北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像与性质同步测试(含解析)

合集下载

北师大版九年级数学下册 2.2 二次函数的图形与性质同步测试题

2.2 二次函数的图形与性质同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）x2共有的性质是（）1. 抛物线y=2x2，y=−2x2，y=12A.开口向下B.对称轴是y轴C.有最高点D.y随x的增大而减小2. 已知关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=−2，点(1, 3)是抛物线y=ax2+bx+ c(a≠0)上的一个点，则下列四个点中一定在该抛物线上的是（）A.(2, 3)B.(0, 3)C.(−1, 3)D.(−3, 3)3. 将抛物线y=2x2−1向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为()A.y=2(x+2)2+2B.y=2(x+2)2−2C.y=2(x−2)2+2D.y= 2(x−2)2−24. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过(−1, 1)、(2, −1)两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）A.当x=0时，y的值大于1B.当x=3时，y的值小于0C.当x=1时，y的值大于1D.y的最大值小于05. 已知二次函数y=−2x2+4x+k（其中k为常数），分别取x1=−0.99，x2=0.98，x3=0.99，那么对应的函数值为y1，y2，y3中，最大的为（）A.y3B.y2C.y1D.不能确定，与k的取值有关6. 对于二次函数y=ax2−2ax+3(a≠0)，下列说法错误的是()A.对称轴为直线x=1B.其图象一定经过点(2,3)C.当x<1时，y随x的增大而增大D.当a=1时，将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线y=(x+1)2+5.7. 在同一坐标系中，当b<0时，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）A. B. C. D.8. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个9. 已知二次函数y=x2−x+a(a>0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（）A.m−1>0B.m−1<0C.m−1=0D.m−1与0的大小关系不确定10. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−2, 0)和(x1, 0)，其中1<x<2，与y轴的正半轴的交点(0, 2)的下方，下列结论正确的是（）A.abc<0B.9a+c>3bC.a−b>0D.2a−b+1>0二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 二次函数y=2(x−1)2+3的图象的最小值是________；顶点坐标是________．12. 已知x≥0，则当x=________时，式子y=2x2+x取到最小值，最小值为________．313. 已知点A(x1, y1)，B(x2, y2)在二次函数y=−(x+2)2+1的图象上，若x1>x2>2，则y1________y2（填“>”“<”或“=”）14. 如果关于x的二次函数y=−3x2−x+m−1的图象经过原点，那么m=________．15. 已知二次函数y=−3x2+4的图象沿y轴向下平移4个单位后，得到的函数图象的解析式为________．16. 已知函数y=ax2−2ax+3(a>0)图象上点(2, n)与(3, m)，则n________m．（填“>，<，或无法确定”）17. 已知两点A(−5, y1)、B(3, y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上，点C(x0, y0)是该抛物线的顶点，若y1>y2>y0，则x0的取值范围是________．18. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b>0；②a−b+ c=0；③一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x<−1或x>3时，y>0．上述结论中正确的有________个.三、解答题（本题共计7 小题，共计66分，）19. 在同一坐标系中画出y=−2x2+1和y=−2x2的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．20. 已知二次函数y=x2−2x−3（1）请求出它的顶点坐标、与坐标轴的交点坐标，并利用五点法在直角坐标系中画出示意图；（2）如果A(x1, y1)，B(x2, y2)是（1）中图象上的两点，且x1<x2<1，请直接写出y1、y2的大小关系．21. 已知抛物线y1=x2−(m+4)x+2(m+1)和y2=−x2+4x−6．（1）求证：不论m取何值，抛物线y1的顶点总在抛物线y2上；（2）当抛物线y1经过原点时，求y1的解析式．(x−2)2+5，22. 已知二次函数y=−112(1)写出它的开口方向，对称轴、顶点坐标和最值；(2)已知A(−6, y1)，B(1, y2)，C(4, y3)均在函数图象上，请直接判断y1、y2、y3的大小．23. 表中给出了变量x与ax2、ax2+bx+c之间的部分对应关系（表格中的符号“--”表示该项数据已经丢失）：（1）求函数y=ax c的表达式；（2）将函数y=ax2+bx+c的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后图象的表达式．24. 已知y关于x的二次函数y=−2x2+(k−2)x+6，当x≥1时，y随着x的增大而减小，当x≤1时，y随着x的增大而增大．（1）求k的值；（2）求出这个函数的最大值或最小值，并说出取得最大值或最小值时相应的自变量的值；（3）写出当y>0时相应的x的取值范围．25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2−2x+a−3．（1）直接写出抛物线的顶点坐标________（用a的代数式表示）；（2）当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．求点B的坐标；（3）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与（2）中得到的线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：①y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的减小而增大；②y=−2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的减小而增大；x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点，在对称轴左侧，y随x的增③y=12大而减小，在对称轴右侧y随x的减小而增大．故选B．2.【答案】D【解答】解：∵ 关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=−2，∵ 有−2a+b=0，即b=2a．=−1．∵ 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴x=−b2a∵ 点(1, 3)是抛物线上的一点，∵ 点(−3, 3)是抛物线上的一点．故选D.3.【答案】C【解答】解：抛物线y=2x2−1的顶点坐标为(0, −1)，把点(0, −1)向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到对应点的坐标为(2, 2)，所以新的抛物线解析式是y=2(x−2)2+2．故选C．4.【答案】B【解答】解：由图可知，当x>−1时，函数值y随x的增大而减小，A、当x=0时，y的值小于1，故本选项错误；B、当x=3时，y的值小于0，故本选项正确；C、当x=1时，y的值小于1，故本选项错误；D、y的最大值不小于1，故本选项错误．故选B．5.【答案】A【解答】解：∵ 二次函数y=−2x2+4x+k，∵ 此函数的对称轴是x=1，∵ 当a<0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，则三个x的值中与对称轴最接近的值，对应的函数值最大．∵ x1=−0.99，x2=0.98，x3=0.99，∵ 对应的函数值为y1，y2，y3中，最大的为y3．故选A．6.【答案】C【解答】=1，正确；解：A、对称轴为直线x=2a2aB、当x=2时，y=3，正确；D、当a=1时，y=x2−2x+3，将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线y=(x+1)2+5，正确.故选C．7.【答案】B【解答】解：A、直线y=ax+b中的b<0，则该直线与y轴交于负半轴，故本选项错误；B、根据图示知，直线经过第一、三象限，则a>0．所以抛物线的开口方向向上，且ab<0，则对称轴位于y轴的右侧，故本选项正确；C、根据图示知，直线经过第一、三象限，则a>0．所以抛物线的开口方向向上，故本选项错误；D、根据图示知，直线经过第二、四象限，则a<0．所以抛物线的开口方向向下，故本选项错误.8.【答案】D 【解答】解：…抛物线的开口向上，a>0抛物线的对称轴是直线x=1，−b2a=1b<0&nbsp2a+b=0，故②正确；抛物线与y轴交于负半轴，∵ c<0abc>0，故①正确；当x=3时，y>0&nbsp∴ 9a+3b+c>0a=−12b，∵ −92b+3b+c>0整理即得：3b−2c<0，故③正确；当x=时，二次函数y取最小值|a+b+c…am2+bm+c≥a+b+c（m为实数），即am2+bm≥a+b（m为实数），故④正确．综上，正确结论的个数有4个．故选：D．9.【答案】A【解答】解：根据题意画出图形：∵ 当自变量x取m时，其相应的函数值y<0，∵ 可知m−1表示的点在A、B之间，∵ m−1>0，∵ 当自变量x取m−1时，函数值y<0．故选：A．10.D【解答】解：A、∵ 抛物线开口方向向下，∵ a<0．∵ 抛物线与x轴的交点是(−2, 0)和(x1, 0)，其中1<x1<2，<0，∵ 对称轴x=−b2a∵ b<0．∵ 抛物线与y轴交于正半轴，∵ c>0，∵ abc>0．故本选项错误；B、根据图示知，当x=−3时，y<0，即9a−3b+c<0．则9a+c<3b．故本选项错误；>−1，即a<b<0，∵ a−b<0．故本选项错误；C、∵ 两个根之和为负且−baD、∵ 把x=−2代入y=ax2+bx+c得：y=4a−2b+c=0，4a−2b=−c，2a−b=−c，2∵ O<c<2，∵ 2a−b+1>0．故本选项正确；故选D．二、填空题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）11.【答案】3,(1, 3)【解答】解：根据二次函数的顶点式y=2(x−1)2+3知，该函数图象的图象的最小值是3，其顶点坐标是(1, 3)．故答案是：3，(1, 3)．12.【答案】0,0【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=−b2a =−132×2=−112，∵ a=2>0，∵ x>−112时，y随x的增大而增大，∵ x≥0，∵ 当x=0时，式子y=2x2+x3取到最小值0．故答案为：0；0．13.【答案】<【解答】解：对于二次函数y=−(x+2)2+1，∵ a=−1，∵ 抛物线开口向下，∵ 抛物线的对称轴为直线x=−2，∵ 当x>−2时，y随x的增大而减小，∵ x1>x2>2，∵ y1<y2．故答案为<．14.【答案】1【解答】解：∵ 点(0, 0)在抛物线y=−3x2−x+m−1上，∵ m−1=0，解得m=1，故答案为：1．15.【答案】y=−3x2【解答】解：∵ 原抛物线的顶点为(0, 4)，∵ 沿y轴向下平移4个单位长度，得到的抛物线的顶点为(0, 0)，∵ 新抛物线为y=−3x2．故答案为：y=−3x2．16.【答案】<【解答】解：令x=2，则n=4a−4a+3=3，令x=3，则m=9a−6a+3=3a+3，∵ a>0，∵ m=3a+3>3，∵ m>n．故答案为：<．17.【答案】−1<x0<3或x0>3【解答】解：∵ y1>y2>y0，∵ 抛物线开口向上，当点A与点B都在对称轴的左侧时，则x0>3；当点A与点B在对称轴两侧，则−1<x0<3．故答案为−1<x0<3或x0>3．18.【答案】3【解答】解：∵ 抛物线开口向上，∵ a>0.=1>0，∵ 对称轴x=−b2a∵ b<0，故①错误；∵ 对称轴为x=1，∵ 图象与x轴的另一个交点为(−1,0)，∵ 当x=−1时，a−b+c=0，故②正确；∵ 一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)可以看作函数y=ax2+bx+c与y=−1的交点，由图象可知函数y=ax2+bx+c与y=−1有两个不同的交点，∵ 一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根，故③正确；由图象可以看出，抛物线与x轴有2个交点，分别为(−1,0),(3,0)，∵ 当x<−1或x>3时，函数图象在x轴上方，y>0，故④正确.故②③④正确，共3个.故答案为：3．三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）19.【答案】解：y=−2x2+1和y=−2x2的图象，如图：，y=−2x2的图象向上平移1个单位得y=−2x2+1的函数图象；y=−2x2的对称轴是y轴，顶点坐标是(0, 0)y=−2x2+1的对称轴是y轴，顶点坐标是(0, 1)．【解答】解：y=−2x2+1和y=−2x2的图象，如图：，y=−2x2的图象向上平移1个单位得y=−2x2+1的函数图象；y=−2x2的对称轴是y轴，顶点坐标是(0, 0)y=−2x2+1的对称轴是y轴，顶点坐标是(0, 1)．20.【答案】解：（1）由y=x2−2x−3=(x−1)2−4可知顶点坐标为(1, −4)，令x=0，则y=−3，∵ 与y轴交点为(0, −3)，令y=0，则0=x2−2x−3，解得x1=−1，x2=3，∵ 与x轴交点为(−1, 0)，(3, 0)．列表：（2）∵ 二次函数y=x2−2x−3的对称轴为x=1，在对称轴的右边y随x的增大而增大，∵ x1<x2<1时，y1<y2．【解答】解：（1）由y=x2−2x−3=(x−1)2−4可知顶点坐标为(1, −4)，令x=0，则y=−3，∵ 与y轴交点为(0, −3)，令y=0，则0=x2−2x−3，解得x1=−1，x2=3，∵ 与x轴交点为(−1, 0)，(3, 0)．列表：（2）∵ 二次函数y =x 2−2x −3的对称轴为x =1，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大， ∵ x 1<x 2<1时，y 1<y 2． 21.【答案】证明：（1）∵ y 1=x 2−(m +4)x +2(m +1)， ∵ 顶点横坐标为：m+42，纵坐标为：4×2(m+1)−(m+4)24=−m 2+84．当x =m+42时，y 2=−x 2+4x −6=−(m+42)2+4(m+42)−6=−m 2+84．故不论m 取何值，抛物线y 1的顶点总在抛物线y 2上；（2）∵ 抛物线y 1经过原点， ∵ 2(m +1)=0，解得m =−1，∵ y 1的解析式为y 1=x 2−3x ．【解答】证明：（1）∵ y 1=x 2−(m +4)x +2(m +1)， ∵ 顶点横坐标为：m+42，纵坐标为：4×2(m+1)−(m+4)24=−m 2+84．当x =m+42时，y 2=−x 2+4x −6=−(m+42)2+4(m+42)−6=−m 2+84．故不论m 取何值，抛物线y 1的顶点总在抛物线y 2上；（2）∵ 抛物线y 1经过原点， ∵ 2(m +1)=0，解得m =−1，∵ y1的解析式为y1=x2−3x．22.【答案】解：(1)由题意知y=−112(x−2)2+5，因为−112<0，所以抛物线开口向下；对称轴为x=2；顶点坐标为(2, 5)；当x=2时，函数有最大值，最大值为5.(2)∵ A(−6, y1)，B(1, y2)，C(4, y3)均在函数图象上，∵ y1=−112×(−6−2)2+5=−13，y2=−112×(1−2)2+5=5912，y3=−112×(4−1)2+5=5112，∵ −13<5112<5912，∵ y1<y3<y2．【解答】解：(1)由题意知y=−112(x−2)2+5，因为−112<0，所以抛物线开口向下；对称轴为x=2；顶点坐标为(2, 5)；当x=2时，函数有最大值，最大值为5.(2)∵ A(−6, y1)，B(1, y2)，C(4, y3)均在函数图象上，∵ y1=−112×(−6−2)2+5=−13，y2=−112×(1−2)2+5=5912，y3=−112×(4−1)2+5=5112，∵ −13<5112<5912，∵ y 1<y 3<y 2． 23.【答案】解：（1）因为当x =1时，ax 2=1．所以a =1．因为当x =−1时，ax 2+bx +c =7；当x =0时，ax 2+bx +c =2．所以{1−b +c =7c =2所以b =−4，c =2，所以函数y =ax 2+bx +c 的表达式为y =x 2−4x +2．（2）函数y =x 2−4x +2=(x −2)2−2，根据平移的规律，向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到y =(x −1)2．【解答】解：（1）因为当x =1时，ax 2=1．所以a =1．因为当x =−1时，ax 2+bx +c =7；当x =0时，ax 2+bx +c =2．所以{1−b +c =7c =2所以b =−4，c =2，所以函数y =ax 2+bx +c 的表达式为y =x 2−4x +2．（2）函数y =x 2−4x +2=(x −2)2−2，根据平移的规律，向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到y =(x −1)2． 24.【答案】解：（1）依题意可知，抛物线对称轴为x =1，即−b2a =−k−22(−2)=1，解得k =6；（2）当k =6时，y =−2x 2+4x +6=−2(x −1)2+8，故当x =1时，y 的最大值是8；（3）当y =0时，−2x 2+4x +6=0，解得x =−1或3，故当−1<x <3时，y >0．【解答】解：（1）依题意可知，抛物线对称轴为x =1，即−b2a =−k−22(−2)=1，解得k =6；（2）当k =6时，y =−2x 2+4x +6=−2(x −1)2+8，故当x =1时，y 的最大值是8；（3）当y=0时，−2x2+4x+6=0，解得x=−1或3，故当−1<x<3时，y>0．25.【答案】(1, a−4)当a＝0时，∵ 抛物线的解析式为y＝x2−2x−3；A(0, −3)，∵ 将点A向右平移4个单位长度，得到点B．∵ B(4, −3)；当函数经过点A时，a＝0，有三个交点．∵ 图形M与线段AB恰有两个公共点，∵ y＝a要在AB线段的上方，∵ a>−3∵ −3<a<0，当a＝1时，y＝x2−2x+a−3沿着y＝1翻折，此时，图形M与线段AB恰有两个公共点．综上所述：−3<a<0或a＝1．【解答】函数的对称轴为：x＝1，故函数顶点为：(1, a−4)，故答案为：(1, a−4)；当a＝0时，∵ 抛物线的解析式为y＝x2−2x−3；A(0, −3)，∵ 将点A向右平移4个单位长度，得到点B．∵ B(4, −3)；当函数经过点A时，a＝0，有三个交点．∵ 图形M与线段AB恰有两个公共点，∵ y＝a要在AB线段的上方，∵ a>−3∵ −3<a<0，当a＝1时，y＝x2−2x+a−3沿着y＝1翻折，此时，图形M与线段AB恰有两个公共点．综上所述：−3<a<0或a＝1．。

