待定系数法,、二次函数与一元二次方程专题训练二

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《二次函数与一元二次方程》专题练习含答案

二次函数与一元二次方程专题复习练习题1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于的方程x2＋ax＋b＝0的解是()A．无解B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝42. 已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是()A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 3. 已知函数y＝x2－2x－2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是()A．－1≤x≤3 B．－3≤x≤1 C．x≥－3 D．x≤－1或x≥34. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是()A．－1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜－1且x＞5 D．x＜－1或x＞55. 根据下列表格中的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个根x的范围是()A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.266. 已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况为()A．有两个不相等实数根B．有两异号实数根C．有两个相等实数根D．无实数根7. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2，图象上有一点M(x0，y0)在x轴下方，则下列判断正确的是() A．a＞0 B．b2－4ac≥0 C．x1＜x0＜x2D．a(x0－x1)(x0－x2)＜08. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c，当________时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的________．9. 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式的关系：当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴________交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有________个交点；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有________个交点．10. 抛物线y＝2x2＋8x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为________．11．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则1x1＋1x2的值为________．12．若二次函数y＝－x2＋3x＋m的图象全部在x轴下方，则m的取值范围为________．13．若抛物线y ＝12x 2与直线y ＝x ＋m 只有一个公共点，则m 的值为________． 14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根； (2)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．15．已知关于x 的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象经过点C(0，1)，且与x 轴交于不同的两点A ，B ，点A 的坐标是(1，0)． (1)求c 的值； (2)求a 的取值范围．16．已知抛物线y ＝－x 2＋3(m ＋1)x ＋m ＋4与x 轴交于A ，B 两点，若A 点在x 轴负半轴上，B 点在x 轴正半轴上，且BO ＝4AO ，求抛物线的解析式．17．如图，抛物线y ＝－12x 2＋22x ＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标； (2)证明△ABC 为直角三角形；(3)在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：1---7 DBDAC CD8. y ＝0 横坐标 9. 无一两 10. 8 11. －4 12. m ＜－9/4 13. －1/214. 解：(1)由图象可得x 1＝1，x 2＝3(2)由图象可得ax 2＋bx ＋c ＞0时，x 的取值范围为1＜x ＜3(3)由图可知，当y 随x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围为x ＞2 (4)方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，实际上就是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与直线y ＝k 有两个交点，由图象可知k ＜2 15. (1)c ＝1(2)由C(0，1)，A(1，0)得a ＋b ＋1＝0，故b ＝－a －1.由b 2－4ac ＞0，可得(－a －1)2－4a ＞0，即(a －1)2＞0，故a≠1.又a ＞0，所以a 的取值范围是a ＞0且a≠1 16. 设A(x 1，0)，B(x 2，0)，x 1＜0，x 2＞0，x 2＝－4x 1，x 1＋x 2＝3(m ＋1)＞0，x 1x 2＝－m －4，联立求得m ＝0或m ＝－74＜－1(舍去)，∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋3x＋417. (1)令y ＝0得x 1＝－2，x 2＝22，令x ＝0，得y ＝2，∴A(－2，0)，B(22，0)，C(0，2)(2)AC ＝6，BC ＝23，AB ＝32，易知AC 2＋BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90° (3)令y ＝2，得x 1＝0，x 2＝2，∴存在另外一个点P ，其坐标为(2，2)。

二次函数——待定系数法专题训练

二次函数——待定系数法专题训练引言二次函数是数学中一类重要的函数，其表达式为 $y = ax^2 +bx + c$。

其中，$a$、$b$、$c$是系数，决定了二次函数的特征。

待定系数法是解决含有待定系数的问题的一种常用方法。

本文将通过专题训练的方式，帮助读者更好地掌握待定系数法的应用。

专题训练题目一已知二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 在点 $x = 1$ 处的函数值为 3，求常数 $b$ 和 $c$ 的值。

解答一由已知条件，我们可以得到以下方程：$$\begin{align*}3 &= 1^2 + b \cdot 1 + c \\3 &= 1 + b + c\end{align*}$$整理方程，得到 $b + c = 2$。

由于这是一个含有两个未知数的方程，我们需要更多的条件来求解。

题目二已知二次函数 $y = ax^2 - 2x + a$ 的图像与 $x$ 轴相交于两个点，求常数 $a$ 的取值范围。

解答二由已知条件，我们知道二次函数的图像与 $x$ 轴相交，即存在实数解 $x$ 使得 $ax^2 - 2x + a = 0$。

根据二次方程的判别式，我们可以得到以下不等式：$$\begin{align*}(-2)^2 - 4a^2 &\geq 0 \\4 - 4a^2 &\geq 0 \\4a^2 &\leq 4 \\a^2 &\leq 1 \\-1 \leq a \leq 1\end{align*}$$因此，常数 $a$ 的取值范围为 $-1 \leq a \leq 1$。

总结通过以上专题训练的例子，我们了解了待定系数法在解决二次函数相关问题时的应用。

在使用待定系数法时，我们需要根据已知条件设置方程，然后根据方程进行求解。

待定系数法是数学中解决含有待定系数问题的一种基础方法，通过大量的练习和实践，能够更好地掌握和运用这种方法。

待定系数法求二次函数解析式练习题

待定系数法求二次函数解析式专题训练二次函数的关系式：（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，给出点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：y=a(x －h)²＋k ，（a≠0）给出两点，且其中一点为（3）交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x 、)0,(2x 时可利用此式来求．1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。

2.二次函数y= ax 2+bx+c ，x=－2时y=－6,x=2时y=10,x=3时y=24,求此函数的解析式。

3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。

4.二次函数y= ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。

5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

7.把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。

8.二次函数y= ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。

9.某同学利用描点法画二次函数的图象时，列出的部分数据如下表所示请根据表中数据求出该二次函数的解析式。

10.抛物线n mx x y ++=22过点（2，4），且其顶点在直线12+=x y 上，求此二次函数的关系式．。

2022届初三数学中考复习《二次函数与一元二次方程》专项复习练习题 (含答案解析)

