第4~6章 典型例题
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数,所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 : 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 , 则 µn ~ B(n, p) , 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理, µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式,则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解:由于 E(X + Y ) = 0 ,
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ,
( D )服从同一离散型分布。
分析:林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在,这时,当 n 充分大时, Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解:显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布,可排除。 选项 C 给出了指数分布,此时独立同分布显然满足,而且由于是指数分布, 方差肯定存在,故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述,此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在,因此也应排除。 故选 C 。 注:本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析:证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似,利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
北师大版数学八年级上册全册复习典型例题
考点二 直角三角形的判别
例 2 如图 1-1,在正方形 ABCD 中,F 为 DC 的中点,E 为 BC 上一点,且 EC=14BC,请说明:AF⊥EF.
图 1-1
[解析] 要说明 AF⊥EF,可说明△AEF 是直角三角形,只要根 据勾股定理的逆定理说明 AF2+EF2=AE2 就可以了.
解:连接 AE,设正方形边长为 a,则 DF=FC=a2,EC=a4.
找出格点C,使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形,这样
的点有____6____个.
图1-8 图1-9
[解析] 如图1-9,当∠A为直角时,满足面积为1的点是A1、 A2;当∠B为直角时,满足面积为1的点是B1、B2;当∠C为直角 时,满足面积为1的点是C、C1,所以满足条件的点共有6个.
3.已知三角形的三边为 a=34,b=54,c=1,这个三角形是 直角三角形吗?
图1-17
13.如图1-18,在直线l上依次摆放着三个正方形,已知中间 斜放置的正方形的面积是6,则正放置的两个正方形的面积之和 为( A )
图1-18
A.6 B.5 C. 6 D.36
14.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点 沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路线的长是__1_0_____.
6.B、C 是河岸边两点,A 为对岸岸上一点,测得∠ABC=45°, ∠ACB=45°,BC=50 m,则河宽 AD 为( )
B
A.25 2 m B.25 m
50 C. 3 3 m
D.25 3 m
图 1-10
7.如图1-11,已知△ABC中,∠C=90°,BA=15,AC=12,
以直角边BC为直径作半圆,则这个半圆的面积是__8_81_π____.
【精选】人教版七级数学上册第4-6章专题训练汇总(20200906110133)
8.甲、乙两地相距 s(km ),某人计划用 t(h)到达.若因急事需提前 1h 到达,则每小时
应多走 ____________千米.
9.小红每分钟走 am,小亮每分钟比小红多走 能走 ____________ m.
8m,用小红走 bm 路所用的时间,小亮
10.甲、乙两人从同一地点出发,甲的速度是 空:
C 组 综合运用
16.一艘船在水中航行,已知该船在静水中的速度为每小时 时 n 千米,回答下列问题:
m 千米,水流速度为每小
(1)船顺流航行 a 千米需多少小时?船逆流航行 a 千米需多少小时? (2)如果 A 码头与 B 码头相距 x 千米,那么船在两个码头之间往返一次需多少小时?
(3)如果该船从 A 码头出发,先顺流航行了 么这时船离 A 码头多远?
(2)比 a 大 10% 的数表示为 ____________ ;某种品牌的空调机降价 20% 后,每台售价为
a 元,则该品牌的空调机的原价为 ____________ 元. 7.三个连续奇数,中间的一个为 n,则另两个分别为 ____________ .
8.n 是任意整数,我们常用 2n 表示偶数,由此想到奇数可以表示为 ____________,比 2n 小的最大奇数为 ____________.
6.将连续的自然数 1~ 36 按如图所示的方式排成一个正方形阵列,用一个小正方形任 意圈出其中的 9 个数,设圈出的正中心的数为 a,用含有 a 的代数式表示这 9 个数的和为
____________.
第 6 题图
7.根据排列规律,在横线上填上合适的代数式:
x,3x2,5x3,____________ ,9x5,… .
11. (1)用含字母 a 的算式表示图中阴影部分的面积.
第6章复习典型例
D
2.如图,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD。 (1)图中∠AOF的余角是 (把符合条件的角都填出 来)。 (2)图中除直角相等外,还有相等的角,请写出三对: ① ;② ; E F ③ 。 D (3)①如果∠AOD=140°. 那么根据 , A B 可得∠BOC= 度。 1 O EOF AOD , ②如果 5 求∠EOF的度数。
第6章习典型例题
一、有关线段及中点的计算
1.已知如图,延长线段AB到C,使BC=2AB, 取AC的中点D,若BC=6厘米,求BD的 长.
2.已知线段AC和BC在同一条直线上,若 AC=12厘米,BC=8厘米,线段AC的中 点为M,BC的中点为N,试求M、N两点之 间的距离.
3.如图,则AC的取值范围 ( ) A.大于b B.小于a C.大于b且小于a D.无法确定
C
3.如图,已知∠AOB是直角,∠BOC =60 °, OE平分∠AOC,OF平分 ∠BOC. (1)求∠EOF的度数; (2)若将条件“∠AOB是直角, ∠BOC=60 °”改为:∠AOB= x ° ,∠EOF=y ° ,其它条件不 变. ①则请用x的代数式来表示y. ②如果∠AOB+∠EOF=156 °.则 ∠EOF是多少度?
B A
12.钟表8时30分时,时针与分针所成的角的 度数为 ( ) A、30° B、 60° C、75° D、90°
13.如图,在一个正方体的两个面上画了两条 对角线AB,AC,那么这两条对角线的夹角 C 等于 ( ) A A、60 ° B、75 ° C、90 ° D、135 °
B
7.按语句画图. (1)作锐角∠AOB; (2)作射线OC⊥OA,OD⊥OB; (3)判断∠AOB与∠COD的关系,并且说 明理由.
