竞赛专题凸函数和琴生不等式

合集下载

20第二十讲函数的凸性,詹森不等式

f ( x0 + h) − h
f ( x0 )
=
f+′( x0 ) .
f−′( x0 ) 的存在性留作练习 .
注开区间上的凸函数左右导数处处存在,但不一定
处处可导.
例子同时证明了：开区间上凸函数是连续函数.
数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在
(a, b) 中每一点的左、右导数存在.
证对于任意的 x0 ∈(a, b), 0 < h1 < h2 ,使 x0 < x0 + h1 < x0 + h2 < b,
数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
( x3 − x1 ) f ( x2 ) ≤ ( x3 − x2 ) f ( x1 ) + ( x2 − x1 ) f ( x3 ), 即 ( x3 − x2 ) f ( x2 ) + ( x2 − x1 ) f ( x2 )
条件是：任给
x1
,,
xn
∈
I,
0
<
λ
i<
1,=i
1,2,⋅ ⋅ ⋅,n,
λ1
+
λ2
++
λn
= 1，必有
f (λ
1 x1
+ +λ

n xn ) ≤
λ
1
f ( x1 ) + + λ
n

琴生不等式

琴生不等式
琴生不等式是以丹麦数学家约翰·琴生（JohanJensen）命名的一个重要不等式。

琴生不等式也译为詹森不等式，它的本质是对凸函数性质的应用。

琴生不等式在证明不等式中发挥着巨大的作用，应用琴生不等式往往比借助任何一般性的理论都要容易得多。

函数凸凹性在高中阶段是没有做具体要求的，实际上这是高等数学研究的函数重要性质之一，但它的身影在练习题目和高考试题中却经常出现。

这也充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能。

当然函数凹凸性的应用非常广泛，今天我们就从函数凸凹性的另一个终极定理——琴生不等式在高考题中的应用进行简单的研究。

一·琴生不等式
1·琴生不等式：
2·加权形式：
二·琴生不等式的应用1·证明代数不等式：
2·证明三角不等式：
3·证明数列不等式：。

琴生不等式【学生版】

自招竞赛数学讲义琴生不等式和幂平均不等式不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。

在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。

本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。

琴生不等式1. 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数；反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2π上的tan y x =，R +上的2y x =，3y x =等常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等2. 琴生(Jensen)不等式若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤上式等号在12...n x x x ===时取到反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。

琴生不等式

琴生不等式
琴生不等式
琴生不等式是由琴生发现的重要不等式，它在解决有关函数不等式方面的问题具有重要作用。它也有多种变通形式，运用时要根据具体情况而定。琴生不等式与函数或曲线的凹凸性相关，其判定有多种方法，主要是定义法和二阶导数法。若为ƒ(χ)下凸函数则 (ƒ(χ₁)+ƒ(χ₂))⁄2≥ƒ((χ₁+χ₂)⁄2)，类似有λƒ(χ₁)+(1-λ)ƒ(χ₂)≤ƒ(λχ₁+(1λ)χ₂) 若为ƒ(χ)上凸函数则 (ƒ(χ₁)+ƒ(χ₂))⁄2≤ƒ((χ₁+χ₂)⁄2)，类似有λƒ(χ₁)+(1-λ)ƒ(χ₂)≤ƒ(λχ₁+(1λ)χ₂)

高考中的考查
若x,y,z>0,且xyz=8。求证 1⁄√(1+x)+1⁄√(1+y)+1⁄√(1+z)<2。作为压轴型的难题，其思维方式也大为迥异。对考生的思维能力有很高的要求。我们再来看一道相类似的试题。基于此，我们不难发现高考与竞赛之间有着紧密的联系。这也就提醒着我们的同学在平时学习过程中要对竞赛类的试题也要有所接触，但不宜钻的过深。造成基础不扎实，影响整体水平的发挥。只需要对竞赛类的试题的处理方法有一定的了解，掌握这类试题的分析和讨论的切入点，以提高自身的应变能力。因为大多数的竞赛试题在思维上，还是在创新上，都有着一定的技巧。

琴生不等式
函数的凹凸性的判定定理：设在ƒ(χ)区间 (a,b)内具有二阶导数， 1若在区间(a,b)内ƒ₂(χ)>0（ƒ₂(χ)为二阶导数，下同），则函数ƒ(χ)在(a,b)是下凸的； 2若在区间(a,b)内ƒ₂(χ)<0，则函数ƒ(χ) (a,b)是上凸的。这个定理高诉我们，要定出函数的凹凸性，只要在函数的考察内，定出的同号区间以及相应的符号。

