2017-2018年江苏省盐城中学高三上学期数学期末试卷与解析

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江苏省南京、盐城2017~2018学年第一学期期末试卷(高三数学)含答案

江苏省南京、盐城2017~2018学年第一学期期末试卷(高三数学)含答案

N
2
16. (本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c (1)若 C=2B,求 CA CB ,求 cos(B
5 b. 2
) 的值. 4
17. (本题满分 14 分) 有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计) ,一边 AB 长为 6 分米,另一边足够长.现从中 截取矩形 ABCD(如图甲所示) ,再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好 能折卷成一个底 .. 面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计) ,其中 OEMF 是以 O 为圆心、 ∠EOF=120°的扇形,且弧 EF , GH 分别与边 BC,AD 相切于点 M,N. (1)当 BE 长为 1 分米时,求折卷成的包装盒的容积; (2)当 BE 的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大? B E O M N F C E M F
第 13 题图
14.若不等式 k sin 2 B sin Asin C 19sin Bsin C 对任意△ABC 都成立, 则实数 k 的最小值为 . 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域 内作答,解答应写出文字 ....... 说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 如图所示,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, CA CB ,点 M,N 分别是 AB,A1B1 的中 点. (1)求证:BN∥平面 A1MC; (2)若 A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C. A1 C1 B1 A M B C
2
x2 y2 1 的右焦点重合, 则实数 p 的值为 4 5
1

7.设函数 y e x
1 a 的值域为 A ,若 A [0 , ) ,则实数 a 的取值范围是 ex

江苏省盐城市2018届高三第三次模拟考试数学试题

江苏省盐城市2018届高三第三次模拟考试数学试题

江苏省盐城市2017-2018学年高三第三次模拟考试数学试题一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1. 已知全集,集合,则___________.【答案】【解析】因为,所以2. 设复数满足(为虚数单位),则___________.【答案】2【解析】3. 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600人、700人、700人,为了解不同年级学生的眼睛近视情况,现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本,则高三年级应抽取的学生人数为___________.【答案】35【解析】由题意结合抽样比可得,高三年级应抽取的学生人数为. 点睛:进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:(1)=;(2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.4. 若命题“,”是假命题,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】为真命题,所以5. 甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测试中的成绩分别为:甲组:88、89、90;乙组:87、88、92,如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是___________.【答案】【解析】只有当选取的成绩为88,92时不满足题意,由对立事件概率公式可知:这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是.6. 执行如图所示的伪代码,输出的值为___________.【答案】77. 设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则___________.【答案】【解析】由题意可知:抛物线的焦点坐标为,在双曲线中:.8. 设满足,则的最大值为___________.【答案】1【解析】绘制不等式组所表示的可行域如图所示,由目标函数的几何意义可得,目标函数在线段AB上取得最大值,考查点B的坐标可得目标函数的最大值为.点睛:求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.9. 将函数的图象向左平移个单位后,恰好得到函数的的图象,则的最小值为___________.【答案】【解析】由题意可得:,由诱导公式的结论可知:,取可得:.点睛:由y=sin x的图象,利用图象变换作函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿x轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是个单位.10. 已知直三棱柱的所有棱长都为2,点分别为棱的中点,则四面体的体积为___________.【答案】【解析】解:,当作为三棱锥的底面时,三棱锥的高是边长为2的等边三角形的边上的高,四面体的体积为.11. 设数列的首项,且满足,与,则___________.【答案】2056【解析】由递推关系可知该数列的奇数项构成一个首项为1,公比为2的等比数列,偶数项由其前项加1而得,前20项和中:.点睛:数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.12. 若均为非负实数,且,则的最小值为___________.【答案】3...【解析】由题意可知:,故:当且仅当时等号成立.13. 已知四点共面,,,,则的最大值为__________.【答案】10【解析】解:设,由题意可得:,则:,ABC构成三角形,则:,解得:,由余弦定理:,当时,取得最大值为10.点睛:在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.14. 若实数满足,则__________.【答案】二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15. 如图,在四棱柱中,平面底面,且.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析:(1)利用题意由可得平面.(2)由面面平行的判断定理,平面,则平面.试题解析:证明:(1)在四棱柱中,有.又平面,平面,所以平面. ... (2)因为平面底面ABCD,交线为,底面ABCD,且,所以平面.又平面,所以平面平面.16. 设面积的大小为,且.(1)求的值;(2)若,,求.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)利用题意结合数量积的定义可得;(2) 利用(1)的结论有:,结合题意和正弦定理可得:.试题解析:解:(1)设的三边长分别为,由,得,得. 即,所以. 又,所以,故.(2)由和,得,又,所以,得①. 又,所以.在△中,由正弦定理,得,即,得②. 联立①②,解得,即.17. 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施,其轴截面如图中实践所示,是等腰梯形,米,(在的延长线上,为锐角),圆与都相切,且其半径长为100-80米,是垂直于的一个立柱,则当的值设计为多少时,立柱最矮?【答案】当时,立柱最矮.【解析】试题分析:利用题意建立直角坐标系,得到关于的函数:,求导之后讨论函数的单调性可知时取得最值.试题解析:解:方法一:如图所示,以所在直线为轴,以线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系.因为,,所以直线的方程为,即.设圆心,由圆与直线相切,得,...所以.令,,则,设,. 列表如下:所以当,即时,取最小值. 答:当时,立柱最矮.方法二:如图所示,延长交于点,过点作于,则,.在中,. 在中,.所以.(以下同方法一)点睛:解函数应用题的一般程序:第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;第三步:求模——求解数学模型,得到数学结论;第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义;第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.18. 已知分别是椭圆的左顶点、右焦点,点为椭圆上一动点,当轴时,.(1)求椭圆的离心率;...(2)若椭圆存在点,使得四边形是平行四边形(点在第一象限),求直线与的斜率之积;(3)记圆为椭圆的“关联圆”. 若,过点作椭圆的“关联圆”的两条切线,切点为,直线的横、纵截距分别为,求证:为定值. 【答案】(1)(2)(3)49【解析】试题分析:(1)利用题意得到关于的齐次方程,求解方程组可得椭圆的离心率;(2) 由题意,,,则,结合(1)的结论可得.(3) 由(1)知椭圆方程为,圆的方程为.四边形的外接圆方程为,所以,因为点在椭圆上,则.试题解析:解:(1)由轴,知,代入椭圆的方程,得,解得.又,所以,解得. (2)因为四边形是平行四边形,所以且轴,所以,代入椭圆的方程,解得,因为点在第一象限,所以,同理可得,,所以,由(1)知,得,所以.(3)由(1)知,又,解得,所以椭圆方程为,圆的方程为①. 连接,由题意可知,,,所以四边形的外接圆是以为直径的圆,设,则四边形的外接圆方程为,即②.①-②,得直线的方程为,令,则;令,则. 所以,因为点在椭圆上,所以,所以.19. 设函数.(1)若函数是奇函数,求实数的值;(2)若对任意的实数,函数(为实常数)的图象与函数的图象总相切于一个定点.①求与的值;②对上的任意实数,都有,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)① .②【解析】试题分析:...(1)由奇函数的定义得到关于实数a的方程,解方程可得a=0;(2)由导函数研究函数的切线可得切点为,切线的方程为,则.(3)由题意分类讨论和两种情况可得实数的取值范围是.试题解析:解:(1)因为函数是奇函数,所以恒成立,即,得恒成立,. (2)① ,设切点为,则切线的斜率为,据题意是与无关的常数,故,切点为,由点斜式得切线的方程为,即,故.② 当时,对任意的,都有;当时,对任意的,都有;故对恒成立,或对恒成立.而,设函数.则对恒成立,或对恒成立,,当时,,,恒成立,所以在上递增,,故在上恒成立,符合题意.当时,令,得,令,得,故在上递减,所以,而设函数,则,恒成立,在上递增,恒成立,在上递增,恒成立,即,而,不合题意.综上,知实数的取值范围.20. 已知数列都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列.(1)设数列分别为等差、等比数列,若,,,求;(2)设的首项为1,各项为正整数,,若数列是等差数列,求数列的前项和;(3)设(是不小于2的正整数),,是否存在等差数列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是?若存在,请给出一个满足题意的等差数列;若不存在,请说明理由.【答案】(1).(2)或. (3)首项,公差的等差数列符合题意.【解析】试题分析:...(1)由题意可得;(2)由题意可得等比数列的项都是等差数列中的项,所以. 数列的前项和或.(3) 存在等差数列,只需首项,公差.利用题中的结论可证得此命题成立.试题解析:解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由题意得,,解得或,因数列单调递增,所以,所以,,所以,. 因为,,,,所以. (2)设等差数列的公差为,又,且,所以,所以. 因为是中的项,所以设,即.当时,解得,不满足各项为正整数;当时,,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列中的项,所以;当时,,此时,只需取,由,得,是奇数,是正偶数,有正整数解,所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以. 综上所述,数列的前项和或.(3)存在等差数列,只需首项,公差.下证与之间数列的项数为. 即证对任意正整数,都有,即成立.由,.所以首项,公差的等差数列符合题意.点睛:学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点,它题目新颖,考察全面,摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识.而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等,是考察学生素质能力的典型题目,应引起广大师生的关注,学习有两个过程:一个是“从薄到厚”,一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程,是“量”的积累;“从厚到薄”则是质的飞跃.在这里正是应用到了“从厚到薄”.而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强,能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力,需要平时结合所学的知识多联想和多类比,注意知识的活学活用,才能够处理好这类问题. (在四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分,请把答案写在答题纸的指定区域内)21. A.(选修4-1:几何证明选讲)已知是圆两条相互垂直的直径,弦交的延长线于点,若,,求的长.【答案】【解析】试题分析:利用题意由割线定理和勾股定理列方程可求得.试题解析:...解:设半径为r,由切割线定理,得即,在三角形DOF中,由勾股定理,得,即.由上两式解得.22. B.(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵所对应的变换把曲线变成曲线:,求曲线的方程. 【答案】【解析】试题分析:利用变换矩阵求得变换为,据此可得的方程为.试题解析:设曲线C上任一点为(x,y),经过变换T变成,则,即 .又,得 .23. C.(选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,圆的参数方程为(为参数),若直线与圆相切,求的值. 【答案】1【解析】试题分析:化简为直角坐标方程,利用圆心到直线的距离等于半径列方程求得半径.试题解析:解:由题意得,直线的直角坐标方程为,圆的直角坐标方程为.则直线和曲线相切,得.24. D.(选修4-5:不等式选讲)已知为正实数,且,证明:.【答案】见解析【解析】试题分析:利用题中不等式的特点写出三个不等式,将不等式相加即可得到结论. 试题解析:证:因为,所以由基本不等式,得. 三式相加,得.又,所以. (第22、23题,每小题10分,计20分,请把答案写在答题纸的指定区域内)25. 如图,在四棱锥中,底面是矩形,面底面,且是边长为2的等边三角形,,在上,且平面....(1)求直线与平面所成角的正弦值;(2)求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】(1)直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 .(2)平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.【解析】试题分析:利用题意建立空间直角坐标系,据此可得:(1) 直线PC与平面BDM所成角的正弦值为(2) 平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.试题解析:解:因为,作AD边上的高PO,则由,由面面垂直的性质定理,得,又是矩形,同理,知,,故.以AD中点O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,AD的垂直平分线y轴,建立如图所示的坐标系,则,连结AC交BD于点N,由,所以,又N是AC的中点,所以M是PC的中点,则,设面BDM的法向量为,,,得,令,解得,所以取.(1)设PC与面BDM所成的角为,则,所以直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 .(2)面PAD的法向量为向量,设面BDM与面PAD所成的锐二面角为,则,故平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.26. 一只带中装有编号为1,2,3,…,的个小球,,这些小球除编号以外无任何区别,现从袋中不重复地随机取出4个小球,记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为,如,或4,或4或5,记的数学期望为.(1)求;(2)求.【答案】(1),(2)【解析】试题分析:(1)利用题意求得,(2)利用题意归纳推理并进行证明可得...试题解析:解:(1)的概率分布为:则.的概率分布如下:则.(2) 方法一:,………………6分方法二:得猜想. 下面用数学归纳法证明.证明:①时猜想显然成立;...②假设时猜想成立,即,则,当时即时命题也成立.综上①②,对一切猜想都成立.。