概率论第4-6章课后习题答案
概率论第4-6章课后习题答案(总29页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题四1.设随机变量X 的分布律为X 1 0 12P 1/8 1/2 1/81/4求E (X 【解】(1)11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2)2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.X 0 1 2 3 4 5P 5905100C 0.583C = 1410905100C C 0.340C = 2310905100C C 0.070C = 3210905100C C 0.007C = 4110905100C C 0C = 5105100C 0C =故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,=520()[()]i ii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.X 1 01P p1 p2 p3且已知E (【解】因1231PP P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X PP P P P =-++=-=……②, 222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.PP P === 4.袋中有N 只球,其中的白球数X 为一随机变量,已知E (X )=n ,问从袋中任取1球为白球的概率是多少【解】记A={从袋中任取1球为白球},则0(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑全概率公式001{}{}1().NNk k k P X k kP X k NN n E X NN ========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求E (X ),D (X ). 【解】12201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x+∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰故221()()[()].6D X E X E X =-= 6.设随机变量X ,Y ,Z 相互独立,且E (X )=5,E (Y )=11,E (Z )=8,求下列随机变量的数学期望. (1) U=2X+3Y+1; (2) V=YZ 4X. 【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=-,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立1184568.=⨯-⨯=7.设随机变量X ,Y 相互独立,且E (X )=E (Y )=3,D (X )=12,D (Y )=16,求E (3X 2Y ),D (2X 3Y ).【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2)22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k 试确定常数k ,并求E (XY ). 【解】因101(,)d d d d 1,2xf x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k=210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为fX (x )=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x fY (y )=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他求E (XY ).【解】方法一:先求X 与Y 的均值102()2d ,3E X x x x ==⎰ 5(5)500()ed 5e d e d 51 6.z y y zz E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性,得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=方法二:利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立,故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他 于是11(5)2(5)552()2ed d 2de d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ,Y 的概率密度分别为fX (x )=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e fY (y )=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e求(1) E (X+Y );(2) E (2X 3Y2). 【解】22-200()()d 2e d [e ]e d x x xX X xf x x x x x x+∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e dy .4y Y E Y yf y y y +∞+∞--∞==⎰⎰22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+= (2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx x k e求(1) 系数c;(2) E (X );(3) D (X ).【解】(1) 由2220()d e d 12k x cf x x cx x k +∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =.(2)222()()d()2ed k x E X xf x x x k x x+∞+∞--∞==⎰⎰22220π2e d .2k x k x x k +∞-==⎰(3)222222201()()d()2e .kxE X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰故222221π4π()()[()].4D X E X E X k k -=-=-=⎝⎭12.袋中有12个零件,其中9个合格品,3个废品.安装机器时,从袋中一个一个地取出(取出后不放回),设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ,求E (X )和D (X ).【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数,则X 的可能取值为0,1,2,3.为求其分布律,下面求取这些可能值的概率,易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=X 0 1 2 3P由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布,概率密度为 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,工厂获利100元,而调换一台则损失200元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值:100元和200元/41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e .P Y P X -=-=<=- 故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元). 14.设X1,X2,…,Xn 是相互独立的随机变量,且有E (Xi )=μ,D (Xi )=σ2,i=1,2,…,n ,记∑==n i i S X n X 12,1,S2=∑=--n i i X X n 12)(11.(1) 验证)(X E =μ,)(X D =n 2σ;(2) 验证S2=)(11122∑=--ni i X n X n ;(3) 验证E (S2)=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑ 22111111()()n nni i i ii i i D X D X D X X DXn nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立2221.n n n σσ==(2) 因222221111()(2)2nnnniii iii i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑.(3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+ 同理因2(),()E X u D X n σ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑ 221222221[()()]11().1n i i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ,已知D (X )=2,D (Y )=3,Cov(X,Y)=1,计算:Cov (3X 2Y+1,X+4Y 3).【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=-(因常数与任一随机变量独立,故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的,但X 和Y 不是相互独立的.【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤. 2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰ 同理E(Y)=0.而Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰,由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关.下面讨论独立性,当|x|≤1时,1()X f x y当|y|≤1时,1()Y f y x .显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠故X 和Y 不是相互独立的.17. 1 0 11 0 1 验证X 和Y 【解】联合分布表中含有零元素,X 与Y 显然不独立,由联合分布律易求得X ,Y 及XY 111由期望定义易得E (X )=E (Y )=E (XY )=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X 与Y 的相关系数为0,从而X 和Y 是不相关的.又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=-从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量(X ,Y )在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求Cov (X ,Y ),ρXY.【解】如图,SD=12,故(X ,Y )的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰1101d 2d 3xxx y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰11201d 2d 6x x x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 同理11(),().318E Y D Y == 而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-.从而11362()()111818XY D X D Y ρ-===-⨯19.设(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他 求协方差Cov (X ,Y )和相关系数ρXY.【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x xx y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D X E X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+-又π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故2ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222π4Cov(,)(π4)π8π164.πππ8π32π8π32()()2162XY X Y D X D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+-20.已知二维随机变量(X ,Y )的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111,试求Z1=X 2Y 和Z2=2X Y 的相关系数.【解】由已知知:D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯= 12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故121212513.26()()134Z Z D Z D Z ρ===⨯21.对于两个随机变量V ,W ,若E (V2),E (W2)存在,证明:[E (VW )]2≤E (V2)E (W2). 这一不等式称为柯西许瓦兹(Couchy Schwarz )不等式.【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈ 显然22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈ 可见此关于t 的二次式非负,故其判别式Δ≤0,即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=-2224{[()]()()}.E VW E V E W =- 故222[()]()()}.E VW E V E W ≤ 22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F (y ).【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间,由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E(λ),E(X)=1λ=5.依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.