北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像与性质同步练习(含解析)

2.2二次函数的图像与性质同步练习一．选择题1．将抛物线y＝3x2+4沿y轴向上平移2个单位长度，所得的抛物线为（）A．y＝3（x+2）2+4B．y＝3x2+2C．y＝3（x﹣2）2+4D．y＝3x2+62．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+7的顶点坐标是（）A．（﹣3，7）B．（﹣3，﹣7）C．（3，7）D．（3，﹣7）3．下列关于二次函数y＝2x2+3，下列说法正确的是（）A．它的开口方向向下B．它的顶点坐标是（2，3）C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大D．当x＝0时，y有最小值是34．抛物线＝x2﹣4x+3上有两点A（0，y1）和B（m，y2），若y2＜y1，则m的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．0＜m＜4D．0≤m＜45．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣1（0≤x≤3）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内的最值，下列说法正确的是（）A．有最小值0，有最大值3B．有最小值﹣1，无最大值C．有最小值0，无最大值D．有最小值﹣1，有最大值36．如图，在用一坐标中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是x＝﹣1，下列结论中正确的是（）A．abc＜0B．4ac＜b2C．2a+b＝0D．a﹣b+c＞28．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上的点，下列命题正确的是（）A．若y1＝y2，则x1＝x2B．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1＜y2C．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1＞y2D．若|x1﹣2|＝|x2﹣2|，则y1＝y29．下列抛物线中，与抛物线的形状、大小、开口方向都相等的是（）A．B．C．D．y＝﹣x2+3x﹣510．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＞b2其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4二．填空题11．抛物线y＝2x2﹣5x+6与y轴的交点坐标是．12．当1≤x≤2时，二次函数y＝（x﹣h）2+3有最小值4，则h的取值为．13．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+3的图象上，则y1y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．14．点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣2ax+3图象上，当2≤m≤3时，n≥2a，则a的值为．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k 的值为．三．解答题16．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B．（1）直接写出点A的坐标为，点B的坐标为；（2）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．17．已知二次函数y＝x2﹣4x+6+m（m是常数）（1）若此二次函数的图象经过点（1，﹣2），求m的值；（2）若此二次函数的最小值为﹣，求m的值．18．对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它的相关函数为y＝．（1）已知点A（﹣1，）在二次函数y＝ax2+4x﹣的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣，当﹣3≤x≤3时，求y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN．直接写出线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．参考答案一．选择题1．解：将抛物线y＝3x2+4沿y轴向上平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝3x2+4+2，即y＝3x2+6．故选：D．2．解：∵y＝﹣（x﹣3）2+7，∴此函数的顶点坐标为（3，7），故选：C．3．解：∵二次函数y＝2x2+3，∴该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，它的顶点坐标为（0，3），∴当x＝0时，函数有最小值3，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项A、B、C错误，选项D正确；故选：D．4．解：∵抛物线＝x2﹣4x+3的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴点A（0，y1）关于直线x＝2的对称点是（4，y1），∴抛物线＝x2﹣4x+3上有两点A（0，y1）和B（m，y2），若y2＜y1，则m的取值范围是0＜m＜4；故选：C．5．解：根据图象可知此函数有最小值﹣1，有最大值3，故选：D．6．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；故选：D．7．解：A、由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，即b＜0，与y 轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，因此abc＞0，故错误；B、抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故正确；C、对称轴为x＝﹣＝﹣1，得2a＝b，∴2a﹣b＝0，故错误；D、∵当x＝﹣1时，y＞0∴a﹣b+c＞0，故错误．故选：B．8．解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，若y1＝y2，则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，故选项A错误；当a＞0时，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1＜y2，故选项C错误；若|x1﹣2|＝|x2﹣2|，则y1＝y2，故选项D正确；故选：D．9．解：∵抛物线的形状是抛物线，开口向下，∴抛物线的形状、大小、开口方向都相等的函数的二次项系数是，故选：B．10．解：①根据函数图象的开口向下知，a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣在y轴左边，∴，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0．故①的结论正确；②∵抛物线的对称轴在（﹣1，0）的右边，∴，∴，∵a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，故②的结论正确；③由函数图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即y＝4a﹣2b+c＜0，故③的结论正确；④（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故④的结论错误；故选：C．二．填空题11．解：令x＝0，得y＝6，故与y轴的交点坐标是：（0，6）．故答案为：（0，6）．12．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤2，x＝1时，y取得最小值4，可得：（1﹣h）2+3＝4，解得：h＝0或h＝2（舍）；②若1≤x≤2＜h，当x＝2时，y取得最小值4，可得：（2﹣h）2+3＝4，解得：h＝3或h＝1（舍）；③若1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为3，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为0或3，故答案为：0或3．13．解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∵1＜2，∴y1＞y2．故答案为＞．14．解：二次函数y＝x2﹣2ax+3开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，当a≤2时，则m＝2时，n＝2a，此时2a＝4﹣4a+3，解得a＝；当a≥3时，则m＝3时，n＝2a，此时2a＝9﹣6a+3，解得a＝，∵＜3，不合题意，舍去，当2＜m＜3时，则m＝a时，n＝2a，此时2a＝a2﹣2a2+3，解得a＝﹣3或a＝1，不合题意舍去，故a的值为，故答案为．15．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，∴CD＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），∴h＝＝c+1，∴抛物线y＝[x﹣（c+1）]2+k，把点C（c，2）代入得，2＝[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝，故答案为．三．解答题16．解：（1）当x＝0时，y＝1，因此点A的坐标为（0，1），将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B，因此点B坐标为（4，2），故答案为：（0，1），（4，2）；（2）抛物线y＝x2﹣2mx+1的对称轴为x＝﹣＝﹣＝m，抛物线恒过点A（0，1），当函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，就是抛物线与线段AB除点A 以外没有其它的公共点，①当对称轴x＝m＜0时，即m＜0均可，②当对称轴x＝m＞0时，若抛物线过点B，把（4，2）代入得，16﹣8m+1＝2，解得，m＝，因此当m＞时，函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，综上所述，当m＜0或m＞时，函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点．17．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+6+m（m是常数）经过点（1，﹣2），∴﹣2＝1﹣4+6+m，解得m＝﹣5；（2）∵二次函数的最小值是﹣，∴＝﹣，解得：m＝﹣．18．解：（1）二次函数y＝ax2+4x﹣的相关函数为y＝，将点A（﹣1，）代入y＝﹣ax2﹣4x+得：﹣a+4+＝，解得：a＝﹣1．（2）当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x＝2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为．当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x＝2，当x＝0有最小值，最小值为﹣，当x＝2时，有最大值，最大值y＝．综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，word 版初中数学 11 / 11 ∴﹣n ＝1，解得：n ＝﹣1．∴当﹣3＜n ≤﹣1时，线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y ＝﹣x 2+4x +n 经过点（0，1），∴n ＝1．如图4所示：线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣n 经过点M （﹣，1），∴+2﹣n ＝1，解得：n ＝．∴1＜n ≤时，线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是﹣3＜n ≤﹣1或1＜n ≤．。

九年级下册数学北师大版同步课时作业 2.2二次函数的图像与性质(有答案)

九年级下册数学北师大版同步课时作业2.2二次函数的图像与性质一、单选题 1.已知一次函数by x c a=+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++在平面直角坐标系中的图象可能是( )A. B . C. D.2.将二次函数221y x x =+-的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是( )A.()232y x =+- B. 23()2y x =++ C.()212y x =-+D.()212y x =--3.下列关于函数212y x =的图象说法： ①图象是一条抛物线； ②开口向下； ③对称轴是y 轴； ④顶点(0)0，，其中正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个4.抛物线231352y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的顶点坐标是（）A.1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.1,32⎛⎫⎪⎝⎭D.1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭5.二次函数2y x ax b =-+的图象如图所示,对称轴为直线2x =,下列结论不正确的是( )A.4a =B.当4b =-时,顶点的坐标为(2,8)-C.当1x =-时,5b >-D.当3x >时,y 随x 的增大而增大6.关于二次函数228y x x =+-,下列说法正确的是( ) A.图象的对称轴在y 轴的右侧 B.图象与y 轴的交点坐标为()0,8C.图象与x 轴的交点坐标为()2 ,0-和()4,0D. y 的最小值为9-7.若点123(2,),(1,),(3,)A y B y C y -在二次函数2241y x x =+-的图象上,则123,,y y y 的大小关系是( ) A.123y y y <<B.231y y y <<C.321y y y <<D.213y y y <<8.抛物线267y x x =++可由抛物线2y x =如何平移得到( ) A.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B.先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D.先向右平移3个单位，再向上平移2个单位9.对于二次函数223y x mx =--，下列结论错误的是( ) A.它的图象与x 轴有两个交点 B.方程223x mx -=的两根之积为-3 C.它的图象的对称轴在y 轴的右侧 D.当x m <时，y 随x 的增大而减小二、填空题10.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴是过点(1,0)且平行于y 轴的直线，若点(4,0)P 在该抛物线上，则42a b c -+的值为 .11.在二次函数224(0)y ax ax a =++<的图象上有两点12(2,),(1,)y y -,则12y y -_______0(填“ >”“ <”或“=”)12.已知二次函数223y x =-，当x 取12,x x 12()x x ≠时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为 .三、解答题13.如图，顶点为M 的抛物线2(1)4y a x =+-分别与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的右侧），与y 轴相交于点(0,3)C -.（1）求抛物线的解析式；（2）判断BCM 是否为直角三角形，并说明理由；（3）抛物线上是否存在点N （点N 与点M 不重合），使得以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1.答案：A解析：本题考查一次函数的图象以及二次函数的图象.观察一次函数图象可知0,0,bc a<>∴二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴02bx a=->，与y 轴的交点在y 轴正半轴，结合选项知A 选项正确，故选A. 2.答案：D 解析：221y x x =+-()212x =+-，∴将图象沿x 轴向右平移2个单位长度后得到的图象所对应的解析式为()2212y x =-+-()212x =--.3.答案：C解析：①二次函数212y x =的图象是抛物线,正确; ②因为102a =>,抛物线开口向上,错误; ③因为0b =,对称轴是y 轴,正确; ④顶点(0,0)也正确. 故选:C. 4.答案：B解析：231352y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是抛物线的顶点式，根据顶点式的特点可知，顶点坐标为1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭.5.答案：C解析：∵二次函数为2y x ax b =-+，∴对称轴为直线22ax ==， ∴4a =,故A 选项正确；当4b =-时，2244(2)8y x x x =--=--，∴顶点的坐标为(2,8)-，故B 选项正确；当1x =-时，由图象知0y <，即140b ++<， ∴5b <-,故C 选项不正确；∵对称轴为直线2x =且图象开口向上，∴当3x >时，y 随x 的增大而增大，故D 选项正确，故选C. 6.答案：D 解析： 7.答案：A解析：对称轴为直线4122x =-=-⨯，∵20a =>，∴二次函数的图象开口向上， ∴当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x >-时，y 随x 的增大而增大， ∵点1(2,)A y -关于对称轴1x =-的对称点为1(0,)y ，且013<<，∴123y y y <<。

