示，下面四个推断合理的是()①年用水量不超过180m3的该市居民家庭按第一档水价交费；②年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费；③该市居民家庭年用水量的中位数在150−180之间；A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④10.用三个不等式a>b，ab>0，1a <1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 311.某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5～25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20～30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是()A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④12.如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴//m，y轴//n，点A的坐标为(−4,2)，点B的坐标为(2,−4)，则坐标原点为()A. O 1B. O 2C. O 3D. O 4二、填空题（本大题共16小题，共37.0分）13. 若代数式1x−7有意义，则实数x 的取值范围是______．14. 已知关于x 的方程x 2+2x +k =0有两个相等的实数根，则k 的值是______． 15. 写出一个比√2大且比√15小的整数______．16. 如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为：S △ABC ______S △ABD (填“>”，“=”或“<”)．17. 小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s 02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，−4，9，−5，记这组新数据的方差为s 12，则s 12______s 02(填“>”，“=”或”<”)18. 从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分钟)的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路 30≤t ≤35 35<t ≤40 40<t ≤45 45<t ≤50合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500 早高峰期间，乘坐_____(填“A ”，“B ”或“C ”)线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 可以看作是△OCD 经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD 得到△AOB 的过程：______．20.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上(不与点B，C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是______(写出一个即可)．21.如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．22.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=______°(点A，B，P是网格线交点)．23.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．24.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．25.2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第___________．26.某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩(百分制)如下：甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807040整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：(说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70−79分为生产技能良好，60−69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格)得出结论：a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为_____；b.可以推断出_____部门员工的生产技能水平较27.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P.(如图1)求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2①在直线l上任取两点A，B；②分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是______．28.某公园划船项目收费标准如下：船型两人船(限乘两人)四人船(限乘四人)六人船(限乘六人)八人船(限乘八人)每船租金(元/小时)90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为______元．三、解答题（本大题共22小题，共128.0分）29.已知5x2−x−1=0，求代数式(3x+2)(3x−2)+x(x−2)的值．30.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1,2)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．31.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量(单位：千克)，相关信息如下：a.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b.小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为______(结果取整数)；(2)已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的______倍(结果保留小数点后一位)；(3)记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s32.直接写出s12，s22，s32的大小关系．32.在△ABC中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE.过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b，求EF的长(用含a，b的式子表示)；(2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．33.下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ//l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C(不与点A重合)，作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：∵AB=______，CB=______，∴PQ//l(______)(填推理的依据)．34.如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(−6,0)的直线l1与直线l2：y=2x相交于点B(m,4)．(1)求直线l1的表达式；(2)过动点P(n,0)且垂于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．35.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．36.关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．37.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=√5，BD=2，求OE的长．38.某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a.A课程成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)：b.A课程成绩在70≤x<80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.578.579 79 79 79.5c.A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m的值；(2)在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是______(填“A“或“B“)，理由是______，(3)假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．39.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．40.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD//BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．41.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．42.在等边△ABC中，(1)如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；(2)点P，Q是BC边上的两个动点(不与点B，C重合)，点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可)．43.小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i=1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(i+1)天背诵第二遍，第(i+3)天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i=1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：(1)填入x3补全上表；(2)若x1=4，x2=3，x3=4，则x4的所有可能取值为______；(3)7天后，小云背诵的诗词最多为______首．44.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A、B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．(1)求证：GF=GC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．45.在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点(与点B、C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．(1)若∠PAC=α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)．(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．46.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．(1)求证：BM=MN；(2)∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．47.在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=−k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=−k交于点C．(1)求直线l与y轴的交点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界)为W．①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．48.已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．(1)依题意补全图1；(2)求证：∠OMP=∠OPN；(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．49.对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d(M,N)．已知点A(−2,6)，B(−2,−2)，C(6,−2)．(1)求d(点O，△ABC)；(2)记函数y=kx(−1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.若d(G,△ABC)=1，直接写出k的取值范围；(3)⊙T的圆心为T(t,0)，半径为1.若d(⊙T,△ABC)=1，直接写出t的取值范围．50.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1,y1)，点Q的坐标为(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．(1)已知点A的坐标为(1,0)，①若点B的坐标为(3,1)，求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；(2)⊙O的半径为√2，点M的坐标为(m,3)，若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．根据多边形的外角和等于360°，即可求解．本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．2.【答案】C【解析】解：列表如下：由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，所以两次记录的数字之和为3的概率为24=12，故选：C．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3.【答案】D【解析】【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式=2m+n+m−nm(m−n)⋅(m+n)(m−n)=3m⋅(m+n)(m−n)当m+n=1时，原式=3．故选D．4.【答案】D【解析】解：①当表示天安门的点的坐标为(0,0)，表示广安门的点的坐标为(−6,−3)时，则每格表示的长度为1个单位长度，即表示左安门的点的坐标为(5,−6)，此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为(0,0)，表示广安门的点的坐标为(−12,−6)时，则每格表示的长度为2个单位长度，即表示左安门的点的坐标为(10,−12)，此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为(1,1)，表示广安门的点的坐标为(−11,−5)时，则每格表示的长度为2个单位长度，即表示左安门的点的坐标为(11,−11)，此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为(1.5,1.5)，表示广安门的点的坐标为(−16.5,−7.5)时，则每格表示的长度为3个单位长度，即表示左安门的点的坐标为(16.5,−16.5)，此结论正确．故选D．由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标即可判断．本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及单位长度．5.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．【解答】解：A、由折线统计图可得：与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长，正确，不合题意；B、由折线统计图可得：2011−2014年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长，故此选项错误，符合题意；C、2011−2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值为：(3632.5+4003.0+4436.5+4803.6+4718.7+4554.4)÷6≈4358，故超过4200亿美元，正确，不合题意，D、∵4554.4÷1368.2≈3.33，∴2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多，正确，不合题意；故选：B．【解析】【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s跑过的路程小同，根据速度=路程时间于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；根据速度=路程时间根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故C错误；小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知2次，故D正确；故选：D．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义．根据已知图和各个推断的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618.故②正确，若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误，故选：B．8.【答案】B故选B．根据图象中的信息即可得到结论．本题考查了折线统计图，正确把握图中的信息，理解利润=售价−进价是解题的关键．9.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了频数分布直方图以及中位数和平均数的定义，正确利用频数分布直方图获取信息是解题关键.利用频数分布直方图结合中位数和平均数的定义分别分析得出答案．【解答】解：①由频数分布直方图可得：年用水量不超过180m3的该市居民家庭一共有(0.25+0.75+1.5+1.0+0.5)=4(万)，45×100%=80%，故年用水量不超过180m3的该市居民家庭按第一档水价交费，符合题意；②∵年用水量超过240m3的该市居民家庭有(0.15+0.15+0.05)=0.35(万)，∴0.355×100%=7%≠5%，故此选项不符合题意；③∵5万个数据的中位数是第25000和25001的平均数，∴该市居民家庭年用水量的中位数在90−150之间，故此选项不符合题意；④∵(0.25×45+0.75×75+1.5×105+1.0×135+0.5×165+0.4×195+0.25×225+0.15×255+0.15×285+0.05×315)÷5=134.7(m3)<180(m3)，∴该市居民家庭年用水量的平均数不超过180，符合题意，故选B．10.【答案】D【解析】解：①若a>b，ab>0，则1a <1b，真命题；②若ab>0，1a <1b，则a>b，真命题；③若a>b，1a <1b，则ab>0，真命题；∴组成真命题的个数为3个；故选：D．由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①(24.5×97+25.5×103)÷200=25.015，一定在24.5～25.5之间，正确；②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15，60，51，62，12，则中位数在20～30之间，故②正确．③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t<10的人数在大于等于0小于等于15之间，当人数为0时中位数在20～30之间；当人数为15时，中位数在20～30之间，故③正确．④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为大于等于0小于等于15，35，15，18，1，当0≤t<10时间段人数为0时，中位数在10～20之间；当0≤t<10时间段人数为15时，中位数在10～20之间，故④错误．故选：C．12.【答案】A【解析】解：如图所示，在平面直角坐标系中，画出点A(−4,2)，点B(2,−4)，点A，B关于直线y=x对称，则原点在线段AB的垂直平分线上(在线段AB的右侧)，如图所示，连接AB，作AB的垂直平分线，则线段AB上方的点O1为坐标原点．故选：A．先根据点A、B的坐标求得直线AB在坐标平面内的位置，即可得出原点的位置．本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握关于直线y=x对称的点的坐标特征：点(a,b)关于直线y=x对称的点的坐标为(b,a)．13.【答案】x≠7【解析】解：若代数式1有意义，x−7则x−7≠0，解得：x≠7．故答案为：x≠7．直接利用分式有意义的条件分析得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．14.【答案】1【解析】解：∵关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，∴△=22−4×1×k=0，解得：k=1．故答案为：1．根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．15.【答案】2或3(答案不唯一)【解析】解：∵1<√2<2，3<√15<4，∴比√2大且比√15小的整数2或3(答案不唯一)．故答案为：2或3(答案不唯一)．先估算出√2和√15的大小，再找出符合条件的整数即可．本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出√2和√15的大小是解答此题的关键．16.【答案】=【解析】解：∵S△ABC=12×2×4=4，S△ABD=2×5−12×5×1−12×1×3−12×2×2=4，∴S△ABC=S△ABD，故答案为：=．分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．17.【答案】=【解析】【分析】本题考查方差性质，基础题根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【解答】解：根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变。

2023年北京重点校初二(上)期末数学试卷汇编：实数和二次根式章节综合

7．
【分析】先利用二次根式乘法法则运算，再进行二次根式的化简最后合并即可得解．
【详解】解：原式= ，
= ，
=
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能够结合题目的特征，灵活运用二次根式性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2023北京重点校初二（上）期末数学汇编
实数和二次根式章节综合
一、单选题
1．（2023秋·北京通州·八级统考期末）下列二次根式中，最简二次根式是（）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）若，则的值为______．
3．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）比较大小： ______ （填“ ”，“ ”或“ ”）
4．x＞1
【分析】根据被开方式大于零列式解答即可.
【详解】解：由题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故答案为x＞1．
【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
4．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）代数式有意义，则x的取值范围是__．
三、解答题
5．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）计算：
6．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）计算：．
7．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）计算：．
参考答案
1．D
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
5．4

