概率统计复习2

试卷）
0 解 (1) U ~ 1 2
1 0 ,V ~ 1 1 2 2
1 ； 1 2
g(1,1)
11
(2) (U , V ) 的联合分布律为
3 1 P{U 0, V 0} ， P{U 0, V 1} ， 8 8 1 3 P[U 1, V 0} ， P{U 1, V 1} ； 8 8
（C） P{a （D） P{a
40000 i 1 40000
40000
（ B）
X
i 1
i
~ B(40000, 0.5)
X
i
b} (b) (a)

i 1
b 20000 a 20000 X i b} ( ) ( ) 100 100
（2011－2012 学年《概率统计》试卷）
12
第五章 大数定律和中心极限定理
一、大数定律 辛钦大数定律 设随机变量 X1 , X 2 ,, X n , 相互独立同分
布，如果 EX i ， i 1, 2, ，则对任意的 0 ，有
P 1 n 1 n lim P X i 1 ，即 lim X i ． n n n n i 1 i 1
t2 2
X
i 1
n
i
n
，n 1, 2,L ．Yn
n
1 lim FYn ( x) ( x) e dt ， x (, ) ． n 2 n X i n n b n a n i 1 P{a X i b} P 2 2 2 n n i 1 n b n a n ( ) ( ). n 2 n 2
x
14
2.棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre-Laplace）中心极限定理 设随机变量 X n ~ B(n, p) ， n 1, 2, ，则
lim P n
X n np 1 x ( x) np(1 p) 2

x
e dt ，
（2011－2012 学年试题）
解
E(4 X Y ) 4EX EY 4 3 1 ．
注：本题也可修改为 设 X , Y 为两个相互独立的随机变量，且 X ~ N (1, 4), Y ~ U (0,6) ， 则 D(4 X Y ) ______
解
D(4 X Y ) 16DX DY 64 3 67 ．
推 论 设 随 机 变 量 X1 , X 2 ,, X n , 相 互 独 立 同 分 布 ， 如 果
1 n E( X ) k ， i 1, 2, ， 则 { X ik } 依 概 率 收 敛 于 k ， 即 n i 1
k i
1 n k P l
例 １ 设 X1 , X 2 ,, X 40000 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 且
X i ~ B(1,0.5) (i 1, 2,, 40000) ， ( x) 是标准正态分布的分布函数，则 下列结论 不 正 确 的是（ ）

1 40000 X i 0.5 （A ） 40000 i 1
2 2
2 X ~ N (1,12 ), Y ~ N (2 , 2 ), XY ，
X 与 Y 相互独立的充分必要条件是 0 X 与 Y 不相关．
8
例 １ 设 X , Y 为 随 机 变 量 ， 且 X ~ N (1, 4), Y ~ U (0,6) ， 则
E (4 X Y ) ______ ．
解
答案为Ｃ．
16
例 2 设 总 体 X ~ B(100,0.2) ， 用 中 心 极 限 定 理 求
P{14 X 30} 的 近 似 值 . （ (1.5) 0.9332 , (2.5) 0.9938 ）. （2015－２016 学年宣城校区《概率
统计》试卷）
解 X ~ B(100,0.2) ， EX 20, DX 16 ，


xf ( x) dx ．
1
２.随机变量函数的数学期望 （ １ ） 离 散 型 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为 P{X xi } pi ，