2020—2021年北师大版初中数学九年级下册《二次函数的图像与性质》同步检测题及答案解析.docx

北师大版数学九年级下册二次函数的图像与性质同步检测一、选择题 1．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（）A ．（-1，2）B ．（-1，-2）C ．（1，2）D ．（1，-2）答案：C解析：解答：∵顶点式2y a x h k =-+（），顶点坐标是（h ，k ）， ∴抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选：C ．分析：利用抛物线顶点式的特点直接写出顶点坐标．此题考查了求抛物线的顶点坐标的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．2．函数ky x=与2y kx k =-+（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B．C．D．答案：B解析：解答：由解析式2y kx k=-+可得：抛物线对称轴x=0；A．由双曲线的两个分支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k ＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选：B ．分析：此题可以先根据反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看一看是否一致．解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k 的取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y 轴的交点是否符合要求． 3．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=-2的是（）A ．22y x =+（）B ．222y x=-C ．222y x =-- D ．222y x =-（）答案：A解析：解答：22y x =+（）的对称轴为x=-2，故A 正确；222y x =-的对称轴为x=0，故B 错误； 222y x =--的对称轴为x=0，故C 错误； 222y x =-（）的对称轴为x=2，故D 错误．故选：A ．分析：根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，依次进行判断，选出正确的选项．本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键．4．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，下列结论： ①二次三项式2ax bx c ++的最大值为4； ②4a+2b+c ＜0；③一元二次方程21ax bx c ++=的两根之和为-1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：解答：∵抛物线的顶点坐标为（-1，4），∴二次三项式2++的最大值为4，故①正确；ax bx c∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程21++=的两根之和ax bx c为-2，故③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤-2，故④错误，故选：B．分析：此题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式2ax bx c++的最大值；②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；③根据抛物线的对称性确定一元二次方程21++=的两根之和；④根据函数ax bx c图象确定使y≤3成立的x的取值范围．5．在同一直角坐标系中，函数2=-和y=kx+k（k≠0）的图y kx k象大致是（）A．B．C．D．答案：D解析：解答：A．由一次函数y=kx+k的图象可得：k＞0，此时二次函数2=-的图象应该开口向上，错误；y kx kB．由一次函数y=kx+k图象可知，k＞0，此时二次函数2=-的y kx k图象顶点应在y轴的负半轴，错误；C．由一次函数y=kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误；D．正确．故选：D．分析：先根据一次函数的图象判断k的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．本题考查的是一次函数和二次函数的图象，解答此类题要熟练掌握一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标．6．如图图形中，阴影部分面积相等的是（）A ．甲乙B ．甲丙C ．乙丙D ．丙丁答案：B解析：解答：甲：直线443y x =-+与x 轴交点为（3，0），与y 轴的交点为（0，4），则阴影部分的面积为12×3×4=6；乙：阴影部分为斜边为4的等腰直角三角形，其面积为12×4×2=4；丙：抛物线2229y x =-与x 轴的两个交点为（-3，0）与（3，0），顶点坐标为（0，-2），则阴影部分的面积为12×6×2=6；丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为12×6=3；因此甲、丙的面积相等，故选：B ．分析：甲、丙：根据函数解析式求出图象与x 轴，y 轴的交点坐标，再计算阴影部分的面积；乙：可判断出阴影部分为斜边为4的等腰直角三角形，据此计算阴影部分的面积；丁：利用反比例函数系数k 的几何意义求出阴影部分的面积．此题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，熟练掌握各类函数的图象特点是解决问题的关键．7．王芳将如图所示的三条水平直线1m ，2m ，3m 的其中一条记为x 轴（向右为正方向），三条竖直直线4m ，5m ，6m 的其中一条记为y 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线263y ax ax =--，则她所选择的x 轴和y 轴分别为（）A ．1m ，4mB ．2m ，3mC ．3m ，6mD ．4m ，5m 答案：A解析：解答：∵抛物线263y ax ax =--的开口向上， ∴a ＞0，∵2263339y ax ax a x a =--=---（），∴抛物线的对称轴为直线x=3， ∴应选择的y 轴为直线4m ；∵顶点坐标为（3，-3-9a ），抛物线263y ax ax =--与y 轴的交点为（0，-3），而-3-9a ＜-3， ∴应选择的x 轴为直线1m ，故选：A ．分析：根据抛物线开口向上可知a ＞0，将抛物线配方为2339y a x a =---（），可得抛物线的对称轴为x=3，顶点纵坐标为-3-9a ，由此结合图象得到答案．此题考查了二次函数的图象，理解二次函数的图象与各系数的关系是解题的关键，注意数形结合思想的运用．8．已知抛物线y=ax 2+bx+c 开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有（） A ．最小值-5 B ．最大值-5 C ．最小值3 D ．最大值3 答案：B解析：解答：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（3，-5），所以该抛物线有最大值-5．故选：B ．分析：由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，-5），根据抛物线的性质可以做出判断．9．抛物线222y x x =-+-经过平移得到2y x =-，平移方法是（） A ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位答案：C解析：解答：∵222211y x x x =-+-=---（）的顶点坐标为（1，-1），平移后抛物线2y x =-的顶点坐标为（0，0），∴平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位．故选：C ．分析：由抛物线222211y x x x =-+-=---（）得到顶点坐标为（1，-1），而平移后抛物线2y x =-的顶点坐标为（0，0），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．10．若（2，5）、（4，5）是抛物线2y ax bx c =++上的两个点，则它的对称轴是（） A ．bx a =-B ．x=1C ．x=2D ．x=3 答案：D解析：解答：因为抛物线与x 轴相交于点（2，5）、（4，5），根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴242x +==3；故选：D ．分析：因为点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求出两对称点横坐标的平均数即可．此题考查了二次函数的对称性．11．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（） A ．123y y y ＞＞ B ．213y y y ＞＞ C ．231y y y ＞＞ D ．312y y y ＞＞答案：C解析：解答：∵二次函数24y x x m =--中a=1＞0， ∴开口向上，对称轴为x=2ba-=2， ∵A （2，1y ）中x=2，∴1y 最小，又∵B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞． ∴231y y y ＞＞．故选：C ．分析：首先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴，然后判断出A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）在抛物线上的位置，最后根据二次函数的增减性求解．解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象性质．12．若函数222x y x x c -=-+的自变量x 的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（）A ．c ＞1B ．c=1C ．c ＜1D ．c ≤1答案：A解析：解答：由题意，得△=224c 0--（）＜，解得c ＞1．故选：A ．分析：先根据分式的意义，分母不等于0，得出220x x c -+≠，再根据二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象性质，可知当二次项系数a ＞0，△＜0时，有y ＞0，此时自变量x 的取值范围是全体实数．要使得此题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．难点在于分母是关于自变量x 的二次函数，要使自变量x 的取值范围是全体实数，必须满足△＜0．13．二次函数2y x x m =-+（m 为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a-1时，函数值（）A．y＜0B．0＜y＜mC．y＞mD．y=m答案：C解析：解答：当x=a时，y＜0，则a的取值范围是12x a x＜＜，又对称轴是x=12，所以a-1＜0，当x＜12时，y随x的增大而减小，当x=0时，函数值是m．因而当x=a-1＜0时，函数值y一定大于m．故选：C．分析：根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a-1＜0，因为当x＜12时，y随x的增大而减小，所以当x=a-1＜0时，函数值y一定大于m．此题主要考查二次函数的对称轴，以及增减性．14．直角坐标平面上将二次函数2212y x=---（）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（）A ．（0，0）B ．（1，-2）C ．（0，-1）D ．（-2，1）答案：C解析：解答：由题意得原抛物线的顶点为（1，-2）， ∵图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴新抛物线的顶点为（0，-1）．故选：C ．分析：易得原抛物线顶点，把横坐标减1，纵坐标加1即可得到新的顶点坐标．此题考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：二次函数图象的平移与顶点的平移一致．15．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足22201558y x =--+（），由于某种原因，价格只能15≤x ≤22，那么一周可获得最大利润是（）A ．20B ．1508C ．1558D ．1585答案：C解析：解答：∵一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足22201558y x =--+（），且15≤x ≤22，∴当x=20时，y 1558=最大值．故选：C ．分析：因为该二次函数的开口方向向下，所以当x-20=0时，y 取最大值．此题考查了二次函数的最值．此题要注意x 的取值范围，在15≤x ≤22范围内求解．二、填空题16．已知二次函数22y m x =-（）的图象开口向下，则m 的取值范围是答案：m ＜2解析：解答：∵二次函数22y m x =-（）的图象开口向下，∴m-2＜0，∴m ＜2，故答案为：m ＜2．分析：由图象的开口方向知m-2＜0，确定m 的取值范围．考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下．17．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =-++，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为s ．答案：4解析：解答：根据题意，得焰火引爆处为抛物线的顶点处，顶点处的横坐标即代表从点火到引爆所需时间，则t=1205-⨯-=4s ，故答案为：4．分析：根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．利用二次函数的性质，结合图象与实际问题的联系进行解答．18．已知二次函数2y axbx c =++的图象如图所示，则点P （a ，bc ）在第象限．答案：一解析：解答：从图象得出，二次函数的对称轴在y 轴的右侧，且开口向上，∴a ＞0，2b a -＞0，所以b ＜0，∵二次函数的图象与y 轴交于y 轴的负半轴，∴c ＜0，∴a ＞0，bc ＞0，则点P （a ，bc ）在第一象限．故答案为：一．分析：只要根据二次函数的图象及性质判断出a 及bc 的符号，就可得出点P （a ，bc ）所在象限．此题考查了二次函数图象的对称轴、开口方向与y 轴的交点与系数的关系．19．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，给出下列说法： ①ac ＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x ＞1时，函数y 随x 的增大而增大；⑤当y ＞0时，-1＜x ＜3．其中，正确的说法有（请写出所有正确说法的序号）．答案：②⑤解析：解答：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，∴①错误；由图象可知：12b a-=， ∴2a+b=0，∴②正确；当x=1时，y=a+b+c ＞0，∴③错误；由图象可知：当x ＞1时，函数y 随x 的增大而减小，∴④错误；根据图象，当-1＜x ＜3时，y ＞0，∴⑤正确；正确的说法有②⑤．故答案为：②⑤分析：①由图象开口向下和与y 轴的交点位置，求出a ＜0，c ＞0判断；②由抛物线的顶点的横坐标12b a -=判定；③把x=1代入抛物线，根据纵坐标y 的值判断；④根据图象的性质（部分图象的延伸方向）判断；⑤根据图象在x 轴的上方时，y ＞0，即可求出．注意：根据抛物线的开口方向即可得到a 的正负，根据抛物线与y 轴的交点的纵坐标即可求出c 的值，根据顶点的横坐标得出2a 和b 的关系式，把x=1或（-1）代入即可求出a+b+c 和a-b+c 的值．20．已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （-2，0）、O （0，0）、B （-3，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是答案：12y y ＞解析：解答：∵抛物线与x 轴交于A （-2，0）、O （0，0）两点， ∴抛物线对称轴为x=202-+=-1， ∵B （-3，1y ）、C （3，2y ），点B 离对称轴较近，且抛物线开口向下，∴12y y ＞．故答案为：12y y ＞．分析：由已知得抛物线与x 轴交于A （-2，0）、O （0，0）两点，开口向下，对称轴为x=202-+=-1，可知B 、C 两点在对称轴的两边，点B 离对称轴较近，再根据抛物线图象进行判断．此题考查了二次函数的增减性．熟练掌握：当二次项系数a ＞0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大；a ＜0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小．三、解答题21．已知抛物线2142y x x =--+，（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；答案：（-1，92）｜直线x=-1（2）x 取何值时，y 随x 增大而减小？答案：x ＞-1（3）x 取何值时，抛物线在x 轴上方？答案：-4＜x ＜2解析：解答：（1）∵2142y x x =--+=12-228x x +-（）=12-2 [(1)9]x +-=12-29(1)2x ++， ∴它的顶点坐标为（-1，92），对称轴为直线x=-1；（2）∵抛物线对称轴是直线x=-1，开口向下，∴当x ＞-1时，y 随x 增大而减小；（3）当y=0时，12-29(1)2x ++=0 解得1x =2，2x =-4，而抛物线开口向下，∴当-4＜x ＜2时，抛物线在x 轴上方．分析：（1）用配方法写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴；（2）对称轴是x=-1，开口向下，根据对称轴及开口方向确定函数的增减性；（3）令y=0，确定函数图象与x轴的交点，结合开口方向判断x 的取值范围．注意：抛物线的顶点式适合与确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值y ＞0，y=0，y ＜0．22．用配方法把函数23610y x x =--+化成2y a x h k =-+（）的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．答案：向下｜x=-1｜（-1，13）｜最大值13解析：解答：∵2236103113y x x x =--+=-++（），∴开口向下，对称轴x=-1，顶点坐标（-1，13），最大值13．分析：这个函数的二次项系数是-3，配方法变形成2y a x h k =++（）的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数-3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．二次函数的顶点式是：2y a x h k =-+（）（a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）．23．已知m ，n 是关于x 的方程2260x ax a -++=的两实根，求2211y m n =-+-（）（）的最小值．答案：8解析：解答：依题意△=2446a a -+（）≥0，即260a a --≥，∴a ≤-2或a ≥3，由m+n=2a ，mn=a+6，2222y m n m n =+-++（）2222m n mn m n =+--++（）（）24610a a =--23494()44a =--， ∴a=3时，y 的最小值为8．故答案为：8．分析：根据方程有两个根，利用根的判别式求出a 的取值范围，再根据根与系数的关系求出m+n 与mn 的值，然后把2211y m n =-+-（）（）整理成m+n 与mn 的形式，代入进行计算求解．此题考查了二次函数的最值问题，根的判别式，利用根的判别式求出a 的取值范围是解题的关键．24．把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （-6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ．（1）求顶点P 的坐标；答案：（-3，92-）（2）写出平移过程；答案：先向左平移3个单位，再向下平移92个单位（3）求图中阴影部分的面积．答案：272解析：解答：（1）平移的抛物线解析式为1(6)2y x x =+=2132x x +=219(3)22x +-，所以顶点P 的坐标为（-3，92-）；（2）把抛物线212y x =先向左平移3个单位，再向下平移92个单位即可得到抛物线219(3)22y x =+-；（3）图中阴影部分的面积=OPQ 127S 3922∆=⨯⨯=．分析：（1）先利用交点式确定平移后的抛物线解析式，然后配成顶点式得到P 点坐标；（2）利用顶点的平移过程得到抛物线的平移过程；（3）根据平移得到图中阴影部分的面积OPQ S ∆=，然后根据三角形面积公式计算．此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，所以a 不变．求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，求出解析式．25．如果二次函数的二次项系数为l ，则此二次函数可表示为2y x px q =++，我们称[p ，q]为此函数的特征数，如函数y=x 2+2x+3的特征数是[2，3]．（1）若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标．答案：（1，0）（2）探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．答案：[2，-3]②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？答案：向左平移12个单位，再向下平移14个单位解析：解答：（1）由题意得：22211y x x x =-+=-（）， ∴此函数图象的顶点坐标为（1，0）；（2）①由题意得：224125y x x x =+-=+-（）， ∴把此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后可得：22151y x =+--+（）214x =+-（）223x x =+-，∴图象对应的函数的特征数为：[2，-3]；②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为：222312y x x x =++=++（）， ∵一个函数的特征数为[3，4]，∴函数解析式为：234y x x =++237()24x =++， ∴原函数的图象向左平移12个单位，再向下平移14个单位得到．分析：（1）根据题意得出函数解析式，从而得出顶点坐标；（2）①首先得出函数解析式，然后利用函数平移规律得到答案；②分别求出两函数解析式，从而得出平移规律．此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求函数解析式，利用特征数得出函数解析式是解答此题的关键．。