凸函数与琴生不等式拉格朗日中值定理

凸函数与琴生不等式一．知识部分知识一、凸函数的概念①第一定义：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的上方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凸的。

②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的上方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凸的。

此定义说明函数在区间上的凸性与不等式)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+的成立是等价的推广1. 任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≥+++ 推广2（琴生不等式）对任意一列1,,,,2121=+++∈+n n a a a R a a a ，函数)(x f 是],[b a 上的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≤+++说明：此时凸函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是下凸函数知识二、凹函数的概念①第一定义：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的下方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凹的。

②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的下方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凹的。

20第二十讲函数的凸性,詹森不等式

f ( x0 + h) − h
f ( x0 )
=
f+′( x0 ) .
f−′( x0 ) 的存在性留作练习 .
注开区间上的凸函数左右导数处处存在,但不一定
处处可导.
例子同时证明了：开区间上凸函数是连续函数.
数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于
I 中的任意三点 x1 < x2 < x3 ,有
f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ f ( x3 ) − f ( x1 ) ≤ f ( x3 ) − f ( x2 ) . (4)
x2 − x1
x3 − x1
x3 − x2
y
注 (4) 式与 (1) 式是等价
的. 所以有些教材将 (4) f (x3)
f (x1)
式作为凸函数的定义.
f (x2)
O x1
x2
对于凹函数，请大家自行写出相应的定理.
数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
x3 x
§5 函数的凸性与拐点
由数学归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要
则称 f 为 I上的一个凸函数. 反之如果总有
f (λ x1 + (1 − λ )x2 ) ≥ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ), (2)
则称 f 为 I 上的一个凹函数. 如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号, 则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.
数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点

全国高中数学联赛-不等式专题排序不等式与琴生不等式.pdf

说明：运用琴生不等式证题关键在于选去适当的辅助函数。情景再现
1. ABC 中，求 sin A sin B sin C 的最大值。
2. f (x) ax 2 bx c ，若 a 0 ，证明 f (x) 是下凸的；若 a 0 ，证明 f (x) 是上凸的。
3. 用函数 f (x) lg x 的凸函数性质证明平均值不等式：对 ai 0 （ i 1,2,..., n ）有
2
x分
别是 (0,
), (0,)
上的下凸函数。
f
(x)

sin
x, lg
x
分别是 [0,
], (0,)
上的上凸函数。
2
定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。
幂平均：
设
a1, a2 ,..., an
是任意
n
个正数，我们称 ( a1r

a2r n
...
an r
1
)r
(r
在命题与逻辑用语的学习过程中，我们常常会列举与不等式性质相关的问题作为范例. 不仅在大纲版人教社教材和课标版各教材的简易逻辑部分，都配有与此相关的例题、练习题作为逻辑学习的载体，在各类教辅用书和重要考试的考题中，以不等式性质或其运用作为素材的逻辑问题也是屡见不鲜的.这不仅是因为不等式的性质具有形式简洁明确、易于体现逻辑关系的特点，还因为它的工具作用使得我们在以许多其他教学内容作为题材提出围绕命题与逻辑用语的问题时，也与不等式的性质相关.
高一对函数单调性的证明，由于学生对不等式相关知识和方法的掌握方面还很欠缺，所以
我们将证明 f (x1 )与f (x2 ) 的大小关系，转化为判断 f (x1 ) f (x2 ) 的符号问题，从而以 f (x1 ) f (x2 ) 的恒等变形作为主要步骤，避免了对运用不等式性质进行变形的依赖.

上凸下凸的极致——琴生不等式

上凸下凸的极致——琴生不等式
函数凸凹性在高中阶段是没有做具体要求的，实际上这是高等数学研究的函数重要性质之一，但它的身影在练习题目和高考试题中却经常出现。

这也充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能。

当然函数凹凸性的应用非常广泛，今天我们就从函数凸凹性的另一个终极定理——琴生不等式在高考题中的应用进行简单的研究。

通过以上例题，我们会惊奇地发现利用琴生不等式可以帮助我们解决很多不等式问题，当然熟练琴生不等式的整体结构，准确选择适合题意的函数，明确其凸凹性，是运用好琴生不等式的关键。