对于0≤y<2,当x≥0时,在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1e λx,所以F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1e y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数Z 的数学期望;(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】(1) Z 的可能取值为0,1,2,3,Z 的概率分布为33336C C {}C k k P Z k -==, 0,1,2,3.k =Z=k 0 1 2 3 Pk120 920 920 120因此,19913()0123.202020202E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=(2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”,根据全概率公式有30(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑191921310.202062062064=⨯+⨯+⨯+⨯= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布N (μ,1),内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品.销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,已知销售利润T (单位:元)与销售零件的内径X 有如下关系T=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,1X X X 若若若问:平均直径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大 【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->{10}20{1012}5{12}(10)20[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10) 5.P X u u P u X u u P X u u u u u u u u =--<-+-≤-≤--->-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ-- 故2/2d ()125(12)(1)21(10)(1)0(()e ),d 2x E T u u x u ϕϕϕπ-=-⨯---⨯-= 令这里得 22(12)/2(10)/225e21e u u ----=两边取对数有2211ln 25(12)ln 21(10).22u u --=--解得 125111ln 11ln1.1910.91282212u =-=-≈(毫米)由此可得,当u=毫米时,平均利润最大.25.设随机变量X 的概率密度为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,2cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于π/3的次数,求Y2的数学期望. (2002研考)【解】令π1,,3(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩X .则41~(4,)i i Y Y B p ==∑.因为ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11{}cos d 3222x P X x ≤==⎰,所以111(),(),()42,242i i E Y D Y E Y ===⨯= 2211()41()()22D Y E Y EY =⨯⨯==-,从而222()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+= 26.两台同样的自动记录仪,每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布,首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t),数学期望E (T )及方差D (T ).【解】由题意知:55e ,0,()0,0t i t f t t -⎧≥=⎨<⎩. 因T1,T2独立,所以fT(t)=f1(t)*f2(t).当t<0时,fT(t)=0;当t≥0时,利用卷积公式得55()5120()()()d 5e 5e d 25e tx t x tT f t f x f t x x x t +∞-----∞=-==⎰⎰故得525e ,0,()0,0.t T t t f t t -⎧≥=⎨<⎩ 由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=15,D(Ti)=125(i=1,2)因此,有E(T)=E(T1+T2)=25.又因T1,T2独立,所以D (T )=D (T1+T2)=225.27.设两个随机变量X ,Y 相互独立,且都服从均值为0,方差为1/2的正态分布,求随机变量|X Y|的方差.【解】设Z=X Y ,由于22~0,,~0,,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 且X 和Y 相互独立,故Z~N (0,1). 因22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-22()[()],E Z E Z =-而22/21()()1,(||)||e d 2πz E Z D Z E Z z z +∞--∞===⎰2/2022e d π2πz z z +∞-==⎰, 所以2(||)1πD X Y -=-.28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1),各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格产品时,即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ,求E (X )和D (X ). 【解】记q=1p,X 的概率分布为P{X=i}=qi 1p,i=1,2,…,故12111()().1(1)i ii i q p E X iq p p q p q q p ∞∞-=='⎛⎫'===== ⎪--⎝⎭∑∑ 又221211121()()i i i i i i E X i q p i i q p iq p∞∞∞---=====-+∑∑∑2232211()12112.(1)ii q pq q pq p q p pq q p q p p p ∞=''⎛⎫''=+=+⎪-⎝⎭+-=+==-∑所以22222211()()[()].p pD XE X E X p p p --=-=-=题29图29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点(0,1),(1,0)及(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布.(如图),试求随机变量U=X+Y 的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2[E(XY)E(X)·E(Y)].由条件知X 和Y 的联合密度为2,(,),(,)0,0.x y G f x y t ∈⎧=⎨<⎩ {(,)|01,01,1}.G x y x y x y =≤≤≤≤+≥ 从而11()(,)d 2d 2.X xf x f x y y y x +∞-∞-===⎰⎰因此11122300031()()d 2d ,()2d ,22X E X xf x x x x E X x x =====⎰⎰⎰22141()()[()].2918D X E X E X =-=-=同理可得31(),().218E Y D Y == 1115()2d d 2d d ,12xGE XY xy x y x x y y -===⎰⎰⎰⎰541Cov(,)()()(),12936X Y E XY E X E Y =-=-=- 于是1121()().18183618D U D X Y =+=+-=30.设随机变量U 在区间[2,2]上服从均匀分布,随机变量X=1,1,1,1,U U -≤-⎧⎨>-⎩ Y=1,1,1, 1.U U -≤⎧⎨>⎩若试求(1)X 和Y 的联合概率分布;(2)D (X+Y ).【解】(1) 为求X 和Y 的联合概率分布,就要计算(X ,Y )的4个可能取值(1,1),(1,1),(1,1)及(1,1)的概率. P{x=1,Y=1}=P{U≤1,U≤1}112d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-===⎰⎰ P{X=1,Y=1}=P{U≤1,U>1}=P{∅}=0,P{X=1,Y=1}=P{U>1,U≤1}11d 1{11}44x P U -=-<≤==⎰21d 1{1,1}{1,1}{1}44x P X Y P U U P U ===>->=>=⎰.故得X 与Y 的联合概率分布为(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110424X Y ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X+Y 及(X+Y )2的概率分布相应为202~111424X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦, 24()~1122X Y ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦.从而11()(2)20,44E X Y +=-⨯+⨯=211[()]042,22E X Y +=⨯+⨯=所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+=31.设随机变量X 的概率密度为f(x)=x -e 21,(∞<x<+∞)(1) 求E (X )及D (X );(2) 求Cov(X,|X|),并问X 与|X|是否不相关 (3) 问X 与|X|是否相互独立,为什么 【解】(1)||1()e d 0.2x E X xx +∞--∞==⎰2||201()(0)e d 0e d 2.2x x D X x x x x +∞+∞---∞=-==⎰⎰(2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-=||1||e d 0,2x x x x +∞--∞==⎰所以X 与|X|互不相关.(3) 为判断|X|与X 的独立性,需依定义构造适当事件后再作出判断,为此,对定义域∞<x<+∞中的子区间(0,+∞)上给出任意点x0,则有0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂< 所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<< 故由00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<得出X 与|X|不相互独立.32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (1,32)和N (0,42),且X 与Y 的相关系数ρXY=1/2,设Z=23Y X +. (1) 求Z 的数学期望E (Z )和方差D (Z );(2) 求X 与Z 的相关系数ρXZ ;(3) 问X 与Z 是否相互独立,为什么【解】(1) 1().323X Y E Z E ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()2Cov ,3232XY X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11119162Cov(,),9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯而1Cov(,)()()3462XY X Y D X D Y ρ⎛⎫==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭所以 1()146 3.3D Z =+-⨯=(2) 因()()11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 119()(6)3=0,323D X =+⨯-=-所以 0.()()XZ D X D Z ρ==(3) 由0XZρ==,得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫⎪⎝⎭,所以X 与Z 也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数XY ρ.【解】由条件知X+Y=n ,则有D (X+Y )=D (n )=0.再由X~B(n,p),Y~B(n,q),且p=q=12,从而有()()4nD X npq D Y ===所以 0()()()2()()XY D X Y D X D Y D X D Y ρ=+=++2,24XY n nρ=+ 故XY ρ=1.34.设随机变量X 和Y 的联合概率分布为1 0 11试求X 和Y 的相关系数ρ.【解】由已知知E(X)=,E(Y)=,而XY 的概率分布为YX 1 01P所以E (XY )=+= Cov(X,Y)=E(XY)E(X)·E(Y)=×=0 从而 XY ρ=035.对于任意两事件A 和B ,0<P(A)<1,0<P(B)<1,则称ρ=())()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证:(1) 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0; (2) |ρ|≤1.【证】(1)由ρ的定义知,ρ=0当且仅当P(AB)P(A)·P(B)=0.而这恰好是两事件A 、B 独立的定义,即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为1,,0,A X A ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生; 1,,0,B Y B ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生.由条件知,X 和Y 都服从01分布,即01~1()()X P A P A ⎧⎨-⎩ 01~1()()Y P B P B ⎧⎨-⎩ 从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B), D(X)=P(A)·P(A ),D(Y)=P(B)·P(B ),Cov(X,Y)=P(AB)P(A)·P(B)所以,事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为fX(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-.,0,20,41,01,21其他x x令Y=X2,F (x,y )为二维随机变量(X ,Y )的分布函数,求: (1) Y 的概率密度fY(y);Y X(2) Cov(X,Y);(3)1(,4)2F -.解: (1) Y 的分布函数为2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.当y≤0时, ()0Y F y =,()0Y f y =; 当0<y <1时,(){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤=<+≤≤=,()Y f y =;当1≤y<4时,1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤=()Y f y =;当y≥4时,()1Y F y =,()0Y f y =. 