2018年江苏省盐城市东台农场中学高三数学文上学期期末试题含解析

2018年江苏省盐城市东台农场中学高三数学文上学期期末试题含解析

2018年江苏省盐城市东台农场中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是()A. O是△AEF的垂心B. O是△AEF的内心C. O是△AEF的外心D. O是△AEF的重心参考答案:A易知、、两两垂直,平面,从而,而平面,则,所以平面,所以,同理可知,所以为的垂心,故应选.2. 已知点在圆上,则函数的最小正周期和最小值分别为()A.B.C.D.参考答案:B3. 直线平行的一个充分条件是A.都平行于同一个平面B.与同一个平面所成的角相等C.所在的平面D.都垂直于同一个平面参考答案:D略4. 已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为 ( )A.5 B.4 C.2D.1参考答案:C略5. 若,则下列不等式成立的是()A. B. C.D.参考答案:B略6. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是()A. B.C. D.参考答案:C7. 是虚数单位,A.B.C.D.参考答案:C略8. 世界华商大会的某分会场有A,B,C三个展台,将甲,乙,丙,丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台,每个展台至少1人,其中甲,乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有(A)12种 (B)10种 (C)8种 (D)6种参考答案:D9. 设直线y=t与曲线C:y=x(x﹣3)2的三个交点分别为A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a<b<c.现给出如下结论:①abc的取值范围是(0,4);②a2+b2+c2为定值;③c﹣a有最小值无最大值.其中正确结论的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3参考答案:C【考点】函数的图象.【专题】函数思想;数形结合法;函数的性质及应用.【分析】作出f(x)=x(x﹣3)2的函数图象,判断t的范围,根据f(x)的变化率判断c﹣a的变化情况,构造函数g(x)=x(x﹣3)2﹣t,根据根与系数的关系得出abc,a2+b2+c2,c﹣a的值进行判断.【解答】解:令f(x)=x(x﹣3)2=x3﹣6x2+9x,f′(x)=3x2﹣12x+9,令f′(x)=0得x=1或x=3.当x<1或x>3时,f′(x)>0,当1<x<3时,f′(x)<0.∴f(x)在(﹣∞,1)上是增函数,在(1,3)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=4,当x=3时,f(x)取得极小值f(3)=0.作出函数f(x)的图象如图所示:∵直线y=t与曲线C:y=x(x﹣3)2有三个交点,∴0<t<4.令g(x)=x(x﹣3)2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t,则a,b,c是g(x)的三个实根.∴abc=t,a+b+c=6,ab+bc+ac=9,∴a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ac)=18.由函数图象可知f(x)在(0,1)上的变化率逐渐减小,在(3,4)上的变化率逐渐增大,∴c﹣a的值先增大后减小,故c﹣a存在最大值,不存在最小值.故①,②正确,故选:C.【点评】本题考查了导数与函数的单调性,函数的图象,三次方程根与系数的关系,属于中档题.10. 已知,,若,则的值不可能是… ………()(A). (B). (C). (D).参考答案:D若,则,若,则,因为,所以,所以的值不可能是10,选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为.参考答案:3612. 点P在椭圆C1:上,C1的右焦点为F,点Q在圆C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,则|PQ|-|PF|的最小值为▲.参考答案:13.已知的最大值为。

江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试数学试题Word版含解析

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高三数学期末试卷、填空题1.已知集合A= 匚2』貝}, B = k|—2乞并乞3 }则A MB =__________________ .【答案】:【解析】因为;十1V】,、,所以—仁一:—•「“,故填-.点睛:集合是高考中必考的知识点,一般考查集合的表示、集合的运算比较多•对于集合的表示,特别是描述法的理解,一定要注意集合中元素是什么,然后看清其满足的性质,将其化简;考查集合的运算,多考查交并补运算,注意利用数轴来运算,要特别注意端点的取值是否在集合中,避免出错.2.复数2 = (1十,其中1为虚数单位,则Z的虚部为_________________________ .【答案】5【解析】因为工一「一「'川:门一:- Z「,所以的虚部为5.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算•要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数,共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化,转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.2 23.在平面直角坐标系xOy中,双曲线二1= 1的焦距为16 9【答案】102 2【解析】由双曲线方程知/ = = ■.,所以-=I:,::■■■■ = ■■::,即焦距为10.16 94.某校对全校1200名男女学生进行健康调查,采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本,已知女生抽了95人,则该校的男生数是 ____________________ •【答案】630200 1【解析】每层的抽样比为,女生抽了95人,所以男生抽取105人,因此共有男生V二-二记人,故填630.5.运行如图所示的伪代码,则输出的结果社为 _____________________ •While /<5S4-S + 2End WhilePrml S【答案】9【解析】运行程序一次,:•:I ■■■ 一,第二次运行后--1+■:' < ;■..-■:,第三次运行后.<■ I - ' - ''.I •,第四次运行后二二-二. ',不满足条件I :•,跳出循环,输出:.-:,故填9.点睛:处理此类问题时,一般模拟程序的运行,经过几次运算即可跳出循环结束程序,注意每次循环后变量的变化情况,寻找规律即可顺利解决,对于运行次数比较多的循环结构,一般能够找到周期或规律,利用规律或周期确定和时跳出循环结构,得到问题的结果6.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有,,,•,,个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和不小于10的概率为 ______________ .【解析】先后抛掷一颗骰子,共得到基本事件个,其中向上点数之和不小于10的基6 1 1本事件有:.兀m2「,共6个,所以其发生的概率为一-,故填.36 667.在等差数列{砒中,若,屯+舸+幻=9则其前9项和■的值为 ____________________________ .【答案】279(a1+■ aj【解析】根据等差数列的性质知,二沖:「所以■,又,故填27.8.若logqfa十4b)= 1啤討心,規十b的最小值是________________ .【答案】9【解析】因为1-¥厂叫所以•"让一2,化简得所以b a1 4 a 4bH ■ ':,: ;:■■ - 'i - ■,4 ",当且仅当-:'.一:时等号成立,故填9.b a b a点睛:解决此类问题,重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式,很多情况下,1 4要根据一正、二定、三取等的思路去思考,本题根据条件:;•■■,构造研究的式子b n乘以1后变形,即可形成所需条件,应用均值不等式9.已知椭圆与圆》.才.-广=-,若椭圆 上存在点F ,由点P 向圆 所作的两条切线 , 且三,.:"「,则椭圆 的离心率的取值范围是【解析】因为 m-•片,所以 FE -厅,在R m 中,由1、得;:.-1:,由点 在椭圆 斤 5上知,〔•.;"• ."I"- ;L ,所以心 J 、..,解得 ■,又知 ..I ,故填 | . . | . 10.设器:•是两条不同的直线,“订.;:是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的①若::〕丄 I :■贝V :” _ ::②若:.•「::::丄,,则:n 丄 ③若;一’丄二 则 I’ ;;④若 J ■■- iii.|: ■■- /..in II ,贝V y.「•【答案】①②【解析】对于①,::〕丄「:,则'r '-:'正确;②若' ■■■:■'■丄“•,则丄:正确;③若 I 帚一 可能| ■ II ,■,故错误;④若■- ■-r ,则卜;也可相交,故错误,综上填①②.【答案】-2,所以,由sin (a + 卩)=cosa = cos (a + p )cosp 斗 sin (a 卜 P )sinp = os (a 斗卩)+ -sin (a + 卩)得: 二工扛丨勺:二以」■;■,所以ur..:/ ■ J - 二故填 .2 in12.已知函数i! <: X > \ ■■■: I ,其中 为自然对数的底数,若函数匚」与的图像恰有一个e x 公共点,则实数的取值范围是 ______________. 【答案】或 ----------【解析】因为 ,所以函数在0 +上为增函数且ii :■ :;,所以当 时,mi2与?:.-= 有一个公共点,当. 时, 令i!<::|T ;: ' ■<'<…有一解即可,设 x eJ b 311.已知- ill = ,且:.,:I id ,贝y ■, i.n ,—!:::围是 ________ 【答案】-L -'7 3【解析】由 i.*. >:::•:>: :■. ;.■<■"、 1 ::;,当;•- I 时,i!.v : :F \ :;无解,适合题意; 当〉I 时,「|一 啲解为】:' :-,此时Lii 、-:.;;只需「:." 4恒成立,即.| . ■. .■: |恒 成立,所以只需二::; 解得 • 3;当…I 时,ii.「 「的解为 -■■- -1此时ii ;、:: |;只需沁; 恒成立,即:1恒成立,所以只需 二一; 解得' :i 丨,综上知 「 ― :一 .■,故填•.:••:―:一 -.14.已知的周长为6,且 三成等比数列,则忙• 丁的取值范围是【解析】因为成等比数列,所以’.,从而 ,所以- ,又2 23i■,■. ■:、.…i :: I r :'■:■. ;' ■-■::.: ■,即&工:;,解得■,故二、解答题15.如图,在四棱锥 厂 ⑴:丨】中, 底面上m , QL 仁亡乎Q-:•三二-::,么m 是以.为斜 边的等腰直角三角形, 是上的点求证:(1)匸二丁平面三::(2)平面卜:.:I 平面DAa c (5-b【答案】【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析:(1)由AD/./BC 可得线面平行;(2)要证面面垂直,找线面垂直, AC 可证与PC CD 垂直,其中利用勾股定理逆定理可证得 AG I CD..........................试题解析:(1) : ⑴ 沖「,上:厂 平面 K \ J :■':■-平面;, •••占二讥平面三二:. (2)V 底面占三二二,.:底面芒E ;T? :二:I 竺:由题意可知,口匚:且.厂 _「 - ..J ,是等腰直角三角形■ .- r .;川「二 -:.i / ■ .即 丨又 汽、、.、\ \ : < ■/' i 平面丸【"AC 匸平面EAC •・•平面EAC 丄 平面PCD16. 如图,在 「:':点 在边.上小.「丨,为垂足.(1) 若滋•二的面积为 (2) 若 :,求角n2J7【答案】⑴3 ] 2【解析】(1)由题意,根据三角形的面积公式P.D ^H -.K ,求出再根据余弦定理得: ' .,?■ ■- 1<1 UI ■' ?■亠」」,求出 的值,由tu t ;|-•,求得.的EDED值;(2)由题意,根据角的正弦值,得,由题意AD sinABCCD BCCD厶■ 1亠-又根据正弦定理,即,从而可求得角sin/LBDC sinBsin2A sinB的值•[,求的长的大小(2)试题解析:,八 she 、r X''? JT 17E V32⑴'的面积为、'、,:•:,「:.在乙玉〕D 中,由余弦定理可得由题意可得 CD =晶己十 BD 2- 2BC - BD■ cossB =7T4点睛:此题主要考查了正弦定理、余弦定理、以及三角恒等变换中倍角公式在解三角形中的 应用,属于中档题型,也是常考考点•在解决此类问题过程中,常将所求角、边与已知的角、边转化集中到同一个三角形,再运用三角公式进行恒等变形及运算,以已知角为线索,寻找 合适的正弦定理、余弦定理,从而解决问题 17. 我校为丰富师生课余活动, 计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为(平方米)的矩形健身场地,如图,点在.上,点 在 上,且P 点在斜边 上,已知37k-貯,:米,庄*-.:米,乜丨.设矩形.簸圧r 健身场地每平方米的造价为]2k元,再把矩形以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为元(•为正常数)(1) 试用表示,并求的取值范围; (2)求总造价关于面积的函数• •;(3) 如何选取卜口,使总造价 最低(不要求求出最低造价)(2)v',..:...-— 2 :' J suiA SsuiA在中,由正弦定理可得BC _ CDsinZ-BDC sinBsin2A 2s inAs inSO 02A /7 2 2^7+2333【答案】⑴":::■•「S二);(2)选取I.二jM的长为12米或18米时总造价最低【解析】试题分析:(1)在中,显然m -肚■ ■ ■ i.i ■- \i , ■■ ■'-,根据面积公式写出矩形面积;(2)矩形健身场地造价12kr d壬又—二的面积为.u,即草坪造价:.、,写出总造价即可;(3)根据均值不等式. •一即可求出造价的最小值.vS试题解析:(1)在:a J :-1 ■中,显然|阳二| —.近..「匸口2 —心■■- i.i■- \1 .「、■■ v,矩形'、m的面积.=『、、in m:-、j:.::|于是s -y为所求(2)矩形r八健身场地造价• V厉又—二.的面积为••,即草坪造价由总造价:「十一-.1 =<8 <225^/3⑶■- F学「打当且仅当「一T—即.:£.>7时等号成立,此时,解得•或 ' 答:选取卜i i的长为12米或18米时总造价最低.18.给定椭圆,称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点a b_■' 是椭圆:“上的点(1)若过点 .的直线与椭圆有且只有一个公共点,求被椭圆的伴随圆所截得的弦长:(2)是椭圆上的两点,设是直线• •的斜率,且满足* ,试问:直线是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过定点,试说明理由。