2022届初三数学中考复习《二次函数与一元二次方程》专项复习练习题一、单选题1．已知二次函数22=-++的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程y x x m220-++=的解为（）x x mA．-1 ，0B．-1，1C．1，3D．-1，32．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，其部分图象如图所示．下列结论：①abc＜0；①3a+c=0；①当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；①方程ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根；①点(﹣2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．其中结论正确的个数是()．A．1个B．2个C．3个D．4个3．二次函数y=3(x–2)2–5与y轴交点坐标为()A．(0，2)B．(0，–5)C．(0，7)D．(0，3)4．根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．2.1＜x ＜2.2B．2.2＜x＜2.3C．2.3＜x＜2.4D．2.4＜x＜2.55．如图是抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x ＝2，与x 轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x 轴的另一个交点是（）A ．（3，0）B ．（4，0）C ．（5，0）D ．（6，0）6．已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( ) A ．2a < B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤<二、填空题7．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，当3y <-时，x 的取值范围是______．8．已知二次函数2y ax bx c =++的部分图像如图所示，对称轴为直线1x =，则关于x 的方程23ax bx c ++=的解为__________．9．二次函数22(1)1y a x a =-+-的图象经过原点，则a 的值为______． 10．在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，若2b ＋c ＝﹣2，b ＝﹣2﹣t ，且AB 的长为kt ，其中t ＞0，k 的值为___．三、解答题11．随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中 x 表示人均月生活用水的吨数，y 表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题：(1)该市人均月生活用水的收费标准是：不超过 5 吨，每吨按元收取；超过 5 吨的部分，每吨按元收取； (2)当 x ＞5 时，求 y 与 x 的函数关系式；(3)若某个家庭有 5 人，五月份的生活用水费共 76 元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？12．已知关于x 的方程：2244(3)x m x m --=（1）求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．（2）若这个方程的两个实数根1x 、2x 满足211x x -=，求m 的值及相应的1x 、2x ．13．如图，抛物线y=ax 2+c 经过A （1，0），B （0，﹣2）两点．连结AB ，过点A 作AC①AB ，交抛物线于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点C 的坐标；（3）将抛物线沿着过A 点且垂直于x 轴的直线对折，再向上平移到某个位置后此抛物线与直线AB 只有一个交点，请直接写出此交点的坐标．14．已知二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为()10-，，与y 轴的交点坐标为()03，．（1）求此二次函数的表达式及对称轴；（2）直接写出当函数值0y >时，自变量x 的取值范围．（3）直接写出当函数值3y >时，自变量x 的取值范围． 15．定义[],p q 为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．（1）若特征数是[]2,1m +的一次函数为正比例函数，求m 的值；（2）已知抛物线y ＝(x ＋n )(x －2)与x 轴交于点A 、B ，其中n >0，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，且①OAC 的面积为4，O 为原点，求图象过A 、C 两点的一次函数的特征数．参考答案：1．D 【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴，然后利用二次函数的对称性即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴交点坐标与一元二次方程解的关系即可得出结论．【详解】解：二次函数22y x x m =-++的对称轴为直线()2121x =-=⨯-由图象可知：二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为（3,0） ①二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴的另一个交点坐标为（-1,0） ①关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为x 1=-1，x 2=3 故选D ．【点睛】此题考查的是求抛物线的对称轴、抛物线与x 轴的交点和求一元二次方程的解，掌握抛物线的对称轴公式和二次函数与x 轴交点坐标与一元二次方程解的关系是解决此题的关键． 2．D 【解析】【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①①正确，根据图像可得，当y>0时，是x 轴上方的图像，可判断①错误，对方程230ax bx c ++-=进行变形，看成抛物线2y ax bx c =++与3y =的交点即可判断①正确，把点(﹣2，y 1)，(2，y 2)描到图像上可判断出①正确．【详解】抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，①12ba-=，①20b a =->，抛物线与y 轴交于(0,3)，①c>0,①0abc <,故①正确；当x=-1时，0a b c -+=，①2b a =-代入得：3a +c=0，故①正确；根据图像可得，当y>0时，是x 轴上方的图像，抛物线过点(﹣1，0)，对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0),①13x ,故①错误；对方程230ax bx c ++-=进行变形得：23ax bx c ++=，可看成抛物线2y ax bx c =++与3y =的交点，由图像可得：抛物线2y ax bx c =++与3y =有两个交点，①方程ax 2+bx +c ﹣3=0有两个不相等的实数根，故①正确；把点(﹣2，y 1)，(2，y 2)描到图像上可知，10y <，20y >，①y 1＜0＜y 2，故①正确，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a 看抛物线开口方向，b 往往看对称轴，c 看抛物线与y 轴的交点，24b ac -看抛物线与x 轴的交点，抛物线的对称性以及代入特殊点等． 3．C 【解析】【分析】由题意使x=0,求出相应的y 的值即可求解. 【详解】①y=3（x ﹣2）2﹣5, ①当x=0时，y=7, ①二次函数y=3（x ﹣2）2﹣5与y 轴交点坐标为(0,7). 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式. 4．C 【解析】【分析】由于x ＝2.3时，ax 2+bx +c ＝﹣0.01；x ＝2.4时，ax 2+bx +c ＝0.06，则在2.3和2.4之间有一个值能使ax 2+bx +c 的值为0，据此即可判断．【详解】①x ＝2.3时，ax 2+bx +c ＝﹣0.01；x ＝2.4时，ax 2+bx +c ＝0.06， ①方程ax 2+bx +c ＝0的一个解的范围为2.3＜x ＜2.4．故选：C ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围． 5．C 【解析】【分析】直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标．【详解】①抛物线的对称轴是直线x ＝2，与x 轴的一个交点是（﹣1，0）， ①抛物线与x 轴的另一个交点是：（5，0）．故选C ．【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键． 6．D 【解析】【分析】由抛物线与x 轴没有公共点，可得∆<0，求得2a <，求出抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口向上，再结合已知当1x <-时，y 随x 的增大而减小，可得1a ≥-，据此即可求得答案. 【详解】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+，抛物线与x 轴没有公共点，22(2)4(36)0a a a ∴∆=---+<，解得2a <，抛物线的对称轴为直线 22ax a -=-=，抛物线开口向上，而当1x <-时，y 随x 的增大而减小，1a ∴≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与x 轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 7．0＜x ＜2 【解析】【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以得到（0，-3）关于对称轴对称的点，再结合图像可得x 的范围．【详解】解：由图象可得，该抛物线的对称轴为直线x =1，与y 轴的交点为（0，-3），故（0，-3）关于对称轴对称的点为（2，-3），故当y ＜-3时，x 的取值范围是0＜x ＜2，故答案为：0＜x ＜2．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是理解3y <-，结合函数的对称性得到结果． 8．10x =，22x =【解析】【详解】根据二次函数图象可得:当x =0时,y =3,又因为二次函数关于直线x =1对称,所以当x =2时,y =3,所以关于x 的方程23ax bx c ++=的解为10x =，22x =,故答案为10x =，22x =. 9．-1 【解析】【分析】根据题意将（0，0）代入二次函数22(1)1y a x a =-+-，即可得出a 的值，最后根据二次函数的定义进行求解即可．【详解】解：①二次函数22(1)1y a x a =-+-的图象经过原点，①210a -=， ①1a =±， ①10a -≠ ①1a ≠ ①a 的值为-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查二次函数图象上点的特征以及二次函数的定义，图象过原点，可得出当x =0时，y =0，从而分析求值． 10．2 【解析】【分析】由题意得抛物线为y ＝12x 2+（﹣2﹣t ）x +（2t +2），设抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），则x 1+x 2＝4+2t ，x 1x 2＝4t +4，由AB 的长为kt ，得出（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝k 2t 2，即（4+2t ）2﹣4（4t +4）＝k 2t 2，进而即可求得k 的值．【详解】解：①2b +c ＝﹣2，b ＝﹣2﹣t ， ①c ＝2t +2，①抛物线为y ＝12x 2+（﹣2﹣t ）x +（2t +2），设抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），则x 1+x 2＝212t---＝4+2t ，x 1x 2＝2212t +＝4t +4，①AB 的长为kt ， ①|x 1﹣x 2|＝kt ，①（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝k 2t 2，即（4+2t ）2﹣4（4t +4）＝k 2t 2，整理得：4t 2＝k 2t 2， ①k 2＝4， ①kt ＞0，t ＞0，①k ＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，交点坐标和系数的关系是解题的关键．11．(1)1.6； 2.4；(2) y ＝ 125x ﹣4；(3) 该家庭这个月用了 40 吨生活用水．【解析】【分析】(1)分析图像可得答案；(2) 当x ＞5时设y ＝kx +b ，代入（5，8）、（10，20）可得一次函数解析式；（3）把 y ＝代入 y ＝x ﹣4 可得答案.【详解】（1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过 5 吨，每吨按 1.6 元收取；超过 5 吨的部分，每吨按 2.4 元收取；故答案为1.6；2.4；（2）当 x ＞5 时，设 y ＝kx +b ，代入（5，8）、（10，20）得，解得 k ＝，b ＝﹣4， ①y ＝x ﹣4；（3）把 y ＝代入 y ＝x ﹣4 得x ﹣4＝，解得 x ＝8，5×8＝40（吨）．答：该家庭这个月用了 40 吨生活用水．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据题意列出并解除一次方程是解题的关键.12．（1）证明见解析（2）①1x =2x =②1x =212x =【解析】【详解】试题分析：（1）求出b 2-4ac>0，即可判断方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系求得123x x m +=-，21204m x x ⋅=-≤，即可得1x 、2x 异号或有1个为0．再根据211x x -=，分①10x ≥，20x <和②10x ≤，2>0x 两种情况求m 的值及相应的1x 、2x ．试题解析：（1）()2216316m m ∆=-+23296144m m =-+ 2332722m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 72≥．①无论m 取何值，方程有两个异根．（2）()224430x m x m ---=．∵4a =，124b m =-，2c m =-．∵123x x m +=-，21204m x x ⋅=-≤， ∵1x 、2x 异号或有1个为0．211x x -=，①10x ≥，20x <，211x x --=即121x x +=-，31m -=-，∵2m =．24440x x +-=．1x =，2x =． ②10x ≤，2>0x ．211x x +=，4m =．244160x x --=．240x x --=．1x =2x =． 13．（1）y=2x 2﹣2；（2）（﹣，）；（3）（，3）．【解析】【详解】试题分析：（1）因为抛物线y=ax 2+c 经过A （1，0），B （0，﹣2）两点，则有：解得：，所求的抛物线的解析式是：y=2x 2﹣2；（2）①AC①AB ，又根据题意可知：OA①BD ，①Rt①AOD①Rt①BOA ，①，①OD=，又根据A （1，0），B （0，﹣2），则有：AO=1，BO=2，①OD=，①D （0，），设直线AC 的解析式是y=kx+b ，则有，解得：，①所求的解析式是：y=﹣x+，由直线AC 与抛物线y=2x 2﹣2相交，则有：﹣x+=2x 2﹣2，解得：x 1=﹣，x 2=1，当x=﹣时，y=﹣×（﹣）+=，①点C 的坐标是（﹣，）；（3）抛物线沿着过A 点且垂直于x 轴的直线对折后与x 轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），此时抛物线解析式为y=2（x ﹣2）2﹣2，向上平移此时解析式为y=2（x ﹣2）2+k ，直线AB 的解析式为y=2x ﹣2，则2（x ﹣2）2+k=2x ﹣2，①=100﹣80﹣8k=0，解得k=，即2（x ﹣2）2+=2x ﹣2，解得x=，所求交点的坐标是（，3）．考点：二次函数综合题．14．（1）2y x 2x 3=-++，x=1；（2）−1＜x ＜3；（3）0＜x ＜2．【解析】【分析】（1）将（−1，0）和（0，3）两点代入二次函数2y x bx c =-++，求得b 和c ；从而得出抛物线的解析式，进而得出对称轴；（2）令y ＝0，解得1x ，2x ，得出此二次函数的图象与x 轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围．（3）令y ＝3，解得1x ，2x ，结合图像即可分析出当函数值3y >时，自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）由二次函数2y x bx c =-++的图象经过（−1，0）和（0，3）两点，得1+03b c c --=⎧⎨=⎩ ，解这个方程组，得23b c =⎧⎨=⎩，抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，对称轴()21221b x a =-=-=⨯- ．（2）令y ＝0，得2x -＋2x ＋3＝0．解这个方程，得1x ＝3，2x ＝−1．①此二次函数的图象与x 轴的另一个交点的坐标为（3，0）．当−1＜x ＜3时，y ＞0．（3）令y ＝3，得2x -＋2x ＋3＝3，解这个方程得：1x ＝0，2x ＝2．①由图像可知，当0＜x ＜2时，y ＞3．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确求出抛物线的解析式，此题难度不大．15．（1）m ＝－1；（2）[]24-，-【解析】【分析】（1）根据正比例函数的一般形式y=kx （k≠0），则m+1=0，进而求出即可；（2）根据题意得出n 的值，进而得出直线AC 的解析式，进而得出图象过A 、C 两点的一次函数的特征数．【详解】解：（1）①特征数是[2，m+1]的一次函数为正比例函数，①m+1=0，解得：m ＝－1；（2）由题意得点A 的坐标为(－n ，0)，点C 的坐标为(0，－2n)．①①OAC 的面积为4， ①1242n n ⨯⨯=， ①n ＝2，① 点A 的坐标为(－2，0)，点C 的坐标为(0，－4)．设直线AC 的解析式为 y ＝kx ＋b.①204k b b -+=⎧⎨=-⎩， ①24k b =-⎧⎨=-⎩， ① 直线AC 的解析式为：y ＝－2x －4；① 图象过A 、C 两点的一次函数的特征数为[]24-，-.【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及新定义，根据题意得出直线AC 的解析式是解题关键．。

