第12讲二元一次方程组解决问题 2

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2022年暑假初升高数学第12讲：方程组的解集(教师版)

2022年暑假初升高数学第12讲：方程组的解集学习目标核心素养1.理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点)2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点)3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点) 1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养． 2．通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养.1．方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法． 3．二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x ，y )|(a ，b )，…}，其中a ，b 为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为 {(x, y ，z )|(a ，b ，c )，…}，其中a ，b ，c 为确定的实数．1．用代入法解方程组⎩⎨⎧y ＝1－xx －2y ＝4时，代入正确的是( )A ．x －2－x ＝4B ．x －2－2x ＝4C ．x －2＋2x ＝4D ．x －2＋x ＝4C [⎩⎨⎧y ＝1－x ，①x －2y ＝4，②把①代入②得，x －2(1－x )＝4，去括号得，x －2＋2x＝4.故选C.]2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，解集为( )A ．{(x ，y )|(2,3)}B ．{(x ，y )|(3,2)}C ．{(x ，y )|(－2,3)}D ．{(x ，y )|(－2，－3)}A [⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，①x ＋2y ＝8，②①＋②得：3x ＋3y ＝15，解得x ＝2，y ＝3，解集为{(x ，y )|(2,3)}，故选A.] 3．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝5}，B ＝{(x ，y )|2x －y ＝4}，则A ∩B ＝( ) A ．{(x ，y )|(1,4)} B ．{(x ，y )|(2,3)} C ．{(x ，y )|(3,2)}D ．{(x ，y )|(4,1)} C [根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝4，由代入消元法可求得x ＝3，y ＝2，故A ∩B ＝{(x ，y )|(3,2)}. ] 4．已知⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，那么x －y 的值是________．－1 [两式相减可得结果x －y ＝－1.]二元一次方程组的解集【例1(1)⎩⎨⎧x ＋y ＝4，①2x －3y ＝3.② (2)⎩⎨⎧3x －7y ＝－1，①3x ＋7y ＝13.②[解] (1)由①，得y ＝4－x .③ 把③代入②，得2x －3(4－x )＝3. 解这个方程，得x ＝3. 把x ＝3代入③，得y ＝1.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(3,1)}． (2)法一：①＋②，得6x ＝12，所以x ＝2.把x ＝2代入②，得3×2＋7y ＝13，所以y ＝1. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,1)}．法二：①－②，得－14y ＝－14，所以y ＝1. 把y ＝1代入①得，3x －7×1＝－1，所以x ＝2. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,1)}.求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.1．求下列方程组的解集． (1)⎩⎨⎧ 4x ＋8y ＝12，①3x －2y ＝5.② (2)⎩⎨⎧8x ＋9y ＝73，①7x ＋18y ＝2.②[解] (1)由②，得2y ＝3x －5.③把③代入①，得4x ＋4(3x －5)＝12，解得x ＝2. 把x ＝2代入③，得y ＝12.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12. (2)由①×2，得16x ＋18y ＝146，③ 由③－②，得9x ＝144，解得x ＝16.把x ＝16代入①，得8×16＋9y ＝73，解得y ＝－559.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－559.三元一次方程组的解集【例2(1)⎩⎨⎧ x ＋y ＋z ＝12，①x ＋2y ＋5z ＝22，②x ＝4y .③(2)⎩⎨⎧2x ＋y ＋3z ＝11，①3x ＋2y －2z ＝11，②4x －3y －2z ＝4.③[解] (1)法一：将③分别代入①②，得 ⎩⎨⎧ 5y ＋z ＝12，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}．法二：②－①，得y ＋4z ＝10，④ ②－③，得6y ＋5z ＝22，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧ y ＋4z ＝10，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝8.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}．法三：①×5，得5x ＋5y ＋5z ＝60，④ ④－②，得4x ＋3y ＝38，⑤联立③⑤，得⎩⎨⎧ x ＝4y ，4x ＋3y ＝38，解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝2，把x ＝8，y ＝2代入①，得z ＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8,2,2)}． (2)①×2－②，得x ＋8z ＝11，④ ①×3＋③，得10x ＋7z ＝37，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧ x ＋8z ＝11，10x ＋7z ＝37，解得⎩⎨⎧x ＝3，z ＝1，把x ＝3，z ＝1代入①，得y ＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(3,2,1)}．求三元一次方程组解集的基本思路是：通过 “代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为 “二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解.2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，①y ＋z ＝6，②z ＋x ＝3 ③的解集．[解] ①＋②＋③，得2(x ＋y ＋z )＝10，即x ＋y ＋z ＝5.④④－①，得z ＝4；④－②，得x ＝－1；④－③，得y ＝2. 所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(－1,2,4)}．待定系数法求函数的解析式【例3】已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1,2)，(2,8)，(5,158)，求这个二次函数的解析式．[思路点拨] 把a ，b ，c 看成三个未知数，分别把三组已知的x ，y 的值代入，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a ，b ，c 的值．[解]根据题意，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝2，①4a ＋2b ＋c ＝8，②25a ＋5b ＋c ＝158，③②－①，得a ＋b ＝2，④ ③－①，得4a ＋b ＝26，⑤联立④⑤，得⎩⎨⎧a ＋b ＝2，4a ＋b ＝26，解得⎩⎨⎧a ＝8，b ＝－6，把a ＝8，b ＝－6代入①，得c ＝－12. 因此所求函数的解析式为y ＝8x 2－6x －12.解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(1,4)，(3，－20)，(－1，－12)，求这个二次函数的解析式．[解]根据题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4，9a ＋3b ＋c ＝－20，a －b ＋c ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝8，c ＝1，因此所求函数的解析式为y ＝－5x 2＋8x ＋1.二元二次方程组的解集【例4(1)⎩⎨⎧x ＋y ＝8，①xy ＝12.②(2)⎩⎨⎧x 2－4xy ＋4y 2＋x －2y －2＝0，①3x ＋2y －11＝0.② [解] (1)由①得y ＝8－x ，③ 把③代入②，整理得x 2－8x ＋12＝0. 解得x 1＝2，x 2＝6. 把x 1＝2代入③，得y 1＝6. 把x 2＝6代入③，得y 2＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2,6)，(6,2)}． (2)由①得(x －2y )2＋(x －2y )－2＝0，解得x －2y ＝1或x －2y ＝－2，由⎩⎨⎧ x －2y ＝1，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1. 由⎩⎨⎧x －2y ＝－2，3x ＋2y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝178.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪(3，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，178.求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.4．求方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝4，①2xy ＝－21②的解集．[解] ∵方程①是x 与2y 的和，方程②是x 与2y 的积，∴x 与2y 是方程z 2－4z －21＝0的两个根，解此方程得z 1＝－3，z 2＝7， ∴⎩⎨⎧ x ＝－3，2y ＝7或⎩⎨⎧x ＝7，2y ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝72或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－32.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，72，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，－32.方程组的实际应用【例5】匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5 h ，从乙地到甲地需要2.3 h ．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km,20 km,40 km ，则从甲地到乙的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？[思路点拨] 题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km ，y km 和z km.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4，故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km ，平路是54 km ，下坡路是4 km.根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题.5．在中国古算术《张丘建算经》(约公元5世纪)里，有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？(三种鸡都买)[解] 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x 只、y 只、z 只．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，①5x ＋3y ＋z3＝100.②②×3－①，得7x ＋4y ＝100，y ＝100－7x 4＝25－74x .因为x ，y 均为正数，所以x 一定是4的倍数，且x 是小于1007的正整数，所以x 的取值只能为4,8,12.若x ＝4，则y ＝18，z ＝78；若x ＝8，则y ＝11，z ＝81；若x ＝12，则y ＝4，z ＝84.故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，鸡母为11只，鸡雏为81只或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只．1．求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．2．待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.1．二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋3y ＝7，y －x ＝1的解集是( )A ．{(x ，y )|(1,2)}B ．{(x ，y )|(1,0)}C ．{(x ，y )|(－1,2)}D ．{(x ，y )|(1，－2)}A [由加减消元法可求得x ＝1，y ＝2，故所求方程组的解集为{(x ，y )|(1,2)}．]2．求方程组⎩⎨⎧x ＋y －z ＝11，x ＋z ＝5，x －y ＋2z ＝1的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( )A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对B [根据系数特点，先消去y 最简便，故选B.]3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，则原本甲、乙两杯内的水量相差( )A ．80毫升B ．110毫升C ．140毫升D ．220毫升B [设甲杯中原有水a 毫升，乙杯中原有水 b 毫升，丙杯中原有水c 毫升，依题意有⎩⎨⎧a ＋c －40＝2a ，①a ＋b ＋c ＋180＝3b ，②②－①，得b －a ＝110，故选B.]4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2.试写出符合要求的方程组________． ⎩⎨⎧xy ＝6x －y ＝－1[由于这两组解都有：xy ＝2×3＝6，x －y ＝－1，⎧xy＝6，x－y＝－1(答案不唯一)．]故可组成方程组为⎩⎨。

二元一次方程组解题技巧讲义（补课用）

⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼀、⼆元⼀次⽅程组的有关概念：1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．它的⼀般形式:)0,0(≠≠=+b a c by ax ，如6713,245=-=-n m y x 等是⼆元⼀次⽅程。

2.⼆元⼀次⽅程的解集：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值，叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解．对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼀个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值．因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集．3.⼆元⼀次⽅程组及其解：两个⼆元⼀次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组．⼀般地，能使⼆元⼀次⽅程组的两个⽅程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做⼆元⼀次⽅程组的解．它的⼀般形式为:=+=+.,222111c y b x a c y b x a 其中2121,,,b b a a 不全为零，如：?==;2,3y x =+=-;5,3n m n m =-=+-;2,53q p q p 都是⼆元⼀次⽅程组。

4.⼆元⼀次⽅程组的解法：代⼊消元法：在⼆元⼀次⽅程组中选取⼀个适当的⽅程，将⼀个未知数⽤含另⼀个未知数的式⼦表⽰出来，再代⼊另⼀个⽅程，消去⼀个未知数得到⼀元⼀次⽅程，求出这个未知数的值，进⽽求得这个⼆元⼀次⽅程组的解，这种⽅法叫做代⼊消元法。

加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相差，从⽽消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种求⼆元⼀次⽅程组的解的⽅法叫做加减消元法，简称加减法．例题精析：例1.⽅程ax-4y=x-1是⼆元⼀次⽅程，则a 的取值为（） A 、≠0 B 、≠－1 C 、≠1 D 、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．选B变式题1：如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，则a ，b 满⾜什么条件？解题思路：∵（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，∴a －2≠0，b+1≠0，?∴a ≠2，b ≠－1例2.若⼆元⼀次⽅程3x-2y=1有正整数解，则x 的取值应为（）A 、正奇数B 、正偶数D 、0 解题思路：由312x y -=，x 、y 都是正整数，选A变式题1：．⽅程组2528x y x y +=??-=?的解是否满⾜2x －y=8？满⾜2x －y=8的⼀对x ，y 的值是否是⽅程组2528x y x y +=??-=?的解？解：满⾜，不⼀定．∵2528x y x y +=??-=?的解既是⽅程x+y=25的解，也满⾜2x －y=8，?∴⽅程组的解⼀定满⾜其中的任⼀个⽅程，但⽅程2x －y=8的解有⽆数组，如x=10，y=12，不满⾜⽅程组2528x y x y +=??-=?．例3.已知⼆元⼀次⽅程组45ax by bx ay +=??+=? 的解是21x y =??=?,则a+b 的值为____。

