含参不等式的解法

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含参不等式解法

含参不等式

题型一：解含参不等式

例1解关于x 的不等式

)2,1(0)2()1)((≠≠>---a a x x a x 且

变式1：解关于x 的不等式

)(0)()(2R a a x a x ∈<--

例2. 解关于x 的不等式

)(12)1(R a x x a ∈>--

变式2：解关于x 的不等式0)2)(2(>--ax x

题型二：含参不等式与集合运算

例1设R B A B A a x x B x x A =∅=≤-=>-= ,},1|2||{},1|12||{，求实数a 的值.

变式1：已知集合}02|{2≤--∈=x x R x A ，}3|{+<<∈=a x a R x B 且∅=B A ，则实数a 的取值范围是

题型三：不等式的恒成立问题

例1若不等式03)1(4)54(22>+---+x a x a a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取值范围

变式1：设关于x 的不等式04)2(2)2(2<--+-x x x a 的解集为R ，求a 的取值范围

例2若a x x >+--|5||2|恒成立，则实数a 的取值范围是____________ _________

变式2：若不等式a x x ≤++-|3||4|的解集为空集，则实数a 的取值范围是

三、巩固练习

1.若不等式)0(02≠<++a a x ax 无解，则a 的取值范围是（）

.≥-≤a a A 或 21

x C 21.≥a D 2.设集合}044|{},01|{2恒成立对任意实数x mx mx

R m Q m m P <-+∈=<<-=，则下列关系式中成立的是（）

含参数的不等式的解法

解含参数的不等式的一般步骤如下：

步骤1：确定参数的取值范围

对于含参数的不等式，首先要确定参数可以取哪些值。常见的含参数

的不等式有以下几种类型：

1.参数出现在不等式的左右两侧：例如，a，x，

是参数。如果参数a和b都是非负数，则取值范围为[0,+∞)，如果参数

a为负数而b为非负数，则取值范围为(-∞,+∞)。

2. 参数出现在不等式的系数中：例如，ax + b > 0，其中a和b是

参数。对于一次不等式，如果参数a为正数，则取值范围为(-∞, -b/a)；如果参数a为负数，则取值范围为(-b/a, +∞)。对于二次不等式，需要

讨论a的正负和零的情况，进而确定取值范围。

3.参数出现在不等式的指数中：例如，x^a>b，其中a和b是参数。

对于参数b，需要讨论它的正负和零的情况，进而确定取值范围。对于参

数a，如果它为正数，则不等式的解集为(0,+∞)；如果它为负数，则不

等式的解集为(-∞,0)。

步骤2：解参数的不等式

在确定参数的取值范围之后，可以根据具体的参数取值情况来解不等式。根据参数的不同取值情况，采用不同的解法。

1.解参数出现在不等式的左右两侧的不等式：

-如果参数都是非负数，则可以直接从不等式中消去绝对值符号，并

分析绝对值的取值范围，最后得到一个简单的数学不等式。

-如果参数一个是负数一个是非负数，则需要分情况讨论，考虑不等式两侧的符号。

2.解参数出现在不等式的系数中的不等式：

-如果参数是一个正数或负数，则根据参数的正负讨论不等式两侧的符号，并得到一个简单的数学不等式。

-如果参数是一个未知数，可以根据参数的取值范围来讨论参数与未知数的关系，然后解不等式。

含参不等式以及含参不等式组的解法

不等式在中考中的运用，往往掺杂参数来增加难度，我们只要读清楚题目找到解题思路便能迎刃而解了。本节课我们就重点讲讲如何读题去寻找解题思路。含参不等式：

解不等式5（x-1）<3x+1

通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x<3 求不等式

57x -<3

-x 的最小整数解. 通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x>8

,故可以得出最小整数为4.

