《管理统计学》第五章

大致判断出总体分布的类型后，用样本参数 推断总体分布的相应参数。 均值 方差
1.点估计
不同样本算得的 的估计值不同，因此 还 希望根据所给的样本确定一个随机区间, 使其 包含参数真值的概率达到指定的要求。 重复抽样 2.区间估计 不重复抽样
区间估计的种类
均值 一个总体
方差已知 重复抽样 方差未知 方差已知 不重复抽样 方差未知
2 1 2 2 2
2
假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从 正态分布, 其均值分别为 1与 2 , 则
2 2 求均值差 (1) 若它们的方差相同, 12 2 ，
1 2 的臵信度为0.95 的臵信区间;
(2) 求方差比的0.95的臵信区间。
SPSS在参数估计中的应用
身 高（ 厘 米） Valid N (listwise)
Descriptive Statistics N 身 高（ 厘 米） Valid N (listwise) 32 32 Mean 173.4063 Std. Deviation 7.83647 Variance 61.410
区间估计 Analyze Descriptive Statistics
某工业企业有职工10000人，其中工人8000人， 干部2000人，为了了解职工家庭生活状况，在工 人和干部两个组均以5%的比例抽选职工进行调查， 结果如下表：
按家庭 人均月收入（元） 200以下 200——300 300——400 400——500 500以上
合 计
职工人数（人） 工人 干部
20 60 200 80 40
的臵信区间为： 因此, 方差比 2 S2 1 S1 1 1 2 , 2 F ( n 1 , m 1 ) F a (n 1, m 1) S S a 2 2 1 2 2
12 2 2
几点说明
臵信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
Spread vs.Level with Levene Test：输出散布——层 次图，包括回归直线斜率及方差齐次性的Levene 检验。若无分组变量，此选项无效。
None：不生成散布——层次图； Power estimation：转换幂值估计，表示对每一 组数据产生一个中位数范围的自然对数与四分位 数范围的自然对数的散点图； Transformed：对原始数据进行转换，有：三次 方(Cube)、平方(Square)、平方根(1/Square root) 取对数(Logarithm)。
方差和标准差
样本方差 s 2 的计算公式如下：
n n 1 1 2 2 2 2 s ( x x ) f ① s ( xi x) ② i f 1 i 1 n 1 i 1
样本标准差(Standard Deviation)s的定义是：
① s
n 1 n 1 2 2 s ( x x ) f ( xi x) ② i f 1 i 1 n 1 i 1
400
5 15 60 15 5
100
一个总体方差未知时均值的臵信区间 需要的定理 若随机变量 X ～ N (, 2 ) 则有如下定理成立：
T X S n
～ t (n 1)
P（ P（
X S n
X S n
2
2
﹥ta(n-1)）﹦a ﹥ta/2(n-1)）﹦a
S S , X t a (n 1) X t a (n 1) 2 2 n n
a 反映了估计的可靠度, a 越小, 越可靠. a 越小, 1- a 越大, 估计的可靠度越高,但
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
a 确定后, 臵信区间 的选取方法不唯一,
常选最小的一个.
选取臵信区间时，为何要取 za / 2 ?
当臵信区间为 ( X za , X za ) n n 2 2
m
2
n2
1 2 x1 - x2 za
12
n1

2 2
n2
2 ★未知总体方差,但 12 = 2 ，均值差推断 需要的定理 2 ) 则： 若随机变量 X ～ N (1, 12 ) Y ～ N (2 , 2
t
( X Y ) (1 2 ) (n 1) S (m 1)S nm2
Explore
Explore：Statistics的界面解释
Descriptives：输出均值的95%臵信区间、中位数、 众数、均值标准差、方差、标准差、Min、Max、 R、四分位距、峰度系数和斜度系数。 M-estimators：做中心趋势的粗略最大似然确定， 输出4个不同权重的最大似然确定数。当数据分布 均匀且两尾巴较长或数据中存在极端值时，可以 提供比较合理的估计。 Outliers：输出5个最大值和最小值。 Percentiles：输出第5%、10%、25%、50%、 75%、90%和95%百分位数。
2 N (1, 1 ) 2 ) 则： Y ～ N ( 2 , 2
Z
( X1 Y1 ) ( 1 2 )
2 S1
n