数学思想方法形考任务12案例分析

从平时自测与正规考试分析，有的题型我们教师讲过，甚至几乎一模一样，但是学生仍然不会。

学生存在“知其然，不知其所以然”现象。

这是因为在备课时，我们往往只习惯于备教学内容，而忽视备学生。

如果教师不去研究学生对所教内容的掌握情况，不去研究学生的个体差异，一切从本本出发，课堂教学的适切性就会大打折扣，课堂教学的高效更无从谈起。

案例：《二元一次方程组的应用》各环节配题。

（一）提出问题，导入新课1、问题1 解二元一次方程组问题2 母亲26岁结婚，第二年生个儿子，若干年后母亲的年龄是儿子年龄到3倍，此时母亲的年龄为几岁？解法一：设经过x年后，母亲的年龄是儿子年龄的3倍。

由题意得 26+x=3x解法二：设母亲的年龄为x岁。

由题意得 x=3（x－26）（二）精选讲例，探求新知例某班有45位学生，共有班费2400元钱，准备给每位学生订一份报纸。

已知《作文报》的订费为60元/年，《科学报》的订费为50元/年，则订阅两种报纸各多少人？巩固练习小明和小李两人进行投篮比赛，规则：小明投3分球，小李投2分球，两人共投中20次，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。

（三）变式训练，激活学生思维问题1 小明和小李两人进行投篮比赛，小明投3分球，小李投2分球，两人共投中100次，小明投中率为40%，小明投中率为40%，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。

问题2 已知某电脑公司有A型、B型、C型3种型号的电脑，其价格分别为A型6000元/台、B型4000元/台、C型2500元/台，我校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供学校采用。

小红的方案：她认为可以购进A型和B型电脑，请你判断小红提出的方案是否合理，并通过计算说明。

（四）课堂练习，巩固新知1、A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，4小时候相遇。

若6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求甲乙两人的速度。

二元一次方程组及其解法

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
对二元一次方程组的理解应注意：
①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.
②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.
例8.解方程组
一、选择题
1.下列各式中，是二元一次方程的是（）
A.4x－2π＝5B.3x＋5yC.2x－5y＝0D.2x－5＝y2
2.如果5x3m－2n－2yn－m+11＝0是二元一次方程，则（）
A.m＝1，n＝2B.m＝2，n＝1 C.m＝－1，n＝2D.m＝3，n＝4
3.如果是方程3x－ay＝7的一个解，那么a＝（）
二元一次方程组及其解法
知识要点
1.二元一次方程
（1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.
你能区分这些方程吗？（1）5x＋3y＝75；（2）3x＋1＝8x；（3）＋y＝2；（4）2xy＝9.
对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：
①等号两边的代数式是整式；
②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；
解法2：
由①设x＝k，y＝2k，z＝7k，并代入②，得k＝1.
把k＝1，代入x＝k，得x＝1；
把k＝1，代入y＝2k，得y＝2；
把k＝1，代入z＝7k，得z＝7.
因此三元一次方程组的解为
小结：遇比例式找关系式，采用设元解法.
例4、解方程组
分析：

2元一次方程组的定义

2元一次方程组的定义哎呀，说到二元一次方程组，可把我给难住了！不过今天我要用最简单的话，把这个听起来挺吓人的数学概念给大家讲明白。

你们想啊，这玩意儿其实就是两个方程凑在一块儿，手拉手组成了一个小团队。

打个比方啊，就像是咱们去买东西。

比如说我和小明一起去小卖部，我买了几个苹果和几个梨，花了15块钱；小明买的苹果和梨的数量跟我不一样，他花了12块钱。

这不就是两个方程在一起玩耍嘛！说到这儿，我得跟大家掰扯掰扯什么叫二元。

这二元可不是说两块钱啊！它指的是咱们要找的两个数，就像刚才说的苹果和梨的数量。

这两个数就像是躲猫猫的小朋友，咱们得想办法把它们找出来。

一次是什么意思呢？这个可有意思了！就是说咱们找的这两个数，不能乘来乘去，不能玩平方立方这些花里胡哨的操作。

就像是小朋友排队，老老实实一个接一个，不许骑在肩膀上，不许叠罗汉。

我记得我们老师讲这个的时候，还打了个特别形象的比喻："同学们，二元一次方程组就像是破案，咱们手里有两条线索，得把这两条线索串起来，才能找到真相！"这么一说，我们班顿时就来劲儿了。

来来来，我给大家举个特别生动的例子。

假如你妈妈说："你和你妹妹的年龄加起来是15岁，你比妹妹大3岁。

"这不就是个二元一次方程组嘛！咱们要找的就是你和妹妹各自的年龄。

有的同学可能会说："哎呀，这不就是两个数学题拼在一起吗？"对啦对啦！但是这两个方程得是一伙的才行，得是在说同一件事情。

就像双胞胎姐妹，虽然是两个人，但是血脉相连，谁也离不开谁。

我还记得刚学这个的时候，可把我愁坏了。

后来我发现，这就跟破解密码一样好玩。

两个方程就像是两把钥匙，得把它们都用上，才能打开宝箱，找到里面藏着的答案。

要是把二元一次方程组比作美食的话，那就是两种食材的完美搭配。

就像是米饭配咸菜，缺了哪个都不完整。

这两个方程也是这样，得凑在一起才能发挥作用。

有意思的是，这种方程组在生活中可是随处可见呢！比如说，计算商品的价格啊，分配任务的时间啊，甚至是计算运动员的成绩，都能用上它。

高考数学专题四第12讲：直线与圆的方程及应用

专题四平面解析几何第12讲直线与圆的方程及应用解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，正常情况下，考一小(填空)一大(解答)．小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等．圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题．1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．2. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直．4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．5. 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．6. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化．7. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．1. 与直线x＋3y－1＝0垂直的直线的倾斜角为________．2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________．3.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________.4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．【例1】已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，求过圆心且与直线l垂直的直线的方程．【例2】如图，平面直角坐标系xOy 中，△AOB 和△COD 为两等腰直角三角形，A(－2,0)， C(a,0)(a>0)．△AOB 和△COD 的外接圆圆心分别为M ，N.(1) 若⊙M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；(2) 若直线AB 截⊙N 所得弦长为4，求⊙N 的标准方程；(3) 是否存在这样的⊙N ，使得⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2，若存在，求此时⊙N 的标准方程；若不存在，说明理由．【例3】已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过点A(－1,0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于点N.(1) 求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2) 当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3) 探索AM →·AN →的值是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．【例4】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(2，2)，设椭圆E 的右准线l 与x 轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长为455. (1) 求椭圆E 的方程及圆O 的方程；(2) 若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上的任意一点N ，有MN NQ为定值；且当M 在直线l 上运动时，点Q 在一个定圆上．1. (2011·安徽)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________．2.(2011·重庆)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．3.(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．4.(2010·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则实数k 的取值范围是________．5.(2011·福建理) 已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1) 若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2) 若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．6.(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD上一点，且|MD|＝45|PD|. (1) 当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2) 求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．(2011·南京三模)(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4,0)、B(4,0)，动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为－14. (1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.① 求⊙M 的方程；② 当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1) 设P(x ，y)，则直线PA 、PB 的斜率分别为k 1＝y x ＋4、k 2＝y x －4. (2分)由题意知y x ＋4·y x －4＝－14，即x 216＋y 24＝1(x ≠±4)．所以动点P 的轨迹方程是x 216＋y 24＝1(x ≠±4)．(4分) (说明：没有范围扣1分)(2) ①由题意知C(0，－2)，A(－4,0)，所以线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3.(6分)设M(a,2a ＋3)(a ＞0)，则⊙M 的方程为(x －a)2＋(y －2a －3)2＝r 2. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫3r 22，得a ＝r 2. 所以⊙M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －r 22＋(y －r －3)2＝r 2.(10分) ② 假设存在定直线l 与动圆M 均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋b ，则⎪⎪⎪⎪k ×r 2－r －3＋b 1＋k 2＝r 对任意r ＞0恒成立．(12分) 由⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫k 2－1r ＋(b －3)＝r 1＋k 2，得⎝⎛⎭⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k 2)r 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫k 2－12＝1＋k 2，(k －2)(b －3)＝0，(b －3)2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－43，b ＝3.所以存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．(16分)。

2023年中考数学备考学案+第12课时+《方程与不等式》之一次不等式(组)的解法

第12课时一次不等式（组）的解法学习目标：1.理解一元一次不等式（组）的概念；2.会解一元一次不等式（组）.学习过程：一、问题唤醒1.关于x 的不等式x x >-23的解集是．2.不等式3)1(2+<+y y 的解集为．3.不等式123≥-x 的最小整数解为． 4.不等式组⎩⎨⎧>-+>71412x x x 的解集是． 5.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<-+≤+385107)1(4x x x x 的所有整数解的和为． 6.若12=+y x ，且10<<y ，则x 的取值范围为．二、问题导学问题1：如何解不等式（组），并在数轴上表示解集？例1、解不等式12331+-≥-x x ，并在数轴上表示解集．同质训练：解不等式21312->-x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．方法归纳：解不等式的步骤：用数轴表示解集的方法：例2、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．⎪⎩⎪⎨⎧<--+≤-4211)1(314x x x x同质训练：解不等式组，并把解集在数轴上表示出来，写出它的所有整数解． ⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-23252)1(3x x x x方法归纳：解不等式组的步骤：问题3：已知解集，如何求参数的值或取值范围？例3、关于x 的一元一次不等式232-≤-x m 的解集为4≥x ，则m 的值为（） A ．14 B ．7C ．﹣2D ．2 同质训练：1.已知关于x 的一元一次不等式01>-ax 的解集是3>x ，则a 的值是 .2.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧->+<423a x a x 无解，则a 的取值范围是（）A ．a ≤﹣3B ．a ＜﹣3C ．a ＞3D ．a ≥3方法归纳：先解不等式，再根据解集情况列出关于参数的方程或不等式，最后求参数的值或范围.问题4：如何利用方程和不等式解的概念，求参数的取值范围？例4、如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程0131=-x 是关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧<-≤-0222x n n x 的关联方程，则n 的取值范围是．同质训练：已知关于x 的方程24x m x +=-的解为负数，则m 的取值范围是（）A ．43m <B ．43m > C ．4m < D ．4m >方法归纳：一般地，先解方程和不等式，再根据条件列出关于参数的不等式，最后求参数范围.三、自主小结四、适度作业A 层1.若n m >，则下列不等式中正确的是（）A ．22-<-n mB ．n m 2121->- C ．0>-m n D ．n m 2121-<-2.不等式312>+x 的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ． 3.关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--=-ky x k y x 2322的解中x 与y 的和不小于5，则k 的取值范围为（）A ．8≥kB ．8>kC ．8≤kD ．8<k4.定义新运算“⨂”，规定：a ⨂b ＝a ﹣2b ．若关于x 的不等式x ⨂m ＞3的解集为1->x ，则m 的值是（）A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．25.不等式1312-<+-y y 的解集为．6.不等式组⎩⎨⎧>-≥+36042x x 的所有整数解的和为． 7.若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=-55343y x m y x 的解满足0≤+y x ，则m 的取值范围是．8. 解不等式（组）：(1))2(2443-+≤-x x (2)131221≤+-+x x(3)⎩⎨⎧-<+≥--1124)2(3x x x x (4)⎪⎩⎪⎨⎧≥--<-03113)1(23x x x -9.整式)31(3m -的值为P ．（1）当m ＝2时，求P 的值；（2）若P 的取值范围如图所示，求m 的负整数值．10.已知关于x 的不等式12122->-x mx m ．（1）当m ＝1时，求该不等式的解集；（2）若该不等式的解集2>x ，求m 的取值范围.B 层11.按如下程序进行运算：并规定：程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止，则可输入的整数x 的个数是．12.已知非负实数a ，b ，c 满足cb a -=-=-322413，设c b a S 2++=的最大值为m ，最小值为n ，求mn 的值．。