北京市各区2024年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………北京市各区2024年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列运算中正确的是（）A ．27·3767=B ．()24423233333===C ．3313939===D ．155315151÷⨯=÷=2、（4分）分别顺次连接①平行四边形②矩形③菱形④对角线相等的四边形，各边中点所构成的四边形中，为菱形的是（）A ．②④B ．①②③C ．②D ．①④3、（4分）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、BC 边上，△AEF 是等边三角形，则∠AED ＝（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°4、（4分）关于x 的不等式21x a -- 的解集如图所示，则a 的取值是()A ．0B ．3-C ．2-D ．1-5、（4分）据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x 分钟后，水龙头滴出y 毫升的水，请写出y 与x 之间的函数关系式是（）A ．y=0.05x B ．y=5x C ．y=100x D ．y=0.05x+1006、（4分）已知P 1（1，y 1），P 2（2，y 2）是正比例函数y =－2x 图象上的两个点，则y 1、y 2的大小关系是（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1≥y 27、（4分）菱形ABCD 对角线交于O 点，E ，F 分别是AD 、CD 的中点，连结EF ，若EF=3，OB=4，则菱形面积（）A ．24B ．20C ．12D ．68、（4分）代数式x 取值范围是（）A ．1x 2>B ．1x 2≥C ．1x 2<D ．1x 2≠二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）分解因式：4－m 2＝_____．10、（4分）已知菱形两条对角线的长分别为4和6，则菱形的边长为______.11、（4分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是．12、（4分）已知一个函数的图象与反比例函数2y x =的图象关于y 轴对称，则这个函数的表达式是__________．13、（4分）学校开展的“争做最美中学生”的一次演讲比赛中，编号分别为1，2，3，4，5的五位同学最后成绩如下表所示：那么这五位同学演讲成绩的众数是_____，中位数是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转对称都可以得到△OBD ．（1）△AOC 沿x 轴向右平移得到△OBD ，则平移的距离是个单位长度；△AOC 与△OBD 关于直线对称，则对称轴是；△AOC 绕原点O 顺时针旋转得到△OBD ，则旋转角可以是度；（2）连接AD ，交OC 于点E ，求∠AEO 的度数.15、（8分）在小正方形组成的15×15的网格中，四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的位置如图所示．(1)现把四边形ABCD 绕D 点按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A 1B 1C 1D 1，(1)若四边形ABCD 平移后，与四边形A′B′C′D′成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A 1B 1C 1D 1．16、（8分）如图，已知E ，F 分别是▱ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF求证：四边形AECF 是平行四边形．17、（10分）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆车上至少要有1名教师．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．甲种客车乙种客车载客量/（人/量）4530租金/（元/辆）400280（1）填空：要保证师生都有车坐，汽车总数不能小于______；若要每辆车上至少有1名教师，汽车总数不能大于______．综合起来可知汽车总数为_________．（2）请给出最节省费用的租车方案．18、（10分）如图，在△ABC 中，∠CAB 的平分线AD 与BC 垂直平分线DE 交于点D ，DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC ，交AC 的延长线于点N ，求证：BM=CN ．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图所示，小明从坡角为30°的斜坡的山底（A ）到山顶（B ）共走了100米，则山坡的高度BC 为_____米．20、（4分）铁路部门规定旅客免费携行李箱的长宽高之和不超过160cm ，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为20cm ，长与宽之比为3:2，则该行李箱宽度的最大值是_______.21、（4分）=____．22、（4分）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________．23、（4分）正比例函数y ＝mx 经过点P （m ，9），y 随x 的增大而减小，则m ＝__．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在平面直角坐示系xOy 中，直线7y kx =+与直线2y x =-交于点A(3，m).(1)求k ，m 的値；(2)己知点P(n ，n)，过点P 作垂直于y 轴的直线与直线2y x =-交于点M ，过点P 作垂直于x 轴的直线与直线7y kx =+交于点N(P 与N 不重合).若PN≤2PM ，结合图象，求n 的取值范围.25、（10分）作平行四边形ABCD 的高CE ，B 是AE 的中点，如图．（1）小琴说：如果连接DB ，则DB ⊥AE ，对吗？说明理由．（2）如果BE ：CE ＝1：，BC ＝3cm ，求AB ．26、（12分）如图，已知一次函数y 1＝ax+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点D 、C ，与反比例函数y 2＝x k 的图象交于A 、B 两点，且点A 的坐标是（1，3）、点B 的坐标是（3，m ）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求C 、D 两点的坐标，并求△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出：当x 在什么取值范围时，y 1＞y 2？参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B 【解析】根据二次根式的乘除法则求出每个式子的值，再判断即可．【详解】解:A.67=⨯=＝42，故本选项不符合题意；B.()23===，故本选项，符合题意；C.===3，故本选项不符合题意；D.÷==3，故本选项不符合题意；故选：B ．本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除法则，能灵活运用二次根式的乘除法则进行计算是解题关键．2、A 【解析】根据菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，只要保证四边形的对角线相等即可．【详解】∵连接任意四边形的四边中点都是平行四边形，∴对角线相等的四边形有：②④，故选：A ．本题主要利用菱形的四条边都相等及连接任意四边形的四边中点都是平行四边形来解决．3、D【解析】由题意可证△ABF ≌△ADE ，可得∠BAF=∠DAE=15°，可求∠AED=75°．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠B=∠C=∠D=∠DAB=90°，∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF ，∠EAF=60°，∵AD=AB ，AF=AE ，∴△ABF ≌△ADE （HL ），∴∠BAF=∠DAE==15°，∴∠AED=75°，故选D ．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，熟练运用这些性质和判定解决问题是本题的关键．4、D 【解析】首先根据不等式的性质，解出x ≤12a -，由数轴可知，x≤-1，所以12a -=-1，解出即可；【详解】解：不等式21x a -≤-，解得x<12a -，由数轴可知1x <-，所以112a -=-，解得1a =-；故选：D ．本题主要考查了不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5、B【解析】试题分析：每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则x 分钟可滴100×0.05x 毫升，据此即可求解．因此，y=100×0.05x ，即y=5x．故选B．考点：函数关系式．6、B【解析】由y=－1x中k=－1＜0，可知y随x的增大而减小，再结合1＜1即可得出y1、y1的大小关系．【详解】解：∵正比例函数y=－1x中，k=－1＜0，∴y随x增大而减小，∵1＜1，∴y1＞y1．故选：B．本题考查了正比例函数的图象与性质，注意：y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．7、A【解析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，所以可得菱形的面积等于12倍的对角线的乘积.【详解】解：根据E，F分别是AD、CD的中点，EF=3可得AC=6,OB=4可得BD=8所以菱形ABCD的面积为：16824 2⨯⨯=故选A.本题主要考查菱形对角线的性质，关键在于菱形的对角线平分且垂直.8、A【解析】解：根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须121012 210122xxxx x⎧≥⎪-≥⎧⎪⇒⇒>⎨⎨-≠⎩⎪≠⎪⎩．故选A．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（2＋m）（2−m）【解析】原式利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式＝（2＋m）（2−m），故答案为：（2＋m）（2−m）．此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【解析】根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长．【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，所以对角线的一半为2和3，=．此题主要考查菱形的基本性质：菱形的对角线互相垂直平分，综合利用了勾股定理的内容．11、24【解析】∵小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴口袋中白色球的个数很可能是（1-15%-45%）×60=24个．12、2yx-=【解析】直接根据平面直角坐标系中，关于y轴对称的特点得出答案．【详解】解：∵反比例函数2yx=的图象关于y轴对称的函数x互为相反数，y不变，∴22 yx x ==--，故答案为：2 yx =-．本题考查反比例函数与几何变换，掌握关于y轴对称时，y不变，x互为相反数是解题关键．13、86,1【解析】根据众数和中位数的定义求解可得．【详解】由表可知，这6为同学的成绩分别为：86、86、1、93、96，则众数为86，中位数为1，故答案为：86，1．此题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）2；y轴；120（2）90°【解析】（1）由点A的坐标为（-2，0），根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD，则△AOC与△BOD关于y轴对称；根据等边三角形的性质得∠AOC=∠BOD=60°，则∠AOD=120°，根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB；（2）根据旋转的性质得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以OE为等腰△AOD的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD，则∠AEO=90°．【详解】（1）∵点A的坐标为（-2，0），∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；∴△AOC与△BOD关于y轴对称；∵△AOC为等边三角形，∴∠AOC=∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴△AOC 绕原点O 顺时针旋转120°得到△DOB ．（2）如图，∵等边△AOC 绕原点O 顺时针旋转120°得到△DOB ，∴OA=OD ，∵∠AOC=∠BOD=60°，∴∠DOC=60°，即OE 为等腰△AOD 的顶角的平分线，∴OE 垂直平分AD ，∴∠AEO=90°．15、（1）图略（1）向右平移10个单位，再向下平移一个单位．（答案不唯一）【解析】（1）D 不变，以D 为旋转中心，顺时针旋转90°得到关键点A ，C ，B 的对应点即可；（1）最简单的是以C′D′的为对称轴得到的图形，应看先向右平移几个单位，向下平移几个单位．16、证明见解析．【解析】首先由已知证明AF ∥EC ，BE=DF ，推出四边形AECF 是平行四边形．【详解】解：∵□ABCD ，∴AD=BC ，AD ∥BC ，又∵BE=DF ，∴AF=CE ，∴四边形AECF 为平行四边形．此题考查的知识点是平行四边形的判定和性质，解题的关键是运用平行四边形的性质推出结论．17、（1）6，6，6；（2）租乙种客车2辆，甲种客车4辆.【解析】（1）根据师生总人数240人，以及所需租车数=人数÷载客量算出载客量最大的车所需辆数即可得租车总数最小值，再结合每辆车至少有一名老师即可租车数量最大值；（2）设租乙种客车x 辆，根据师生总数240人以及总费用2300元即可列出关于x 的不等式组，从而得出x 范围，之后进一步求出租车方案即可.【详解】（1）∵()2346455+÷=（辆）……15（人），∴为保证师生都有车坐，汽车总数不能小于6辆；又∵每辆车上至少有1名教师，共有6名教师，∴租车总数不可大于6，故答案为：6,6,6；（2）设租乙种客车x 辆，则：()30456240x x +-≥,且()28040062300x x +-≤，∴526x ≤≤，∵x 是整数，∴1x =，或2x =，设租车费用为y 元，则()2804006202400y x x =+-=-+，∴当2x =时，y 最小，且2160y =，故租乙种客车2辆，甲种客车4辆时，所需费用最低.本题主要考查了一元一次不等式组在方案问题中的实际运用，熟练掌握相关概念是解题关键.18、见解析【解析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN ，DB=DC ，根据HL 证明△DMB ≌△DNC ，即可得出BM=CN ．【详解】证明：连接BD ，∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，∵DE 垂直平分线BC ，∴DB=DC ，在Rt △DMB 和Rt △DNC 中，DB DC DM DN =⎧⎨=⎩∴Rt △DMB ≌Rt △DNC （HL ），∴BM=CN ．本题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】直接利用坡角的定义以及结合直角三角中30°所对的边与斜边的关系得出答案．【详解】由题意可得：AB ＝100m ，∠A ＝30°，则BC ＝12AB ＝1（m ）．故答案为：1．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出BC 与AB 的数量关系是解题关键．20、56cm【解析】设长为3x ，宽为2x ，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm ，可得出不等式，解出即可．【详解】解：设长为3x ，宽为2x ，由题意，得：5x+20≤160，解得：x ≤28，故行李箱宽度的最大值是28×2=56cm ．故答案为：56cm ．本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系，建立不等式．21、4【解析】根据二次根式的性质化简即可.【详解】原式.故答案为：4.(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩是解答本题的关键.22、内错角相等,两直线平行【解析】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线索截，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，可简说成“内错角相等，两直线平行”．23、－1【解析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．【详解】解：把x=m ，y=9代入y=mx 中，可得：m=±1，因为y 的值随x 值的增大而减小，所以m=-1，故答案为-1．本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx（k≠0）的图象为直线，当k＞0时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y值随x 的增大而减小．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)k=-2；(2)n的取值范围为:713n≤＜或71133n≤＜【解析】（1）把A点坐标代入y=x-2中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入y=kx+7中，求得k的值；（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得PM、PN的值，根据PN≤2PM，列出n的不等式，再求得结果．【详解】(1)∵直线y=kx+7与直线y=x-2交于点A(3，m)，∴m=3k+3，m=1.∴k=-2.(2)∵点P(n，n)，过点P作垂宜于y轴的直线与直线y=x-2交于点M，∴M(n+2，n).∴PM=2.∴PN≤2PM，∴PN≤4.∵过点P作垂直于x轴的直线与直线y=kx+7交于点N，k=-2，∴N(n，-2n+7).∴PN=|3n-7|.当PN=4时，如图，即|3n-7|=4，∴n=l 或n=113∵P 与N 不重合，∴|3n-7|≠0.∴73n ≠当PN≤4(即PN≤2PM)吋，n 的取值范围为:713n ≤＜或71133n ≤＜本题是一次函数图象的相交与平行的问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，第（2）小题关键是用n 的代数式表示PM 与PN 的长度．25、（1）BD ⊥AE ，理由见解析；（2cm ）．【解析】（1）直接利用平行四边形的性质得出BD ∥CE ，进而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出BE 的长，进而得出答案．【详解】解：（1）对，理由：∵ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB 且CD ＝AB ．又B 是AE 的中点，∴CD ∥BE 且CD ＝BE ．∴BD ∥CE ，∵CE ⊥AE ，∴BD ⊥AE ；（2）设BE ＝x ，则CE x ，在Rt △BEC 中：x 2+x ）2＝9，解得：x 故AB ＝BE cm ）．此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确应用平行四边形的性质是解题关键．26、（1）y 1＝3x ，y 1＝﹣x +4；（1）4；（3）当x 满足1＜x ＜3、x ＜2时，则y 1＞y 1．【解析】（1）把点A （1，3）代入y 1＝x k ，求出k ，得到反比例函数的解析式；再把B （3，m ）代入反比例函数的解析式，求出m ，得到点B 的坐标，把A 、B 两点的坐标代入y 1=ax+b ，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（1）把x=2代入一次函数解析式，求出y 1=4，得到C 点的坐标，把y 1=2代入一次函数解析式，求出x=4，得到D 点坐标，再根据S △AOB =S △AOD -S △BOD ，列式计算即可；（3）找出一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可．【详解】解：（1）把点A （1，3）代入y 1＝x k ，则3＝1k ，即k ＝3，故反比例函数的解析式为：y1＝3 x．把点B的坐标是（3，m）代入y1＝3x，得：m＝33＝1，∴点B的坐标是（3，1）．把A（1，3），B（3，1）代入y1＝ax+b，得a b331a b+=⎧⎨+=⎩，解得a14b=-⎧⎨=⎩，故一次函数的解析式为：y1＝﹣x+4；（1）令x＝2，则y1＝4；令y1＝2，则x＝4，∴C（2，4），D（4，2），∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝12×4×3﹣12×4×1＝4；（3）由图像可知x＜2、1＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，故满足y1＞y1条件的自变量的取值范围：1＜x＜3、x＜2．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．利用了数形结合思想．。