北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像和性质同步测试(无答案)

2.2二次函数的图像和性质一、选择题1.抛物线的顶点坐标是( )A. （2，1）B. （-2，-1）C. （-2，1）D. （2，-1）2. 抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）A. 直线x=1B. 直线x=﹣1C. 直线x=﹣2D. 直线x=23.下列函数中，y随x增大而增大的是（）A. B. y=﹣x+5 C. D.4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A. 图象关于直线x=1对称B. 函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C. ﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D. 当x＜1时，y随x的增大而增大5. 把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（)A. y=3（x+3）2-2B. y=3（x+3）2+2C. y=3（x-3）2-2D. y=3（x-3）2+26.在函数①y=3x2；②y＝x2；③y＝−x2中，图象开口按从大到小的顺序排列的是（）A. ①②③B. ③②①C. ②③①D. ②①③7.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（）A. ①②B. ②③C. ②④D. ①③④8.要得到二次函数的图象，则需将的图象（）A. 向右平移两个单位；B. 向下平移1个单位；C. 关于x轴做轴对称变换；D. 关于y轴做轴对称变换；9.在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（）A. 1个B. 1个或2个C. 1个或2个或3个D. 1个或2个或3个或4个10.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（）A. y=3（x﹣3）2+3B. y=3（x﹣3）2﹣3C. y=3（x+3）2+3D. y=3（x+3）2﹣311. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则（）A. ac+1=bB. ab+1=cC. bc+1=aD. 以上都不是二、填空题12.把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是________．13.抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是________，当x________ 时，y随x的增大而减小．14.如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为________ ．（注：只填写正确结论的序号）15.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当y＜7时，x的取值范围是________．16.从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式为h=30t﹣5t2，那么小球抛出________秒后达到最高点．17.已知点A（-2，y1），B（，y2）在二次函数y=x2-2x-m的图象上，则y1________y2（填“＞”、“=”或“＜”）．三、解答题18.将二次函数的一般式y=x2﹣4x+5化为顶点式y=（x﹣h）2+k，并写出它的对称轴及顶点坐标．19.已知二次函数y=x2+2x+m的图象过点A（3，0）．（1）求m的值；（2）当x取何值时，函数值y随x的增大而增大．20.已知抛物线y=3ax2+2bx+c，（1）若a=3k，b=5k，c=k+1，试说明此类函数图象都具有的性质；（2）若a=，c=2+b且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3，求b的值；（3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由．21.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+ x+4经过A、B两点．（1）求出点A、点B的坐标；（2）若在线段AB上方的抛物线有一动点P，过点P作直线l⊥x轴交AB于点Q，设点P的横坐标为t（0＜t＜8），求△ABP的面积S与t的函数关系式，并求出△ABP的最大面积；（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使S△APB= S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

北师大版九年级下册2.2二次函数的图像与性质同步练习(含答案)

初中数学北师大版九年级下册2.2二次函数的图像与性质同步练习（含答案）一、单选题（共15题；共30分）1.由抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)2，下列平移方法可行的是( )A. 向上平移2个单位长度B. 向下平移2个单位长度C. 向左平移2个单位长度D. 向右平移2个单位长度2.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A. 3或6B. 1或6C. 1或3D. 4或63.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A. B.C. D.4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5.描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数，下列说法：①图象经过；②当时，有最小值；③ 随的增大而增大；④该函数图象关于直线对称；正确的是（）A. ①②B. ①②④C. ①②③④D. ②③④6.已知抛物线过、、、四点，则与的大小关系是（）A. >B. =C. <D. 不能确定7.把抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线是（）A. B. C. D.8.若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（）A. 有且只有1个B. 有且只有2个C. 至少有3个D. 有无穷多个9.二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象可能是（）A. B. C. D.10.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）A. a＞0，c＞0B. a＜0，c＞0C. a＞0，c＜0D. a＜0，c＜011.函数y=ax2与函数y=ax+a，在同一直角坐标系中的图象大致是图中的（）A. B. C. D.12.下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为（）A. B. C. D.13.当时，二次函数有最大值，则实数的值为( )A. B. 或 C. 或 D. 2或或14.对于代数式，下列说法正确的是（）①如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c=aq2+bq+c，则②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+cA. ①B. ③C. ②④D. ①③15.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 1 3y －3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共6题；共7分）16.二次函数的顶点坐标是________．17.将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象的表达式是________．18.已知抛物线y=x2+（m-4）x-4m的顶点在y轴上，则m=________；19.已知二次函数有最大值，则，的大小关系为________．20.若二次函数的图象关于轴对称，则的值为：________．此函数图象的顶点和它与轴的两个交点所确定的三角形的面积为：________.21.已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：________ ．（填“ ”，“ ”或“ ”）三、解答题（共8题；共124分）22.若二次函数y=﹣x2图象平移后得到二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的图象．（1）平移的规律是：先向________（填“左”或“右”）平移________个单位，再向________平移________个单位．（2）在所给的坐标系内画出二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的示意图．23.已知抛物线y=－x2＋2x＋3．（1）求该抛物线的对称轴和顶点P的坐标．（2）在图中的直角坐标系内用五点法画出该抛物线的图象（3）将该抛物线向下平移2个单位，向左平移3个单位得到抛物线y1，此时点P的对应点为P′，试求直线PP′与y轴的交点坐标24.已知二次函数y=x2+2x﹣3．（1）写出它的顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；（3）求出图象与x轴的交点坐标．（4）当x取何值时y的值大于0．25.二次函数的图象如图所示，根据图象回答：（1）当时，写出自变量的值．（2）当时，写出自变量的取值范围．（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围（用含、、的代数式表示）．26.已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同，顶点与抛物线y=(x+2)2相同.（1）求这条抛物线的解析式；（2）将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式？（3）若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式.27.如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．28.已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.29.如图，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上（点与点不重合），我们定义：这样的两条抛物，互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．（1）如图，已知抛物线与轴交于点，试求出点关于该抛物线对称轴对称的点的坐标；（2）请求出以点为顶点的的友好抛物线的解析式，并指出与中同时随增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物线的任意一条友好抛物线的解析式为 ℎ，请写出与的关系式，并说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】B12.【答案】B13.【答案】C14.【答案】B15.【答案】B二、填空题16.【答案】 17.【答案】或18.【答案】4.19.【答案】20.【答案】1；121.【答案】三、解答题22.【答案】（1）右；2；上；4（2）解：抓住顶点（2，4），与y轴（0，0），x轴的交点（4，0）（0，0）等关键点来画．23.【答案】（1）解：∵抛物线y=－x2＋2x＋3，∴y=－x2＋2x＋3=-（x-1）2+4，∴对称轴为直线x=1，顶点P(1，4).（2）解：列表得：图像如图：（3）解：依题可得：平移后抛物线为y1=－(x+2)2+2，∴P′(－2，2)，设直线PP′的函数解析式为：y=kx+b，依题可得：，解得：，∴直线PP′的函数表达式为y=x+∴直线PP′与y 轴的交点为(0，).24.【答案】（1）解: y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为：（﹣1，﹣4）（2）解: ∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4的对称轴为：x=﹣1，开口向上，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大（3）解: 令y=x2+2x﹣3=0，解得：x=﹣3或x=1，∴图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）．（4）解: 其大致图象如图：由图象可知：当x＞1或x＜-3时，y的值大于025.【答案】（1）解：当时，或（2）解：当时，；（3）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为．∴当时，随的增大而减小（4）解：方程变形为，∴方程有两个不相等的实数根可看作二次函数与直线有两个交点，如图，∴，即26.【答案】（1）解：∵一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同,顶点与抛物线y=(x+2)2相同，∴这条抛物线的解析式为：y=3(x+2)2（2）解：将抛物线向右平移4个单位会得到的抛物线解析式为：y=3(x−2)2（3）解：若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，则符合此条件的抛物线解析式为：y=−3(x−2)227.【答案】（1）解：∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，解得，m=﹣1，∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1（2）解：当x=﹣2时，y p=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，∴当m=﹣2时，y p的最小值﹣2，此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2（3）解：m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），∴或，解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤428.【答案】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根（2）解：∵二次函数（﹣）﹣的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．29.【答案】（1）解：∵抛物线L3：y=2x2﹣8x+4，∴y=2（x﹣2）2﹣4，∴顶点为（2，－4），对称轴为x=2，设x=0，则y=4，∴C（0，4），∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）；（2）解：∵以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，﹣4），∴L4的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+4，由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L与L4中y同时随x增大而增大；3（3）解：a1与a2的关系式为a1+a2=0．理由如下：∵抛物线y=a1（x﹣m）2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2（x﹣h）2+k，∴y=a2（x﹣h）2+k过点（m，n），且y=a1（x﹣m）2+n过点（h，k），即k=a1（h﹣m）2+n…①n=a2（m﹣h）2+k…②由①+②得：（a1+a2）（h﹣m）2=0．又“友好”抛物线的顶点不重合，∴h≠m，∴a1+a2=0．。

北师大版九年级数学下册2.2：二次函数的图象与性质同步练习题(含答案)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数2.2二次函数的图象与性质同步练习题1.抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是(C)A.直线x＝2B.直线x＝－2C.直线x＝1D.直线x＝－12.若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是(A)A.m＞9B.m≥9C.m＜－9D.m≤－93.已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是(A)A.2>y1>y2B.2>y2>y1C.y1>y2>2D.y2>y1>24.已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为(B)A.－2B.－4C.2D.45.在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中错误的是(C)A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2C.当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到6.已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是(D)A.有最大值－1，有最小值－2B.有最大值0，有最小值－1C.有最大值7，有最小值－1D.有最大值7，有最小值－27.观察二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象(如图)，则直线y＝ax＋b一定经过(D)A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限8.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是(D)A.b2＜4acB.ac＞0C.2a－b＝0D.a－b＋c＝09.已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x＜－1时，y 随x的增大而减小，则实数a的取值范围是(D)A.a＜2B.a＞－1C.－1＜a≤2D.－1≤a＜210.如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合.现将△EFG 沿AB方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点F与B重合时停止.在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG 重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是(C)11.如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是(C)A.m≥1B.m≤0C.0≤m≤1D.m≥1或m≤012.已知函数y＝|8－2x－x2|和y＝kx＋k(k为常数)，则不论k为何常数，这两个函数图象只有(B)A.1个交点B.2个交点C.3个交点D.4个交点13.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1＜1＜x2，且x1＋x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6 2.其中真命题的序号是(C)A.①B.②C.③D.④14.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，请写出一个满足y＜0的x的值2(答案不唯一).15.二次函数y＝2x2－12x＋13的最小值是－5.16.将抛物线y ＝2x 2的图象，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y ＝2(x ＋1)2－2.17.二次函数y ＝2x 2－12x ＋5关于x 轴对称的图象所对应的函数化成顶点式为y ＝－2(x －3)2＋13. 18.如图，若抛物线y ＝x 2与双曲线y ＝－2x(x ＜0)上有三个不同的点A(x 1，m)，B(x 2，m)，C(x 3，m)，则当n ＝x 1＋x 2＋x 3时，m 与n 的关系为mn ＝－2.19.将直线y ＝－x ＋8向下平移m 个单位长度后，与直线y ＝3x ＋6的交点在第二象限，则m 的取值范围是2＜m ＜10．20.已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x （x>0），－x （x≤0）的图象如图所示，若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为0＜m ＜14.21.新定义：[a ，b ，c]为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0，a ，b ，c 为实数)的“图象数”.若“图象数”是[m －1，m －2，m －3]的二次函数的图象经过原点，则m ＝3.22.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y ＝ax 2上的两点A ，B 满足OA ＝OB ，且tan∠OAB＝12，则称线段AB 为该抛物线的通径.那么抛物线y ＝12x 2的通径长为2.23.已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3).(1)求此抛物线的解析式；(2)如果点A 关于该抛物线对称轴的对称点是B 点，且抛物线与y 轴的交点是C 点，求△ABC 的面积.解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x －3)2＋5，将A(1，3)代入上式得3＝a(1－3)2＋5，解得a ＝－12. ∴抛物线的解析式为y ＝－12(x －3)2＋5. (2)∵A(1，3)，抛物线对称轴为直线x ＝3，∴B(5，3).令x ＝0，y ＝－12(0－3)2＋5＝12，则C(0，12).1 2×(5－1)×(3－12)＝5.∴S△ABC＝。