故Y 的概率密度为1,()04,0,.Y y f y y <<=≤<⎪⎩其他 (2)210111()()d d d 244+X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,2222210115()()()d d d )246+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,2233310117()()()d d d 248+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 故 Cov(X,Y) =2()()()3E XY E X E Y =⋅-.(3) 2111(,4){,4}{,4}222F P X Y P X X -=≤-≤=≤-≤11{,22}{2}22P X X P X =≤--≤≤=-≤≤-11{1}24P X =-≤≤-=. 37.习题五1.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X.估计P{10<X<18}. 【解】设i X 表每次掷的点数,则41ii X X ==∑22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 从而22291735()()[()].6212i i i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又X1,X2,X3,X4独立同分布.从而44117()()()414,2i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑44113535()()()4.123i i i i D X D X D X =====⨯=∑∑ 所以235/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈2. 假设一条生产线生产的产品合格率是.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件【解】令1,,0,i i X ⎧⎨⎩若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件,则i=1,2,…,n,且X1,X2,…,Xn 独立同分布,p=P{Xi=1}=. 现要求n,使得1{0.760.84}0.9.nii XP n=≤≤≥∑即10.8{}0.90.80.20.80.20.80.2ni i X n P n n n =-≤≤≥⨯⨯⨯⨯⨯⨯∑由中心极限定理得0.9,0.160.16n n Φ-Φ≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得0.95,n ⎛⎫Φ≥ ⎪ ⎪⎝⎭查表 1.64,n ≥n≥, 故取n=269.3. 某车间有同型号机床200部,每部机床开动的概率为,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量,应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ,而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目,则X~B (200,),()140,()42,E X D X ==0.95{0}().42P X m P X m =≤≤=≤=Φ ⎪⎝⎭ 查表知 1.64,42= ,m=151.所以供电能151×15=2265(单位).4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k=1,2,…,20),设它们是相互独立的随机变量,且都在区间(0,10)上服从均匀分布.记V=∑=201k kV,求P{V >105}的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=10012,k=1,2,…,20由中心极限定理知,随机变量201205~(0,1).10010020201212kk VZ N =-⨯==⨯⨯∑近似的于是105205{105}1010020201212P V P ⎧⎫⎪⎪-⨯⎪>=>⎨⎬⎪⎪⨯⨯⎪⎪⎩ 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=>≈-Φ=⎨⎬⎪⎪⨯⎪⎪⎩⎭即有 P{V>105}≈5. 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3m 的概率是多少 【解】设100根中有X 根短于3m ,则X~B (100,) 从而{30}1{30}11000.20.8P X P X ≥=-<≈-Φ⨯⨯ 1(2.5)10.99380.0062.=-Φ=-=6. 某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言.(1) 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是,问接受这一断言的概率是多少 (2) 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是,问接受这一断言的概率是多少【解】1,,1,2,,100.0,.i i X i ⎧==⎨⎩第人治愈其他令1001.i i X X ==∑(1) X~B(100,,1001{75}1{75}11000.80.2i i P X P X =>=-≤≈-Φ⨯⨯∑ 1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ= (2) X~B(100,,1001{75}1{75}11000.70.3i i P X P X =>=-≤≈-Φ⨯⨯∑1(1(1.09)0.1379.21=-Φ=-Φ=7. 用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为的产品中,任取1000件,其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X,则p=,n=1000,X~B(1000,,E(X)=50,D(X)=.故130{20}6.895 6.895P Xϕ⎛⎫===-⎪⎝⎭61304.510.6.895 6.895ϕ-⎛⎫==⨯⎪⎝⎭8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T1,…,T30服从参数λ=[单位:(小时)-1]的指数分布,其使用情况是第一个损坏第二个立即使用,以此类推.令T 为30个器件使用的总计时间,求T超过350小时的概率.【解】11()10,0.1iE Tλ===21()100,iD Tλ==()1030300,E T=⨯=()3000.D T=故{350}111(0.913)0.1814.P T>≈-Φ=-Φ=-Φ=9. 上题中的电子器件若每件为a元,那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用(假定一年有306个工作日,每个工作日为8小时).【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10,D(Ti)=100,E(T)=10n,D(T)=100n.从而1{3068}0.95,niiP T=≥⨯=∑即0.05.≈Φ故0.95, 1.64272.n=Φ=≈所以需272a元.10. 对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量,设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为,,.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相与独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X超过450的概率(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】(1)以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为Xi2P易知E (Xi=),D(Xi)=,i=1,2, (400)而400ii X X =∑,由中心极限定理得400400 1.1400 1.1~(0,1).4000.19419iiXX N -⨯-⨯=⨯⨯∑近似地于是450400 1.1{450}1{450}1419P X P X -⨯⎛⎫>=-≤≈-Φ ⎪⨯⎝⎭ 1(1.147)0.1357.=-Φ=(2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,由拉普拉斯中心极限定理得{340(2.5)0.9938.4000.80.2P Y ≤≈Φ=Φ= ⎪⨯⨯⎝⎭11. 设男孩出生率为,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数,则X~B (10000,)要求女孩个数不少于男孩个数的概率,即求 P{X≤5000}. 由中心极限定理有{5000}(3)1(3)0.00135.100000.5150.485P X ≤≈Φ=Φ-=-Φ=⨯⨯12. 设有1000个人独立行动,每个人能够按时进入掩蔽体的概率为.以95%概率估计,在一次行动中:(1)至少有多少个人能够进入 (2)至多有多少人能够进入【解】用Xi 表第i 个人能够按时进入掩蔽体(i=1,2,...,1000). 令 Sn=X1+X2+ (X1000)(1) 设至少有m 人能够进入掩蔽体,要求P{m≤Sn≤1000}≥,事件{}.10000.90.190nn m S ≤=≤⨯⨯ 由中心极限定理知:{}1{}10.95.10000.90.1n n P m S P S m ≤=-<≈-Φ≥⨯⨯ 从而 0.05,90Φ≤故 9001.65,90m -=-所以 m==≈884人(2) 设至多有M 人能进入掩蔽体,要求P{0≤Sn≤M}≥.{}0.95.90n P S M ≤≈Φ= ⎪⎝⎭查表知90=,M=900+=≈916人. 13. 在一定保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求: (1) 保险公司没有利润的概率为多大;(2) 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数,则X~B (10000,).(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为{120}100000.0060.994100000.0060.994P X ϕ=≈⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭21(60/59.64)230.1811e 59.6459.64259.640.0517e 0ϕπ--== ⎪⎝⎭=⨯≈(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为{060}100000.0060.994100000.0060.994P X ≤≤≈Φ-Φ⨯⨯⨯⨯ (0)0.5.59.64⎛=Φ-Φ≈ ⎝14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计. (2001研考) 【解】令Z=X-Y ,有()0,()()()()2()() 3.E Z D Z D X Y D X D Y D X D Y ρ==-=+-=所以2()31{|()|6}{||6}.63612D X Y P Z E Z P X Y --≥=-≥≤==15. 某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查的100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数. (1) 写出X 的概率分布;(2) 利用中心极限定理,求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.(1988研考)【解】(1) X 可看作100次重复独立试验中,被盗户数出现的次数,而在每次试验中被盗户出现的概率是,因此,X~B(100,,故X 的概率分布是100100{}C 0.20.8,1,2,,100.kk k P X k k -===(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理,得{1430}P X ≤≤≈Φ-Φ (2.5)( 1.5)0.994[9.33]0.927.=Φ-Φ-=--=16. 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克,若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于.【解】设Xi (i=1,2,…,n )是装运i 箱的重量(单位:千克),n 为所求的箱数,由条件知,可把X1,X2,…,Xn 视为独立同分布的随机变量,而n 箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn 是独立同分布随机变量之和,由条件知: ()50,i E X =5,= ()50,n E T n ==依中心极限定理,当n~(0,1)N 近似地,故箱数n 取决于条件{5000}n P T P ≤=≤0.977(2).≈Φ>=Φ2>解出n<,即最多可装98箱.习题六1.设总体X~N (60,152),从总体X 中抽取一个容量为100的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n=100~(0,1)X Z N =即60~(0,1)15/10X Z N -=(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-< 2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=2.从正态总体N (,52)中抽取容量为n 的样本,若要求其样本均值位于区间(,)内的概率不小于,则样本容量n 至少取多大 【解】~(0,1)5/X Z N n -=2.2 4.2 6.2 4.2(2.2 6.2)()55P X P n Z n --<<=<<2(0.4)10.95,n =Φ-= 则Φn =,故n >,即n>,所以n 至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N (1000,σ2)(单位:小时),随机抽取一容量为9的样本,并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误,事后失去了此试验的结果,只记得样本方差为S2=1002,试求P (X >1062). 【解】μ=1000,n=9,S2=10021000~(8)100/3/X X t t S n -==10621000(1062)()( 1.86)0.05100/3P X P t P t ->=>=>=4.从一正态总体中抽取容量为10的样本,假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上,求总体的标准差. 【解】~(0,1)/X Z N n σ=,由P(|X -μ|>4)=得P|Z|>4(σ/n)=,故410210.02⎡⎤-Φ=⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即4100.99.