尽管琴生不等式不是高中必须掌握的内容，但是我们多次在模拟题和真题，以及竞赛试题中看到它的身影，所以了解以及熟练运用琴生不等式们应该是不无裨益的。

_琴生不等式、幂平均不等式

高二数学竞赛班二试讲义第一讲琴生不等式、幂平均不等式一、知识要点：1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数；反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则 1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤（想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上）琴生(Jensen)不等式证明：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，且11,0n iii λλ==>∑，则11(()()n ni iiii i f x f x λλ==≤∑∑ 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 具有二阶导数，（1）如果对任意x ∈I,()0f x ''>，则曲线y=f(x)在I 是下凸的；（2）如果对任意x ∈I,()0f x ''<，则y=f(x)在I 是上凸的。

凸函数和琴生不等式

凸函数和琴生不等式的最大值为中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++∆=πA21 B 23 C 223 D 23分析：时，取等号当且仅当上是凸函数在分析：最小值的，试求：为定值是一组实数，且若n n n n n n n a a a nk a a a nk n a a a a a a n x x f a a a k k a a a a a a ===≥+++∴=+++≥+++∴+∞-∞=+++=+++ 2122222122221222212222212121)()(1),()()(,,.2时，取等号；时，即当且仅当上是凹函数，则：在3sin sin sin 233sin sin sin 2360sin )3sin()sin sin (sin 31),0(sin ππ=====≤++=︒=++≤++=C B A C B A C B A C B A C B A x y )11()11)(11(21nx x x +++= nn x x x x x x x x x x x x x x x n n n n nn nn n 111)1(1)]11()11)(11[(212121121121=+++≤+=+≥+++∴ 又n nnn n n n n n n n nn n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )11()11()11(])11()11()11[(1)1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++=+++≥=> 证：求证：，，已知);)(1)]1()1)(1[((1221112211nn nnn n a b a b a b a b a b a b +≥+++利用结论：'sin 'sin 'sin sin sin sin )sin sin (sin 'sin 'sin 'sin sin sin sin 'sin sin 'sin sin 'sin sin ;'''30.42γβαγβαγβαγβαγβααγγββαγβαγβα=∴=⇒⎪⎭⎪⎬⎫====∠=∠=∠=∠=∠=∠︒∠∠∠∆PA PC PC PB PB PA PCB PBA PAC PCA PBC PAB PCA PBC PAB ABC P 依正弦定理有：、、，且、、证：设；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒<︒≥︒≤∴≤∴≤∴30150,3021sin ,)21(sin sin sin 3γγβαααγβαγβα中必有一个满足、时，否则中必有一个角满足、、在补充练习：;)1()1()1)(1(1),1(.122111n n n ni i i nn x x x x x x x n i R x +≥+++=≤≤∈∑=+，求证：若 ;2:1,0,0.23322xy y x y x y x ≥+=+>>，求证已知 ;23cos cos cos .3≤++∆C B A ABC C B A 的三个内角，求证：为、、n n nn n n nn n n n x x x n x x x nx x x )1()11()11()11()1()11()11)(11(1)]11()11)(11[(2121121+≥+++++++≥+++∴+≥+++∴ 666)21()6'''(sin )6'sin 'sin 'sin sin sin sin (=+++++≤+++++≤γβαγβαγβαγβα。

琴生不等式

琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+x n)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+x n)/n]>= [f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n (上凸),称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(上凸),其中a i>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+a n=1.凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。

同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数琴生不等式说，对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n>=f((x1+x2+...+x n)/n) 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n<=f((x1+x2+...+x n)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=x n才成立。

高中竞赛常用的不等式

高中竞赛常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。

附：给出大家可能没见过的证明:对于一元二次方程0)()(2)(2n 2221n 221122n 2221=+++++++-+++b b b x b a b a b a x a a a n 等价于0)()()(2222211=-++-+-n n b x a b x a b x a ，该方程最多只有一个解，判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ，得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。

2．四个平均的关系：平方平均na a a Q n 2n 2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均n n n a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。