北师大九年级下《2.2二次函数的图像与性质》同步训练含参考答案

北师大九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，） 1. 已知二次函数的图象过点，，．若点，y =ax 2+bx +c A(1, 2)B(3, 2)C(5, 7)M(‒2, y 1)，也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（）N(‒1, y 2)y =ax 2+bx +c A.y 1=y 2 B.y 1<y 2 C.y 1>y 2 D.y 1≤y 2 2. 如图为二次函数的图象，则的解集为（）y =ax 2+bx +c ax 2+bx +c >0A.x <‒3B.‒3<x <1C.x >2D.x >1 3. 把抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，所得到的抛物线是（）y =x 221A.y =(x ‒1)2+2 B.y =(x +1)2‒2C.y =(x ‒1)2‒2D.y =(x +1)2+24. 抛物线，，，的图象开口最大的是（） y =13x 2y =‒3x 2y =‒x 2y =2x 2A.y =13x 2B.y =‒3x 2C.y =‒x 2D.y =2x 2 5. 已知二次函数，下列说法错误的是（）y =x 2‒4x +a A.当时，随的增大而减小x <1y x B.若图象与轴有交点，则x a ≤4C.当时，不等式的解集是a =3x 2‒4x +a >01<x <3D.若将图象向上平移个单位，再向左平移个单位后过点，则13(1, ‒2)a =‒36. 学校商店销售一种练习本所获得的总利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式为y x ，则下列叙述正确的是（）y =‒2(x ‒2)2+48A.当时，利润有最大值元 B.当时，利润有最大值元x =248x =‒248C.当时，利润有最小值元 D.当时，利润有最小值元x =248x =‒248 7. 已知二次函数，当时，函数有最大值，设，是y =ax 2+bx +c(a ≠0)x =1y (x 1, y 1)(x 2, y 2)这个函数图象上的两点，且，那么（）1<x 1<x 2A.，a >0y 1>y 2 B.，a >0y 1<y 2C.，a <0y 1>y 2D.，a <0y 1<y 2 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③y =ax 2+bx +c(a ≠0)c <0b >0，④，其中正确的有（）a +b +c >0a >0A.个1B.个2C.个3 D.个4 9. 在直角坐标系中，函数与的图象大致是（）y =‒3x y =x 2‒1 A. B.C. D.10. 将二次函数的图象如何平移可得到的图象（）y =x 2y =x 2‒2x +2A.向左平移个单位，向上平移个单位22B.向右平移个单位，向下平移个单位22C.向右平移个单位，向上平移个单位11D.向左平移个单位，向下平移个单位11 二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分，） 11. 若抛物线的顶点在轴上，则________． y =x 2+(4‒m)x +1y m = 12. 当，二次函数的最大值为，则实数的值为________． ‒2≤x ≤1y =‒(x ‒ℎ)2+84ℎ 13. 已知抛物线与轴分别交于、，则该抛物线的对称轴为y =ax 2+bx +c x A(3, 0)B(1, 0)________． 14. 已知和时，多项式的值相等，且，则x =2m +n +2x =m +2n x 2+4x +6m ‒n +2≠0当时，多项式的值等于________． x =3(m +n +1)x 2+4x +6 15. 已知：、是二次函数的图象上两点，当A(x 1, 2010)B(x 2, 2010)y =ax 2+bx +3(a ≠0)时，二次函数的值是________．x =x 1+x 2y 16. 如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐y =ax 2+bx +c (a ≠0)(‒1, 2)x 标分别为，，其中，，下列结论x 1x 2‒2<x 1<‒10<x 2<1（1）；（2）；（3）； 4a ‒2b +c <02a ‒b <0a ‒3b >0（4）；其中正确的有________．b 2+8a <4ac 17. 已知抛物线的图象如图所示，则：________，________，________y =ax 2+bx +c(a ≠0)a 0b 0c ，________．0b 2‒4ac 018. 抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，y =ax 2+bx +c x A(‒1, 0)(1, n)y (0, 2)之间（包含端点），则下列结论：①当时，(0, 3)x >3；②；③；④中，正确的是________．y <03a +b >0‒1≤a ≤‒233≤n ≤4三、解答题（本题共计 8 小题，共计66分，） 19.(8分) 已知二次函数．y =x 2‒4x +3求出该函数与轴的交点坐标、与轴的交点坐标； (1)x y 在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；(2)x ……y ……根据图象回答：(3)①当自变量的取值范围满足什么条件时，？x y <0②当时，的取值范围是多少？0≤x <3y 20. （8分）已知，抛物线．y =x 2‒(m ‒1)x ‒m 若图象经过原点，求的值；(1)m 若图象的对称轴是轴，求的值；(2)y m 若图象的顶点在轴上，求的值．(3)x m21. （8分）求出抛物线的最大值，并说明该抛物线是由哪一条形如y =‒34x 2+32x +94的抛物线经过怎样的变换得到的？y =ax 222. （8分）二次函数的图象如图，解不等式．y =ax 2+bx +c bx +a >023.(8分) 已知二次函数的图象经过， y =12x 2‒(m ‒2)x +m 2(‒1, 6)求的值并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；(1)m 设此二次函数的图象与轴的交点为、（在右边），与轴交于点，在抛物线的对(2)x A B A B y C P 称轴上，当时，求点的坐标．∠APC =90∘P 24.(8分) 已知：二次函数为， y =x 2‒x +m 写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；(1) （2）为何值时，顶点在轴上方； m x 若抛物线与轴交于，过作轴交抛物线于另一点，当时，求此二次函(3)y A A AB // x B S △AOB =4数的解析式．25.(8分) 已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的一个交点坐标y =x 2+bx +c y A(0, ‒6)x 是．B(‒2, 0)求二次函数的关系式，并写出顶点坐标；(1) 将二次函数图象沿轴向左平移个单位长度，求所得图象对应的函数关系式．(2)x 5226.(10分) 如图，在中，，，．矩形的边在上，顶△ABC AC =40BC =30AB =50DEFG EF AB 点、分别在、上．设．D G AC BC EF =x用含的代数式表示的长；(1)x DE 当取什么值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？(2)x DEFG 答案1. C2. B3. C4. A5. C6. A7. C8. C9. C10. C11. 412. 或‒4313. x =214. 315. 316. ，，．，，(1)(2)(3)(1)(2)(3)17. ><=>18. ①③19. 解：令，得，(1)y =0x 2‒4x +3=0解得，，x 1=1x 2=3故与轴的交点坐标：，；x (1, 0)(3, 0)令，得，x =0y =3故与轴的交点坐标：；列表：y (0, 3)(2)x 01234y 30‒103图象为：①当自变量的取值范围满足时，；(3)x 1<x <3y <0②当时，的取值范围是．0≤x <3y ‒1≤y ≤320. 解：∵抛物线，y =x 2‒(m ‒1)x ‒m ∴，，，a =1b =‒(m ‒1)c =‒m 若图象经过原点，则，(1)c =0∴，‒m =0∴；m =0若图象的对称轴是轴，即，(2)y x =0∴，x =‒b2a =0∴；m =1若图象的顶点在轴上，则，(3)x △=0∴，b 2‒4ac =0∴．m =‒121. 解：抛物线，y =‒34x 2+32x +94，当时，取最大值为，y =‒34(x ‒1)2+3x =1y 3故该抛物线是由经过向上平移个单位得到，y =‒34x 23y =‒34x 2+3再把中的向右平移个单位得到：．y =‒34x 2+3x 1y =‒34(x ‒1)2+322. 解：∵二次函数的图象开口方向向下，y =ax 2+bx +c ∴，a <0∵对称轴，x =‒b 2a <0∴，b <0故不等式的解集是．bx +a >0x <‒a b 23. 解：∵二次函数的图象经过，(1)y =12x 2‒(m ‒2)x +m 2(‒1, 6)∴，6=12+(m ‒2)+m 2∴，m =5∴，y =12x 2‒3x +52令，则，(2)y =012x 2‒3x +52=0解得，，x 1=1x 2=5∴，，A(5, 0)B(1, 0)令，则，x =0y =52∵，y =12x 2‒3x +52∴对称轴，x =3∵在抛物线的对称轴上，P 设，P(3, n)当时，∠APC =90∘∴5‒352‒n=‒n 3解得或，n =‒32n =4∴或．P(3, ‒32)(3, 4)24. 解：∵，(1)a =1>0∴抛物线开口方向向上；对称轴为直线；x =‒‒12×1=12，4×1⋅m ‒(‒1)24×1=4m ‒14顶点坐标为；顶点在轴上方时，，(12, 4m ‒14)(2)x 4m ‒14>0解得；令，则，m >14(3)x =0y =m 所以，点，A(0, m)∵轴，AB // x ∴点、关于对称轴直线对称，A B x =12∴，AB =12×2=1∴，S △AOB =12|m|×1=4解得．m =±825. 解：依题意，有：(1)，解得；{c =‒64‒2b +c =0{b =‒1c =‒6∴；y =x 2‒x ‒6=x 2‒x +14‒254=(x ‒12)2‒254∴抛物线的顶点坐标为．由知：抛物线的解析式为；(12, ‒254)(2)(1)y =(x ‒12)2‒254将其沿轴向左平移个单位长度，得：．x 52y =(x ‒12+52)2‒254=(x +2)2‒25426. 解：如图，∵，，，(1)AC =40BC =30AB =50∴，AC 2+BC 2=AB 2∴是直角三角形．△ABC 作于，交于，CH ⊥AB H DG T ∴．．，AB CH =AC BC ∴，50CH =30×40∴．CH =24∵四边形是矩形，DEFG ∴，，DG // EF TH =DE ∴，△CDG ∽△CAB ∴，CT CH =DG AB ∴，24‒DE 24=x 50∴；DE =24‒1225x设矩形的面积为，(2)S ，S =x(24‒1225x)，=‒1225x 2+24x，=‒1225(x 2‒50x)，=‒1225(x ‒25)2+300故当时，矩形的最大面积为．x =25300。

北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像与性质同步练习(含解析)