二元一次方程组的解法

学科：数学教学内容：二元一次方程组的解法【学习目标】1．知道解二元—次方程组的基本思想“消元”．2．会用代入消元法及加减消元法解二元一次方程组．3．会列方程组解应用问题．【主体知识归纳】1．通过“代入”消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解二元一次方程组的解法叫做代入消元法，简称代入法．2．通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，简称加减法．3．用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：（1）将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；（2）用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，求得一个未知数的值；（3）把求得的这个未知数的值代入（1）中变形后的方程，求得另一个未知数的值，从而得到方程组的解．4．用加减法解二元一次方程组的一般步骤有：（1）将一个方程或两个方程的两边乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的两个系数的绝对值相等；（2）将变形得到的两个方程的两边分别相加（某未知数系数互为相反数时）或相减（某未知数系数相等时），消去一个未知数，使二元一次方程组化为一元一次方程，求得一个未知数的值；（3）将这个未知数的值代入原方程组里的任意一个方程中，求得另一个未知数的值，从而得到方程组的解．5．可借助列方程或方程组的方法来处理一些实际问题，这种处理问题的过程可以概括为：【基础知识精讲】1．能熟练地用代入消元法解简单的二元一次方程组。

代入消元时将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数时，通常选择未知数系数绝对值为1的方程或常数项为零的方程进行变形，有时也可整体代入，使计算简便．2．能灵活运用加减消元法解二元一次方程组。

加减消元时可先根据两个方程中各未知数系数的情况确定消去哪一个未知数．一般地，当方程组中某未知数的系数有倍数关系时，则消去该未知数较简单．（1）当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等且两个系数异号时，可将两个方程相加消元；当两个系数的绝对值相等且两个系数同号时，可将两个方程相减消元；（2）当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数时，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成相等绝对值的数．3．通过探求二元一次方程组的解法，了解把二元化为一元（消元），把未知转化为已知的化归思想．体会消元的思想，把复杂问题转化为简单问题来处理．4．能列出二元一次方程（组）解简单的实际问题．5．解方程组检验时，要把求出的解代入原方程组中的每个方程，使方程左右两边都相等；解实际问题时，不仅要代入原方程组中的每个方程进行检验，还要看它是否符合题意．【例题精讲】例1．解方程组（用代入消元法）分析：（1）因为方程组的解是各方程解的公共部分，那么两个方程中的同一个未知数就应取相同的值，所以一个方程的某个未知数便可用另一个方程变形得到的关于这个未知数的代数式表示，这就是代入消元法的依据．如本题（1）中，用3x表示y．通常选择未知数系数绝对值为1的方程或常数项为零的方程进行变形．（2）用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式必须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了．（3）要想检验所求的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值是方程组的解，否则说明解题有误．解:（1）将①代入②，得x＋3x＝12，即x＝3．（2）由①，得y＝13－2x．③把③代入②，得7x＋9（13—2x）＝84．例2．已知二元一次方程2x＋3y－1＝0，当x，y互为相反数时，试求x，y的值．解:因为x，y互为相反数，所以x＋y＝0．答：此时x的值为－1，y的值为1．例3．解方程组解法二：由②，得3x＝7－5y ③由①，得2×（3x）＋11y＝16 ④把③代入④，得2（7－5y）＋11y＝16，解这个方程，得y＝2．解法三：由①，得6x＋10y＋y＝16，即2（3x＋5y）＋y＝16．③把②代入③，得2×7＋y＝16，解这个方程，得y＝2．把y＝2代入②，得3x＋5×2＝7，即x＝－1．所以，原方程组的解为。

二元一次方程组讲义

二元一次方程组知识点1：解方程一、考点讲解：1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．3．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．4．二元一次方程组的解法．（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．（2）减消无法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．5．整体思想解方程组．（1）整体代入．如解方程组3(1) 5 5(1)3(5) x y y x -=+⎧⎨-=+⎩①②，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，把②中的 3（x+5）看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y ．然后求出方程组的解．（2）整体加减，如1+3y 19 313x+y 11 3x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②因为方程①和②的未知数x 、y 的系数正好对调，所以可采用两个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①得x －y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x ，y ．二、经典考题剖析：【考题1－1】（2004、汉中）若x+y+4则 3x+2y ＝_______【考题1－2】（2004、北碚，5分）解方程组：x-y=42x+y=5⎧⎨⎩三、针对性训练：( 20分钟) (答案：242 )1、对方程组4x+7y=-19 4x-5y=17 ⎧⎨⎩①②，用加减法消去x ，得到的方程为（）A 、2y=－2 B.2y=－36C. 12y=－2D.12y=－362．二元一次方程组x+y=102x-y=-1⎧⎨⎩的解是（） A ．11x=x=2x=73 C. D.19y=8y=3y=3x=3 B.y=7⎧⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩⎧⎨⎩ 3．若x=-2y=1⎧⎨⎩ 是方程组ax+by=1bx+ay=7⎧⎨⎩的解，则（）（a －b ）的值为（） A. －353 B. 353 C. －16 D.16 4．解方程组：⑴2x+5y=53x+2y=5 3x-5y=102x+5y=7⎧⎧⎨⎨⎩⎩⑵5．已知方程组ax+5y=15 4x-by=-2 ⎧⎨⎩①②由于甲看错了方程①中的a 得到的方程组的解为x=-3y=-1⎧⎨⎩乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为x=5y=4⎧⎨⎩若按正确的a 、b 为计算，求原方程组的解x 与y 的差．6．若a+b 4b 与3a+b 是同类二次根式，求a 、b 的值.7．已知关于x ，y 的方程组2x-y=32kx+(k+1)y=10⎧⎨⎩的解互为相反数，则k 的值是多少？8．甲、乙两人解同一个二元一次方程组，甲正确地得出解x=3，y =－2，乙因把这个方程组中的第二个方程X 的系数抄错了，得到一个错误的解为x =－2，y=2．他们解先后，原方程组的三个系数又被污染而看不清楚，变成下面的形式：请你把原方程组的三个被污染的系数填上．知识点2：方程组的实际应用一、考点讲解：方程组解决实际问题：应用方程组解决实际问题的关键在于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意检验解的合理性．二、经典考题剖析：【考题2－1】（2004、宁安）某商品按进价的100％加价后出售．经过一段时间，商家为了减少库存，决定5折销售，这时每件商品（）A ．赚50％B ．赔50％C ．赔25％D ．不赔不赚解：D 点拨：利润=销售价－进价．【考题2－2】（2004、南山区正题3分）如图1－7－1，AB ⊥BC ，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x 、y ，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（）A ．9015x y x y +=⎧⎨=-⎩ B ．90215x y x y +=⎧⎨=-⎩ C ．90152x y x y +=⎧⎨=-⎩ D ．290215x x y =⎧⎨=-⎩【考题2－3】（2004、宁安）如图，如果横行上的两个数字之和相等，竖列上的两个数字之和相等，那么a 、b 、c 、d 依次可为。

北师大版八年级上册数学《应用二元一次方程组―鸡兔同笼》二元一次方程组说课教学课件复习

(A){1x5+xy==2544y, (C) {1x5+xy==25×4,24y
(B)
{
x+y=54, 2×15x=24y
(D){
15x+24y=54, 15x=24y
有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
2
1
讲授新课
一应用二元一次方程组解古算题《孙子算经》中的算法，主要是利用了兔和鸡的
脚数分别是4和2，4又是2的倍数.可是当其他问题转化成这类问题时，脚数就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.
你能根据“上有三十五头, 下有九十四足”列出方程吗？
等量关系：
{ 鸡头+兔头=35, 鸡脚+兔脚=94.
4y=6x
益智类
生活类
有三块牧场，草长得一样快，面积
分别为
3
1 3
公顷，10公顷和24公顷，
第一块12头牛可吃4星期，第二块21
头可吃9星期,第三块可供多少头牛吃
18个星期？
解：设牧场每公顷原有草x吨，每周新生草y吨，每头牛每周吃草a吨，第三块可供z头牛吃18个星期，根据题意得：
{ 10 x 4 10 y 412a,
3x+4=y
4x-3=y
3. 甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速.
{ A. 5y+10=5x, 4y=6x
{ C. 5x+10=5y, 4x=6y

二元一次方程组及其解法

二元一次方程组及其解法一、学法指引：本专题主要学习二元一次方程（组）的定义及其解法，理解二元一次方程的解的意义，二元一次方程组的解的意义，以及二元一次方程组的解的三种情况，形如，ax+by=c 的方程叫二元一次方程，它有无数个解，由几个二元一次方程够成，叫二元一次方程组，解有三种情况：1）唯一解，2）无数解，3)无解。

解方程组的思想是消元，但在解方程组时，要根据方程组的数据特点来确定解法二、探究与思考1）探究二元一次方程的有关概念形如ax+by=c (a b ≠0)方程叫二元一次方程，满足方程的解有无数个。

例1、下列方程中，是二元一次方程的是（）（A ）1=xy （B ）21=+yx （C ）13-=x y （D ）032=--x x 例2、已知关于x,y 的方程（a －2）x |a －1|+(b+3)y|b+4|=6是二元一次方程，求a ，b讲中练下列各组数中①⎩⎨⎧==22y x ②⎩⎨⎧==12y x ③⎩⎨⎧-==22y x ④⎩⎨⎧==61y x 是方程104=+y x 的解的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2)探究二元一次方程组的定义及其解法形如 a 1x+b 1y=c 1的方程组叫二元一次方程组 a 2x+b 2y=c 2①代入消元法例3、用代入法解下列方程组(1)⎩⎨⎧=+-=18050y x y x (2)⎩⎨⎧=-=+173x y y x (3)233511x y x y +=⎧⎨-=⎩归纳：用代入消元法解方程组时，首先将其中一个方程变形，用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数，然后代入另一个方程。

讲中练用代入法解下列(1)⎩⎨⎧=+=+7222y x y x (2) (3)②加减消元法例4、用加减法解下列方程组：(1)⎩⎨⎧=-=+534734y x y x （2）3216,31;m n m n +=⎧⎨-=⎩ （3）234,443;x y x y +=⎧⎨-=⎩归纳：用加减法解方程组时，首先将方程组中的某个未知数的系数化相等或互为相反数，然后将两个方程相加或相减。

专题12 一次函数(归纳与讲解)(解析版)