二次函数与一元二次方程简答题专题训练含答案

二次函数与一元二次方程简答题专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、解答题（共21题）1、若抛物线的顶点坐标是，且经过点（ 1 ）求该抛物线的解析式（ 2 ）设该抛物线与轴相交于点，与轴相交于、两点（点在点的左边），试求的面积2、已知抛物线y ＝x 2 + x + 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），与y 轴交于点C ．（ 1 ）求点A 、B 、C 的坐标．（ 2 ）试判断AOC 与BOC 是否相似，并说明理由．3、已知：二次函数（ 1 ）列表画图…… ………… ……（ 2 ）根据图象，直接写出不等式的解集4、已知抛物线（ 1 ）通过配方可以将其化成顶点式为__________ ，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x 轴 __________ （填上方或下方），即__________0 （填大于或小于）时，该抛物线与x 轴必有两个交点；（ 2 ）若抛物线上存在两点，，分布在x 轴的两侧，则抛物线顶点必在x 轴下方，请你结合A 、B 两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）（ 3 ）利用二次函数（1 ）（ 2 ）结论，求证：当，时，．5、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．6、如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m。

（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式。

(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？7、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．8、如图，平面直角坐标系中，点A坐标（2,0），点B是y轴上的一个动点，连结AB，取AB中点M，将线段AM绕着点A顺时针方向旋转90°得到线段AN，连结ON、BN，ON与AB所在直线交于点P，设点B的坐标为（0，t）（1）当t>0时，用t的代数式表示点N的坐标；（2）设△OBN的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）是否存在点B，使得△ABN与△ANP相似？若存在，求出符合条件的点B的坐标，若不存在，请说明理由。

初三中考数学专项练习待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线经过A ，B ，C 三点，当时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为（）.由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪ca b ca b c216402553,,，解之，得抛物线的解析式为该抛物线的顶点坐标为.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围.2.（2016•丹阳市校级模拟）形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为．【思路点拨】形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，因此可设顶点式为y=﹣2（x﹣h）2+k，其中（h，k）为顶点坐标．将顶点坐标（0，﹣5）代入求出抛物线的关系式．【答案】y=﹣2x2﹣5．【解析】解：∵形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，设抛物线的关系式为y=﹣2（x﹣h）2+k，将顶点坐标是（0，﹣5）代入，y=﹣2（x﹣0）2﹣5，即y=﹣2x2﹣5．∴抛物线的关系式为y=﹣2x2﹣5．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．3. 已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式. 【答案与解析】因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：，，则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：解法(1)：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a ≠0)，把（2，0）代入得，所以抛物线的函数关系式为；解法(2)：设抛物线的函数关系式为两点式：(4)y a x =+（x-2）(a ≠0)，把（－1，4）代入得，所以抛物线的函数关系式为：4(4)9y x =-+（x-2）；【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式. 举一反三：【变式】（2014•永嘉县校级模拟）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式．【答案】y=﹣x 2﹣2x+ .提示：设抛物线的解析式为y=a （x+2）2+，将点（1，0）代入，得a （1+2）2+=0，解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+，∴所求二次函数解析式为y=﹣x 2﹣2x+．类型二、用待定系数法解题4.（2015春•石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积．【答案与解析】解：（1）由二次函数图象知，函数与x 轴交于两点（﹣1，0），（3，0），设其解析式为：y=a （x+1）（x ﹣3），又∵函数与y 轴交于点（0，2），代入解析式得， a ×（﹣3）=2， ∴a=﹣，∴二次函数的解析式为：，即；（2）由函数图象知，函数的对称轴为：x=1，当x=1时，y=﹣×2×（﹣2）=， ∴△ABP 的面积S===．【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量.【答案与解析】(1)把A(2，0)，B(0，-6)代入212y x bx c =-++ 得220,6,b c c -++=⎧⎨=-⎩ 解得4,6.b c =⎧⎨=-⎩∴ 这个二次函数的解析式为21462y x x =-+-． (2)∵ 该抛物线的对称轴为直线44122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，∴ 点C 的坐标为(4，0)， ∴ AC ＝OC-OA ＝4-2＝2． ∴ 1126622ABC S AC OB ==⨯⨯=△．【总结升华】求△ABC 的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解．(1)将A 、B 两点坐标分别代入解析式求出b ，c 的值．(2)先求出点C 的坐标再求出△ABC 的面积．举一反三：【变式】已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数m ，点2()M m m -，都不在这个二次函数的图象上. 【答案】（1）23212+--=x x y ；（2）证明：若点2()M m m -，在此二次函数的图象上，则221(1)22m m -=-++．得2230m m -+=．△=41280-=-<，该方程无实根．所以原结论成立．。

待定系数法,二次函数与一元二次方程专题训练二

二次函数与一元二次方程专题训练（考试时间：50分钟，满分：100分）班级：学号：姓名：得分：一、选择题（每题4分，共10题，共40分）1.抛物线y =kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A.k >－47;B.k ≥－47;C.k ≥－47且k ≠0;D.k >－47且k ≠02.抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=2，且经过点P(3,0)，则a+b+c 的值为( )A.－1B.0C.1D.23.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ，h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化(图1)，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( )A.0.71 sB.0.70 sC.0.63 sD.0.36 s图1 图24.如图2所示，二次函数y=x 2－4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为( )A.6B.4C.3D.15.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图3所示，若M=4a+2b+c ，N=a －b+c ，P=4a+2b ，则( ) A.M>0，N>0，P>0 B.M>0，N<0，P>0 C.M<0，N>0，P>0图3图4D.M<0，N>0，P<06.已知二次函数y=2x 2+9x+34，当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时，函数值相等，则当自变量x 取x 1+x 2时的函数值与( )A. .x=0时的函数值相等 B x=1时的函数值相等 C.41=x 时的函数值相等 D.x=49-时的函数值相等 7.已知一元二次方程x 2+bx-3=0的一根为-3，在二次函数y=x 2+bx-3的图象上有三点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,54y 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,45y 、⎪⎭⎫ ⎝⎛3,61y ，y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 2 8.无论m 为任何实数，二次函数y =x 2+(2－m )x +m 的图象总过的点是( )A.(－1，0);B.(1，0)C.(－1，3) ;D.(1，3)9.抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图4所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是( ) A.(21，0) B.(1，0) C.(2，0) D.(3，0)10.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（）①当c =0时，函数的图象经过原点; ②当b =0时，函数的图象关于y 轴对称;③函数的图象最高点的纵坐标是a b ac 442-;④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根( )A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（每题4分，共10题，共40分） 11．抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为． 12．已知二次函数2(a 0)y ax bx c =++≠的图像如右图所示，则不等式2ax bx c ++＜0的解集是．13．△ABC 的一边长为5，另两边长分别是二次函数26y x x m =-+与x 轴的交点坐标的横坐标的值，则m 的取值范围为．14．二次函数221y x x =--的图象在x 轴上截得的线段长_________．15．二次函数2y x bx =+的图象如右图，对称轴为x ＝－2．若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在－5＜x ＜2的范围内有解，则t 的取值范围是___________．16．已知点A （m ，0）是抛物线221y x x =--与x 轴的一个交点，则代数式222015m m -+的值是．17．关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个根为11x =，22x =，那么抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为_____________．18．如果关于x 的二次函数y=x 2－2x ＋k 与x 轴只有1个交点，则k ＝_________。

用待定系数法求二次函数表达式例题+练习 (分类全面)