2.2二次函数的图像与性质同步练习一．选择题1．把抛物线y＝﹣2x2+4的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y＝﹣2（x﹣2）2+7B．y＝﹣2（x﹣2）2+1C．y＝﹣2（x+2）2+7D．y＝﹣2（x+2）2+12．已知点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（3，y3）在函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y23．如图，在用一坐标中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．4．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是（）A．﹣2B．3C．﹣3D．﹣65．对于二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（）A．有最低点，坐标是（1，2）B．有最高点，坐标是（﹣1，﹣2）C．有最高点，坐标是（1，2）D．有最低点，坐标是（﹣1，﹣2）6．不论m取任何实数，抛物线y＝a（x+m）2+m+1（a≠0）的顶点都（）A．在y＝x+1直线上B．在直线y＝﹣x﹣1上C．在直线y＝﹣x+1上D．不确定7．关于二次函数y＝2x2﹣1的下列结论，不正确的是（）A．图象的开口向上B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．图象经过点（1，1）D．图象的对称轴是直线x＝18．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…﹣40220﹣4…下列结论：①抛物线开口向下；②当﹣1＜x＜2时，y＞0；③抛物线的对称轴是直线；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．其中所有正确的结论为（）A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④9．抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是（）A．先向左平移6个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移6个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移6个单位，再向上平移3个单位D．先向右平移6个单位，再向下平移3个单位10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＞b2其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4二．填空题11．二次函数y＝﹣x2+2x的最大值为．12．抛物线y＝﹣2x2﹣8x+3的顶点关于y轴对称的点的坐标为．13．如图，正方形OABC的边长为，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k 的值为．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣3）2+m与y＝（x+2）2+n的一个交点为A．已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线．分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则BC的值为．三．解答题16．已知二次函数y＝x2﹣4x+6+m（m是常数）（1）若此二次函数的图象经过点（1，﹣2），求m的值；（2）若此二次函数的最小值为﹣，求m的值．17．如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点．（1）求b，c的值；（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），求m的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+1（k≠0）经过点A（2，3），与抛物线y2＝ax2+bx+a 的对称轴交于点C（m，2）．（1）求m的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）设函数y＝y2﹣y1，已知函数y的图象有P（m1，n1）和Q（m2，n2）两点，且当m1＜m2≤2时，始终都有n1＞n2，求a的取值范围．参考答案一．选择题1．解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y＝﹣2x2+4的图象向左平移2个单位得到y ＝﹣2（x+2）2+4，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝﹣2（x+2）2+4的图象向上平移3个单位可得到函数y＝﹣2（x+2）2+4+3，即y＝﹣2（x+2）2+7，故选：C．2．解：∵点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（3，y3）在函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，∴y1＝2，y2＝﹣1，y3＝14，∴y2＜y1＜y3，故选：B．3．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；故选：D．4．解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+1）2+c+1，又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣1，故当x＝﹣1时，二次函数有最大值为﹣5，故﹣1+2+c＝﹣5，故c＝﹣6．故选：D．5．解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2），有最高点，故选项B中的说法正确，选项A、C、D中的说法错误；故选：B．6．解：∵抛物线y＝a（x+m）2+m+1（a≠0），∴顶点坐标是（﹣m，m+1），∴顶点在直线y＝﹣x+1上．故选：C．7．解：∵二次函数y＝2x2﹣1，a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，把x＝1代入y＝2x2﹣1得y＝1，∴图象经过点（1，1），故A、B、C结论正确，结论D不正确，故选：D．8．解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝，故③正确，由抛物线的对称轴可知，当x＞时，y随x的增大而减小，当x＜时，y随x的增大而增大，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，故①正确，由表格数据可知，当﹣1＜x＜2时，y＞0，故②正确；根据表格数据可知当x＝时，y＞2，故抛物线的最大值大于2，故④错误，故选：A．9．解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向右平移6个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣6）2．由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣6）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣6）2+3；故选：C．10．解：①根据函数图象的开口向下知，a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣在y轴左边，∴，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0．故①的结论正确；②∵抛物线的对称轴在（﹣1，0）的右边，∴，∴，∵a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，故②的结论正确；③由函数图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即y＝4a﹣2b+c＜0，故③的结论正确；④（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故④的结论错误；故选：C．二．填空题11．解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，∴当x＝1时，y有最大值为1．故答案为：1．12．解：∵抛物线y＝﹣2x2﹣8x+3中，a＝﹣2，b＝﹣8，c＝3，∴﹣＝﹣＝﹣2，y＝＝＝11，∴其顶点坐标是（﹣2，11），∴关于y轴对称的点的坐标是（2，﹣11）．故答案为：（2，﹣11）．13．解：如图，连接OB，∵四边形OABC是边长为的正方形，∴∠BOC＝45°，OB＝2，过点B作BD⊥y轴于D，∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOD＝45°+15°＝60°，∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB＝1，∴BD＝＝，∴点B的坐标为（，1），∵点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，∴a（）2＝1，解得a＝．故答案为：．14．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，∴CD＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），∴h＝＝c+1，∴抛物线y＝[x﹣（c+1）]2+k，把点C（c，2）代入得，2＝[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝，故答案为．15．解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2+m与y＝（x+2）2+n的对称轴分别为直线x＝3与直线x＝﹣2，∵点A的横坐标为1，∴点C的横坐标为5，点B横坐标为﹣5，∴BC＝10，故答案为：10．三．解答题16．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+6+m（m是常数）经过点（1，﹣2），∴﹣2＝1﹣4+6+m，解得m＝﹣5；（2）∵二次函数的最小值是﹣，∴＝﹣，解得：m＝﹣．17．（1）∵正方形OABC的边长为2，∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点，∴，解得；（2）由（1）可知抛物线为y＝﹣x2+2x+2，∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴顶点为（1，3），∵正方形边长为2，∴将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），m的取值范围是1＜m＜3．18．解：（1）∵直线y1＝kx+1（k≠0）经过点A（2，3），∴将点A的坐标代入y1＝kx+1得，3＝2k+1，解得，k＝1，∴直线y1＝x+1，∵直线y1＝x+1与抛物线y2＝ax2+bx+a的对称轴交于点C（m，2），∴将点C（m，2）代入y1＝x+1，得m＝1；（2）由（1）知抛物线y2＝ax2+bx+a的对称轴为x＝1，∴，即b＝﹣2a，∴y2＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴抛物线的顶点坐标为（1，0）；（3）当a＞0时，如图，若抛物线过点B（0，1），则a＝1，结合函数图象可得0＜a＜1；当a＜0时，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0＜a＜1．。

【优选整合】北师大版九年级下册数学222二次函数图象与性质测试(解析版).docx

第2课时二次函数y=ax?+c的图象与性质知识点1二次函数y = ax?+c的图象19.抛物线y = — 4x?+l的对称轴是（）A.直线x=jB.直线x=—扌C. y轴D.直线x=2【答案】C【解析】试题分析：对称轴为x二将a、b代入即可得x=0,所以对称轴为y轴，故选C. z a20.若抛物线y =（k —7）x2 —5的开口向下，则k的収值范围是（）A. k<7B. k>7C. k<0D. k>0【答案】A【解析】试题分析：抛物线开口向下，则k-7<0,所以kv7,故选A.21.抛物线y = 2x?-3的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C. x轴上D. y轴【答案】D【解析】试题分析：b=0,抛物线的对称轴是y轴，所以顶点在y轴上，故选D.22.抛物线y=x?+l的图象大致是（）A B C I）【答案】C【解析】本题考查二次函数y = ax2 + C的图象性质，根据二次函数图象性质,抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,1），因此正确的选项是C.23.在平面直角坐标系中，将抛物线y = x?—4向上平移2个单位长度，得到的抛物线表达式为（）A. y=（x + 2）2B. y=x2+2C. y = （x—2）2D. y = x2-2【答案】D【解析】试题分析：抛物线的对称轴是y轴，顶点在y轴上，（0,・4）向上平移两个单位则顶点坐标变为（0, -2）,所以抛物线表达式是y=X2—2,故选D.24.在同一个直角坐标系屮作出y=討，y=ix2一1的图象.⑴分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；⑵抛物线y=^x2-l与抛物线y=^x2有什么关系？【答案】见解析【解析】试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y轴，顶点坐标分别是（0,0）, （0, -1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线尸討一1与抛物线y号X?形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线1可由抛物线y=$2向下平移1 个单位长度得到的。

2.2二次函数图形与性质-北师大版九年级数学下册同步测试

北师大版九年级数学下册第一章2．2二次函数图形与性质同步测试一．选择题1．已知抛物线的解析式为y=(x －2)2+1，则抛物线的顶点坐标是( ) A ．(－2，1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D ．(1，2) 2．抛物线y=﹣x 2不具有的性质是( )A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．与y 轴不相交D ．最高点是原点3．若二次函数y ＝ax 2的图象过点P （﹣1，2），则该图象必经过点（） A ．（1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（﹣2，1）D ．（2，﹣1）4．二次函数y ＝（x+1）2﹣2的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．对于二次函数y=x 2和y=﹣x 2的图象，说法错误的是( )A ．开口方向不同B ．对称轴相同C ．顶点相同D ．开口大小不同6．抛物线y ＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（） A ．（1，﹣3）B ．（1，3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，﹣3）7．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A ．22y x =+（） B ．222y x =- C ．222y x =-- D ．222y x =-（） 8．把抛物线y ＝向下平移2个单位，得到抛物线解析式为（） A ．B ．C ．D ．9．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是( )．A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值10．已知二次函数y ＝x 2+bx+c 图象上部分点的坐标（x ，y ）的对应值如表所示：x … 0 1 2 … y…﹣3﹣4﹣3…则b 的值为（） A ．2B ．C ．﹣D ．﹣211．抛物线222y x x =-+-经过平移得到2y x =-，平移方法是（） A ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位12．在同一直角坐标系中，函数2y kx k =-和y=kx+k （k≠0）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题13．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是____________．14．已知二次函数22y m x =-（）的图象开口向下，则m 的取值范围是15．如果抛物线y ＝a(x 十2b a)2+244ac b a -的对称轴是x ＝－2，开口大小和方向与抛物线y ＝32-x 2的相同，且经过原点，那么a ＝，b ＝，c ＝．16．已知抛物线甲:y=﹣2x 2﹣1和抛物线乙的形状相同，且两条抛物线的对称轴均为y 轴，两顶点距离5个单位长度，如图所示，则抛物线乙的表达式为．17．已知抛物线y ＝(x －1)2+a －l 的顶点A 在直线y ＝－x+3上，直线y ＝－x+3与x 轴的交点为B ，△AOB 的面积(O 为坐标原点) ．18．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是△y ＝ax 2；△y ＝bx 2；△y ＝cx 2；△y ＝dx 2．则a 、b 、c 、d 的大小关系为．19．若抛物线y ＝x 2的图象经过点（a ，4．5）和（﹣a ，y 1），则y 1的值是． 20．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，给出下列说法：△ac ＞0；△2a+b=0；△a+b+c=0；△当x ＞1时，函数y 随x 的增大而增大；△当y ＞0时，﹣1＜x ＜3．其中，正确的说法有（请写出所有正确说法的序号）．三．解答题21．在平面直角坐标系中，画出函数y ＝（x ﹣1）2的图象．22．说出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y=5x2；(2)y=3x2﹣1；(3)y=﹣3x2+2．423．二次函数y＝x2+bx上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣10123…y…30﹣10m…（1）直接写出此二次函数的对称轴；（2）求b的值；（3）直接写出表中的m值，m＝；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出此二次函数的图象．24．已知抛物线y=﹣x 2+4x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），顶点为P ．（1）求A 、B 、P 三点的坐标；（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出x 取何值时，函数值大于零；（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平移后图象的函数表达式．25．用配方法把函数23610y x x =--+化成2y a x h k =-+（）的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．26．如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=﹣15x 2+72运行，然后准确落入篮筐内．已知篮筐的中心离地面的距离为3．05 m ．(1)球在空中运行的最大高度为多少?(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2．25 m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少?27．如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为2=++，我y x px q们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．（2）探究下列问题：△若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．△若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？答案提示1．B ． 2．C ．3．A ．4．C ．5．D ．6．D ．7．A ．8．B ．9．C ．10．D ．11．C ．12．D 13．x>12 14．m ＜2． 15．32- －6 0 16．y=﹣2x 2+4．17．S △AOB ＝12×3×2＝3． 18． a ＞b ＞d ＞c ． 19． 4．5．20．解：△抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， △a ＜0，c ＞0， △ac ＜0，△△错误；由图象可知：12ba-=， △2a+b=0，△△正确；当x=1时，y=a+b+c ＞0，△△错误；由图象可知：当x ＞1时，函数y 随x 的增大而减小，△△错误；根据图象，当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，△△正确；正确的说法有△△．故答案为：△△21．解：函数y ＝（x ﹣1）2，列表：描点、连线，．22．解：(2)开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，﹣1)．(3)开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2)．23．解：（1）观察表格发现图象经过（0，0），（2，0），△对称轴x＝＝1．（2）△二次函数y＝x2+bx的图象经过点（1，﹣1），△b＝﹣2．（3）根据对称性得：m＝3（4）如图：24．解：（1）令y=0，则﹣x2+4x﹣3=0，解得x1=1，x2=3．则A（1，0），B（3，0）．根据顶点坐标公式，则﹣=2，=1，即P（2，1）；（2）根据图象，得1＜x＜3时，函数值大于零；（3）抛物线的顶点式是y=﹣（x ﹣2）2+1，则将此抛物线的图象向下平移一个单位后，得到y=﹣（x ﹣2）2+1﹣1=﹣x 2+4x ﹣4．25．解：△2236103113y x x x =--+=-++（）， △开口向下，对称轴x=﹣1，顶点坐标（﹣1，13），最大值13． 26. 解： (1)△抛物线y=﹣15x 2+72的顶点坐标为(0，3．5)， △球在空中运行的最大高度为3．5 m ． (2)在y=﹣15x 2+72中，当y=3．05时，3．05=﹣15x 2+72，解得x=±1．5， △篮筐的位置在第一象限，△篮筐中心的横坐标为1．5．当y=2．25时，2．25=﹣15x 2+72，解得x=±2．5，△运动员的位置在第二象限，△运动员的横坐标为﹣2．5．故该运动员距离篮筐中心的水平距离为1．5﹣(﹣2．5)=4(m)．27．解：（1）由题意得：22211y x x x =-+=-（），△此函数图象的顶点坐标为（1，0）；（2）△由题意得：224125y x x x =+-=+-（）， △把此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后可得：22151y x =+--+（）214x =+-（）223x x =+-，△图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]； △△一个函数的特征数为[2，3]，△函数解析式为：222312y x x x =++=++（）， △一个函数的特征数为[3，4]，△函数解析式为：234y x x =++237()24x =++，△原函数的图象向左平移12个单位，再向下平移14个单位得到．。

