隐藏在势能函数里的信息

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r1
●
r2
力心
2. 自然界的秩序 和方向性
一、宏观事物的不可逆性
《汉书》上记叙了一个故事，说的是汉代有一个名叫 朱买臣的人，因家境贫寒，他的妻子不愿与他患难相守， 离他而去。待到几年后，朱买臣功成名就，衣锦还乡时， 这个已经嫁给了别人的女人又想破镜重圆。朱买臣则在马 前泼水以明心志。这就是成语《覆水难收》的来历。 在自然界，我们每天都能见到不可能自动返回原状的 过程：玻璃杯落地摔成一堆玻璃碴；宠物狗与流浪狗玩了 一会儿，前者染上了满身跳蚤；克服摩擦力做的功全部变 成热，等等。 我们在大学物理教材用几个编号的分子在容器左右两 边的分布的可能性来说明某种宏观分布状态出现的几率。 现在我们来看稍微复杂的情形。
x1
质点运动方程：
m f x U' x x
(8)
将函数U′(x)在x0的邻域内展开成泰勒级数，取到一阶小量：
U' x U x0 U x0 x x0 U x0 x x0 (9)
U
运动 范围
引入新变量 x x0 (10) 它就是质点相对于稳定平 衡点x0的偏离。于是方程(8) 成为 (11) m U x0 由于 U x0 0 ，（11） 是ε的简谐振动方程，圆频 率为 U x0 (12)
r0
r
可以严格证明，在中心力是胡克力的情况下，径向频率： 横向频率=2:1。轨迹是椭圆，力心在椭圆长短轴的交点。
⑤ 现仅就能量E=E0+ΔE稍大于圆 运动能量E0的情况作一讨论。因
~ U r
0 E 1
因而质点的径向运动范围满足条件
r2 - r1 1
将径向运动方程在平衡点r0 的 邻域内展开成泰勒级数，展开 到一级小量：
3.质点在势能曲线极小点附近的行为 设能量值E 只比势能极小值U(x0)大一个小量ΔΕ<<1:
U
运动 范围
E -U(x0)=ΔΕ<<1
(6)
质点的运动范围也会很小： E ≥U(x)
x2-x1<<1
o x0 x
●
因而任何时刻质点到x0的 距离都满足条件：
f
E U(x0)
g
x2
x
x x0 x2 x1 1 (7)
质点的横向运动频率可以如下求出：横向运动偏离匀速圆 周运动很小。按圆周运动计算，横向角速度ω满足条件： 向心力公式 kr0 m 2 r0
k m
k 2 质点的横向运动频率 质点径向振动圆频率 2 m
即，在径向运动完成两 个周期的时间内，横向 运动完成一个周期。
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●
力心
5. 再看另一种常见的中心力——反平方引力的情形
●
机械能守恒就是
极轴
力心
mr 2 ~ U r E 2 ~ r 将（18）对时间求导：m r U r r 0 ~ U r mr 约去 r ，得
这就是观察者看见的质点运动微分方程。
（18）
（19）
我们可以用等效势函数讨论径向运动的种种特性。以点状弹 簧问题为例：设质点受力 F -kr -kre
可用向心力 公式验证
~ 当 E E 0 U r0
k mk 2 2 r0 2 L2 2mr0
L2
质点在惯性系中作半径为r0的圆运动，能量为E0 。由于
3 L2 2k m 3 k 4 ~ U r0 - 3 6 0 4 mr0 r0 L
等效势函数 U r 在r0处有极小。半径为r0的圆运动是稳定的。
c E o x1 f
mx 2 U x E 2
x0 x d
g
x2
x
U
质点运 动范围
e
c E
o
x1 f
x0 x d
g
x2
x
因动能是非负的，质点运动范围 便是：
mx 2 E U x 0 2
在保守力场中运动 的质点，满足机械能守 恒条件。设能量值为E , 在图中用红色水平线表 示。当质点位于x处时， 其势能值为兰色箭头所 示，向下为负；动能为 蓝色箭头所示，向上为 正。两者之和为E . 因 动能不可能为负，质点 被限制在f, g之间作往 复周期性运动, 满足条 件E ≥U(x)。
k 反平方引力 f r 2 er r
k k k 势能函数 U r 2 er dr 2 dr r r r r r
~ 等效势能函数 U r
① 求圆运动半径
L2 k 2 2mr r
L2 k ~ 令 U r 2 0 3 mr r L2 （1） 求得可能的圆运动半径 r0 mk
（ 2 ），（3）比较，知Ω=ω。 可 证 ， 轨道是以力 心为焦点之一的椭 圆。
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●
力心
~ 可证，只要 E U r0
轨迹都是以力心为焦点之 一的椭圆。能量的最小可 ~ 能值是 E U r ,此时 0 0 轨迹为圆。
~ U r
o E E0
r1 r0
r2
r
等效势分析法还可以用以 分析陀螺运动。机械能守 恒式加上两个角动量分量 守恒式，就可以将陀螺运 动用一个角坐标及其相应 的角速度表出，迅速得出 章动周期。
2mr 2
（16）就成为
mr 2 ~ U r E 2
（18）
这不就是一个只作径向运动的质点的机械能守恒式吗？(17) ~ U r 称为中心力问题的等效势函数。 定义的
设想观察者坐在随质点一起绕力心旋转的轴上，他只能看 见质点作径向运动，质点的动能就是 m r 2
●
2
~ 势能就是 U r L2 U r 2 2mr
~
②求径向振动频率
~ U r
~ U r0 m m 2 k 4 mk 2 3 （2） 6 L L
o
r1 r0 r2
r
E+ΔE E0
L2 为求横向频率，写出向心力公式： r0 mk
k m 2 r0 r02