（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点
（2）抛纵坐标为-3
（3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；
（4）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；
5、已知二次函数的图象经过、（3,1）两点，且与轴仅有一个交点，求二次函数的解析式
1、抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a=, b=, c=
2、把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为.
3、二次函数有最小值为，当时，，它的图象的对称轴为，则函数的关系式为
4、根据条件求二次函数的解析式
二、模仿学习：
1.已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.
2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。
3、例题教学：
知识归纳：用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式和一般式。
1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为；
教学内容
二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程
教学目标
掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程
重点
二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程
难点
二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程
教学准备
纸、笔
教学过程
用待定系数法求二次函数的解析式
一、课前回顾：
一次函数经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。
（1）求该抛物线的解析式；
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

二次函数待定系数法求函数解析式

二次函数待定系数法求函数解析式精心整理专题训练：求二次函数的解析式一、已知三点求解析式1.经过三点（-1，-22），（1，-8），（2，8）的二次函数为抛物线，其开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,-14)。

解析式为y = 2x^2 - 4x - 16.2.经过三点（0，0），（-1，-1），（1，9）的二次函数为抛物线，解析式为y = 4x^2 - 4x。

3.经过三点（-1，-6），（1，-2），（2，3）的二次函数为抛物线，其开口方向向上，对称轴为x=0，顶点坐标为(0,-1)。

解析式为y = x^2 - x - 5.4.经过三点（1，a），（2，b），（3，4）的二次函数为抛物线，解析式为y = -3x^2 + 18x - 15.5.经过两点（-1，10），（2，7）且3a+2b=16的二次函数为抛物线，解析式为y = -x^2 + 4x +6.6.经过两点（a，b）和（12，b）且顶点纵坐标为3的二次函数为抛物线，解析式为y = -1/36(x-a)^2 + b + 3.7.经过两点（-3，c）和（0，3）的二次函数为抛物线，其顶点为M(－3，c+1)，对称轴为x=－3，解析式为y = -x^2 + 6x + c。

8.经过三点A（-1，0），B（0，-1），C（1，2）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - x - 1.9.经过三点（-1，-2），（0，-1），（1，0）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - x - 2.10.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3，解析式为y = -1/2x^2 + 3.11.经过点A（-1，4），（1，4）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - 4.12.经过三点（1，0），（-1，0），（0，-3）的二次函数为抛物线，其顶点为(0,-3)且对称轴为y=-3，解析式为y = -x^2 - 3.13.经过三点（-1，3），（3，-1），（4，3）的二次函数为抛物线，其开口方向向下，对称轴为x=3，顶点坐标为(3,2)。

14待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】

22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4题型2：一般式求二次函数解析式-a 、b 、c 未知2.二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点A （﹣1，8）、B （2，﹣1），与y 轴交于点C （0，3），求二次函数的表达式．题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．题型5：综合-待定系数法与二次函数的性质5.已知：二次函数的图象经过点A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；（2）设点M(x1，y1)，N(1，y2)在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．题型6：综合-待定系数法求最短距离6.如图，已知抛物线y=1a(x−2)(x+a)（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．【变式6-1】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型7：综合-三角形面积7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点。

待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程(解析版)-初中数学暑假自学课讲义(9年级人教版)