满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。

调和平均不常用。

3．排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和）（乱序和）（逆序和）。

其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。

4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ 21212211。

《琴生不等式的应用综述》

琴生不等式的应用综述1 三角应用【例12】在∆ABC 中，求证：8cosA +cosB +cosC≤9+cos (A −B )+cos (B −C )+cos⁡(C −A) ≤csc 212A +csc 212B +csc 212C[14]证：令f(x)=cscx ,则f(x)是（0，π）内的一个凸函数，于是有3（csc 212A +csc 212B +csc 212C ）=（12+12+12）（csc 212A +csc 212B +csc 212C ）2csc csc csc 222A B C ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭2(3csc )6π= 36=从上式，有csc 212A +csc 212B +csc 212C ≥12≥9+cos (A −B )+cos (B −C )+cos⁡(C −A)⁡(14)（利用余弦函数的绝对值小于1）下面证明前一个不等式cos (A −B )+cos (B −C )+cos (C −A )=2cos 12(A −C )cos 12(A +C −2B )+2cos 212(A −C )−1=2cos 12(A −C )[cos 12(A +C −2B )+cos 12(A −C)]−1 =4cos 12(A −C )cos 12(A −B)cos 12(C −B)−1利用上式，有9+cos (A −B )+cos (B −C )+cos (C −A ) =8+cos (A −B )+cos (B −C )+cos⁡(C −A)利用不等式(14),有8(cosA +cosB +cosC )=8+32sin A2sin B2sin C2要证明前一个不等式成立，只需证明8sin A 2sin B 2sin C 2≤cos 12(A −C )cos 12(A −B)cos 12(C −B)不等式两端同时乘以正实数cos cos cos 222A B C,即等价证明sinAsinBsinC ≤[cos 12(A −B )cos 12C]×[cos 12(B −C )cos 12A]×[cos 12(C −A )cos 12B]而cos 12(A −B )cos 12C =12[cos 12(A +B −C )+cos 12(A −B −C)] =12[cos 12(π−2B )+cos 12(A −(π−A ))] =12(sinA +sinB )≥√sinAsinB 完全类似的，有cos 12(A −B )cos 12A ≥√sinBsinCcos 12(C −A )cos 12B ≥√sinCsinA将上述三个不等式相乘，可得sinAsinBsinC ≤[cos 12(A −B )cos 12C]×[cos 12(B −C )cos 12A]×[cos 12(C −A )cos 12B]所以，原不等式成立。

竞赛专题--凸函数和琴生不等式

凸函数和琴生不等式的最大值为中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++∆=πA21 B23 C223 D23分析：时，取等号当且仅当上是凸函数在分析：最小值的，试求：为定值是一组实数，且若n n nn n n n a a a nk a a a n k na a a a a a nx x f a a a k k a a a a a a ===≥+++∴=+++≥+++∴+∞-∞=+++=+++ 2122222122221222212222212121)()(1),()()(,,.2时，取等号；时，即当且仅当上是凹函数，则：在3sin sin sin 233sin sin sin 2360sin )3sin()sin sin (sin 31),0(sin ππ=====≤++=︒=++≤++=C B A C B A C B A CB AC B A x y )11()11)(11(21nx x x +++= nnx x x x x x x x x x x x x x x nn n nnn n n n111)1(1)]11()11)(11[(212121121121=+++≤+=+≥+++∴ 又n nnn n n n n n nn nn n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )11()11()11(])11()11()11[(1)1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++=+++≥=> 证：求证：，，已知);)(1)]1()1)(1[((1221112211n nn n nn a b a b a b a b a b a b+≥+++利用结论：'sin 'sin 'sin sin sin sin )sin sin (sin 'sin 'sin 'sin sin sin sin 'sin sin 'sin sin 'sin sin ;'''30.42γβαγβαγβαγβαγβααγγββαγβαγβα=∴=⇒⎪⎭⎪⎬⎫====∠=∠=∠=∠=∠=∠︒∠∠∠∆PA PC PC PB PB PA PCB PBA PAC PCA PBC PAB PCA PBC PAB ABC P 依正弦定理有：、、，且、、证：设；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒<︒≥︒≤∴≤∴≤∴30150,3021sin ,)21(sin sin sin 3γγβαααγβαγβα中必有一个满足、时，否则中必有一个角满足、、在补充练习：;)1()1()1)(1(1),1(.122111n n n ni i i nn x x x x x x x n i R x +≥+++=≤≤∈∑=+，求证：若 ;2:1,0,0.23322xy y x y x y x ≥+=+>>，求证已知;23cos cos cos .3≤++∆C B A ABC C B A 的三个内角，求证：为、、nn nn n nnnn n n x x x n x x x nx x x )1()11()11()11()1()11()11)(11(1)]11()11)(11[(2121121+≥+++++++≥+++∴+≥+++∴ 666)21()6'''(sin )6'sin 'sin 'sin sin sin sin (=+++++≤+++++≤γβαγβαγβαγβα。