数学-江苏省盐城中学2018届高三模拟考试试题(四)

数学-江苏省盐城中学2018届高三模拟考试试题(四)

江苏省盐城中学2018届高三模拟考试数学试题(四)参考公式:1. 柱体的体积公式:V =Sh ,其中S 是柱体的底面面积,h 是高.2. 圆锥的侧面积公式:S =12cl ,其中c 是圆锥底面的周长,l 是母线长.一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1. 已知集合A ={ |x x 2-x =0},B ={-1,0},则A ∪B =________.2. 已知复数z =2+i2-i (i 为虚数单位),则z 的模为________.3. 函数y =log 12x 的定义域为________. 4. 如图是一个算法的伪代码,运行后输出b 的值为________. a ←0 b ←1 I ←2 While I ≤6 a ←a +b b ←a +b I ←I +2 End While Print b5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩,并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250,400)内的学生共有________人.6. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为x -2y=0,则该双曲线的离心率为________.7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为________.8. 已知正四棱柱的底面边长为3 cm ,侧面的对角线长是3 5 cm ,则这个正四棱柱的体积是________cm 3.9. 若函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象与直线y =m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6,π3,2π3,则实数ω的值为________. 10. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C :xy =3上任意一点P 到直线l :x +3y =0的距离的最小值为________.11. 已知等差数列{}a n 满足a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10,a 28-a 22=36,则a 11的值为________.12. 在平面直角坐标系xOy 中,若圆C 1:x 2+(y -1)2=r 2(r >0)上存在点P ,且点P 关于直线x -y =0的对称点Q 在圆C 2:(x -2)2+(y -1)2=1上,则r 的取值范围是________.13. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-|x +1|,x ≤1,(x -1)2,x >1,函数g (x )=f (x )+f (-x ),则不等式g (x )≤2的解集为________.14. 如图,在△ABC 中,已知AB =3 , AC =2 , ∠BAC =120°,D 为边BC 的中点.若CE ⊥AD ,垂足为E ,则EB →·EC →的值为________.二、 解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且cos A =35,tan(B -A )=13.(1) 求tan B 的值;(2)若c =13,求△ABC 的面积.16. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,∠ABC =90°,AB =AA 1,M ,N 分别是AC ,B 1C 1 的中点.求证:(1) MN ∥平面ABB 1A 1;(2) AN ⊥A 1B .17. (本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成,如图2.已知圆O 的半径为10 cm ,设∠BAO =θ,0<θ<π2,圆锥的侧面积为S cm 2.(1) 求S 关于θ的函数关系式;(2) 为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S 最大.求S 取得最大值时腰AB 的长度.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,且过点(1,32),F 为椭圆的右焦点,A ,B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结AF ,BF 分别交椭圆于C ,D 两点.(1) 求椭圆的标准方程; (2) 若AF =FC ,求BFFD的值;(3) 设直线AB ,CD 的斜率分别为k 1,k 2,是否存在实数m ,使得k 2=mk 1?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.19. (本小题满分16分)已知函数f (x )=x 2+ax +1,g (x )=ln x -a (a ∈R ). (1) 当a =1时,求函数h (x )=f (x )-g (x )的极值;(2) 若存在与函数f (x ),g (x )的图象都相切的直线,求实数a 的取值范围.已知数列{}a n ,其前n 项和为S n ,满足a 1=2,S n =λna n +μa n -1,其中n ≥2,n ∈N *,λ,μ∈R .(1) 若λ=0,μ=4,b n =a n +1-2a n (n ∈N *),求证:数列{}b n 是等比数列; (2) 若数列{}a n 是等比数列,求λ,μ的值;(3) 若a 2=3,且λ+μ=32,求证:数列{}a n 是等差数列.附加题21. 【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,AB 是圆O 的直径,弦BD ,CA 的延长线相交于点E ,EF 垂直BA 的延长线于点F .求证:AB 2=BE ·BD -AE ·AC .B. (选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00-1,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤4123,若矩阵M =BA ,求矩阵M 的逆矩阵M -1.C. (选修4-4:坐标系与参数方程)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =1+2t ,y =1-2t(t 为参数)与圆C :ρ2+2ρcos θ-2ρsin θ=0的位置关系.D. (选修4-5:不等式选讲)已知a ,b ,c ,d 都是正实数,且a +b +c +d =1,求证: a 21+a +b 21+b +c 21+c +d 21+d ≥15.【必做题】 第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分10分)在正三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,已知AB =1,AA 1=2,E ,F ,G 分别是AA 1,AC 和A 1C 1的中点.以{F A →,FB →,FG →}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F - xyz . (1) 求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值; (2) 求二面角F - BC 1 ­ C 的余弦值.23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C :y 2=4x 于点P ,点F 为C 的焦点.圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ,PF ,x 轴都相切,设M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若直线l 1与曲线E 相切于点Q (s ,t ),过Q 且垂直于l 1的直线为l 2,直线l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B . 当线段AB 的长度最小时,求s 的值.【参考答案】一、填空题1. {-1,0,1}2. 13. (0,1]4. 135. 7506. 527. 598. 54 9. 4 10. 3 11. 11 12. [2-1,2+1] 13. [-2,2] 14. -277二、解答题15. 解:(1) 在△ABC 中,由cos A =35,得A 为锐角,所以sin A =1-cos 2A =45,所以tan A =sin A cos A =43,所以tan B =tan[(B -A )+A ]=tan (B -A )+tan A1-tan (B -A )·tan A=13+431-13×43=3.(2) 在△ABC 中,由tan B =3,所以sin B =31010,cos B =1010,sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =131050,由正弦定理b sin B =c sin C ,得b =c sin Bsin C =13×31010131050=15,所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×15×13×45=78.16. 证明:(1) 取AB 的中点P ,连结PM ,PB 1.因为M ,P 分别是AB ,AC 的中点,所以PM ∥BC ,且PM =12BC .在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,BC ∥B 1C 1,BC =B 1C 1, 因为N 是B 1C 1 的中点,所以PM ∥B 1N ,且PM =B 1N . 所以四边形PMNB 1是平行四边形,所以MN ∥PB 1,而MN ⊄平面ABB 1A 1,PB 1⊂平面ABB 1A 1,所以MN ∥平面ABB 1A 1. (2) 因为三棱柱ABC - A 1B 1C 1为直三棱柱,所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为BB 1⊂平面ABB 1A 1,所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为∠ABC =90°,所以B 1C 1⊥B 1A 1.因为平面ABB 1A 1∩平面A 1B 1C 1=B 1A 1,B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1, 所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.因为A 1B ⊂平面ABB 1A 1,所以B 1C 1⊥A 1B ,即NB 1⊥A 1B .连结AB 1,因为在平行四边形ABB 1A 1中,AB =AA 1,所以AB 1⊥A 1B . 又NB 1∩AB 1=B 1,且AB 1,NB 1⊂平面AB 1N ,所以A 1B ⊥平面AB 1N . 而AN ⊂平面AB 1N ,所以A 1B ⊥AN .17. 解:(1) 设AO 交BC 于点D ,过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ,在△AOE 中,AE =10cos θ,AB =2AE =20cos θ, 在△ABD 中,BD =AB ·sin θ=20cos θ·sin θ,所以S =12·2π·20sin θcos θ·20cos θ=400πsin θcos 2θ(0<θ<π2).(2) 要使侧面积最大,由(1)得 S =400πsin θcos 2θ=400π(sin θ-sin 3θ). 设f (x )=x -x 3(0<x <1),则f ′(x )=1-3x 2. 