2023年北京重点校初二(上)期末数学试卷汇编：多边形及其内角和

2023北京重点校初二（上）期末数学汇编多边形及其内角和一、单选题1．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x 的值为（）A ．135︒B ．120︒C ．112.5︒D ．112︒2．（2023秋·北京·八年级校联考期末）一个n 边形的每个外角都是45︒，则这个n 边形的内角和是（） A ．1260︒ B ．1080︒ C ．900︒ D ．720︒3．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）若一个多边形的内角和是1800︒，则这个多边形的边数是（） A ．5 B ．8 C ．10 D ．124．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）正六边形的外角和为（）A ．180°B ．360°C ．720°D ．1080°5．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）正五边形的外角和为（）A ．720︒B ．540︒C ．360︒D ．180︒6．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）若一个多边形的内角和等于1800︒，这个多边形的边数是（）A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题7．（2023秋·北京·八年级校联考期末）如图，在ABC 中，75A ∠=︒，剪去A ∠后得到四边形BCDE ，则12∠+∠=_________︒．参考答案【详解】解：正五边形的外角和是360︒．故选：C ．【点睛】考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关． 6．D【分析】n 边形的内角和可以表示成（n -2）•180°，设这个正多边形的边数是n ，就得到方程，从而求出边数．【详解】解：设这个多边形是n 边形，根据题意得：（n -2）×180=1800，解得：n =12．∴这个多边形是12边形．故选：D ．【点睛】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n -2）×180°．7．255【分析】根据题意可得出B C ∠+∠，再根据四边形的内角和定理可求出12∠+∠．【详解】解：75A ∠=︒，105B C ∴∠+∠=︒，12360B C ∠+∠+∠+∠=︒，12255∴∠+∠=︒，故答案为：255 ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，三角形的内角和等于180︒，掌握相关定理是解题的关键．。