第09讲待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程【人教版】·模块一用待定系数法求二次函数解析式·模块二二次函数与一元二次方程·模块三课后作业用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y=ax²+bx+c，已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式；（2）顶点式：y=a（x-h)²+k，已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式；（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a（x-x1)（x-x2).【考点1用“一般式”求二次函数解析式】【例1.1】已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线=B2+B+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C【答案】C【分析】先把o1，2)，o2，1)代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为：=−2+ 2+1，再判断不在抛物线上，从而可得答案．【详解】解：把o1，2)，o2，1)代入抛物线的解析式，∴{++1=24+2+1=1即：{+=12+=0解得：{=−1=2,∴抛物线为：=−2+2+1,当=2时，=−4+4+1=1≠3,∴o2，3)不在抛物线=−2+2+1上，∴抛物线=B2+B+1可以经过的点是s u故选：u【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．【例1.2】二次函数=B 2+B +自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表．x …−10123…y…105212…则当=5时，y 的值为（）A ．2B ．1C ．5D ．10【答案】D【分析】先任选三组数据，利用待定系数法求出二次函数解析式，再计算当=5时的函数值.【详解】由表可知，二次函数y =B 2+B +o ≠0)的图象经过0,5,1,2,2,1，则=5++=24+2+=1，解得：=1=−4=5，∴二次函数解析式为：=2−4+5当=5时，函数值=2−4+5=52−4×5+5=10.故选：D【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式.【例1.3】已知抛物线=B 2+B +≠0经过点（2，），（3，），（4，2），那么++的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．【答案】A【分析】把点（2，），（3，），（4，2）代入抛物线，解三元一次方程组即可求解．【详解】解：∵抛物线=B 2+B +≠0经过点（2，），（3，），（4，2），∴4+2+=9+3+=16+4+=2，解得，=1−12=52−5=6−2，∴++=1−12+52−5+6−2=2，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数与三元一次方程组的综合，掌握二次函数的代入法，解三元一次方程组的方法是解题的关键．【变式1.1】已知：二次函数=B 2+B +的图象经过点−1,0、3,0和0,3，当=2时，y 的值为__________．【答案】3【分析】根据题意可得交点式=−3+1，然后把0,3代入求出a 值，即可求出二次函数表达式．【详解】解：∵二次函数=B 2+B +的图象经过点−1,0、3,0∴抛物线的解析式为=−3+1，把0,3代入得：−3=3，解得：=−1，∴函数的解析式为=−−3+1，即=−2+2+3，∴当=2时，=−22+2×2+3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．【变式1.2】二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A ．=2+2−3B ．=2−2−3C ．=−2+2−3D ．=−2−2+3【答案】B【分析】根据题意，由函数图像的对称轴及与x 轴的一个交点，则可以知道函数与x 轴的另一个交点，再根据待定系数法求解函数解析式即可．【详解】根据题意，二次函数对称轴为=1，与x 轴的一个交点为(−1,0)，则函数与x 轴的另一个交点为(3,0)，故设二次函数的表达式为=B 2+B +，函数另外两点坐标(−1,0)，(1,−4)可得方程组0=9+3+0=−+−4=++，解得方程组得=1=−2=−3，所以二次函数表达式为=2−2−3．故答案为B．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法和二次函数的对称轴的问题，同时考查学生解方程组的知识，是比较常见的题目．【变式1.3】已知二次函数=B2+B+（a，b，c为常数）的部分取值如下表，该二次函数图象上有三点−4,1，−2,2，2,3，则1，2，3的大小关系是（）x-5-11y151A．1<2<3B．1<3<2C．3<1<2D．2<1<3【答案】C【分析】先根据表格数据，用待定系数法求出二次函数解析式，再把−4,1，−2,2，2,3，分别代入二次函数解板式，求出1，2，3的值，即可求解．【详解】解：把当=−5，=1，当=−1，=5，当=1，=1，代入=B2+B+，得25−5+=1−+=5++=1，解得：=−12=−2 =72，∴=−122−2+72，把−4,1，−2,2，2,3，分别代入=−122−2+72，得1=−12×−42−2×−4+72=72，2=−12×−22−2×−2+72=32，3=−12×22−2×2+72=−52，∴3<1<2，故选：C．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【考点2用“顶点式”求二次函数解析式】【例2.1】已知，二次函数的图像过点（1，18），顶点是（−1，−2），则此二次函数的表达式是（）．A．=52+10+3B．=52+10−2C．=52+10+7D．=52−10−3【答案】A【分析】设二次函数的解析式为=−ℎ2+，顶点是（−1，−2），则=+12−2，把（1，18）代入，即18=1+12−2，=5，那么=5+12−2=52+10+3．【详解】根据题意设二次函数的解析式为=+12−2，把（1，18）代入，即18=1+12−2，=5，那么=5+12−2=52+10+3，故选：A．【点睛】本题主要考查是二次函数的顶点式、一般式等知识内容，熟练掌握二次函数的顶点式y=a x−h2+k，顶点是（h，k）是解题的关键．【例2.2】已知一个二次函数的图象经过点（2，2），顶点为（−1，−1），将该函数图象向右平移，当他再次经过点（2，2）时，所得抛物线表达式为（）A．=−13(−5)2+1B．=13(−5)2−1C．=−13(+4)2−10D．=3(−7)2−1【答案】B【分析】根据题意，求出平移距离，即可求出平移后抛物线的顶点坐标，设平移后，二次函数的解析式为=o−5)2−1，将（2，2）代入即可求出结论．【详解】解：由题意可知：平移前，点（2，2）关于抛物线的对称轴直线x=-1的对称点为（-4，2）向右平移后，点（-4，2）平移到（2，2）∴抛物线向右平移了2－（-4）=6个单位长度∴平移后抛物线的顶点坐标为（5，-1）设平移后，二次函数的解析式为=o−5)2−1将（2，2）代入，得2=o2−5)2−1解得：a=13∴平移后，二次函数的解析式为=13(−5)2−1故选B．【点睛】此题考查的是抛物线的平移和求抛物线解析式，根据题意求出平移距离是解题关键．【例2.3】已知二次函数图象的对称轴是直线=2，函数的最小值为3，且图象经过点−1,5，则此二次函数的解析式是_____．【答案】=292−89+359【分析】由题意可知二次函数的图象的顶点坐标为2,3，所以设其解析式为“顶点式”，再代入点−1,5，即可求出解析式．【详解】根据题意，设二次函数的解析式为=−22+3，将点−1,5代入得，5=−1−22+3，整理得：9=2，解得：=29−22+3=292−89+359，∴二次函数的解析式为：=故答案为：=292−89+359．【点睛】本题考查二次函数的解析式，解题的关键是理解题意，设出解析式的“顶点式”．【变式2.1】某二次函数的图象与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（）A．y＝12（x﹣2）2＋1B．y＝12（x﹣2）2﹣1C．y＝12（x＋2）2＋1D．y＝﹣12（x＋2）2＋1【答案】C【分析】设二次函数的解析式为=o−ℎ)2+o≠0)，根据顶点坐标为（﹣2，1）以及与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，可确定函数的解析式．【详解】解：设二次函数的解析式为=o−ℎ)2+o≠0)，∵二次函数的图像顶点坐标为（﹣2，1），∴二次函数的解析式为=o+2)2+1，∵二次函数的图象与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，∴二次函数的解析式为：=12(+2)2+1，故选：C．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，读懂题意，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键．【变式2.2】一个二次函数的图象的顶点坐标是2,−3，与y轴的交点是0,5，这个二次函数的解析式是（）A．=22−4+11B．=22−4+5C．=22−8+5D．=22+8+5【答案】C【分析】根据顶点坐标，可设二次函数解析式为=−22−3，然后将0,5代入解析式中，求出a的值，并将顶点式化为一般式即可得出结论．【详解】解：根据题意，设二次函数解析式为=−22−3，将0,5代入=−22−3中，得5=0−22−3解得：a=2∴二次函数解析式为=2−22−3=22−8+5故选C．【点睛】此题考查的是求二次函数解析式，掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．【变式2.3】二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为(−1,2)，那么它的解析式为_________．【答案】=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2【分析】根据二次函数的顶点坐标设出顶点式，然后根据二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，得出二次函数经过(0,8)或(0,−8)，分别代入求解即可．【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为(−1,2)，∴设二次函数解析式为=o+1)2+2，∵二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，∴二次函数经过(0,8)或(0,−8)，∴8=+2或−8=+2，解得：=6或=−10，∴二次函数的解析式为=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2，故答案为：=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键．【考点3用“交点式”求二次函数解析式】【例3.1】已知抛物线与轴交点的横坐标为−3和2，且过点(1,−8)，它对应的函数解析式为（）A．=2+−6B．=−2−+6C．=−22−2+12D．=22+ 2−12【答案】D【分析】设函数解析式为=o+3)(−2)，将点(1,−8)代入即可求得a的值，可得结果．【详解】解：设抛物线函数解析式为：=o+3)(−2)，∵抛物线经过点(1,−8)，∴−8=o1+3)(1−2)，解得：=2，∴抛物线解析式为：=2(+3)(−2)，整理得：=22+2−12，故选：D．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键．【例3.2】二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．=−432+83+4B．=432+83+4C．=−432−83+4D．=−432+83+3【答案】A【分析】设=o+1)(−3)，把（0，4）代入求出a的值，即可得出结论．【详解】设=o+1)(−3)，把（0，4）代入得：4=－3a，解得：=−43，∴=−43(+1)(−3)，整理得：=−432+83+4．故选A．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式3.1】已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），则该抛物线的解析式为__________．【答案】y＝﹣x2﹣2x+3【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C 点坐标代入求出a的值即可．【详解】设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3．故答案为y=-x2-2x+3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式3.2】某二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），且它的形状与y＝﹣x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____．【答案】y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4．【分析】根据图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0）可设两点式解答，根据形状与y＝﹣x2形状相同，可知二次项系数为﹣1或1，于是可得二次函数解析式．【详解】∵函数图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），又因为图象的形状与y＝﹣x2形状相同，故a＝﹣1或1，所以解析式为y＝±（x+1）（x﹣4），整理得，y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4．故答案为y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，由于知道二次函数图象与x轴交点，故设两点式较为简便．直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y=ax²+bx+c的交点为(0,c);（2）与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点(h,ah²+bh+c).（3）抛物线与x轴的交点二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，就是对应一元二次方程y=ax²+bx+c的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔Δ＞0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ＜0⇔抛物线与x轴相离.【考点1抛物线与x轴的交点】【例1.1】抛物线=2−4−5交轴于，两点，则B长为______．【答案】6【分析】根据抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，可以令y=0求得点A、B的坐标，从而可以求得AB的长．【详解】解：∵y=x2-4x-5，∴y=0时，x2-4x-5=0，解得，x1=-1，x2=5．∵抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(5，0)，∴AB的长为：5-(-1)=6．故答案为：6．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x轴相交时，y=0．【例1.2】抛物线=−1+3与x轴的两个交点之间的距离是（）A．72B．2C．12D．4【答案】D【分析】先求出函数图像与x轴交点的坐标，进而即可求解．【详解】解：当=0时，−1+3=0，解得：1=−3，2=1，∴抛物线与x轴的交点坐标为−3,0和1,0，∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离：1−−3=4，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解一元二次方程；正确理解题意，求出抛物线与x轴交点坐标是解题的关键．【例1.3】抛物线的部分图像如图所示，它与轴的一个交点坐标为−3,0，对称轴为=−1，则它与轴的另一个交点坐标为（）A．4,0B．3,0C．2,0D．1,0【答案】D【分析】直接根据二次函数与轴的交点关于=−1对称可得结果．【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为−3,0，对称轴为J−1，∴−1−(−3)=2，∴−1+2=1，∴它与轴的另一个交点坐标为1,0，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．【变式1.1】二次函数J2−+1的图象与坐标轴的交点有_____个．【答案】1【分析】计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点，再解方程2−+1=0，可判断抛物线与轴的交点，从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数．【详解】解：当J0时，J2−+1=1，则抛物线与轴的交点坐标为0，1；当J0时，2−+1=0，方程无解；所以二次函数J2−+1的图象与坐标轴有1交点．故答案为：1．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数JB2+B+（，，是常数，≠0）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解题关键．【变式1.2】已知函数=2−6+5的部分图象（如图），满足<0的的取值范围是____．【答案】1<<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由=2−6+5，当=0时，2−6+5=0解得：1=1,2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当<0时，的取值范围是1<<5，故答案为：1<<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式1.3】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为______．【答案】（-1，0）【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为（3，0），∴点Q的横坐标为1×2-3=-1，∴点Q的坐标为（-1，0）．故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．【考点2用二次函数解一元二次方程】【例2.1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝﹣4，x2＝2B．x1＝﹣3，x2＝﹣1C．x1＝﹣4，x2＝﹣2D．x1＝﹣2，x2＝2【答案】A【分析】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标．【详解】解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x＝−1．设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．则r22=−1，解得，x＝－4，即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x1＝−4，x2＝2．故选：A．【例2.2】已知二次函数=B2+B+≠0图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：x…01234…y…－3－4－305…请根据上表直接写出方程B2+B+=0≠0的解为______．【答案】1=−1，2=3【分析】由表格信息可知，二次函数的对称轴为=1，当=3时，函数值为零，根据函数的对称性，即可求解．【详解】解：据题意得，当=0时，=−3；当=2时，=−3，∴对称轴为=1，当=3时，=0，根据函数关于对称轴对称可知，当=−1时，=0，∴方程B2+B+=0≠0的解为1=−1，2=3，故答案为：1=−1，2=3．【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合，掌握二次函数图像的性质解一元二次方程是解题的关键．【例2.3】已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为_____．【答案】x1＝﹣4，x2＝2【分析】根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，求根即可．【详解】解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），所以该点适合方程y＝﹣x2﹣2x+m，代入，得（﹣4）2+2×（﹣4）+m＝0解得，m＝8①把①代入一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，得﹣x2﹣2x+8＝0，②解②，得x1＝﹣4，x2＝2∴关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为x1＝﹣4，x2＝2故答案为x1＝﹣4，x2＝2．【点睛】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，求出m的值是解题关键．【变式2.1】若二次函数=B2+B+的图象如图所示，则方程B2+B+=0的解为（）A．1=0,2=3B．1=1,2=3C．1=1,2=0D．1=−1,2=3【答案】D【分析】由抛物线与x轴的交点横坐标可得方程B2+B+=0的解．【详解】解：由图象可得抛物线=B2+B+经过−1,0,3,0，∴方程B2+B+=0的解为1=−1,2=3．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．【变式2.2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）点B的坐标为；（2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为；（3）方程ax2+bx+c=0的两个根为【答案】（1）（3，0）；（2）x＞1；（3）x1=-1，x2=3【分析】（1）由图象可得：A、B到直线x=1的距离相等，根据A的坐标，即可求出B点坐标；（2）利用图象得出函数对称轴进而得出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（3）根据方程ax2+bx+c=0，即图象与x轴交点，进而得出方程的两个根【详解】解：（1）由图象可得：A、B到直线x=1的距离相等，∵A（-1，0）∴B点坐标为：（3，0）故答案为（3，0）；（2）由图象可得：y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是：x＞1；故答案为x＞1；（3）∵方程ax2+bx+c=0，即图象与x轴交点，∴方程ax2+bx+c=0的两个根是：x1=-1，x2=3；故答案为x1=-1，x2=3【考点3用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例3.1】在求解方程B2+B+=0(≠0)时，先在平面直角坐标系中画出函数=B2+ B+的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（）A．1=−3，2=2B．1=−3，2=3C．1=−2，2=2D．1=−2，2=3【答案】D【分析】由题意观察=B2+B+的图象，进而根据与轴的两个交点的横坐标进行分析即可.【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：1=−2，2=3，所以方程的近似解是1=−2，2=3.故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与轴的两个交点的横坐标可以看作是方程B2+B+=0(≠0)的近似解进行分析.【例3.2】根据下表列出的函数=B2+B+的几组与的对应值，判断方程B2+B+ =0一个解的范围是（）3.23 3.24 3.253.26−0.37−0.110.090.28A．3<<3.23B．3.23<<3.24C．3.24<<3.25D．3.25<<3.26【答案】C【分析】根据表格数据，便可求值根的范围．【详解】解：由表格数据可知：当=3.24时，=−0.11；当=3.25，=0.09∴一个根的范围是：3.24<<3.25故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程根之间的关系，属于基础题，准确理解题意是解题关键．【变式3.1】根据表中二次函数=B2+B+的自变量与函数值的对应值，判断一元二次方程B2+B+=0的一个根的取值范围是（）6.17 6.18 6.196.20−0.03−0.010.020.04A．6<<6.17B．6.17<<6.18C．6.18<<6.19D．6.19<<7【答案】C【分析】根据一元二次方程B2+B+=0的根即为函数=B2+B+与轴交点的横坐标解答即可．【详解】解：∵当=6.18时，=−0.01，当=6.19时，=0.02，∴一元二次方程B2+B+=0的一个根的取值范围是6.18<<6.19，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与二次函数的关系，熟知一元二次方程B2+B+= 0的根即为函数=B2+B+与轴交点的横坐标是解答本题的关键．【变式3.2】已知二次函数y=-x2-2x+2.(1)填写下表,并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;x……-4-3-2-1012……y…………(2)结合函数图象,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似解(指出在哪两个连续整数之间即可).【答案】(1)见解析；（2）近似解是-3<x<-2或0<x<1.【分析】（1）计算填写表格后利用描点法画出函数图象即可；（2）观察图象，看交点的横坐标在哪两个整数之间，由此即可解答.【详解】(1)x……-4-3-2-1012……y……-6-1232-1-6……所画图象如图.(2)由图象可知,方程-x2-2x+2=0的近似解是-3<x<-2或0<x<1.【点睛】本题考查用二次函数图象的画法及利用函数图象法求一元二次方程的解，解题的关键是看函数图象与x轴交点的位置．【考点4用二次函数的图象解不等式】【例4.1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线=B2+B+<0经过点−1,0，对称轴为直线=1．若<0，则x的取值范围是（）A．<1B．<−1C．−1<<1D．<−1或>3【答案】D【分析】由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点为3,0，根据图象可得出答案．【详解】解：∵抛物线=B2+B+<0经过点−1,0，对称轴为直线=1，∴抛物线与x轴的另一交点为3,0，由图象可知，<0时，x的取值范围是<−1或>3．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，准确识图是解题的关键．【例4.2】已知二次函数=2−4+3的图象与轴交于点o1,0)，o3,0)，则当<0时，的取值范围是（）A．>1B．<3C．<1或>3D．1<<3【答案】D【分析】根据题意确定函数的开口方向，画出函数的大致图，即可确定x的取值范围.【详解】∵a=1∴函数的开口向上∵图象与轴交于点o1,0)，o3,0)∴函数的图象如下：通过图象可知，当1<<3时<0，故选D.【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，有关图象性质得问题，画出大致图更加直观，能根据题意画出函数的大致图并根据图象分析是解决此题的关键.【例4.3】如图，一次函数1=B+≠0与二次函数2=B2+B+≠0的图象相交于−1，5、9，2两点，则关于的不等式B+≤B2+B+的解集为______．【答案】≤−1或≥9【分析】由求关于的不等式B+≤B2+B+的解集，即求一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方时（包括交点），x的取值范围，再结合图象即可得解．【详解】解：∵求关于的不等式B+≤B2+B+的解集，即求一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方时（包括交点），x的取值范围，又∵结合图象可知当≤−1和≥9时，一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方，∴关于的不等式B+≤B2+B+的解集为≤−1或≥9．故答案为：≤−1或≥9．【点睛】本题考查根据交点确定不等式的解集．利用数形结合的思想是解题关键．【变式4.1】已知函数=2−6+5的部分图象（如图），满足<0的的取值范围是____．【答案】1<<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由=2−6+5，当=0时，2−6+5=0解得：1=1,2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当<0时，的取值范围是1<<5，故答案为：1<<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式4.2】一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与12时，y＝0（1）求这个二次函数的解析式（2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果）【答案】（1）=2+32−1；（2）>12或<−2【分析】（1）设二次函数为=o−1)(−2)，由题意可得，1=−2，2=12，将(0,−1)代入求解即可；（2）由（1）得=1>0，开口向上，即可求解．【详解】解：（1）设二次函数为=o−1)(−2)，由题意可得，1=−2，2=12，即二次函数为=o+2)(−12)将(0,−1)代入=o+2)(−12)得×2×(−12)=−1解得=1即=(+2)(−12)=2+32−1故答案为：=2+32−1（2）由（1）得=1>0，开口向上，由题意可得：当x＝－2与12时，y＝0∴当>12或<−2时，>0故答案为：>12或<−2【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数解析式，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意正确求得函数解析式并掌握二次函数的有关性质．【变式4.3】二次函数=B2+B+o≠0)的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出方程B2+B+=0的根；（2）写出不等式B2+B+＜0的解集；（3）若方程B2+B+=无实数根，写出的取值范围．【答案】（1）1=0，2=2；（2）<0或>2；（3）>2【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；（3）根据图象可以看出k取值范围．【详解】解：（1）观察图象可知，方程B2+B+=0的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，∴1=0，2=2．（2）观察图象可知：不等式B2+B+<0的解集为<0或>2．（3）由图象可知，>2时，方程B2+B+=无实数根．【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．1．已知抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为−1,3，它对应的函数表达式为（）A．=−3−12+3B．=3−12+3C．=3+12+3D．=−3+12+3【答案】D【分析】设此抛物线的解析式为=o−ℎ)2+，根据抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同，开口方向相同，可知=−3，再代入顶点坐标即可．【详解】解：设此抛物线的解析式为=o−ℎ)2+，∵抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同，开口方向相同，∴=−3，∵顶点坐标为−1,3，∴ℎ=−1，=3，∴=−3+12+3，故选D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（）A．y＝4x2+3x﹣5B．y＝2x2+x+5C．y＝2x2﹣x+5D．y＝2x2+x﹣5【答案】A【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，∴c＝﹣5①，a﹣b+c＝﹣4②，4a﹣2b+c＝5③，解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．故选：A．【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．3．若二次函数=2+3+−1的图象经过原点，则的值为（）A．0B．1C．−1D．1或−1【答案】B【分析】将点0,0代入函数解析式求解即可得．【详解】解：把0,0代入=2+3+−1可得：−1=0，解得：=1，故选：B．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．4．若二次函数=B2+B+的图象经过点−1,0，2,0，则关于x的方程B2+B+=0的解为（）A．1=−1，2=2B．1=−2，2=1C．1=1，2=2D．1=−1，2=−2【答案】A【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答．【详解】解：∵=B2+B+的图象经过点−1,0，2,0，∴方程B2+B+=0的解为1=−1，2=2．故选：A．【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确应用两者的关系．5．若二次函数=B2+B+的部分图象如图所示，则关于的方程B2+B+=0的解为（）A．1=−2，2=3B．1=−1，2=3C．1=0，2=3D．1=1，2=3【答案】B【分析】先利用抛物线的对称性写出抛物线与轴的一个交点坐标为−1,0，然后根据抛物线与轴的交点问题可得到关于的方程B2+B+=0≠0的解．【详解】解：抛物线的对称轴为直线=1，抛物线与轴的一个交点坐标为3,0，所以抛物线与轴的一个交点坐标为−1,0，。