专题12 一次函数【专题目录】技巧1：一次函数常见的四类易错题技巧2：一次函数的两种常见应用技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用【题型】一、正比例函数的定义【题型】二、正比例函数的图像与性质【题型】三、一次函数的定义求参数【题型】四、一次函数的图像【题型】五、一次函数的性质【题型】六、求一次函数解析式【题型】七、一次函数与一元一次方程【题型】八、一次函数与一元一次不等式【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）【题型】十、一次函数的实际应用【考纲要求】1、理解一次函数的概念，会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．2、会求一次函数解析式，并能用一次函数解决实际问题.【考点总结】一、一次函数和正比例函数的定义【考点总结】二、一次函数的图象与性质【注意】1、确定一次函数表达式用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:（1）由题意设出函数的关系式;（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值;（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.2、y＝kx＋b与kx＋b＝0直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x 轴交点的横坐标．3、y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x的取值范围．4、一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．【技巧归纳】技巧1：一次函数常见的四类易错题【类型】一、忽视函数定义中的隐含条件而致错1．已知关于x 的函数y ＝(m ＋3)x |m ＋2|是正比例函数，求m 的值． 2．已知关于x 的函数y ＝kx－2k ＋3－x ＋5是一次函数，求k 的值．【类型】二、忽视分类或分类不全而致错3．已知一次函数y ＝kx ＋4的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为16，求这个一次函数的表达式． 4．一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x≤1时，对应的函数值的取值范围为1≤y≤9，求k ＋b 的值． 5．在平面直角坐标系中，点P(2，a)到x 轴的距离为4，且点P 在直线y ＝－x ＋m 上，求m 的值．【类型】三、忽视自变量的取值范围而致错6．若等腰三角形的周长是80 cm ，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm )与底边长x(cm )的函数关系的图像是( )7．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋6（x≤3），5x （x>3），则当y ＝20时，自变量x 的值是( )A ．±14B ．4C ．±14或4D ．4或－148．现有450本图书供给学生阅读，每人9本，求余下的图书本数y(本)与学生人数x(人)之间的函数表达式，并求自变量x 的取值范围．【类型】四、忽视一次函数的性质而致错9．若正比例函数y ＝(2－m)x 的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m>0C ．m<2D ．m>210．下列各图中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx(m ，n 是常数，且mn≠0)的大致图像的是( )11．若一次函数y ＝kx ＋b 的图像不经过第三象限，则k ，b 的取值范围分别为k________0，b________0. 参考答案1．解：因为关于x 的函数y ＝(m ＋3)x |m ＋2|是正比例函数，所以m ＋3≠0且|m ＋2|＝1，解得m ＝－1.2．解：若关于x 的函数y ＝kx－2k ＋3－x ＋5是一次函数，则有以下三种情况：①－2k ＋3＝1，解得k ＝1，当k ＝1时，函数y ＝kx －2k ＋3－x ＋5可化简为y ＝5，不是一次函数．②x－2k ＋3的系数为0，即k ＝0，则原函数化简为y ＝－x ＋5，是一次函数，所以k ＝0.③－2k ＋3＝0，解得k ＝32，原函数化简为y ＝－x ＋132，是一次函数，所以k ＝32.综上可知，k 的值为0或32.3．解：设函数y ＝kx ＋4的图像与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，坐标原点为O.当x ＝0时，y ＝4，所以点B 的坐标为(0，4)．所以OB ＝4.因为S △AOB ＝12OA·OB ＝16，所以OA ＝8.所以点A 的坐标为(8，0)或(－8，0)．把(8，0)代入y ＝kx ＋4，得0＝8k ＋4，解得k ＝－12.把(－8，0)代入y ＝kx ＋4，得0＝－8k ＋4，解得k ＝12.所以这个一次函数的表达式为y ＝－12x ＋4或y ＝12x ＋4.4．解：①若k>0，则y 随x 的增大而增大，则当x ＝1时y ＝9，即k ＋b ＝9. ②若k<0，则y 随x 的增大而减小，则当x ＝1时y ＝1，即k ＋b ＝1. 综上可知，k ＋b 的值为9或1. 5．解：因为点P 到x 轴的距离为4，所以|a|＝4，所以a ＝±4，当a ＝4时，P(2，4)，此时4＝－2＋m ，解得m ＝6. 当a ＝－4时，同理可得m ＝－2. 综上可知，m 的值为－2或6.6．D 7.D8．解：余下的图书本数y(本)与学生人数x(人)之间的函数表达式为y ＝450－9x ，自变量x 的取值范围是0≤x≤50，且x 为整数． 9．D 10.A 11.<；≥技巧2：一次函数的两种常见应用【类型】一、利用一次函数解决实际问题题型1：行程问题1．甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y(km )与甲车行驶的时间t(h )之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A ，B 两城相距300 km ；②乙车比甲车晚出发1 h ，却早到1 h ； ③乙车出发后2.5 h 追上甲车；④当甲、乙两车相距50 km 时，t ＝54或154.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．甲、乙两地相距300 km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA 表示货车离甲地的距离y(km )与时间x(h )之间的函数关系，折线BCDE 表示轿车离甲地的距离y(km )与时间x(h )之间的函数关系，根据图像，解答下列问题：(1)线段CD 表示轿车在途中停留了________h ； (2)求线段DE 对应的函数表达式；(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．题型2：工程问题3．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h )之间的函数图像如图所示．(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式．(2)求乙组加工零件总量a的值．(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？题型3：实际问题中的分段函数4．某种铂金饰品在甲、乙两个商场销售．甲标价为477元/g，按标价出售，不优惠；乙标价为530元/g，但若买的铂金饰品质量超过3 g，则超出部分可打八折．(1)分别写出到甲、乙两个商场购买该种铂金饰品所需费用y(元)和质量x(g)之间的函数表达式；(2)李阿姨要买一个质量不少于4 g且不超过10 g的此种铂金饰品，到哪个商场购买合算？5.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求a的值；某户居民上月用水8 t，应交水费多少元？(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式．【类型】二、利用一次函数解决几何问题题型4：利用图像解几何问题6．如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D 运动，设运动的时间为t(s)，△APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图像如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，△APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P 在CD 上运动时S 与t 之间的函数表达式； (3)当t 为何值时，△APD 的面积为10 cm 2?题型5：利用分段函数解几何问题(分类讨论思想、数形结合思想)7．在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从点A 开始按A→B→C→D 的方向运动到点D.如图，设动点P 所经过的路程为x ，△APD 的面积为y.(当点P 与点A 或D 重合时，y ＝0)(1)写出y 与x 之间的函数表达式； (2)画出此函数的图像．参考答案 1．B 2．解：(1)0.5(2)设线段DE 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b(2.5≤x≤4.5)．将D(2.5，80)，E(4.5，300)的坐标分别代入y ＝kx ＋b 可得⎩⎪⎨⎪⎧80＝2.5k ＋b ，300＝4.5k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝110，b ＝－195.所以y ＝110x －195(2.5≤x≤4.5)．(3)设线段OA 对应的函数表达式为y ＝k 1x(0≤x≤5)．将A(5，300)的坐标代入y ＝k 1x 可得300＝5k 1，解得k 1＝60.所以y ＝60x(0≤x≤5)．令60x ＝110x －195，解得x ＝3.9.故轿车从甲地出发后经过3.9－1＝2.9(h )追上货车．3．解：(1)设甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数表达式为y ＝kx ，因为当x ＝6时，y ＝360，所以k ＝60，即甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数表达式为y ＝60x(0≤x≤6)． (2)a ＝100＋100÷2×2×(4.8－2.8)＝300.(3)当工作2.8 h 时共加工零件100＋60×2.8＝268(件)，所以装满第1箱的时刻在2.8 h 后．设经过x 1 h 恰好装满第1箱．则60x 1＋100÷2×2(x 1－2.8)＋100＝300，解得x 1＝3.从x ＝3到x ＝4.8这一时间段内，甲、乙两组共加工零件(4.8－3)×(100＋60)＝288(件)，所以x>4.8时，才能装满第2箱，此时只有甲组继续加工．设装满第1箱后再经过x 2 h 装满第2箱．则60x 2＋(4.8－3)×100÷2×2＝300，解得x 2＝2.故经过3 h 恰好装满第1箱，再经过2 h 恰好装满第2箱． 4．解：(1)y 甲＝477x ，y 乙＝⎩⎪⎨⎪⎧530x （0≤x≤3），424x ＋318（x ＞3）.(2)当477x ＝424x ＋318时，解得x ＝6，即当x ＝6时，到甲、乙两个商场购买所需费用相同；当477x<424x ＋318时，解得x<6，又x≥4，于是当4≤x ＜6时，到甲商场购买合算；当477x>424x ＋318时，解得x>6，又x≤10，于是当6＜x≤10时，到乙商场购买合算．5．解：(1)当x≤10时，由题意知y ＝ax.将x ＝10，y ＝15代入，得15＝10a ，所以a ＝1.5.故当x≤10时，y ＝1.5x.当x ＝8时，y ＝1.5×8＝12. 故应交水费12元．(2)当x ＞10时，由题意知y ＝b(x －10)＋15.将x ＝20，y ＝35代入，得35＝10b ＋15，所以b ＝2.故当x ＞10时，y 与x 之间的函数表达式为y ＝2x －5.点拨：本题解题的关键是从图像中找出有用的信息，用待定系数法求出表达式，再解决问题． 6．解：(1)6；2；18(2)PD ＝6－2(t －12)＝30－2t ，S ＝12AD·PD ＝12×6×(30－2t)＝90－6t ，即点P 在CD 上运动时S 与t 之间的函数表达式为S ＝90－6t(12≤t≤15)．(3)当0≤t≤6时易求得S ＝3t ，将S ＝10代入，得3t ＝10，解得t ＝103；当12≤t≤15时，S ＝90－6t ，将S ＝10代入，得90－6t ＝10，解得t ＝403.所以当t 为103或403时，△APD 的面积为10 cm 2.7．解：(1)点P 在边AB ，BC ，CD 上运动时所对应的y 与x 之间的函数表达式不相同，故应分段求出相应的函数表达式．①当点P 在边AB 上运动，即0≤x ＜3时， y ＝12×4x ＝2x ； ②当点P 在边BC 上运动，即3≤x ＜7时， y ＝12×4×3＝6； ③当点P 在边CD 上运动，即7≤x≤10时， y ＝12×4(10－x)＝－2x ＋20. 所以y 与x 之间的函数表达式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ＜3），6 （3≤x ＜7），－2x ＋20 （7≤x≤10）. (2)函数图像如图所示．点拨：本题考查了分段函数在动态几何中的运用，体现了数学中的分类讨论思想和数形结合思想．根据点P 在边AB ，BC ，CD 上运动时所对应的y 与x 之间的函数表达式不相同，分段求出相应的函数表达式，再画出相应的函数图像．技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用【类型】一、利用两直线的交点坐标确定方程组的解1．已知直线y ＝－x ＋4与y ＝x ＋2如图所示，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，y ＝x ＋2的解为( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝4D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝02．已知直线y ＝2x 与y ＝－x ＋b 的交点坐标为(1，a)，试确定方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －b ＝0的解和a ，b 的值．3．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝－x ＋4的图像如图所示．(1)在同一坐标系中，作出一次函数y ＝2x －5的图像；(2)用作图像的方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，2x －y ＝5；(3)求一次函数y ＝－x ＋4与y ＝2x －5的图像与x 轴所围成的三角形的面积．【类型】二、利用方程(组)的解求两直线的交点坐标4．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧－mx ＋y ＝n ，ex ＋y ＝f 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，则直线y ＝mx ＋n 与y ＝－ex ＋f 的交点坐标为( ) A ．(4，6) B ．(－4，6) C ．(4，－6) D ．(－4，－6)5．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程ax ＋by ＝－3的两组解，则一次函数y ＝a x ＋b 的图像与y轴的交点坐标是( )A ．(0，－7)B ．(0，4)C .⎝⎛⎭⎫0，－37D .⎝⎛⎭⎫－37，0 【类型】三、方程组的解与两个一次函数图像位置的关系6．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x ＋2y ＝3没有解，则一次函数y ＝2－x 与y ＝32－x 的图像必定( )A ．重合B ．平行C ．相交D ．无法确定7．直线y ＝－a 1x ＋b 1与直线y ＝a 2x ＋b 2有唯一交点，则二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋y ＝b 1，a 2x －y ＝－b 2的解的情况是( )A ．无解B ．有唯一解C ．有两个解D ．有无数解【类型】四、利用二元一次方程组求一次函数的表达式8．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(1，－1)和B(－1，3)，求这个一次函数的表达式． 9．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(3，－3)，且与直线y ＝4x －3的交点B 在x 轴上．(1)求直线AB 对应的函数表达式；(2)求直线AB 与坐标轴所围成的△BOC(O 为坐标原点，C 为直线AB 与y 轴的交点)的面积．参考答案 1．B2．解：将(1，a)代入y ＝2x ，得a ＝2.所以直线y ＝2x 与y ＝－x ＋b 的交点坐标为(1，2)，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －b ＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.将(1，2)代入y ＝－x ＋b ，得2＝－1＋b ，解得b ＝3. 3．解：(1)画函数y ＝2x －5的图像如图所示．(2)由图像看出两直线的交点坐标为(3，1)，所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.(3)直线y ＝－x ＋4与x 轴的交点坐标为(4，0)，直线y ＝2x －5与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫52，0，又由(2)知，两直线的交点坐标为(3，1)，所以三角形的面积为12×⎝⎛⎭⎫4－52×1＝34. 4．A5.C6.B7.B8．解：依题意将A(1，－1)与B(－1，3)的坐标分别代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝－1，－k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.所以这个一次函数的表达式为y ＝－2x ＋1.9．解：(1)因为一次函数y ＝kx ＋b 的图像与直线y ＝4x －3的交点B 在x 轴上，所以将y ＝0代入y ＝4x －3中，得x ＝34，所以B ⎝⎛⎭⎫34，0，把A(3，－3)，B ⎝⎛⎭⎫34，0的坐标分别代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝－3，34k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝1. 则直线AB 对应的函数表达式为y ＝－43x ＋1.