Φ=⎝⎭查表得 4102.33,=所以5.43.σ==5.设总体X~N (μ,16),X1,X2,…,X10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本,S2为其样本方差,且P (S2>a )=,求a 之值.【解】2222299~(9),()0.1.1616S a P S a P χχχ⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭查表得 914.684,16a=所以14.6841626.105.9a ⨯==6.设总体X 服从标准正态分布,X1,X2,…,Xn 是来自总体X 的一个简单随机样本,试问统计量Y=∑∑==-ni ii i XX n 62512)15(,n >5服从何种分布【解】2522222211~(5),~(5)inii i i X X X n χχχ====-∑∑且12χ与22χ相互独立.所以2122/5~(5,5)/5X Y F n X n =--7.求总体X~N (20,3)的容量分别为10,15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于的概率.【解】令X 的容量为10的样本均值,Y 为容量为15的样本均值,则X ~N(20,310), Y ~N(20,315),且X 与Y 相互独立.则33~0,(0,0.5),1015X Y N N ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭那么~(0,1),X YZ N =所以(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ⎛->=>=- ⎝ 2(10.6628)0.6744.=-=8.设总体X~N (0,σ2),X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y=()21521221121022212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 .【解】~(0,1),iX N σi=1,2, (15)那么122210152222111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑且12χ与22χ相互独立,所以222110122211152/10~(10,5)2()/5X X X Y F X X X ++==++所以Y~F 分布,参数为(10,5).9.设总体X~N (μ1,σ2),总体Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,1n X 和Y1,Y2,…,2n X 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本,则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121221n n Y Y X X E n j j n i i = .【解】令 1222212111211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑则 122222112211()(1),()(1),n n ij i j XX n S y y n S ==-=--=-∑∑又2222221122112222(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=-那么1222112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑2221212221212[()()]2[(1)(1)]2E E n n n n n n σχχσσ=++-=-+-=+-10.设总体X~N (μ,σ2),X1,X2,…,X2n (n≥2)是总体X 的一个样本,∑==ni i X n X 2121,令Y=∑=+-+ni i n i X X X 12)2(,求E(Y).【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,n.则Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn 相互独立.令 2211, ()/1,nni i i i Z Z S Z Z n n ====--∑∑则 21111,222nn i ii i X X Z Z n n =====∑∑故 2Z X = 那么22211(2)()(1),nni n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑所以22()(1)2(1).E Y n ES n σ=-=-11. 设总体X 的概率密度为f(x)=x-e21 (-∞<x<+∞),X1,X2,…,Xn 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为S2,求E(S2). 解: 由题意,得1e , 0,2()1e ,0,2xx x f x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩于是2222222()()()()1()()d e d021()()d e d e d2,2xx xE S D X E X E XE X xf x x x xE X x f x x x x x x+∞+∞--∞-∞+∞+∞+∞---∞-∞==-=======⎰⎰⎰⎰⎰所以2()2E S=.31。
高数典型例题
第一章函数及其图形例1:().A. {x | x>3}B. {x | x<-2}C. {x |-2< x ≤1}D. {x | x≤1}??? 注意,单选题的解答,有其技巧和方法,可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学(一)单项选择题的解题策略与技巧》,这里为说明解题相关的知识点,都采用直接法。
例2:函数的定义域为().解:由于对数函数lnx的定义域为x>0,同时由分母不能为零知lnx≠0,即x≠1。
由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立,从而其定义域为,即应选C。
例3:下列各组函数中,表示相同函数的是()解:A中的两个函数是不同的,因为两函数的对应关系不同,当|x|>1时,两函数取得不同的值。
? B中的函数是相同的。
因为对一切实数x都成立,故应选B。
? C中的两个函数是不同的。
因为的定义域为x≠-1,而y=x的定义域为(-∞,+∞)。
? D中的两个函数也是不同的,因为它们的定义域依次为(-∞,0)∪(0,+∞)和(0,+∞)。
例4:设解:在令t=cosx-1,得又因为-1≤cosx≤1,所以有-2≤cosx-1≤0,即-2≤t≤0,从而有。
例5:f(2)没有定义。
注意,求分段函数的函数值,要把自变量代到相应区间的表达式中。
例6:函数是()。
A.偶函数 B.有界函数 C.单调函数 D.周期函数解:由于,可知函数为一个奇函数而不是偶函数,即(A)不正确。
由函数在x=0,1,2点处的值分别为0,1,4/5,可知函数也不是单调函数;该函数显然也不是一个周期函数,因此,只能考虑该函数为有界函数。
事实上,对任意的x,由,可得,从而有。
可见,对于任意的x,有。
因此,所给函数是有界的,即应选择B。
例7:若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是()。
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数D.奇偶性不确定解:因为f(x+y)=f(x)+f(y),故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),可知f(0)=0。
机械原理典型例题(第四章连杆机构)10-12
2011.10
例1:铰链四杆机构,LBC=500,LCD=350, :铰链四杆机构, , , LAD=300,AD为机架。问: 为机架。 , 为机架 为曲柄, (1)若为曲柄摇杆机构,且AB为曲柄,求LAB的最 )若为曲柄摇杆机构, 为曲柄 的最小值;( ;(3) 大值;( ;(2)若为双曲柄机构, 大值;( )若为双曲柄机构,求LAB的最小值;( ) 若为双摇杆机构, 的取值范围。 若为双摇杆机构,求LAB的取值范围。 (1)曲柄摇杆机构: 曲柄摇杆机构: 曲柄摇杆机构 AB为曲柄,LAB=Lmin 为曲柄, 为曲柄 满足杆长条件L 满足杆长条件 AB+LBC≦LCD+LAD (2)双曲柄机构: 双曲柄机构: 双曲柄机构 AD杆为最短,LAD=Lmin , 杆为最短, 杆为最短 满足杆长条件 ①Lmax=LBC, LAB<LBC, LAD+LBC≦LAB+LCD ②Lmax=LAB,LAB>LBC LAD+LAB≦LBC+LCD
1.选择题 选择题: 选择题
(6)对于 型曲柄摇杆机构,摇杆慢行程摆动方向与曲柄转向 A 对于I型曲柄摇杆机构 摇杆慢行程摆动方向与曲柄转向_____。 对于 型曲柄摇杆机构, 。 A. 相同 B.相反 相反 (7)对于 型曲柄摇杆机构,最小传动角出现在曲柄与机架 B 对于II 对于 型曲柄摇杆机构,最小传动角出现在曲柄与机架______ 共线位置。 共线位置。 A. 重叠 B. 拉直 (8)曲柄摇杆机构 曲柄摇杆机构________存在急回特性。 存在急回特性。 曲柄摇杆机构 存在急回特性 B A . 一定 B. 不一定 C. 一定不 (9)平面四杆机构所含移动副的个数最多为 B 平面四杆机构所含移动副的个数最多为________。 平面四杆机构所含移动副的个数最多为 。 A. 一个 B. 两个
结构力学典型例题
结构力学典型例题(共19页) -本页仅作为预览文档封面,使用时请删除本页-第2章平面体系的几何构造分析典型例题1. 对图体系作几何组成分析。
图分析:图等效图(去掉二元体)。
对象:刚片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ;联系:刚片Ⅰ、Ⅲ有虚铰A(杆、2);刚片Ⅱ、Ⅲ有虚铰C(无穷远)(杆3、4);刚片Ⅰ、Ⅱ有虚铰B(杆5、6);结论:三铰共线,几何瞬变体系。
2. 对图体系作几何组成分析。
图分析:去掉二元体(杆12、杆34和杆56图),等效图。
对象:刚片Ⅰ和Ⅱ;联系:三杆:7、8和9;结论:三铰不共线,无多余约束的几何不变体系。
3. 对图体系作几何组成分析。
图分析:图对象:刚片Ⅰ(三角形原则)和大地Ⅱ;联系:铰A和杆1;结论:无多余约束的几何不变体系。
对象:刚片Ⅲ(三角形原则)和大地Ⅱ;联系:杆2、3和4;结论:无多余约束的几何不变体系。
第3章静定结构的受力分析典型题1. 求图结构的内力图。
图解(1)支座反力(单位:kN)由整体平衡,得=100.= ,=.(2)内力(单位:制)取AD为脱离体:,,;,,。
取结点D为脱离体:,,取BE为脱离体:,,。
取结点E为脱离体:,,(3)内力图见图~d。
2. 判断图和b桁架中的零杆。
图分析:判断桁架零杆的常用方法是找出桁架中的L型结点和T型结点。
如果这两种结点上无荷载作用.那么L型纪点的两杆及T型结点的非共线杆均为零杆。
解:图:考察结点C、D、E、I、K、L,这些结点均为T型结点,且没有荷载作用,故杆件CG、DJ、EH、IJ、KH、LF均为零杆。
考察结点G和H,这两个结点上的两竖向链杆均已判断为零杆,故这两个结点的受力也已成为T型结点的情形.由于没有荷载作用,故杆件AG、BH也为零杆。
整个结构共有8根零杆.如图虚线所示。
图:考察结点D,为“K”型结点且无荷载作用,故;对称结构对称荷载(A支座处的水平反力为零),有,故杆件DE和DF必为零杆。
考察结点E和F,由于DE、DF已判断为零杆.故杆件AE、BF也是零杆。
线性代数典型例题
A = C 1,: 2,: 3),B =(:1: 2: 3, j 2 24 3√ 13: 29 3)线性代数第一章行列式典型例题、利用行列式性质计算行列式 、按行(列)展开公式求代数余子式四、抽象行列式的计算或证明1. 设四阶矩阵 A=[2>,3 2,4 3, 4],B=「,2 2,3 3,4 4],其中2, 3, 4 均为四 维列向量,且已知行列式|A| = 2,|B|=-3,试计算行列式|A - B|.A12. 设A 为三阶方阵,A 为A 的伴随矩阵,且IAI=',试计算行列式2"(3A ) j-2A * 0〕 2 L :O AT3. 设A 是n 阶(n 工2)非零实矩阵,元素a ij与其代数余子式A j 相等,求行列式|A|.2 1 04. 设矩阵 A= 1 2 0 ,矩阵 B 满足 ABA * = 2BA*+E ,则 |B|= ________ .'0 0 1 J5. 设>1√∙2, : 3均为3维列向量,记矩阵已知行列式D 4 =1 3 1 123 5 1 34 6 2 4 4 7 2=-6,试求 A 41 A 42 与 A 43 ' A 44.三、利用多项式分解因式计算行列式11、tW1 2 —X1 •计算D =151 9-x 22 •设 f(x)=X b b b b X C C C C Xddd ,则方程f (X) =O 有根X = d如果I A ∣=1,那么| B |= __ .五、n阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式1. 若四阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为丄丄,则行列式2 3 4 51IB -E∣= _________ .2. 设A为四阶矩阵,且满足|2E ∙ A∣=0,又已知A的三个特征值分别为-1,1,2,试计算行列式|2A 3E |.第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵1. 设代B, A ■ B都是可逆矩阵,求:(A J■ B」)」.-00021〕000532.设 A =12300,求A JL4580034600一二、讨论抽象矩阵的可逆性1. 设n阶矩阵A满足关系式A3∙ A2- A- E =0,证明A可逆,并求A^l.2. 已知A3 =2E,B = A2 -2A ∙ 2E ,证明B可逆,并求出逆矩阵。
机械原理典型例题第六章齿轮
(6)当渐开线圆柱齿轮的齿数少于 时,可采用___A_的办法来避免根切。 A. 正变位 B. 负变位 C. 减少切削深度
(7)一对渐开线直齿圆柱标准齿轮的实际中心距大于无侧隙啮合中心距时, 啮合角___A_分度圆上的压力角,实际啮合线____B_。 A. 大于 B. 小于 C. 等于 A. 变长 B.变短 C.不变
角为20°,其余参数(包括齿数、模数、压力角、齿制、齿宽等)
均相等,则该两对齿轮传动时的重合度相等。 X
(13)渐开线直齿圆锥齿轮的标准参数取在齿宽中点处。X (14)直齿圆锥齿轮背锥上的齿廓曲线是球面渐开线. X
17
3.填空题:
1)渐开线直齿圆柱齿轮传动的主要优点为 定传动比、可,和分性 。
2)渐开对线于齿在廓恒上定K转点矩的的压传力动角中应,是轮齿间正压力的大所小夹和的方锐向角始,终齿不廓变上各点
15
2.判断题:
(1)一对能正确啮合传动的渐开线直齿圆柱齿轮,其啮合角一定为20°。X (2)渐开线标准齿轮的齿根圆恒大于基圆。 X (3)影响渐开线齿廓形状的参数有Z、α等,但同模数无关。 X (4) m,α,ha*,c*都是标准值的渐开线直齿圆柱齿轮,一定是标准直齿圆
柱齿轮。 X (5)渐开线直齿圆柱外齿轮,不管是标准的,还是变位的,其齿顶压力角
(1)轮坯由滚齿机传动机构带动,以w=1/22.5rad/s的角 速度转动。在切制标准齿轮时,滚刀轴向截面的齿条 中线相对于轮坯中心的距离L应等于多少?这时滚刀轴 向截面齿条移动速度V刀等于多少?