用待定系数法求二次函数解析式专题限时训练卷

用待定系数法求二次函数解析式专题限时训练卷一．选择题（共10小题）1．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1B．y=−12（x﹣2）2﹣1C．y＝（x﹣2）2﹣1D．y=12（x﹣2）2﹣12．一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=12x2−2x+3相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（）A．y=12(x−2)2+1B．y=12(x+2)2−1C．y=12(x+2)2+1D．y=12(x−2)2−13．关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．04．已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（）A．y＝2（x+1）2B．y＝﹣2（x+1）2C．y＝2（x﹣1）2D．y＝﹣2（x﹣1）2 5．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 6．与y＝2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y＝1+12x2B．y＝（2x+1）2C．y＝（x﹣1）2D．y＝2x27．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣38．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞09．若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c的值为（）A．1B．﹣1C．2D．410．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则c的值为（）A．﹣1B．2C．﹣3D．﹣2二．填空题（共2小题）11．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．12．写出一个经过原点且开口向上的抛物线的解析式：．三．解答题（共3小题）13．已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=−14x2+bx+c经过点A、C．（1）求抛物线解析式及顶点M坐标；（2）P为抛物线第一象限内一点，使得△P AC面积最大，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）当m≤x≤m+1时，（1）中二次函数有最大值为﹣2，求m的值．15．如图，抛物线y＝mx2﹣2mx+4经过点A，B，C，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤2时，求y的最大值与最小值的差；（3）若点P的坐标为（2，2），连接AP，并将线段AP向上平移a（a≥0）个单位得到线段A1P1，若线段A1P1与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围．。