由f ′(x )=1-3x 2=0,得x =33. 当x ∈(0,33)时,f ′(x )>0,当x ∈(33,1)时,f ′(x )<0, 所以f (x )在区间(0,33)上单调递增,在区间(33,1)上单调递减, 所以f (x )在x =33时取得极大值,也是最大值; 所以当sin θ=33时,侧面积S 取得最大值, 此时等腰三角形的腰长AB =20cos θ=201-sin 2θ=201-(33)2=2063. 答:侧面积S 取得最大值时,等腰三角形的腰AB 的长度为2063cm.18. 解:(1) 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由题意知⎩⎨⎧c a =12,1a 2+94b 2=1,解得⎩⎨⎧a =2,b =3,所以椭圆的方程为x 24+y 23=1.(2) 若AF =FC ,由椭圆对称性知A (1, 32),所以B (-1, -32),此时直线BF 的方程为3x -4y -3=0,由⎩⎪⎨⎪⎧3x -4y -3=0,x 24+y 23=1,得7x 2-6x -13=0,解得x =137(x =-1舍去),故BF FD =1-(-1)137-1=73. (3) 设A (x 0,y 0),则B (-x 0,-y 0),直线AF 的方程为y =y 0x 0-1(x -1),代入椭圆方程x 24+y 23=1,得(15-6x 0)x 2-8y 20-15x 20+24x 0=0.因为x =x 0是该方程的一个解,所以C 点的横坐标x C =8-5x 05-2x 0. 又C (x C ,y C )在直线y =y 0x 0-1(x -1)上,所以y C =y 0x 0-1(x C -1)=-3y 05-2x 0,同理,D 点坐标为(8+5x 05+2x 0,3y 05+2x 0),所以k 2=3y 05+2x 0--3y 05-2x 08+5x 05+2x 0-8-5x 05-2x 0=5y 03x 0=53k 1,即存在m =53,使得k 2=53k 1.19. 解:(1) 函数h (x )的定义域为(0,+∞). 当a =1时,h (x )=f (x )-g (x )=x 2+x -ln x +2, 所以h ′(x )=2x +1-1x =(2x -1)(x +1)x ,所以当0<x <12时,h ′(x )<0,当x >12时,h ′(x )>0,所以函数h (x )在区间(0,12)上单调递减,在区间(12,+∞)上单调递增,所以当x =12时,函数h (x )取得极小值为114+ln 2,无极大值.(2) 设函数f (x )上点(x 1,f (x 1))与函数g (x )上点(x 2,g (x 2))处切线相同,则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f (x 1)-g (x 2)x 1-x 2,所以2x 1+a =1x 2=x 21+ax 1+1-(ln x 2-a )x 1-x 2,所以x 1=12x 2-a2,代入x 1-x 2x 2=x 21+ax 1+1-(ln x 2-a ),得14x 22-a 2x 2+ln x 2+a 24-a -2=0 (*). 设F (x )=14x 2-a 2x +ln x +a 24-a -2,则F ′(x )=-12x 3+a 2x 2+1x =2x 2+ax -12x 3.不妨设2x 20+ax 0-1=0(x 0>0),则当0<x <x 0时,F ′(x )<0,当x >x 0时,F ′(x )>0, 所以F (x )在区间(0,x 0)上单调递减,在区间(x 0,+∞)上单调递增, 代入a =1-2x 20x 0=1x 0-2x 0可得F min (x )=F (x 0)=x 20+2x 0-1x 0+ln x 0-2. 设G (x )=x 2+2x -1x +ln x -2,则G ′(x )=2x +2+1x 2+1x >0对x >0恒成立,所以G (x )在区间(0,+∞)上单调递增.又G (1)=0,所以当0<x ≤1时G (x )≤0,即当0<x 0≤1时F (x 0)≤0. 又当x =ea +2时F (x )=14e 2a +4-a 2ea +2+ln e a +2+a 24-a -2=14(1e a +2-a )2≥0,因此当0<x 0≤1时,函数F (x )必有零点;即当0<x 0≤1时,必存在x 2使得(*)成立; 即存在x 1,x 2使得函数f (x )上点(x 1,f (x 1))与函数g (x )上点(x 2,g (x 2))处切线相同. 又由y =1x -2x ,得y ′=-1x2-2<0,所以y =1x -2x 在(0,1)上单调递减,因此a =1-2x 20x 0=1x 0-2x 0∈[-1,+∞),所以实数a 的取值范围是[-1,+∞).20. (1) 证明:若λ=0, μ=4,则当S n =4a n -1(n ≥2),所以a n +1=S n +1-S n =4(a n -a n -1),即a n +1-2a n =2(a n -2a n -1),所以b n =2b n -1. 又由a 1=2,a 1+a 2=4a 1,得a 2=3a 1=6,a 2-2a 1=2≠0,即b n ≠0,所以b nb n -1=2,故数列{}b n 是等比数列.(2) 解:若{}a n 是等比数列,设其公比为q (q ≠0),当n =2时,S 2=2λa 2+μa 1,即a 1+a 2=2λa 2+μa 1,得1+q =2λq +μ ①,当n =3时,S 3=3λa 3+μa 2,即a 1+a 2+a 3=3λa 3+μa 2,得1+q +q 2=3λq 2+μq ②, 当n =4时,S 4=4λa 4+μa 3,即a 1+a 2+a 3+a 4=4λa 4+μa 3,得1+q +q 2+q 3=4λq 3+μq 2 ③, ②-①×q ,得1=λq 2 ,③-②×q ,得1=λq 3 , 解得q =1, λ=1. 代入①式,得μ=0.此时S n =na n (n ≥2),所以a n =a 1=2,{}a n 是公比为1的等比数列, 故λ=1,μ=0.(3) 证明:若a 2=3,由a 1+a 2=2λa 2+μa 1,得5=6λ+2μ, 又λ+μ=32,解得λ=12,μ=1.由a 1=2,a 2=3, λ=12 ,μ=1,代入S n =λna n +μa n -1得a 3=4,所以a 1,a 2,a 3成等差数列,由S n =n2a n +a n -1,得S n +1=n +12a n +1+a n ,两式相减得a n +1=n +12a n +1-n2a n +a n -a n -1,即(n -1)a n +1-(n -2)a n -2a n -1=0, 所以na n +2-(n -1)a n +1-2a n =0,相减得na n +2-2(n -1)a n +1+(n -2)a n -2a n +2a n -1=0, 所以n (a n +2-2a n +1+a n )+2(a n +1-2a n +a n -1)=0,所以(a n +2-2a n +1+a n )=-2n (a n +1-2a n +a n -1)=22n (n -1)(a n -2a n -1+a n -2)=…=(-2)n -1n (n -1)·…·2(a 3-2a 2+a 1).因为a 1-2a 2+a 3=0,所以a n +2-2a n +1+a n =0,即数列{}a n 是等差数列.附加题21. A. 证明:连结AD ,因为AB 为圆的直径,所以AD ⊥BD . 又EF ⊥AB ,则A ,D ,E ,F 四点共圆,所以BD ·BE =BA ·BF . 又△ABC ∽△AEF ,所以AB AE =ACAF ,即AB ·AF =AE ·AC ,所以BE ·BD -AE ·AC =BA ·BF -AB ·AF =AB ·(BF -AF )=AB 2. B. 解:因为M =BA =⎣⎢⎡⎦⎥⎤4123⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤4-12-3,所以M-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-310110-1525. C. 解:把直线方程l :⎩⎪⎨⎪⎧x =1+2t ,y =1-2t (t 为参数)化为普通方程为x +y =2.将圆C :ρ2+2ρcos θ-2ρsin θ=0化为普通方程为x 2+2x +y 2-2y =0, 即(x +1)2+(y -1)2=2. 圆心C 到直线l 的距离d =22=2,所以直线l 与圆C 相切. D. 证明:因为[(1+a )+(1+b )+(1+c )+(1+d )](a 21+a +b 21+b +c 21+c +d 21+d )≥(1+a ·a1+a+1+b ·b 1+b +1+c ·c 1+c +1+d ·d 1+d )2=(a +b +c +d )2=1,又(1+a )+(1+b )+(1+c )+(1+d )=5, 所以a 21+a +b 21+b +c 21+c +d 21+d ≥15.22. 解:(1) 因为AB =1,AA 1=2,则F (0,0,0),A (12,0,0),C (-12,0,0),B (0,32,0),E (12,0,1),所以AC →=(-1,0,0),BE →=(12,-32,1),记直线AC 和BE 所成角为α,则cos α=|cos 〈AC →,BE →〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪(-1)×12(12)2+(-32)2+1=24, 所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为24. (2) 设平面BFC 1的法向量为m =(x 1,y 1,z 1) , 因为FB →=(0,32,0),FC 1→=(-12,0,2),则⎩⎨⎧m ·FB →=32y 1=0,m ·FC 1→=-12x 1+2z 1=0,取x 1=4得m =(4,0,1).设平面BCC 1的法向量为n =(x 2,y 2,z 2), 因为CB →=(12,32,0),CC 1→=(0,0,2),则⎩⎨⎧n ·CB →=12x 2+32y 2=0,n ·CC 1→=2z 2=0,取x 2=3得n =(3,-1,0).所以cos 〈m ,n 〉=4×3+(-1)×0+1×0(3)2+(-1)2+02×42+02+12=25117.根据图形可知二面角F -BC 1-C 为锐二面角, 所以二面角F -BC 1-C 的余弦值为25117.23. 解:(1) 因为抛物线C 的方程为y 2=4x ,所以F 的坐标为(1,0). 设M (m ,n ),因为圆M 与x 轴、直线l 都相切,l 平行于x 轴, 所以圆M 的半径为|n |,点P (n 2,2n ),则直线PF 的方程为y 2n =x -1n 2-1,即2n (x -1)-y (n 2-1)=0,所以|2n (m -1)-n (n 2-1)|(2n )2+(n 2-1)2=|n |.又m ,n ≠0,所以|2m -n 2-1|=n 2+1,即n 2-m +1=0, 所以E 的方程为y 2=x -1(y ≠0). (2) 设Q (t 2+1,t ), A (0,y 1),B (0,y 2),由(1)知,点Q 处的切线l 1的斜率存在,由对称性不妨设t >0,由y ′=12x -1,所以k AQ =t -y 1t 2+1=12t 2+1-1,k BQ =t -y 2t 2+1=-2t 2+1-1, 所以y 1=t 2-12t,y 2=2t 3+3t ,所以AB =⎪⎪⎪⎪2t 3+3t -t 2+12t =2t 3+52t +12t(t >0). 令f (t )=2t 3+52t +12t ,t >0,则f ′(t )=6t 2+52-12t 2=12t 4+5t 2-12t 2.由f ′(t )>0得t >-5+7324,由f ′(t )<0得0<t <-5+7324, 所以f (t )在区间(0,-5+7324)上单调递减,在(-5+7324,+∞)上单调递增, 所以当t =-5+7324时,f (t )取得极小值也是最小值,即AB 取得最小值. 此时s =t 2+1=19+7324.。