在这些需要讨论的情况下，等号最后讨论才方便，不会讨论重合。例题：1、求不等式kx+2>2x-3的解集移项、合并同类项、讨论取值

2、（1）求不等式解集mx+a>nx+b 移项、合并同类项、讨论取值

（2）（m-1）x>a 2+1对于任意x 都成立，则参数m 的值为练习：1、求不等式kx+2>3的解集

2、（1）求不等式mx-2<-7-nx 的解集（2）求不等式m 2x+1<-x+5的解集

3、关于x 的方程5x-2m=-4-x 的解满足2<x<10，求m 的取值范围。

2、解关于x 的不等式组⎩⎨⎧+->+-<-8

)21(563x m x mx mx

3、如果一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-a

x x 4

（1）有解，求a 的取值范围。

（2）无解，求a 的取值范围。

(3)有且只有一个解，求a 的取值范围。（4）只有两个整数解，求a 的取值范围。

含参数不等式的解法

含参数不等式总结

一、通过讨论解带参数不等式

例1：2(1)0x x a a --->

例2:关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。

二、已知解集的参数不等式

例3：已知集合

{}2540A x x x =-+|≤，{}2|220B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，求实数a

的取值范围．

三、使用变量分离方法解带参数不等式例4：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1

(0,)2

x ∈成立，则a 的取值范围. 例5：设()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数

且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。

例6：已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。

思考：对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范

围。如何求解？

分离参数法适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。

四、主参换位法解带参数不等式

某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。

解答含参不等式问题常用的几种方法

考点透视

含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程

等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简

单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们

的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答

含参不等式问题的几种常用方法.

一、判别式法

判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.

解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不

等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判

别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等

式，求得问题的答案.

例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a

的取值范围为_____.

解：当a=0时，1≥0，

不等式ax2-2ax+1≥0成立；

当a≠0时，{a>0，

Δ≤0，解得0<a≤1；

综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.

该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需

分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求

解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一

元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程

的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴

的不等式，从而求得参数的取值范围.

二、分离参数法

分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不

等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后

根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含

有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一

边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.

例2.当x∈()

1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成

立，则实数a的取值范围为_____.

解：因为x∈()

1,+∞，则x-1>0，

含参量不等式解法解析

一、含参量的一元二次不等式解法

例1 解关于x的不等式ax2+2x+1＜0(ar)。

分析：对含参量的一元二次不等式的讨论首先讨论二次项系数，再判断“△”与零的关系。一般还要对根的大小进行比较。判断根的大小结合二次函数的图象写解集

解：（1）当a=0时，原不等式的解集为{x|x＞-■}。

（2）当a>0时，方程ax2+2x+1=0，△=4－4a。

①若△>0，即0时，方程ax2+2x+1=0的两个解为x1=■，x2=■，x1＜x2。

所以原不等式的解集为{|x＜■,或x＞■ }。

②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为{x|x≠-1}。

③若△1时，原不等式的解集为R。

④当a0，方程两个解为x1=■，x2=■，且x1>x2。

原不等式的解集为{x|■＜x＜■}。

总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式”△”进行讨论。（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。

二、含参数的绝对值不等式的讨论方法

例2 解关于x的不等式|x2+2x-3|＞a。

错解：|x2+2x-3|＞a。

当x2+2x-3＞a时，解得x＞-1+■。

含参不等式的解法

分式不等式解法为：可以用同解原理去分母，解分式不等式；如f(x)/g(x)\ue0或

f(x)/g(x)\uc0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0），则f（x）g（x）\ue0,或f（x）g（x）\uc0。然后因式分解找零点，用穿针引线法。

分式不等式第一种解法为：令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解

的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负

从右下向上依次穿过。分式不等式第二种解法为：移项、通分将右面化为0，左面为分式

的形式；令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分

母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。

含参不等式的例题

含参不等式是指在不等式中包含了参数的不等式。在数学中，含参不等式是一个非常重要的概念，可以用于解决许多实际问题。下面是一些例题和拓展:

1. 求解含参不等式

给定不等式:

a x +

b y +

c z +

d w +

e > 0

其中，a、b、c、d、e 是实数常数，x、y、z、w 是实数变量。求出所有满足不等式的实数常数 a、b、c、d、e 和实数变量 x、y、z、w。

解:

首先对不等式进行化简，得到:

(a x + b y + c z + d w + e) / (x + y + z + w) > 0

然后，将不等式两边同时乘以 (x + y + z + w),得到:

a (x + y + z + w) +

b (x + y + z) +

c (x + z) +

d (w + x) +

e (x + y) > 0

继续化简，得到:

a (x + y + z + w) +

b (x + y + z) +

c (x + z) +

d (w + x) +

e (x + y) > a (x + y + z + w) + b (x + y + z) + c (x + z) + d (w + x) + e (x)

