求磁场最小的面积问题高三早练专题练习(四)附答案高中物理选修3-1

高中物理专题复习选修3-1
磁场单元过关检测
考试范围：求磁场最小面积问题；满分：100分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、计算题
1．如图甲所示，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上。

在xoy 平面内有与y 轴平行的匀强电场，在半径为R 的圆形区域内加有与xoy 平面垂直的匀强磁场。

在坐标原点O 处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同
质量m 、电荷量q （0>q ）和初速为0v 的带电粒子。

已知重力加速度大小为g 。

（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y 轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x 轴正方向运动。

求电场强度和磁感应强度的大小和方向。

（2）调节坐标原点。

处的带电微粒发射装置，使其在xoy 平面内不断地以相同速率v 0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示。

现要求这些带电微粒最终都能平行于x 轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域?并求出符合条件的磁场区域的
最小面积。

2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=02l -到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。

在电场左边界上A （02l -，0l -）到C （02l -，0）
区域内，连续分布着电量为＋q 、质量为m 的粒子。

从某时刻起由A 点到C 点间的粒子，依次连续以相同的速度v 0沿x 轴正方向射入电场。

若从A 点射入的粒子，恰好从y 轴上的A ′（0，0l ）沿x 轴正方向射出电场，其轨迹如图。

不计粒子的重力及它们间的相互作用。

（1）求匀强电场的电场强度E ；
（2）求在AC 间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x 轴正方向运动？
（3）若以直线x=02l 上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，使沿x 轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=02l 与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B 是多大？
3．如图5，一个质量为
，带电量的粒子在BC 边上的M 点以速度垂直于BC 边飞入正三角形ABC 。

为了使该粒子能在AC 边上的N 点（CM ＝CN ）垂真于AC 边飞出ABC ，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。

试求：
（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T ；
（2）该粒子在磁场里运动的时间t ； A O x
y
v v
E E C A ′ x =－
C x =2l 0
（3）该正三角形区域磁场的最小边长；
4．在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。

现有一质
v沿+x方向进量为m，带电量为+q的带电粒子（重力不计）从O点为以初速度
入磁场，已知粒子经过y轴上p点时速度方向与+y方向夹角为θ＝30º，OP=L 求：⑴磁感应强度的大小和方向⑵该圆形磁场区域的最小面积。

5．在xOy平面内有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同的速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。

现加一个垂直于平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x 轴正向运动。

求符合该条件磁场的最小面积。

6．一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（2）c 点到b 点的距离。

评卷人
得分 一、计算题
1．（1）由题目中“带电粒子从坐标原点O 处沿y 轴正方向进入磁场后，最终沿圆形磁场区域的水平直径离开磁场并继续沿x 轴正方向运动”可知，带电微粒所受重力与电场力平衡。

设电场强度大小为E ，由平衡条件得：
qE mg = ∴q mg E =
电场方向沿y 轴正方向
带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，且圆运动半径r=R 。

设匀强磁场的磁感应强度大小为B 。

由牛顿第二定律得：
R mv B qv 200= ∴qR mv B 0=
磁场方向垂直于纸面向外
（2）设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与x 轴承夹角θ，
则θ满足0≤2π
θ<，由于带电微粒最终将沿x 轴正方向运动，
故B 应垂直于xoy 平面向外，带电微粒在磁场内做半径为qB
mv R 0=
匀速圆周运动。

由于带电微粒的入射方向不同，若磁场充满纸面，它们所对应的运动的轨迹如图所示。

为使这些带电微粒经磁场偏转后沿x 轴正方向运动。

由图可知，它们必须从经O 点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场。

这样磁场边界上P 点的坐标P （x ，y ）应满足方程：
θsin R x =，)cos 1(θ-=R y ，
所以磁场边界的方程为：
222)(R R y x =-+
由题中0≤2π
θ<的条件可知， 以2π
θ→的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹
222)(R y R x =+-即为所求磁场的另一侧的边界。

因此，符合题目要求的最小磁场的范围应是圆2
22)(R R y x =-+与圆222)(R y R x =+-的交集部分（图中阴影部分）。

由几何关系，可以求得符合条件的磁场的最小面积为：22202min )12(B q v m S -=π
2．⑴ 从A 点射出的粒子，由A 到A ′的运动时间为T ，根据运动轨迹和对称性可得
x 轴方向 002l v T = (1分)
y 轴方向 2)2
(21220⨯=T m qE l (1分) 得：00
2mv E ql = （2分） ⑵ 设到C 点距离为△y 处射出的粒子通过电场后也沿x 轴正方向，粒子第一次达x 轴用时△t ，水平位移为△x ，则 0x v t ∆=∆ 21()2qE y t m
∆=∆ （1分） 若满足022l n x =⋅∆，则从电场射出时的速度方向也将沿x 轴正方向 （2分） 解之得：200220111()2l qE y l n m v n
∆== （2分）
即AC 间y 坐标为02
1y l n =- （n = 1，2，3，……） （1分） ⑶ 当n =1时，粒子射出的坐标为10y l =
当n =2时，粒子射出的坐标为2014
y l =- 当n ≥3时，沿x 轴正方向射出的粒子分布在y 1到y 2之间（如图）y 1到y 2之间的距离为
L = y 1－y 2=054l 则磁场的最小半径为 0528
l L R == （2分） 若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如
图），(轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO 1QO 2为棱形) 由200mv qv B R
= 得：00
85mv B ql = （2分）
3．解析：【磁场范围为三角形】
粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M 点作圆周运动到N 点。

最小三角形区域应于轨迹圆相切。

（1）r=mv/qB T=qB m π2
(2) qB
m πT t 3565== （3）qB mv )1334(+ 4．解析：【磁场范围为圆形】
找圆心（速度垂线与角平分线交点），要使磁场的区域有最小面积，则OQ 应为磁场区域的直径。

（1）qL mv B 03=（2）2min 12L πS = A O
x y
v 0 E E C A ′ x =－C
x =2l O 1 O 2
P Q
5．解析：【磁场范围为树叶形】
2
022min 2241412⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=eB mv πR R πS 6．解析：【磁场范围为圆形】
找圆心（速度垂线与角平分线交点），要使磁场的区域有最小面积，则Oa 应为磁场区域的直径。

（1）222022min 43B q v m πr πS == （2）Eq mv s 2034=。