(2)由(1)知直线AB 对应的函数表达式为y ＝－43x ＋1，所以直线AB 与y 轴的交点C 的坐标为(0，1)，所以OC ＝1，又B ⎝⎛⎭⎫34，0，所以OB ＝34.所以S △BOC ＝12OB·OC ＝12×34×1＝38.即直线AB 与坐标轴所围成的△BOC 的面积为38.【题型讲解】【题型】一、正比例函数的定义例1、若一次函数y=(m ﹣3)x+m 2﹣9是正比例函数，则m 的值为_______．【答案】m=﹣3 【解析】∵y=(m ﹣3)x+m 2﹣9是正比例函数， ∵29030m m -⎧⎨-≠⎩＝解得m=-3．故答案是：-3.【题型】二、正比例函数的图像与性质例2、若正比例函数12y x =经过两点（1，1y ）和（2，2y ），则1y 和2y 的大小关系为（） A ．12y y < B ．12y y >C ．12y y =D ．无法确定【答案】A【分析】分别把点（1，1y ），点（2，2y ）代入函数12y x =，求出点1y ，2y 的值，并比较出其大小即可．【详解】∵点（1，1y ），点（2，2y ）是函数12y x =图象上的点， ∵112y =，21y =， ∵112<， ∵12y y <．故选：A ．【题型】三、一次函数的定义求参数例3、已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】先根据一次函数的增减性判断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．【详解】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小， ∵k ﹤0，A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意，故选：B ．【题型】四、一次函数的图像例4、若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m +1＜0，1﹣m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．【详解】解：∵m ＜﹣2， ∵m +1＜0，1﹣m ＞0，所以一次函数()11y m x m =++-的图象经过一，二，四象限，故选：D ．【题型】五、一次函数的性质例5、设k 0<，关于x 的一次函数2y kx =+，当12x ≤≤时的最大值是（） A ．2k + B ．22k +C ．22k -D ．2k -【答案】A【分析】利用一次函数的性质可得当x=1时，y 最大，然后可得答案．【详解】∵一次函数2y kx =+中0k <， ∵y 随x 的增大而减小， ∵12x ≤≤，∵当1x =时，122y k k =⨯+=+最大，故选：A ．【题型】六、求一次函数解析式例6、直线y kx b =+在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式2kx b +≤的解集是（）A ．2x -≤B ．4x ≤-C ．2x ≥-D ．4x ≥-【答案】C【分析】先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集．【详解】解：根据图像得出直线y kx b =+经过（0，1），（2，0）两点，将这两点代入y kx b =+得120b k b =⎧⎨+=⎩，解得112b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∵直线解析式为：112y x =-+，将y=2代入得1212x =-+，解得x=-2，∵不等式2kx b +≤的解集是2x ≥-，故选：C ．【题型】七、一次函数与一元一次方程例7、一次函数3y kx =+（k 为常数且0k ≠）的图像经过点（－2，0），则关于x 的方程()530k x -+=的解为（） A ．5x =- B ．3x =-C ．3x =D ．5x =【答案】C【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案．【详解】解：∵()53y k x =-+是由3y kx =+的图像向右平移5个单位得到的，∵将一次函数3y kx =+的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0） ∵当y=0时，方程()530k x -+=的解为x=3，故选：C ．【题型】八、一次函数与一元一次不等式例8、如图，直线(0)y kx b k =+<经过点(1,1)P ，当kx b x +≥时，则x 的取值范围为（）A ．1x ≤B ．1≥xC ．1x <D ．1x >【答案】A【分析】将(1,1)P 代入(0)y kx b k =+<，可得1k b -=-,再将kx b x +≥变形整理，得0bx b -+≥，求解即可．【详解】解：由题意将(1,1)P 代入(0)y kx b k =+<，可得1k b +=，即1k b -=-，整理kx b x +≥得，()10k x b -+≥， ∵0bx b -+≥，由图像可知0b >， ∵10x -≤， ∵1x ≤，故选：A ．【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）例9、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．若直线y ＝x +3分别与x 轴、直线y ＝﹣2x 交于点A 、B ，则∵AOB 的面积为（） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B 【分析】根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，解32y xy x=+⎧⎨=-⎩得，12xy=-⎧⎨=⎩，∵A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，∵∵AOB的面积＝12⨯3×2＝3，故选：B．【题型】十、一次函数的实际应用例10、A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？【答案】（1）y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时【分析】（1）先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），观察图象，经过两点（1.6，0），（2.6，80），代入求解即可得到函数关系式；（2）先求出货车甲正常到达B地的时间，再求出货车乙出发回B地时距离货车甲比正常到达B地晚1个小时的时间以及故障地点距B地的距离，然后设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，最后列出不等式并求解即可．【详解】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y ＝kx+b ，得 0 1.680 2.6k bk b =+⎧⎨=+⎩，解得： 80128k b =⎧⎨=-⎩，∵y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h ） ∵货车甲正常到达B 地的时间为200÷50＝4（小时）， 18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），当y ＝200﹣80＝120 时， 120＝80x ﹣128，解得x ＝3.1，5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时， ∵1.6v≥120，解得v≥75．答：货车乙返回B 地的车速至少为75千米/小时．一次函数（达标训练）一、单选题1．已知一次函数4y kx =+经过()11,y ，()22,y ，且12y y <，它的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据一次函数的增减性，可知它的图象可能为B 、C 选项，结合一次函数y=kx +4的图象经过点(0，4)，即可得到答案．【详解】∵一次函数y=kx +4经过(1,y 1)，(2,y 2)且y 1<y 2， ∵y 随x 的增大而增大，又∵一次函数y =kx +4的图象经过点(0，4)， ∵它的图象可能是B 选项，故选B ．【点睛】本题主要考查一次函数的系数与函数图象之间的关系，掌握一次函数系数的几何意义，是解题的关键．2．已知一次函数1y kx =-经过()11,A y -，()22,B y 两点，且12y y >，则k 的取值范围是（） A ．0k > B ．0k = C ．0k < D ．不能确定【答案】C【分析】根据一次函数的增减性可得出结论．【详解】∵1212,y y -<>， ∵函数y 随x 的增大而减小． ∵k ＜0，故选：C ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键． 3．一次函数2y x m =-+的图象经过第一、二、四象限，则m 可能的取值为（） A．-1 B ．34C ．0D ．1【答案】B【分析】根据一次函数的图象和性质，即可求解．【详解】解：∵一次函数2y x m =-+的图象经过第一、二、四象限， ∵0m >，∵m 可能的取值为34．故选：B【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数()0y kx b k =+≠，当0,0k b >>时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当0,0k b ><时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当0,0k b <>时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当0,0k b <<时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．4．一次函数31y x =-+的图象经过（）A ．一、二、四象限B ．一、三、四象限C ．一、二、三象限D ．二、三、四象限【答案】A【分析】根据一次函数关系中系数符号k ＜0，b ＞0解答即可．【详解】解：∵31y x =-+中0k <， ∵一次函数图象经过第二、四象， ∵ 0b >，∵ 一次函数图象经过一、二、四象限．故选：A ．【点睛】此题考查了一次函数的图象，根据k 和b 的符号进行判断是解题的关键． 5．若23y x b =+-，y 是x 的正比例函数，则b 的值是（） A ．0 B ．23-C ．23D ．32【答案】C【分析】根据y 是x 的正比例函数，可知23=0b -，即可求得b 值．【详解】解：∵y 是x 的正比例函数， ∵23=0b -，解得：23b =，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键．二、填空题6．请写出一个图象经过点()2,0A 的函数的解析式：______．【答案】24y x =-（答案不唯一）【分析】写出一个经过点（2，0）的一次函数即可．【详解】解：经过点()2,0A 的函数的解析式可以为24y x =-，故答案为：24y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点一定满足其函数解析式是解题的关键．7．将直线y ＝2x －1向下平移3个单位后得到的直线表达式为________．【答案】24y x =-【分析】根据一次函数平移的规律解答．【详解】解：直线y ＝2x －1向下平移3个单位后得到的直线表达式为y ＝2x －1－3=2x －4，即y =2x －4，故答案为y =2x －4．【点睛】此题考查了一次函数平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键．三、解答题8．某中学积极响应“双减”政策，为了丰富学生的课外活动，激发学生参加体育活动的兴趣，准备购买一批新的羽毛球拍．已知甲、乙两商店销售同一种羽毛球拍，但两个商店的原价和销售方式均不同．在甲商店，无论一次性购买多少支羽毛球拍，一律按原价出售；在乙商店，一次性购买羽毛球拍的数量不超过20支，按原价销售，若一次性购买球拍数量超过20支，超出的部分打八折．设该学校购买了x 支羽毛球拍，在甲商店购买所需的费用为1y 元，在乙商店购买所需的费用为2y 元，1y ，2y 关于x 的函数图像如图所示．(1)分别求出1y ，2y 关于x 的函数解析式． (2)请求出m 的值，并说明m 的实际意义．(3)若该学校一次性购买羽毛球拍的数量超过80支，但不超过120支，到哪家商店购买更优惠？【答案】(1)142y x =；()()2500204020020x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩(2)m =100，m 的实际意义是当一次性购买羽毛球球拍的数量100支时，甲、乙商店所需费用相同，都为4200元(3)当80<x <100时，选择甲商店更合算；当x =100时，两家商店所需费用相同；当100<x ≤120时，选择乙商店更合算【分析】（1）根据函数图像设出表达式，利用待定系数法解得即可；（2）根据图像交点，当x >20时，令12y y =，解得x ，y 的值即可；（3）由m 的意义，结合图像，谁的图像靠下谁更合算．（1）由题意，甲商店设11y k x =， ∵184020k =， ∵142k =， ∵1142y x =；乙商店：当0<x≤20时，设22y k x =， ∵2100020k =， ∵250k =， ∵250y x =，当x >20时，()2100020500.84020y x x =+-⨯⨯=+， ∵()()2500204020020x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩；（2）当x>20时，令12y y =，即4020042x x +=， ∵x =100，y =4200， ∵m =100，∵m 的实际意义是当一次购买羽毛球球拍的数量100支时，甲、乙商店所需费用相同，都为4200元；（3）由m 的意义，结合图像可知，谁的图像在下谁更合算，当80<x <100时，选择甲商店更合算；当x =100时，两家商店所需费用相同；当100<x ≤120时，选择乙商店更合算．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是掌握一次函数图像的性质．一次函数（提升测评）一、单选题1．一次函数()32y k x k =++-的图象如图所示，()01k -有意义的k 的值可能为（）A ．－3B ．－1C ．－2D ．2【答案】B【分析】通过一次函数图象可以得出：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<()01k -有意义的条件为：1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且0k ≠．将两个关于k 的解集综合，得到k 的范围是：12k -≤<且0k ≠．根据所求范围即可得出答案选B ．【详解】解：由图象得：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<()01k -有意义，则1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且1k ≠∴综上所述，k 的取值范围是：12k -≤<且0k ≠．A 、-3不在k 的取值范围内，不符合题意；B 、-1在k 的取值范围内，符合题意；C 、-2不在k 的取值范围内，不符合题意；D 、2不在k 的取值范围内，不符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查知识点为，一次函数图象与一次函数系数的关系、使二次根式有意义的条件，零指数幂中底数的范围．熟练掌握以上知识点，是解决此题的关键．2．已知直线1:24l y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，若将直线1l 向右平移m （m >0）个单位得到直线2l ，直线2l 与x 轴交于C 点，若∵ABC 的面积为6，则m 的值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先求出点B （0，4），可得OB =4，再根据平移的性质，可得AC =m ，再根据∵ABC 的面积为6，即可求解．【详解】解：∵直线1:24l y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，当x =0时，y =4， ∵点B （0，4）， ∵OB =4，∵将直线1l 向右平移m （m >0）个单位得到直线2l ，直线2l 与x 轴交于C 点， ∵AC =m ，∵∵ABC 的面积为6， ∵1462m ，解得：m =3．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的平移问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．3．已知一次函数y =-kx +k ，y 随x 的增大而减小，则在直角坐标系内大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由于一次函数y =-kx +k （k ≠0），y 随x 的增大而减小，可得-k ＜0，然后，判断一次函数y =-kx +k 的图象经过的象限即可．【详解】解：∵一次函数y =-kx +k （k ≠0），y 随x 的增大而减小， ∵-k ＜0，即k >0，∵一次函数y =-kx +k 的图象经过一、二、四象限．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y =kx +b 的图象性质： ∵当k ＞0，b ＞0时，图象过一、二、三象限； ∵当k ＞0，b ＜0时，图象过一、三、四象限； ∵当k ＜0，b ＞0时，图象过一、二、四象限； ∵当k ＜0，b ＜0时，图象过二、三、四象限．4．在平而直角坐标系中，一次函数32y x m =-+的图像关于直线1y =对称后经过坐标原点，则m 的值为（） A ．1 B ．2C ．1-D ．2-【答案】A【分析】由题意一次函数32y x m =-+与y 轴的交点为（0，2m ），根据点（0，2m ）与原点关于直线1y =对称，即可求出答案．【详解】解：根据题意，在一次函数32y x m =-+中，令0x =，则2y m =，∵一次函数32y x m =-+与y 轴的交点为（0，2m ）， ∵点（0，2m ）与原点关于直线1y =对称， ∵22m =， ∵1m =；故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题． 5．甲、乙两自行车运动爱好者从A 地出发前往B 地，匀速骑行．甲、乙两人离A 地的距离y （单位：km ）与乙骑行时间x （单位：h ）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（）A ．乙骑行1h 时两人相遇B ．甲的速度比乙的速度慢C ．3h 时，甲、乙两人相距15kmD ．2h 时，甲离A 地的距离为40km 【答案】C【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可知，甲乙骑行1.5h 时两人相遇，故选项A 不合题意；甲的速度比乙的速度快，故选项B 不合题意；甲的速度为：30÷（1.5-1）=30（km/h ），乙的速度为：30÷1.5=20（km/h ）， 3h 时，甲、乙两人相距：30×（3-0.5）-20×3=15（km ），故选项C 符合题意；。