江苏省盐城市亭湖高中2017-2018学年高三上学期段考数学试卷(理科) Word版含解析

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2017-2018学年江苏省盐城市亭湖高中高三(上))段考数学试卷(理科)一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合A=(1,3),B={1,2},则A∪B=.2.cos600°的值为.3.要得到函数y=sin(2x+)的图象,只要将函数y=sin2x的图象向左平移个单位.4.若函数f(x)=x3+3x﹣1在区间[n,n+1)(n∈Z)上有零点,则n=.5.函数y=lnx﹣x的单调增区间为.6.(log ab a)2+(log ab b)•(log ab(a2b))=.7.若命题“∃x∈R,使得ax2+ax+1≤0”为假命题,则实数a的取值范围为.8.若a+a﹣1=3,则的值为.9.定义在[2﹣c2,c]上的奇函数f(x)=a﹣的值域是.10.若tan(α+β)tanα=﹣5,则2cos(2α+β)+3cosβ=.11.已知tanα=,cosβ=,且α,β都是锐角,则α+2β=.12.△ABC中,D为BC边的中点,tan∠BAD•tan∠C=1,则△ABC是三角形.13.∀x∈(0,+∞),不等式a x>log a x(a>0,a≠1)恒成立,则a的取值范围是.14.设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则实数a的取值范围是.二、解答题(共6小题,满分90分)15.已知tan(α+)=﹣3.(1)求tan(α﹣π)的值;(2)求sinαcosα的值.16.已知命题p:函数y=mx2﹣6x+2有零点;命题q:函数f(x)=x2+2mx+1在[﹣2,5]上是单调函数;若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数m的取值范围.17.已知斜三角形ABC(1)求证:tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC;(2)又若tanA+tanB+tanC>0,设f(x)=,记m=(sinA)cosB﹣(cosB)sinA,n=sin(A+B)﹣sinA﹣sinB,求2f(m)+f(n)的值.18.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.(1)该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值;(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,α﹣β最大?19.已知函数,且f(1)=1,f(﹣2)=4.(1)求a、b的值;(2)已知定点A(1,0),设点P(x,y)是函数y=f(x)(x<﹣1)图象上的任意一点,求|AP|的最小值,并求此时点P的坐标;(3)当x∈[1,2]时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.20.已知函数f(x)=e x﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.2016-2017学年江苏省盐城市亭湖高中高三(上))段考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合A=(1,3),B={1,2},则A∪B=[1,3).【考点】并集及其运算.【分析】根据并集的定义可知,A与B的并集为属于A或属于B的所有元素组成的集合,求出两集合的并集即可.【解答】解:集合A=(1,3),B={1,2},则A∪B=[1,3),故答案为:[1,3)2.cos600°的值为﹣.【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】利用余弦函数的诱导公式cos(k•360°﹣α)=cosα即可求得cos600°的值.【解答】解:cos600°=cos=cos(2×360°﹣120°)=cos(﹣120°)=cos120°=﹣,故答案为:﹣.3.要得到函数y=sin(2x+)的图象,只要将函数y=sin2x的图象向左平移个单位.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.【解答】解:y=sin(2x+)=sin[2(x+)],故只要将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,故答案为:.4.若函数f(x)=x3+3x﹣1在区间[n,n+1)(n∈Z)上有零点,则n=0.【考点】二分法求方程的近似解.【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反,根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点.【解答】解:由f(0)=0+0﹣1=﹣1<0,f(1)=1+3﹣1=3>0及零点定理知,f(x)的零点在区间(0,1)上,两端点为连续整数∴零点所在的一个区间[n,n+1)(k∈Z)是(0,1)∴n=0,5.函数y=lnx﹣x的单调增区间为(0,1] .【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可.【解答】解:函数的定义域为(0,+∞)y′=﹣1=,由≥0得0<x≤1,故函数的单调递增区间是(0,1].6.(log ab a)2+(log ab b)•(log ab(a2b))=1.【考点】对数的运算性质.【分析】直接利用利用对数运算法则化简求解即可.【解答】解:(log ab a)2+(log ab b)•(log ab(a2b))=(log ab a)2+2(log ab b)•(log ab a)+(log ab b)2=(log ab a+log ab b)2=(log ab ab)2=1.故答案为:1.7.若命题“∃x∈R,使得ax2+ax+1≤0”为假命题,则实数a的取值范围为[0,4).【考点】特称命题.【分析】命题“∃x∈R,使得ax2+ax+1≤0”为假命题,即ax2+ax+1>0恒成立,分当a=0时和当a≠0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值,最后综合讨论结果,可得答案.【解答】解:∵命题“∃x∈R,使得ax2+ax+1≤0”为假命题,∴ax2+ax+1>0恒成立,当a=0时,1>0恒成立,满足条件,当a≠0时,若ax2+ax+1>0恒成立,则,解得:a∈(0,4),综上所述:a∈[0,4),故答案为:[0,4)8.若a+a﹣1=3,则的值为.【考点】有理数指数幂的化简求值.【分析】根据有理数幂的运算法则计算即可.【解答】解:()2===5,故原式=,9.定义在[2﹣c2,c]上的奇函数f(x)=a﹣的值域是.【考点】函数与方程的综合运用;函数的值域.【分析】利用奇函数的定义取得c,a,然后求解函数的值域.【解答】解:定义在[2﹣c2,c]上的奇函数f(x)=a﹣,可得:2﹣c2=﹣c,解得c=2,f(0)=0,可得a﹣=0,解得a=.x∈[﹣2,2],4x+1∈[,17].﹣∈.故答案为:.10.若tan(α+β)tanα=﹣5,则2cos(2α+β)+3cosβ=0.【考点】三角函数的化简求值.【分析】由tan(α+β)tanα=﹣5,可得sin(α+β)sinα=﹣5cos(α+β)cosα,可得2cos(2α+β)+3cosβ=2cos[(α+β)+α]+3cos[(α+β)﹣α]=5cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα.【解答】解:∵tan(α+β)tanα=﹣5,∴sin(α+β)sinα=﹣5cos(α+β)cosα,∴2cos(2α+β)+3cosβ=2cos[(α+β)+α]+3cos[(α+β)﹣α]=5cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=0,故答案为:0.11.已知tanα=,cosβ=,且α,β都是锐角,则α+2β=arctan.【考点】两角和与差的余弦函数.【分析】依题意,可求得tan2β=,0<2α<;利用两角和的正切与正切函数的单调性即可求得2α+β的值.【解答】解:∵cosβ=,可得:tanβ==,∴tan2β==<1=tan,又β是锐角,y=tanx在(0,)上单调递增,∴0<2β<;又∵tanα=,α∈(0,),∴tan(α+2β)===.∴α+2β∈(0,),∴2α+β=arctan.故答案为:arctan.12.△ABC中,D为BC边的中点,tan∠BAD•tan∠C=1,则△ABC是等腰或直角三角形.【考点】三角形的形状判断.【分析】由tan∠BAD•tan∠C=1,可得∠DAC+∠ABD=.在△ADC中,=,在△ABD中,=,可得sin2C=sin2∠ABD,∠C=∠ABD,或∠C+∠ABD=,即可得解.【解答】解:由tan∠BAD•tan∠C=1,∴∠BAD+∠C=,∴∠DAC+∠ABD=.在△ADC中,=,在△ABD中,=,可得sin2C=sin2∠ABD,∴∠C=∠ABD,或∠C+∠ABD=,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故答案为:等腰或直角.13.∀x∈(0,+∞),不等式a x>log a x(a>0,a≠1)恒成立,则a的取值范围是.【考点】函数恒成立问题.【分析】依题意,当a>1时,问题等价于a x≥x在区间(0,+∞)上恒成立,构造函数f(x)=a x﹣x,则f′(x)=a x lna﹣1,可求得x=时函数f(x)取到最小值,从而可得a的取值范围;再分析0<a<1时的情形,即可得答案.【解答】解:当a>1,由题意可得y=a x与y=log a x互为反函数,故问题等价于a x≥x(a>0,a≠1)在区间(0,+∞)上恒成立.构造函数f(x)=a x﹣x,则f′(x)=a x lna﹣1,令f′(x)=0,得x=,且此时函数f(x)取到最小值,故有>≥0,解得a≥;当0<a<1时,不符合条件,舍去,故a的取值范围是:a≥;故答案为:.14.设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则实数a的取值范围是[1,e] .【考点】正弦函数的图象.【分析】由题意可得存在y0∈[0,1],使f(y0)=y0成立,即f(x)=x在[0,1]上有解,即e x+x﹣x2=a,x∈[0,1].利用导数可得函数的单调性,根据单调性求函数的值域,可得a的范围.【解答】解:由题意可得y0=sinx0∈[﹣1,1],f(y0)=,∵曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,∴存在y0∈[0,1],使f(y0)=y0成立,即f(x)=x在[0,1]上有解,即e x+x﹣x2=a 在[0,1]上有解.令g(x)=e x+x﹣x2,则a为g(x)在[0,1]上的值域.∵当x∈[0,1]时,g′(x)=e x+1﹣2x>0,故函数g(x)在[0,1]上是增函数,故g(0)≤g(x)≤g(1),即1≤a≤e,故答案为:[1,e].二、解答题(共6小题,满分90分)15.已知tan(α+)=﹣3.(1)求tan(α﹣π)的值;(2)求sinαcosα的值.【考点】三角函数的化简求值.【分析】(1)利用两角和与差的正切函数公式求得tanα的值,然后利用诱导公式得到tan(α﹣π)=tanα.(2)将所求关系式转化为,再将tanα=2代入计算即可.【解答】解:(1)由,得:,解得tanα=2,所以tan(α﹣π)=tanα=2;(2).16.已知命题p:函数y=mx2﹣6x+2有零点;命题q:函数f(x)=x2+2mx+1在[﹣2,5]上是单调函数;若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数m的取值范围.【考点】命题的真假判断与应用.【分析】由题意知p,q一真一假,根据二次函数的性质求出命题p、命题q为真时的m的范围即可;【解答】解:若函数y=mx2﹣6x+2有零点,当m=0时,显然有零点;当m≠0时,△=36=8m≥0⇒m≤,综上∴p真,p假;q真⇔﹣m≤﹣2或﹣m≥5即m≤﹣5或m≥2,∴q假⇔﹣5<m<2由题意知p,q一真一假∴所以m的范围是17.已知斜三角形ABC(1)求证:tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC;(2)又若tanA+tanB+tanC>0,设f(x)=,记m=(sinA)cosB﹣(cosB)sinA,n=sin(A+B)﹣sinA﹣sinB,求2f(m)+f(n)的值.【考点】两角和与差的正切函数.【分析】(1)由tanC=﹣tan(A+B),展开两角和的正切化简得答案;(2)由tanA+tanB+tanC>0结合(1)可知△ABC为锐角三角形,得到,进一步得,可得,分析得到m,n的符号,结合已知分段函数求得2f(m)+f(n)的值.【解答】(1)证明:由,得:tanC﹣tanAtanBtanC=﹣tanA﹣tanB,即:tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC;(2)解:由tanA+tanB+tanC>0及第一问知△ABC为锐角三角形,∴,则,∴,∴m=(sinA)cosB﹣(cosB)sinA>0,又n=sin(A+B)﹣sinA﹣sinB=sinAcosB+cosAsinB﹣sinA﹣sinB<0.∴2f(m)+f(n)=2×1+(﹣1)=1.18.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.(1)该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值;(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,α﹣β最大?【考点】解三角形的实际应用.【分析】(1)在Rt△ABE中可得AD=,在Rt△ADE中可得AB=,BD=,再根据AD﹣AB=DB即可得到H.(2)先用d分别表示出tanα和tanβ,再根据两角和公式,求得tan(α﹣β)=,再根据均值不等式可知当d===55时,tan(α﹣β)有最大值即α﹣β有最大值,得到答案.【解答】解:(1)=tanβ⇒AD=,同理:AB=,BD=.AD﹣AB=DB,故得﹣=,得:H===124.因此,算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d=AB,得tanα=,tanβ===,tan(α﹣β)====d+≥2,(当且仅当d===55时,取等号)故当d=55时,tan(α﹣β)最大.因为0<β<α<,则0<α﹣β<,所以当d=55时,α﹣β最大.故所求的d是55m.19.已知函数,且f(1)=1,f(﹣2)=4.(1)求a、b的值;(2)已知定点A(1,0),设点P(x,y)是函数y=f(x)(x<﹣1)图象上的任意一点,求|AP|的最小值,并求此时点P的坐标;(3)当x∈[1,2]时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.【考点】函数恒成立问题;函数最值的应用.【分析】(1)由f(1)=1,f(﹣2)=4,代入可方程,解方程即可求解a,b得关于a,b 的(2)由(1)可知,利用两点间的距离个公式代入,结合x的范围可求x+1=t<0,然后结合基本不等式式即可求解(3)问题即为对x∈[1,2]恒成立,即对x∈[1,2]恒成立,则0<m<1或m>2.法一:问题化为对x∈[1,2]恒成立,mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1,2]恒成立,从而可转化为求解函数的最值,利用函数的单调性即可求解法二:问题即为对x∈[1,2]恒成立,即对x∈[1,2]恒成立,0<m<1或m>2.问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1,2]恒成立,令g(x)=x|x ﹣m|,结合函数的性质可求【解答】解:(1)由f(1)=1,f(﹣2)=4.得解得:(2)由(1),所以,令x+1=t,t<0,则=因为x<﹣1,所以t<0,所以,当,所以,即AP的最小值是,此时,点P的坐标是.(3)问题即为对x∈[1,2]恒成立,也就是对x∈[1,2]恒成立,要使问题有意义,0<m<1或m>2.法一:在0<m<1或m>2下,问题化为对x∈[1,2]恒成立,即对x∈[1,2]恒成立,mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1,2]恒成立,①当x=1时,或m>2,②当x≠1时,且对x∈(1,2]恒成立,对于对x∈(1,2]恒成立,等价于,令t=x+1,x∈(1,2],则x=t﹣1,t∈(2,3],,t∈(2,3]递增,∴,,结合0<m<1或m>2,∴m>2对于对x∈(1,2]恒成立,等价于令t=x﹣1,x∈(1,2],则x=t+1,t∈(0,1],,t∈(0,1]递减,∴,∴m≤4,∴0<m<1或2<m≤4,综上:2<m≤4法二:问题即为对x∈[1,2]恒成立,也就是对x∈[1,2]恒成立,要使问题有意义,0<m<1或m>2.故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1,2]恒成立,令g(x)=x|x﹣m|①若0<m<1时,由于x∈[1,2],故g(x)=x(x﹣m)=x2﹣mx,g(x)在x∈[1,2]时单调递增,依题意g(2)≤m,,舍去;②若m>2,由于x∈[1,2],故,考虑到,再分两种情形:(ⅰ),即2<m≤4,g(x)的最大值是,依题意,即m≤4,∴2<m≤4;(ⅱ),即m>4,g(x)在x∈[1,2]时单调递增,故g(2)≤m,∴2(m﹣2)≤m,∴m≤4,舍去.综上可得,2<m≤420.已知函数f(x)=e x﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点.【分析】(1)求出f(x)的导数得g(x),再求出g(x)的导数,对它进行讨论,从而判断g(x)的单调性,求出g(x)的最小值;(2)利用等价转换,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,所以g(x)在(0,1)上应有两个不同的零点.【解答】解:∵f(x)=e x﹣ax2﹣bx﹣1,∴g(x)=f′(x)=e x﹣2ax﹣b,又g′(x)=e x﹣2a,x∈[0,1],∴1≤e x≤e,∴①当时,则2a≤1,g′(x)=e x﹣2a≥0,∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1﹣b;②当,则1<2a<e,∴当0<x<ln(2a)时,g′(x)=e x﹣2a<0,当ln(2a)<x<1时,g′(x)=e x﹣2a>0,∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,g(x)min=g[ln(2a)]=2a﹣2aln(2a)﹣b;③当时,则2a≥e,g′(x)=e x﹣2a≤0,∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e﹣2a﹣b,综上:函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为;(2)由f(1)=0,⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1,又f(0)=0,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,由(1)知当a≤或a≥时,函数g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.若,则g min(x)=2a﹣2aln(2a)﹣b=3a﹣2aln(2a)﹣e+1令h(x)=(1<x<e)则=,∴.由>0⇒x<∴h(x)在区间(1,)上单调递增,在区间(,e)上单调递减,==<0,即g min(x)<0 恒成立,∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔⇒,又,所以e﹣2<a<1,综上得:e﹣2<a<1.2016年12月29日。

南京盐城市2018届上学期期末考试高三数学

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10. 设 ������������ 为等差数列 {������������} 的前 ������ 项和,若 {������������} 的前 2017 项中的奇数项和为 2018,则 ������2017 的值为 .
11.
设函数 ������ (������) 是偶函数,当 ������ ⩾
0 时,������ (������) =
+
������2 ������2
=
1(������
>
������
>
0)的下
顶点为 ������,点 ������, ������ 是椭圆上异于点 ������ 的动点,直线 ������������, ������������ 分别与 ������
轴交于点
������ ,
������,且点
������
21.【选做题】在 A, B, C, D 四小题中,只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请. 在. 答. 题. 卡. 指. 定. 区. 域. 内. 作. 答. .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
满足 ���#������»��� = 3���#������»���,则实数 ������ 的最小值为

13. 如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为 1,正六边形的顶点称为“晶格点”.
������
若 ������, ������, ������, ������ 四点均位于图中的“晶格点”处,且 ������, ������ 的位置所图所示,则 ���#������»��� ⋅ ���#������»��� 的
二. 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答. 题. 卡. 指. 定. 区. 域. 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.