北京市重点中学新初三开学考试数学试题-初二期末数学复习资料-北京各区期末汇编

初二期末数学复习资料-各区期末汇编一、选择题（本大题共12小题，共35.0分）1.在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y=|x|−3的图象上的“好点”共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图，矩形ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，AB=2，AD=4，动点P沿EC，CD，DF的路线由点E运动到点F，则△PAB的面积s是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是()A. B.C. D.3.如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF=30°.设DE=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的()A. 线段ECB. 线段AEC. 线段EFD. 线段BF4.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为(12,13)，则点C的坐标是()A. (0,−5)B. (0,−6)C. (0,−7)D. (0,−8)5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角(0°<α<180°)至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于()A. 150°B. 90°C. 30°D. 60°6.某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下砝码的质050100150200250300400500量x/g指针位置2345677.57.57.5 y/cm则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()A. B.C. D.7.如图1，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于()A. 25B. 20C. 12D. 8√38.如图，点E为平行四边形ABCD边上的一个动点，并沿A→B→C→D的路径移动到点D停止，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是()A. B.C. D.9.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC，BD相交于点O.添加下列条件中的一个，若可推出该四边形是平行四边形．则添加的条件可以是()①AD//BC，②AB=CD，③AD=BC，④∠ADC=∠ABC，⑤BO=DO，⑥∠DBA=∠CAB．A. ①②③⑤B. ①②④⑤C. ①②④⑥D. ①③④⑥10.小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如图两个统计图．根据图中信息，有下面四个推断：①这5期的集训共有56天；②小明5次测试的平均成绩是11.68秒；③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．所有合理推断的序号是()A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④11.图①是一个边长为(m+n)的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是()A. (m+n)2−(m−n)2=4mnB. (m+n)2−(m2+n2)=2mnC. (m−n)2+2mn=m2+n2D. (m+n)(m−n)=m2−n212.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是()A. B. C.D.二、填空题（本大题共9小题，共24.0分）x+b的图象交于点P下面有四13.如图，已知正比例函数y1=ax与一次函数y2=−12个结论：①a>0；②b<0；③当x<0时，y1<0；④当x>2时，y1<y2．其中正确的序号是______x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，将14.如图，直线y=32线段AD沿x轴向右平移4个单位长度得到线段BC，若直线y=kx−4与四边形ABCD有两个交点，则k的取值范围是______．15.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10,8)，则点E的坐标为______．16.如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(1,0)，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3= 60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4=60°…按此规律进行下去，则点A2020的坐标为______．17.如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且BC，连接OE.下列结论：∠ADC=60°，AB=12①∠CAD=30°②S▱ABCD=AB⋅AC③OB=ABBC④OE=14成立的有______ (把所有正确结论的序号都填在横线上)18.已知：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业．甲：①以点C为圆心，AB长为半径作弧；②以点A为圆心，BC长为半径作弧；③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．(如图1)乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．(如图2)老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢______的作法，他的作图依据是：______．19.下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．小明的作法如下：AC同样长为半径作弧，两弧交做法：如图2，(1)分别以点A、C为圆心，大于12于点E、F；(2)作直线EF，直线EF交AC于点O；(3)作射线BO，在BO上截取OD，使得OD=OB；(4)连接AD，CD．∴四边形ABCD就是所求作的矩形．老师说，“小明的作法正确．”请回答，小明作图的依据是：______．20.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+ S3+S4=______．21.在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上的一个动点(与点A，D不重合)，连接EO并延长，交BC于点F，连接BE，DF.下列说法：①对于任意的点E，四边形BEDF都是平行四边形；②当∠ABC>90°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是矩形；③当AB<AD时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是菱形；④当∠ADB=45°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是正方形．所有正确说法的序号是______．三、解答题（本大题共25小题，共166.0分）22.如图，在△ABD中，AB=AD，将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C.E是BD上一点，且BE>DE，连结CE并延长交AD于F，连结AE．(1)依题意补全图形；(2)判断∠DFC与∠BAE的大小关系并加以证明；(3)若∠BAD=120°，AB=2，取AD的中点G，连结EG，求EA+EG的最小值．23.如图，AB//CD，AB=5cm，AC=4cm，线段AC上有一动点E，连接BE，ED，∠BED=∠A=60°，设A，E两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm，小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．(1)列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x00.51 1.52 2.3 2.5 2.8 3.2 3.5 3.6 3.8 3.9/cmy00.390.75 1.07 1.33 1.45______ 1.53 1.42 1.17 1.030.630.35/km请你补全表格；保留两位小数(2)描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数y关于x的图象；(3)请根据函数图象说出函数的一条性质．x+m的图象与x轴、y轴分别交于24.如图，函数y=−13点A，B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为3．(1)求点A的坐标；(2)在x轴上有一动点P(a,0).过点P作x轴的垂线，分x+m和y=x的图象于点C、D，若别交函数y=−13DC=3CP，求a的值．25.利用勾股定理可以在数轴上画出表示√20的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：第一步：(计算)尝试满足√20=√a2+b2，使其中a，b都为正整数，你取的正整数a=______，b=______；第二步：(画长为√20的线段)以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF=90°，则斜边OF的长即为√20．请在下面的数轴上画图：(第二步不要求尺规作图，不要求写画法)第三步：(画表示√20的点)在下面的数轴上画出表示√20的点M，并描述第三步的画图步骤：______．26.如图，直线l1的解析表达式为y=−3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1，l2交于点C．(1)求点D的坐标；(2)求直线l2的解析式；(3)求△ADC的面积；(4)在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP是△ADC的面积的2倍，求点P的坐标．27.有这样一个问题：探究函数y=|x+1|的图象与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数y=|x+l|的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)函数y=|x+1|的自变量x的取值范围是______；x…−5−4−3−2−10123…y…432m01234…的值为；(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(4)小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：①函数有最小值为0；②当x>−1时，y随x的增大而增大；③图象关于过点(−1,0)且垂直于x轴的直线对称．小明得出的结论中正确的是______.(只填序号)28.如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．(1)求证：四边形BECD是矩形；(2)连接AC，若AD=8，CD=4，求AC的长．29.如图，在△ABP中，∠ABP=60°，90°<∠APB<120°，过点A的直线l垂直于线段BP所在的直线．设点B，P关于直线l的对称点分别为点B′，P′(1)在图1中画出△ABP关于直线l对称的三角形△AB′P′．(2)若∠BAP=α，求∠AP′B的度数．(用α表示)(3)若点P′关于直线AB′的对称点为M，连接AM，PM.请写出PA、PM之间的数量关系和位置关系，并证明你的结论．30.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l的表达式为y=2x−6，点A，B的坐标分别为(1,0)，(0,2)，直线AB与直线l相交于点P．(1)求直线AB的表达式；(2)求点P的坐标；(3)若直线l上存在一点C，使得△APC的面积是△APO的面积的2倍，直接写出点C的坐标．31.对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形．当原点正方形上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的友好点．(1)当原点正方形边长为4时，①在点P1(0,0)，P2(−1,1)，P3(3,2)中，原点正方形的友好点是______；②点P在直线y=x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；(2)一次函数y=−x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围．32.∠MON=45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上(点B与点O在点A的两侧)，且AB=1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD(点C与点A对应，点D与点B对应)．(1)如图，若OA=1，OP=√2，依题意补全图形；(2)若OP=√2，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围．(要写过程)33.如图：在平面直角坐标系xOy中，过点A(−2,0)的直线l1和直线l2：y=2x相交于点B(2,m)．(1)求直线l1的表达式；(2)过动点P(n,0)(n<0)且垂直于x轴的直线与l1、l2的交点分别为C，D.横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当n=−1时，直接写出△BCD内部(不含边上)的整点个数；②若△BCD的内部(不含边上)恰有3个整点，直接写出n的取值范围．34.如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC边于点G，连接DF，DG．(1)依题意补全图形，并证明∠FDG=∠CDG；(2)过点E作EM⊥DE于点E，交DG的延长线于点M，连接BM．①直接写出图中和DE相等的线段；②用等式表示线段AE，BM的数量关系，并证明．35.对于点P(x,y)，规定x+y=m，那么就把m叫点P的“和合数”．例如：若P(2,3)，则2+3=5，那么5叫P的“和合数”．(1)在平面直角坐标系中，已知，点A(−2,6)①B(2,2)，C(1,3)，D(3,2)，与点A的“和合数”相等的点______；②若点N在直线y=x+5上，且与点A的“和合数”相同，则点N的坐标是______；(2)点P是矩形EFGH边上的任意点，点E(−4,3)，F(−4,−3)，G(4,−3)，H(4,3)，点Q是直线y=−x+b上的任意点，若存在两点P、Q的“和合数”相同，求b的取值范围．36.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延长线于点E，点F为点B关于CE的对称点，连接CF，分别延长DC，CF至点G，H，使FH=CG，连接AG，DH交于点P．(1)依题意补全图1；(2)猜想AG和DH的数量关系并证明；(3)若∠DAB=70°，是否存在点G，使得△ADP为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明理由．37.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．(1)①依题意补全图1；②猜想线段DQ与BP的关系是：______；(2)连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2．38.在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”.图1为点P，Q 的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为(1,2)．(1)如图2，点B的坐标为(0,b)．①若b=4，则点A，B的“相关矩形”的面积是______；②若点A，B的“相关矩形”的面积是5，则b的值为______．(2)如图3，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为(1,0).点M的坐标为(m,2).若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．39.如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是CD边上一动点(不与D点重合)，点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF= DM，连接EF，AF．(1)当DM=2时，依题意补全图1；(2)在(1)的条件下，求线段EF的长；(3)当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，请直接写出此时DM与AD的数量关系______．40.如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D是线段AC上一点(CA>2CD)，连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．(1)依题意补全图形；(2)若∠ACE=α，求∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(3)若点G在线段CF上，CG=BD，连接DG．①判断DG与BC的位置关系并证明；②用等式表示DG、CG、AB之间的数量关系为______．41.在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．(1)如图1，若AB=1，AD=√3，CD=√2，求BC的长；(2)如图2，若BC=CD，连接AC，求证：AC平分∠DAB；(3)如图3，在(2)的条件下，若AB=3，AD=5，直接写出AC的长度为______．42.在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比k=BC．