2 S2
~ N (0,1)
m
2 s1
x1 - x2 za 2
2 s1
n1

2 s2
n2
1 2 x1 - x2 za 2
n1
均值的标准误差(抽样平均误差)
X
S 即任何一个分布函数的标准差, n
是原来分布函数标准差的
n 分之一,或者说 X
分布的方差,就是 X 分布方差的
n 分之一。
均值的标准误差又称为抽样平均误差或均值 标准误、标准误。
练习 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机 抽取 6 件, 测得直径为： 15.1，14.8，15.2，14.9，14.6，15.1
点估计 ①Analyze Descriptive Statistics Frequencies, 进入频次分析模块Frequencies
选中Display Frequency Tables项：
Statistics 身 高（ 厘 米） N Valid Missing Mean Std. Deviation Variance
3 3
3.97
1
-1
3
z 2a2
3
例2 某厂利用两条自动化流水线罐装番茄
酱。现分别从两条流水线上抽取了容量分 别为13与17的两个相互独立的样本：
X1，X 2， ，X13与 Y1，Y2， ，Y17
已知： x 10.6 g， y 9.5 g，
s 2.4 g ， s 4.7 g
Descriptives 身 高（ 厘 米） Mean 95% Confidence Interval for Mean 5% Trimmed Mean Median Variance Std. Deviation Minimum Maximum Range Interquartile Rang e Skewness Kurtosis Statistic 173.4063 170.5809 176.2316 173.4236 174.0000 61.410 7.83647 158.00 190.00 32.00 9.00 -.081 -.201 Std. Error 1.38531
一个总体方差的区间估计 需要的定理
若随机变量 X ～
2 ( n 1 ) S 2 2
N (, 2 ) 则有如下定理成立：
～
2 (n 1)
P（
(n 1)S 2 2 ﹥ (n-1)）﹦a 2
(n 1) S 2 2 , (n 1) a2
(n 1) S 2 2 1a 2 (n 1)
思考1 自一大批产品中抽取100个样品， 其中有60个一级品, 求这批产品的一级品 率 p 的臵信度为0.95的臵信区间。
思考2 假定某地一旅游者的消费额X服从 正态分布N（，2），且标准差=12元， 今要对该地旅游者的平均消费额加以估计， 为了能以95%的臵信度相信这种估计误差小
于2元，问至少要调查多少人？
2 2
区间的长度为
0.4 0.3 0.2 0.1
2 za
2
2
n
—— 达到最短
取 a = 0.05
z a z1a 1.96 ( 1.96)
2 2
1
-2 a -1 1
2
z
z a2
2
3.92
0.4 0.3 0.2 0.1 -2 z 1 a
z 2a z1a 1.84 ( 2.13)

2 s2
n2
12 两个总体方差比 2 的臵信区间 ( 1 , 2 未知) 2
需要的定理
若随机变量 X ～
F
2 S1 2 S2 2 / 1 2 / 2
2 N (1, 1 )
2 ) 则： Y ～ N ( 2 , 2
S12
2 S2 2 2
12
~ F (n 1, m 1)
(1) 若 2=0.06, 求 的臵信区间 (2) 若 2未知,求 的臵信区间 (3) 求方差 2的臵信区间。
臵信度 均为0.95

2 0.025
(5) 12.833 ,
2 0975
(5) 0.831
z a z0.025 1.96
2
t0.025 (5) 2.5706

n
均值的标准误差(抽样平均误差)
X

n
即任何一个分布函数的标准差,
是原来分布函数标准差的
n 分之一,或者说 X