北师大九年级下《2.2二次函数的图像与性质》同步训练含参考答案

北师大九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 已知二次函数的图象过点，，．若点，，也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.2. 如图为二次函数的图象，则的解集为（）A. B.C. D.3. 把抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，所得到的抛物线是（）A. B.C. D.4. 抛物线，，，的图象开口最大的是（）A. B.C. D.5. 已知二次函数，下列说法错误的是（）A.当时，随的增大而减小B.若图象与轴有交点，则C.当时，不等式的解集是D.若将图象向上平移个单位，再向左平移个单位后过点，则6. 学校商店销售一种练习本所获得的总利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式为，则下列叙述正确的是（）A.当时，利润有最大值元B.当时，利润有最大值元C.当时，利润有最小值元D.当时，利润有最小值元7. 已知二次函数，当时，函数有最大值，设，是这个函数图象上的两点，且，那么（）A.，B.，C.，D.，8. 二次函数的图象如图所示，下列结论：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的有（）A.个B.个C.个D.个9. 在直角坐标系中，函数与的图象大致是（）A. B.C. D.10. 将二次函数的图象如何平移可得到的图象（） A.向左平移个单位，向上平移个单位 B.向右平移个单位，向下平移个单位 C.向右平移个单位，向上平移个单位 D.向左平移个单位，向下平移个单位二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分，）11. 若抛物线的顶点在轴上，则 ________．12. 当，二次函数的最大值为，则实数的值为________． 13. 已知抛物线与轴分别交于、，则该抛物线的对称轴为________．14. 已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于________．15. 已知：、是二次函数的图象上两点，当时，二次函数的值是________．16. 如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论（1）；（2）；（3）；（4）；其中正确的有________．17. 已知抛物线的图象如图所示，则： ________ ， ________ ， ________ ， ________ ．18. 抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①当时，；② ；③；④ 中，正确的是________．三、解答题（本题共计 8 小题，共计66分，）19.(8分) 已知二次函数．求出该函数与轴的交点坐标、与轴的交点坐标；①当自变量的取值范围满足什么条件时，？②当时，的取值范围是多少？20. （8分）已知，抛物线．若图象经过原点，求的值；若图象的对称轴是轴，求的值；若图象的顶点在轴上，求的值．21. （8分）求出抛物线的最大值，并说明该抛物线是由哪一条形如的抛物线经过怎样的变换得到的？22. （8分）二次函数的图象如图，解不等式．23.(8分) 已知二次函数的图象经过，求的值并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；设此二次函数的图象与轴的交点为、（在右边），与轴交于点，在抛物线的对称轴上，当时，求点的坐标．24.(8分) 已知：二次函数为，写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）为何值时，顶点在轴上方；若抛物线与轴交于，过作轴交抛物线于另一点，当时，求此二次函数的解析式．25.(8分) 已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的一个交点坐标是．求二次函数的关系式，并写出顶点坐标；将二次函数图象沿轴向左平移个单位长度，求所得图象对应的函数关系式．26.(10分) 如图，在中，，，．矩形的边在上，顶点、分别在、上．设．用含的代数式表示的长；当取什么值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？答案1. C2. B3. C4. A5. C6. A7. C8. C9. C10. C11.12. 或13.14.15.16. ，，．，，17.. ①③19. 解：令，得，解得，，故与轴的交点坐标：，；令，得，①当自变量的取值范围满足时，；②当时，的取值范围是．20. 解：∵抛物线，∴ ，，，若图象经过原点，则，∴ ，∴ ；若图象的对称轴是轴，即，∴ ，∴，∴ ；若图象的顶点在轴上，则，∴ ，∴ ．21. 解：抛物线，，当时，取最大值为，故该抛物线是由经过向上平移个单位得到，再把中的向右平移个单位得到：．22. 解：∵二次函数的图象开口方向向下，∴ ，∵对称轴，∴ ，故不等式的解集是．23. 解： ∵二次函数的图象经过，∴，∴ ，∴，令，则，解得，，∴ ，，令，则，∴，∵，∴对称轴，∵ 在抛物线的对称轴上，设，当时，∴解得或，∴或．24. 解： ∵ ，∴抛物线开口方向向上；对称轴为直线；，顶点坐标为；顶点在轴上方时，，解得；令，则，所以，点，∵ 轴，∴点、关于对称轴直线对称，∴，∴，解得．25. 解：依题意，有：，解得；∴；∴抛物线的顶点坐标为．由知：抛物线的解析式为；将其沿轴向左平移个单位长度，得：．26. 解：如图，∵ ，，，∴ ，∴ 是直角三角形．作于，交于，∴ ．．，∴ ，∴ ．∵四边形是矩形，∴ ，，∴ ，∴，∴，∴；设矩形的面积为，，，，，故当时，矩形的最大面积为．。

北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象和性质同步测试

2.2 二次函数的图象与性质同步测试一、选择题1.1.把二次函数的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（）A. B.C. D.2.抛物线的顶点坐标为（）A、（-1，）B、（1，）C、（-1，—）D、（1，—）3.已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A. 图象关于直线x=1对称B. 函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C. ﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D. 当x＜1时，y随x的增大而增大5. 若把函数y ＝x 的图象用E ( x ，x )表示，函数y ＝2 x +1的图象用E ( x, 2 x +1)表示，…，则E ( x ，x 2 －2 x +1)可以由E ( x ，x 2 )怎样平移得到（）．A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位6.抛物线的顶点坐标和对称轴分别是（）A. B.C. D.7.如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A、y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-18.、二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（）A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限9.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（）A. ①②B. ②③C. ②④D. ①③④10.二次函数y ＝ax 2 + bx + c 中，b 2 ＝ac ，且x ＝0时，y ＝－4，则（）A．y 最大值＝－4 B．y 最小值＝－4 C．y 最大值＝－3 D．y 最小值＝－3 二、填空题11.如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是_________ ．12.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x,向_____平移______个单位得到的.13.若抛物线的对称轴是直线，且它与函数的形状相同，开口方向相同，则，。

北师大版九年级数学下册《二次函数的图像和性质》同步练习题

2.2二次函数的图像与性质一、选择题1 .抛物线y =( x —2) 2+3的顶点坐标是( ).A. (2,3)B. ( — 2,3)C. (2, -3)D. (—2, -3)2 .把抛物线y =— x 2向右平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为().A. y=—(x —1)2+3B. y=—(x +1) 2+3 C. y=—(x — 1) 2 -3 D. y = — ( x +1) 2 —33.已知二次函数y=— x 2+ bx + c 中函数y 与自变量x 之间的部分x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 )在函数的图象上,x 2 )怎样平移得到(14.已知抛物线y = ax 2 + bx + c （ a >0）的对称轴为直线 x =1,且经过点（－ 1， y 1 ），（2 ， y 2 ），试比较 y 1 和 y 2 的大小： y 1__________________________________________________________________ y 2 （填“>” 或“="）.15. 二次函数的一般式为 _____________ ；若抛物线的顶点坐标为（ h ， k ），则可设该抛物线的顶点式为 _____________ ；若抛物线与 x 轴交于（ x 1 ， 0）、（ x 2 ， 0），则可设该抛物线的两点式为 ___________ .16. 抛物线 y=ax 2 +bx+c 的形状与 y=2x 2-4x-1 相同，对称轴平行于 y轴，且x=2时，y 有最大值-5，该抛物线关系式为 .对应值如下表所示，点A. 4. 0< x 1<1 y 1》y 若把函数象用E ( x, 2V x B.2<3时，y1与y2的大小关系正确的是(=x 的图象用E (2 x +1)表小，…，则C. y 1 < y 2D. y 1 < y 2)表示，函数y =2 x +1的图 x 2-2 x +1)可以由 E ( x ,A.向上平移1个单位B.向下平移 1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移 1个单位5.下列抛物线中，开口最大的是(A. B. C . y = — x 2 D.6.抛物线的顶点坐标和对称轴分别是( )A.(1 , 2),直线x = 1B.(-1, 2),直线x = 一1C.( — 4, — 5),直线x = - 4D.(4 , — 5),直线x = 47.二次函数y = x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数关系式是( )A. y = x2 +3 B . y = x2—3D. y =( x — 3)8.已知函数y = —3 x 2+1的图象是抛物线，若该抛物线不动，把x轴向上平移两个单位，y 轴向左平移一个单位，则该函数在新的直角坐标系内的函数关系式为（）A. y = —3（ x +1） 2 +2B. y = — 3（ x —1）2—1C. y =3（ x +1）2+2D. y =3（ x — 1）2—29.在平面直角坐标系中，函数y=—乂+1与丫= （ x -1）2的图象大致是（）10.二次函数y = ax 2 + bx + c 中，b 2=ac,且x=0 时，y=—4，则（）A. y最大值——4 B . y最小值——4C-y最大值=—3 D . y最小值——3二、填空题11.将y =2 x 2—12 x —12变为y = a （x — m ）2 + n 的形式，则m n =.12.当x = ____________时，二次函数y = x 2 +2 x —2有最小值.13.抛物线y =2 x 2 - bx +3的对称轴是直线x =1,则b的值为三、解答题17.已知反比例函数的图象经过点(一1, —2).(1)求y与x的函数关系式；(2)若点(2, n )在这个图象上，求n的值.18.如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)(2) c>1; (3) 2a-b<0; (4) a+b+c<0b19.如图，已知C. 4个 D.k函数y=-A (a, mj)、B (2a, n)是反比例函数y= 一x(k>0)与一次4-x+b图象上的两个不同的交点，分别过A B两点作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结OA OB若已知1&a& 2,则求S .AB的取值范围. 久20.已知反比例函数和一次函数y=-x+a-1 (a为常数)(1)当a=5时，求反比例函数与一次函数的交点坐标(5分)(2)是否存在实数a,使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，求出实数a,如果不存在，说明理由(5分)答案解析部分(共有20道题的解析及答案)一、选择题1、A点拨：二次函数y = a (x— h )2 + k ( a w0)的顶点坐标是(h , k ).2、C点拨：抛物线y =— x 2向右平移1个单位，得到y = —( x — 1) 2,再下平移3个单位，得到y = —( X — 1) 2 -3.3、C点拨：由题中条件可知，该抛物线的对称轴是x =2,且开口向下，.•・当0<x 1 <1,2 < x 2<3 时，y 1 < y 2.4、D点拨：根据给出的新定义，E ( x , x 2 -2 x +1)为函数y = x 2 -2 x +1 的图象，E ( x , x 2 )为函数y = x 2的图象.因为y = x 2 -2 x +1 = ( x -1) 2,因此只要把函数y = x 2的图象向右平移1个单位就得到函数y = x 2 -2 x +1的图象.5、D点拨：抛物线y = ax 2 , | a |越小，抛物线的开口越大.6、D点拨：y = x 2 -4 x +3= ( x 2 -8 x )+3= ( x -4) 2 -5. 7、D点拨：抛物线左右平移横坐标变化，而纵坐标不变，平移规律是“左加右减”.8、B点拨：平移坐标轴相当于把图象反向平移.9、D点拨：一次函数y =— x +1中，b =1>0,交于y轴的正半轴，排除A B；二次函数的顶点坐标是(1 , 0),由此可作出判断.10、C点拨：y = ax 2 + bx + c 配方为，= b 2 = ac ,.当x =0 时，y = c ,即c =-4..< c <0, b 2>0, a <0. y 有最大值是一3.二、填空题11、―90点拨：将y =2 x 2 — 12 x —12进行配方，得y =2( x —3) 2—30,所以m =3, n = —30,所以m n = — 90.12、-1点拨：当x=—=一=—1时，二次函数y = x 2 +2 x —2有最小化13、4点拨：由于一=1,解得b =4.14、〉15、解析：一般情况下，若知道抛物线上的三点坐标，可设二次函数的一般式为丫=ax 2+bx+c；若知道顶点坐标(h, k)或对称轴x=h,可设顶点式y=a(x-h)2+k;若知道抛物线与x轴的两个交点坐标，可设两点式y=a(x-x 1 )(x-x 2 ),这样将比较简便.答案：y=ax 2+bx+c y=a(x-h) 2 +k y=a(x-x 1 )(x-x 2 )16、解析：两个抛物线形状相同，二次系数相同或互为相反数.这里a=-2,又对称轴为x=2, y有最大值-5,即抛物线y=ax 2+bx+c与y=2x 2 -4x-1形状相同，a=± 2.又•••二次函数有最大值，... a=-2.y=-2(x-2) 2 -5=-2(x 2 -4x+4)-5=-2x 2+8x-13.故解析式为y=-2(x-2) 2-5.答案：y=-2(x-2) 2 -5三、解答题17、(1) (2)18、【答案】A【解析】解：观察图像：函数与x轴有两个交点，所以(1) 正确;函数与y 轴的交点的纵坐标在0到1之间，所以0<c<1,故（2） c>1错误；由函数的对称轴X =-±A -1,而 80,所以士Y1力尸242”10,所以 ⑶2a —b<0正确；当工二1时，函数y 的值为T = a+i+C ,观察图像可知:。

北师大版九年级下册数学 2.2 二次函数的图像与性质同步练习(含解析)