(2)如滚刀位置和齿条移动速度不变,而轮坯的角速 度w=1/23.5rad/s,则此时被切齿数为多少?它相当于 哪种变位齿轮?变位系数x为多少?
第6章 实数典型例题参考答案
第6章 实数典型例题参考答案(一) 平方根 1、平方根的含义例1:求下列各数的平方根: (1)81 (2)1625(3)214(4)0.49解:(1)∵()±=9812,∴81的平方根是±9, 即:±=±819 (2)∵±⎛⎝ ⎫⎭⎪=4516252,∴1625的平方根是±45, 即:±=±162545(3)∵2149432942=±⎛⎝ ⎫⎭⎪=,,∴214的平方根是±32,即:±=±=±2149432(4)∵()±=070492..,∴0.49的平方根是±07.,即:±=±04907..例2:下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;如果没有,要说明理由。
(1)-64 (2)0(3)()-142(4)102-解:(1)因为-64<0,所以-64没有平方根。
(2)因为0只有一个平方根,它是0。
即:0=(3)∵()-=>1419602,所以()-142有两个平方根,且()±-=±=±14196142(4)因为10110022-=>,所以102-有两个平方根,且±=±⎛⎝ ⎫⎭⎪=±-1011011022例3:求下列各数的算术平方根: (1)25(2)4964(3)0.81(4)81解:(1)∵5252= ∴25的算术平方根是5, 即:255= (2)∵7849642⎛⎝ ⎫⎭⎪=, ∴4964的算术平方根是78,即:496478=(3)∵090812..= ∴0.81的算术平方根是0.9,即:08109..=(4)∵819=(注:计算81的算术平方根,也就是计算9的算术平方根。
)∵9的算术平方根是3 ∴81的算术平方根是3注:区分81的平方根是±3,81的算术平方根是3,81是9, 是±9.81平方根是±9,81算术平方根是9,81开平方后,得±9例4:求下列各式的值: (1)144(2)-36121(3)±00001.(4)214116+解:(1)∵121442=,∴14412= (2)∵611361212⎛⎝ ⎫⎭⎪=,∴-=-36121611(3)∵()001000012..=,∴±=±00001001..(4)21411694116321474+=+=+=例5:(1)已知正方形的边长为5cm ,求这个正方形的面积;(2)已知正方形的面积是25cm 2,求这个正方形的边长。
数值分析典型例题
第一章典型例例31n2=0.69314718...,精确到10彳的近似值是多少?解精确到10 3=0.001,即绝对误差限是8=0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
ln2~0.693例1用顺序消去法解线性方程组2兀 + x2 + 4X3 = -1< 3為 + 2X2 + ® = 4M + 2X2+4X3 = -1解顺序消元2 1 4 -1 r2+r r(-3/2)2 1 4 -I 2 1 4 一1lA;b] = 3 2 1 4 r3+n (-1/2)、0 0.5 一气 5.5 叶々(一3)0 0.5 一气 5.5J J1 2 4 -1 0 1.5 2 -0.5 0 0 17 -17于是有同解方程组92X| +x2 +4曲=一1<O.5X2一5只3 =5.517J3=-17回代得解X3=—1,也=1闪=1,原线性方程组的解为X=(l,l,— 1)丁例2取初始向量*。
)=(0,0,0)[用雅可比迭代法求解线性方程组兀1 + 2X2一2X3= 1<x{+x2+x3 =32x{ + 2X2 +x3 =5解建立迭代格式显z=_2堺+2哎)+1<护=W灯+ 3 (fc= 1,2,3,…)护=_2屮_2垮)+5第二章典型例丿第1次迭代*=o肥)=0,得到炉)=(1,3,5卩第2次迭代,kixj2) =-2x3 + 2x5 + l = 5<42)=-1-5 + 3 = -3x;2)=_2xl_2x3 + 5 = -3X⑵= (5, — 3, — 3卩第3次迭代,k=2屮=-2x(-3) + 2x(-3) + l = l炉)= (1,1,1)T第4次迭代,k=3x;2)=-2xl + 2xl + l = l' X;2> = —1 — 1 + 3 = 1x;2)=_2xl — 2xl + 5 = l0)=(1,1,1)7例4证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯一赛德尔迭代法发散。
第六章多元函数典型例题
z z 13 设z z ( x, y )是由方程F ( x z, y z ) 0确定,试求 , . x y 解:解法一 方程两边分别对 x和y求偏导,并注意 z是x, y的函数.
若设u x z, v y z , 则有F (u, v) 0, 函数的结构为
u F v z y y
(2) z (1 xy) y
z 解: y (1 xy) y 1 y y 2 (1 xy) y 1 , x z y ln(1 xy) (e ) y y x y ln(1 xy ) e [ln( 1 xy) y ] 1 xy xy y (1 xy) [ln( 1 xy) ] 1 xy
x
x
z z z z Fu (1 ) Fv 0, Fu ( ) Fv(1 ) 0, x x y y Fu Fv z z 解得 , . x Fu Fv y Fu Fv
解法二 利用隐函数的微分法 . 若设u x z , v y z , 则有F (u , v ) 0.
2 2 2z z z 2 2 12 x 2 , 2 , 12 y 2. 2 2 xy x y
(3) 判断 在驻点(1,1)处, B 2 AC 4 100 96 0, 且A 0, 所以z在点(1,1)和(1,1)处取得极小值 z 2. 在驻点(0,0) 处, B 2 AC 4 4 0. 这时不能判断点 (0,0)是否为极值点,为此考 察函数在点 (0,0) 附近的变化情况:在点 (0,0)的足够小邻域内,沿直 线y x有 z ( x, x) 2 x 4 z (0,0) 0;而沿直线y x有z ( x, x) 2 x 4 4 x 2 2 x 2 ( x 2 2) z (0,0) 0,由此可见,点 (0,0)不是函数的极值点, 即z (0,0) 0不是函数的极值 .