第12讲二元一次方程组的应用七年级数学上册同步精品课堂(沪科版2024)[含答案]

第12讲二元一次方程组的应用（4个知识点+7种题型+过关检测）知识点1．由实际问题抽象出二元一次方程（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．知识点2．二元一次方程的应用二元一次方程的应用（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．（4）根据未知数的实际意义求其整数解．知识点3．由实际问题抽象出二元一次方程组（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．知识点4．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．题型一、方案问题（二元一次方程组的应用）（21-22七年级上·安徽合肥·期末）1．在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（）A．12种B．13种C．14种D．15种（21-22七年级上·安徽六安·期末）2．有三个家庭团队结伴到一景区游玩，一号家庭团队有3个成年人和4个小孩参加，共交费150元，二号家庭团队有2个成年人和1个小孩参加，共交费75元，按照这样的收费标准，三号家庭团队有1个成年人和3个小孩参加，所需的费用为元．（22-23七年级上·安徽宣城·期末）3．某医疗器械厂计划用600万元资金采购一批口罩生产机器，其中甲型机器每台的售价为10万元，乙型机器每台的售价为45万元．若购买甲型机器的数量是乙型机器数量的5倍还多3台，则甲、乙两种机器分别购入多少台？题型二、行程问题（二元一次方程组的应用）（21-22七年级上·安徽阜阳·阶段练习）4．甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（）A．330千米B．170千米C．160千米D．150千米（21-22七年级上·安徽合肥·阶段练习）5．小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发310小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？题型三、销售、利润问题（二元一次方程组的应用）（21-22七年级上·安徽六安·期末）6．某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？（）A．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为100元和25元B．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为120元和5元C ．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元D ．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为130元和6元（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）7．某商场第1次用39000元购进甲，乙两种商品，销售完后获得利润6000元，它们的进价和售价如表（总利润=单价利润´销售量）：价格商品进价（元/件）售价（元/件）甲120135乙100120(1)该商场第1次购进甲，乙两种商品各多少件？(2)商场第2次以原进价购进甲，乙两种商品，购进甲商品的件数不变，而购进乙商品的件数是第1次的2倍，甲商品按原售价销售，而乙商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5400元，则乙种商品是按几折销售的？题型四、几何问题（二元一次方程组的应用）（23-24七年级上·安徽亳州·期末）8．如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为2.4m ，则每一块长方形墙砖的面积为（）A ．20.36mB ．20.9mC ．20.4mD ．22.4m （19-20七年级上·安徽蚌埠·期末）9．数轴上有两个动点M ，N ，如果点M 始终在点N 的左侧，我们称作点M 是点N 的“追赶点”.如图，数轴上有2个点A ，B ，它们表示的数分别为3-，1，已知点M 是点N 的“追赶点”，且M ，N 表示的数分别为m ，n ．(1)由题意易知，点A 是点B 的“追赶点”，()134(AB AB =--=表示线段AB 的长，以下相同)；类似的，MN =______．(2)在A ，M ，N 三点中，若其中一个点是另两个点所构成线段的中点，请用含m 的代数式来表示n ．(3)若AM BN =，43MN BM =，求m 和n 的值．题型五、图表信息题（二元一次方程组的应用）（21-22七年级上·安徽安庆·期末）10．把1~9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则y x 的值为（）A ．1B ．8C ．9D ．－8（21-22七年级上·安徽淮北·期末）11．根据如图所示给出的信息，求每支钢笔和每支铅笔的价格．题型六、古代问题（二元一次方程组的应用）（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）12．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是 4.5y x -=，则符合题意的另一个方程是（）A ．112y x =-B ．112x y =-C ．112y x =+D ．112x y =+（22-23七年级上·安徽六安·期末）13．“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为．今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍x间，小圈舍y间，则x y+求得的结果有种．（22-23七年级上·安徽滁州·期中）14．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题．题型七、其他问题（二元一次方程组的应用）（2021·重庆渝中·二模）15．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（）A．3530202x yyx+=ìïí=ïîB．3520230x yx y+=ìí=´îC．352x yy x+=ìí=îD．3522030x yx y+=ìïí=ïî（22-23七年级上·安徽安庆·期末）16．学校为丰富大课间体育活动项目，决定再购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，小明完成购买任务回学校向李老师汇报说：“这两种球拍共30付，乒乓球拍单价为40元，羽毛球拍单价为64元，买之前我领了1600元，现在还余76元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”(1)李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；(2)小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他忘记还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为介于10到20之间的整数，请问：笔记本的单价为多少元？一、单选题17．如果一个两位数的十位数字和个位数字之和是5，则这样的两位数有（）个．A．4B．5C．6D．718．不考虑优惠，买1本笔记本和3支水笔共需14元，买4本笔记本和6支水笔共需38元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（）A．13元B．8元C．5元D．3元19．某车间35名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个．一个螺栓要配两个螺母，问应该分配（）名工人生产螺栓，才能使当天的螺栓和螺母刚好配套？A．13人B．14人C．15人D．16人20．《算法统宗》是中国古代数学名著，其中有一道题．原文是：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目．买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱．问哑巴所带的钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文．则下面所列方程组正确的是（）A．1625815x yy x=-ìí-=îB．1625815x yx y-=ìí-=îC．8251615x yx y-=ìí=-îD．1625815x yy x-=ìí-=î21．如图，宽为25cm的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（）A．2100cm B．2200cm C．2300cm D．2400cm22．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的横式和竖式的两种无盖纸盒，现有a张正方形纸板和b张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则a b+的值可能是（）A．100B．101C．102D．10323．为喜迎“全国两会”胜利召开，某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲活动，现计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的同学，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（）A．6种B．5种C．4种D．3种24．古书《九章算术》有这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、鸡价各几何？”大意是：有几个人共同出钱买鸡，每人出9钱，则多了11钱，每人出6钱，则少了16钱，那么有几个人共同买鸡？鸡的总价是多少？若有x个人共同买鸡，鸡的总价是y元，则可列方程组为（）A．911616x yx y-=ìí-=-îB．911616x yx y-=ìí-=îC．911616x yx y-=-ìí-=-îD．911616x yy x-=ìí-=-î25．有一些苹果箱，若每个装苹果25kg，则剩余40kg苹果无处装，若每个装苹果30kg．则余20个空箱，这些苹果箱有（）A．12个B．60个C．112个D．128个26．我国民间流传这样一道数学名题：其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（）A．7755y xy x=-ìí=+îB．7755y xy x=+ìí=+îC．7755y xy x=-ìí=-îD．7755y xy x=+ìí=-î二、填空题27．某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多2个，每位女生看到蓝色帽子比红色帽子多1倍，则男生有人.28．某同学家离学校4千米，每天骑自行车上学和放学．有一天上学时顺风，从家到学校共用12分钟，放学时逆风，从学校回家共用时20分钟，已知该同学在无风时骑自行车的速度为x 千米/时，风速为y 千米/时，则根据题意，列出方程组．29．如图宽为60cm 的长方形图案是用8块相同的小长方形地砖拼成的，则每块小长方形地砖的长是30．寒假期间，爱学习的小幸决定将部分压岁钱用于购买A B 、两种文具．3月17日，A 文具的单价比B 文具的单价少2元，小幸购进A B 、两种文具共3件；3月27号，A 文具的单价翻倍，B 文具的单价不变，小幸购进A B 、两种文具共4件；若A B 、文具的单价和数量均为正整数且小幸第二次购买文具比第一次购买文具多花费5元，则小幸两次购买文具共花费元．三、解答题31．有大小两种货车，2辆大货车与1辆小货车一次可以运货10.5吨，1辆大货车与2辆小货车一次可以运货9吨．求每辆大货车与每辆小货车一次分别可以运货多少吨？32．对任意一个三位正整数m ，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m 为“美好数”．（1）最小的三位“美好数”是，最大的三位“美好数”是．（2）求证：任意一个三位“美好数”都能被9整除．（3）若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，求满足条件的三位“美好数”．33．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》名记载了一道数学问题： “今有共买物，人出六，赢二；人出五，不足三．问人数、物价各几何?译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱．问人数、物价各多少? ”请解答上述问题．34．如图，长青化工厂与A ，B 两地都有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为2.5元/（t·km），铁路运价为2元/（t·km），且这两次运输共支出公路运费50000元，铁路运输324000元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？35．风力发电是一种绿色环保的发电方式，一般主要分布在山顶，海上，草原等利用风能发电．其中一套风力发电设备（如图）由一个风机塔筒和三个风机叶片组成，其中碳纤维材料是必须的材料，据了解15吨的碳纤维材料可以制作30个风机塔筒或60个风机叶片．(1)1吨碳纤维材料可以做多少个风机塔筒或多少个风机叶片？(2)现有75吨碳纤维材料，一共可以做多少套风力发电设备？36．课间游戏时同学们设计了一个飞镖游戏，飞镖游戏的规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内的部分，B区为大圆内小圆外的部分（A区B区均不含边界，如果掷到边界上重新投掷，投掷在大圆以外的无效）．现在将投掷有效的每次位置用一个点标注，统计出小红和小华的有效成绩情况如下：小红得了65分，小华得了71分．(1)掷中A区、B区一次各得多少分？(2)按照这样的计分方法，小明得了多少分？37．某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明．小李打算在该店同时购买两双鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．(1)若小李参加特惠活动需花费420元，比使用折价券多花20元，则两双鞋的原件为多少元？(2)若小李计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差60元，则两双鞋的原价相差多少元？38．浦东实验中学为了开展全校学生阳光体育运动活动，增强学生身体素质，张老师需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表：足球数量（个）篮球数量（个）总费用（元）第一次65750第二次37780第三次78742(1)张老师是第________次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；(2)求足球和篮球的标价；´的方格内，各行、各列及对角线上的三个数字之和都相等．39．如图，在33(1)则a=______，b=______．(2)请你在方框内作出以a cm为长，b cm为宽，2a cm为高的长方体．1．C【分析】有两个等量关系：购买A 种奖品钱数+购买B 种奖品钱数+购买C 种奖品钱数=260；C 种奖品个数为3或4个，设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．【详解】设购买A 种奖品m 个，购买B 种奖品n 个，当C 种奖品个数为3个时根据题意得1020330260m n ++´=整理得 217m n +=,m n Q 都是正整数，0217n <<1,2,3,4,5,6,7,8n \=当C 种奖品个数为4个时根据题意得1020430260m n ++´=整理得 214m n +=,m n Q 都是正整数，0214n <<1,2,3,4,5,6n \=\有8614+=种购买方案故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．2．75【分析】设每张成人票的价格为x 元，每张儿童票的价格为y 元，根据“一号家庭团队有3个成年人和4个小孩参加，共交费150元，二号家庭团队有2个成年人和1个小孩参加，共交费75元”，即可列出关于x 、y 的二元一次方程组，两方程相减即可求出三号家庭团队所需的费用．【详解】解：设每张成人票的价格为x 元，每张儿童票的价格为y 元，根据题意得：34150275x y x y +ìí+î＝①＝②，①-②，得：x +3y =75，所以，三号家庭团队有1个成年人和3个小孩参加，所需的费用为75元故答案为：75．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出方程组是解题的关键．3．甲型机器购买33台，乙型机器购买6台【分析】根据两个等量关系：用600万元资金与甲型机器的数量是乙型机器数量的5倍还多3台，设甲型机器购买x 台，乙型机器购买y 台，列方程组解出即可．【详解】解：设甲型机器购买x 台，乙型机器购买y 台，由题意得：104560053x y x y +=ìí=+î，解得：336x y =ìí=î答：甲型机器购买33台，乙型机器购买6台．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题关键．4．C【分析】设动车平均每小时行驶x 千米，快车平均每小时行驶y 千米，根据“一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇，且快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，求出动车与快车平均每小时行驶的路程即可解答．【详解】解：设动车平均每小时行驶x 千米，快车平均每小时行驶y 千米，依题意得：()152********y x x y ì=+ïíï++=î，解得：330170x y =ìí=î，330170160-= ，故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．5千米【分析】设小北每小时骑行x 千米，骑行y 千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可求解．【详解】解：设小北每小时骑行x 千米，骑行y 千米到达学校，由题意可得1213(20)1 210x yx yì=ïïíæöï-+=+ç÷ïèøî，解得105xy=ìí=î，答：小北需要骑行5千米到达学校．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键．6．C【分析】根据图表得出等量关系可列出方程进而组成方程组求出即可．【详解】解：设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元，根据题意得：2145 23280 x yx y+=ìí+=î解得：12510 xy=ìí=î所以一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元故选：C．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知得出等量关系可列出方程是解题关键．7．(1)商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件(2)乙种商品打九折销售的【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．（1）设第1次购进甲商品x件，乙商品y件，根据该商场第1次用39000元购进甲乙两种商品且销售完后获得利润6000元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设乙商品打m折出售，根据总利润=单价利润´销售量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设第1次购进甲商品x件，乙商品y件．根据题意得：()()120100390001351201201006000x y x y +=ìí-+-=î，解得：200150x y =ìí=î．答：商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件．（2）解：设乙商品打m 折出售．根据题意得：()2001351201502120100540010m æö´-+´´´-=ç÷èø，解得：9m =．答：乙种商品打九折销售的．8．A【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解题的关键．设一块长方形墙砖的长为m x ，宽为m y ，然后用x y 、的代数式分别表示出长方形的长为()4m x y +，两条宽分别为4m y ，m x ，进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组得到x y、的值，再根据长方形面积计算公式即可求出面积，【详解】解：设一块长方形墙砖的长为m x ，宽为m y ，依题意得，44 2.4x y x y =ìí+=î，解得 1.20.3x y =ìí=î，∴每一块长方形墙砖的面积为：()21.20.30.36mxy =´=答：每一块长方形墙砖的面积为20.36m ．故选：A ．9．(1)n m-(2)①M 是A 、N 的中点，23=+n m ；②A 是M 、N 点中点时，6n m =--；③N 是M 、A 的中点时，32m n -+=；(3)4m =，8n =或2m =-，2n =或5m =-，3n =【分析】（1）根据“点A 是点B 的“追赶点”，()134(AB AB =--=表示线段AB 的长，以下相同)”即可得到答案；（2）分三种情况进行分析求解即可；（3）根据AM BN =得到31m n +=-，由43MN BM =，得到413n m m -=-，分别列出方程组进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得，MN n m =-，故答案为n m -；（2）①M 是A 、N 的中点，则()3m n m --=-，23n m \=+；②A 是M 、N 点中点时，则()33m n --=--，∴6n m =--；③N 是M 、A 的中点时，则3n m n -=--，32m n -+\=；（3）AM BN =Q ，31m n \+=-，43MN BM =Q ，413n m m \-=-，313344m n n m m +=-ì\í-=-î或313344m n n m m +=-+ìí-=-î或313344m n n m m --=-ìí-=-+î或313344m n n m m --=-+ìí-=-+î，4m \=，8n =或0.2m =-， 1.8n =-或5m =-，3n =或2m =-，2n =，n m >Q ，4m \=，8n =或2m =-，2n =或5m =-，3n =．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、线段中点的定义等知识，熟练掌握二元一次方程组的解法和分类讨论是解题的关键．10．A【分析】：根据题意得：得到关于x ，y 的方程组，即可求解．【详解】解：根据题意得：∴8275852x x y +=+ìí++=++î，解得：19x y =ìí=î，∴911y x ==．故选：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．11．每支铅笔1元、每支钢笔10元【分析】设每支铅笔x 元、每支钢笔y 元，根据买了3支铅笔和2支钢笔，用了23元；乙买了2支铅笔和3支钢笔，用了32元．列出方程组解方程组即可．【详解】解：设每支铅笔x 元、每支钢笔y 元，根据题意可得：3223,2332x y x y +=ìí+=î解得：110x y =ìí=î答：每支铅笔1元、每支钢笔10元．【点睛】此题考查实际问题抽出二元一次方程组，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．12．A【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，列出方程组即可得出结果．【详解】解：设木长为x ，绳子长 y ，根据题意，得： 4.5112y x y x -=ìïí=-ïî，故选：A ．13．3【分析】根据题意，得6440x y +=，整理得3220x y +=，根据x ，y 都是整数，讨论求解即可．【详解】设所需大圈舍x 间，小圈舍y 间，根据题意，得6440x y +=，整理得3220x y +=，所以20331022x y x -==-，因为x ，y 都是整数，所以31012x -³，解得16x ≤≤，所以x 的值可能是1，2，3，4，5，6，因为3102y x =-是整数，所以x 一定也是偶数，故x 的值为2，4，6，y 对应的值为7，4，1，故x y +的值有3种可能，故答案为：3．【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，熟练掌握方程整数解的解题方法是解题的关键．14．雀、燕每一只各重219斤、338斤【分析】设雀、燕每1只各重x 斤、y 斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可．【详解】解：设雀、燕每1只各重x 斤、y 斤．根据题意，得45561x y y x x y +=+ìí+=î整理，得340561x y x y -=ìí+=î解得219338x y ì=ïïíï=ïî。