AB(1)若点A(1,1)，B(2,3)，则△OAB投影比k的值为______；(2)若点M(−2,0)，点N(2,1)且△MNP投影比k=4，则点P的坐标可能是______(3填写序号)；①(−1,3)；②(2,−2)；③(3,3)；④(0,2)．(3)已知点C(4,0)，在函数y=2x−4(其中x<2)的图象上有一点D，若△OCD的投影比k=3，求点D的坐标．43.如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一动点，DF⊥BE交BE的延长线于F．(1)如图(1)，若BE平分∠DBC时，①直接写出∠FDC的度数；②延长DF交BC的延长线于点H，补全图形，探究BE与DF的数量关系，并证明你的结论；(2)如图(2)，过点C作CG⊥BE于点G，猜想线段BF，CG，DF之间的数量关系，并证明你的猜想．44.规定：[m]为不大于m的最大整数；(1)填空：[3.2]=______，[−4.8]=______；(2)已知：动点C在数轴上表示数a，且−2≤[a]≤4，则a的取值范围；(3)如图：OB=1，AB⊥OB，且AB=10，动点D在数轴上表示的数为t，设AD−BD=n，且6≤[n]≤7，求t的取值范围．45.定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2(x1<x2)，分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1,x2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点．(1)若方程为x2−2x=0，写出该方程的衍生点M的坐标．(2)若关于x的一元二次方程x2，−(2m+1)x+2m=0(m<0)的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．(3)是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx−2(k−2)的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．46.在平面直角坐标系xOy中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y=x上，那么称该菱形为点A，C的“极好菱形”.如图为点A，C的“极好菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为(1,1)，点P的坐标为(3,3)．(1)点E(2,1)，F(1,3)，G(4,0)中，能够成为点M，P的“极好菱形”的顶点的是______；(2)如果四边形MNPQ是点M，P的“极好菱形”．①当点N的坐标为(3,1)时，求四边形MNPQ的面积；②当四边形MNPQ的面积为8，且与直线y=x+b有公共点时，写出b的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：当x ≥0时，x(x −3)=1，解得：x 1=3−√132(不合题意，舍去)，x 2=3+√132；当x <0时，x(−x −3)=1，解得：x 3=−3−√52，x 4=−3+√52．∴函数y =|x|−3的图象上的“好点”共有3个．故选：C ．分x ≥0及x <0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元二次方程，分x ≥0及x <0两种情况，找出关于x 的一元二次方程是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：根据题意当点P 由E 向C 运动时，△PAB 的面积匀速增加，当P 由C 向D 时，△PAB 的面积保持不变，当P 由D 向F 运动时，△PAB 的面积匀速减小但不为0．故选：C ．根据题意分析△PAB 的面积的变化趋势即可．本题为动点问题的函数图象探究题，考查了一次函数图象的性质，分析动点到达临界点前后函数值变化是解题关键．3.【答案】B【解析】解：当点E 与点D 重合时，即x =0时，EC =DC =2，AE =AD =2，∵∠A =60°，∠AEF =30°，∴∠AFD =90°，在Rt △ADF 中，∵AD =2，∴AF =12AD =1，EF =DF =ADcos∠ADF =√3，∴BF =AB −AF =1，结合图象可知C 、D 错误；当点E 与点C 重合时，即x =2时，如图，连接BD 交AC 于H ，此时EC =0，故A 错误；∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，∴∠DAC =30°，∴AE =2AH =2ADcos∠DAC =2×2×√32=2√3，故B 正确．故选：B ．求出当点E 与点D 重合时，即x =0时EC 、AE 、EF 、BF 的长可排除C 、D ；当点E 与点C 重合时，即x =2时，求出EC 、AE 的长可排除A ，可得答案．本题主要考查动点问题的函数图象与菱形的性质、解直角三角形的应用，结合函数图象上特殊点的实际意义排除法求解是解此题的关键．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．在Rt △ODC 中，利用勾股定理求出OC 即可解决问题；【解答】解：∵A(12,13)，∴OD =12，AD =13，∵四边形ABCD 是菱形，∴CD =AD =13，在Rt △ODC 中，OC =√CD 2−OD 2=√132−122=5，∴C(0,−5)．故选：A ．5.【答案】D【解析】解：∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，∴∠A =60°，∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转α角(0°<α<180°)至△A′B′C ，∴CA =CA′，∠ACA′=α，∴∠A =∠CA′A =60°，∴∠ACA′=60°，∴α=60°，故选：D ．由旋转的性质可得CA =CA′，∠ACA′=α，由等腰三角形的性质可得∠A =∠CA′A =60°，由三角形内角和定理可求α的值．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 6.【答案】B【解析】解：由表格得点(0,2)，(250,7)，设直线的解析式为y =kx +b得，{2=b 7=250k +b ，解得{k =150b =2即直线的解析式为：y =150x +2，将点(200,7)，(275,7.5)，(300,7.5)，(350,7.5)分别代入y =150x +2得，仅点(275,7.5)满足上述解析式．故选：B．通过(0,2)(250,7)利用待定系数法求出解析式，再对比图象中的折点即可选出答案此题主要考查函数的图象，利用待定系数法求一次函数解析式．7.【答案】C【解析】解：如图2，x=5时，BC=5，x=10时，BC+CD=10，则CD=5，x=15时，CB+CD+BD=15，则BD=8，如下图，过点C作CH⊥BD交于H，在Rt△CDH中，∵CD=BC，CH⊥BD，∴DH=12BD=4，而CD=5，故CH=3，当x=5时，点P与点C重合，即BP=5，a=S△ABP=S△ABC=12×BD×CH=12×8×3=12，故选：C．x=5时，BC=5；x=10时，BC+CD=10，则CD=5；x=15时，CB+CD+ BD=15，则BD=8，进而求解．本题考查的是动点图象问题，涉及到图形的面积、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．8.【答案】C【解析】解：点E沿A→B运动，△ADE的面积逐渐变大，设菱形的变形为a，∠A=β，∴AE边上的高为ABsinβ=a⋅sinβ，∴y=12x⋅a⋅sinβ，点E沿B→C移动，△ADE的面积不变；点E沿C→D的路径移动，△ADE的面积逐渐减小．y=12(3a−x)⋅sinβ，故选：C．分三段来考虑点E沿A→B运动，△ADE的面积逐渐变大；点E沿B→C移动，△ADE 的面积不变；点E沿C→D的路径移动，△ADE的面积逐渐减小，据此选择即可．本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．9.【答案】B【解析】解：①∵AB//CD，AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；②∵AB//CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；③∵AB//CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故③不正确；④∵AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ADC=∠ABC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确；⑤∵AB//CD，∴∠ABO=∠CDO，在△AOB和△COD中，{∠ABO=∠CDO BO=DO∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD(ASA)，∴AO=CO，又∵OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，故⑤正确；∵∠BCD+∠ADC=180°，∴AD//BC，又∵AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；⑥∵∠DBA=∠CAB，∴OA=OB，∵AB//CD，∴∠DBA=∠CDB，∠CAB=∠ACD，∵∠DBA=∠CAB，∴∠CDB=∠ACD，∴OC=OD，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故⑥不正确；故选：B．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论．此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；常用的平行四边形的判定方法有：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．10.【答案】A【解析】解：①这5期的集训共有：5+7+10+14+20=56(天)，故正确；②小明5次测试的平均成绩是：(11.83+11.72+11.52+11.58+11.65)÷5=11.66(秒)，故错误；③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，故正确；④从测试成绩看，两人的最好的平均成绩是在第1期出现，建议集训时间定为5天．故错误；故选：A．本题考查条形统计图、折线统计图、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图中的信息可以求得这5期的集训共有多少天和小明5次测试的平均成绩，根据图中的信息和题意，说明自己的观点即可．11.【答案】B【解析】解：(m+n)2−(m2+n2)=2mn．故选：B．根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．本题是利用几何图形的面积来验证(m+n)2−(m2+n2)=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．12.【答案】A【解析】解：由点P的运动可知，当点P在GF、ED边上时△ABP的面积不变，则对应图象为平行于t轴的线段，则B、C错误．点P在AD、EF、GB上运动时，△ABP 的面积分别处于增、减变化过程．故D排除故选：A．分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．13.【答案】①③【解析】解：①∵正比例函数y1=ax经过一三象限，∴a>0正确；x+b的图象交y轴的正半轴，②∵一次函数y2=−12∴b>0，∴b<0错误；③∵当x<0时y1=ax的图象位于x轴的下方，、∴y1<0正确；④观察图象得当x>2时y1>y2，∴y1<y2错误，故答案为：①③．根据函数的图象直接判断后即可确定正确的答案．本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是仔细的读图并熟练掌握一次函数的性质，难度不大．14.【答案】k≥2或k≤−2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，【解析】解：直线y=32令x=0，则y=3，令y=0，则x=−2，∴D(0,3)，A(−2,0)，将直线AD向右平移4个单位长度，点A平移后的对应点为点B为(2,0)；把A(−2,0)代入y=kx−4中得−2k−4=0，∴k=−2，把B(2,0)代入y=kx−4中得2k−4=0，∴k=2，∴k≥2或k≤−2，故答案为k≥2或k≤−2．求得A(−2,0)、B(2,0)分别代入y=kx−4中，求得k的值，结合函数图象，即可求得k的取值范围．本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征，坐标和图形的变换−平移，一次函数的图象与系数的关系等，求得对应点的坐标是解题的关键．15.【答案】(10,3)【解析】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中，OF=√AF2−AO2=6，∴FC=10−6=4，设EC=x，则DE=EF=8−x，在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，即EC的长为3．∴点E的坐标为(10,3)，故答案为：(10,3)．根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8−x，CF=10−6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性质以及勾股定理．16.【答案】(−22019,0)【解析】解：由题意得，A1的坐标为(1,0)，A2的坐标为(1,√3)，A3的坐标为(−2,2√3)，A4的坐标为(−8,0)，A5的坐标为(−8,−8√3)，A6的坐标为(16,−16√3)，A7的坐标为(64,0)，…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n−1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n−2，纵坐标为2n−2√3，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为−2n−2，纵坐标为2n−2√3，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为−2n−1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为−2n−2，纵坐标为−2n−2√3，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n−2，纵坐标为−2n−2√3，∵2020÷6=336…4，∴点A2020的方位与点A4的方位相同，在在x负半轴上，其横坐标为−2n−1=−22019，纵坐标为0，故答案为：(−22019,0)．故答案为：(−22019,0)．通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．17.【答案】①②④【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=12BC，∴AE=12BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB⋅AC，故②正确，∵AB=12BC，OB=12BD，∵BD>BC，∴AB≠OB，故③错误；∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD//BC，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴AE=CE，∴BE=CE，∵OA=OC，∴OE=12AB，∵AB=12BC，∴OE=14BC.故④正确．故答案为：①②④．由▱ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB=12BC，证得①∠CAD=30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD=AB⋅AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE=14BC．此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．18.【答案】甲或乙两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边形是平行四边形【解析】解：①甲，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②乙，对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：甲或乙，两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法即可解决问题．本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形．【解析】解：由作法得EF垂直平分AC，则OA=OC，而OD=OB，所以四边形ABCD为平行四边形，而∠ABC=90°，所以四边形ABCD为矩形．故答案为：到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形．【分析】先利用作法判定OA=OC，OD=OB，则根据平行四边形的判定方法判断四边形ABCD为平行四边形，然后根据矩形的判定方法判断四边形ABCD为矩形．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．20.【答案】4【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【解答】解：由题意AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∠ABE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BED(AAS)，∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为：4．21.【答案】①③。