2017-2018年江苏省盐城中学高三上学期期末数学试卷和答案

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元 (k 为正常数) .
18.给定椭圆
,称圆
为椭圆 C 的“伴
随圆”.已知点 A(2,1)是椭圆 G:x2+4y2=m 上的点. (1)若过点 的直线 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点,求 l 被椭圆 G
的伴随圆 G1 所截得的弦长: (2)B,C 是椭圆 G 上的两点,设 k1,k2 是直线 AB,AC 的斜率,且满足 4k1•k2= ﹣1,试问:直线 B,C 是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过
,求角 A 的大小.
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17.我校为进行“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修 建一个占地面积为 S(平方米)的矩形 AMPN 健身场地.如图,点 M 在 AC 上, 点 N 在 AB 上, 且 P 点在斜边 BC 上. 已知∠ACB=60°, |AC|=30 米, |AM|=x 米,x∈[10,20].设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为 形 AMPN 以外 (阴影部分) 铺上草坪, 每平方米的造价为 (1)试用 x 表示 S,并求 S 的取值范围; (2)求总造价 T 关于面积 S 的函数 T=f(S) ; (3)如何选取|AM|,使总造价 T 最低(不要求求出最低造价) . 元,再把矩
三、附加题 21.已知矩阵 M= 点 P′(﹣4,0) (1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量. 22.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是 参数方程是 (t 为参数) ,圆 C 的 ,其中 a∈R,若点 P(1,﹣2)在矩阵 M 的变换下得到
(θ 为参数) ,直线 l 与圆交于两个不同的点 A,B,点 P
2017-2018 学年江苏省盐城中学高三(上)期末数学试卷

盐城市2017-2018学年度高三年级摸底考试数学试题 推荐

盐城市2017-2018学年度高三年级摸底考试数学试题 推荐

盐城市2018/2018学年度高三年级摸底考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}{}2,0,2,4,|03P Q x x =-=<<,则P Q = ▲ .2.命题“0sin ,>∈∀x R x ”的否定是 ▲ .3. 已知复数(2)(z i i i =-为虚数单位),则z = ▲ .4. 已知等差数列{}n a 满足3710a a +=,则该数列的前9项和9S = ▲ .5.4张卡片上分别写有数字0,1,2,3,从这4张卡片中一次随机 抽取不同的2张,则取出的卡片上的数之差的绝对值等于2的概 率为 ▲ .6. 某校举行2018年元旦汇演,七位评委为某班的小品打出的分数如 右上茎叶统计图所示,则去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数 据的平均值为 ▲ . 7.执行右图所示的程序框图,则输出的y 的值是 ▲ .8.已知向量1(3,1),(1,)2==-a b ,若向量λ+a b 与向量a 垂直,则实 数λ的值为 ▲ .9. 在平面上,若两个正方形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4; 类似地,在空间,若两个正方体的棱长的比为1:2,则它们的体积比 为 ▲ . 10.若sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为2-,其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π,且图象过点, 则其解析式是 ▲ .11.如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ,左焦点为F ,上顶点为B ,若090BAO BFO ∠+∠=,则椭圆的离心率是 ▲ .12.与直线3x =相切,且与圆22(1)(1)1x y +++=相内切的半径最小的圆的方程7 98 4 4 4 6 7 9 3第6题第7题第11题是 ▲ .13.已知函数2()|6|f x x =-,若0a b <<,且()()f a f b =,则2a b 的最小值是 ▲ . 14.设等差数列{}n a 满足:公差*d N ∈,*n a N ∈,且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若513a =,则d 的所有可能取值之和为 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分14分)如图,正三棱柱111ABC A B C -中,点D 是BC 的中点. (Ⅰ)求证: AD ⊥平面11BCC B ; (Ⅱ)求证:1AC 平面1AB D .16.(本小题满分14分)如图,在ABC ∆中,BC 边上的中线AD 长为3,且cos 8B =,1cos 4ADC ∠=-.(Ⅰ)求sin BAD ∠的值; (Ⅱ)求AC 边的长.17.(本小题满分14分)某市出租汽车的收费标准如下:在3km 以内(含3km )的路程统一按起步价7元收费,超.过.3km 以外的路程按2.4元/km 收费. 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分:一是固定费用约为2.3元;二是燃油费,约为1.6元/km ;三是折旧费,它与路程的第15题ABCDA 1B 1C 1AD BC 第16题平方近似成正比,且当路程为100km 时,折旧费约为0.1元. 现设一次载客的路程为xkm . (Ⅰ)试将出租汽车一次载客的收费F 与成本C 分别表示为x 的函数;(Ⅱ)若一次载客的路程不少于2km ,则当x 取何值时,该市出租汽车一次载客每km 的收益y (F Cy x-=)取得最大值?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知1(4,0)F -,2(4,0)F ,(0,8)A ,直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF分别交于点P 、Q . (Ⅰ)当3t =时,求以12,F F 为焦点,且过PQ 中点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点Q 作直线1QRAF 交12F F 于点R ,记1PRF ∆的外接圆为圆C .① 求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上; ② 圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点?若过,求出该点的坐标;若不过,请说明理由.19.(本小题满分16分)已知()f x 为R 上的偶函数,当0x ≥时,()ln(2)f x x =+. (Ⅰ)当0x <时,求()f x 的解析式;(Ⅱ)当m R ∈时,试比较(1)f m -与(3)f m -的大小;(Ⅲ)求最小的整数(2)m m ≥-,使得存在实数t ,对任意的[,10]x m ∈,都有()2ln |3|f x t x +≤+.第18题20.(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足11[2(1)][2(1)]1(1)3n n n n n a a n +++-++-=+-⋅,*n N ∈,12a =.(Ⅰ)求2a ,3a 的值;(Ⅱ)设2121n n n b a a +-=-,*n N ∈,证明: {}n b 是等差数列;(Ⅲ)设212n n c a n =+,求数列{}n c 的前n 项和n S .盐城市2018/2018学年度高三年级摸底考试数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.(选修4—1:几何证明选讲)如图,圆O 的直径6AB =,C 为圆周上一点,3BC =,过点C 作圆O 的切线l ,过点A 作l 的垂线AD ,D 为垂足,且AD 与 圆O 交于点E ,求DAC ∠的度数与线段AE 的长.B .(选修4—2:矩阵与变换)已知矩阵A =1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,求A 的特征值1λ、2λ及对应的特征向量1α、2α. 第21(A)题A ·OB E l D CC .(选修4—4:坐标系与参数方程)已知直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,曲线C的参数方程为2(x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数),试判断l 与C 的位置关系.D.(选修4—5:不等式选讲)已知,,a b c 为正数,且22214a b c ++=,试求23a b c ++的最大值.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.(本小题满分10分)甲、乙等五名深圳大运会志愿者被随机地分到A B C D ,,,四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率;(Ⅱ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数,求ξ的分布列. 23.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB =90°,∠BAC =30°,1BC =,1AA = M 是棱1CC 的中点.(Ⅰ)求证:1A B ⊥AM ; (Ⅱ)求直线AM 与平面11AA B B 所成角的正弦值.ABMA 1B 1C 1盐城市2018/2018学年度高三年级摸底考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分. 1.{}2 2.,sin 0x R x ∃∈≤3. 4.45 5.136. 85 7.1 8.49.1:810.2sin(2)3y x π=+ 11.12.22125()(1)24x y -++= 13.-1614. 364二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15.(本小题满分14分)证:(Ⅰ)因为ABC ∆是正三角形,而D 是BC 的中点,所以A D B C ⊥……………………………… 3分 又BC 是两个相互垂直的平面ABC 与面11BCC B 的交线,且AD ABC ⊂面, 所以11AD BCC B ⊥面……………………………………………………………………………………7分(Ⅱ)连接1A B ,设11AB A B E =,则E 为1A B 的中点,连接DE ,由D 是BC 的中点,得DEAC ………11分 又1DE AB D ⊂面,且11AC AB D ⊄面,所以1AC 平面1AB D ………14分16.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)因为c o8B =,所以sin 8B =…………………………………………………………2分 又1cos 4ADC ∠=-,所以sin ADC ∠= 4分 所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠166()4=--=………………………………………………………………………7分(Ⅱ)在ABD ∆中,由正弦定理,得sin sin AD BD B BAD =∠,即=,解得2BD =……………10分故2DC =,从而在ADC ∆中,由余弦定理,得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=22132232()164+-⨯⨯⨯-=,所以4AC =………………………………………………………14分17.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)703()7 2.4(3)3x F x x x <≤⎧=⎨+⨯->⎩7032.40.23x x x <≤⎧=⎨->⎩…………………………3分 设折旧费2z kx =,将(100,0.1)代入,得.20.1100k =,解得5110k =……………………………………5分所以251()10C x x x =++…………………………………………………………………………7分 (Ⅱ)因为F C y x-=,所以554.711.623102.510.8()310x x x y x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩……………………………………11分①当3x >时,由基本不等式,得0.80.79y ≤-=(当且仅当500x =时取等号)……………12分 ②当23x ≤≤时,由y在[2,3]上单调递减,得max 554.7221.60.750.7921010y =--=-<…………13分 答: 该市出租汽车一次载客路程为500km 时,每km 的收益y 取得最大值…………………………14分 18.(本小题满分16分)解:(Ⅰ)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,当3t =时,PQ 的中点为(0,3),所以b=3……………3分 而2216a b -=,所以225a =,故椭圆的标准方程为221204x y +=……………………………………5分 (Ⅱ)①解法一:易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t t P t Q t --,再由1Q R AF,得(4,0)R t -………………………………………8分则线段1F R 的中垂线方程为2t x =-, 线段1PF 的中垂线方程为151628t y x -=-+,由1516282t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t --…………………10分经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上…………………………………………………… 11分解法二: 易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --, 再由1QR AF ,得(4,0)R t -……………………………………………………………………8分设1PRF ∆的外接圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则2222(4)(4)0(4)4088()022t t D F y D F t t t D tE F ⎧⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩,解得744416D tE tF t =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩…………………………………10分所以圆心坐标为7(,2)28t t--,经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上…………………11分②由①可得圆C 的方程为227(4)41604x y tx t y t +++-+-=……………………………13分该方程可整理为227(216)(4)04x y y t x y ++-+-+=, 则由2241607404x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或40x y =-⎧⎨=⎩, 所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432(,)1313…………………………………16分19.(本小题满分16分) 解: (Ⅰ)当0x <时,()(f x f x x =-=-+…………………………………………………3分(Ⅱ)当0x ≥时,()ln(2)f x x =+单调递增,而()f x 是偶函数,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减, 所以(f m ->22(3)|1||3|(1)(3)f m m m m m -⇔->-⇔->-2m ⇔>………………6分 所以当2m >时, (1)(3)f m f m ->-;当2m =时, (1)(3)f m f m -=-;当2m <时, (1)(3)f m f m -<-………………………………………………………………8分(Ⅲ)当x R ∈时,()ln(||2)f x x =+,则由()2l n |f x t x +≤+,得2ln(||2)ln(3)x t x ++≤+,即2||2(3)x t x ++≤+对[,10]x m ∈恒成立………………………………………………………12分从而有225777t x x t x x ⎧≤++⎨≥---⎩对[,10]x m ∈恒成立,因为2m ≥-, 所以22min 22max (57)57(77)77t x x m m t x x m m ⎧≤++=++⎨≥---=---⎩………………………………………………………14分 因为存在这样的t,所以227757m m m m ---≤++,即2670m m ++≥…………………… 15分 又2m ≥-,所以适合题意的最小整数1m =-………………………………………………………16分20.(本小题满分16分)解: (Ⅰ)因为11[2(1)][2(1)]1(1)3n n n n n a a n +++-++-=+-⋅ (*),且12a =,所以将1n =代入(*)式,得1232a a +=-,故28a =-……1分 将2n =代入(*)式,得2337a a +=,故35a =…………2分(Ⅱ)在(*)式中,用2n 代换n ,得2122221[2(1)][2(1)]1(1)6n n n n n a a n +++-++-=+-⋅, 即221316n n a a n ++=+ ①, 再在(*)式中,用21n -代换n ,得22121212[2(1)][2(1)]1(1)(63)n n n n n a a n ---+-++-=+-⋅-,即212346n n a a n -+=- ②, ①-②,得21213()123n n a a n +--=-,即41n b n =-…………………6分则由1(4(1)1)(41)4n n b b n n +-=+---=,得{}n b 是等差数列……………………………………… 8分(Ⅲ)因为12a =,由(Ⅱ)知,21131532123()()()k k k a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-2(411)(421)(4(1)1)k =+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯--=(1)(21)2k k --+ ③, 将③代入②,得23(1)(21)646k k k a k --++=-,即22635k a k k =-+-………………………… 10分所以221211(21)2k k c a k --=+-=27452k k -+,2221(2)2k k c a k =+=2435k k -+-,则212322k k c c k -+=--,所以21234212()()()k k k S c c c c c c -=++++⋅⋅⋅++=3[(21)2-⨯+3(22)2+⨯+3(2)]2k +⋅⋅⋅+⨯+23335[(21)(22)(2)]2222k k k-⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+=--……… 13分 所以2222122511()(435)3522k k k S S c k k k k k k -=-=----+-=-+……………………………15分故221135(21)25(2)2n k k n k S k k n k ⎧-+=-⎪⎪=⎨⎪--=⎪⎩223512()45()4n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为数为数奇偶………………………………16分数学附加题部分21.A. 解: 连结OC ,因BC=OB=OC=3,因此060CBO ∠=,由于DCA CBO ∠=∠,所以060DCA ∠=,又AD DC⊥,故030DAC ∠=…………………………………………………………………………5分又因为090ACB ∠=,得030CAB ∠=,那么060EAB ∠=,连接BE,则030ABE ∠=,于是132A E ==……………………………………………………………………………………10分B. 解:设A 的一个特征值为λ,由题意知1214λλ---=0,则(2)(3)0λλ--=,解得12λ=或23λ=………………………………………………………………………………………5分当λ1=2时,由1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,得A 属于特征值2的特征向量α1=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………8分当λ2=3时,由1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,得A 属于特征值3的特征向量α2=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………10分C. 解:直线l 的直角坐标方程为y x =……3分 曲线C 是圆,圆心为(2,0),半径为r =6分因为圆心到直线l 的距离d r ===,所以直线与曲线C 相切……………………………10分D. 解:根据柯西不等式,得22222222(23)()(123)14a b c a b c ++≤++++=………………………8分所以23a b c ++≤,即23a b c ++的最大值为14…………………………………………………10分 22. 解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ,那么3324541()40A A P E C A ==, 即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140………………………………………………………5分 (Ⅱ)随机变量ξ可能取的值为1,2,事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务, 则235334541(2)4C A P C A ξ===,所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==,即ξ的分布列如下表所示…………10分23.解:(Ⅰ)因为1C C ⊥平面ABC ,BC ⊥AC ,所以分别以CA ,CB ,1CC 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B (0,1,0),1A ,A0,0),M ,所以1A B =(1,),AM =(0, 所以1A B ·AM =3+0-3=0,所以1A B ⊥AM ,即1A B ⊥AM ……………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知(0)AB =,1A A =(0,0),设面11AA B B 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0.y ⎧+=⎪=不妨取(1n =,设直线AM 与平面11AA B B 所成角度为θ,则sin |cos ,|||6||||AM n AM n AM n θ⋅=<>==⋅ 所以直线AM 与平面11AA B B所成角的正弦值为6…………………………………………10分 (注:其它建系方法与解法,类似给分)ξ 1 3 P 34 14。