将不等式再次化简，得到:

(a + b + c + d + e) (x + y + z + w) > a + b + c + d + e x

根据题意，我们要求解所有满足不等式的实数常数 a、b、c、d、e 和实数变量 x。我们可以通过枚举所有可能的实数常数 a、b、c、d、e 和实数变量 x，然后检查不等式是否成立。具体而言，我们可

含参不等式的解法

不等式(3)----含参不等式的解法

当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式

一、含参数的一元二次不等式的解法：

例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈

分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－10, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。解：11,|;4m x x ⎧

⎫=-≥⎨⎬⎩⎭

当时原不等式的解集为 ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);

34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=

一元一次不等式含参问题解法

一元一次不等式含参问题的解法，可以按照以下步骤进行：

1.根据题意，设出不等式的一般形式，即 Ax + B > 0 或 Ax + B < 0

2.根据题目中的已知条件，列出方程或不等式，得到关于未知数 x 的方程或不等式

3.解方程或不等式，得到未知数 x 的取值范围

举一个例子：

假设我们要解一个一元一次不等式：2x - 1 > 3，其中参数 a = 2， b = -1，c = 3

4.根据题意，设出不等式的一般形式，即 2x -1 3

5.根据题目中的已知条件，列出方程或不等式，得到关于未知数 x 的方程或不等式

2x -1 3 => 2x > 3

6.解方程或不等式，得到未知数 x 的取值范围

2x > 3

=> x > (3/2)

所以，这个一元一次不等式的解为：x > (3/2)

含参的一元二次不等式的解法

含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。

解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。

一、图像法：

对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3

= -1。然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。

根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。

二、开方法：

对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考

专题三含参不等式

一、含参不等式的解法：

含参数问题的讨论是数学学习中的一个难点。关键是要弄清为何讨论、如何讨论。在解决这类类问题时，应正确认识问题中的参数，从而形成解决参数问题的正确思维习惯与解题思想。由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成是常数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行转化；但在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不确定性影响，若有不确定性则予以讨论，否则不予讨论。例1、解关于x 的不等式)0,0(,|2|>>≥-b a bx ax

例2、解关于x 的不等式：[(m+3)x-1](x+1)>0 (m ∈R)

例3、解关于x 的不等式

0212>---x x ax

例4、解关于x 的不等式

)1(,12

)1(≠>--a x x a

二、含参不等式中的逆向问题

1、含参不等式的解集与系数的关系：

例6、关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}2

12|{->-<x x x 或求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集．

例7、若不等式6|2|<+ax 的解集为)2,1(-，则实数a 等于（）

A 、8

B 、2

C 、-4

D 、-8

例8、已知关于x 的不等式0>+n mx 的解集为}2|{>x x ，解关于x 的不等式022>-++x x n mx

2.不等式的恒成立问题

①对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a

含参不等式的解法(老师版)

含参数的不等式的解法

解含参数的不等式的步骤： 1.(,,)x a x a x a x a ><≥≤型的不等式在解答时，需讨论a 的取值范围。

2. 含参数的一元二次不等式的解答步骤：

（1）二次项若含有参数应讨论是小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正数的形式进行解答；

(2)若不能判断相应的二次方程的判别式∆的符号，则分0,0,0∆>∆=∆<三种情况进行讨论；

（3）若不等式对应的方程的两个根的大小不能确定，则按两个根的大小进行分类讨论。例1.解关于x 的不等式：|23|1x a +-<

例2.解关于x 的不等式：0)1(2

>--+m x m x

解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？)

（1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m

（2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122>+-x x ∴x ≠1

（3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1

综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当

例3:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解）

解：()a a 422--=∆ （方程有没有根，取决于谁？）

()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=∆

分类讨论解含参不等式

含参数不等式的解法是不等式解法中的重点，又是难点。如何确定正确的分类标准，对参数进行分类讨论是解决这类问题的关键。下面就含参数的绝对值不等式与一元二次不等式的解法加以说明。