2023年北京重点校初二(上)期末数学试卷汇编：等腰三角形与直角三角形

2023北京重点校初二（上）期末数学汇编等腰三角形与直角三角形一、单选题1．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，B ∠的度数为α．点P 在边BC 上（点P 不与点B ，点C 重合），作PD AB ⊥于点D ，连接PA ，取PA 上一点E ，使得EC EP =，连接ED ，CE 并延长CE 交AB 于点F 之后，有EC ED EA EP ===．若记APC ∠的度数为x ，则下列关于DEF ∠的表达式正确的是（）A ．23DEF x α∠=−B ．2DEF α∠=C ．2DEF x α∠=−D ．1803DEF α∠=−2．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（）A ．4米，4米B ．4米，10米C ．7米，7米D ．7米，7米，或4米，10米3．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，以ABC 的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个二、填空题4．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）如图，在ABC 中，50AC BC ACB ∠==︒，，AD BC ⊥于点D ，MC BC ⊥于点C ，MC BC =．点E ，点F 分别在线段AD AC ，上，CF AE =，连接MF BF CE ，，．（1）图中与MF 相等的线段是_______；（2）当BF CE +取最小值时AFB ∠=________°5．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 为AB 的中点，连接DE ．则ADB ∠的度数是______．6．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 为AB 的中点，连接DE ．则ADE ∠的度数是___________．7．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）如图，Rt ABC △中，90BAC AB AC ∠=︒=，．在BC 上截取BD BA =，作ABC ∠的平分线与AD 相交于点P ，连接PC ．若ABC 的面积为28cm ，则BPC △的面积为_________2cm ．8．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为______三、解答题9．（2023秋·北京通州·八年级统考期末）如图ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是AC 边上一点，连接BD ，EC AC ⊥垂足为点C ，且AE BD =，AE 交线段BC 于点F ．(1)在图1中画出符合题意的图形，并证明CE AD =；(2)当CFE ADB ∠=∠时，求证：BD 平分ABC ∠．10．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）在ABC 中，()AB AC AB BC =<，在BC 上截取BD AB =，连接AD ．在ABC 的外部作ABE DAC ∠=∠，且BE 交DA 的延长线于点E ．(1)作图与探究：①小明画出图1并猜想AE AC =．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：ABC ∠=_______°．”请写出小亮所说的条件；②小明重新画出图2并猜想ABE DAC △≌△．他证明的简要过程如下：请你判断小明的证明是否正确并说明理由；(2)证明与拓展：①借助小明画出的图2证明BE DE =；②延长AD 到F ，使DF AE =，连结BF CF ，．补全图形，猜想BFE ∠与AFC ∠的数量关系并加以证明． 11．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）如图，在845ABC AB AC CBA ==∠=︒中，，．(1)求证：AC AB ⊥；(2)分别以点A ，C 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于点D （点D 在AC 的左侧），连接CD AD BD ，，．求ABD △的面积．12．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，BAC ∠与ABC ∠的角平分线AD 、BE 分别交BC AC 、边于点D 和点E ．(1)求证：BEC 是等腰三角形；(2)用等式表示线段AB AC BD 、、之间的数量关系，并证明．参考答案 1．B【分析】由等腰三角形的性质求出CEP ∠，由三角形外角的性质可求,PAB DEP ∠∠，由平角的定义即可求出DEF ∠．【详解】∵EC EP =∴ECP EPC x ∠=∠=∴1802CEP x ∠=︒−∵APC B PAB ∠=∠+∠∴PAB APC B ∠=∠−∠∴PAB x α∠=−∵ED EA =∴EAD EDA x α∠=∠=−∴22DEP EAD EDA x α∠=∠+∠=−∵180DEF CEP DEP ︒∠=−∠−∠∴180(1802)(22)2DEF x x αα︒︒∠=−−−−=．故选：B ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 2．C【分析】根据4米分别为底和腰进行分类讨论，综合利用三角形的三边关系分析求解即可．【详解】解：当4米为底时，腰长为()18427−÷=米，另两边为7米、7米，477+>，符合三角形三边关系，能组成三角形；当4米为腰时，底边为182410−⨯=，另两边为4米、10米，4410+<，不符合三角形三边关系，故不能组成三角形．∴另两边为7米、7米．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．3．C【分析】根据等腰三角形的定义，分别以,,A B C 三个顶点为等腰三角形的顶点可以画出4个等腰三角形，分别以三条边等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可以作出7个不同的等腰三角形【详解】①以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，BCD 是等腰三角形，②以A为圆心，AC长为半径画弧，交，ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC，BCF就是等腰三角形，交三角形；；④作AC的垂直平分线交，ACH就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交，则AGB是等腰三角形；⑥作BC 的垂直平分线交AB 于I ，则BCI 和ACI 都是等腰三角形，此情形点H 与点I 重合与④的情形重合，共计2个等腰三角形．综上所述，最多有7个等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．4． CE /EC 95【分析】（1）根据平行线的判定与性质及三角形内角和定理得出MCA CAD ∠∠=，再由全等三角形的判定和性质即可得出结果；（2）根据两点之间线段最短得出当MF 和BF 共线时，和最小，如下图，此时MB 与AC 交于点F '，利用等边对等角及三角形内角和定理求解即可．【详解】解：（1）AC BC MC BC ==，，∴AC MC =，∵AD BC ⊥于点D ，MC BC ⊥于点C ，∴AD CM ∥， 90MCB ∠=︒，∵50ACB ∠=︒，∴40MCA CAD ∠∠==︒，∵CF AE =，∴CMF CAE ≌()SAS ，∴MF CE =，故答案为：CE ；是ADB 的中线，AB ，=90AED ︒，=90ADE A ︒−∠故答案为：54︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定，即得出ABP 和DBP 是等底同高的三角和DCP 是等底同高的三角形，即可推出12BPC ABC S S =，即可求出答案．【详解】解：∵BD BA=∴ABP 和DBP 是等底同高的三角形，和DCP 是等底同高的三角形，ABP DBP ACP DCP SS S S ==，． ABC ABP DBP ACP DCP BPC DBP DCP SS S S S S S S =+++=+，， 21184cm 22BPC ABC S S ==⨯=．故答案为：4．【点睛】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形9()Rt Rt HL ACE BAD ≌，即可得出Rt Rt ACE BAD ≌得出ADB ∠∠，根据CFE ∠=∠判定和性质，证明CE AB ∥，得出FAB ∠∠，从而证明BAF ∠，根据等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）解：如图，在Rt ACE 和Rt BAD 中，AE BD AC AB=⎧⎨=⎩， ∴()Rt Rt HL ACE BAD ≌，∴CE AD =；（2）证明：∵Rt Rt ACE BAD ≌， ∴E ADB =∠∠，∵CFE ADB ∠=∠，∴CFE E ∠=∠，∵EC AC ⊥，∴90ACE ∠=︒，∴180ACE DAB ∠+∠=︒，∴CE AB ∥，∴E FAB ∠=∠，∴CFE AFB E ∠=∠=∠，∴BAF AFB ∠=∠，∴AB BF =，∵ADB E EAB ∠=∠=∠，90EAB DAF ∠+∠=︒， ∴90ADB DAF ∠+∠=︒，∴90AGD ∠=︒，∴AE BD ⊥，∵BA BF =，∴BD 平分ABC ∠．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，角平分线的定义，解题的关键是根据题意画出图形，熟练掌握直角三角形全等判定方法，证明Rt Rt ACE BAD ≌． 10．(1)①36；②不正确，理由见解析(2)①见解析；②BFE ∠=∠【分析】（1）①增加ABC ∠，即可证明结论成立；②他证明时所使用的DAC △两角和它们的夹边”的关系，不能使用“ASA ”来证明；（2）①根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可解决问题；，证明()SAS ABE CAF ≌∵AB AC =，∴3C ∠=∠．∵13DBE ∠=∠+∠，42C ∠=∠+∠，12∠=∠，∴4DBE ∠=∠．∴BE DE =．②补全图形见图．BFE AFC ∠=∠．证明：作BG EF ⊥于点G ，如图．∵AE DF =，∴AE AD DF AD +=+，即DE AF =．∵BE DE =，∴BE AF =．在ABE 与CAF 中，12BE AF BA AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE CAF ≌．∴5E ∠=∠．①∵BA BD =，BG EF ⊥于点G ，∴DG AG =．∵DF AE =，∴DG DF AG AE +=+，即FG EG =．又∵BG EF ⊥于点G ，∴BE BF =．∴6E ∠=∠．②由①②得65∠=∠，即BFE AFC ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．11．(1)见解析(2)16【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得CBA ACB ∠=∠，然后利用三角形内角和定理求出90CAB ∠=︒，即可解答；（2）过点D 作DE BA ⊥，交BA 的延长线于点E ，根据题意可得CD AC AD ==，从而可得ADC △是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得60DAC ∠=︒，从而利用平角定义可得30DAE ∠=︒，最后在Rt ADE △中，利用含30度角的直角三角形的性质可得4DE =，从而利用三角形的面积进行计算即可解答.【详解】（1）在ABC 中，∵AB AC =,∴CBA ACB ∠=∠.∵45CBA ∠=︒,∴90CAB ∠=︒.∴AC AB ⊥；（2）过点D 作DE BA ⊥的延长线于点E ，由作图得，CD AC AD ==，AFD ACD ≅，根据全等三角形的性质得出【详解】（1）证明：在ABC 中，∴80ABC ∠=︒，∵BE 平分ABC ∠，∴40EBC ∠=︒，∴EBC C ∠=∠，∴BEC 是等腰三角形．2）AB BD +证明：延长 ∴F BDF ∠=∠，∵80ABC F BDF ∠=∠+∠=︒，∴280F ∠=︒，∴40F ∠=︒，∵40C ∠=︒，∴F C ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∵AD AD =，∴AFD ACD ≅，∴AF AC =，∴AB BF AC +=，即：AB BD AC +=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

北京西城区北京八中学2024年数学九年级第一学期开学预测试题【含答案】

北京西城区北京八中学2024年数学九年级第一学期开学预测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）计算2221111⎛⎫÷+ ⎪--+⎝⎭x x x 的结果是（）A ．2B ．21x +C ．21x -D ．-22、（4分）分式方程3211x x =-+的解是().A ．x=-5B ．x=5C ．x=-3D ．x=33、（4分）在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A ．两组对边分别平行B ．一组对边平行且另一组对边相等C ．两组邻边相等D ．对角线互相垂直4、（4分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价（）A ．5元B ．10元C ．20元D ．10元或20元5、（4分）若点P (－1，3)在过原点的一条直线上，则这条直线所对应的函数解析式为()A ．y ＝－3x B ．y ＝13x C ．y ＝3x －1D ．y ＝1－3x 6、（4分）如图，点A 在函数y ＝4x （x ＞0）的图象上，且OA ＝4，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则△ABO 的周长为（）A ．B ．C ．+4D ．2+47、（4分）若x ＞y ，则下列不等式中不一定成立的是（）A ．x ﹣1＞y ﹣1B ．2x ＞2y C ．x +1＞y +1D ．x 2＞y 28、（4分）如图，正方形的边长是4，在上，且，是边上的一动点，则周长的最小值是()A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，已知正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为__________2cm ．10、（4分）已知一组数据：0，2，x ，4，5，这组数据的众数是4，那么这组数据的平均数是_____．11、（4分）已知关于x 函数224(5)1m y m x m -=-++，若它是一次函数，则m =______.12、（4分）如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，AC ＋BD ＝10，BC ＝3，则△AOD 的周长为．13、（4分）关于x 的分式方程2111x kxx x ++=++的解为非正数，则k 的取值范围是____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）计算：2﹣1+|﹣1|﹣（π﹣1）015、（8分）给出三个多项式：22211121,41,2222x x x x x x +-++-，请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式（写出两种情况）．16、（8分）计算：2201701|2|(1)(3)2π-⎛⎫-+-⨯-- ⎪⎝⎭，17、（10分）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）18、（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（﹣3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ，连接BM.（1）菱形ABCO 的边长（2）求直线AC 的解析式；（3）动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S≠0），点P 的运动时间为t 秒，①当0＜t ＜52时，求S 与t 之间的函数关系式；②在点P 运动过程中，当S=3，请直接写出t 的值．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．20、（4分）因式分解：3x3﹣12x=_____．21、（4分）方程11011x x-=+-的解为__________.22、（4分）若一次函数y=(m-1)x-m的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是______．23、（4分）数据2，0，1，9的平均数是__________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，//AE CF，分别交BD于点,E F.求证：AE CF=.25、（10分）江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲、y乙（单位：元）与原价x（单位：元）之间的函数关系如图所示：（1）直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；（2）“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？(1)-+--=．x x参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A 【解析】根据分式的混合运算法则进行计算即可得出正确选项。

2023年北京市重点校初三(上)期末数学试题汇编：反比例函数

2023北京重点校初三（上）期末数学汇编反比例函数轴上任意一点，则ABC的面积为（A．12．（2023秋·北京密云,y y的大小关系是（12<y y(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)已知点()0P n ，()0n >过点P 作垂直于y 轴的直线，与反比例函数的图象交于点交于点C ，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出6．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）已知函数(1)求m ，n 的值．(2)已知直线y kx b =+与直线y x =平行，且直线y 范围．7．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，已知反比例函数(1)求n 和b 的值； (2)观察图像，不等式kx b x>−+的解集为8．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）已知双曲线()()()2323A B m C n ，，，，﹣，三点．(1)求m 和n 的值；(2)在平面直角坐标系中描出上述两个函数的草图，并根据图象直接写出：当12y y ＞时，x 的取值范围？S=ABC故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数及反比例函数的图象和性质．【详解】解：反比例函数②当线段BC 在点A 下方时，点P 在1和2之间时，恰有此时12n ≤<；综上：当12n ≤<或78n <≤时，恰有3个整点．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，会画函数图象． 6．(1)6,2m n ==(2)1k =，b 的取值范围为15b −≤≤【分析】（1）把16A （，）代入my x=可求出m 的值，即可得出反比例函数的解析式，根据把3B n （，）代入可求出n 值；b，1≤．5【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、两平行直线的关系及直线与线段的交点个数问题，熟练掌握反比例函数图形上点的坐标特征是解题关键．当12y y >时，则x 的范围是：02x x <<<−，【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及利用图象解不等式，解题关键是理解数形结合思想．。

2023-2024学年北京重点中学八年级(下)开学数学试卷(含解析)

2023-2024学年北京重点中学八年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各式中是二次根式的是( )A. 38B. −1C. −3D. 22.计算10÷2=( )A. 5B. 5C. 52D. 1023.已知x=2+3，则代数式x2−4x+3的值为( )A. 2B. 6C. 4D. 34.由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是( )A. a=1，b=2，c=3B. a=2，b=3，c=4C. a=3，b=4，c=5D. a=4，b=5，c=65.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=0.5千米，则该沙田的面积为平方千米．( )A. 7.5B. 15C. 75D. 7506.已知一次函数y=kx−1，若y随x的增大而增大，则它的图象经过( )A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限7.将一次函数y=2x+1的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为( )A. y=2x−1B. y=2x−3C. y=2xD. y=2x+38.如图，在平面直角坐标系中，点P(−12,a)在直线y=2x+2与直线y=2x+4之间，则a的取值范围是( )A. 2<a<4B. 1<a<3C. 1<a<2D. 0<a<2二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