２．２二次函数的图像与性质同步练习一．选择题１．如果将抛物线ｙ＝ｘ２﹣２平移，使平移后的抛物线与抛物线ｙ＝ｘ２﹣８ｘ＋９重合，那么它平移的过程可以是（）Ａ．向右平移４个单位，向上平移１１个单位Ｂ．向左平移４个单位，向上平移１１个单位Ｃ．向左平移４个单位，向上平移５个单位Ｄ．向右平移４个单位，向下平移５个单位２．已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）上部分点的横坐标ｘ与纵坐标ｙ的对应值如表：ｘ⋅⋅⋅０１３４５⋅⋅⋅ｙ⋅⋅⋅﹣５﹣﹣﹣５﹣⋅⋅⋅根据表，下列判断正确的是（）Ａ．该抛物线开口向上Ｂ．该抛物线的对称轴是直线ｘ＝１Ｃ．该抛物线一定经过点（﹣１，﹣）Ｄ．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的３．已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）如图所示，那么ａ、ｂ、ｃ的取值范围是（）Ａ．ａ＜０、ｂ＞０、ｃ＞０Ｂ．ａ＜０、ｂ＜０、ｃ＞０Ｃ．ａ＜０、ｂ＞０、ｃ＜０Ｄ．ａ＜０、ｂ＜０、ｃ＜０４．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）的图象经过（０，１），（４，０），当该二次函数的自变量分别取ｘ１，ｘ２（０＜ｘ１＜ｘ２＜４）时，对应的函数值是ｙ１，ｙ２，且ｙ１＝ｙ２，设该函数图象的对称轴是ｘ＝ｍ，则ｍ的取值范围是（）Ａ．０＜ｍ＜１Ｂ．１＜ｍ≤２Ｃ．２＜ｍ＜４Ｄ．０＜ｍ＜４５．已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋３ｘ＋ａ﹣１，其中ａ是常数且ａ＜０，下列选项中可能是它大致图象的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．６．抛物线ｙ＝﹣２ｘ２＋１上有两点（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），下说法中，正确的是（）Ａ．若ｘ１＜ｘ２，则ｙ１＞ｙ２Ｂ．若ｘ１＞ｘ２，则ｙ１＞ｙ２Ｃ．若ｘ１＜ｘ２＜０，则ｙ１＜ｙ２Ｄ．若ｘ１＞ｘ２＞０，则ｙ１＞ｙ２７．抛物线ｙ＝２（ｘ＋１）２﹣４与ｙ轴的交点坐标为（）Ａ．（０，﹣４）Ｂ．（﹣１，﹣４）Ｃ．（０，﹣２）Ｄ．（﹣２，０）８．如图，是二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象，则下列说法错误的是（）Ａ．ａ＜０Ｂ．对称轴是直线ｘ＝Ｃ．ａｂ＜０Ｄ．ｘ＞时，ｙ随ｘ的增大而增大９．已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的对称轴为２，且经过点（３，０），则ａ＋ｂ＋ｃ的值（）Ａ．等于０Ｂ．等于１Ｃ．等于﹣１Ｄ．不能确定１０．抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图，则下列结论：①ａｂｃ＞０；②ａ＋ｂ＋ｃ＝２；③ｂ２﹣４ａｃ＞０；④ｂ＜１．正确的结论有（）个．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４二．填空题１１．如果点Ａ（﹣３，ｙ１）和点Ｂ（﹣２，ｙ２）是抛物线ｙ＝ｘ２＋ａ上的两点，那么ｙ１ｙ２．（填“＞”、“＝”、“＜”）．１２．平面直角坐标系ｘＯｙ中，若抛物线ｙ＝ａｘ２上的两点Ａ、Ｂ满足ＯＡ＝ＯＢ，且ｔａｎ∠ＯＡＢ＝，则称线段ＡＢ为该抛物线的通径．那么抛物线ｙ＝ｘ２的通径长为．１３．抛物线ｙ＝ｍｘ２＋２ｍｘ＋５的对称轴是直线．１４．如果点Ａ（１，２）和点Ｂ（３，２）都在抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象上，那么抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的对称轴是直线．１５．如果二次函数ｙ＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１（ａ１≠０，ａ１、ｂ１、ｃ１是常数）与ｙ＝ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２（ａ２≠０，ａ２、ｂ２、ｃ２是常数）满足ａ１与ａ２互为相反数，ｂ与ｂ２相等，ｃ１与ｃ２互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函１数ｙ＝﹣ｘ２＋３ｘ﹣２的“亚旋转函数”为．三．解答题１６．抛物线ｙ＝ｘ２﹣２ｘ＋ｃ经过点（２，１）．（１）求抛物线的顶点坐标；（２）将抛物线ｙ＝ｘ２﹣２ｘ＋ｃ沿ｙ轴向下平移后，所得新抛物线与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点，如果ＡＢ＝２，求新抛物线的表达式．１７．抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）向右平移２个单位得到抛物线ｙ＝ａ（ｘ﹣３）２﹣１，且平移后的抛物线经过点Ａ（２，１）．（１）求平移后抛物线的解析式；（２）设原抛物线与ｙ轴的交点为Ｂ，顶点为Ｐ，平移后抛物线的对称轴与ｘ轴交于点Ｍ，求△ＢＰＭ的面积．１８．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）经过点Ａ（﹣３，０）和点Ｂ（１，０）．设抛物线与ｙ轴的交点为点Ｃ．（１）直接写出该抛物线的对称轴；（２）求ＯＣ的长（用含ａ的代数式表示）；（３）若∠ＡＣＢ的度数不小于９０°，求ａ的取值范围．参考答案一．选择题１．解：∵抛物线ｙ＝ｘ２﹣８ｘ＋９＝（ｘ﹣４）２﹣７的顶点坐标为（４，﹣７），抛物线ｙ＝ｘ２﹣２的顶点坐标为（０，﹣２），∴顶点由（０，﹣２）到（４，﹣７）需要向右平移４个单位再向下平移５个单位．故选：Ｄ．２．解：由表格中点（０，﹣５），（４，﹣５），可知函数的对称轴为ｘ＝２，设函数的解析式为ｙ＝ａ（ｘ﹣２）２＋ｃ，将点（０，﹣５），（１，﹣）代入，得到ａ＝﹣，ｃ＝﹣３，∴函数解析式ｙ＝﹣（ｘ﹣２）２﹣３；∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；故选：Ｃ．３．解：由图象开口可知：ａ＜０，由图象与ｙ轴交点可知：ｃ＜０，由对称轴可知：＜０，∴ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＜０，故选：Ｄ．４．解：当ａ＞０时，抛物线开口向上，则点（０，１）的对称点为（ｘ０，１），∴ｘ０＞４，∴对称轴为ｘ＝ｍ中２＜ｍ＜４，故选：Ｃ．５．解：∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋３ｘ＋ａ﹣１，ａ是常数且ａ＜０，∴图象开口向下，ａ﹣１＜０，∴图象与ｙ轴交于负半轴，∵ａ＜０，ｂ＝３，∴抛物线对称轴在ｙ轴右侧．故选：Ｂ．６．解：∵抛物线ｙ＝﹣２ｘ２＋１，∴对称轴是ｘ＝０，抛物线开口方向向下，又∵抛物线ｙ＝﹣２ｘ２＋１上有两点（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ２），∴若ｘ１＜ｘ２＜０，则ｙ随ｘ的增大而增大，即ｙ１＜ｙ２．若０＜ｘ２＜ｘ１，则ｙ随ｘ的增大而减小，即ｙ１＜ｙ２．若ｘ２＜０＜ｘ１，需看两个点与ｙ轴的距离大小，距离大的函数值小，所以选项Ｃ正确，故选：Ｃ．７．解：将ｘ＝０代入ｙ＝２（ｘ＋１）２﹣４，∴ｙ＝２﹣４＝﹣２，∴抛物线与ｙ轴的交点为（０，﹣２），故选：Ｃ．８．解：Ａ、由抛物线的开口向下，可知ａ＜０，正确；Ｂ、对称轴为ｘ＝，正确；Ｃ、由对称轴为ｘ＝＞０，可知ａ、ｂ异号，即ａｂ＜０，正确；Ｄ、因为ａ＜０，所以，当ｘ＞时，ｙ随ｘ的增大而减小，错误．故选：Ｄ．９．解：∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的对称轴为２，∴根据二次函数的对称性得：点（３，０）的对称点为（１，０），∵当ｘ＝１时，ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ＝０，∴ａ＋ｂ＋ｃ的值等于０．故选：Ａ．１０．解：①∵抛物线开口向上，对称轴在ｙ轴左侧，抛物线与ｙ轴交于负半轴，∴ａ＞０，﹣＜０，ｃ＜０，∴ｂ＞０，∴ａｂｃ＜０，结论①错误；②∵当ｘ＝１时，ｙ＝２，∴ａ＋ｂ＋ｃ＝２，结论②正确；③∵抛物线与ｘ轴有两个交点，∴△＝ｂ２﹣４ａｃ＞０，结论③正确；④当ｘ＝﹣１时ｙ＜０，即ａ﹣ｂ＋ｃ＜０（１），由②ａ＋ｂ＋ｃ＝２可得：ｃ＝２﹣ａ﹣ｂ（２），把（２）式代入（１）式中得：ｂ＞１；故④错误；故选：Ｂ．二．填空题１１．解：∵ｙ＝ｘ２＋ａ，∴抛物线的对称轴是直线ｘ＝０，抛物线的开口向上，当ｘ＜０时，ｙ随ｘ的增大而减小，∵﹣３＜﹣２＜０，∴ｙ１＞ｙ２，故答案为：＞．１２．解：设点Ａ的坐标为（﹣２ａ，ａ），点Ａ在ｘ轴的负半轴，则ａ＝，解得，ａ＝０（舍去）或ａ＝，∴点Ａ的横坐标是﹣１，点Ｂ的横坐标是１，∴ＡＢ＝１﹣（﹣１）＝２，故答案为：２．１３．解：抛物线ｙ＝ｍｘ２＋２ｍｘ＋５的对称轴是直线ｘ＝﹣＝﹣１，即ｘ＝﹣１．故答案为ｘ＝﹣１．１４．解：∵点Ａ（１，２）和点Ｂ（３，２）都在抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象上，∴其对称轴为ｘ＝＝２故答案为：ｘ＝２．１５．解：∵ｙ＝﹣ｘ２＋３ｘ﹣２中ａ＝﹣１，ｂ＝３，ｃ＝﹣２，且﹣１的相反数是１，与ｂ相等的数是３，﹣２的倒数是﹣，∴ｙ＝﹣ｘ２＋３ｘ﹣２的“亚旋转函数”为ｙ＝ｘ２＋３ｘ﹣．故答案是：ｙ＝ｘ２＋３ｘ﹣．三．解答题１６．解：（１）把（２，１）代入ｙ＝ｘ２﹣２ｘ＋ｃ得４﹣４＋ｃ＝１，解得ｃ＝１，所以抛物线解析式为ｙ＝ｘ２﹣２ｘ＋１，ｙ＝（ｘ﹣１）２，所以抛物线顶点坐标为（１，０）；（２）ｙ＝ｘ２﹣２ｘ＋１＝（ｘ﹣１）２，抛物线的对称轴为直线ｘ＝１，而新抛物线与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点，ＡＢ＝２，所以Ａ（０，０），Ｂ（２，０），所以新抛物线的解析式为ｙ＝ｘ（ｘ﹣２），即ｙ＝ｘ２﹣２ｘ．１７．解：（１）把点Ａ（２，１）代入ｙ＝ａ（ｘ﹣３）２﹣１，得１＝ａ（２﹣３）２﹣１，整理，得１＝ａ﹣１，解得ａ＝２．则平移后的抛物线解析式为：ｙ＝２（ｘ﹣３）２﹣１；（２）由（１）知，平移后的抛物线解析式为：ｙ＝２（ｘ﹣３）２﹣１，则Ｍ（３，０）．∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）向右平移２个单位得到抛物线ｙ＝２（ｘ﹣３）２﹣１，∴平移前的抛物线解析式为：ｙ＝２（ｘ﹣１）２﹣１．∴Ｐ（１，﹣１）．令ｘ＝０，则ｙ＝１．故Ｂ（０，１），∴ＢＭ＝易推知ＢＭ２＝ＢＰ２＋ＰＭ２，即△ＢＰＭ为直角三角形，∴Ｓ△ＢＰＭ＝ＢＰ•ＭＰ＝××＝．１８．解：（１）∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）经过点Ａ（﹣３，０）和点Ｂ（１，０），∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝﹣１；（２）把Ａ（﹣３，０）和Ｂ（１，０）分别代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）得：，解得：ｃ＝﹣３ａ，∴ＯＣ＝３｜ａ｜；（３）当∠ＡＣＢ＝９０°时，∵∠ＯＡＣ＋∠ＯＣＡ＝９０°，∠ＡＣＯ＋∠ＢＣＯ＝９０°，∴∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＢ，又∵∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝９０°，∴△ＡＯＣ∽△ＣＯＢ，∴ＯＣ２＝ＯＢ•ＯＡ＝３，∴ＣＯ＝，∴ｃ＝±，①ａ＞０时，ｃ＜０，∵∠ＡＣＢ不小于９０°，ｃ＝﹣３ａ，∴﹣≤ｃ＜０，∵ｃ＝﹣３ａ，∴﹣≤﹣３ａ＜０，∴０＜ａ≤；②ａ＜０时，ｃ＞０，∵∠ＡＣＢ不小于９０°，∴０＜ｃ≤，∵ｃ＝﹣３ａ，∴﹣≤ａ＜０．综上所述可知：０＜ａ≤或﹣≤ａ＜０．。

北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像与性质 同步测试(含解析)

北师大版九年级数学下册 2.2 二次函数的图形与性质 同步测试题

北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像与性质 同步练习(含解析)

九年级下册数学北师大版同步课时作业 2.2二次函数的图像与性质(有答案)

2020—2021年北师大版初中数学九年级下册《二次函数的图像与性质》同步检测题及答案解析.docx

北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像和性质 同步测试(无答案)

北师大版九年级下册2.2二次函数的图像与性质 同步练习(含答案)

北师大版九年级数学下册2.2：二次函数的图象与性质 同步练习题(含答案)

北师大九年级下《2.2二次函数的图像与性质》同步训练含参考答案

北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像与性质 同步练习(含解析)

【优选整合】北师大版九年级下册数学222二次函数图象与性质测试(解析版).docx

2.2二次函数图形与性质-北师大版九年级数学下册同步测试

北师大九年级下《2.2二次函数的图像与性质》同步训练含参考答案

北师大版九年级数学下册2.2二次函数的图象和性质同步测试

北师大版九年级数学下册《二次函数的图像和性质》同步练习题

北师大版九年级下册数学 2.2 二次函数的图像与性质 同步练习(含解析)

北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像与性质同步测试(含解析)

北师大版九年级数学下册 2.2 二次函数的图形与性质同步测试题

北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像与性质同步练习(含解析)

北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像和性质同步测试(无答案)

北师大版九年级下册2.2二次函数的图像与性质同步练习(含答案)

北师大版九年级数学下册2.2：二次函数的图象与性质同步练习题(含答案)

北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像与性质同步练习(含解析)

北师大版九年级下册数学 2.2 二次函数的图像与性质同步练习(含解析)