k 3 mr0
m 3 k 4 mk 2 3 （3） 6 mL L
E0 E
E0 o
r1 r0 r2
r
~ ~ ~ ~ m U r -U r0 - U r0 r - r0 -U r0 r - r0 r
~ U r0 可见，径向运动是简谐振动，其圆频率为 m
L2 kr 2 ~ 因为 U r 2 2mr 2
隐藏在势能函数里的信息
1. 引子——线性恢复力作用下的运动 永远指向平衡位置的力称恢复力。恢复力的大小与偏离/ 形变/位移成正比时，称为线性恢复力。受线性恢复力作 用的质点的运动方程为：
m kx x
或 解为
（1）

k x - 2 x x m
此处
x A cost x A sint
4. 我们现在来将上述结果推广到中心力作用下的二 维运动。用平面极坐标系讨论中心力问题很方便。取力心
（在惯性空间静止）为原点。中心力都是保守力，设势能函 数为 U r 。质点动能为 2 22
机械能守恒表示式为 e
●
mr mr Ek 2 2 mr 2 mr 2 2 U r E 2 2
~ U r
反平 方双 曲线
抛物 线
E0 o r0 r
由此可见，若等效势曲线有极小，且机械能E=等效势极小 ~ 值 U r0 , 则质点绕质心作半径为r0 的圆运动。
mv 2 按牛顿定律，向心力公式为 kr0 r0
化成
mkr m v r L
4 0 2 2 2 0
2
L2 r0 4 mk
o
x1
a
x0 b d x2
U x 0
(5)
极值点可分为以下3类： 1.极大 如e, 满足条件 U x 2 0 2.极小 如d，满足条件
不稳定平衡点。
3.拐点 如c, 满足条件 U 质点运 动范围
U x1 0 不稳定平衡点。
质点的机械能守恒： e
U x0 0 稳定平衡点。
L2 r0 4 mk
- L2 ~ 3L2 ~ U r kr U r k 3 4 mr mr 3L2 3 L2 mk ~ U r0 k k 4k 4 2 mr m L
质点径向小振动圆频率
~ U r0 4k k 2 m m m
k m
（2）
（3）
或
A称振幅，ω称角频率/圆频率，φ /δ称初相。运动方 式(3)称为简谐振动。其特点是，频率与振幅无关。
2. 设有一质点受保守力作用沿x轴运动，势能函数为 U x . 势能曲线如下。曲线与x轴的交点a,b,称为U曲线的零点，它 们满足方程:
U x 0
U e c
(4) 在x=x0, x1, x2处，势 能 曲 线 上 的 点 d,c,e 有水平切线。它们 称为曲线的极值点， 又称平衡点。极值 点的横坐标满足方 x 程：
(14)
m
r 力心 ● o
er
中心力问题角动量守恒：
θ 极轴
L r mv 2 re r m re r re mr k
k 为常矢，垂直图面向外。


将角动量守恒式写成投影形式： mr 2 L
（15）
（15）代入（14）消去 , 得到机械能守恒与角动量守恒 相结合的关系式： mr 2 L2 （16） U r E 2 2 2mr 注意（16）只含一个坐标变量r, 横向运动看不见了！定义 径向坐标函数 L2 ~ （17） U r U r