i 1, 2, ，则有 E[ g ( X )] g ( xi ) pi ；
i 1
（２）连续型随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) ，则有
或者如下表
g(1,1)
U 0 1
V
0 3 8 1 8
1
1 3
8
8
3 1 1 (3) Cov (U ,V ) E (UV ) E (U ) E (V ) ， 8 4 8 1 Cov(U ,V ) 1 D(U ) D(V ) , UV , UV 0 ， 4 2 DUDV 所以 U , V 不是不相关．
解
答案为 C．
10
例 3
设 二 维 连 续 型 随 机 变 量 ( X ,Y ) 在 区 域
D : 0 x 1,0 y 1 上服从均匀分布，记
1 0, X , 0, X Y , 2 U （1 ）求随机变量 U 与 V 的 V 1, X Y , 1, X 1 , 2 分布律； （2）求 (U , V ) 的联合分布律； （3）求 U , V 的相关系 数，并判别 U , V 是否不相关． （2011－2012 学年《概率统计》
t2 2
x (, ) ．
X n np b np a np P{a X n b} P np(1 p ) np(1 p ) np(1 p ) b np a na ( ) ( ). np(1 p) np(1 p)
9
例２ 设随机变量 X , Y 不相关，则下述选项不正确的是（ ） ． （A） Cov( X , Y ) 0 （B） D( X Y ) D( X ) D(Y ) （C） D( XY ) D( X ) D(Y ) （D） E ( XY ) E ( X ) E (Y ) （2010－2011 学年《概率统计》试卷）
14 20 X 20 30 20 P(14 X 30) P( ) 4 4 16
(2.5) (1.5) (2.5) (1.5) 1 0.927 ．
17
第六章
数理统计的基本概念
一、样本及统计量的概念 １．样本的概念 设 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立，每个 X i 与总体 X 分布相同，则称
4
三、几种常见分布的数字特征 １． X ~ B(1, p), EX p, DX p(1 p) ； ２． X ~ B(n, p), EX np, DX np(1 p) ； ３． X ~ P( ), EX , DX ；
ba (b a)2 , DX ４． X ~ U (a, b), EX ； 2 12 1 1 ５． X ~ E ( ), EX , DX 2 ； 2 2 ６． X ~ N (, ), EX , DX ．
2
２．计算公式： DX E( X ) ( EX ) ．
2 2
３．性质： （１） D(kX c) k DX ；
2
（２）当 X 和 Y 相互独立时， D( X Y ) DX DY ； （３）设随机变量 X1 , X 2 ,L , X n 相互独立，则
2 D(a1 X1 + L + an X n ) = a12 DX1 + L + an DX n ．
Y ) DX DY 2Cov( X , Y ) ．
6
２．相关系数 （１）定义： XY
Cov ( X , Y ) ； DX DY
2 2 2 2 2 2
（２）计算：关键 EX , EY ， E ( X ) ， E (Y ) 和 E ( XY） ， 其中： DX E( X ) ( EX ) ， DY E(Y ) ( EY )
（４） 不相关的概念： 如果 XY 相关．
0 ，就称随机变量 X 与 Y 不
不相关与相互的独立的关系： X 与 Y 相互独立则必有 X 与 Y 不相关，反之未必成立．
（５）二维正态分布的数字特征及性质： 若 ( X , Y ) ~ N (1, 2 , 1 , 2 , ) ，则有
E[ g ( X )]
重要的函数是 g ( x) x
2

g ( x) f ( x)dx ．
．
2
（ ３ ） 二 维 离 散 型 随 机 变 量 ( X ,Y ) 的 分 布 律 为
P{X xi , Y y j } pij ， i 1, 2, ， j 1, 2, ， 则 有
X 1 , X 2 ,L , X n 是总体 X 的容量为 n 的样本．
２．样本的分布
（１）如果总体 X 为离散型随机变量，其分布律为
P{X ai } p(ai ) ， i 1,2,L ，
则样本 X 1 , X 2 ,L , X n 的分布律为
13
二、中心极限定理 1.列维—林德伯格（Levy —Lindburg）中心极限定理 设 随 机 变 量 序 列 X1, X 2 ,L , X n ,L 独 立 同 分 布 ， 且 EX i ，
DX i 2 0 ，i 1,2,L ．令 Yn
的分布函数记作 FYn ( x) ，则有
E[ g ( X , Y )] g ( xi , yi ) pij ．
i 1 j 1
４）二维连续型随机变量 ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x, y) ，则有
E[ g ( X , Y )]