结构力学典型例题分析 力法
2结构力法典型例题分析
第4章力法3
4结构力法典型例题分析
第4章力法5
6结构力法典型例题分析
第4章力法7
8结构力法典型例题分析
第4章力法9
10结构力法典型例题分析
第4章力法11
12结构力法典型例题分析
第4章力法13
14结构力法典型例题分析
第4章力法15
16结构力法典型例题分析
第4章力法17
18结构力法典型例题分析
第4章力法19
20结构力法典型例题分析
第4章力法21
22结构力法典型例题分析
),6
560
X
==
所示荷载作用下不产生弯矩。
由此知道剪力也一定为零。
各杆件只有轴
第4章力法23
24结构力法典型例题分析
第4章力法25。
第4章习题解答
第4章 习题讲解 章
为变址寄存器, R1为基址寄存器 PC为程序计数器 为基址寄存器, 【题4-6 】 R为变址寄存器, R1为基址寄存器,PC为程序计数器 OP I
寻址 方式 (1) ) (2) ) (3) ) (4) ) (5) ) (6) ) I 0 0 0 0 1 1 X 00 01 10 11 00 11
【题4-5】指令格式结构如下所示,试分析指令格式及 】指令格式结构如下所示, 寻址方式的特点 的特点。 寻址方式的特点。
15 12 11 9 8 6 5 3 2 0
OP
寻址方式
寄存器
寻址方式
寄存器
答: ① 所示指令是单字长二地址指令。 所示指令是单字长二地址指令 单字长二地址指令。
操作码字段OP有 可以指定2 16条指令 ② 操作码字段 有4位,可以指定24=16条指令。 可以是RR RS或SS型指令 RR、 型指令。 寻址方式有2 ③ 寻址方式有23=8种,可以是RR、RS或SS型指令。
第4章 典型例题 章
为操作码字段, 【例4.2】指令格式如下所示,OP为操作码字段,试分 】 指令格式如下所示, 为操作码字段 析指令格式特点。 析指令格式特点。
15 10 7 4 3 0
OP
——
源寄存器
变址寄存器
位移量 (16位) 位
答:
双字长二地址指令; ① 双字长二地址指令; 操作码字段OP OP为 可以指定2 64种操作 种操作; ② 操作码字段OP为6位,可以指定26=64种操作; 一个操作数在源寄存器( 16个 ③ 一个操作数在源寄存器(共16个)中,另一个操作数在内存储 器中(有效地址由变址寄存器和位移量决定) 所以是RS 指令。 RS型 器中 ( 有效地址由变址寄存器和位移量决定 ) , 所以是 RS 型 指令 。
工程热力学经典例题-第四章_secret
4.4 典型例题精解4.4.1 判断过程的方向性,求极值例题 4-1 欲设计一热机,使之能从温度为973K 的高温热源吸热2000kJ ,并向温度为303K 的冷源放热800kJ 。
(1)问此循环能否实现?(2)若把此热机当制冷机用,从冷源吸热800K ,能否可能向热源放热2000kJ ?欲使之从冷源吸热800kJ,至少需耗多少功?解 (1)方法1:利用克劳修斯积分式来判断循环是否可行。
如图4-5a 所示。
12r12||||2000kJ 800kJ-=-0.585kJ/K <0973K 303KQQ Q T T T δ=-=⎰所以此循环能实现,且为不可逆循环。
方法2:利用孤立系统熵增原理来判断循环是否可行。
如图4-5a 所示,孤立系由热源、冷源及热机组成,因此iso H L E E 0S S S S S ∆=∆+∆+∆∆= (a )式中:和分别为热源及冷源的熵变;为循环的熵变,即工质的熵变。
因为工质经循环恢复到原来状态,所以E 0S ∆= (b ) 而热源放热,所以 1H 1||2000kJ2.055kJ/K 973KQ S T ∆=-=-=- (c ) 冷源吸热,则 2L 2||800kJ 2.640kJ/K 303KQ S T ∆=== (d ) 将式(b )、(c )、(d )代入式(a ),得( 2.055 2.6400)kJ/K 0sio S ∆=-++> 所以此循环能实现。
方法3:利用卡诺定理来判断循环是否可行。
若在1T 和2T 之间是一卡诺循环,则循环效率为2c 1303K 1168.9%973KT T η=-=-= 而欲设计循环的热效率为12t 11||||||||W Q Q Q Q η-== c 800kJ160%2000kJη=-=<即欲设计循环的热效率比同温度限间卡诺循环的低,所以循环可行。
(2)若将此热机当制冷机用,使其逆行,显然不可能进行,因为根据上面的分析,此热机循环是不可逆循环。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示,函数y =|2x −2|的图像是( )A .B .C .D .答案:B分析:将原函数变形为分段函数,根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1,∴x =1时,y =0,x ≠1时,y >0. 故选:B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是( ) A .(1,+∞)B .(12,1)C .(13,12)D .(14,13)答案:B分析:结合函数的单调性,利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0, 所以f(12)⋅f(1)<0,又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增, 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12,1), 故选:B .小提示:本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用,属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解,则m 的取值范围是( ) A .[0,34]B .(0,34) C .[0,916]D .(0,916) 答案:D分析:根据题意,作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像,然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示:若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解, 则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点,若直线y =12x +m 经过原点时,m =0,若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切,令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0,令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选:D .4、函数y =2x −2−x ( )A .是R 上的减函数B .是R 上的增函数C .在(−∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数D .无法判断其单调性 答案:B分析:利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数,指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数, 故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选:B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数,且y =a −x 也为增函数,则a 的取值范围是( ) A .(√33,1)B .(0,12)C .(√33,√63)D .(√63,1) 答案:D分析:根据函数单调性,列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解,即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数,则3a 2−1>1,由y =a −x 为增函数得0<a <1.解不等式组{3a 2−1>10<a <1,得a 的取值范围是(√63,1).故选:D.小提示:本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数,涉及不等式的解法,属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a (元/个)的取值范围应是( ) A .90<a <100B .90<a <110C .100<a <110D .80<a <100 答案:A分析:首先设每个涨价x 元,涨价后的利润与原利润之差为y 元,结合条件列式,根据y >0,求x 的取值范围,即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元,涨价后的利润与原利润之差为y 元,则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加,则必须使y >0,即x 2−10x <0,得0<x <10,∴90<x +90<100,所以a 的取值为90<a <100. 故选:A7、已知a =lg2,10b =3,则log 56=( ) A .a+b 1+aB .a+b 1−aC .a−b 1+aD .a−b 1−a答案:B分析:指数式化为对数式求b ,再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3, ∴b =lg3, ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a.故选:B .8、已知2a =5,log 83=b ,则4a−3b =( ) A .25B .5C .259D .53 答案:C分析:根据指数式与对数式的互化,幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出. 因为2a =5,b =log 83=13log 23,即23b =3,所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259.故选:C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ,则( ) A .任意a ∈R ,函数f (x )的值域为R B .任意a ∈R ,函数f (x )都有零点C .任意a ∈R ,存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D .当a ∈(−∞,−4]时,任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案:BD分析:画出分段函数图像,根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1),(x2,y2)对于选项A,由图像可知,当a<x1时,f(x)的值域不为R,故A错误对于选项B,由图像可知,无论a取何值,函数f(x)都有零点,故B正确对于选项C,当x>0时g(−|x|)=g(−x),g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D,若x1<a,x2<a,因为y=−(x+1)2为增函数,所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a,x2>a因为y=e x−1为增函数,所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1,x2不在同一区间时,因为a∈(−∞,−4],所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方,所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选:BD10、已知实数a,b满足等式2a=3b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有()A.①B.②⑤C.②③D.④答案:AB分析:画出指数函数y=2x,y=3x的图象,利用单调生即可得出答案.如图所示,数y=2x,y=3x的图象,由图象可知:( 1 ) 当时x>0,若2a=3b,则a>b;( 2 ) 当x=0时,若2a=3b,则a=b=0;( 3 ) 当x<0时,若2a=3b,则a<b.综上可知,有可能成立的关系式是①②⑤ .