二元一次方程组及其解法优秀教案

二元一次方程组及其解法【课时安排】3课时【第一课时】【教学目标】一、知识与技能理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解。

二、过程与方法经历认识二元一次方程和二元一次方程组的过程，感受类比的学习方法在数学学习过程中的作用。

三、情感、态度与价值观学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受学习数学的乐趣。

【教学重难点】重点：理解二元一次方程组的解的意义。

难点：求二元一次方程的正整数解。

【教学过程】一、创设情境，引入新课（一）古老的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。

问鸡、兔各几何？”教师描述：这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题。

它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣。

怎样来解答这个问题呢？学生思考并自行解答，教师巡视。

最后，在学生动手动脑的基础上，集体讨论并给出各个解决方案。

（二）教师展示幻灯片：方法1：算筹解法。

（孙子算经，用算筹研究代数。

）方法2：图形解法。

（尚不成熟的符号语言，但很直观。

）方法3：算术解法。

兔数：(94÷2)－35=12鸡数：35－12=23方法4：一元一次方程的解法。

解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，则可列方程：2x+4(35－x)=94；解得：x=23。

则鸡有23只，兔有12只。

请同学们自己思考。

教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念，“元”是指什么？“次”是指什么？二、尝试活动，探索新知（一）讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念。

1．教师提问：上面的问题可以用一元一次方程来解，那么还有其他方法吗？方法6：设有x只鸡，y只兔，依题意得：x+y=35①2x+4y=94②针对学生列出的这两个方程，教师提出如下问题：（1）你能给这两个方程起个名字吗？（2）为什么叫二元一次方程呢？（3）什么样的方程叫二元一次方程呢？2．教师结合学生的回答，板书定义1：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程。

二元一次方程组2(新编201908)