江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试数学试题(PDF版)

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3 ,1 2
10. 设 m, n 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正 确命题的序号是 ▲ .①② ②若 ∥ , ∥ , m ⊥ ,则 m ⊥ ④若 m , n , m ∥ n ,则 ∥ . ①若 m ⊥ , n ∥ ,则 m ⊥ n ③若 , ,则 ;
DE 6 sin A 2 sin A
BC CD ,又∠BDC=2A,得 sin BDC sin B
在 BCD 中
证明:(1)略 (2)∵ PC ⊥底面 ABCD , AC 底面 ABCD ∴ PC ⊥ AC
D
2 CD 3 6 3 2 ,∴ CD ∴ CD 解得 cos A ,所以 A = 4 sin 2 A sin 2 A 2 sin A sin 2 A 2 sin 3 17.我校为丰富师生课余活动,计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积 为 S (平方米)的矩形 AMPN 健身场地.如图,点 M 在 AC 上,点 N 在 AB 上,且 P 点在斜边 BC 上.已知 ACB 60 , | AC | 30 米, AM = x 米, x [10,20 ] .设矩
P 向 圆 C2 所 作 的 两 条 切 线 PA, PB 且 APB 60 , 则 椭 圆 C1 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是
▲ .
a aq aq 2 , 2 2 5 1 5 1 ,又 得 q 2 2 2 2 1 q q aq aq a,
a 2 2a 1 ,解得 3 a 1 . 4
8.若 log 4 (a 4b) log 2 ab ,则 a b 的最小值是
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2017-2018学年江苏省盐城中学高三(上)期末数学试卷一、填空题1.(3分)已知集合A={﹣1,2,3,4},B={x|﹣2≤x≤3}则A∩B=.2.(3分)复数z=(1+2i)(3﹣i),其中i为虚数单位,则z的实部是.3.(3分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线的焦距为.4.(3分)某校对全校1200名男女学生进行健康调查,采用分层抽样法抽取一个容易为200的样本,已知女生抽了95人,则该校的男生数是.5.(3分)运行如图所示的伪代码,则输出的结果S为.6.(3分)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,则两次向上点数之和不小于10的概率为.7.(3分)在等差数列{a n}中,若a3+a5+a7=9,则其前9项和S9的值为.8.(3分)若,则a+b的最小值是.9.(3分)已知椭圆与圆,若椭圆C1上存在点P,由点P向圆C2所作的两条切线PA,PB且∠APB=60°,则椭圆C1的离心率的取值范围是.10.(3分)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是.①若m⊥α,n∥α,则m⊥n②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ③若α⊥β,α⊥γ,则β⊥γ;④若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β11.(3分)已知,且sin(α+β)=cosα,则tan(α+β)=.12.(3分)已知函数f(x)=x+lnx﹣,其中e为自然对数的底数,若函数f(x)与g(x)的图象恰有一个公共点,则实数m的取值范围是.13.(3分)已知函数f(x)=x2+(1﹣a)x﹣a,若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集,则实数a的取值范围是.14.(3分)已知△ABC的周长为6,且BC,CA,AB成等比数列,则的取值范围是.二、解答题15.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,AD∥BC,AD=2BC=2,△ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形,E是PD上的点.求证:(1)AD∥平面PBC;(2)平面EAC⊥平面PCD.16.如图,在,点D在边AB上AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.(1)若△BCD的面积为,求CD的长;(2)若,求角A的大小.17.我校为进行“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC 上,点N在AB上,且P点在斜边BC上.已知∠ACB=60°,|AC|=30米,|AM|=x 米,x∈[10,20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为元(k为正常数).(1)试用x表示S,并求S的取值范围;(2)求总造价T关于面积S的函数T=f(S);(3)如何选取|AM|,使总造价T最低(不要求求出最低造价).18.给定椭圆,称圆为椭圆C的“伴随圆”.已知点A(2,1)是椭圆G:x2+4y2=m上的点.(1)若过点的直线l与椭圆G有且只有一个公共点,求l被椭圆G 的伴随圆G1所截得的弦长:(2)B,C是椭圆G上的两点,设k1,k2是直线AB,AC的斜率,且满足4k1•k2=﹣1,试问:直线B,C是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过定点,试说明理由.19.已经函数f(x)=(x2﹣3x+3)e x的定义域为[﹣2,t],设f(﹣2)=m,f(t)=n.(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[﹣2,t]上为单调函数;(2)求证m<n;(3)若不等式(为k正整数)对任意正实数x恒成立,求k的最大值.(解答过程可参考使用以下数据ln7≈1.95,ln8≈2.08)20.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=,其中n∈N*,λ,μ为非零常数.(1)若λ=3,μ=8,求证:{a n+1}为等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}是公差不等于零的等差数列.①求实数λ,μ的值;②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n},从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列.试问:是否存在首项为S1的四项子数列,使得该子数列中点所有项之和恰好为2017?若存在,求出所有满足条件的四项子数列;若不存在,请说明理由.三、附加题21.已知矩阵M=,其中a∈R,若点P(1,﹣2)在矩阵M的变换下得到点P′(﹣4,0)(1)求实数a的值;(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),圆C的参数方程是(θ为参数),直线l与圆交于两个不同的点A,B,点P 在圆C上运动,求△PAB的面积的最大值.23.某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a,求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.2017-2018学年江苏省盐城中学高三(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1.(3分)已知集合A={﹣1,2,3,4},B={x|﹣2≤x≤3}则A∩B={﹣1,2,3} .【解答】解:∵集合A={﹣1,2,3,4},B={x|﹣2≤x≤3},∴A∩B={﹣1,2,3}.故答案为:{﹣1,2,3}.2.(3分)复数z=(1+2i)(3﹣i),其中i为虚数单位,则z的实部是5.【解答】解:z=(1+2i)(3﹣i)=5+5i,则z的实部是5,故答案为:5.3.(3分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线的焦距为10.【解答】解:双曲线,则a2=16,b2=9,∴c2=a2+b2=16+9=25,∴c=5,∴2c=10,故答案为:104.(3分)某校对全校1200名男女学生进行健康调查,采用分层抽样法抽取一个容易为200的样本,已知女生抽了95人,则该校的男生数是630.【解答】解:某校对全校1200名男女学生进行健康调查,采用分层抽样法抽取一个容易为200的样本,设该校的男生数为x,∵女生抽了95人,∴,解得x=630.∴该校的男生数为630.故答案为:630.5.(3分)运行如图所示的伪代码,则输出的结果S为9.【解答】解:模拟程序运行,可得S=1,I=1满足条件I<5,S=3,I=2满足条件I<5,S=5,I=3满足条件I<5,S=7,I=4满足条件I<5,S=9,I=5不满足条件I<5,退出循环,输出S的值为9.故答案为:9.6.(3分)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,则两次向上点数之和不小于10的概率为.【解答】解:将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,向上的点数的情况有62=36种,其中点数和不小于10的情况有:4+6,6+4,5+5,5+6,6+5,6+6,共6种,故两次向上点数之和不小于10的概率为=,故答案为:.7.(3分)在等差数列{a n}中,若a3+a5+a7=9,则其前9项和S9的值为27.【解答】解:在等差数列{a n}中,若a3+a5+a7=9,故有3a5 =9,a5 =3.则其前9项和S9==9a5 =27,故答案为27.8.(3分)若,则a+b的最小值是9.【解答】解:∵,∴=,a+4b>0,ab>0.∴=,即a+4b=ab.且a,b>0.∴+=1,∴a+b=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当a=2b=6时取等号.则a+b的最小值是9.故答案为:9.9.(3分)已知椭圆与圆,若椭圆C1上存在点P,由点P向圆C2所作的两条切线PA,PB且∠APB=60°,则椭圆C1的离心率的取值范围是[,1).【解答】解:连接OA,OB,OP,如图所示;依题意知,O、P、A、B四点共圆,∵∠BPA=60°,∠APO=∠BPO=,在直角三角形OAP中,∠AOP=,∴cos∠AOP==,∴|OP|==2b,∴b<|OP|≤a,∴2b≤a,∴4b2≤a2,即4(a2﹣c2)≤a2,∴3a2≤4c2,即≥,∴≥;又0<e<1,∴≤e<1,∴椭圆C1的离心率取值范围是[,1).故答案为:[,1).10.(3分)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是①②.①若m⊥α,n∥α,则m⊥n②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ③若α⊥β,α⊥γ,则β⊥γ;④若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β【解答】解:由m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,知:在①中,若m⊥α,n∥α,则由线面垂直的性质得m⊥n,故①正确;在②中,若α∥β,β∥γ,则由面面平行的判定定理得α∥γ,又m⊥α,则由线面垂直的判定定理得m⊥γ,故②正确;在③中,若α⊥β,α⊥γ,则β与γ相交或平行,故③错误;在④中,若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α与β相交或平行,故④错误.故答案为:①②.11.(3分)已知,且sin(α+β)=cosα,则tan(α+β)=﹣2.【解答】解:∵sinβ=,<β<π,∴cosβ=﹣=﹣,又sin(α+β)=cosα=cos[(α+β)﹣β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=﹣cos(α+β)+sin(α+β),∴sin(α+β)=﹣cos(α+β),∴tan(α+β)=﹣2.故答案为:﹣2.12.(3分)已知函数f(x)=x+lnx﹣,其中e为自然对数的底数,若函数f(x)与g(x)的图象恰有一个公共点,则实数m的取值范围是m ≥0或m=.【解答】解:若函数f(x)与g(x)的图象恰有一个公共点,则x+lnx﹣有且只有一个根,即有且只有一个根,令h(x)=,则h′(x)=2x+lnx+1﹣,令h′(x)=0,则x=,当x∈(0,)时,h′(x)<0,h(x)为减函数;当x∈(,+∞)时,h′(x)>0,h(x)为增函数;故当x=时,h(x)取最小值,又由=0,=+∞,故当m≥0或m=时满足条件,故答案为:m≥0或m=.13.(3分)已知函数f(x)=x2+(1﹣a)x﹣a,若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集,则实数a的取值范围是[﹣3,2] .【解答】解:f(x)=x2+(1﹣a)x﹣a=(x+1)(x﹣a)=(x+)2﹣a﹣,其值域为[﹣a﹣,+∞)由f(f(x))<0,即f(x)2+(1﹣a)f(x))﹣a=(f(x)+1)(f(x)﹣a)<0,当a≤﹣1时,(f(x)+1)(f(x)﹣a)<0的解集为(a,﹣1)要使不等式f(f(x))<0的解集为空集,则﹣a﹣≥﹣1,解得:﹣3≤a≤1∴﹣3≤a≤﹣1.