一、含参数的绝对值不等式

例1. 解关于x 的不等式：132+>-a a x

分析：原不等式形如()a x f >，只要对右边正、负、零加以讨论，即可转化为一般的绝对值不等式来解

解：①当01<+a ，即1-<a 时，显然不等式恒成立，故解集为R

②当01=+a ，即1-=a 时，原不等式可化为032>+x ，得R x ∈且2

3-≠x ③当01>+a ，即1->a 时，132+>-a a x 或132--<-a a x ，即得212+>a x 或2

1-<a x 综上所述，当1-<a 时，原不等式的解集为R ；当1-=a 时，原不等式的解集为{x|R x ∈且23-

≠x }；当1->a 时，原不等式的解集为{x|212+>a x 或2

1-<a x }。【评注】本题属较简单的分类讨论问题，根据题目具体情况只须对1+a 分三种情况分类讨论，这种逻辑分类不是主观的臆断和随意的猜测，完全是由题目形式本身决定的。

二、含参数的一元二次不等式

例2.解关于x 的不等式：()0222<-≥-a ax x ax

分析：此不等式为含参的一元二次不等式，可以因式分解后对对应方程的根的大小比较及二次项系的正负确定不等式的解

解：原不等式变形得()0222≥--+x a ax ，因式分解得()()012≥+-x ax ，

含参不等式的解题方法与技巧

1、含参不等式的解题方法与技巧

一、等式的转换

1、将含参不等式化简成两端同乘的等式：用一次列式，将参数移至另一边；

2、将等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；

3、将等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数或消去；

4、将等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数或消去。

二、不等式的转换

1、将含参不等式化简成两端同乘的不等式：用一次列式，将参数移至另一边；

2、将不等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；

3、将不等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数，这时一般要保留不等式的方向；

4、将不等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数。

三、解题方法

1、先求出不含参数的区间：让参数的系数取已知值，把不等式化为等式，解出已知系数的不含参数的解；

2、在不含参数的区间内求参数的区间：把不等式再化为等式，

分别令不含参数的解取已知系数的区间的上下两端的值，解出参数的区间；

3、再求参数的解：在参数的区间内分别求解参数的解，得到参数的解。

四、解题技巧

1、确定不等式的方向：通过乘以系数，把等式变为不等式；

2、选择合适的参数：选择不含参数的系数，以使参数的系数取一个易于使用的值；

3、求解参数的解：根据不等式的方向，在参数的区间内，用二分法或牛顿迭代法求解参数的解。

不等式含参题型及解题方法初一下册

一、不等式含参题型介绍

不等式含参题型是初中数学中的重要知识点，通常在初一下册的数学教学中进行学习和训练。不等式含参题型是指含有未知数的不等式，通过对不等式进行变形求解未知数的取值范围。

二、不等式含参题型的解题方法

1.确定不等式的类型和形式

在解不等式含参题型时，首先要确定不等式的形式，包括一元一次不等式、一元二次不等式等等。根据不等式形式的不同，采取相应的解题方法。

2.移项变形

对于一元一次不等式，通常采用移项变形的方法进行求解。通过在不等式两边进行加减运算，将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，从而得到未知数的取值范围。

3.化简并求解

对于一元二次不等式，通常需要先将不等式进行化简，然后再通过代数方法或图像法求解。化简包括合并同类项、配方等步骤，通过化简后的形式求解未知数的取值范围。

4.运用不等式性质

在解不等式含参题型时，还可以运用不等式的性质进行求解。常用的不等式性质包括加法性质、乘法性质等，通过这些性质对不等式进行变形和运算，从而得到未知数的取值范围。

5.综合运用

在实际的不等式含参题型中，通常需要综合运用以上的方法进行求解。需要根据具体的不等式形式和题目要求，选择合适的解题方法进行求解，从而得到正确的结果。

三、不等式含参题型的典型例题及解析

题目一：已知不等式2x + 3 < 7，求x的取值范围。

解析：首先将不等式进行移项变形，得到2x < 4。然后将不等式两边都除以2，得到x < 2。所以不等式2x + 3 < 7的解集为x < 2。

含参不等式的解法

含参不等式解法

含参数的不等式的解法

含参不等式以及含参不等式组的解法

含参数不等式的解法

解答含参不等式问题常用的几种方法

含参量不等式解法解析

含参不等式的解法

含参不等式的例题

含参不等式的解法

一元一次不等式含参问题解法

含参的一元二次不等式的解法

专题三 含参不等式

含参不等式的解法(老师版)

分类讨论解含参不等式

含参不等式的解题方法与技巧

不等式含参题型及解题方法初一下册

专题三含参不等式