9.对于函数y=3x−6，当x=−2时，y=______，当y=6时，x=______．10.函数y=−2x−1的图象与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______，直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是______．11.已知两直线y=2x+b和y=kx−b的交点坐标为(1,3)，则b=______，k=______．12.已知一次函数y=2x+m的图象不经过第四象限，那么m的取值范围是______．13.273的相反数是______；5的倒数是______．14.如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB=3，BC=1，若以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示的数为______．15.如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为1，两边的正方形面积分别是S1，S2，则：S1+S2=______．16.如图，在平面直角坐标系中，A(3,0)，B(0,1)，线段AC由线段AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是______．三、解答题：本题共5小题，共44分。

北京一零一中学2024-2025学年九上数学开学复习检测试题【含答案】

北京一零一中学2024-2025学年九上数学开学复习检测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）在平面直角坐标系中，点(–1，–2)在第()象限．A ．一B ．二C ．三D ．四2、（4分）下列关于x 的方程是一元二次方程的是()A ．22215x x x -+=+B ．20ax bx c ++=C ．218x +=-D ．2210x y --=3、（4分）a ，b ，c 为常数，且222()a c a c ->+，则关于x 的方程20ax bx c ++=根的情况是()A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为04、（4分）已知线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A （–1，4）的对应点为C （4，7），则点B （–4，–1）的对应点D 的坐标为（）A ．（1，2）B ．（2，9）C ．（5，3）D ．（–9，–4）5、（4分）已知直线12y x b =+经过点()4,1P -，则直线2y x b =+的图象不经过第几象限（）A ．一B ．二C ．三D ．四6、（4分）甲、乙两车从A 城出发前往B 城．在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（）A ．A 城和B 城相距300km B ．甲先出发，乙先到达C ．甲车的速度为60km /h ，乙车的速度为100km /hD ．6：00～7：30乙在甲前，7：30甲追上乙，7：30～9：00甲在乙前7、（4分）下列等式成立的是（）A +=B 2=C ．2+=D ．=8、（4分）下列各组数据中，不是勾股数的是（）A ．3，4，5B ．5，7，9C ．8，15，17D ．7，24，25二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，点A 是反比例函数k y x =图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ．若△ABC 的面积为3，则反比例函数的解析式是______．10、（4分）甲、乙两个样本，甲的方差为0.102，乙的方差为0.06，哪个样本的数据波动大？答：________．11、（4分）如图，每个小正方形边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则AB 2＝_____，∠ABC ＝_____°．12、（4分）“暑期乒乓球夏令营”开始在学校报名了，已知甲、乙、丙三个夏令营组人数相等，且每组学生的平均年龄都是14岁，三个组学生年龄的方差分别是217S =甲，214.6S =乙，219S =丙如果今年暑假你也准备报名参加夏令营活动，但喜欢和年龄相近的同伴相处，那么你应选择是________.13、（4分）如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的高DE 为_____cm ．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）体育课上，甲、乙两个小组进行定点投篮对抗赛，每组10人，每人投10次．下表是甲组成绩统计表：投进个数10个8个6个4个人数1个5人1人1人(1)请计算甲组平均每人投进个数；(1)经统计，两组平均每人投进个数相同且乙组成的方差为3.1．若从成绩稳定性角度看，哪一组表现更好？15、（8分）为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控手段达到节约用水的目的,某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水量不超过6立方米时,水费按每立方米a 元收费,超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a 元收费,超过的部分每立方米按c 元收费,该市某户今年9、10月份的用水量和所交水费如下表所示:设某户每月用水量x(立方米),应交水费y(元).（1）求a,c 的值；（2）当x≤6,x≥6时,分别写出y 与x 的函数关系式；（3）若该户11月份用水量为8立方米,求该户11月份水费是多少元?16、（8分）如图，已知矩形ABCD ，用直尺和圆规进行如下操作：①以点A 为圆心，以AD 的长为半径画弧交BC 于点E ；②连接AE ，DE ；③作DF ⊥AE 于点F ．根据操作解答下列问题：（1）线段DF 与AB 的数量关系是．（2）若∠ADF ＝60°，求∠CDE 的度数．17、（10分）观察下面的变形规律：==，解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想=；（2）计算：)1+⋅⋅⋅+⨯.18、（10分）如图所示，△A′B′C′是△ABC 经过平移得到的，△ABC 中任意一点P(x 1,y 1)平移后的对应点为P′(x 1+6，y 1+4)．（1）请写出三角形ABC 平移的过程；（2）分别写出点A′，B′，C′的坐标．（3）求△A′B′C′的面积．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）一次函数y＝k(x－1)的图象经过点M(－1，－2)，则其图象与y轴的交点是__________．20、（4分）如图，△ABC的中位线DE＝5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC 上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为_____cm1．21、（4分）一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象如图所示，则不等式kx+b<0的解集是___.22、（4分）已知平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AE 平分∠DAB 交BC 所在直线于点E ，CE ＝2，则AD ＝_____．23、（4分）如图，点A 是反比例函数y=2x (x ＞0)的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y=k x (k ≠0)的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，点C ，点D 在x 轴上．若S ▱ABCD ＝5，则k ＝____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数34y x =与一次函数7y x =-+的图像交于点A ，（1）求点A 的坐标；（2）设x 轴上一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），分别交34y x =和7y x =-+的图像于点B 、C ，连接OC ，若BC=75OA ，求△OBC 的面积.25、（10分）（1）判断下列各式是否成立（在括号内划√或×）=）；=）；③85==（）；=（）（2）根据（1）中的结果，将你发现的规律，用含有自然数n （2n ≥）的式子表示出来；26、（12分）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】分析：根据在平面直角坐标系中点的符号特征求解即可.详解：∵-1<0,-2<0,∴点(–1，–2)在第三象限．故选C.点睛：本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0.2、C 【解析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程有三个特点：()1只含有一个未知数；()2未知数的最高次数是2；()3是整式方程．【详解】A 、是一元一次方程，故A 不符合题意；B 、0a =时是一元一次方程，故B 不符合题意；C 、是一元二次方程，故C 符合题意；D 、是二元二次方程，故D 不符合题意；故选：C ．此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为()200ax bx c a ++=≠的形式，则这个方程就为一元二次方程．3、B【解析】试题解析：∵()222a c a c ->+，∴ac ＜1．在方程20ax bx c ++=中，△=24b ac -≥﹣4ac ＞1，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根．故选B ．4、A【解析】∵线段CD是由线段AB平移得到的，而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，则点B(−4,−1)的对应点D的坐标为(1,2).故选A5、B【解析】把点p代入12y x b=+求出b值，再观察k>0，b<0，根据一次函数图象与k，b的关系得出答案.【详解】因为直线12y x b=+经过点()4,1P-，所以b=-3，然后把b=-3代入2y x b=+，得23y x=-直线经过一、三、四象限，所以直线的图象不经过第二象限.故选：B本题考查一次函数y=kx=b（k≠0）图象与k，b的关系（1）图象是过点（-bk，0），（0，b）的一条直线（2）当k>0，b>0时,图象过一、二、三象限；当k>0，b<0时,图象过一、三、四象限；当k<0，b>0时,图象过一、二、四象限；当k<0，b<0时,图像过二、三、四象限.6、D【解析】根据整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系，即可得到正确结论．【详解】解：A、由题可得，A，B两城相距300千米，故A选项正确；B、由图可得，甲车先出发，乙车先到达B城，故B选项正确；C、甲车的平均速度为：300÷（10﹣5）＝60（千米/时）；乙车的平均速度为：300÷（9﹣6）＝100（千米/时），故C选项正确；D、6：00～7：30甲在乙前，7：30乙追上甲，7：30～9：00乙在甲前，故D选项错误；故选：D．此题主要考查了看函数图象，以及一次函数的应用，关键是正确从函数图象中得到正确的信息．7、D【解析】根据二次根式的混合运算法则进行求解即可.【详解】A..不能合并，故此选项错误；B.4=，故此选项错误；C.2D.=.本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键.8、B【解析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方.【详解】A、222345+=，能构成直角三角形，是整数，故选项错误；B、222579+≠，不能构成直角三角形，故选项正确；C、22281517+=，构成直角三角形，是正整数，故选项错误；D、22272425+=，能构成直角三角形，是整数，故选项错误.故选：B.此题主要考查了勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、6yx=-(x＜0）【解析】连结OA ，如图，利用三角形面积公式得到3OAB CAB S S ==，再根据反比例函数的比例系数k 的几何意义得到12|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k 的值．【详解】解：连结OA ，如图，∵AB ⊥x 轴，∴OC ∥AB ，∴S △OAB =S △CAB =3，∵1||2OAB S k =∴12|k|=3，∵k ＜0，∴k=-1．∴反比例函数的解析式为6y x =-(x ＜0）故答案为：6y x =-(x ＜0）．本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数k y x =图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．10、甲的波动比乙的波动大．【解析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，故可得到正确答案．【详解】解：根据方差的意义，甲样本的方差大于乙样本的方差，故甲的波动比乙的波动大．故答案：甲的波动比乙的波动大．本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．11、101．【解析】连接AC ，根据勾股定理得到AB 2，BC 2，AC 2的长度，证明△ABC 是等腰直角三角形，继而可得出∠ABC 的度数．【详解】连接AC ．根据勾股定理可以得到：AB 2＝12+32＝10，AC 2＝BC 2＝12+22＝5，∵5+5＝10，即AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝1°．故答案为：10，1．考查了勾股定理及其逆定理，判断△ABC 是等腰直角三角形是解决本题的关键．12、乙组【解析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定解答即可．【详解】解：∵217S =甲，214.6S =乙，219S =丙，∵2S 乙最小，∴乙组学生年龄最相近，应选择乙组.故答案为：乙组．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．13、4.1【解析】直接利用勾股定理得出菱形的边长，再利用菱形的面积求法得出答案．【详解】解：∵菱形的两条对角线分别为6cm 和1cm ，＝5（cm ），设菱形的高为：xcm ，则5x ＝12×6×1，解得：x ＝4.1．故答案为：4.1．此题主要考查了菱形的性质，正确得出菱形的边长是解题关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、(1)甲组平均每人投进个数为7个；(1)乙组表现更好．【解析】（1）加权平均数：若n 个数x 1，x 1，x 3，…，x n 的权分别是w 1，w 1，w 3，…，w n ，则x1w1+x1w1+…+xnwnw1+w1+…+wn 叫做这n 个数的加权平均数，根据加权平均数的定义计算即可.（1）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s 1来表示，根据方差的计算公式结合平均数进行计算即可．【详解】解：(1)甲组平均每人投进个数：()1101856242710⨯+⨯+⨯+⨯=(个)；(1)甲组方差：()()()()22221107587267247 3.410⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，乙组的方差为3.1，3.1＜3.4所以从成绩稳定性角度看，乙组表现更好．本题考查了方差的计算以及方差越小数据越稳定，正确运用方差公式进行计算是解题的关键．15、(1)1.5；6；（2）y=6x-27，（x ＞6）;(3)21元.【解析】解：(1)由题意5a=7.5，解得a=1.5；6a+(9−6)c=27，解得c=6.∴a=1.5，c=6(2)依照题意，当x≤6时，y=1.5x；当x≥6时，y=6×1.5+6×(x−6)=9+6(x−6)=6x−27，(3)将x=8代入y=6x−27(x>6)得y=6×8−27=21(元).答：该户11月份水费是21元.主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．16、（1）DF＝AB；（2）15°【解析】（1）利用角平分线的性质定理证明DF＝DC即可解决问题；（2）只要证明∠EDCC＝∠EDF即可；【详解】解：（1）结论：DF＝AB．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠C＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝∠DEC，∵DF⊥AE，DC⊥BC，∴DF＝DC＝AB．故答案为DF＝AB．（2）∵DE＝DE，DF＝DC，∴Rt△DEF≌△DEC，∴∠EDF＝∠EDC，∵∠ADF ＝60°，∠ADC ＝90°，∴∠CDF ＝30°，∴∠CDE ＝12∠CDF ＝15°．本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17、（11=-（2）2018.【解析】（1）根据所给算式写出结论即可；（2）根据（1）中规律把括号内变形，然后合并同类二次根式，再根据平方差公式计算.【详解】解：（11=-==，=，1=-()2原式)1⎡⎤=-+++⋅⋅⋅+⎣⎦)1⨯))11=⨯20191=-2018=.本题考查了二次根式的混合运算，1=-18、（1）见解析；（2）A′(2，3)B′（1，0）C′（5，1）；（3）5.5【解析】(1)由x1+6-x1=6，y1+4-y1=4得平移规律；(2)根据(1)中的平移规律即可得到点A′，B′，C′的坐标；(3)把△A′B′C′补形为一个长方形后，利用面积的和差关系求△A′B′C′的面积.【详解】(1)△ABC先向右平移6个单位,再向上平移4个单位得到△A′B′C′或△ABC先向上平移4个单位,再向右平移6个单位得到△A′B′C′(2)A′(2，3)B′（1，0）C′（5，1）;(3)S△A′B′C′=4×3−12×3×1−12×3×2−12×1×4=12−1.5−3−2=5.5.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、(0，-1)【解析】由图象经过点M，故将M(-1，-2)代入即可得出k的值．【详解】解：∵一次函数y=k(x-1)的图象经过点M(-1，-2)，则有k(-1-1)=-2，解得k=1，所以函数解析式为y=x-1，令x=0代入得y=-1，故其图象与y轴的交点是(0，-1)．故答案为(0，-1)．本题考查待定系数法求函数解析式，难度不大，直接代入即可．20、2【解析】根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积．【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE ∥BC ，BC ＝1DE ＝10cm ；由折叠的性质可得：AF ⊥DE ，∴AF ⊥BC ，∴S △ABC ＝12BC×AF ＝12×10×8＝2cm 1．故答案为2．本题考查了翻折变换的性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是得出AF 是△ABC 的高．21、x<−2.【解析】由图象可知kx+b=0的解为x=-2，所以kx+b<0的解集也可观察出来．【详解】从图象得知一次函数y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)的图象经过点(−2,0)，并且函数值y 随x 的增大而增大，因而不等式kx+b<0的解集是x<−2.故答案为：x<−2.此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于结合函数图象进行解答.22、3或7【解析】分两种情况：（1）当AE 交BC 于点E 时;在平行四边形ABCD 中,则AD ∥BC ，DC=AB ，AD=BC∴∠AEB=∠EAD ，∵∠DAB 的平分线交BC 于E ，∴∠AEB=∠BAE ，∴∠AEB=∠BAE ，∴AB=BE ，设AD=x,z 则BE=x-2=5∴AD=5+2=7cm ，(2)当AE 交BC 于点E,交CD 于点F ∵ABCD 为平行四边形，∴AB=DC=5cm,AD=BC,AD ∥BC.∴∠E=∠EAD ，又∵BE 平分∠BAD ，∴∠EAD=∠EAB ，∴∠EAB=∠E,∴BC+CE=AB=5，∴AD=BC=5−2=3(cm).故答案为3或7点睛：本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义，关键是要分两种情况讨论解答.23、-1【解析】设点A （x ，2x ），表示点B 的坐标，然后求出AB 的长，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．【详解】设点A （x ，2x ），则B （2kx ，2x ），∴AB=x-2kx ，则（x-2kx ）•2x =5，k=-1．故答案为：-1．本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A ，B 的横坐标之差表示出AB 的长度是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）A(4，3)；（2）28.【解析】（1）点A 是正比例函数34y x =与一次函数y=-x+7图像的交点坐标，把34y x =与y=-x+7联立组成方程组，方程组的解就是点A 的横纵坐标；（2）过点A 作x 轴的垂线，在Rt △OAD 中，由勾股定理求得OA 的长，再由BC=75OA 求得OB 的长，用点P 的横坐标a 表示出点B 、C 的坐标，利用BC 的长求得a值，根据12OBC S BC OP ∆=⋅即可求得△OBC 的面积.【详解】解：（1）由题意得:347y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，∴点A 的坐标为（4,3）.（2）过点A 作x 轴的垂线，垂足为D ，在Rt △OAD 中，由勾股定理得，5OA ===∴775755BC OA ==⨯=.∵P （a ，0），∴B （a,34a ）,C （a,-a+7），∴BC=37(7)744a a a --+=-，∴7774a -=，解得a=8.∴11782822OBC S BC OP ∆=⋅=⨯⨯=.25、（1）√；√；√；√；（2=；（3==【解析】（1）根据二次根式的性质直接化简得出即可；（2）根据已知条件即可得出数字变化规律，猜想出（3）中数据即可；（3）根据（1）（2）数据变化规律得出公式即可．【详解】解：（1==85==，正确；=故答案为：√；√；√；√；（2=；（3==．此题主要考查了数字变化规律，根据根号内外的变化得出规律得出通项公式是解题关键．26、（1）C ；（2）（x ﹣2）1；（3）（x +1）1．【解析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．【详解】（1）故选C；（2）（x2﹣1x+1）（x2﹣1x+7）+9，设x2﹣1x=y，则：原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+1）2=（x2﹣1x+1）2=（x﹣2）1．故答案为：（x﹣2）1；（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）1．本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．第21页，共21页。