二次函数与一元二次方程、不等式同步练习

二次函数与一元二次方程、不等式同步练习二次函数与一元二次方程、不等式同步练一、本节知识点1.一元二次不等式的概念。

2.三个二次的关系。

3.一元二次不等式的解法。

知识点拓展:4.分式不等式的解法。

5.高次不等式的解法。

二、本节题型1.解不含参数的一元二次不等式。

2.解含参数的一元二次不等式。

3.三个二次之间的关系。

4.简单高次不等式、分式不等式的解法。

5.XXX成立问题。

6.一元二次不等式的应用。

三、同步练1.解不等式(x+2)(5-x)>0的解集为【B】{x2}。

2.已知不等式x+ax+44}。

3.不等式(2-x)/(x+1)>=0的解集为【A】{x=2}。

4.若关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为{x|12}。

5.不等式ax+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2}，则不等式2x+bx+a<0的解集为【B】{x|-1<x<2}。

6.设全集U=R，集合A={x|x>4}，B={x|2<x+3/x-1}，则交集B∩A的解集为【A】{x|-2≤x<1}。

7.若关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0的解集是{x|1<x<2}，其中x1<x2，则下列结论中正确的是【A、D】：x1+x2=2，-1<x1<x2<3.8.不等式x^2-2x+3≤a-2a-1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是【B】{a3}。

9.若关于x的不等式ax^2+bx+2>0的解集是{x|22}。

解:根据题意,不等式x ax4的解集为空集,即对于任意实数x,都有x ax40.又因为x ax4是关于x的一元二次函数,所以其图像开口向上,且顶点在x轴上.因此,当a4或a4时,函数图像在x轴上没有交点,即不等式恒成立.而当4a4时,函数图像在x轴上有交点,即不等式有解.综上所述,实数a的取值范围是aa4或a4,即选择答案【D】.1.不等式$x^2+ax+4<0$的解集为空集，即相应的二次函数$y=x^2+ax+4$的图像位于$x$轴上及其上方，或者不等式$x^2+ax+4\geq 0$在$\mathbb{R}$上恒成立。

用待定系数法求二次函数解析式专题练习

用待定系数法求二次函数解析式专项练习类型一：已知顶点和另外一点用顶点式1.已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

2. 已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式3. 已知抛物线对称轴是直线x ＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

4. 已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

5. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，。

求这条抛物线的解析式。

6.已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且顶点在x 轴上．(1)求二次函数的解析式。

7.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式．8.已知一个二次函数对称轴x=8,函数最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式9.二次函数y ＝x 2－mx ＋m －2的图象的顶点到x 轴的距离为,1625求二次函数解析式．类型二：已知图像上任意三点用一般式1. 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．2. 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。

3. 已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。

求这个二次函数的解析式。

4. 已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．求解析式5.已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）求二次函数的关系式类型三：已知图像与x 轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式1. 已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.求它的解析式。

2. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．3. 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=－3，x 2=1，且与y 轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。

二次函数与一元二次方程专题训练

二次函数与一元二次方程知识要点梳理：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。

抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac>0。

(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac<0.(4)事实上，抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=h 的公共点情况方程ax 2+bx+c=h 的根的情况。

抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax 2+bx+c=mx+n 的根的情况。

典例精讲例1（2008枣庄）在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数的图象与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且．（1）求点A 与点B 的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P 在x 轴上，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．例2已知二次函数y=x 2-〔m 2＋8〕x ＋2〔m 2＋6〕,⑴求证;不论m 取任何实数，此函数图象都与x 轴有两个交点，且两个交点都在x 轴的正半轴上。

⑵设抛物线顶点为A,与X 轴交于B,C 两点，问是否存在实数M,使三角形ABC 为等腰直角角形？如果存在，求出M 的值；如果不存在，请说明理由。

例3（2009遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．2(1)4y x k x =-+-+6OAB S ∆=基础练习1.不论x 为何值，二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒为负的条件（）。

二次函数与一元二次方程(五大类型)(题型专练)(原卷版)

专题07 二次函数与一元二次方程（五大类型）【题型1：二次函数与x轴交点问题】【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】【题型3：已知函数值y求X的取值范围】【题型4：二次函数与不等式的关系】【题型5:二次函数综合】【题型1：二次函数与x轴交点问题】1．（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下列说法正确的是（）A．有两个公共点B．有一个公共点C．一定有公共点D．可能无公共点2.（2023•许昌二模）若抛物线y＝x2+4x+c与x轴没有交点，则c的值可以是（）A．﹣4B．0C．4D．83.（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下列说法正确的是（）A．有两个公共点B．有一个公共点C．一定有公共点D．可能无公共点4．（2023春•梅江区校级月考）二次函数y＝x2﹣2x﹣1与x轴交点个数情况为（）A．有两个不同的交点B．只有一个交点C．没有交点D．无法确定5．（2022秋•集贤县期末）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为（）A．m＝0或B．C．m＝1或D．m＝1或m＝06．（2022秋•阜宁县期末）抛物线y＝x2﹣bx﹣1与x轴交点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．以上都不对7．（2022秋•新城区期末）二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴的交点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．不能确定8．（2023•三江县校级一模）若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝﹣2，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝0，x2＝3D．x1＝1，x2＝3【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】9．（2022秋•林州市期末）根据如表中代数式ax2+bx的取值情况，可知方程ax2+bx ﹣6＝0的根是（）x……﹣3﹣2﹣10123……ax2+bx……12620026……A．x1＝0，x2＝1B．x2＝﹣1，x1＝2C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝4 10.（2023•澄城县一模）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝2B．x1＝﹣2，x2＝1C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝﹣211.（2022秋•宛城区期末）根据下表中代数式ax2+bx的取值情况，可知方程ax2+bx﹣6＝0的根是（）x…﹣3﹣2﹣10123…ax2+bx…12620026…A．x1＝0，x2＝1B．x1＝﹣1，x2＝2C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝4【题型3：已知函数值y求X的取值范围】12．（2022秋•长春期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＞﹣3B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣3或x＞1D．x＜1 13．（2022秋•合肥月考）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5 14．（2022•泸县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（）A．x≤2B．x≤0C．﹣3≤x≤0D．x≤﹣3或x≥0 15．（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，则关于x的不等式x2+bx＜﹣8的取值范围是（）A．1＜x＜5B．2＜x＜4C．0＜x＜6D．﹣1＜x＜7 16．（2022秋•泰山区校级月考）二次函数y＝a2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．x＞﹣3B．x＜1C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1 17.（2023•泸县校级一模）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（）A．x＜0或x＞2B．x＜1或x＞3C．0＜x＜2D．1＜x＜3 18．（2022秋•金东区期末）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c经过点A（0，2）、B （4，2），则不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集是．【题型4：二次函数与不等式的关系】19.（2022秋•同江市期末）如图，已知y1＝ax2+bx+c（a≠0）与y2＝kx+b（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（﹣4，3）两点，则y1＞y2的x的取值范围是（）A．x＜﹣4B．﹣4＜x＜﹣1C．x＞﹣1D．x＜﹣4或x＞﹣120.（2023•娄底模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3或x＞1 21．（2022秋•保定期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．则关，于x的不等式ax2+bx+c≤kx+m的解集是．22．（2022秋•番禺区校级期末）如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是．23．（2022秋•市中区期末）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（4，2）．如图所示，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是．【题型5:二次函数综合】24．（2022秋•武城县月考）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．25．（2021秋•天津期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）求△ABC的面积；（3）点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当P A+PC的值最小时，求点P 的坐标．26．（2022秋•青龙县月考）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象交直线l：y＝x+1于A，B两点，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AD，BD，求△ADB的面积；（3）若抛物线的对称轴上存在一动点E，使EA+ED的值最小，求点E的坐标．27．（2022秋•黔东南州月考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在上点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标若不存在，请说明理由．28．（2022秋•越秀区校级月考）抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于A，B两点（A 在B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线在x轴上方部分一动点，过点M作直线MH⊥y轴于H．（1）如图1，当HM＝3时，求△ABM的面积；（2）如图2，若△MCO是以CO为底的等腰三角形，求点M的坐标．29．（2022秋•平桂区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+5的图象经过点（1，8），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0），M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的解析式；（2）求△MCB的面积；（3）在坐标轴上是否存在点N，使得△BCN为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2022秋•萧山区期中）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m2﹣2．（1）若m＝2，则该抛物线的对称轴为；若A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）两点在该二次函数图象上，则y1与y2的大小关系为；（2）若该函数图象的顶点到x轴的距离等于2，试求m的值；（3）若抛物线在1≤x≤3时，对应的函数有最大值3，求m的值．31．（2022秋•汉川市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x 轴交于O，A两点，过点A的直线与y轴交于点C，交抛物线于点D．（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图1，点B是直线AC上方第一象限内抛物线上的动点，连接AB和BD，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．。