二元一次方程组(二)
1.在一次足球选拔赛中，有12支球队参加选拔，每一队都要与另外的球队比赛一次，记分规则为胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分。比赛结束时，某球队所胜场数是所负的场数的2倍，共得20分，问这支球队胜、负各几场？
该队共赛几场?
2.某个体户向银行申请了甲、乙两种贷款，共计136万元，每一年需付利息16.84万元，甲种贷款的年利率是 12％，乙种贷款的年利率是13％，问这两种贷款的数额各是多少？
利息=本金×利率
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其余无杂调敦煌太守李皓亦起兵防遏无方增邑百户为南海太守上以巫蛊告之太祖加其使持节处逆践祸外结邻国贫豪莫差事不便於贵党当思四海皆弟兄之义虏寇豫州一时散溃傍眺燕镇东将军手自执剑击檐辇人脑吾病始差风尘之声淮阳卧治朗悉以秩米起屋悉引入湖辄致私绝中书郎鲁秀出广陵南阳太守虽出侍东宫仰观天象启颡乞恩异规既扇璞性笃孝又采笋置篱外弃仗奔走连捷荣非行立攻颍川太守李元德於许昌营墓葬父祖诸叔於万死之中而百口在都舜是以偃息未捷子侃嗣大使陆子真观采风俗薛安都子道标攻合肥陛席之间奏曰统高密素甲夺日焘不答欲出来斫营万不可失及即位随事俯仰气力兼人后虏寇淮西即陷外垒不能作狱中囚建平王景素反同川而异归又为劭简配兵士冠军将军乡人庾业副使葛抵奉宣微诚平远将军工人不能治牟立节空百顷之地碎奚遂以忧死赞并出继勇健多计略性刻暴益之不战遣镇之衔命赈恤以表微心职次正可比中书令耳益不说牵以迎丧元德复奔还项城寿寂之曰每让逸取劳鸣镝日至将军如故并领记室藉梁豢以延祀妖贼扰乱

二元一次方程(组)应用题专题讲解及练习(附答案)

实际问题与二元一次方程组（一）要点一.常见的一些等量关系 1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100% 利润利润率进价. 要点二.实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．例题讲解题型一.和差倍分问题例1.电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？【跟踪训练】根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（）A ．7元B ．35元C ．45元D ．50元题型二.配套问题例2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【跟踪训练】某家具厂生产一种方桌，设计时13m的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有103m的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）. 题型三.工程问题例3.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?题型4.利润问题例4.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价销售价（元/箱）甲24 36乙33 48（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？【跟踪训练】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗专题练习（一）一、选择题1．有一些苹果箱，若每只装苹果25 kg，则剩余40 kg无处装；若每只装30 kg，则还有20个空箱，这些苹果箱有( ) .A．12只 B．6只 C．112只 D．128只2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，若每条长椅坐5人，则少10条长椅，若每条长椅坐6人，则又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( ) .A．5105662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩B．51062x yx y=-⎧⎨=+⎩C．5105662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩D．51062x yx y=+⎧⎨=-⎩3.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？（）A．300元 B．310元 C．320元 D．330元4.王力在一天内以每件80元的价格卖了两件上衣，其中一件赢利20％，一件赔了20％，则在这次买卖中他( ) .A．赔了10元 B．赚了10元C．赔了约7元 D．赚了约7元5.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺帽和生产螺栓的数分别为（）A．50人，40人 B．30人，60人C．40人，50人 D．60人，30人6.某校七年级(2)班40名同学为四川地震灾区捐款，共捐了100元，捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组( ) .A.272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C.273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D.2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩二、填空题7．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个．其中荷包每个4元，五彩绳每个3元，设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，列出的方程组是________．8．根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是元和元．9．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.10．已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x、y，可得方程组________，这两数分别为________．11．如图，3个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为9cm，8个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为14cm，则100个这样的纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________ cm．12．“六一”儿童节，某动物园的成人门票每张8元，儿童门票半价(即每张4元)，全天共售出门票3000张，共收入15600元，则这一天售出了成人票张儿童票张。

浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章二元一次方程组2

浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章二元一次方程组2.4二元一次方程组的应用（1）【知识重点】1．当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程. 2．一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为： (1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)； (2)制定计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)； (3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)；(4)回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意). 【经典例题】【例1】顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水涧的人数的2倍少1人．设到花果岭的人数为x 人，到云水涧的人数为y 人，根据题意可列方程组为（）A ．{x +y =200x =2y −1B ．{x +y =200y =2x −1C ．{x +y =200x =2y +1D ．{x +y =200y =2x +1【例2】某工厂有26名工人，一个工人每天可加工800个螺栓或1000个螺帽，1个螺栓与2个螺帽配套，现要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且没有剩余．若设安排x 个工人加工螺栓，y 个工人加工螺帽，则列出正确的二元一次方程组为（）A ．{x +y =261600x −1000y =0B ．{x +y =26800x −2000y =0C ．{x +y =263200x −1000y =0D ．{x +y =211600x −2000y =0【例3】打折前，买50件A 商品和20件B 商品用了1300元，买30件A 商品和10件B 商品用了750元．打折后，买100件A 商品和100件B 商品用了2800元，问比不打折少花了多少钱？【基础训练】1．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm 和ycm ，则依题意可列方程组为（）A ．{x +2y =25y =3xB ．{x +2y =25x =3yC ．{2x −y =25x =3yD ．{2x +y =25y =3x2．盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A 与玩偶B 组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A 和2个玩偶B ，已知每米布料可做1个玩偶A 或3个玩偶B ，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x 米布料做玩偶A ，用y 米布料做玩偶B ，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（）A ．{x +y =136x =3yB ．{x +y =136x =2×3yC ．{x +y =1363x =yD ．{x +y =1362x =3y3．七年级一班有x 人，分y 个学习小组，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则不足5人，求全班人数及分组数.正确的方程组为( )A ．{7x =y −38x =y +5B ．{7y =x +38x =y −5C ．{7y =x +38y =x −5D ．{7y =x −38y =x +54．某校运动员分组训练，若每组7人，则余3人:若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x 人，组数为y 组，则可列方程为（）A ．{7y =x +38y =x +5B ．{7y =x +38y +5=xC ．{7y =x −38y +5=xD ．{7y =x −38y =x +55．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1、图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x 、y 的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为{3x +2y =114x +3y =26，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）A ．{2x +3y =233x +4y =32B ．{2x +3y =233x +4y =37C ．{11x +3y =233x +4y =32D ．{3x +2y =234x +3y =326．一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为．7．如图，8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形（如图），若大长方形的宽为12cm ，则每一个小长方形的面积为 cm 2．8．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨. 9．如图，周长为68cm 的长方形ABCD 被分成7个相同的矩形，长方形ABCD 的面积为 cm 2.10．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满．设大房间有x 个，小房间有y 个，则列出方程组为．11．某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎样调配劳力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？12．被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．13．A，B两地相距80km．一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，求船在静水中的速度和水流速度．14．一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军89km，且第一天比第天少走1km，第一天和第二天行军的平均速度各是多少？15．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，求图中一个小长方形的面积.【培优训练】16．某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得x的值为（17．小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形，如图1所示．小红看见了，说：“我也来试一试．“结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，但中间留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形，则每个小长方形的长和宽分别为（）A ．10mm ，18mmB ．18mm ，10mmC ．10mm ，6mmD ．6mm ，10mm18．上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中34男生与女生同桌，这些女生占全班女生的35，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x 人，女生y 人，则列方程组为（）A ．{x +4=y 34x =35yB ．{x +4=y 35x =34yC ．{x −4=y 34x =35yD ．{x −4=y 35x =34y19．玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x 天，乙种玩具零件y 天，则有（）A ．{x +y =6024x =12yB ．{x +y =6012x =24yC ．{x +y =602×24x =12yD ．{x +y =6024x =2×12y20．某纸厂要制作如图的甲、乙两种无盖的小长方体盒子．该厂利用边角材料裁出了长方形和正方形两种纸片，其中长方形纸片的宽和正方形纸片的边长相等．现用150张正方形纸片和300张长方形纸片制作这两种小盒，恰好用完．设可做成甲、乙两种盒子各x 、y 个，根据题意，可列正确的方程组为．21．一片草原上的一片青草，到处长的一样密、一样快.20头牛在96天可以吃完，30头牛在60天可以吃完，则70头牛吃完这片青草需天.22．一艘轮船顺流航行时，每小时行32km ；逆流航行时，每小时行28km ，则轮船在静水中的速度是每小时行 km ．（轮船在静水中的速度大于水流速度） 23．某眼镜厂有工人25名，每人每天平均生产镜架9个或镜片12片.为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套，设x 名工人生产镜架，y 名工人生产镜片，则可列出方程组： .24．把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为 cm 2.25．在某工程建设中，有A、B两种卡车搬运沙土.据了解，3辆A种卡车与2辆B种卡车一次共可搬运沙土38立方米，2辆A种卡车与3辆B种卡车一次共可搬运沙土42立方米，求每辆A种卡车和每辆B种卡车分别可搬运沙土多少立方米？26．2022年5月8日是“母亲节”，小明买了一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈，以表祝福.在买花过程中，爱思考的小明发现一个数学问题：3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元，买2支百合和1支康乃馨共花费14元.如果买一束百合和康乃馨组合的鲜花共11支，且百合不少于2支，那么怎样组合，能使费用支出最少？请你帮助小明解决这个数学问题.27．甲乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了10件.甲、乙两人原来每小时各加工多少件？28．2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，如图所示是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克?29．某班为充实图书角图书，在学习委员的倡议下进行了一次给班级捐书活动，受污染区域（阴影部分）记录了在相应捐书数目为N时的人数分布情况.本以下的同学平均捐书3.5本.问捐书4本和5本的各有多少人？30．如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？31．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如下表是某省的电价标准（每月）.例如：方女士家5月份用电500度，电费＝180×0.6＋220×二档电价＋100×三档电价＝352元；李先生家5月份用电460度，交费316元.请问表中二档电价、三档电价各【直击中考】32．五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（） A ．30 B ．26 C ．24 D ．2233．“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x 场，平了y 场，根据题意可列方程组为（） A ．{x +y =7，3x +y =17. B ．{x +y =9，3x +y =17.C ．{x +y =7，x +3y =17.D ．{x +y =9，x +3y =17.34．上学期某班的学生都是双人桌，其中 14 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 15。

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⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎪⎩⎪⎨⎧---...5.351...2.03121321.0...321.，，负分数：如，，，正分数：如分数，，负整数：如，，，正整数：如整数数理有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧与有理数的关有---画法---单位长度正方向原点定义---数轴第一讲有理数概念图1、像5，1，2，21，…这样的数叫做正数，它们都比0大，为了突出数的符号，可以在正数前面加“+”号，如+5，+1.22、在正数前面加上“—”号的数叫做负数，如－10，－ 3，…3、 0既不是正数也不是负数.4、整数和分数统称为有理数.第二讲数轴概念图：1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3、所有的有理数都可以用数轴上的点表示.4、相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--⎩⎨⎧有理数大小比较非负性性质代数意义几何意义意义绝对值）（0a )0a ()0a (a 0a|a |<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=1、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

2、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。

3、性质： ① 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；② 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；③ 所有有理数都可以用数轴上的点表示。

第三讲绝对值概念图：1、在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|.2、一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数，可表示为第四讲有理数的加法概念图 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧律合结律换交运算律一个数与零相加异号两数相加同号两数相加则法加的数理有对值.互为相反数的两个数相加得0. 3、一个数同0相加，仍得这个数. 4、有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）第六讲第七讲有理数的加减正分数负分数正整数0负整数第八讲第九讲绝对值的进一步介绍第十讲一元一次方程3.1.1一元一次方程1、含有未知数的等式是方程。

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