2023年北京重点校初二(上)期末数学试卷汇编：整式的乘法

2023北京重点校初二（上）期末数学汇编整式的乘法一、单选题 1．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）下列运算正确的是（） A ．22a a a =B ．325()a a =C ．555()ab a b =D ．33(3)9a a −=−2．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）计算()()2132m m +−，结果正确的是（） A ．262m m −−B ．262m m +−C ．262m −D ．51m −3．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）下列运算式中，正确的是（） A ．236a a a =B ．()339a a =C ．()22422a a = D ．632a a a ÷=4．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）计算()()2132m m +−，结果正确的是（）A ．262m m −−B ．26+2m m −C ．262m −D ．51m −5．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）下列四个式子中，计算正确的是（） A ．236·a a a =B ．()239a a −= C ．()32628a a = D ．632a a a ÷=6．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）在下列各式的计算中，正确的是( ) A ．325()x x =B ．224x x x +=C ．826x x x ÷=D ．22(3)6x x =多边形面积S 内部格点数Ⅰ10．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式：__________（用含a，b，c，d，e，f的式子表示）．11．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）若2x a =，5y a =，则x y a +=_________． 12．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）计算：32(1263)3a a a a −+÷______．参考答案1．C【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方及积的乘方法则法则逐一判断即可得．【详解】解：A 、23a a a =，故此选项错误； B 、326()a a =，故此选项错误； C 、555()ab a b =，故此选项正确； D 、33()327a a =−−，故此选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方及积的乘方法则． 2．A【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．【详解】解：()()2132m m +−26432m m m =−+− 262m m =−−，故选：A ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．B【分析】根据整式的运算法则即可判断．【详解】解：A ．235a a a =，故选项错误，不符合题意； B ．()339a a =，故选项正确，符合题意；C ．()22424a a =，故选项错误，不符合题意；D ．633a a a ÷=，故选项错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．A【分析】依据多项式乘以多项式的法则即可求解．【详解】()()2132m m +−26432m m m =−+−262m m =−−故选：A【点睛】本题考查多项式乘以多项式的法则，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的法则． 5．C【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法逐一判断即可．x ya，再把【详解】解：∵2x a =，5y a =， ∴2510x y x y a a a +==⨯=，故答案为：10．【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用，解题的关键是理解题意，掌握同底数幂乘法的逆用． 12．2421a a −+【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可.【详解】解：()32212633421a a a a a a −+÷=−+故答案为2421a a −+【点睛】本题考查多项式除单项式的运算, 多项式除单项式先用多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加.。

2023-2024学年北京重点大学附属实验中学八年级(下)开学数学试卷(含解析)

2023-2024学年北京重点大学附属实验中学八年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某种细胞的直径是0.0000005毫米，这个数用科学记数法表示为( )A. 5×10−8B. 5×107C. 5×10−7D. 5×10−62.下列计算正确的是( )A. a 3+a 2=2a 5B. a 2⋅a 3=a 6C. (3a 3)2=9a 6D. a 8÷a 2=a 43.如果二次根式1x +3有意义，那么x 的取值范围是( )A. x >−3 B. x >3 C. x <−3 D. x <34.如图，在△ABC 中，∠ABC =50°，∠BAC =20°，D 为线段AB 的垂直平分线与直线BC 的交点，连结AD ，则∠CAD =( )A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°5.下列各式中，计算正确的是( )A. 98×102=(100−2)(100+2)=1002−2=9998B. x x +3−1=3x +3C. (15x 2y−5xy 2)÷5xy =3x−5yD. (3x +1)(x−2)=3x 2−5x−26.下列各组的两个根式，是同类二次根式的是( )A. 1xy 和 12xyB. 8ab 3和2 abC. 20和− 15D. a 和 ab7.如图，∠MAN=30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”.已知AB=3，则图中阴影部分的面积为( )A. 3−33B. 3+33C. 18−93D. 18+93二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。