九年级数学待定系数法求二次函数解析式专项训练

九年级数学待定系数法求二次函数解析式专项训练一、选择题1.一抛物线的形状、开口方向与相同,顶点为,则此抛物线的解y =12x 2‒2x +3(‒2,1)析式为 ()A. B. C. D. y =12(x ‒2)2+1y =12(x +2)2‒1y =12(x +2)2+1y =12(x+2)2‒12.如图,的顶点在抛物线上,将绕点O 顺时针旋转Rt △OAB A (‒2,4)y =a x 2Rt △OAB ,得到,边CD 与该抛物线交于点P ,则点P 的坐标为( )△OCDA.(2,2)B. (2,2)C. (2,2)D. (2,2)B.3.一抛物线和抛物线的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是,则该抛(‒1,3)物线的解析式为 ()A. B.C.D.4.若二次函数的图象的顶点坐标为,且抛物线过,则二次函数的解析式是(2,‒1)(0,3)( )A. B. y =‒(x ‒2)2‒1y =‒12(x ‒2)2‒1C. D. y =(x ‒2)2‒1y =12(x ‒2)2‒15.已知二次函数的图象经过、和三点,则该函数的解析式是 (1,0)(2,0)(0,2)()A. B. C. D. y =2x 2+x +2y =x 2+3x +2y =x 2‒2x +3y =x 2‒3x +26.如果抛物线经过,两点,那么此抛物线经过( )y =‒x 2+bx +c A (0,‒2)B (‒1,1)A. 第一、二、三、四象限 B. 第一、二、三象限C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限7.顶点是,开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是．(‒2,0)y =12x 2()A. B. C. D. y =12(x ‒2)2y =12(x +2)2y =‒12(x ‒2)2y =‒12(x +2)28.根据下表中的二次函数的自变量x 与函数y 的对应值,可判断二次y =a x 2+bx +c 函数的解析式为( ) x…‒1012…y …‒1‒74‒2‒74…A. B. y =14x 2‒12x ‒74y =14x 2+12x ‒74C. D. y =‒14x 2‒12x +74y =‒14x 2+12x +74二、填空题9.抛物线和形状相同,方向相反,且顶点为,则它的关系式为______．y =‒3x 2(‒1,3)10.经过,,三点的抛物线解析式是______．A (4,0)B (‒2,0)C (0,3)11.已知二次函数的图象向左平移2个单位,向下平移1个单位y =a x 2+bx +c (a ≠0)后得到二次函数的图象,则二次函数的解析式为y =x 2+2x y =a x 2+bx +c (a ≠0)______.12.已知二次函数的图象顶点在x 轴上,则______．y =‒x 2+ax ‒a +1a =13.图象的顶点为 ,且经过原点的二次函数的解析式是______．(‒2,‒2)14.二次函数b ,c 为常数,且中的x 与y 的部分对应值如表y =a x 2+bx +c (a ,a ≠0)x ‒1013y‒1353①ac<0②x>1下列结论：；当时,y的值随x值的增大而减小．③x=2y=5④3a x2+(b‒1)x+c=0当时,；是方程的一个根；.()其中正确的有______ 填正确结论的序号y=x2+bx+c A(1,0)x=215.已知二次函数的图象过点且关于直线对称,则这个二次函数关系式是______ ．P(2,2)O(0,0)16.已知二次函数的图象经过点,顶点为,将该图象向右平移,当它再次经过点P时,所得抛物线的函数表达式为______．y=a x2(a≠0)A(2,‒2)17.已知一个二次函数的图象经过点关于坐标轴的对称点B,则这个二次函数的关系式为______．(‒2,1)(0,4)18.已知某抛物线的顶点坐标为,且与y轴相交于点,这个抛物线所表示的二次函数的表达式是______ ．三、解答题A(1,9)(‒1,5)19.已知二次函数的顶点坐标为,且其图象经过点(1)求此二次函数的解析式；(2)△ABC若该函数图象与x轴的交点为B、C,求的面积．y=a x2+bx+c(a≠0)y=x+1A(‒1,0)B(4,m)20.如图,抛物线与直线相交于,两点,C(5,0)且抛物线经过点．(1)求抛物线的解析式；(2)()PD⊥x点P是抛物线上的一个动点不与点A、点B重合,过点P作直线轴于点D,交直线AB于点E．①PE=2ED当时,求P点坐标；②△BEC是否存在点P使为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．/21.某大学生利用业余时间参与了一家网店经营,销售一种成本为30元件的文化衫,根y1(/)y2()x(1≤x 据以往的销售经验,他整理出这种文化衫的售价元件,销量件与第<90)(=(‒)×)天的函数图象如图所示销售利润售价成本销量(1)y1y2求与的函数表达式；(2)求每天的销售利润W与x的函数关系表达式；(3)销售这种文化衫的第多少天时销售利润最大,最大利润是多少？A(1,0)B(3,0)y=4‒x.y 22.如图,过、作x轴的垂线,分别交直线于C、D两点抛物线=a x2+bx+c经过O、C、D三点．(1)求抛物线的表达式；(2)点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求此时点M的横坐标；若不存在,请说明理由；(3)△AOC()若沿CD方向平移点C在线段CD上,且不与点D重合,在平移的过程△AOC△OBD中与重叠部分的面积记为S,试求S的最大值．。

二次函数易考查经典题型

二次函数全章高频考点专项训练一：求二次函数及反比例函数的表达式的方法求二次函数及反比例函数的表达式是解决二次函数及反比例函数的重要保证，求表达式时，一般都选用待定系数法，根据不同条件，设出恰当的表达式，往往会起到事半功倍的效果。

训练角度一：巧求二次函数表达式的方法类型一：一般式已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1）．求这个二次函数的解析式．类型二：顶点式已知抛物线的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点（0，3）,求这条抛物线的解析式。

类型三：两点式抛物线与x 轴交于 A(1,0),B(-3,0) 两点，与y 轴交于点C(0,3),求此抛物线的解析式.训练角度二：巧求反比例函数表达式的方法类型一：已知坐标求反比例函数的表达式已知与x成正比例,与x成反比例,若的图像经过点(1、2),,则y与x的函数表达式类型二：已知面积求反比例函数的表达式类型三：利用根与系数的关系求反比例函数的表达式专项训练二：巧解反比例函数中的面积问题许多反比例函数问题都是与三角形，四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有，已知反比例函数的表达式，数函数图像围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的表达式等题型。

训练角度一：已知面积求反比例函数的表达式训练角度二：已知反比例函数的表达式求图形的面积训练角度三：利用点的坐标及面积公式求面积如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，4），点B的横坐标为-4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．训练角度四：利用对称性解决反比例函数中的面积问题如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线表达式分为y=与y=-。

现用四条钢条固定这四条曲线。

已知OF=OH=2米，这种钢条加工成矩形成品按面积计算，每平方米15元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？专项训练三：建立坐标系，利用二次函数解决实际问题建立坐标系解决实际问题时，要注意数形结合思想的运用，依据徒刑特弟妹构建恰当的平面直角坐标系，选择恰当的二次函数表达式进行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的，常见的类型有：拱桥问题，运动型抛物线问题，荡秋千问题等训练角度一：拱桥（隧道）问题有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m.(1)如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式。

待定系数法求二次函数解析式练习题

待定系数法求解析式一、利用一般式y=ax 2+bx+c 求二次函数解析式已知抛物线上三个点的坐标（普通点）或三对x 、y 的值例、已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。

变式、二次函数y=ax 2+bx+c ，x=－2时y=－6，x=2时y=10，x=3时y=24,求此函数的解析式。

二、利用顶点式y=a(x －h )2+k 求二次函数解析式⑴已知抛物线顶点坐标（h ，k ）和另一点坐标⑵已知抛物线顶点的横坐标和另两点坐标（非对称点）例、已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。

变式、二次函数y= ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，且过（0，1），求此函数的解析式。

变式、抛物经过点（0，-2）、（1，2），对称轴为x=23，求此函数的解析式。

。

三、利用交点式y=a(x－x1)( x－x2)求二次函数解析式⑴已知抛物线和x轴交点坐标(x1，0) ，(x2，0)和另一点坐标⑵已知抛物线对称轴方程、与x轴一个交点坐标和抛物线上另一点的坐标⑶已知抛物线对称轴方程、图象与x轴两交点之间的距离、抛物线上一点的坐标例、已知抛物线与x轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。

例、二次函数图象的对称轴是x= –1，与x轴交点的坐标是（1，0），且经过点（2，10），求此二次函数的关系式。

例、抛物线的顶点为（－1，－8），它与x轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

变式、二次函数的图象与x轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。

四、知图象的平移、旋转、轴对称求解析式，一般是把已知图象的解析式写成y=a(x－h)2+k的形式。

待定系数法,、二次函数与一元二次方程 专题训练二

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