20第二十讲函数的凸性,詹森不等式

由引理的(4)式得到
f ( x0 + h1 ) − f ( x0 ) ≤ f ( x0 + h2 ) − f ( x0 ) .
h1
h2
令F (h)=
f ( x0 + h) − h
f ( x0 ) ,
则F (h)在(0,b − x0 )
上递增.
取x′ ∈ (a,b), x′ < x0 , 由引理又得
数学分析第六章微分中值定理及其应用
•
因为 f (x)为 I 上的凸函数，所以
f ( x=2 ) f (λ x1 + (1 − λ )x3 )
• •
≤ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x3 ) O x1
=
x3 − x2 x3 − x1
f ( x1 ) +
x2 − x1 x3 − x1
f ( x3 ).
从而有
x2 x3 x
数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
( x3 − x1 ) f ( x2 ) ≤ ( x3 − x2 ) f ( x1 ) + ( x2 − x1 ) f ( x3 ), 即 ( x3 − x2 ) f ( x2 ) + ( x2 − x1 ) f ( x2 )
B A
O
x
=y x= 2( y x )上任取两点 A, B, 弦 AB 恒在曲线
段 »AB 的上方(下方) .
数学分析第六章微分中值定理及其应用
高等教育出版社
后退前进目录退出
§5 函数的凸性与拐点
定义1
设 f 为区间 I上的函数. 若对于 I 上的任意两点

凸函数与琴生不等式

凸函数与琴生（JENSEN ）不等式（讲稿）凸函数的定义1、设f(x)是定义在区间D 上的函数，若对于任何x 1、x 2 ∈D 和实数λ∈（0，1），有f[λx 1+（1-λ）x 2]≥λf(x 1)+（1-λ）f(x 2)，则称f(x)是D 上的凸函数（又称D 上的“上凸函数”）。

2、若-f(x)是区间D 上的凸函数，则称f(x)是D 上的凹函数（又称D 上的“下凸函数”）。

凸函数的一个判别法则：如果函数)(x f 是二次可微分的，则：)(x f 是上凸函数)(x f 的充分必要条件是0)(≤''x f ． )(x f 是下凸函数的充分必要条件是0)(≥''x f ；凸函数的性质琴生（Jensen ）不等式：()[][]2)()()2(,,212121x f x f x x f b a x x b a x f +≥+∈∀⇔都有，上上凸在（均值的函数值不小于函数值的均值）一般的[]nx f x f x f nx x x f x n b a n n i )()()(,2121+⋯++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++有个点内的对，当且仅当x 1 = x 2 = …… = x n 时，等号成立。

()[][]2)()()2(,,212121x f x f x x f b a x x b a x f +≤+∈∀⇔都有，上下凸在（均值的函数值不大于函数值的均值）一般的[]nx f x f x f nx x x f x n b a n n i )()()(,2121+⋯++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++有个点内的对，当且仅当x 1 = x 2 = …… = x n 时，等号成立。

例1.判断x y sin =是否是),0(π上的上凸函数？方法1：0sin )'(cos ''cos )'(sin '≤-====x x y x x y ，方法2：()()()⎪⎭⎫⎝⎛+=+≤-+=+=+∈∀22sin 2cos 2sin sin sin 212),0(,21212121212121x x f x x x x x x x x x f x f x x ，π方法3：由x y sin =在),0(π上的图像可知。

竞赛专题凸函数和琴生不等式

20第二十讲 函数的凸性,詹森不等式

琴生不等式

琴生不等式【学生版】

琴生不等式

凸函数与琴生不等式拉格朗日中值定理

20第二十讲 函数的凸性,詹森不等式

全国高中数学联赛-不等式专题排序不等式与琴生不等式.pdf

上凸下凸的极致——琴生不等式

_琴生不等式、幂平均不等式

凸函数和琴生不等式

琴生不等式

高中竞赛常用的不等式

《琴生不等式的应用综述》

竞赛专题--凸函数和琴生不等式

20第二十讲 函数的凸性,詹森不等式

凸函数与琴生不等式

20第二十讲函数的凸性,詹森不等式

20第二十讲函数的凸性,詹森不等式

20第二十讲函数的凸性,詹森不等式