故选:AB11、某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若单册价格每提高0.2元,则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元,每册杂志可以定价为()A.2.5元B.3元C.3.2元D.3.5元答案:BC分析:设每册杂志定价为x(x>2)元,根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4,解得x的范围,可得答案.0.2依题意可知,要使该杂志销售收入不少于22.4万元,只能提高销售价,×0.5万册,设每册杂志定价为x(x>2)元,则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元,0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4,化简得x2−6x+8.96≤0,解得2.8≤x≤3.2,0.2故选:BC小提示:关键点点睛:理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简:(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________.答案:2−1263分析:分析式子可以发现,若在结尾乘以一个(1−12),则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算,为保证恒等计算,在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是:2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案:a 34分析:本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34, 所以答案是:a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R;②值域为(−∞,1);③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案:f(x)=1−12x(答案不唯一)分析:直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ,定义域为R;12x>0,f(x)=1−12x<1,值域为(−∞,1);是增函数,满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是:f(x)=1−12x(答案不唯一).解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0,a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性并证明;(2)若f(x)在[−1,1]上的最大值为13,求a的值.答案:(1)偶函数;证明见解析;(2)a=2.解析:(1)利用奇偶函数的定义证明;(2)讨论去绝对值,并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性,求函数的最大值,建立方程,求a的值.解:(1)f(x)的定义域为R,又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x),所以f(x)为偶函数;(2)因为f(x)为偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1,若a∈(0,1),f(x)=1−2a x+1,函数单调递减,f(x)max=f(0)=0,若a∈(1,+∞),f(x)=1−2a x+1,函数单调递增,f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2,当−1≤x<0,f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1,若a∈(0,1),f(x)=1−2a−x+1,函数单调递增,f(x)max=f(0)=0,若a∈(1,+∞),f(x)=1−2a−x+1,函数单调递减,f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2,综上,a=2.小提示:关键点点睛:本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值,求参数的取值范围,本题的关键是求函数的单调性,关键是利用函数是偶函数,先去绝对值,再利用复合函数的单调性求函数的单调性,从而确定函数的最值.。
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j<2*i+1
printf(“*”)
j<2*(N-i-1)+1
printf(“*”)
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break语句和continue语句 break语句和continue语句 语句和continue
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break语句和continue语句 break语句和continue语句 语句和continue
continue语句 语句
格式: 格式: continue; continue语句的作用 语句的作用: continue语句的作用:
结束本次循环,即跳过循环体中下面尚未执行的语句, 结束本次循环,即跳过循环体中下面尚未执行的语句,接着进行下 一次是否执行循环的判定
Chap4~6 典型例题
经典问题1 经典问题
问题1 问题1:
十个数求最大、 十个数求最大、最小值
定义num, max=0, min=0, i=0 i<10 输入一个数num max < num Y max=num min > num Y min=num 输出max、min
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问题2: 问题 :源程序
/*求f1=1+2+…+100*/ #include <stdio.h> #define N 100 void main() { int i,f1=0; for (i=1; i<=N; i++) f1 += i; printf("f1=%d\n",f1); } /*求f1=1*2*…*100*/ #include <stdio.h> #define N 100 void main() { int i,f2=1; i=1; while(i<=N) { f2 *= i; i++; } printf("f2=%d\n",f2); }
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译密码问题
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译密码问题(续 译密码问题 续)
读入字符C 读入字符
(C>=’a’ && C <= ‘z’) || (C >= ‘A’ && C <= ‘Z’) 输 入 的 不 是 字 符 , 退 出 ! 假 输 出 C C > ‘Z’ && C <= ‘Z+4’ || C > ‘z’ 真 真
N N
问题1: 问题 :源程序
#include <stdio.h> void main() { int i,n,max,min; scanf("%d",&n); max=n; min=n; for(i=1; i<10; i++) { scanf("%d",&n); if(max < n) max = n; if(min > n) min = n; } printf("max=%d; min=%d\n",max,min); }
break语句 break语句
格式: 格式: break; break语句的两个作用 break语句的两个作用
break语句可以使流程跳出switch结构,继续执行switch语句下面的一个 break语句可以使流程跳出switch结构,继续执行switch语句下面的一个 语句可以使流程跳出switch结构 switch 语句 break语句还可以用来从循环体内跳出循环体,即提前结束循环, break语句还可以用来从循环体内跳出循环体,即提前结束循环,接着 语句还可以用来从循环体内跳出循环体 执行循环下面的语句
j++
i++
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九九表程序
/*ch5_5.c*/ #include <stdio.h> main() { int i,j; for(i=1;i<10;i++) printf("%4d",i); printf("\n---------------------------------------\n"); for(i=1;i<10;i++) for(j=1;j<10;j++) printf((j==9)?"%4d\n":"%4d",i*j); }
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九九表程序
i=1 i<10 假(0)
真(非0) 非 外循环 j=1 j<10 内循环 假(0)
真(非0) 非 printf
for(i=1;i<10;i++) for(j=1;j<10;j++) printf((j==9)?"%4d\n":"%4d",i*j);
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最大公约数与最小公倍数问题
开始 m==0 N 输入n,m 输入 temp=n%m; n=m; m=temp; p=n*m Y n>m N temp=n; n=m; m=temp;
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Y
最大公约数: 最大公约数:n 最小公倍数: 最小公倍数 p/n
for(r = 1; r <= 10; r++) { area=PI*r*r; if (area>100) break; printf("%f", printf("%f",area); }
!注意: 注意: break语句不能用 语句不能用 于循环语句和 switch语句之外的 语句之外的 语句 任何其他语句中
continue语句和break语句的区别 continue语句和break语句的区别 语句和break continue语句只结束本次循环,而不是终止整个循环的执行。 continue语句只结束本次循环,而不是终止整个循环的执行。 语句只结束本次循环 break语句则是结束整个循环过程, break语句则是结束整个循环过程,不再判断执行循环的条件是 语句则是结束整个循环过程 否成立
结束
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经典问题6 经典问题6
问题8 译密码。为使电文保密, 问题8:译密码。为使电文保密,往往按一定规律将其转换 成密码,收报人再按约定的规律将其译回原文。 成密码,收报人再按约定的规律将其译回原文。
例如,可以按以下规律将电文变成密码:将字母A变成字母E 例如,可以按以下规律将电文变成密码:将字母A变成字母E 变成e 即变成其后的第4个字母, 变成A 变成B ,a变成e,即变成其后的第4个字母,W变成A,X变成B,Y 变成C 变成D 见图5.15 字母按上述规律转换, 5.15。 变成C,Z变成D。见图5.15。字母按上述规律转换,非字母 字符不变。如“China!”转换为“Glmre!” 。输入一行字符, 字符不变。 China!”转换为“ 输入一行字符, 转换为 要求输出其相应的密码。 要求输出其相应的密码。
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经典问题4 经典问题4
问题4: 问题 :
求f=1!+2!+……+n! 其中i!= × × × 其中 =1×2×3×……×i ×
定义sum=0, i=1,n, multi,j=1 输入n i<=n multi = 1 j<i multi *= j;j++ sum += multi;i++ 输出sum
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经典问题5 经典问题5
问题5 问题5:
作图 * *** ***** ******* ***** *** *
定义符号常量N=7 定义i=0,j=0,m i<N Y 2*i+1<=7 N m = N/2-i,j=0 m = i-N/2 j<m j<m
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经典问题3 经典问题
问题3: 循环嵌套, 问题3: 循环嵌套,输出九九表
1 j i 1 2 3
2 2 4 6
3 3 6 9
4 4 8 12
5 5 10 15
6 6 12 18
7 7 14 21
8 8 16 24
9 9 18 27
…………….. 9 18 27 36 45 54 63 72 81
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经典问题2 经典问题
问题2 问题2:
求f1=1+2+3+……+100和f2=1*2*3*……*10的结果 f1=1+2+3+……+100和f2=1*2*3*……*10的结果
定义sum=0, i=1 i<=100 sum += i; i++ 输出sum