当a>﹣1时,(f(x)+1)(f(x)﹣a)<0的解集为(﹣1,a)要使不等式f(f(x))<0的解集为空集,则﹣a﹣≥a,解得:﹣3≤a≤2∴﹣1<a≤2.综上可得实数a的取值范围是:﹣3≤a≤2.故答案为:[﹣3,2]14.(3分)已知△ABC的周长为6,且BC,CA,AB成等比数列,则的取值范围是.【解答】解:△ABC的边长为a,b,c,周长为6,所以a+b+c=6,且BC,CA,AB成等比数列,所以b2=ac,所以:,解得:0<b≤2.根据三角形的三边长a﹣c<b,所以:(a﹣c)2<b2,整理得:b2>(a+c)2﹣4ac由于a+b+c=6,b2=ac,则b2+3b﹣9>0,解得:.所以=accosB,=,=,=,=﹣(b+3)2+27,由于,所以:,故答案为:二、解答题15.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,AD∥BC,AD=2BC=2,△ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形,E是PD上的点.求证:(1)AD∥平面PBC;(2)平面EAC⊥平面PCD.【解答】证明:(1)∵AD∥BC,BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,∴AD∥平面PBC.解:(2)∵PC⊥底面ABCD,AC⊂底面ABCD,∴PC⊥AC由题意可知,AD∥BC,且AD=2BC=2,△ABC是等腰直角三角形,∴,∴CD2+AC2=AD2,即AC⊥CD又∵PC∩CD=C,∴AC⊥平面PCD,∵AC⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面PCD.16.如图,在,点D在边AB上AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.(1)若△BCD的面积为,求CD的长;(2)若,求角A的大小.【解答】解:(1)由已知在,得,又,∴.在△BCD中,由余弦定理得:,∴.(2)在△CDE中,∵AD=DC,∴A=∠DCE,∴,在△BCD中,又∠BDC=2A,得,,∴,解得:,所以.17.我校为进行“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC 上,点N在AB上,且P点在斜边BC上.已知∠ACB=60°,|AC|=30米,|AM|=x 米,x∈[10,20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为元(k为正常数).(1)试用x表示S,并求S的取值范围;(2)求总造价T关于面积S的函数T=f(S);(3)如何选取|AM|,使总造价T最低(不要求求出最低造价).【解答】解:(1)在Rt△PMC中,显然|MC|=30﹣x,∠PCM=60°,∴,矩形AMPN的面积,x∈[10,20],由x(30﹣x)≤()2=225,当x=15时,可得最大值为225,当x=10或20时,取得最小值200,于是为所求.(2)矩形AMPN健身场地造价T1=,又△ABC的面积为,即草坪造价T2=,由总造价T=T1+T2,∴,.(3)∵,当且仅当即时等号成立,此时,解得x=12或x=18,答:选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低.18.给定椭圆,称圆为椭圆C的“伴随圆”.已知点A(2,1)是椭圆G:x2+4y2=m上的点.(1)若过点的直线l与椭圆G有且只有一个公共点,求l被椭圆G 的伴随圆G1所截得的弦长:(2)B,C是椭圆G上的两点,设k1,k2是直线AB,AC的斜率,且满足4k1•k2=﹣1,试问:直线B,C是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过定点,试说明理由.【解答】解:(1)∵点A(2,1)是椭圆G:x2+4y2=m上的点.∴22+4•12=m,∴m=8,即椭圆,∴a2=8,b2=2,∴伴随圆当直线l的斜率不存在时:不满足l与椭圆G有且只有一个公共点当直接l的斜率存在时,设直线,与椭圆G:x2+4y2=8联立,得:由直线l与椭圆G有且只有一个公共点,得解得k=±1,由对称性取直线即圆心到直线l的距离为直线l被椭圆G的伴随圆G1所截得的弦长为:.(2)设直线AB,AC的方程分别为y﹣1=k1(x﹣2),y﹣1=k2(x﹣2)设点B(x1,y1),C(x2,y2)联立G:x2+4y2=8,得,则,得,同理,斜率,同理,∵4k1•k2=﹣1,∴,∴B,O,C三点共线,故直线BC过定点O(0,0).19.已经函数f(x)=(x2﹣3x+3)e x的定义域为[﹣2,t],设f(﹣2)=m,f(t)=n.(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[﹣2,t]上为单调函数;(2)求证m<n;(3)若不等式(为k正整数)对任意正实数x恒成立,求k的最大值.(解答过程可参考使用以下数据ln7≈1.95,ln8≈2.08)【解答】解:(1)因为f'(x)=(x2﹣3x+3)•e x=x(x﹣1)•e x令f'(x)>0,得:x>1或x<0;令f'(x)<0,得:0<x<1所以f(x)在(﹣∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减要使f(x)在[﹣2,t]为单调函数,则﹣2<t≤0所以t的取值范围为(﹣2,0](2)证:因为f(x)在(﹣∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,所以f(x)在x=1处取得权小值e又,所以f(x)在[﹣2,+∞)的最小值为f(﹣2)从而当t>﹣2时,f(﹣2)<f(t),即m<n(3)等价于x2+4x+1>k(xlnx﹣1)即记,则由g'(x)=0得x=k+1,所以g(x)在(0,k+1)上单调递减,在(k+1,+∞)上单调递增所以g(x)≥g(x+1)=k+6﹣kln(k+1),g(x)>0对任意正实数x恒成立,等价于k+6﹣kln(k+1)>0,即记,则所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,又,所以k的最大值为6.20.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=,其中n∈N*,λ,μ为非零常数.(1)若λ=3,μ=8,求证:{a n+1}为等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}是公差不等于零的等差数列.①求实数λ,μ的值;②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n},从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列.试问:是否存在首项为S1的四项子数列,使得该子数列中点所有项之和恰好为2017?若存在,求出所有满足条件的四项子数列;若不存在,请说明理由.【解答】(1)证明:λ=3,μ=8时,a n+1==3a n+2,化为:a n+1+1=3(a n+1),∴:{a n+1}为等比数列,首项为2,公比为3.∴a n+1=2×3n﹣1,可得:a n=2×3n﹣1﹣1.(2)解:①设a n=a1+(n﹣1)d=dn﹣d+1.由a n+1=,可得:a n+1(a n+2)=+4,∴(dn﹣d+3)(dn+1)=λ(dn﹣d+1)2+μ(dn﹣d+1)+4,令n=1,2,3,解得:λ=1,μ=4,d=2.经过检验满足题意,可得:λ=1,μ=4,a n=2n﹣1.②由①可得:S n==n2.设存在首项为S1的四项子数列,使得该子数列中点所有项之和恰好为2017.则这四项为:三个奇数一个偶数,或者三个偶数一个奇数.1°三个奇数一个偶数:设S1,S2x+1,S2y+1,S2z是满足条件的四项,则1+(2x+1)2+(2y+1)2+(2z)2=2017,化为2(x2+x+y2+y+z2)=1007,矛盾,舍去.2°三个偶数一个奇数,设S1,S2x,S2y,S2z是满足条件的四项,则1+(2x)2+(2y)2+(2z)2=2017,化为x2+y2+z2=504.由504为偶数,x,y,z中一个偶数两个奇数或者三个偶数.(i)若x,y,z中一个偶数两个奇数,不妨设x=2x1,y=2y1+1,z=2z1+1,则2=251,矛盾.(ii)若x,y,z均为偶数,不妨设x=2x1,y=2y1,z=2z1,则++=126,则x1,y1,z1中有两个奇数一个偶数.不妨设x1=2x2,y1=2y2+1,z1=2z2+1,则=31.∵y2(y2+1),z2(z2+1)均为偶数,∴x2为奇数.不妨设0≤y2≤z2.当x2=1时,则+y2++z2=30,+y2≤14,检验可得:y2=0,z2=5,x2=1.当x2=3时,则+y2++z2=22,+y2≤10,检验可得:y2=1,z2=4,x2=3.当x2=5时,则+y2++z2=6,+y2≤2,检验可得:y2=0,z2=2,x2=5.即{S1,S4,S8,S44},{S1,S12,S24,S36},{S1,S4,S20,S40}为全部满足条件的四元子列.三、附加题21.已知矩阵M=,其中a∈R,若点P(1,﹣2)在矩阵M的变换下得到点P′(﹣4,0)(1)求实数a的值;(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.【解答】解:(1)由=,∴2﹣2a=﹣4⇒a=3.(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为﹣1与4.当λ=﹣1时,∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为;当λ=4时,∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),圆C的参数方程是(θ为参数),直线l与圆交于两个不同的点A,B,点P 在圆C上运动,求△PAB的面积的最大值.【解答】解:直线l的参数办程是(t为参数),化为普通方程为x+y ﹣1=0,圆C的参数方程是(θ为参数),化为普通方程为x2+y2=1,由求得.或,故A(1,0)、B(0,1).设点P(co sθ,sinθ),0≤θ<2π,则点P到直线l的距离为d==,故当θ=时,d最大为1+,故△PAB的面积的最大值为AB•d==.23.某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a,求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.【解答】解:(1)设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件A,则事件 A 的对立事件为:“没有 1 首原创新曲被演唱”.所以P(A)=1﹣P()=1﹣=.答:该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率为.(2)设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数,则x 的所有可能值为0,1,2,3.依题意,X=ax+2a(4﹣x)=8a﹣ax,故X 的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a.则P(X=8a)=P(x=0)==.P(X=7a)=P(x=1)==.P(X=6a)=P(x=2)==.P(X=5a)=P(x=3)==..从而X 的概率分布为:X8a7a6a5aP (X )所以 X 的数学期望E (X )=8a ×+7a ×+6a ×+5a ×=a .赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n n a n 是偶数时,正数a 的正的n n a 表示,负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.n a n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:()n n a a =;当n 为奇数时,nn a a =;当n 为偶数时,(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.(2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 11()()0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.(3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 (4)指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1),即当0x =时,1y =.奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内,a 越大图象越高;在第二象限内,a 越大图象越低.〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>. (2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a MM N N-= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0),即当1x =时,0y =.奇偶性非奇非偶x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=单调性在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内,a 越大图象越靠低;在第四象限内,a 越大图象越靠高.。

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